2018届淮北一模理科数学试卷答案 (1)
2018年安徽省淮北市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
A．4
B．8
C．
D．
12． （5 分）若存在实数 x 使得关于 x 的不等式（ex﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤ 成立， 则实数 a 的取值范围是（ A．{ } B．{ } ） C．[ ，+∞） D．[ ，+∞）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13． （5 分）已知等差数列{an}前 15 项的和 S15＝30，则 a2+a9+a13＝ 14． （5 分）若 ．
的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该 ．
展开式中常数项的值为
15． （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，其导函数 f′（x）的图象如图所示， 则对于任意 x1，x2∈R（x1≠x2） ，下列结论正确的序号是
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①f（x）＜0 恒成立； ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0； ③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0； ④f（ ⑤f（ ）＞ ）＜
B．c＞a＞b
10． （5 分） 已知函数 f （x） ＝asinx﹣2
cosx 的一条对称轴为 x＝﹣ ） D．
•f（x2）＝﹣16，则|x1+x2|的最小值为（ A． B． C．
11． （5 分）对于向量 a，b，定义 a×b 为向量 a，b 的向量积，其运算结果为一 个向量，且规定 a×b 的模|a×b|＝|a||b|sinθ（其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角） ，a ×b 的方向与向量 a， b 的方向都垂直， 且使得 a， b， a×b 依次构成右手系． 如 图，在平行六面体 ABCD﹣EFGH 中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB ＝AD＝AE＝2，则 ＝（ ）
数学-安徽省淮北市2018届高三第二次(4月)模拟考试试题(理)
安徽省淮北市2018届高三第二次（4月）模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷一、选择题1．设集合{A x y ==，集合(){}lg 8B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．{}2x x ≤B ．{}2x x <C ．{}3x x ≤D ．{}3x x < 2．复数23ii+的共轭复数是(),a bi a b +∈R ，i 是虚数单位，则ab 的值是（ ） A ．6 B ．5 C ．-1 D ．-63．命题p ：若向量0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角；命题q ：若cos cos 1αβ⋅=，则()sin 0αβ+=.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∧D ．p q ∨ 4．已知等比数列{}n a 中，52a =，688a a =，则2018201620142012a a a a -=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入91m =，56n =，则输出m 的值为（ ）A ．0B ．3C ．7D ．146．设不等式组0x y x y y ⎧-≤⎪⎪+≥-⎨⎪≤⎪⎩M，函数y =x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（ ）A ．π4 B ．π8 C ．π16 D ．2π7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5 8．把函数πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()f x 的图象，已知函数()()211π,1213π321,12f x x ag x x x a x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩，则当函数()g x 有4个零点时a 的取值集合为（ ） A ．5π1π7π13π,,1,123121212⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭U U B ．5π1π7π13π,,1,123121212⎡⎫⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎪⎢⎢⎢⎣⎭⎣⎭⎣⎭U U C ．5π17π13π,,1231212⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U D ．5π1π,,112312⎡⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 9．若直线()00x ky k +=≠与函数()()()22112sin 21xxx f x --=+图象交于不同的两点,A B ，且点()9,3C ，若点(),D m n 满足DA DB CD +=uu u r uu u r uu u r，则m n +=（ ）A ．kB ．2C ．4D ．610．在平面四边形ABCD 中，2AD AB ==，CD CB ==，且A D A B ⊥，现将ABD∆沿着对角线BD 翻折成A BD '∆，则在A BD '∆折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A C '与平面BCD 所成角最大时的正弦值为（ ） ABC ．12 D．211．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以11A B 为直径的圆C 过点()2,3M -，则圆C 的方程为（ ） A ．()()22122x y ++-= B ．()()221117x y +++= C ．()()22115x y ++-= D ．()()221226x y +++=12．已知函数()3sin 4cos 1f x x x =++，实常数,,p q r 使得()()2018pf x qf x r ++=对任意的实数x ∈R 恒成立，则cos p r q +的值为（ ） A ．-1009 B ．0 C ．1009 D ．2018第Ⅱ卷二、填空题13．在ABC ∆中，三顶点的坐标分别为()3,A t ，(),1B t -，()3,1C --，ABC ∆为以B 为直角顶点的直角三角形，则t = ．14．已知随机变量X 的分布列如下表，又随机变量23Y X =+，则Y 的均值是 ．15．已知π2π2cos d a x x -=⎰，则二项式6x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是 ．16．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的2,,,n n n n a S a +∈N 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且()2ln nnnx b a=，若对任意的实数(]1,e x ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有()n T r r +<∈N ．则r 的最小值为 ． 三、解答题17． 如图，在ABC ∆中，2AB =，23sin 2cos 20B B --=，且点D 在线段BC 上．（Ⅰ）若3π4ADC ∠=，求AD 长；（Ⅱ）若2BD DC =，sin sin BADCAD∠=∠ABD ∆的面积．18． 在多面体ABCDEF 中，AF AD ⊥，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ∠=︒，AB CD ∥，2AD AF CD ===，4AB =. （Ⅰ）求证：平面ACE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C AF D --的余弦值．19． 大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史。
安徽省淮北市濉溪县2018届高三上学期第一次月考数学试
2018-2018学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x）}，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．设f（log2x）=2x（x＞0），则f（2）的值是（）A．128 B．16 C．8 D．2563．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b4．函数f（x）=log2的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=﹣x对称C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称5．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）6．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）7．已知函数，满足f（a）=3，则f（a﹣5）的值为（）A．log23 B．C．D．18．由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x2﹣x所围成的平面图形的面积为（）A．B．C．D．9．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．10．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞811．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．412．若f（x）=f1（x）=，f n（x）=f n﹣1[f（x）]（n≥2，n∈N*），则f（1）+f（2）+…+f （n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=（）A．n B． C． D．1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：．14．计算：（）+lg+lg70+=．15．已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．16．若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：（共5题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．19．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．20．已知f（x）=﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；（2）当a∈R时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3？21．已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2018-2018学年安徽省淮北市濉溪县高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x）}，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x）}∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C2．设f（log2x）=2x（x＞0），则f（2）的值是（）A．128 B．16 C．8 D．256【考点】对数的运算性质．【分析】根据题意令log2x=2，求出对应的函数的自变量的值，再代入函数解析式求解．【解答】解：由题意，令log2x=2，解得x=4，则f（log2x）=2x=24=16，故选B．3．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．4．函数f（x）=log2的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=﹣x对称C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数，再根据奇函数的性质可得函数f（x）的图象关于原点对称．【解答】解：∵函数f（x）=log2，∴＞0，求得﹣2＜x＜2，可得函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称．再根据f（﹣x）=log=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数，故函数的图象关于原点对称，故选：A．5．设，，是非零向量，已知命题p：若•=0，•=0，则•=0；命题q：若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【考点】复合命题的真假；平行向量与共线向量．【分析】根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，故选：A．6．设f（x）是一个三次函数，f′（x）为其导函数，如图所示的是y=x•f′（x）的图象的一部分，则f（x）的极大值与极小值分别是（）A．f（1）与f（﹣1） B．f（﹣1）与f（1）C．f（﹣2）与f（2）D．f（2）与f（﹣2）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数最值的应用．【分析】当x＜0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相反；当x＞0时，f′（x）的符号与x•f′（x）的符号相同，由y=x•f′（x）的图象得f′（x）的符号；判断出函数的单调性得函数的极值．【解答】解：由y=x•f′（x）的图象知，x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，2）时，f′（x）≤0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴当x=﹣2时，f（x）有极大值f（﹣2）；当x=2时，f（x）有极小值f（2）故选项为C7．已知函数，满足f （a ）=3，则f （a ﹣5）的值为 （ ）A ．log 23B ．C ．D ．1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】根据已知中分段函数的解析式，根据f （a ）=3，求出满足条件的a 值，进而判断a ﹣5与3的大小关系后，代入分段函数的解析式可得答案．【解答】解：若a ＞3，则f （a ）=log 2（x +1）=3，解得a=7，则a ﹣5=2≤3，f （a ﹣5）=f （2）=22﹣3+1=若a ≤3，f （a ）=2a ﹣3+1=3，解得a=4（舍去）综上f （a ﹣5）=故选C8．由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x 2﹣x 所围成的平面图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题意画出图形，如图所示，设所求的面积为S ，分为三部分：第一部分：在区间﹣2到0上，由曲线方程的定积分；第二部分：在区间0到1上，由0减曲线方程的定积分；在区间1到2上，由曲线方程的定积分，把求出的三个定积分的值相加即为所求的面积．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：设由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x 2﹣x 所围成的平面图形的面积为S ， 则S=∫20（x 2﹣x ）dx +∫01[0﹣（x 2﹣x ）]dx +∫12（x 2﹣x ）dx=（﹣）|﹣20+（﹣+）|01+（﹣）|12=+2﹣++﹣2﹣+=．故选B9．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是（）A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．10．已知f（x）=x3﹣3x+m，在区间[0，2]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（）A．m＞2 B．m＞4 C．m＞6 D．m＞8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）∵函数的定义域为[0，2]∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②由①②得到m＞6为所求．故选C11．设x，y∈R，且满足，则x+y=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的零点．【分析】根据条件，构造函数f（t）=t3+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．【解答】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．12．若f（x）=f1（x）=，f n（x）=f n[f（x）]（n≥2，n∈N*），则f（1）+f（2）+…+f﹣1（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=（）A．n B． C． D．1【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，依次求出f2（x）、f3（x）的解析式，分析可得f n（x）的解析式，又由f（n）=，计算可得f（n）+f n（1）=1，将f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n （1）变形为f（1）+f1（1）+f（2）+f2（1）+…f（n）+f n（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f2（x）=f1[f（x）]=，f3（x）=f2[f（x）]=，…分析可得，f n（x）=f n[f（x）]=，则f n（1）=，﹣1又由f（n）=，则f（n）+f n（1）=1，故f（1）+f（2）+…+f（n）+f1（1）+f2（1）+…+f n（1）=f（1）+f1（1）+f（2）+f2（1）+…f （n）+f n（1）=n，故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x∈R，x2=x．