华南理工大学 复变函数2.2(1)初等函数
复变函数第二章 第3节：初等函数
2
cos( z) cos z;
其它三角函数：
eiz eiz
cos z
;
2
tan z sin z , cos z
eiz eiz
sin z
;
2i
cot z cos z , sin z
sec z 1 , cos z
csc z 1 , sin z
除分母为零的点外处处解析，且
双曲正弦
双曲正切
thz
shz chz
ez ez
ez ez
.
4、双曲函数的性质
chz ez ez , 2
shz ez ez . 2
(1) chz,shz 以2k i(k Z )为周期;
(2) chz 为偶函数, shz 为奇函数; (3) chz,shz 在复平面上处处解析，且
(shz) chz, (chz) shz,
ln z ln z i arg z.
Ln z ln z iArg z ln z i(arg z 2k ), Ln z ln z 2ki, k Z
当k=0时, Ln z 取到主值 ln z
特别，如 z= x>0, 则：
ln z ln z i arg z ln x,
但 Ln z ln x 2ki, k Z
1、三角函数的定义 cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
eiz eiz
cos z
;
sin z eiz eiz ;
2
2i
余弦函数
正弦函数
Euler公式的复数形式： eiz cos z i sin z
2、三角函数的性质
eiz eiz
复变函数2.2
lnz的实部 lnz的虚部
4. 幂函数 设 定义： 不难看出： (1) 如果 则 是有理数，其既约分数表示是 是 n 值的。 是 整数时， 是单 是无穷 是 任何实数或复数，对于
值的。 (2) 如果 是无理数或虚数，则 多值的。
5. 三角函数
定义：
性质： （1） 在复平面上解析．
（2） （3） （4）
故
是多值函数
任何不是零的复数有无穷多个对数。 记 则 Ln z 称为 Ln z 的主值。 例
Ln z的简单性质：
相应于Arg z的单值连续分支，Ln z可以分为 对应 是两个连续分支。
Ln z的单值连续分支 f (z) 是解析的，称 为解析分支，且
的映射性质： 把 映射成
2.1 初等函数 1. 指数函数 设 定义
则 取 得 Euler 公式
复数
可写成指数形式：
例如
对任何 对任何 在全复平面上解析，且
因为 所以 设 则 因此 有周期
e 的映射性质：
把区域 原点及正实轴的区域。 映射成：除去
z
模
：
辐角 y：
2. 多值函数：辐角函数
主值： 是单值函数，在 去掉原点和负实轴的区域 内连续。 割线
有周期 是奇函数， 是偶函数
（5） 时
不是有界函数
求使 sin z 和 cos z 为零的点：
同样的方法可得：
k 固定时，Arg z 就是单值函数，称为Arg z 的单值连续分支。 去掉从原点出发的任意一条射线，都可得到 Arg z的单值连续分支。
例如规定
则 arg z 是单值连续函数， k 固定时 Arg z 是单值连 续分支。
3. 对数函数 对于 满足
的复数 w 称为 z 的对数，记作 Ln z. 设 则
复变函数教案2.2
第二章教学课题：第二节 初等解析函数教学目的：1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质；4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；教学重点：指数函数)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+的常见性质教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：这一节主要是讨论初等单值函数的解析性，这可从他们的可微性来判定，他们是数学分析中相应初等函数在复数域中的自然推广。
教学过程：1、指数函数定义2.4对于任何复数iy x z +=我们用关系式),sin (cos y i y e e e x iy x z +==+来规定指数函数z e指数函数z e 它有如下性质：（1）当z=x 时（y=0）我们的定义与实指数函数是一致的。
（2）0;arg ,0≠=>=z z x z e z y e e e 平面上在（3）z e 在z 平面上解析，且z z e e =')(（4）2121z z z z e e e +（5）z e 是以i π2为基本周期的周期函数。
（6）极限z z e ∞→lim 不存在，既无意义。
2、三角函数与双曲函数：由于Euler 公式，对任何实数x ，我们有：x i x e x i x e ix ix sin cos ,sin cos -=+=-，所以有,2sin ,2cos ie e x e e x ixix ix ix ---=+= 因此，对任何复数z ，定义余弦函数和正弦函数如下：,2sin ,2cos ie e z e e z iziz iz iz ---=+=则对任何复数z ，Euler 公式也成立：,sin cos z i z e iz +=关于复三角函数，有下面的基本性质：1、cos z 和sin z 是单值函数；2、cos z 是偶函数，sin z 是奇函数:,cos 22)cos()()(z e e e e z iziz z i z i =+=+=----- ,sin 22)sin()()(z ie e i e e z iziz z i z i -=-=-=----- 3、cos z 和sin z 是以π2为周期的周期函数:,cos 2)2cos()2()2(z e e z z i z i =+=++-+πππ ,sin 2)2sin()2()2(z ie e z z i z i =-=++-+πππ 4、212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±； 证明：)(4122sin cos )()()()(21212121212211z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e i i e e e e z z +-+--+---+-=-+=，)(4122sin cos )()()()(12212112211122z z i z z i z z i z z i iz iz iz iz e e e e ii e e e e z z +---+---+-=-+= 所以)sin()(21sin cos cos sin 21)()(21212121z z e e iz z z z z z i z z i ±=-=±±-± 5、;1cos sin 22=+z z12242)2()2(sin cos 