八年级数学下册小专题四边形中的折叠问题练习人教版

小专题(五) 四边形中的折叠问题

1．(2017·广州)如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为(C)

A．6

B．12

C．18

D．24

2．(2017·舟山)一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下图步骤折叠纸片，则线段DG长为(A)

A.2B．2 2

C．1 D．2

3．(2017·南宁)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝23，将菱形按如图方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为7．

4．如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C 在y轴的正半轴上，OA＝5，OC＝4.在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．求D，E两点的坐标．

解：在Rt△AB E中，AE＝OA＝5，AB＝4，

∴BE＝3.∴CE＝2.

∴E点坐标为(2，4)．

在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，

又∵DE＝OD，

∴(4－OD)2＋22＝OD 2

.解得OD ＝52.

∴D 点坐标为(0，5

2

)．

5．(2017·鄂州)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E.

(1)求证：△AFE≌△CDE；

(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．

解：(1)证明：由翻折的性质可得AF ＝AB ，∠F ＝∠B＝90°. ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°. ∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D . 又∵∠AEF ＝∠CED ， ∴△AFE ≌△CDE (AAS). (2)∵△AFE ≌△CDE ，∴AE ＝CE . 根据翻折的性质可知FC ＝BC ＝8. 在Rt △AFE 中，AE 2

＝AF 2

＋EF 2

， 即(8－EF )2

＝42

＋EF 2， 解得EF ＝3.∴AE ＝5.

∴S 阴影＝12EC ·AF ＝1

2

×5×4＝10.

6．(2017·济宁)(教材P 64“活动1”的变式)实验探究：

(1)如图1，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再次折叠纸片，

使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN ，MN.请你观察图1，猜想∠MBN 的度数是多少，并证明你的结论；

(2)将图1中的三角纸纸片BMN 剪下，如图2.折叠该纸片，探究MN 与BM 的数量关系，并结合方案证明你的结论．

图1 图2 解：(1)∠MBN＝30°.

证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN . 由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形． ∴∠ABN ＝60°.

∴∠MBN ＝∠ABM ＝1

2∠ABN ＝30°.

(2)MN ＝1

2

BM .

折纸方案：折叠三角形纸片BMN ，使点N 落在BM 上，并使折痕经过点M ，得到折痕MP ，同时得到线段PO .

证明：由折叠知△MOP ≌△MNP ，

∴MN ＝OM ，∠OMP ＝∠NMP ＝1

2∠OMN ＝30°＝∠B ，∠MOP ＝∠MNP ＝90°.

∴∠BOP ＝∠MOP ＝90°. 又∵OP ＝OP ，∴△MOP ≌△BOP . ∴MO ＝BO ＝1

2

BM .

∴MN ＝12

BM .

小专题(六) 四边形中的动点问题

——教材P68T13的变式与应用

教材母题 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝26 cm.点P 从点A 出发，以1 cm /s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以3 cm/s 的速度向点B 运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ ∥CD 和PQ ＝

CD ，分别需经过多少时间？为什么？

解：①设经过t s 时，PQ ∥CD ，此时四边形PQCD 为平行四边形． ∵PD ＝(24－t )cm ，CQ ＝3t cm ， ∴24－t ＝3t ，∴t ＝6.

∴当t ＝6 s 时，PQ ∥CD ，且PQ ＝CD .

②设经过t s 时，PQ ＝CD ，分别过点P ，D 作BC 边的垂线PE ，DF ，垂足分别为E ，F .

当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形．

∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，

∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.

∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm.

当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，

PD＋2(BC－AD)＝CQ，

∴(24－t)＋4＝3t.∴t＝7.

∴当t＝7 s 时，PQ＝CD.

当四边形PQCD为平行四边形时，由①知当t＝6 s时，PQ＝CD.

综上所述，当t＝6 s时，PQ∥CD；当t＝6s或t＝7 s时，PQ＝CD.

1．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，并且a，b满足b＝a－21＋21－a＋16.动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P，Q分别从点A，O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t(秒)．

(1)求B，C两点的坐标；

(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P，Q两点的坐标；

(3)当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P，Q两点的坐标．

解：(1)∵b＝a－21＋

21－a＋16，

∴a＝21，b＝16.