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x∈R，x2=x．故答案为：∃x∈R，x2=x．14．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．15．已知函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1，则tanx0=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导函数，确定切线的斜率，利用切线斜率为1，即可求得tanx0的值．【解答】解：求导函数，可得∵函数的图象在点A（x0，y0）处的切线斜率为1∴∴∴∴∴tanx0=故答案为：16．若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的“正函数”，若f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则实数k的取值范围是（﹣1，﹣）．【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，则f（a）=b，f（b）=a，建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+k+1=0在区间（﹣1，﹣）内有实数解进行求解．【解答】解：因为函数f（x）=x2+k是（﹣∞，0）上的正函数，所以a＜b＜0，所以当x∈[a，b]时，函数单调递减，则f（a）=b，f（b）=a，即a2+k=b，b2+k=a，两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即b=﹣（a+1），代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，由a＜b＜0，且b=﹣（a+1），∴a＜﹣（a+1）＜0，解得﹣1＜a＜﹣．故关于a的方程a2+a+k+1=0在区间（﹣1，﹣）内有实数解，记h（a）=a2+a+k+1，则h（﹣1）＞0，h（﹣）＜0，即1﹣1+k+1＞0且﹣+k+1＜0，解得k＞﹣1且k＜﹣．即﹣1＜k＜﹣．故答案为：（﹣1，﹣）．三、解答题：（共5题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．18．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值范围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f（x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值范围是（﹣∞，0]19．已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．【解答】解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3， +ln2）时，方程有两个不同解．20．已知f（x）=﹣（a+1）x2+4x+1（a∈R）（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；（2）当a∈R时，讨论函数的单调增区间；（3）是否存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3？【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）写出a=﹣1的函数解析式，再求导，分别令大于0，小于0，得到单调区间；（2）求出导数，分解因式，对a讨论，分a=0，a＜0，0＜a＜1，a=1，a＞1五种情况，求出单调增区间；（3）假设存在负实数a，使x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．再由a≥﹣2，a≤﹣2，讨论单调区间，得到最小值，再解出a，检验，即可得到答案．【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x3+4x+1，f′（x）=﹣x2+4，由f′（x）＜0，解得x＞2或x＜﹣2；由f′（x）＞0，解得﹣2＜x＜2，故函数的单调减区间为：（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调增区间为：（﹣2，2）；（2）f ′（x ）=ax 2﹣2（a +1）x +4=（ax ﹣2）（x ﹣2），①当a=0，由f ′（x ）＞0得到x ＜﹣2，即增区间为（﹣∞，﹣2）；②当a ＜0，f ′（x ）＞0，得到＜x ＜2，即增区间为（，2）；③当0＜a ＜1，f ′（x ）＞0，得到x ＞或x ＜2，即增区间为（﹣∞，2），（，+∞）， ④当a=1，f （x ）=（x ﹣2）2≥0，即增区间为（﹣∞，+∞）；⑤当a ＞1，f ′（x ）＞0，得到x ＜或x ＞2，即增区间为（2，+∞），（﹣∞，）． （3）假设存在负实数a ，使x ∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．因a ＜0，由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[﹣1，0]上是分类“契机”）：①当≤﹣1⇔a ≥﹣2，当x ∈[﹣1，0）⊆（，2），f （x ）递增，f （x ）min =f （﹣1）=﹣3，即﹣（a +1）﹣3=﹣3，解得a=﹣＞﹣2；②当≥﹣1⇔a ≤﹣2，由单调性知：f （x ）min=f （）=﹣3，化简得：3a2+3a ﹣1=0，解得 a=＞﹣2，不合要求．综上，存在这样的负数a ，且a=﹣为所求．21．已知a ≥3，函数F （x ）=min {2|x ﹣1|，x 2﹣2ax +4a ﹣2}，其中min （p ，q ）=（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围 （Ⅱ）（i ）求F （x ）的最小值m （a ）（ii ）求F （x ）在[0，6]上的最大值M （a ）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）由a ≥3，讨论x ≤1时，x ＞1，去掉绝对值，化简x 2﹣2ax +4a ﹣2﹣2|x ﹣1|，判断符号，即可得到F （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）设f （x ）=2|x ﹣1|，g （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2，求得f （x ）和g （x ）的最小值，再由新定义，可得F （x ）的最小值；（ii ）分别对当0≤x ≤2时，当2＜x ≤6时，讨论F （x ）的最大值，即可得到F （x ）在[0，6]上的最大值M （a ）． 【解答】解：（Ⅰ）由a ≥3，故x ≤1时， x 2﹣2ax +4a ﹣2﹣2|x ﹣1|=x 2+2（a ﹣1）（2﹣x ）＞0；当x ＞1时，x 2﹣2ax +4a ﹣2﹣2|x ﹣1|=x 2﹣（2+2a ）x +4a=（x ﹣2）（x ﹣2a ）， 则等式F （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2成立的x 的取值范围是[2，2a ]； （Ⅱ）（i ）设f （x ）=2|x ﹣1|，g （x ）=x 2﹣2ax +4a ﹣2， 则f （x ）min =f （1）=0，g （x ）min =g （a ）=﹣a 2+4a ﹣2．由﹣a 2+4a ﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．2018年11月14日。
安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学(理)试题(精品解析)
安徽省淮北市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：由全称命题的否定为特称命题可知：，的否定为，，故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．2.抛物线的准线方程是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：抛物线的准线方程是：．故选：B．直接利用抛物线方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．3.已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别为A. 2，B. 4，3C. 4，D. 2，1【答案】B【解析】解：，，，的平均数是2，则．数据，，，，的平均数是：，，．故选：B．本题可将平均数和方差公式中的x换成，再化简进行计算．本题考查的是方差和平均数的性质设平均数为，方差为则；．4.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据单位：，可知此几何体的体积是A. B.C. D.【答案】B【解析】集体：由题意可得，几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为4，所以几何体的体积为：故选：B．判断几何体的形状，画出直观图，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，三视图的应用，是基本知识的考查．5.曲线与曲线的A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等【答案】D【解析】解：由曲线得，，得，．椭圆的焦点坐标为；由曲线的可知该曲线为焦点在y轴上的椭圆，且，，得，．椭圆的焦点坐标为．曲线与曲线的有相同的焦点焦距相等．故选：D．由两曲线方程分别求出焦点坐标得答案．本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，是基础题．6.已知变量x和y之间的几组数据如表若根据上表数据所得线性回归方程为，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】解：根据上表数据，计算，，代入线性回归方程中，计算．故选：C．根据上表数据计算、，代入线性回归方程中求得m的值．本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出k的值为3．故选：B．根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算n的值并输出相应变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题．8.若变量x，y满足，则的最大值是A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，，，，联立，解得．，的最大值是10．故选：C．由约束条件作出可行域，然后结合的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得的最大值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．9.下列说法中正确的是A. 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B. 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C. 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台【答案】D【解析】解：由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形，侧面展开图只能为平行四边形构成，且上下边不平行，故A错误；由直观图的画法，以及平行性不变，可得B错误；一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，该直四棱柱不一定是长方体，还要看俯视图是不是矩形，故C错误；由定义可得，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，故D正确．故选：D．由侧面展开图可判断A；由直观图的画法和性质可判断B；由三视图可判断C；由圆台的定义可判断D．本题考查多面体的定义和运用，以及直观图和侧面展开图的画法，考查判断能力和空间想象能力，属于基础题．10.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题《张丘建算经》成书约公元5世纪卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布已知第一天织5尺，经过一个月按30天计后，共织布九匹三丈问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？注：1匹丈，1丈尺那么此问题的答案为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】D【解析】解：设每天多织布d尺，由题意每天织布的量是等差数列，且，得：，解得，故选：D．设每天多织布d尺，利用等差数列前n项和公式列出方程，能求出结果．本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11.函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象A. 向右平移长度单位B. 向左平移长度单位C. 向左平移长度单位D. 向右平移长度单位【答案】D【解析】解：由图象知，，即，即，即，即，由五点对应法知，即，则，，只需将函数的图象向右平移长度单位，即可得到的图象，故选：D．根据函数图象确定A，和的值，利用三角函数的图象变换关系进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数图象变换关系，求出函数的解析式是解决本题的关键．12.设双曲线C：的左、右焦点分别为，，，过作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令代入双曲线的方程可得，由，可得，即为，即有又恒成立，由双曲线的定义，可得恒成立，由，P，Q共线时，取得最小值，可得，即有由，结合可得，e的范围是故选：B．将代入双曲线的方程，求得A的纵坐标，由，结合a，b，c和离心率公式可得e的范围；再由双曲线的定义和恒成立思想，讨论，P，Q共线时，取得最小值，结合离心率公式可得e的范围，再由，取交集即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在长方体中，，，，则直线与平面ABCD所成角的大小为______．【答案】【解析】解：连接AC，则为直线与平面ABCD所成角，，，，故答案为：连接AC，则为直线与平面ABCD所成角，从而可得结论．本题考查线面角，考查学生的计算能力，属于中档题．14.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．【答案】【解析】解：非零向量，满足，且，设与的夹角为，则，，，故答案为：．利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得与的夹角的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．15.已知动点，，动点P在抛物线上运动，则取得最小值时的点P的坐标是______．【答案】【解析】解：由点P在抛物线上移动，设点P的坐标为，、，，，根据向量数量积的公式，可得，，且，当且仅当时即P坐标为时，等号成立．即当点P与原点重合时的最小值为8．故答案为：．根据题意，点P的坐标为，从而得到向量、关于t的坐标形式，算出再根据平方非负的性质加以计算，可得当点P与原点重合时的最小值为8，求得此时P的坐标．本题给出定点A、B的坐标与抛物线上的动点P，求的最小值，着重考查了向量数量积的坐标公式、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．16.下列命题中已知点，，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆；已知，，，则动点P的轨迹是双曲线右边一支；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；在平面直角坐标系内，到点和直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是椭圆．正确的命题是______．【答案】【解析】解：中，，根据，化简得：，所以点P的轨迹是个圆；因为，所以根据双曲线的定义，P点的轨迹是双曲线右支，正确；根据相关性定义，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，正确；因为点在直线上，不符合抛物线定义，错误；因为，且当时取等号，不符合椭圆的定义，错误综上正确的是．故答案为：．求出轨迹方程判断的正误；利用双曲线的定义判断的正误；线性相关的定义判断的正误；利用哦王孝的定义判断的正误；椭圆的定义判断的正误．本题考查命题的直接的判断与应用，轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，的面积为，M为BC的中点，求AM．【答案】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．．由正弦定理，得，即．又由余弦定理，得．，．由，，可得：，，可得：，又，可得：，解得：，，为BC的中点，，．【解析】推导出，由正弦定理，得由余弦定理得，结合C的范围即可求出．由已知可得，利用三角函数的定义可求，利用三角形面积公式可求b，c的值，根据勾股定理即可解得AM的值．本题考查考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题．18.设p：实数x满足，其中；q：实数x满足．若，且为真，求实数x的取值范围；若￢是￢的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：由得，又，所以，当时，，即p为真时，实数x的范围是由q为真时，实数x的范围是，若为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是．￢：或，￢：或，由￢是￢的充分不必要条件，有得，显然此时￢￢，即a的取值范围为．【解析】运用真值表判断命题真假即可；运用充分必要条件的判断可解出．本题考查充分必要条件和命题真假的判断．19.