22222222=-+-++=-++=+----z i z i z i z i iz iz iz iz e e e e i e e e e z z 注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到1|sin |,1|cos |≤≤z z ，例如z=2i 时，有,22sin ,122cos 2222ie e i e e i -=≥+=-- 6、cos z 和sin z 在整个复平面解析，并且有：.cos )'(sin ,sin )'(cos z z z z =-=证明：,sin 222cos z i e e ie ie e e dz d z dz d iz iz iz iz iz iz -=--=-=+=---z e e i ie ie i e e dz d z dz d iz iz iziz iz iz cos 222sin =+=+=-=--- 7、cos z 和sin z 在复平面的零点：cos z 在复平面的零点是，)(2Z k k z ∈+=ππ，sin z在复平面的零点是，)(Z k k z ∈=π。
华南理工大学复变函数期末总复习
6. 三个形式的实积分转化为复积分，再用留数计算
6
说明
1. 考试题目不难，但是基本概念要清楚 2. 考试题量大，知识点覆盖广，复习要全面
3. 无穷远点留数计算公式运用准确
注意事项
1. 考试提前10分钟入场，对号入座
2. 考卷上填写座位号（座位表上有写）
3. 携带有效证件
7
答疑安排： 时间：12月30号上午9:00—11:30
复变函数总复习
一、复数与复变函数 二、解析函数 三、复变函数的积分 四、级数 五、留数理论及其应用
一、复数与复变函数
1. 复数的代数形式，三角形式和指数形式
2. 复数的基本概念：实部，虚部，模，幅角，共轭
3. 复数的运算：加减乘除，方幂和开根 4. 一些运算的基本性质，恒等式，不等式 5. 区域的概念，单连通，多连通，闭曲线的正向 6.复变函数的定义，几何理解：区域到区域的映射
7. 复变函数极限的定义，连续性的定义
2
二、解析函数
1. 复变函数可导的定义，用定义判别可导性 2. 用柯西-黎曼方程判断可导性 3. 解析函数的定义和判别 4. 解析函数的求导法则 5. 初等函数的定义，解方程
3
三、复变函数的积分
1. 复变函数积分的定义，用路径换元法求积分（基本！） 2. 解析函数的积分，柯西-古萨基本定理 3. 复合闭路原理，确定多连通区域边界的正向 4. 原函数与不定积分（快速求解复变函数积分） 5. 柯西积分公式，高阶导数公式
地点：北区35503教室（北二级数的基本性质，幂级数的收敛半径求解 2. 理解泰勒定理，解析函数的泰勒展开 3. 理解洛朗级数定理，函数在解析环域的洛朗展开 4. 解析函数的孤立奇点分类 5. 极点和零点的关系
华南理工大学 复变函数2.2(3)初等函数
因此，对同一个 z 0, w z 的不同数值 a2 k i 的个数等于不同数值的因子 e (k Z ) 个数 。
幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是
整个复平面上的多值函 (不同数值的个数等于 数
e 不同因子的个数)。 2、当是正整数n时, n nLnz n[ ln| z| i (arg z 2 k )] n in arg z w z e e | z | e 0. 是一个单值函数； 3、当 1 (n是正整数)时, n
幂函数的定义:
w z e
a aLnz
( z 0)
a
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
0.
幂函数的基本性质：
当是正整数n时, 是一个单值函数；
3、当 1 (n是正整数)时, 是一个n值函数； n
等于n次方根.
幂函数的基本性质：
当是0时, z 1;
0
当 是有理数时，即 ( p与q为互素
幂函数的基本性质:
而且，由
a
z e
a
aLnz
及复合函数求导法则得
a
dz 1 z aL n z a 1 e a a az dz z z
其中 z 应当理解为某个分支， Lnz理解为相应的分支。
a
双曲函数
e z e z e z e z e z e z ch z , sh z , th z z z 2 2 e e
6、当是无理数或非实数的复数时，幂函数是无穷 多值函数；
事实上，当是无理数时，有
z e
Lnz
当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e
复变函数第三讲解析函数的充要条件初等函数
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼 成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个 实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
若沿平行于实轴的方式 zቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz z ( y0 )
f(z z)f(z) f(z)lim z 0 z [u (x x ,y )iv (x x ,y )] [u (x ,y )iv (x ,y )] lim x 0 x u (x x ,y )u (x ,y ) v (x x ,y )v (x ,y ) lim i lim x 0 x 0 x x
1 u v v u i i y y y y
f ' ( z ) 存在 u v v u i i x x y y u v x y
定义 方程
u x v x
记忆
v u x y
u y v y
Cauchy-Riemann方程
u v v u x y x y
上述条件满足时,有
f ' ( z ) u iv u iu v iu v iv x x x y y y y x
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件
复变函数(2.2.1)--复变初等函数(1)
x + iy, 求(1) e1-2z
;(2)
e z2
;(3) Re � �e 1z
� �
��
解 (1) ei-2z = ei-2( x+iy) = e-2 x+i(1-2 y) , \ ei-2z = e-2 x ;
(2) e z2 = e( x+iy)2 = e x2 - y2 +2 xyi ,
\ ez2 = ex2- y2 ;
y0+
所以除去原点与负实轴，在复平面内其它点处处连续
z = ew在区域- p arg z p内的反函数w = ln z
是 单 值 的,
d ln dz
z
=
1 de w
=
1 z
.
dw
故 lnz 在除去原点及负实轴的平面内是处处解析的 .
