2018届淮北一模理科数学试卷答案 (1)

2018届淮北市高三一模检测试题

数学 理科

一、选择题

二、填空题

13、6 14、1120 15、②⑤ 16

、

三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17、(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )3(cos -=. （Ⅰ）求A cos 的值；

（Ⅱ）若3=b ，点M 在线段BC 上，2=+

23=,求ABC ∆的面积. 解：（1）因为A b c B a cos )3(cos -= ，由正弦定理得：A B C B A cos )sin sin 3(cos sin -= 即

,

在中，，所以

（2），两边平方得：

由，，

得

解得：

所以

的面积

18.在如图所示的圆台中，CD AB ,分别是下底面O ,上底面圆O '的直径，满足CD AB ⊥,又DE

为圆台的一条母线，且与底面成角

3

π

（I ）若面BCD 与面ABE 的交线为l ，证明：CDE l 面//; (II)若CD AB 2=，求面BCD 与底面ABE 所成二面角的余弦值。

证明：（I ）ABE CD 面//⇒CD l //⇒CDE l 面//

(II) 连接OE BO OO ,',',则OE CD //,由CD AB ⊥所以OE AB ⊥,又B O '在底面的射影为OB ，由三垂线定理知：OE B O ⊥',所以CD B O ⊥'

所以'O BO ∠就是求面BCD 与底面ABE 所成二面角的平面角。

设4=AB ，由母线与底面成角3

π则2'2==D O OE ,2=DE ,2OB =,3'=OO

,

cos 'O BO ∠=

19.如图为2017淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人

（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n ；

（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n 名毕业生随机的分配往甲、乙、丙三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？

（Ⅲ）若90～95分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．

解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为： p 1=（0.04+0.03）×5=0.35， 此分数段的学员总数为21人， ∴毕业生的总人数N 为

N=

=60，

90～95分数段内的人数频率为：

p 2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1， ∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6． （Ⅱ）

183

32

2

2224=⋅A A C C

（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2， （横轴上面的字符小点）

15

6

)0(2

62402===C C C P ξ

15

8

)1(261

412=

==C C C P ξ

15

1

)2(2

60

422===C C C P ξ

所以随机变量ξ数学期望为

3

2151215811560)(=⨯+⨯+⨯

=ξE

20.已知椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C ，其左右焦点为21,F F ，过1F 直线03:=++my x l 与椭圆C 交

于B A ,

两点，且椭圆离心率e = （Ⅰ）求椭圆C 的方程

（Ⅱ） 若椭圆存在点M ,

使得OA OM 2=，求直线l 的方程

解：（Ⅰ）3=c

，e =且2

22c b a +=得1,2==b a ，1

14:22=+y x C

（Ⅱ）设),(),,(),,(332211y x M y x B y x A ,

由2=得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧+=+=21321

32

3212

3

21y y y x x x 代入椭圆方程： 012321232141221221=-+++）（）（y y x x ⇒1)4(8

341434141212122222121=+++++y y x x y x y x ）（）（ 042121=+y y x x

联立方程⎩⎨⎧=-+=++0

440

32

2y x m y x ⇒0132422=-++my y m ）（ ⇒41

,43222

1221+-=+-=

+m y y m m y y

2

12121214334y y my my y y x x +++=+））（（3)(3)4(21212

++++=y y m y y m ⇒22=m ⇒2±=m 所求直线l 的方程：032:=+±y x l .

21.设函数x a x x f ln 2

1)(2-=，其中R a ∈.

(1)若函数)(x f 在⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，求实数a 的取值范围；

(2)设正实数21,m m 满足121=+m m ，当0>a 时，求证：对任意的两个正实数21,x x ，总有

)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≤+成立；

（3）当2=a 时，若正实数321x x x ，，满足3321=++x x x ，求)()()(321x f x f x f ++的最小值。

解：1）由题意得0)(≥-

='x

a

x x f 对[)+∞∈∀,1x 恒成立，