高考数学(理)二轮专题练习：解答题的八个答题模板(含答案)

解答题的八个答题模板

【模板特征概述】

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．

“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．

模板1 三角变换与三角函数的性质问题

已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．

审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h →结合性质求解．

(2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1

2

.

(1)若0<α<π2，且sin α＝2

2，求f (α)的值；

(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝2

2，

所以cos α＝2

2

. 所以f (α)＝

22×(22＋22)－12＝12

. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －1

2

＝1

2sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1

2cos 2x ＝

22sin(2x ＋π4

)， 所以T ＝2π2

＝π.

由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ，得

k π－3π8≤x ≤k π＋π

8，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为[k π－

3π8，k π＋π

8

]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －1

2

＝1

2sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1

2cos 2x ＝

22sin(2x ＋π4

)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，

从而f (α)＝

22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12

.

(2)T ＝2π2

＝π.

由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ，得

k π－3π8≤x ≤k π＋π

8，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为[k π－

3π8，k π＋π

8]，k ∈Z . 模板2 解三角形问题

在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3

2

b .

(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)求角B 的取值范围．

审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围

(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC

→

＝2，cos B ＝1

3，b ＝3.求：

(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．

解 (1)由BA →·BC →

＝2得c ·a cos B ＝2.

又cos B ＝1

3

，所以ac ＝6.

由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×1

3

＝13.

解⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝22

3

，

由正弦定理，

得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.

因为a ＝b >c ， 所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝

1－(429)2＝7

9.

于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝

23

27

. 模板3 数列的通项、求和问题

(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n

＋2b n ＋1b n ＝0.

(1)令c n ＝a n

b n ，求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝3n －

1，求数列{a n }的前n 项和S n .

审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a n

b n

＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝(2n －1)·3n

－1

――→错位相减法

得S n