Lnz 的各个分支也具有与 lnz 同样的解析性质 .
注意：(1) 在实变函数中，负数不存在对数；但在复变函数中，
Lnz = ln z + 2ikp ( k = 0, ﾢ1, ﾢ2,L) .
对于每个固定的 k ，上式确定一个单值函数，称为 Lnz 一个分支 .
2 ）z = x > 0 时， Lnz 的主值 lnz=lnx 就是实变对数 例 4 求 Ln2,Ln(-1) 以及与它们相应的主值 . 解 Ln2 = ln 2 + 2kp i, Ln2 的主值就是 ln2.
z
f (z) =e5
= e 5z +2kpi
z +10 kpi
= e 5 = f (z + 10kpi),
z
故函数 f (z) = e5 的周期是10kpi.
复变函数2.2
注意
1 在复数域内， Lnz nLnz, Ln z Lnz n
n n
例如： Lni 2 Ln 1 2k i
k 0, 1, 2,
2 Lni 2 2m i 4m i 2
m 0, 1, 2,
即 但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，
e e
z
Ln e z
z Ln e e . ?
三、幂函数
e
n2 ki
1
n n Ln z e n ln z . (单值) 讨论 (1) 当 a 为正整数时, z e
a a 1 a z ( z ) a z . 此时， 处处解析，且
Ln z 的主值 ln z ln x 就是实对数函数。
分支(枝) 对于任意一个固定的 k，称 ln z 2kπ i 为 Ln z 的 一个分支(枝)。
通常， 记wk Lnz k ln z i arg z 2k k 0, 1,
为w Lnz 的第k个单值分支，k 0为主值分支
综上 z e 在区域 v arg z 内反函数
w
w lnz是单值连续函数
dlnz 1 1 w 且由求导法则 de dz z dw
z 0及负实轴上点
从而 lnz在除z 0及负实轴上点外处处解析
类似可得：Lnz 的各分支 Lnz k 在除z 0及负实轴
第三节
初等函数
本节将把实变量函数中一些常用的初等函数推 广到复变量函数中，研究这些函数的性质，特别是 解析性.
初等函数
一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、三角函数 五、反三角函数 六、双曲函数与反双曲函数
复变函数第4讲初等函数
11
(2).当a=p/q(p和q为互质的整数, q>0)时, 由于
p ln|z|+i p(arg z+2kπ )
za = e q q
p ln|z|
= e q [cos
p (arg z + 2kπ ) + i sin
p (arg z + 2kπ )],
q
q
za具有q个值, 即当k=0,1,...,(q−1)时相应各个值.
sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.
但当z为纯虚数iy时, 我们有
e−y + ey
⎫
cos iy = 2
sin iy = e− y − e y 2i
= ch y ⎪⎪
⎬
=
i
sh
y
⎪ ⎪⎭
20
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y,⎫
cos(z+2π)=cos z, sin(z+2π)=sin z. 也容易推出cos z是偶函数:
cos(−z)=cos z 而sin z是奇函数:
sin(−z)=−sin z 由指数函数的导数公式可以求得
(cos z)'=−sin z, (sin z)'=cos z 易知
eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立.