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．求图中a的值；根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如表所示，求数学成绩在之外的人数．【答案】解：依题意得，，解得；这100名学生语文成绩的平均分为：分；数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，数学成绩在的人数为：，所以数学成绩在之外的人数为：．【解析】由频率分布直方图的性质可，解方程即可得到a的值；由平均数加权公式可得平均数为，计算出结果即得；按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在之外的人数．本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．20.如图，在四棱锥中，，，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，，，，．求证：平面底面ABCD；设，若二面角的平面角的大小为，试确定t的值．【答案】证明：是AD的中点，则四边形BCDQ为平行四边形，从而分，，Q是AD的中点，又，，，即，又，平面PAD平面底面分解：，Q为AD的中点，．平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则面BQC的法向量为0，；0，，0，，，．设y，，则y，，，，，则，即，，，在平面MBQ中，，，设平面MBQ的一个法向量q，，由，即，取，得．平面MBQ法向量为0，．二面角的平面角的大小为，解得分．【解析】根据面面垂直的判定定理证明即可；由，Q为AD的中点，得结合可得平面以Q为原点建立空间直角坐标系然后求出平面BQC的一个法向量，再由把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角的平面角的大小为求得t的值本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．21.已知数列满足：，．设，求数列的通项公式；求数列的前n项和．【答案】解：由可得，又由得，累加法可得：，化简并代入得：；由可知，设数列的前n项和，则可得，则，前n项和．【解析】由条件可得，即有，由累加法，结合等比数列的求和公式，可得所求通项公式；由可知，设数列的前n项和，运用错位相减法，结合等差数列、等比数列的求和公式，以及分组求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列恒等式和等比数列的求和公式的运用，考查错位相减法求和，以及分组求和，化简整理的运算能力，属于中档题．22.已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点，且焦距为2，过点分别作斜率为，的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．求椭圆的标准方程；当，直线MN是否恒过定点？如果是，求出定点坐标如果不是，说明理由．【答案】解：由题意知设右焦点．，分，．椭圆方程为分由题意，设，直线AB：，即代入椭圆方程并化简得，分，分同理，分当时，直线MN的斜率，分直线MN的方程为分又化简得，此时直线过定点当时，直线MN即为y轴，也过点分综上，直线过定点【解析】由题意知设右焦点可得，，即可得出由题意，设，直线AB：，即代入椭圆方程并化简可得：M，N的坐标当时，直线MN的斜率与直线MN的方程，又化简得，此时直线过定点即可得出．本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、直线经过定点，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018年高考理科数学模拟试卷(共三套)(含答案)
2018年高考理科数学模拟试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合S={1，2}，设S的真子集有m个，则m=（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知i为虚数单位，则的共轭复数为（）A．﹣+i B． +i C．﹣﹣i D．﹣i3．已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．4．在（x﹣）10的二项展开式中，x4的系数等于（）A．﹣120 B．﹣60 C．60 D．1205．已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d，若f（x）=2017﹣（x﹣a）（x﹣b）的零点为c，d，则下列不等式正确的是（）A．a＞c＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞d＞a＞b D．c＞a＞b＞d6．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率π，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候π的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），则输出n的值为（）A．48 B．36 C．30 D．247．在平面区域内随机取一点（a，b），则函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A． B．C．D．8．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面积为1+．则b的最小值为（）A．2 B．3 C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．3010．已知常数ω＞0，f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx图象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为，若f（x0）=，≤x0≤，则cos2x0=（）A．B．C．D．11．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，则sinθ=（）A． B．C．D．12．抛物线M的顶点是坐标原点O，抛物线M的焦点F在x轴正半轴上，抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，设A是抛物线M上的一点，若•=﹣4，则点A的坐标是（）A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2） D．（1，﹣2）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．某校1000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．14．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为．15．计算=（用数字作答）16．已知f（x）=，若f （x﹣1）＜f（2x+1），则x的取值范围为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由．18．云南省20XX年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．（1）求证：AM⊥SD；（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，求四棱锥S﹣ABCD的体积．20．已知椭圆E的中心在原点，焦点F1、F2在y轴上，离心率等于，P 是椭圆E上的点，以线段PF1为直径的圆经过F2，且9•=1．（1）求椭圆E的方程；（2）做直线l与椭圆E交于两个不同的点M、N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求l的倾斜角的取值范围．21．已知e是自然对数的底数，实数a是常数，函数f（x）=e x﹣ax﹣1的定义域为（0，+∞）．（1）设a=e，求函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=ln（e x+x3﹣1）﹣lnx，若∀x＞0，f（g（x））＜f（x），求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线L的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）直接写出直线L的极坐标方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵集合S={1，2}，∴S的真子集的个数为：22﹣1=3．故选：B．2．解：∵=，∴的共轭复数为．故选：C．3．解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．==（﹣1）r x10﹣2r，4．解：通项公式T r+1令10﹣2r=4，解得r=3．∴x4的系数等于﹣=﹣120．故选：A5．解：由题意设g（x）=（x﹣a）（x﹣b），则f（x）=2017﹣g（x），所以g（x）=0的两个根是a、b，由题意知：f（x）=0 的两根c，d，也就是g（x）=2017 的两根，画出g（x）（开口向上）以及直线y=2017的大致图象，则与f（x）交点横坐标就是c，d，f（x）与x轴交点就是a，b，又a＞b，c＞d，则c，d在a，b外，由图得，c＞a＞b＞d，故选D．6．解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：D．7．解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x=﹣≤1，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S1=××4=，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为=，故选：B．8．解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，∴cosBsinC=sinCsinB，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴cosB=sinB，即tanB=1，∵B∈（0，π），∴B=，=acsinB=ac=1+，∵S△ABC∴ac=4+2，由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=4，当且仅当a=c时取“=”，∴b的最小值为2．故选：A．9．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，其底面面积S=×3×4=6，棱柱的高为：5，棱锥的高为3，故组合体的体积V=6×5﹣×6×3=24，故选：C10．解：由f（x）=﹣1+2sinωxcosωx+2cos2ωx，化简可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）∵对称中心得到对称轴的距离的最小值为，∴T=π．由，可得：ω=1．f（x0）=，即2sin（2x0+）=∵≤x0≤，∴≤2x0+≤∴sin（2x0+）=＞0∴cos（2x0+）=．那么：cos2x0=cos（2x0+﹣）=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=故选D11．解：如图所示：由已知得球的半径为2，AC为球O的直径，当三棱锥P﹣ABC的体积最大时，△ABC为等腰直角三角形，P在面ABC上的射影为圆心O，过圆心O作OD⊥AB于D，连结PD，则∠PDO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，在△ABC△中，PO=2，OD=BC=，∴，sinθ=．故选：C12．解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化为（x﹣3）2+（y+2）2=16，圆心坐标为（3，﹣2），半径为4，∵抛物线M的准线与曲线x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一个公共点，∴3+=4，∴p=2．∴F（1，0），设A（，y0）则=（，y0），=（1﹣，﹣y0），由•=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14．解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），当x=c时代入双曲线﹣=1得y=±，则A（c，），B（c，﹣），则AB=，将x=c代入y=±x得y=±，则C（c，），D（c，﹣），则|CD|=，∵|AB|≥|CD|，∴≥•，即b≥c，则b2=c2﹣a2≥c2，即c2≥a2，则e2=≥，则e≥．故答案为：[，+∞）．15．解：由===．故答案为：．16．解：∵已知f（x）=，∴满足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）为偶函数，f（x）在[0，+∞）上单调递增．若f（x﹣1）＜f（2x+1），则|x﹣1|＜|2x+1|，∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，故答案为：{x|x＞0，或x＜﹣2}．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）∵当n≥2时，a n=2a n S n﹣2S n2，∴a n=，n≥2，∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）=2S n2，∴S n﹣S n﹣1=2S n S n﹣1，∴﹣2，n≥2，∴数列{}是以=1为首项，以2为公差的等差数列，∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣，∵a1=S1=1，∴a n=，（2）设f（n）=，则==＞1，∴f（n）在n∈N*上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，∵f（n）min=f（1）=，∴0＜k≤18．解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，乙校的合格率P2==96%．可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：X0123PE（X）=0+1×+2×+3×=．19．证明：（1）∵SB=SC，M是BC的中点，∴SM⊥BC，∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，∴SM⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴SM⊥AM，∵底面ABCD是矩形，M是BC的中点，AB=1，BC=2，∴AM2=BM2==，AD=2，∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，∵SD⊂平面DMS，∴AM⊥SD．解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M为原点，MC为x轴，MS为y轴，过M作平面BCS的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设SM=t，则M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），A（﹣1，0，1），=（0，0，1），=（1，t，0），=（﹣1，0，1），=（0，t，0），设平面ABS的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，0），设平面MAS的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，0，1），设二面角B﹣SA﹣M的平面角为θ，∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值为，∴sinθ=，cosθ==，∴cosθ===，解得t=，∵SM⊥平面ABCD，SM=，∴四棱锥S﹣ABCD的体积：V S﹣=== ABCD．20．解：（1）由题意可知：设题意的方程：（a＞b＞0），e==，则c=a，设丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，则m+n=2a，线段PF1为直径的圆经过F2，则PF2⊥F1F2，则n2+（2c）2=m2，9m•n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=，解得：a=3，c=，则b==1，∴椭圆标准方程：；（2）假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x=﹣平分，∴直线l的斜率存在．设直线l：y=kx+m，则由消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0∵l与椭圆交于不同的两点M，N，∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣∴=﹣=﹣，∴m=②把②代入①式中得（）2﹣（k2+9）＜0∴k＞或k＜﹣，∴直线l倾斜角α∈（，）∪（，）．21．解：（1）a=e时，f（x）=e x﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，f′（x）=e x﹣e，可得f′（1）=0，故a=e时，函数f（x）在切点（1，f（1））处的切线方程是y=﹣1；（2）f（x）=e x﹣ax﹣1，f′（x）=e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；当a＞0时，令f′（x）=e x﹣a=0，得x=lna，则f（x）在（﹣∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（3）设F（x）=e x﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣1，∵x=0时，F′（x）=0，x＞0时，F′（x）＞0，∴F（x）在[0，+∞）递增，∴x＞0时，F（x）＞F（0），化简得：e x﹣1＞x，∴x＞0时，e x+x3﹣1＞x，设h（x）=xe x﹣e x﹣x3+1，则h′（x）=x（e x﹣ex），设H（x）=e x﹣ex，H′（x）=e x﹣e，由H′（x）=0，得x=1时，H′（x）＞0，x＜1时，H′（x）＜0，∴x＞0时，H（x）的最小值是H（1），x＞0时，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，∴h′（x）≥0，可知函数h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，化简得e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，x＜e x+x3﹣1＜xe x，∴x＞0时，lnx＜ln（e x+x3﹣1）＜lnx+x，即0＜ln（e x+x3﹣1）﹣lnx＜x，即x＞0时，0＜g（x）＜x，当a≤1时，由（2）得f（x）在（0，+∞）递增，得f（g（x））＜f（x）满足条件，当a＞1时，由（2）得f（x）在（0，lna）递减，∴0＜x≤lna时，f（g（x））＞f（x），与已知∀x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，综上，a的范围是（﹣∞，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．