物理试题1答案

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物理竞赛试题 1 参考答案

一、解 (1)由于y 方向速率不变,所以

y=vt ①

则 v x =by=bvt ② 即 d x /d t =bvt dx=bvt d t 两边积分

⎰⎰

=t

d d t t bv x x

得 x=221

bvt ③

联立①③消去t 得 x=22y v

b

(2)由于y 方向匀速运动,故加速度a 沿x 方向

由②两边求导得 a=t

v

x d d =bv ⑤

由答图1-1知 a t =a cos θ

而 tan θ=

x

y v v =

bt bvt v 1= cos θ=

1

2

2+t b bt

所以 a t =

1

2

22+t b tv b

(3)由 a n =r

v 2

得 r=n

a v 2

v=v t b v v y x

12222+=+ 由答图1-1知 a n =a sin θ sin θ=

112

2+t b

所以 a n =

1

2

2+t b bv

从而得 r=b

v

t b 23

)1(22+ ⑥ 由① t=y/v

代入⑥得 r=22222222

3

23)()1(bv

v y b b v v y b +=+ ※ 二、解

作图方法:①利用尺规作图法确定r /2的长度,以C 为圆心,用圆规作半径为r /2的圆;

②利用尺规作图法确定2r 的长度,以C 为圆心,用圆规作半径为2r 的圆;

③延长RM 交2r 圆于H ,连接CH 交r /2圆于H ’; ④连接并延长MH ’即得折射光线。 作图依据:如答图1-2,∠HMC=i

则在△HCM 中应用正弦定理得

n

n r r CM CH i '

2sin sin ===ϕ 又在△MCH ’与△HCM 中有公共角C ,且

n

n CH CM CM CH '

12'=== 所以 △MCH ’∽△HCM

从而 i=φ,亦即 n

n i i '

'sin sin =

i 与i’满足折射定律 ※ 三、解 (1)在圆筒与台阶作完全非弹性碰撞的过程中(如答图1-3-1),圆筒对于通过A 点的轴角动量守恒,有

mv(R-h)+I O ω0=I A ω ① 式中I O 和I A 分别为圆筒绕O 点和A 点的转动惯量,ω为碰撞后圆筒的角速度,即圆筒开始上翻时的角速度。又 I O =mR 2,I A = mR 2 +mR 2=2 mR 2, v=R ω0

由以上各式得 ω=)21(R

h

R v - ②

在圆筒上翻过程中,系统的机械能守恒。取台阶较高平面为势

能零点。上翻时的初始动能为2

1

I A ω2,势能为mg (R-h ),上翻

到任意的θ位置时(如答图1-3-2),势能为mgR sin θ,动能为2)(21t I A d d θ,其中)(t

d d θ是圆筒上翻到θ位置时的角速度。于是 mg(R-h)+ 21I A ω2=mgR sin θ+2)(21t

I A d d θ

将上面ω的表达式代入③得

2)(t

d d θ=2222

)21(sin )(R v R h R g R h R g -+--θ

圆筒能滚上台阶的条件是:当θ=

2

π

时,)(t d d θ>0。将④与上述条件结合得

gh v R

h >-2

2)21( ⑤

圆筒上翻过程中不脱离A 点的条件是:N >0。 在圆筒上翻过程中,OA 方向的质心运动方程为

mg sin θ-N=ma n =mR 2)(t

d d θ

于是 N= mg sin θ- mR 2)(t d d θ=2 mg sin θ-mg(1-R

h

)-m 0)21(22>-

R v R h 上式表明N 是θ的函数,θ的最小值θmin 相对应于N 的最小值。由几何关系得

sin θmin =1-R

h

代入N 的表达式得

N min = 2mg(1-R h )- mg(1-R h )- m R v R h 22)21(-= mg(1-R h )- m R v R h 22)21(->0 或 g(1-R

h

)>R v R h 22)21(- ⑦ 由⑤和⑦得圆筒既不脱离A 点又能滚上台阶继续前进的条件: g(R-h)> 2

2)21(v R

h ->gh

或 2

22

22)2(4)2()(4h R ghR v h R h R gR ->>--

(2)由v 的条件还可得到对台阶高度h 的限制条件:

2

2

22)2(4)2()(4h R ghR h R h R gR ->--

即 h

1

四、解法一 取坐标系如答图1-4所示。取左棒为场源电荷。在左棒上取电荷元λ d x ,距原点为x ,它在右棒上距原点x ’处产生的场强

d E=

2

0)

'(4x x x

λ-πεd

方向沿x 轴正向,左棒上各电荷元产生的场强方向相同,所以左棒在x ’处的场强

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