= e x1+x2 [(cos y1 cos y2 − sin y1 sin y2 ) +i(sin y1 cos y2 + cos y1 sin y2 )]
华南理工大学复变函数(第二版)考试要点
华南理工大学复变函数（第二版）考试要点复变函数（第二版）考试要点如题....复变函数每年的考题大部分都是书上的题（据我做的几张卷子来看）..这是这学期老师给的书上的题目..呵呵...看着办吧...本帖隐藏的内容需要回复才可以浏览1、幂函数的定义与计算。
例如：P30的例题。
2、函数的模的计算。
P23、留数的计算。
P113，5，P94~P954、幂级数收敛半径的计算。
P63~64，P88，7（1）（3）5、复积数的直接计算P37~386、柯西-古萨基本定理计算P54 5（1）7、柯西-古萨基本定理的条件与结论P398、如何判断函数的解析性（C-R方程、法则等）P269、洛朗展开式唯一性的涵义10、求根公式的计算与应用P4。
例如一个负数的几次方根如何求。
P5例1、3 P19/10的解方程等11、对数的定义与定义式及计算P29、P3412、用柯西积分公式、复合闭路原理、留数定理等计算积分P47例P55、613、求洛朗展开式。
例P79-81ln（1+z）、sinz、cosz、1/（1-z）、1/(1+z)，指函数的级数展开式要记住并会用。
14、求无穷远点的留数及用于求积分P114，7，8 15、用留数方法计算定积分。
（第一类型）P101、P114，916、柯西积分公式及用于计算积分 17、洛朗级数收敛、收敛圆环、好函数的概念19、保形概念及其与解析函数的关系 20、高阶导数公式及用于积分的计算21、极点的阶的判断22、用规则1、2、3、4求留数和积分23、sinz、cosz、tanz、cotz、shz、chz的定义。
shz、chz的导数公式24、求孤立奇数点并判别器类型。
求孤立奇点的留数25、扩充复平面上留数和定理及其应用26、利用记住的例子等级数展开式间接求一个给定函数的洛朗级数27、原函数与中-莱公式计算复积分*掌握n次方根公式（p114），指数、对数、幂、三角、双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程。
华南理工大学《复变函数》无乱码答案
e iz − e − iz e iz + e − iz = − 2i ⋅ , 即 e 2i z = − 3 , 于 是 2i 2
2iz = L n(− 3 ) = l n | − 3| + i ( a r g(− 3 ) + 2k π ) = l n 3 + ( 2k + 1)π i , k ∈ Z ,
(2 )
∫( z − i ) e
0
i
−z
d z = ∫(i − z) d e − z
0
i
= e − z (i − z ) |i0 − ∫ e − z d(i − z )
0
i
= −i + ∫e
0
i
−z
dz
= − i − e− z |i0 = 1 − c os 1 + i (si n 1 − 1)
(3 )
∫z−
C
dz = 0 .
(5 ) 圆 C 包 含 点 z = ± i 但 不 包 含 z = ± 2i , 故
C
∫ (z
2
1 1 dz = 2 3 + 1)( z + 4 ) = =
C
∫z
2
1 1 dz− 3 + 1
C
∫z
2
1 dz + 4
1 ( z + i )− 1 dz + ∫ 3 C 1 z − i
1 0. ( 1 ) si n z = 0 , 即
即 z = kπ , k ∈ Z . ( 2) c os z = 0 , 即
e iz + e − iz = 0 , 即 e 2i z = − 1 , 故 而 2 2iz = L n( − 1) = l n | − 1| + i ( a r g(− 1) + 2k π ) = ( 2k + 1)π i , k ∈ Z ,
华南理工大学 复变函数2.2(2)初等函数
e cos z i sin z,
iz
所有三角公式也成立.
cosz和sinz是单值函数； cosz偶，sinz奇;
三角函数的基本性质:
cosz和sinz以 2 为周期,零点也与实的一样.
三角函数的基本性质:
不成立:
| cos z | 1,| sin
iz1 iz 2
1 2 1 2
iz1
iz 2
三角函数的基本性质: 2 2 5、 z cos z 1; sin iz iz iz
e e 2 e e iz 2 cos2 z sin 2 z ( ) ( ) 2 2i i2z i 2 z i2z i 2 z e e 2 e e 2 1 4 2 注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到
zi zi
反正切函数是多值解析函数. 其它反三角函数概念、记号、计算公式及性质 可类似讨论。
小结
2.2(2) 初等函数 (2)三角函数与反三角函数
三角函数的概念:
e e cos z 2
iz
iz
e e , sin z 2i
iz
iz
,
三角函数的基本性质:
则对任何复数z，Euler公式也成立：
证明：
d d eiz e iz ieiz ieiz eiz e iz cos z sin z, dz dz 2 2 2i
d d e e sin z dz dz 2i
iz
iz
ie ie 2i
iz
iz
e e 2
iz
iz
cos z
三角函数的基本性质:
例如z=2i时，有
| cos z | 1,| sin z | 1
复变函数第二章第二节初等解析函数
18
当 z 为纯虚数 yi 时,
cos yi e y e y cosh y, 2
sin yi e y e y i sinh y. 2i
(3)
cos( x yi) cos x cosh y i sin x sinh y, sin( x yi) sin x cosh y i cos x sinh y.
的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都
是有界函数, 但在复变三角函数中,
sin z 1与 cos z 1不再成立.
2020/3/18
26
小结与思考
复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:
正弦函数为sinz eiz eiz . 2i
容易证明, sin z 是奇函数, cosz 是偶函数. sin(z) sin z, cos(z) cos z.
正弦函数和余弦函数都是以 2 为周期的. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
16
例9 求 f (z) sin5z 的周期.
有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式
cos(z1 z2 ) cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 , (1) sin(z1 z2 ) sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 ,
sin2 z cos2 z 1.
(2)
cos( x yi) cos x cos yi sin x sin yi, sin( x yi) sin x cos yi cos x sin yi.
