由递推公式求通项公式的三种方法

由递推公式求通项公式的三种方法

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推公式求通项公式的几种方法．

1．累加法

[典例1] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *

)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11 [解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3.

[答案] B

[题后悟道]

对形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法，巧妙求出a n －a 1与n 的关系式．

2．累乘法

[典例2] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝

n ＋23a n . (1)求a 2，a 3；

(2)求{a n }的通项公式．

[解] (1)由S 2＝43

a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.

由S 3＝53

a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32

(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.

当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13

a n －1，

整理得a n ＝n ＋1n －1

a n －1. 于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1

a n －1. 将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝

n n ＋1 2. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝

n n ＋1 2.

[题后悟道]

对形如a n ＋1＝a n f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法，巧妙求出a n a 1与n 的关系式．

3．构造新数列

[典例3] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；则a n ＝________.

[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，

∴a n ＋1＋1a n ＋1

＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3

n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.

[答案] 2×3

n －1－1

[题后悟道]

对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”的递推公式求通项公式，可用迭代法或构造等比数列法．

上面是三种常见的由递推公式求通项公式的题型和对应解法，从这些题型及解法中可以发现，很多题型及方法都是相通的，如果能够真正理解其内在的联系及区别，也就真正做到了举一反三、触类旁通，使自己的学习游刃有余，真正成为学习的主人．