解：（Ⅰ）直线L的参数方程为（t为参数），普通方程为2x+y﹣6=0，极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，曲线C的极坐标方程为ρ=，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲线C 的普通方程为=1；（Ⅱ）曲线C上任意一点P（cosθ，2sinθ）到l的距离为d=|2cosθ+2sinθ﹣6|．则|PA|==|2sin（θ+45°）﹣6|，当sin（θ+45°）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．2018年高考理科数学模拟试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，则（∁R A）∩B 等于（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|﹣2＜x＜1}D．{x|﹣2＜x≤﹣1或2≤x＜3}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=2﹣x﹣2x D．f（x）=﹣tanx 4．已知“x＞2”是“x2＞a（a∈R）”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（4，+∞）C．（0，4]D．（﹣∞，4]5．已知角α是第二象限角，直线2x+（t anα）y+1=0的斜率为，则cosα等于（）A． B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为（）A．16 B．8 C．4 D．27．（﹣）8的展开式中，x的系数为（）A．﹣112 B．112 C．56 D．﹣568．在△ABC中，∠A=60°，AC=3，面积为，那么BC的长度为（）A．B．3 C．2D．9．记曲线y=与x轴所围成的区域为D，若曲线y=ax（x ﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为m e，众数为m0，平均值为，则（）A．m e=m0=B．m e=m0＜C．m e＜m0＜D．m0＜m e＜11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为（）A．20+8B．44 C．20 D．4612．函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于y轴对称，则以下判断不正确的是（）A．是奇函数 B．为f（x）的一个对称中心C．f（x）在上单调递增D．f（x）在（0，）上单调递减二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．15．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为．16．已知向量，的夹角为θ，|+|=2，|﹣|=2则θ的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S6=51，a5=13．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的通项公式是b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放同袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和数学期望．19．在三棱椎A﹣BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2，在底面BCD内作CE ⊥CD，且CE=．（1）求证：CE∥平面ABD；（2）如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1）．（1）求椭圆C的方徎；（2）若动点P在直线l：x=﹣2上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM=PN，再过P作直线l′⊥MN，直线l′是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．21．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx（m≥1）．（1）求证：函数f（x）在定义域内存在单调递减区间[a，b]；（2）是否存在实数m，使得曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC 的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x0y中，动点A的坐标为（2﹣3sinα，3cosα﹣2），其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos （θ﹣）=a．（Ⅰ）判断动点A的轨迹的形状；（Ⅱ）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=2，解不等式f（x）≥2；（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．2．解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，集合B={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜3}，∴（C R A）∩B={x|x≤﹣2或x≥1}∩{x|﹣2＜x＜3}={x|1≤x＜3}．故选：A．3．解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2﹣x﹣2x既是奇函数又是减函数；D中，f（x）=﹣tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C．4．解：由题意知：由x＞2能得到x2＞a；而由x2＞a得不出x＞2；∵x＞2，∴x2＞4；∴a≤4；∴a的取值范围是（﹣∞，4]．故选：D．5．解：由题意得：k=﹣=，故tanα=﹣，故cosα=﹣，故选：D．6．解：开始条件i=2，k=1，s=1，i＜8，开始循环，s=1×（1×2）=2，i=2+2=4，k=1+1=2，i＜8，继续循环，s=×（2×4）=4，i=6，k=3，i＜8，继续循环；s=×（4×6）=8，i=8，k=4，8≥8，循环停止，输出s=8；故选B：=（﹣2）r C8r x4﹣r，7．解：（﹣）8的展开式的通项为T r+1令4﹣r=1，解得r=2，∴展开式中x的系数为（﹣2）2C82=112，故选：B．8．解：在图形中，过B作BD⊥ACS△ABC=丨AB丨•丨AC丨sinA，即×丨AB丨×3×sin60°=，解得：丨AB丨=2，∴cosA=，丨AD丨=丨AB丨cosA=2×=1，sinA=，则丨BD丨=丨AB丨sinA=2×=，丨CD丨=丨AC丨﹣丨AD丨=3﹣1=2，在△BDC中利用勾股定理得：丨BC丨2=丨BD丨2+丨CD丨2=7，则丨BC丨=，故选A．9．解：由y=得（x﹣1）2+y2=1，（y≥0），则区域D表示（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，而曲线y=ax（x﹣2）（a＜0）把D的面积均分为两等份，∴=，∴（﹣ax2）=，∴a=﹣，故选：B．10．解：根据题意，由题目所给的统计图可知：30个得分中，按大小排序，中间的两个得分为5、6，故中位数m e=5.5，得分为5的最多，故众数m0=5，其平均数=≈5.97；则有m0＜m e＜，故选：D．11．解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．12．解：把函数f（x）=2sin（2x++φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=2sin（2x++φ+π）=﹣2sin（2x++φ）的图象，再根据所得关于y轴对称，可得+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x++φ）=2cos2x．由于f（x+）=2cos（2x+）=﹣sin2x是奇函数，故A正确；当x=时，f（x）=0，故（，0）是f（x）的图象的一个对称中心，故B正确；在上，2x∈（﹣，﹣），f（x）没有单调性，故C不正确；在（0，）上，2x∈（0，π），f（x）单调递减，故D正确，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A时，直线在y 轴上的截距最小，z有最大值为6．故答案为：6．14．解：由三视图得到几何体如图：其体积为；故答案为：15．解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：﹣=1（a＞0，b ＞0）一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴，∴2b=a，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3，∴c2+4=9，∴c=，∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为﹣x2=1．故答案为：﹣x2=1．16．解：由|+|=2，|﹣|=2，可得：+2=12，﹣2=4，∴=8≥2，=2，∴cosθ=≥．∴θ∈．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∵S6=51，∴×（a1+a6）=51，∴a1+a6=17，∴a2+a5=17，∵a5=13，∴a2=4，∴d=3，∴a n=a2+3（n﹣2）=3n﹣2；（2）b n==﹣2•8n﹣1，∴数列{b n}的前n项和S n==（8n﹣1）．18．解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A．∴第一次取到偶数球的概率为=，第二次取球时袋中有三个奇数，∴第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，∴P（A）=×=．（2）若第一次取到2时，第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4时，第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．∴X的可能取值为3，5，6，7，∴P（X=3）=×=，P（X=5）=×+×=，P（X=6）=×+×=，P（X=7）=×=，∴X的分布列为：X3567P数学期望EX=3×+5×+6×+7×=．19．（1）证明：∵BD=CD=2，BC=4，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD，∵CE⊥CD，∴CE∥BD，又CE⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CE∥平面ABD；（2）解：如果二面角A﹣BD﹣C的大小为90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，∴AD⊥CE，又CE⊥CD，∴CE⊥平面ACD，从而CE⊥AC，由题意AD=DC=2，∴Rt△ADC中，AC=4，设AC的中点为F，∵AB=BC=4，∴BF⊥AC，且BF=2，设AE中点为G，则FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，∴∠BFG为二面角B﹣AC﹣E的平面角，连接BG，在△BCE中，∵BC=4，CE=，∠BCE=135°，∴BE=，在Rt△DCE中，DE==，于是在Rt△ADE中，AE==3，在△ABE中，BG2=AB2+BE2﹣AE2=，∴在△BFG中，cos∠BFG==﹣，∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为﹣．20．解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为．且过点（3，﹣1），∴，解得a2=12，b2=4，∴椭圆C的方程为．（2）∵直线l的方程为x=﹣2，设P（﹣2，y0），，当y0≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知x1≠x2，联立，∴，∴，又∵PM=PN，∴P为线段MN的中点，∴直线MN的斜率为，又l′⊥MN，∴l′的方程为，即，∴l′恒过定点．当y0=0时，直线MN为，此时l′为x轴，也过点，综上，l′恒过定点．21．（1）证明：令f′（x）=0，得mx2﹣（m+2）x+1=0．（*）因为△=（m+2）2﹣4m=m2+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b （a＜b）．因为m≥1，所以a+b=＞0，ab=＞0，所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）≤0的解为[a，b]．故函数f（x）存在单调递减区间；（2）解：因为f′（1）=﹣1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=﹣x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx=﹣x+2有且只有一个实根．显然x=1是该方程的一个根．令g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，则g′（x）=．当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m＞1时，令g′（x）=0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g（x）在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g（x2）＞g（x1）=0，又当x→0时，g（x）→﹣∞，所以函数g（x）在（0，）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C 有且只有一个公共点．[选修4-1：几何证明选讲]22．解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD•DC=AD•DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．解：（Ⅰ）设动点A的直角坐标为（x，y），则，利用同角三角函数的基本关系消去参数α可得，（x﹣2）2+（y+2）2=9，点A的轨迹为半径等于3的圆．（Ⅱ）把直线C方程为ρcos（θ﹣）=a化为直角坐标方程为+=2a，由题意可得直线C与圆相切，故有=3，解得a=3 或a=﹣3．[选修4-5：不等式选讲]24．解：（1）当a=2时，，由于f（x）≥2，则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤；②当1≤x≤1时，1≥2，无解；③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）．2018年高考理科数学模拟试卷（三）（考试时间120分钟满分150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（）A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．[2，4]D．（2，4]3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgD．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小4．已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（）+mA．40 B．35 C．12 D．55．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（）A．2 B．4 C．8 D．167．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（）A．﹣1 B．﹣C．﹣D．﹣38．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（）A．94.20元 B．240.00元C．282.60元D．376.80元9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（）A．B． C． D．2π10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（）A．B．C．D．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（）A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣e，e）C．（﹣1，1）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=．14．有下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有（填写所有正确命题的编号）．15．若等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=．16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．（1）求角A的大小；（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆12345借（还）书等待时间T1（分钟）频数1500 1000 500 500 1500乙图书馆12345借（还）书等待时间T2（分钟）频数100050020001250250以表中等待时间的学生人数的频率为概率．