① 处处可导且有 ex ex;
② 对任意的实数 x1, x2 , 有 ex1x2 ex1 ex2 ; ③ 对任意的实数 x R ,有 ex 0。
华南理工大学《复变函数》试卷含答案
华南理工大学《复变函数》试卷含答案2007考卷(A 、B),考试范围是：第一章到第六章第一节,即$1.1-$6.1,有星号内.考试范围是：第一章到第五章,有星号内容不考.诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-A 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；. 填空题（每空4分,共20分） 1. 设复数21=z , 则.___________=z2. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析,C 是D 内任意一条简单正向闭曲线,则积分()__________.Cf z dz =?3. 设C 为沿原点0=z 到点i z +=1地直线段, 则2______________.Czdz =?4. 幂级数∑∞=+012)2(n n nz i 地收敛半径为__________.R =5．函数zz f 1cos1)(=在孤立奇点2211ππ+=z 处地留数Res 1[(),]_______.f z z =. 选择题（每题4分,共20分） 1. 设y x ,为实数,yi x z yi x z +-=++=11,1121且有,12||||21=+z z 则动点),(y x 地轨迹是 ( ).(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线2．若曲线20082007:=Z C ,则积分34(1)(1)Cdz z z -+?地值是( )．(A) 2007 (B) 2008 (C) 0 (D) 13. 设),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析,下列函数为D 内解析函数地是( )．(A) ),(),(y x iu y x v + (B) ),(),(y x iu y x v -(C) ),(),(y x iv y x u - (D)xv i x u ??-??4. 设函数)4)(1(1)(++=z z z z f 在以原点为中心地圆环内地罗朗展开式有m 个, 那么)(=m ．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 45．设)(z f w =在0z 解析,且0)(0≠'z f ,则映射)(z f w =具有( )． (A) 只把0z 地一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =地一个三角形；(B) 把0z 地一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =地一个曲边三角形,二者近似相似；(C) 把充分小地圆周r z z =-0映成三角形；(D) 把含0z 地充分小地三角形映成圆周．三. (10分) 求解方程083=+z . 四. (10分) 计算复数 Ln (34)i -+．五.(10分) 计算积分221(1)(4)Cdz z z ++?, 3:2C z =,C 为正向曲线．六.(10分) 将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<="">七. (10分) 计算积分+πθθ20cos 35d ．八. (5分) 计算2()1ze f z z =-在∞处地留数．. (5分) 计算积分152243 (1)(2)Cz dz z z ++?,:3C z =,C 为正向曲线． ,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2007《复变函数-B 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；. 填空题（每小题4分,共20分）设z=(1+i)100,则Imz= . 设C 为正向圆周|ξ|=2,f(z)=sinπζζζ3-?zd C,其中|z|<2,则'=f ()1 . 罗朗级数∑∑∞=∞=--+-10)21()1()2(1n n n nnz z 地收敛圆环为__________, 和函数为__________．积分||71______________1cos z zdz z =+=-?． . 函数)(z f w =在区域D 内解析,D z ∈0且0)(0≠'z f ,则)(z f w =在0z 具有两个性质______________,______________,此时称)(z f w =在0z 是保形地.二. 单项选择题（每小题4分,共20分）1. 方程2Re 1z =所表示地平面曲线为（）．A. 圆B. 直线C. 椭圆D. 双曲线2. 若函数()f z 在正向简单闭曲线C 所包围地区域D 内解析,在C 上连续,且z a =为D 内任一点,n 为正整数,则积分1()()n C f z dz z a +-?等于（）． A.(1)2()(1)!n if a n π++B.2()!if a n π C. ()2()n ifa πD.()2()!n i f a n π3. 1-=z 是函数4cot (1)zz π+地（）．A. 3阶极点B. 4阶极点C. 5阶极点D. 6阶极点4. 设()Q z 在点z=0处解析,)1()()(-=z z z Q z f ,则Res [(),0]f z 等于（）．A. (0)QB. (0)Q -C. (0)Q 'D. (0)Q '-5. 设)(z f w =在0z 解析,且0)(0≠'z f ,则映射)(z f w =具有( )． A. 只把0z 地一个邻域内某一小三角形映成含)(00z f w =地一个三角形；B. 把0z 地一个邻域内任一小三角形映成含)(00z f w =地一个曲边三角形,二者近似相似；C. 把充分小地圆周r z z =-0映成三角形；D. 把含0z 地充分小地三角形映成圆周．三. (10分) 将zzz f sin )(=在圆环∞<<||0:z D 内展开成罗朗级数．四. (10分) 计算留数Res 6,0shz z ??地值．五.（10分）设()cos f z z z =,计算积分()if z dz ?．六. (10分) 计算积分34(1)(1)Cdzz z -+?,其中C ：|1|1z -=地正向．七. (10分) 在指定区域,把函数()f z 展开为洛朗级数．ln ()(1)zf z z =-,0|1|1z <-< 八. （5分）设1()sinf z z i=-, （1）求)(z f 在0||z i <-<+∞地洛朗级数；（2）在扩充复平面求)(z f 所有孤立奇点处地留数．九. （5分）设33(1)(3)()(sin )z z f z z π+-=, （1）求()f z 地所有孤立奇点并判断其类型；（2）求Res [](),3f z ． A 卷参考答案：一．