测量平差[3]

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 4 = X C , X 5 = YC , X 6 = Z C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 7 = X D , X 8 = YD , X 9 = Z D
第七章
于是，误差方程为：
间接平差
ˆ ˆ v ΔX BC = − X 1 + X 4 − ΔX BC ˆ ˆ v ΔYBC = − X 2 + X 5 − ΔYBC ˆ ˆ v = − X + X − ΔZ
H 01 = H B + h2 = 5.053m p H 0 = H A + h7 = 8.452m p
2
H 0 = H C − h4 = 7.450m p
3
观测值见下表，试列出误差方程。 1 2
1.100
3
2.398
4
0.200
5
1.000
6
3.404
7
3.452
hi
0.050
第七章
间接平差
2、三角网误差方程 例如右图所示的大地四边形，其必要观测数为4，图 中待定点坐标也是4，故选：
ˆ v ΔZ AC = X 6 − Z A − ΔZ AC ˆ v ΔX AD = X 7 − X A − ΔX AD ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AD 8 A AD
ˆ ˆ v ΔX BD = − X 1 + X 7 − ΔX BD ˆ ˆ v ΔYBD = − X 2 + X 8 − ΔYBD ˆ ˆ v = − X + X − ΔZ
ˆ ˆ Yh − Y j − Li ˆ ˆ Xh − X j
第七章
线性近似：
间接平差
在按台劳级数展开，取至一次项，得
0 0 ⎛ ΔX 0 ⎛ ΔY jk ΔX 0 ⎞ ΔY jh ⎞ jk jh ˆ ˆ vi = ρ ′′⎜ 0 2 − 0 2 ⎟ x j − ρ ′′⎜ 0 2 − 0 2 ⎟ y j − ⎜ (S ) ⎜ (S ) ( S jh ) ⎟ ( S jh ) ⎟ jk jk ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0 0 ΔY jk ΔX 0 ΔY jh ΔX 0 jk jh ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ′′ 0 2 xk + ρ ′′ 0 2 y k + ρ ′′ 0 2 xh − ρ ′′ 0 2 y h − li ( S jk ) ( S jk ) ( S jh ) ( S jh )
ˆ ˆ ˆ ˆ vi = ( X i − X j ) 2 + (Yi − Y j ) 2 − Li
第七章
间接平差
5、GPS网三维无约束平差 在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 I 作为参考 点，则该点在WGS84系下的三维坐标 X i 、 Yi 、 Z i 可 看作已知数据，其余各点作为待定点。在WGS84系下，要 确定一个点的空间位置，需要X、Y、Z三个坐标分量，设 t = 3(m − 1) GPS网中的总点数为m个，则必要观测数 为 ，因此，可选 m-1 个点的坐标平差值 作为参数。 X A , YA , Z A 如图，以A点为参考点，即 已知，则t个 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 参数为：ˆ 1 = X B , X 2 = YB , X 3 = Z B X
ΔZ BD 3 9 BD
ˆ v ΔZ AD = X 9 − Z A − ΔZ AD
ˆ ˆ v ΔX CD = − X 4 + X 7 − ΔX CD ˆ ˆ v ΔYCD = − X 5 + X 8 − ΔYCD ˆ ˆ v = − X + X − ΔZ
ΔZ CD 6 9 CD
第七章
间接平差
6、坐标变换 不论是GPS， 还是GIS，还是 RS，都会经常用 到坐标变换。测 量中的坐标变换， 一般采用如图所 示的相似变换。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 = X C , X 2 = YC , X 3 = X D , X 4 = YD
第七章
间接平差
k S
i
j
ˆ ˆ ˆ ˆ vi = ( X k − X j ) 2 + (Yk − Y j ) 2 − S i
vi = −
ΔX 0 jk S
0 jk
ˆ xj −
0 ΔY jk
第七章
间接平差
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值作为 待估参数，即t=2m 。 h 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 地，角度观测值可由右图 表示，于是有：
j
Li k
ˆ ˆ v i = α jk − α jh
ˆ ˆ Yk − Y j = arctan − arctan ˆ ˆ Xk − X j
X
0 2
X
0 T 3
] = [100.078
100.099 101.266] ( m)
T
第七章
⎡− 1 1 ⎢ 0 −1 ⎢ ⎢− 1 0 V =⎢ 6,1 ⎢1 0 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 0 ⎣ 0⎤ ⎡3⎤ ⎢3⎥ 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢11⎥ 1⎥ ˆ− ⎢ ⎥ ⎥x 0⎥ 3,1 ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥ 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢0⎥ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ t1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ L1 − d1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ˆ t2 ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ L2 − d 2 ⎟ ˆ ⎟, x = ⎜ ⎟, l = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜L − d ⎟ ˆt ⎠ tn ⎟ n ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ n
第七章
2、随机模型
间接平差
间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即
xi = x0 + ik − qh yi = y0 + ig + ef
第七章
间接平差
由于两坐标系不是用同一个长度基准定义的，所以长度基准 不一定严格相等，即两坐标系的单位长度之比可能为： S = m ≠1 S′ 于是坐标系 x ′o ′y ′ 中的长度变换到坐标系 xoy 中时应乘以尺度比m。于是：x = x + mx ′ cos α − my ′ sin α
第七章
间接平差
水准网如图所示： 1、按条件平差列出误差方程。 2、选 P1 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 3、选 P1 和 P2 高程平差值为参数，列出全部条件方程。
第七章
间接平差