（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B ﹣DE﹣F的余弦值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（ii）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．解：∵z（1﹣i）2=1+i，∴，故选：C．2．解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x ≤4}=[1，4]；B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），则A∩B=（2，4]．故选：D．3．解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．故选：A．4．解：数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，则S n+1=S n+S1=S n+5．可得a n+1=5．则a8=5．故选：D．5．解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，∴b＞a＞c．故选：B．6．解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，故选：D．7．解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．故选：A．8．解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．故选：C．9．解：f（x）=2sin（x+）﹣t，令f（x）=0得sin（x+）=，做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，∴=sin=，解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．∴三个零点之和为0+2π+=．故选：B．10．解：由题意得：p===，故选：B．11．C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是z=0.4x+0.3y由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，由可得A（50，100），此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，故选：C．12．解：函数f（x）为“复合5解“，∴f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），∴f（t）=2，∵当x＞0时，f（x）=，∴f（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min=f（1）=1，∴t≥1，∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，∴t≥3∵f（3）=＞2，∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，则•=﹣•=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．14．解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④15．解：∵等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．∴a n==．∴=．则++…+=3×==1﹣．故答案为：1﹣．16．解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，∴﹣+1=0，∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=即cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，cosA==，解得：c=1，b=∴△ABC的面积S=bcsinA=．18．解：（1）根据已知可得T1的分布列：T1（分钟）12345P0.30.20.10.10.3T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．T2（分钟）12345P0.20.10.4 0.250.05T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．。
安徽省淮北市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)含答案
B ． xx 2
C ． xx 3
D ． xx 3
2
2．复数
3i
的共轭复数是
a
bi a,b
R ， i 是虚数单位，则
ab 的值是（
i
A． 6 B ． 5 C ． -1 D ．-6
rr
rr
3．命题 p ：若向量 a b 0 ，则 a 与 b 的夹角为钝角；命题 q ：若 cos cos
）
1 ，则
sin
A． p
淮北市 2018 届高三第二次模拟考试 数学理科 试题卷 第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．设集合 A x y 6 2x ，集合 B x y lg 8 x ，则 A I B （ ）
A． x x 2
）
）
m 91 ， n 56 ，
A． 0 B ． 3 C ． 7 D ．14
6．设不等式组
x y 22 x y 2 2 所表示的区域为 M ，函数 y y0
4 x2 的图象与 x轴所围成
的区域为 N ，向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为（
）
A．
4
B．
C．
8
16
D
．2
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
A, B ，
A． k
B ．2 C ．4 D ．6
10．在平面四边形 ABCD 中， AD AB 2 ， CD CB 6 ，且 AD AB ，现将 ABD
沿着对角线 BD 翻折成 A BD ，则在 A BD 折起至转到平面 BCD 内的过程中， 直线 A C 与
(全优试卷)安徽省淮北市高三第二次(4月)模拟考试数学(理)试题Word版含答案
淮北市2018届高三第二次模拟考试数学理科 试题卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1）A2） A ．6 B ．5 C ．-1 D ．-63下列命题为真命题的是（ ）A4）A ．2B ．4C ．6D ．85）A．0 B．3 C．7 D．146．）A7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．11 B．9 C．7 D．58sin4y xπ⎛=-2倍（纵坐标不变）得到4个零）AC9）A．2 C．4 D．610．）A11）AC12）A．-1009 B．0 C．1009 D．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）1314的均值是．15展开式中的常数项是．16的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．18．19．大豆，古称菽，原产中国，在中国已有五千年栽培历史。
皖北多平原地带，黄河故道土地肥沃，适宜种植大豆。
2018年春，为响应中国大豆参与世界贸易的竞争，某市农科院积极研究，加大优良品种的培育工作。
其中一项基础工作就是研究昼夜温差大小与大豆发芽率之间的关系。
为此科研人员分别记录了5天中每天100粒大豆的发芽数，得如下数据表格：科研人员确定研究方案是：从5组数据中选3组数据求线性回归方程，再用求得的回归方程对剩下的2组数据进行检验。
（Ⅰ）求剩下的2组数据恰是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是4月5日、6日、7日三天数据，（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据的误差绝对值均不超过1粒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请检验（Ⅱ）中同归方程是否可靠？20．21．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程，为参数）23．选修4-5：不等式选讲淮北市2018届高三第二次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CADAC 6-10:ADBCD 11、12：CB二、填空题13．3 14．240 16．2 三、解答题17．解：（1（218．19．解：（Ⅰ）恰好是不相邻的2. 20．解：（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，3倍得到）．21．解：∴.22．解：，23．解：。
2018年安徽省淮北市中考数学一模试卷(解析版)
2018年安徽省淮北市中考数学一模试卷一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1．已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（）A． B．C．D．3．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=34．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．6．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（）A．64°B．58°C．68°D．55°7．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC 与△DEF的面积之比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：68．如图，已知反比例函数y=（x＞0），则k的取值范围是（）A．1＜k＜2 B．2＜k＜3 C．2＜k＜4 D．2≤k≤49．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A． B．C．3 D．210．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P 关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．计算：tan45°﹣2cos60°=．12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长．13．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD=∠A，已知BC=2，AB=3，则AD=．14．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有．（填正确结论的序号）三、解答题（本大题共2小题，共16分）15．解方程：x（x﹣4）=1．16．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：（1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE1F1．四、（共2小题，满分16分）17．某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB=30°，∠PBA=45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1秒）？（参考数据：≈1.41，≈1.73，60千米/时=米/秒）18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长．五、（共2小题，满分20分）19．某电视台在它的娱乐性节目中每期抽出两名场外幸运观众，有一期甲、乙两人被抽为场外幸运观众，他们获得了一次抽奖的机会，在如图所示的翻奖牌的正面4个数字中任选一个，选中后翻开，可以得到该数字反面的奖品，第一个人选中的数字第二个人不能再选择了．（1）如果甲先抽奖，那么甲获得“手机”的概率是多少？（2）小亮同学说：甲先抽奖，乙后抽奖，甲、乙两人获得“手机”的概率不同，且甲获得“手机”的概率更大些．你同意小亮同学的说法吗？为什么？请用列表或画树状图分析．20．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为 2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．六、（满分12分）21．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D为三角形内一点，且∠ACD=∠DAB=∠DBC．（1）求∠CDB的度数；（2）求证：△DCA∽△DAB；（3）若CD的长为1，求AB的长．七、（满分12分）22．2016年里约奥运会，中国跳水队赢得8个项目中的7块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板AB长为2米，跳板距水面CD的高BC为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．（1）当k=4时，求这条抛物线的解析式；（2）当k=4时，求运动员落水点与点C的距离；（3）图中CE=米，CF=米，若跳水运动员在区域EF内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．八、（满分14分）23．[发现]如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）[思考]如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的⊙O上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点D要么在⊙O外，要么在⊙O内，以下该同学的想法说明了点D不在⊙O外．请结合图④证明点D 也不在⊙O内．【证】[结论]综上可得结论，如果∠ACB=∠ADB=α（点C，D在AB的同侧），那么点D 在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆．[应用]利用上述结论解决问题：如图⑤，已知△ABC中，∠C=90°，将△ACB绕点A顺时针旋转α度（α为锐角）得△ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；（1）用含α的代数式表示∠ACD的度数；（2）求证：点B、C、A、F四点共圆；（3）求证：点F为BE的中点．参考答案与试题解析一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分）1．已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．【解答】解：A、=，则5y=6x，故此选项错误；B、=，则5x=6y，故此选项正确；C、=，则5y=6x，故此选项错误；D、=，则xy=30，故此选项错误；故选：B．2．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图可能不相同的是（）A． B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】分别分析四个选项的三视图，然后得出结论．【解答】解：A选项的主视图与左视图分别是正方形和长方形；B选项的主视图与左视图都是正方形；C选项的主视图与左视图都是矩形；D选项的主视图与左视图都是圆．故选A．3．方程x2=3x的解为（）A．x=3 B．x=0 C．x1=0，x2=﹣3 D．x1=0，x2=3【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3，故选：D．4．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x+2）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的抛物线顶点坐标为（2，3），∴得到的抛物线解析式是y=（x﹣2）2+3．故选B．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，综上，只有C不正确故选：C．6．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC等于（）A．64°B．58°C．68°D．55°【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵BC是直径，∠D=32°，∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．∵OA=OB，∴∠BAO=∠B=32°，∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．故选B．7．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC 与△DEF的面积之比为（）。
安徽省淮北市2018届高考第二次模拟考试数学试题(理)含答案
7 13 ,1 U ,
12 3 12
12 12
51
7 13
B．
, U ,1 U ,
12 3 12
12 12
C．
5 1 7 13 ,U ,
12 3 12 12
51
D
．
, U ,1
12 3 12
9．若直线 x ky 0 k 0 与函数 f x
2x 1 1 2sin 2 x
2x 1
图象交于不同的两点
uuur uuur uuur 且点 C 9,3 ，若点 D m, n 满足 DA DB CD ，则 m n （ ）
0 . 下列命题为真命题的是（
B ． q C ．p q
） D ．p q
4．已知等比数列 an 中， a5 2 ， a6a8 8 ，则 a2018 a2016 （ a2014 a2012
A． 2 B ． 4 C ． 6 D ．8
5．如图所示的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入
则输出 m 的值为（
）
）
m 91 ， n 56 ，
A． 0 B ． 3 C ． 7 D ．14
6．设不等式组
x y 22 x y 2 2 所表示的区域为 M ，函数 y y0
4 x2 的图象与 x轴所围成
的区域为 N ，向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为（
）
A．
4
B．
C．
8
16
D
．2
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
到的线性回归方程是可靠的，请检验（Ⅱ）中同归方程是否可靠？
注： b?