（20分）（1）1 （2）0 （3）2 （4）2（5）2214125(2)2πππ=+ 二．（10分）（1）B （2）C （3）B （4）C （5）B 三（10分）解：因为388(cos sin ),z i ππ=-=+所以, 222(cossin),0,1,2.33k k z i k ππ++=+=（6分）即方程有三个解：11z=,22z =-,31z =-（10分）四．（10分）解：根据对函数地定义有(34)ln 34(34)Ln i i iArg i -+=-++-+ （6分）4ln 5(arctan 2)3i k ππ=+-+0,1, 2...k =±± （10分）五．（10分）解：令221()(1)(4)f z z z =++ ,则()f z 在Ｃ内有两个一阶极点,i i -,由留数定理得()2(Re [(),]Re [(),])cf z dz i s f z i s f z i π==-?（6分）2(()()()())lim lim z iz ii z i f z z i f z π→→-=-++＝０（10分）六．（10分）解：七.（10分）解：令1211,,cos 0.5(),21053cos [5 1.5()]231032(31)(3)i i i i z z z z e dz e id e e d dz iz z zidz z z idzz z θθθθθθπθθ-======+=+++-=++-++?则从而有在1z =内被积函数只有一个奇点13-,且为一阶级点,所以 23232221ln(2)ln[1(1)][(1)0.5(1)(1)...]3111(1)(1)(1)...1(1)(2)ln(2)1.(1)11[10.5(1)(1)...][1(1)(1)...]3510.5(1)(1)...6z z z z z z z z z z ln z z z z z zz z z z z z -=--=--+-+-+==--+---++---=--=-+-+-+--+--=-+---+所以132212Re [,]053cos (31)(3)3223(3)2z d i i s z z ii z πθπθππ=--=-+++-=+=八．（10）分解：()f z 在复平面内有两个奇点1,-1,根据留数定理有11Re [(),](Re [(),1]Re [(),1]22122z z z z s f z s f z s f z e e z z e e ==-∞=-+-=--=-+九．（10分）解：设152243()(1)(2)z f z z z =++,则()f z 得所有有限奇点均在3z =内部,由留数定理得： 1()2Re [(),]2Re [(),]nkk f z i s f z z i s f z ππ===-∞∑?另一方面：2152232422430224311Re [(),]Re [(),0]21()1Re [.,0]11(1)(2)1Re [,0](1)(12)1(1)(12)1z s f z s f z z s z z z s z z z z z =-∞==++=++=++= 所以所求积分为：2i πB卷答案：。
《复变函数》教案
新疆财经大学教案
课程名称：复变函数
任课班级：应用数学系06级
任课教师：热西旦·湖加
应用数学系信息与计算数学教研室二○○九＿二○一○学年第一学期
课程教案概貌
课程单元教案（单元 1 ）
注：一单元为3个标准学时
课程单元教案（单元 2 ）
课程单元教案（单元 3 ）
注：本单元为6个标准学时
案（单元 4 ）
课程单元教
注：一单元为3个标准学时
课程单元教案（单元 5 ）
注：一单元为3个标准学时
课程单元教案（单元 6 ）
课程单元教案（单元 7 ）
课程单元教案（单元 8 ）
课程单元教案（单元 9 ）
注：本单元为6个标准学时
课程单元教案（单元 10 ）
注：一单元为3个标准学时
课程单元教案（单元 11 ）
注：一单元为3个标准学时
课程单元教案（单元 12 ）
课程单元教案（单元 13 ）
课程单元教案（单元 14 ）
注：一单元为3
个标准学时
课 程 单 元 教 案（单元 15 ）
注：一单元为3个标准学时。
复变函数课程大纲
复变函数课程大纲一、课程简介复变函数是数学分析的重要分支，研究复数域上的函数及其性质。
本课程旨在介绍复变函数的基本理论和应用，使学生对复变函数的复杂性和美妙性有全面的了解。
二、课程目标1. 理解和掌握复数的基本概念和性质。
2. 掌握复变函数的连续性、可微性和解析性。
3. 熟悉复变函数的积分理论和Laurent级数展开。
4. 理解共形映射的概念和应用。
5. 学会应用复变函数分析解决实际问题。
三、课程大纲1. 复数与复平面1.1 复数的定义与运算规则1.2 复数的几何表示及其性质1.3 复平面上的点集与集合运算2. 复变函数的基础2.1 复变函数的定义2.2 复变函数的极限与连续性2.3 复变函数的导数与解析性2.4 初等函数的复变函数3. 全纯函数与解析函数3.1 全纯函数的定义与性质3.2 解析函数的概念与判定条件3.3 应用：调和函数与调和共轭函数4. 积分理论4.1 积分路径和积分曲线4.2 积分的独立性与积分路径的连通性 4.3 柯西黎曼积分定理及其应用4.4 柯西积分公式和柯西定理5. 级数展开与留数理论5.1 函数的Taylor展开5.2 Laurent级数的定义与性质5.3 留数与留数定理5.4 应用：计算复积分和求解微分方程6. 共形映射6.1 什么是共形映射6.2 平面区域的共形映射6.3 上半平面到单位圆盘的映射6.4 应用：边值问题与几何构造四、教学方法为达到课程目标和要求，将采用以下教学方法：1. 理论讲授：将重点突出的知识点进行全面而详细的讲解。
2. 示例演练：通过具体的例子和问题，在课堂上进行实际操作和计算，以加深学生对知识的理解。
3. 案例分析：引入一些真实的案例和应用，让学生将所学的复变函数理论应用于实际问题的求解。
4. 讨论互动：组织课堂讨论，鼓励学生积极参与，提出问题和思考，促进学习效果的提高。
五、考核方式1. 平时作业：布置课后习题和实践题，加深对知识的理解与应用能力。
复变函数2.2
19
思考题
实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同? 哪些异同
20
思考题答案
两者在函数的奇偶性、周期性、 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是 类似的, 而且导数的形式、 类似的 而且导数的形式、正余弦函数的平方和等 公式也有相同的形式. 公式也有相同的形式 最大的区别是, 实变三角函数中, 最大的区别是 实变三角函数中 正余弦函数都 是有界函数, 但在复变三角函数中, 是有界函数 但在复变三角函数中
| cos z | = cos x + sinh
2 2 2
y
12
(8) | sin z |≤ 1, | cos z |≤ 1在复数域内不再成立 .