上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参 数之间相互独立时，附有参数的条件平差具有很简 洁的条件方程。这种简洁的条件方程描述了各观测 值的改正数与参数之间的关系，我们称这种关系为 误差方程。以误差方程为基础可得到一种新的平差 方法——间接平差。
2 2 D LL = σ 0 Q LL = σ 0 P −1 n× n n× n n× n
3、基础方程及其解
B T PV = 0⎫ ⎬ ˆ V = Bx − l ⎭
4、法方程 5、解向量
ˆ − B T Pl = 0 B PBx
T
−1 ˆ x = N BBW
ˆ V = B x− l
n×1 n×t t ×1
n×1
ˆ L = L +V
第七章
间接平差
ห้องสมุดไป่ตู้
例：选择独立、足够的参数
C = 2km P = diag [2 2 2 1 1 1]
T
1 0.023 1
2 1.114 1
3 1.142 1
4 0.079 2
5 0.099 2
6 1.210 2 h(m) S(km)
n=6, t=3, r=3
X = X
0
[
0 1
l i = Li − arctan
Yk0 − Y j0 X −X
0 k 0 j
+ arctan
Yh0 − Y j0
0 Xh − X 0 j
第七章
间接平差
3、三边网误差方程 在下图，我们选 误差方程
ˆ ˆ v1 = ( X A − X 3 ) 2 + (Y A − X 4 ) 2 − L1 ˆ ˆ v 2 = ( X B − X 3 ) 2 + (YB − X 4 ) 2 − L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 = ( X 1 − X 3 ) 2 + ( X 2 − X 4 ) 2 − L3 ˆ ˆ v 4 = ( X A − X 1 ) 2 + (Y A − X 2 ) 2 − L4 ˆ ˆ v5 = ( X B − X 1 ) 2 + (YB − X 2 ) 2 − L5
ΔZ BC 3 6 BC
ˆ v ΔX AB = X 1 − X A − ΔX AB ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AB 2 A AB
ˆ v ΔZ AB = X 3 − Z A − ΔZ AB ˆ v ΔX AC = X 4 − X A − ΔX AC ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AC 5 A AC
i 0 i i
y i = y 0 + my i′ cos α + mxi′ sin α
式中， x0 , y 0 , m , α 为待定参数。由于坐标观测值有 误差，于是坐标变换的误差方程可写为：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v xi = x0 + mxi′ cosα − myi′ sin α − xi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v yi = y0 + myi′ cosα + mxi′ sin α − yi
第七章
间接平差
三、选取参数的个数和原则
1、所选取t个待估参数必须相互独立； 2、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。
四、不同情况下的误差方程
1、水准网误差方程 2、方位角误差方程 • • 测方向坐标平差函数模型 测角网函数模型
3、测边网误差方程 4、GPS网误差方程
第七章
间接平差
1、水准网误差方程 例:水准网如图所示，已知 HA=5.000m， HB =3.953m， HC=7.650m。各点的近似高程为：
第七章
间接平差
一、间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为
ˆ V = B x− l
n×1 n×t t ×1
n×1
⎛ v1 ⎞ ⎛ a1 b1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ v2 ⎟ ⎜ a 2 b2 V = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜v ⎟ ⎜a b ⎝ n⎠ ⎝ n n
,
⎡100.075⎤ ˆ ˆ X = X 0 + x = ⎢100.099⎥ (m) ⎥ ⎢ ⎢101.214⎥ ⎦ ⎣
第七章
间接平差
二、间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2、列出误差方程； 3、组成法方程； 4、解算法方程； 5、计算改正数V； 6、计算观测值的平差值
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 = X C , X 2 = YC , X 3 = X D , X 4 = YD
第七章
于是，误差方程为：
间接平差
ˆ YB − YA X 2 − YA ˆ − arctan − L1 v1 = α AB −α AC = arctan ˆ XB − X A X1 − X A ˆ ˆ X 2 − YA X 4 − YA ˆ ˆ − arctan − L2 v2 = α AC −α AD = arctan ˆ ˆ X1 − X A X3 − X A ........ ˆ YA − YB X 4 − YB ˆ − arctan − L8 v8 = αBA −αBD = arctan ˆ X A − XB X3 − X B
第七章
间接平差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 线性化（变量代换法） v xi = x0 + mxi′ cosα − myi′ sin α − xi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v yi = y0 + myi′ cosα + mxi′ sin α − yi
S
0 jk
ˆ yj +
ΔX 0 jk S
0 jk
ˆ xk +
0 ΔY jk
S
0 jk
ˆ y k − li
li = S i − S 0 , S 0 = ( X k0 − X 0 ) 2 + (Yk0 − Y j0 ) 2 jk jk j
第七章
间接平差
4、导线网 导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m（m为 待定点个数），其观测值为角度观测值和边长观 测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和边 长误差方程两类。可以先列角度误差方程： ˆ ˆ ˆ ˆ Y j − Yi Yk − Yi ˆ ˆ vi = α ik − α ij = arctan − arctan − Li ˆ ˆ ˆ ˆ Xk − Xi X j − Xi 再列边长误差方程。
间接平差
⎡ 5 − 2 − 2⎤ BT PB = ⎢− 2 5 − 2⎥ ⎥ ⎢ ⎢− 2 − 2 5 ⎥ ⎦ ⎣
B
T
Pl
⎡ − 28 = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 28 ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡3 2 2⎤ 1⎢ −1 Nbb = ⎢2 2 2⎥ ⎥ 7 ⎢2 2 3⎥ ⎣ ⎦
⎡− 28⎤ ⎡− 4⎤ 1⎢ −1 T ˆ x = Nbb B Pl = ⎢ 0 ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 7 ⎢ 28 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