n
xi x
i1 n
xi
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案
2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
2018年数学一模试卷(理科)带答案精讲
2018年数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（）A．x轴上B．y轴上C．直线y=x上D．直线y=﹣x3．（5分）已知函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1），f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则a等于（）A．B．C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知实数a，b满足a＜0＜b．则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．6．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B．C． D．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标是（）A． B．C．D．（﹣1，﹣1）8．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan2∠OPQ的值等于（）A．B．C．D．以上均不正确9．（5分）定义在R上的函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=﹣f（x+）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f （2010）=（）．A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣410．（5分）如果有穷数列a1，a2，…，a n（n∈N*），满足条件：a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1，即a i=a n﹣i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列b n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，则数列b n的前2008项和S2008可以是：①22008﹣1；②2（22008﹣1）；③3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1；④2m+1﹣22m﹣2008﹣1．其中命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题P：若x2＜2，则．则P的否命题是，命题非P是．．12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.4，则P（ξ＞2）=．13．（5分）定义映射f：n→f（n）．（n∈N*）如表：若f（n）=4951，则n=．14．（5分）若函数上有最小值，则a的取值范围为．15．（5分）设A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠∅．（1）b的取值范围是；（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最小值为，则b的值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．17．（12分）最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%．（只有这两种可能），且获利的概率为．第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．．18．（12分）将圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移得到⊙O，直线l与⊙O 相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使．求直线l的方程．19．（12分）已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n=a n+1﹣3n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列a n+3是等比数列；（Ⅱ）对k∈N*，设求使不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．20．（13分）已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）设n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．21．（14分）已知=（cos x，1），=（f（x），2sin x），∥，数列{a n}满足：{a1=，a n+1=f（a n），n∈N*}．＜1；（1）用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1（2）已知a n≥，证明a n﹣a n＞；+1（3）设T n是数列{a n}的前n项和，试判断T n与n﹣3的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用两个复数代数形式的除法法则及虚数单位的幂运算性质，化简复数到最简形式，考查复数对用点所在的象限．【解答】解：∵复数===1﹣i，故此复数对应的点在第四象限，故选D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数，以及复数与复平面内对应点之间的关系．2．（5分）已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在（）A．x轴上B．y轴上C．直线y=x上D．直线y=﹣x【分析】正弦线是平行y轴的线段，长度范围是[﹣1，1]，由题意正弦线是单位长度的有向线段，可求角α的终边的位置．【解答】解：由正弦线的定义，角α的正弦线是单位长度的有向线段，知角α的终边在y轴上．故选B．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，三角函数线，考查学生基础知识的掌握情况．3．（5分）已知函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1），f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则a等于（）A．B．C．D．2【分析】利用y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则函数f（x）=1+log a x（a＞0且a ≠1）的图象过点（4，3），点代入函数的解析式解方程求出a．【解答】解：∵f﹣1（x）是f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），∴函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3），∴1+log a4=3，∴a=2，故答案选D．【点评】本题考查互为反函数的2个函数图象间的关系，y=f﹣1（x）的图象过点（3，4），则函数f（x）=1+log a x（a＞0且a≠1）的图象过点（4，3）．4．（5分）在△ABC中，“cosA=2sinBsinC”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先判别充分性，根据三角函数相关知识和恒等变换容易得到cos（B﹣C）=0，从而得到即B或C为钝角，充分性成立，再判别必要性，显然由“△ABC为钝角三角形”推不出条件“cosA=2sinBsinC”，故必要性不成立．【解答】解：2sinBsinC=cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC，即cos（B﹣C）=0，这说明B﹣C=90度或﹣90度，即B或C为钝角．但是，ABC为钝角三角形显然导不出cos（B﹣C）=0这么强的条件，所以，cosA=2sinBsinC是三角形ABC为钝角三角形的充分不必要条件．【点评】此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查三角函数相关知识．5．（5分）已知实数a，b满足a＜0＜b．则下列不等式一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．【分析】给实数a，b 在其取值范围内任取2个值a=﹣3，b=1，代入各个选项进行验证，A、B、D都不成立．【解答】解：∵实数a，b满足a＜0＜b，若a=﹣3，b=1，则A、B、D都不成立，只有C成立，故选C．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．6．（5分）定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A．B．C． D．【分析】先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．【解答】解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=﹣+kπn大于0的最小值等于故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．7．（5分）已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n）和Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的一个方向向量的坐标是（）A． B．C．D．（﹣1，﹣1）【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合S2=10，S5=55，我们构造关于基本量（首项和公差）的方程，解方程即可求出公差d，进行得到向量的坐标，然后根据方向向量的定义逐一分析四个答案中的向量，即可得到结论．【解答】解：等差数列{a n}的前n项的和为S n=a1•n+由S2=10，S5=55得：10=2a1+d55=5a1+10d解得：a1=3，d=4﹣a n）=（2，8）则=（2，a n+2分析四个答案得：是直线PQ的一个方向向量，故选B【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，及方向向量，其中由已知条件，构造关于基本量（首项和公差）的方程，解方程即可求出公差d，是解答本题的关键．8．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan2∠OPQ的值等于（）A．B．C．D．以上均不正确【分析】由题意可设PQ=x，则QR=2x，∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°﹣∠OPQ在△ORQ中，△OPQ中分别利用正弦定理表示OQ==OQ==xsin∠OPQ从而∴，整理可求【解答】解：如下图所示，物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，再过二分钟后，该物体位于R点∴设PQ=x，则QR=2x，又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°﹣∠OPQ在△ORQ中，由正弦定理得OQ==在△OPQ中，由正弦定理得OQ==xsin∠OPQ∴整理可得，故选C【点评】本题主要考查了利用正弦定理解决实际问题，求解实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行求解．9．（5分）定义在R上的函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称且对任意的实数x都有f（x）=﹣f（x+）且f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f （2010）=（）．A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣4【分析】先根据条件确定函数的周期，再由函数的图象关于点（﹣，0）成中心对称知为奇函数，从而求出f（1）、f（2）、f（3）的值，最终得到答案．【解答】解：由f（x）=﹣f（x+）得f（x）=f（x+3）即周期为3，由图象关于点（﹣，0）成中心对称得f（x）+f（﹣x﹣）=0，从而﹣f（x+）=﹣f（﹣x﹣），所以f（x）=f（﹣x）．f（1）=f（4）=…=f（2008）=1，由f（﹣1）=1，可得出f（2）=f（5）=…=f（2009）=1，由f（0）=﹣2，可得出f（3）=f（6）=…=f（2010）=﹣2，故选A【点评】本题主要考查函数的性质﹣﹣周期性和对称性．函数的性质是研究一个函数的基本，是每年高考必考题．10．（5分）如果有穷数列a1，a2，…，a n（n∈N*），满足条件：a1=a n，a2=a n﹣1，…，a n=a1，即a i=a n﹣i+1（i=1，2，…，n），我们称其为“对称数列”．例如：数列1，2，3，4，3，2，1就是“对称数列”．已知数列b n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，则数列b n的前2008项和S2008可以是：①22008﹣1；②2（22008﹣1）；③3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1；④2m+1﹣22m﹣2008﹣1．其中命题正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意由于新定义了对称数列，且已知数列b n是项数为不超过2m（m ＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，故数列b n的前2008项利用等比数列的前n项和定义直接可求①②的正确与否；对于③④，先从等比数列的求和公式求出任意2m项的和在利用减法的到需要的前2008项的和，即可判断．