例
求 cos(1 + i ) 的值.
e i (1+ i ) + e − i (1+ i ) 解 cos(1 + i ) = 2 1 −1 = [e (cos 1 + i sin 1) + e(cos 1 − i sin 1)] 2 1 −1 1 −1 = (e + e ) cos 1 + (e − e )i sin 1 2 2 = cos 1 cosh 1 − i sin 1 sinh 1.
,
例3
e
1 z
z2
=e
x2 − y2
;
x −y +i 2 2 x2 + y2 x + y
( 2) e = e
1 z
1 x + yi
=e
,
. 求函数 f (z) =e 的周期
z 5
Re(e ) = e
x x2 + y2
y cos 2 . 2 x +y
复变函数2.2初等解析函数
复变函数2.2初等解析函数§2 初等解析函数例2.3 及例2.4已经指出了多项式及有理分式函数的解析性。
这一节和下一节将进一步讲复变数的初等函数，这些函数是数学分析中通常的初等函数在复数域中的自然推广。
经过推广之后的初等函数，往往会获得一些新的性质。
例如，复指数函数z e 是有周期的，函数z z cos sin 及已不在是有界的，等等。
1. 指数函数由例2.9，我们知)sin (cos )(y i y e z f x +=在z 平面上解析，且)()('z f z f =。
进一步，还易验证).()()(2121z f z f z z f =+因此，我们有理由给出下面定义。
定义2.4 对于任何复数iy x z +=，我们用关系式 ()y i y e e e x iy x z sin cos +==+ 来规定指数函数z e对于复指数函数z e ，我们指出它具有如下的性质：(1) 对于实数()0==y x z 来说，我们的定义与通常实指数函数的定义是一致的。
(2) ;arg ,0y e e e z x z =>=在z 平面上0≠z e (3) Z e 在z 平面上解析，且e zZ e =')((4) 加法定理成立，即e e e z z z z 2121=+(5) Z e 是以i π2为基本周期的周期函数（注（1））因对任一整数k ，e eee zik zik z ==+ππ22这里12=eik π（6）极限lim zz e →∞不存在，即e ∞无意义因当z 沿实轴趋于∞+时，∞→e z；当z 沿实轴趋于-∞时，0→e z注:（1）如一函数)(z f 当z 增加一个定值ω时其值不变，即)()(z f z f =+ω，则称)(z f 为周期函数，ω称为z 的周期。
如)(z f 的所有周期都是某一周期ω的整倍数，则称ω为)(z f 的基本周期。
（2）（2.9）式中，当 z 的实部0=x 时，就得到欧拉公式y i y eiysin cos +=所以（2.9）是欧拉公式的推广（3）因10==-e e e zz ，从而ee z z 1=-；e e e z z zz2121-=（4）e z仅仅是一个记号，其意义如定义2.4，它没有幂的意义（5）虽然在z 平面上，ee ik z z π2+=（k 为整数），但0)(≠='e e zz即不满足罗尔（Rolle ）定理，故数学分析中的微分中的微分中值定理不能直接推广到复平面上来。
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2i
w ez
w-平面 L'
u
B'
v
L
y0 i x0
B x
对数函数的定义：
和实变量一样，复变量的对数函数也 定义为指数函数的反函数： w 满足方程e z ( z 0)的函数w f ( z )，
称为对数函数，记为 Lnz。 w
注解、由于对数函数是指数函数的反函 数，而指数函数是周期为2i 的周期函数 ，所以对数函数必然是多值函数，事实 上，有：
d dz
ln z 1 z
所以，w ln z在原点和负实数轴上不连续， 从而不可导。w 指数函数z e 在区域{ v arg z }内 的反函数w ln z是单值的，所以 d ln z de1w e1w 1 dz z
dw
例1
计算Ln (1)的值。
解：因为 | 1 | 1， 1) ，所以有 arg(
z z
2、指数函数w e 是实变指数函数在复平
z
面上的解析拓广； 3、从定义知道， z x | e | e
Arge y 2k，k 0,1,2, z 4、e 0.
