第二章复习题

复习题

1.螺丝钉生产中废品率为0.015，问一盒应装多少只才能保证每盒有100只以上的好钉的概率不小于80%（提示：用Possion 逼近，设应装100+k 只）

解 设应装k +100只，为使每盒有100个以上的好钉，则每盒中的次品钉个数应1-≤

k ，从而

∑-=-++≥⋅=1

10010080.0985

.0015.0k i i

k i

i

k

C

P

由于k 值不大，有

()5.1015.0100≈⋅+k

由Possoin 定理，5.1=λ

∑-=-≥≈1

05

.180.0!

5.1k i i

e i P 查表得

8088.021==-p k 时，； 5578.011==-P k 时， 取21=-k ，即3=k 。

2.在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X 表示这个质点的坐标，设这个质点落在[0,a]上任意小区间的概率与这个小区间的长度成正比，试求X 的分布函数。

解 由题意，),0(~a U X

，其概率密度为

⎩⎨⎧<<=其它

00/1)(a x a x f ，故X 的分布函数为

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<<≤=a x a x a x x x F 10/00)(

设有三条直线段，其中有两条长度依次为1，2，而第三条直线段的长度X 是随机变量，其概率密度函数是

⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0

,00,)1()(2

x x x A

x f 求：（1）系数A 的值；（2）求三

条线段能构成三角形的概率。 解 （1）==

⎰∞+∞-dx x f )(1⎰∞

++0

2

)

1(dx x A

1=∴=A A

（2）4/1)

1(1

}31{3

1

2=+=<<⎰dx x X P 4.某机器生产的螺栓长度（cm ）服从参数

06.0,05.10==σμ的正态分布，规定长度在范围

12.005.10±内为合格品，求一螺栓为不合格品的概率。

解 Y 表示螺栓的长度，则)06.0,05.10(~2

N Y

所求概率为

0456

.09772.022)2(22)]2()2([1}

06

.012

.006.005.1006.012.0{1}12.005.1012.005.10{1=⨯-=Φ-=-Φ-Φ-=≤-≤--=+≤≤--=Y P Y P P

5.一台仪器在100个小时内平均发生1次故障，试求在100个工作小时内故障不多于2次的概率。

解 )001.0,100(~B X ，用Possion 逼近，有

999845

.0)1.0()1.0()1.0()2(210=++≈≤P P P X P

6.一口袋中有8个球，分别标有数字-2，-1，1，1，1，2，2，3，从袋中随机取一只，以X 表示球上的数字。（1）写出X 的分布律；（2）求随机变量122

+=X Y 的分布律。

解（1）X 的分布律为

（2）Y 所有可能的取值为：9，3，19

83}2{}2{}9{=-=+===X P X P Y P

2

1

}1{}1{}3{=-=+===X P X P Y P

8

1

}3{}19{====X P Y P

Y 的分布律为：

7.设随机变量X 和Y 服从相同的分布，X 的概率密度函数

为⎪⎩⎪⎨⎧>>=其它

,002,83)(2x x x f ，已知事件A={X>a}和事件

B={Y>a}相互独立，且4

3

}{=B A P ，求常数a 的值。

解 X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=2

1208

100)(3

x x x

x x F X,Y 同分布，故)(1)()(a F B P A P -==

X,Y 独立，从而

4/3)](1[)(22)()()()()(2

=---=-+=a F a F B P A P B P A P B A P

3

348

12/1)(=∴==∴a a a F