【解答】解：因为数列b n是项数为不超过2m（m＞1，m∈N*）的“对称数列”，并使得1，2，22，…，2m﹣1依次为该数列中前连续的m项，故数列b n的前2008项可以是：①1，2，22，23…，21003，21003，…，22，1．所以前2008项和S2008=2×=2（21004﹣1），所以①②错；对于③1，2，22…2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1，1，2，…2m﹣2，2m﹣1，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1…m=2n．m=8，利用等比数列的求和公式可以得：s2008=3•2m﹣1﹣22m﹣2009﹣1，所以③正确；对于④1，2，22，…2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1，1，2，…2m﹣2，2m﹣1，2m﹣2，…，2，1…m﹣1=2n+1，利用等比数列的求和公式可得：S2008=2m+1﹣22m﹣2008﹣1，故④正确．故选：B【点评】此题考查了学生对于新题意，新定义的理解，还考查了等比数列的求和公式及学生的计算能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）命题P：若x2＜2，则．则P的否命题是若x2≥2，则或，命题非P是若x2＜2，则或．．【分析】据命题的否命题：条件、结论同时否定；命题的否定是将结论否定即可，写出命题P的否命题及命题的否定．【解答】解：∵命题P：若x2＜2，则，∴P的否命题是若x2≥2，则，命题非P是若x2＜2，则．【点评】本题考查命题的否命题与命题否定的区别：命题的否命题：条件、结论同时否定；命题的否定是将结论否定．12．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若P（0＜ξ＜1）=0.4，则P（ξ＞2）=0.1．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到正态曲线关于x=1对称，根据所给的一个区间上的概率，得到对称区间上的概率，根据对称轴一侧的区间概率是0.5，得到要求的结果．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴正态曲线关于x=1对称，∵P（0＜ξ＜1）=0.4，∴P（1＜ξ＜2）=0.4∴P（ξ＞2）=1﹣0.4=0.1，故答案为：0.1【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性，考查对称区间的概率相等，本题是一个基础题．13．（5分）定义映射f：n→f（n）．（n∈N*）如表：若f（n）=4951，则n=99．【分析】观察所给的前四项，得到这几项之间的关系，后一项与前一项的差是一个常数，类似于数列的递推式，写出前后两项之差，利用叠加得到结果．【解答】解：∵f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，f（4）=11…∴f（n）﹣f（n﹣1）=n，f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=n﹣1，…f（2）﹣f（1）=2，把上面的n﹣1个式子相加得到f（n）﹣f（1）=n+（n﹣1）+…+2=，∴f（n）=+2=4951，∴n=99，故答案为：99【点评】本题考查归纳推理，考查数列的递推式，考查叠加的方法，本题是一个综合题目，考查的内容比较多，注意项数不要出错．14．（5分）若函数上有最小值，则a的取值范围为[﹣2，1）．【分析】先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间（a，10﹣a2）有最小值确定出参数a的取值范围．【解答】解：由已知，f′（x）=x2﹣1，有x2﹣1≥0得x≥1或x≤﹣1，因此当x∈[1，+∞），（﹣∞，﹣1]时f（x）为增函数，在x∈[﹣1，1]时f（x）为减函数．又因为函数上有最小值，所以开区间（a，10﹣a2）须包含x=1，所以函数f（x）的最小值即为函数的极小值f（1）=﹣，又由f（x）=﹣可得x3﹣x=﹣，于是得（x﹣1）2（x+2）=0即有f（﹣2）=﹣，因此有以下不等式成立：，可解得﹣2≤a＜1，答案为：[﹣2，1）【点评】本题考查函数的导数，利用导数求函数的极值和最值的问题，分类讨论的思想方法．本题需要注意：在开区间内函数的极小值（本题中也是最小值）在函数导数为零的点处取得，即若x0∈（a，b），且f′（x0）=0，则函数f（x）的极值是f（x0）；再由题意可得这个极值也是函数的最值．15．（5分）设A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，b为常数，A∩B≠∅．（1）b的取值范围是b≤﹣3；（2）设P（x，y）∈A∩B，点T的坐标为，若在方向上投影的最小值为，则b的值为﹣10．【分析】（1）根据A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，利用函数图象的平移变换，由f （x）=|x|图象得到f（x）=|x﹣3|的图象，再利用函数图象的对称变换得到f（x）=﹣|x﹣3|的图象，因此可以求出集合A表示的平面区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，根据A∩B≠ϕ可求得b的取值范围；（2）根据P（x，y）∈A∩B，得到x，y应满足的条件，根据向量数量积的几何意义即可表示出在方向上投影，再利用线性规划的知识求解即可．【解答】解：（1）先画出函数f（x）=|x|图象，再把该图象向右平移3个单位长度，得到f（x）=|x﹣3|的图象，然后再作关于x轴的对称图象得到f（x）=﹣|x﹣3|的图象，∴A={（x，y）|y≤﹣|x﹣3|}，表示x轴下方阴影区域，B={（x，y）|y≥2|x|+b}，表示x轴上方的阴影区域沿y轴上下平移，∵A∩B≠ϕ．∴b≤﹣3；（2）∵设P（x，y）∈A∩B，∴，而=x+，在方向上投影为，根据线性规划可求当x=0，y=b时，取最小值，代入解得b=﹣10．故答案为：b≤﹣3；﹣10．【点评】此题是个中档题．考查图象的平移变化、对称变换，以及向量的数量积的几何意义，线性规划求最值等基础知识，体现了数形结合和运动变化的思想，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（I）由已知条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB，结合和角公式化简可求cosB，进一步可求B，（II）由（I）可得，由△ABC为锐角三角形，可得从而可得A的范围，而sinA+sinC=sinA+sin（﹣A），利用差角公式及辅助角公式化简可得，从而可求．【解答】解：（I）由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB ﹣sinCcosB．则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，∴，又0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由A+B+C=π及，得．又△ABC为锐角三角形，∴∴．．又，∴．∴．【点评】（I）考查了正弦定理，两角和的正弦公式，及特殊角的三角函数值（II）本题的关键是由△ABC为锐角三角形，建立关于A的不等式，进而求出A 的范围，而辅助角公式的应用可以把不同名的三角函数化为一个角的三角函数，结合三角函数的性质进行求解．17．（12分）最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%．（只有这两种可能），且获利的概率为．第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为．第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．．【分析】由题意按照所述的三个方案，算出每一种情况下的期望，然后比较其期望的大小即可．【解答】解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为∴（万元），若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：∴（万元）；若按方案三执行，收益y=10×4%×（1﹣5%）=0.38万元，又Eξ=Eη＞y..．由上知Dξ＞Dη．说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥．∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．【点评】此题重点在于准确理解题意，还考查了学生对于离散型随机变量的定义及分布列，期望的公式的准确应用，还考查了期望与方差的几何含义．18．（12分）将圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移得到⊙O，直线l与⊙O 相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使．求直线l的方程．【分析】先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点C的坐标的解析式，把点C的坐标代入圆的方程，可解得m值．【解答】解：将圆的方程x2+y2+2x﹣2y=0化为（x+1）2+（y﹣1）2=2，∴圆x2+y2+2x﹣2y=0按向量平移后得到圆x2+y2=2，∵﹣，又，∴AB⊥OC，，∴直线l的斜率k=1，设直线l的方程为y=x+m，由得2x2+2mx+m2﹣2=0，△=4m2﹣8（m2﹣2）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣m，y1+y2=m∴，∵点C（m，﹣m）在圆上，∴m2+（﹣m）2=2解得m=±1，满足△=4m2﹣8（m2﹣2）＞0，当m=1时，l的方程为x﹣y+1=0，当m=﹣1时，l的方程为x﹣y﹣1=0．【点评】本题考查向量在几何中的应用，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，体现了数形结合的数学思想，属中档题．19．（12分）已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，S n=a n+1﹣3n﹣1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列a n+3是等比数列；（Ⅱ）对k∈N*，设求使不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立的正整数m的取值范围．．【分析】（I）把S n和S n+1相减整理求得a n+1=2a n+3，整理出3+a n+1=2（3+a n），判断出数列{3+a n}是首项为4，公比为2的等比数列即可．（II）把（I）中的a n代入f（n），求得其通项公式，进而对m进行奇偶数讨论：①当m为偶数时②当m为奇数时结合二项式定理进行放缩，即可得出：当m∈1，3时，不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立．【解答】解：（I）由S n=a&n+1﹣3n﹣1，则S n﹣1=a n﹣3（n﹣1）﹣1，n≥2．两式相减得a n+1=2a n+3，n≥2．即．（2分）又n=1时，．∴数列a n+3是首项为4，公比为2的等比数列．（4分）（Ⅱ）由（I）知a n+3=4•2n﹣1=2n+1，S n=a n+1﹣3n﹣1=2n+2﹣3n﹣4．∴（5分）①当m为偶数时，cos（mπ）=1，f（2m2）=2m2+1，f（m）=m+1，∴原不等式可化为（2m2+1）﹣（m+1）≤0，即2m2﹣m≤0．故不存在合条件的m．（7分）②当m为奇数时，cos（mπ）=﹣1，f（2m2）=2m2+1，f（m）=2m+1﹣1．原不等式可化为2m2+1≥2m+1﹣1．当m=1或3时，不等式成立．（9分）当m≥5时，2m+1﹣1=2（1+1）m﹣1=2（C m0+C m1+C m2++C m m﹣2+C m m﹣1+C m m）﹣1≥2m2+2m+3＞2m2+1．∴m≥5时，原不等式无解．（11分）综合得：当m∈{1，3}时，不等式cos（mπ）[f（2m2）﹣f（m）]≤0成立．（12分）【点评】本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和等比关系的确定．应掌握一些常用的数列与不等式的综合的解法．20．（13分）已知函数f（x）=x|x+m|+n，其中m，n∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）设n=﹣4，且f（x）＜0对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．．【分析】（Ⅰ）先对m、n的取值分m=n=0和m、n中至少有一个不为0两种情况讨论，再分别利用定义f（﹣x）和f（x）的关系判断奇偶性即可；（Ⅱ）当x∈（0，1]时，把不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性分别求出不等式两端的函数值的范围即可求出m的取值范围．【解答】解：（I）若m2+n2=0，即m=n=0，则f（x）=x•|x|，∴f（﹣x）=﹣f（x）．即f（x）为奇函数．（2分）若m2+n2≠0，则m、n中至少有一个不为0，当m≠0．则f（﹣m）=n，f（m）=n+2m|m|，故f（﹣m）≠±f（m）．当n≠0时，f（0）=n≠0，∴f（x）不是奇函数，f（n）=n+|m+n|•n，f（﹣n）=n﹣|m﹣n|n，则f（n）≠f（﹣n），∴f（x）不是偶函数．故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．综上知：当m2+n2=0时，f（x）为奇函数；当m2+n2≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．（5分）（Ⅱ）若x=0时，m∈R，f（x）＜0恒成立；（6分）若x∈（0，1]时，原不等式可变形为．即．∴只需对x∈（0，1]，满足（8分）对①式，在（0，1]上单调递减，∴m＜f1（1）=3．（10分）对②式，设，则．（因为0＜x＜1）∴f2（x）在（0，1]上单调递增，∴m＞f2（1）=﹣5．（12分）综上所知：m的范围是（﹣5，3）．（13分）．【点评】本题主要考查函数奇偶性以及恒成立问题和利用单调性求函数值域，考查分类讨论思想，是对知识点的综合考查，属于中档题目．21．（14分）已知=（cos x，1），=（f（x），2sin x），∥，数列{a n}满足：{a1=，a n+1=f（a n），n∈N*}．＜1；（1）用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1（2）已知a n≥，证明a n﹣a n＞；+1（3）设T n是数列{a n}的前n项和，试判断T n与n﹣3的大小，并说明理由．【分析】（I）先根据得出下面用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1＜1．（Ⅱ）要证，即证，其中．令.．利用导数研究在上的最值问题，先求出函数的极值，往往求出的极大值就是最大值，即可证得即；（Ⅲ）由（Ⅱ）知从而∴．结合放缩法即可证明得T n＞n﹣3．【解答】解：（I）∵，∴．∴．∴．（1分）下面用数学归纳法证明：0＜a n＜a n+1＜1．①n=1时，，故结论成立．②假设n=k时结论成立，即．∴，即0＜a k+1＜a k+2＜1．也就是说n=k+1时，结论也成立．由①②可知，对一切n∈N*均有0＜a n＜a n+1＜1．（4分）（Ⅱ）要证，即证，其中．令.．由，得．（6分）又g（1）=0，．∴当，g（x）＞0．∴．∴．即．（9分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知：．（11分）∴．∴．（13分）又，即．∴T n＞n﹣3．（14分）【点评】本题考查数列与向量的综合，解题时要注意公式有灵活运用．本题还考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，处理方法是当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．。
