逻辑代数基本公式及定律.
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§2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式
一、基本定律
或运算规则:
0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1
A 0 A , A 1 1, A A A, A A 1
与运算规则:
0•0=0
非运算规则:
0•1=0
1 0
1•0=0
0 1
1•1=1
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
（12）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AHale Waihona Puke Baidu BC AD BD
与或式
（13）
例 2： F2 A B C D E
反号不动
F2 A B C D E
反号不动
A ( B C D E)
A (B C D E)
F2 A B A C A D E
与或式
（14）
常用公式
AB A B 1.消去公式：A+
2.吸收公式：
A AB A
3.并项公式：AB AB A 4.多余项公式：AB AC BC AB AC
（4）
用真值表证明摩根定理成立
A ·B=A+B A+B= A ·B Y2=A+B 1 相等 1 1 0
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y1=A· B 1 1 1 0
（5）
2.3.2 若干常用公式--几种形式的吸收律
吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去 掉 被消化了。
短项
长项
1.原变量的吸收： A + AB = A 证明： 左式=A(1+B) =A =右式 原式成立
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
（2）
求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A • 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A • 1=A
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（11）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： FF 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（8）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
4. A · A· B=A · B
（15）
（16）
例：用代入规则证明德 摩根定理也适用于多 变量的情况。 二变量的德 摩根定理为：
AB A B A B AB
1 2
（10）
AB A B A B AB
1 2
以（B· C）代入（1）式中B，以（B+C）代入 （2）式中B，则得到：
Α(ΒC) Α (ΒC) Α Β C
（3）
五、德 摩根定理(反演律） （De Morgan)
AB A B A B AB
1 2
证明： 真值表法、 穷举法
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
||
1
长中含短,
口诀：
留下短。
（6）
原(反)变量
反(原)变量
2. 反变量的吸收：
添冗余项
A+AB=A+ B
证明： 左式 A AB AB A B( A A) =右式
||
1
长中含反, 口诀：
去掉反。
（7）
互为反变量
3.混合变量的吸收： A B + A C + BC=AB+AC
一、基本定律
或运算规则:
0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1
A 0 A , A 1 1, A A A, A A 1
与运算规则:
0•0=0
非运算规则:
0•1=0
1 0
1•0=0
0 1
1•1=1
A 0 0 , A 1 A, A A A, A A 0
AA
（1）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
四、分配律
A(B+C)=A • B+A • C A+B • C=(A+B)(A+C)
（12）
例1： F1 A B C D 0 注意 括号
F1 (A B) (C D) 1
注意括号
F1 AHale Waihona Puke Baidu BC AD BD
与或式
（13）
例 2： F2 A B C D E
反号不动
F2 A B C D E
反号不动
A ( B C D E)
A (B C D E)
F2 A B A C A D E
与或式
（14）
常用公式
AB A B 1.消去公式：A+
2.吸收公式：
A AB A
3.并项公式：AB AB A 4.多余项公式：AB AC BC AB AC
（4）
用真值表证明摩根定理成立
A ·B=A+B A+B= A ·B Y2=A+B 1 相等 1 1 0
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y1=A· B 1 1 1 0
（5）
2.3.2 若干常用公式--几种形式的吸收律
吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去 掉 被消化了。
短项
长项
1.原变量的吸收： A + AB = A 证明： 左式=A(1+B) =A =右式 原式成立
证明：
A· A· B=A
A· A· B = A·(A+B) =A · B
(A+B)=A A· A· B= A· A· A· B= ?
A × A √ A· B A· B × ×
（9）
§ 2.4 逻辑代数的基本定理
2.4.1 代入定理
内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中， 若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A， 则等式仍然成立。
（2）
求证: （分配律第2条） A+BC=(A+B)(A+C) 证明: 右边 =(A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A +A(B+C)+BC ; 分配律 ; 结合律 , AA=A
=A(1+B+C)+BC ; 结合律 =A • 1+BC ; 1+B+C=1 =A+BC =左边 ; A • 1=A
A(BC) A(BC) A B C
注：代入定理还可以扩展其他基本定律 的应用范围！
（11）
2.4.2 反演定理
内容：将函数式F中所有的 + + (反函数) 新表达式： F
变量与常数均取反 显然： FF 规则: 1.遵循先括号 再乘法 后加法的运算顺序。 2.不是一个变量上的反号不动。 用处：实现互补运算（求反运算）。
证明： 左式 AB AC BC
AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加
添冗余因子
口诀： 正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（8）
( AB ABC) ( AC ABC)
AB AC =右式
4. A · A· B=A · B
（15）
（16）
例：用代入规则证明德 摩根定理也适用于多 变量的情况。 二变量的德 摩根定理为：
AB A B A B AB
1 2
（10）
AB A B A B AB
1 2
以（B· C）代入（1）式中B，以（B+C）代入 （2）式中B，则得到：
Α(ΒC) Α (ΒC) Α Β C
（3）
五、德 摩根定理(反演律） （De Morgan)
AB A B A B AB
1 2
证明： 真值表法、 穷举法
推广到多变量：
ABC A B C
A B C ABC
说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非） 运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非 与）运算。
||
1
长中含短,
口诀：
留下短。
（6）
原(反)变量
反(原)变量
2. 反变量的吸收：
添冗余项
A+AB=A+ B
证明： 左式 A AB AB A B( A A) =右式
||
1
长中含反, 口诀：
去掉反。
（7）
互为反变量
3.混合变量的吸收： A B + A C + BC=AB+AC