第二节一阶微分方程

第二节 一阶微分方程

分布图示

★ 可分离变量微分方程 ★ 例1

★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 例5 ★ 例6 ★ 例7

★ 一阶线性微分方程及其解法

★ 例7 ★ 例8 ★ 例9

★ 例10

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题6—2

内容要点

一、可分离变量的微分方程

设有一阶微分方程

),(y x F dx

dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有

)()(y g x f dx

dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.

二、一阶线性微分方程

形如

)()(x Q y x P dx

dy =+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程(3.1)成为

0)(=+y x P dx

dy (3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程. 方程(3.2)的通解

.)(⎰-=dx x P Ce y (3.3)

其中C 为任意常数.

求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为

,)()(⎰-=dx x P e x u y

一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为

[]

⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)

例题选讲

一阶线性微分方程

例1（E01）求微分方程

xy dx dy 2=的通解.

解 分离变量得

xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰

=xdx y dy 212||ln C x y += 从而2112x C C x e e e y ⋅±=±=+, 记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y =

例2（E02）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解.

解 先合并dx 及dy 的各项, 得 dx y dy x y )1()1(2-=-

设 ,01,012≠-≠-x y 分离变量得

dx x dy y y 1112-=- 两端积分

⎰⎰-=-dx x dy y y 1112 得 ||ln |1|ln |1|ln 2

112C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y

记,21C C ±= 则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y

注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中.

例3设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 试求物体温度随时间t 的变化规律.

解 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T =在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:

⎪⎩⎪⎨⎧=--==100

|)20(0t T T k dt dT )2()1( 其中)0(>k k 为比例常数. 下面来求上述初值问题的解.

分离变量, 得

;20kdt T dT -=- 两边积分 ,201⎰

⎰-=-kdt dT T 得 1|20|ln C kt T +-=-(其中1C 为任意常数)，

即 kt kt C C kt Ce e e e T --+-=±=±=-1120(其中1C e C ±=).

从而 ,20kt Ce T -+=

再将条件(2)代入,得,8020100=-=C 于是，所求规律为 .8020kt e T -+=

注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用. 例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.

例4设降落伞从跳伞塔下落后, 所受空气阻力与速度成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时)0(=t 速度为零, 求降落伞下落速度与时间的关系.

解 设降落伞下落速度为),(t v 降落伞下落时，同时收到重力P 与阻力R 的作用. 降落伞所受外力为 kv mg F -=

根据牛顿第二定律: αm F =,得到)(t v 满足微分方程

kv mg dt

dv m -= (1) 初始条件 .00==t v 将方程(1)分离变量得

m

dt kv mg dv =- 两边积分得

⎰⎰=-m dt kv mg dv

1)ln(1C m

t kv mg k +=--， 即 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-1C m t k e kv mg 或 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=--k e C Ce k mg v kC t m k 1＝－

代入初始条件得 k

mg C -= 故所求特解为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-t m k e k mg v 1. 例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的C 37按照牛顿冷却定律开始下降．假设两个小时后尸体温度变为C 35，并且假定周围空气的温度保持C 20不变，试求出尸体温度T 随时间t 的变化规律．又如果尸体被发现时的温度是C 30，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？

解 根据物体冷却的数学模型，有

⎪⎩⎪⎨⎧=>--=.37

)0(,0),20(T k T k dt dT 其中0>k 是常数．分离变量并求解得

kt Ce T -=-20，

为求出k 值，根据两个小时后尸体温度为C 35这一条件，有

2172035⋅-+=k e ，

求得063.0≈k ，于是温度函数为

t e T 063.01720-+=，

将30=T 代入上式求解t ，有

t e 063.017

10-=，即得4.8≈t (小时)． 于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时,即8小时24分钟,所以谋杀是在上午7点36分发生的.

例6（E04）饮酒量与事故风险率。大量的研究所提供的数据表明，汽车司机发生事故的风险率R （百分比）与其血液中的酒精浓度b （百分比）有关。使用两个有代表性的点（0，1%）和（0.14，20%）可用一个指数函数来近似这组数据。假设风险率R 的变化率与血液酒精浓度b 的关系为

kR db

dR = （1）设%10=R ，求满足方程的函数；

（2）利用数据点()%2014.0=R ，求k ；

（3）用求出的k 写出()b R ；

（4）当血液酒精浓度是多少时发生事故的风险率为100%？四舍五入后精确到百分之一。