z
5、指数函数代数性质（ 加法定理）： 若z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2，则 z1 z2 x1 x2 e e e (cos y1 i sin y1 ) e (cos y2 i sin y2 ) x1 x2 e [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )] z1 z2 e z1 z2 z1 z2 即 e e e 。 z 6、指数函数 e 是周期为 i的周期函数： w 2 z 2i z 2i z z 即 e e e e (cos 2 i sin 2 ) e 。 7、指数函数的渐进性态 ：z 时，无
首先，
设
f ( z) f ( x iy) e f (iy);
x
f (iy) A( y) iB( y),
指数函数的定义：
则 f ( z) e A( y) ie B( y),
x x
由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有
A( y) B' ( y), A' ( y) B( y),
i
w Lnz ln | z | iArgz, z 0
对数函数的主值：
相应与幅角函数的主值，我们定义对 数函数Lnz的主值lnz为： w lnz ln | z | i arg z, 则这时，有
w Lnz ln | z | i arg z 2ki ln z 2ki,
三种对数函数的联系与区别：
函数
ln x
单值与多值
定义域 注解
单值 多值 单值
所有正实数
所有非零数 所有非零复数 一个单值 分支为ln z z x 0时， 为ln x
Lnz ln z
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为 集合相等，并且下面的 等式将不再成立：
ln13 i arg( arctan )
1 2 3 2
小结
2.2(1)初等函数 (1)指数函数与对数函数
指数函数的定义：
e e (cos y i sin y).
z x
指数函数的基本性质
e 在整个复平面解析： (e )' e
z
z
z
| e | e
z z
x
Arge y 2k，k 0,1,2,
对数函数的基本性质
Lnz nLnz.
n
1 至于类似于Ln n z n Lnz的等式是否成立,建议有兴趣的同学作一个
全面深入的有关的调查研究,并写成一篇小论文.
参考资料之一: 杨纶标,关于复变函数中的几个 问题的研究,教育研究,2004.1
3、对数函数的解析性质： 对数函数的主值分支 ln z在除去原点和负 实轴的复平面上解析，并且有
极限，但有
z x iy x
lim e
z
z x iy x
lim e 0
z
8、指数函数的几何性态： z w e 把 Re z ,0 Im z 2 映照
为整个w 平面； 把直线Im z y0 映照为w 平面的射线 {arg w y0 }；把线段Re z x0 ,0 Im z 2 x0 映照为平面的圆{| w | e }；
第二章 解析函数
2.2(1) 初等函数 (1)指数函数与对数函数
指数函数的定义：
我们首先把指数函数的定义扩充到整个复 平面。 要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件：
1、x R, f ( x) e ;
x
2、f ( z)在C上解析； 3、z1 , z2 C, f ( z1 z2 ) f ( z1 ) f ( z2 );
3 2
1 ln13 i (arctan 3 2k ) 2 2 (k 0,1,2,)。
例3 计算 ln i和ln( 2 3i)的值。
解：由对数函数主值分支的定义知：
lni ln | i | i arg i i; 2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg( 2 3i)
w Lnz ln | z | i arg z 2ki ln z 2ki,
三种对数函数的联系与区别：
函数
ln x
单值与多值
定义域 注解
单值 多值 单值
所有正实数
所有非零复数 所有非零复数 一个单值 分支为ln z z x 0时， 为ln x
Lnz ln z
对数函数的基本性质
当z 0时， | z | 与 arg z均没有定义； ln 当z0 x0 0时， lim arg z , lim arg z ,
z x iy x0 y 0 z x iy x0 y 0
事实上， z ln | z | i arg z( arg z )。 ln
如果令z re ，w u iv，则由定义知道， u iv i e re 所以有： u ln r, v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角 函数的 多值性知道， 是多值的；因为 是z的幅 v 角，所以v 2k Argz,
可取解
A( y) cos y, B( y) sin y,
因此，我们给出指数函数的如下定义： z x e e (cos y i sin y). 我们也重新得到欧拉公式：
e cos y i sin y
iy
指数函数的基本性质
1、指数函数w e z在整个复平面有定义， 在整个复平面解析，且有： (e )' e
e 0.
z
e e e
z1 z2
z1 z2
。
e
z
周期为2 i：e
z 2 i
对数函数的定义：
满足方程e z ( z 0)的函数w f ( z )，
w
称为对数函数，记为 Lnz。 w
w Lnz ln | z | iArgz, z 0
对数函数的主值：
w lnz ln | z | i arg z,
Ln(-1) ln1 i( 2k )
(2k 1)i (k 0,1,2,)。
例2
计算Ln (2 3i )的值。
解：因为 | 2 3i | 13， 2 3i ) arctan 3 ，所以有 arg( 2
Ln(2 - 3i) ln 13 i (arctan 2k )
w Lnz定义在整个复平面减 去原点,多值函数; Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2
Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
不成立：
Lnz nLnz.
n
主值分支 ln z在除去原点和负 实轴的复平面上解析，且有
d dz
ln z 1 z
本讲结束
How beautiful the sea is!