2018届一模数学试卷有答案
第一次模拟考试能力测试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～23题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,4,16,A B x x x N =-=<∈则AB 等于A. {}1,0,1,2,3-B. {}0,1,2,3C. {}1,2,3D. {}0,1,2,3,42．若复数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
()12i z i+=+，则复数z 的共轭复数错误！未找到引用源。
z 在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3．抛物线错误！未找到引用源。
28y x=的焦点到双曲线错误！未找到引用源。
2213yx-=的渐近线的距离是A. 1B. 1224．设向量(1,2)a=，(2,1)b=若向量abλ-与向量(5,2)c=-共线，则λ的值为A.43B.413C. 49- D. 4错误！未找到引用源。
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 2B. 4C. 6D. 126．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且3634a a =+若510S<，则2a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．() 0-∞， C. ()1 +∞，D ．()0 2， 7．我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值，如图， 在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目， 若豆子总数为n ，落在正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的 估算值是 A ．n mB ．2n mC ．3n mD ．2m n8．从5名学生中选出4名分别参加A ，B ，C ，D 四科竞赛，其中甲不能参加C ，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为 A.24 B.48 C.72 D.1209．若ta n =34πα⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则2co s 2sin 2αα+=A.95B.1C.35-D.75-10.执行如图所示的程序框图，若输出的错误！未找到引用源。
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2018届淮北市高三一模检测试题数学 理科一、选择题二、填空题13、6 14、1120 15、②⑤ 16、三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17、(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A b c B a cos )3(cos -=. （Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若3=b ，点M 在线段BC 上，2=+23=,求ABC ∆的面积. 解：（1）因为A b c B a cos )3(cos -= ，由正弦定理得：A B C B A cos )sin sin 3(cos sin -= 即,在中，，所以（2），两边平方得：由，，得解得：所以的面积18.在如图所示的圆台中，CD AB ,分别是下底面O ,上底面圆O '的直径，满足CD AB ⊥,又DE为圆台的一条母线，且与底面成角3π（I ）若面BCD 与面ABE 的交线为l ，证明：CDE l 面//; (II)若CD AB 2=，求面BCD 与底面ABE 所成二面角的余弦值。
证明：（I ）ABE CD 面//⇒CD l //⇒CDE l 面//(II) 连接OE BO OO ,',',则OE CD //,由CD AB ⊥所以OE AB ⊥,又B O '在底面的射影为OB ，由三垂线定理知：OE B O ⊥',所以CD B O ⊥'所以'O BO ∠就是求面BCD 与底面ABE 所成二面角的平面角。
设4=AB ，由母线与底面成角3π则2'2==D O OE ,2=DE ,2OB =,3'=OO,cos 'O BO ∠=19.如图为2017淮北师范大学数学与应用数学专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n 名毕业生随机的分配往甲、乙、丙三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n 名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为： p 1=（0.04+0.03）×5=0.35， 此分数段的学员总数为21人， ∴毕业生的总人数N 为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p 2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1， ∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6． （Ⅱ）1833222224=⋅A A C C（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2， （横轴上面的字符小点）156)0(262402===C C C P ξ158)1(261412===C C C P ξ151)2(260422===C C C P ξ所以随机变量ξ数学期望为32151215811560)(=⨯+⨯+⨯=ξE20.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，其左右焦点为21,F F ，过1F 直线03:=++my x l 与椭圆C 交于B A ,两点，且椭圆离心率e = （Ⅰ）求椭圆C 的方程（Ⅱ） 若椭圆存在点M ,使得OA OM 2=，求直线l 的方程解：（Ⅰ）3=c，e =且222c b a +=得1,2==b a ，114:22=+y x C（Ⅱ）设),(),,(),,(332211y x M y x B y x A ,由2=得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21321323212321y y y x x x 代入椭圆方程： 012321232141221221=-+++）（）（y y x x ⇒1)4(8341434141212122222121=+++++y y x x y x y x ）（）（ 042121=+y y x x联立方程⎩⎨⎧=-+=++0440322y x m y x ⇒0132422=-++my y m ）（ ⇒41,432221221+-=+-=+m y y m m y y212121214334y y my my y y x x +++=+））（（3)(3)4(21212++++=y y m y y m ⇒22=m ⇒2±=m 所求直线l 的方程：032:=+±y x l .21.设函数x a x x f ln 21)(2-=，其中R a ∈.(1)若函数)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)设正实数21,m m 满足121=+m m ，当0>a 时，求证：对任意的两个正实数21,x x ，总有)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≤+成立；（3）当2=a 时，若正实数321x x x ，，满足3321=++x x x ，求)()()(321x f x f x f ++的最小值。
解：1）由题意得0)(≥-='xax x f 对[)+∞∈∀,1x 恒成立，得2x a ≤对[)+∞∈∀,1x 恒成立，得1≤a .2）设(]222122121,0),()()()(x x x f m x f m x m x m f x F x x ∈--+=≤记 则0)(2=x F又())()()()()(221112211x f x m x m f m x f m x m x m f m x F '-+'='-+'=' 而01)(2>+=''x ax f ，故)(x f '在()+∞,0单增， 由()()0122221221≥-=+-=-+x x m x m x m x x m x m 故0)(≥'x F 在(]2,0x 总成立， 得)(x F 在(]2,0x 单调递增，故()0)(2=≤x F x F ，又(]21,0x x ∈，得()01=x F 即)()()(22112211x f m x f m x m x m f +≤+3）当2=a 时)(x f 满足2）结论若有正实数1321=++m m m ，反复用2）结论得：()()())()()()()()()()()(332211332212121121332212121121332212121121332211x f m x f m x f m x f m x f m m m x f m m m m m x f m x m m m x m m m f m m x m x m m m x m m m m m f x m x m x m f ++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≤+++++≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=++ 取31321===m m m 得 3)()()()3(321321x f x f x f x x x f ++≤++又正实数3321=++x x x ，故23)1(333)()()(321321==⎪⎭⎫⎝⎛++≥++f x x x f x f x f x f 所以()23)()()(min 321=++x f x f x f选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，按所做的第一题计分。
22. (本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ-=，直线l 的参数方程为1x tt y t=-⎧⎨=+⎩为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点。
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设l 上一定点M(0，1),求|MA ||MB|⋅的值.解：（Ⅰ）解：22222)cos 42sin 2cos 2sin 2cos 22(1)(1)2x y y x x y πρθθθθθρρθρθ=-=-=-∴=-∴+=-∴++-=（Ⅱ）直线l的参数方程可化为212x t y t ⎧'=-⎪⎪'⎨⎪'=+⎪⎩为参数代入22(1)(1)2x y ++-=，得221))2''++=化简得：212121011t t t MA MB t t ''''''-=∴=-∴==23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3,()0--,)f x x m f x =--≥∞⋃+∞且的解集为（，2][4 （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若x R ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立，求实数t 的取值范围。
解：（Ⅰ）∵不等式30-3,)x m m --≥∞-⋃+∞的解集为（，][3+m 又∵()30--,)f x x m =--≥∞⋃+∞的解集为（，2][4 ∴34,321m m m +=-=-∴=（Ⅱ）∵x R ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立∴x R ∃∈，使得132,123x t x x R x x t --≥+-∴∃∈---≥+令11()12231212x g x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<≤⎨⎪>⎩,123x R x x t ∴∃∈---≥+ max 3()12t g x t ∴+≤=∴≤-。