物理试题1答案
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物理竞赛试题 1 参考答案
一、解 (1)由于y 方向速率不变,所以
y=vt ①
则 v x =by=bvt ② 即 d x /d t =bvt dx=bvt d t 两边积分
⎰⎰
=t
d d t t bv x x
得 x=221
bvt ③
联立①③消去t 得 x=22y v
b
④
(2)由于y 方向匀速运动,故加速度a 沿x 方向
由②两边求导得 a=t
v
x d d =bv ⑤
由答图1-1知 a t =a cos θ
而 tan θ=
x
y v v =
bt bvt v 1= cos θ=
1
2
2+t b bt
所以 a t =
1
2
22+t b tv b
(3)由 a n =r
v 2
得 r=n
a v 2
v=v t b v v y x
12222+=+ 由答图1-1知 a n =a sin θ sin θ=
112
2+t b
所以 a n =
1
2
2+t b bv
从而得 r=b
v
t b 23
)1(22+ ⑥ 由① t=y/v
代入⑥得 r=22222222
3
23)()1(bv
v y b b v v y b +=+ ※ 二、解
作图方法:①利用尺规作图法确定r /2的长度,以C 为圆心,用圆规作半径为r /2的圆;
②利用尺规作图法确定2r 的长度,以C 为圆心,用圆规作半径为2r 的圆;
③延长RM 交2r 圆于H ,连接CH 交r /2圆于H ’; ④连接并延长MH ’即得折射光线。 作图依据:如答图1-2,∠HMC=i
则在△HCM 中应用正弦定理得
n
n r r CM CH i '
2sin sin ===ϕ 又在△MCH ’与△HCM 中有公共角C ,且
n
n CH CM CM CH '
12'=== 所以 △MCH ’∽△HCM
从而 i=φ,亦即 n
n i i '
'sin sin =
i 与i’满足折射定律 ※ 三、解 (1)在圆筒与台阶作完全非弹性碰撞的过程中(如答图1-3-1),圆筒对于通过A 点的轴角动量守恒,有
mv(R-h)+I O ω0=I A ω ① 式中I O 和I A 分别为圆筒绕O 点和A 点的转动惯量,ω为碰撞后圆筒的角速度,即圆筒开始上翻时的角速度。又 I O =mR 2,I A = mR 2 +mR 2=2 mR 2, v=R ω0
由以上各式得 ω=)21(R
h
R v - ②
在圆筒上翻过程中,系统的机械能守恒。取台阶较高平面为势
能零点。上翻时的初始动能为2
1
I A ω2,势能为mg (R-h ),上翻
到任意的θ位置时(如答图1-3-2),势能为mgR sin θ,动能为2)(21t I A d d θ,其中)(t
d d θ是圆筒上翻到θ位置时的角速度。于是 mg(R-h)+ 21I A ω2=mgR sin θ+2)(21t
I A d d θ
③
将上面ω的表达式代入③得
2)(t
d d θ=2222
)21(sin )(R v R h R g R h R g -+--θ
④
圆筒能滚上台阶的条件是:当θ=
2
π
时,)(t d d θ>0。将④与上述条件结合得
gh v R
h >-2
2)21( ⑤
圆筒上翻过程中不脱离A 点的条件是:N >0。 在圆筒上翻过程中,OA 方向的质心运动方程为
mg sin θ-N=ma n =mR 2)(t
d d θ
⑥
于是 N= mg sin θ- mR 2)(t d d θ=2 mg sin θ-mg(1-R
h
)-m 0)21(22>-
R v R h 上式表明N 是θ的函数,θ的最小值θmin 相对应于N 的最小值。由几何关系得
sin θmin =1-R
h
代入N 的表达式得
N min = 2mg(1-R h )- mg(1-R h )- m R v R h 22)21(-= mg(1-R h )- m R v R h 22)21(->0 或 g(1-R
h
)>R v R h 22)21(- ⑦ 由⑤和⑦得圆筒既不脱离A 点又能滚上台阶继续前进的条件: g(R-h)> 2
2)21(v R
h ->gh
或 2
22
22)2(4)2()(4h R ghR v h R h R gR ->>--
(2)由v 的条件还可得到对台阶高度h 的限制条件:
2
2
22)2(4)2()(4h R ghR h R h R gR ->--
即 h 1 ※ 四、解法一 取坐标系如答图1-4所示。取左棒为场源电荷。在左棒上取电荷元λ d x ,距原点为x ,它在右棒上距原点x ’处产生的场强 d E= 2 0) '(4x x x λ-πεd 方向沿x 轴正向,左棒上各电荷元产生的场强方向相同,所以左棒在x ’处的场强