复数的四则运算(1)
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的四则运算(一)
(a+bi)(c+di)= ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i
2、复数的乘法满足交换律、
结合律以及乘法对加法的分配律. 即对任何z1, z2, z3 有
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3);
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
例2、 (2 i )( 3 2i )( 1 3i )
一.复数加法的运算法则：
1、运算法则:设复数z1=a+bi, z2=c+di, ( a,b,c,d∈R) 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i 即:两个复数相加就是实部与实部, 虚部与虚部分别相加.
2、复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1, z2, z3∈C,有
z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例3、求下列复数的平方根
(1) -4 (2) 2i，3i，-8i
(3) 5+12i
例4：计算
2
(a bi )( a bi ) 解： (a bi )(a bi )
a abi abi b i
2 2
a b
2
2
(a bi )( a bi ) a b
2
2
例5、在复数范围内分解因式 (1) x2 +9 (2) x4 -16
(3) x2+2x+5
再见
二.复数减法的运算法则：
1、运算法则:设复数z1=a+bi, z2=c+di, ( a,b,c,d∈R) 那么：z1-z2=(a-c)+(b-d)i
复数三角形式的四则运算公式
复数三角形式的四则运算公式一、复数的加法：复数的加法运算是指将两个复数相加。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的和为：(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i二、复数的减法：复数的减法运算是指将一个复数减去另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的差为：(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i三、复数的乘法：复数的乘法运算是指将两个复数相乘。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的积为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i四、复数的除法：复数的除法运算是指将一个复数除以另一个复数。
设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，i是虚数单位，则它们的商为：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i以上是复数的四则运算公式，通过这些公式可以对复数进行加减乘除的运算。
在实际问题中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理、傅里叶变换等领域。
例如，在电路分析中，当电路中存在交流信号时，可以将信号表示为复数形式，利用复数的四则运算可以方便地进行电路参数计算和信号处理。
在信号处理中，复数的四则运算常用于频域分析，例如傅里叶变换。
通过将时域信号转换为频域信号，可以对信号的频谱进行分析和处理，从而实现滤波、频谱显示等功能。
总结起来，复数的四则运算是数学中一个重要的概念和工具，它在实际问题中具有广泛的应用。
通过掌握复数的加减乘除运算规则，可以更好地理解和应用复数，提高数学和工程领域的解决问题的能力。
复数的四则运算(一)学案
课题：复数的四则运算（一）一、 新课引入问题： 建立了复数的概念以后，很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算。
由于实数是复数的一部分，所以建立复数运算时，应当遵循的一个原则是：作为复数的实数，在复数集里的运算和在实数集里的运算应当是一致的。
那么，如何定义复数的加法与减法运算呢？二、 概念构建问题1：我们知道，i 与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么任何两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？问题2：复数的加法可以有哪些运算律？问题3：你能否用复数加法法则证明交换律和结合律吗？问题4：我们知道实数减法是加法的逆运算，那么复数的减法是怎样由加法得到呢？问题5：复数的加减法法则是什么？问题6：复数的乘法如何进行四则运算？问题7：复数的乘法可以有哪些运算律？你会证明吗？问题8：当0>a 时，你会解方程02=+a x 吗？共轭复数的概念？实数的共轭复数有什么特点？三、 例题选讲例1 计算)i 43()i 2()i 65(+---+-变式：计算)i 20202019()i 20192018()i 54()i 43()i 32()i 21(-++-+⋅⋅⋅++-+-++-+-例2 计算：（1）)i 31)(i 23)(i 2(+---- （2）)i )(i (b a b a -+问题9：根据例2（2），设R ∈y x ,，在复数集内，你能将22y x +分解因式吗？变式 在复数集内分解因式：（1）14-a （2）），（R x a x x ∈++322例3 求i 684--及的平方根.变式 设R ∈n m ,，求关于x 的方程0422=++x x 的两个根.四、 当堂检测 1．已知R ,∈b a ，i 2i )i (-=-b a ，则i b a +的共轭复数为（ ）A . i --2 B. i -2+ C. i -2 D. i 2+2.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知R ∈a ,i 是虚数单位，若4,i 3=+=z z a z ，则a 为（ ）A ．1或-1B . 7-7或C .-3D .34．若复数i 1+=a z (R ∈a )， i 12+=z （i 为虚数单位），则2z =__________；若z 1z 2为纯虚数，则a 的值为__________．5.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是___________.五、课堂总结1.复数代数形式的加减运算2.复数代数形式的乘法运算六、课后作业1．若a 为实数且i 4)i 2)(i 2(-=-+a a ，则a 为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22．若复数i)23(i -=z (i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -3．设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 4.z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i5. (多选题)设z 是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2<0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2<06.在复数范围内分解因式：32++x x =___ ___．7.若复数z 满足()3i 2i z +=-（i 为虚数单位），则z =_______8.若复数)i 2)(i 1(+-=m z 是纯虚数，则实数m 的值为9．设112i z z z -= (其中1z 表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是-1，求z 2的虚部．10.已知i 是虚数单位，复数z =2﹣i+（4﹣2i ）i ．（1）求复数z ；（2）若（m ，n ∈R ，是z 的共轭复数），求m 和n 的值．。
高中数学复数的四则运算(1) 例题解析
复数的四则运算(1) 例题解析【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则：(2)复数的减法法则:：(3)两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为4. =z =±21z z【指点迷津】1. 复数的加减法法则可以推广到复数相加减吗?可以2. 复数的加法满足交换律,结合律吗?满足3. 实数有共轭复数吗？有, 实数的共轭复数仍是它本身【典型例题】例1．计算：(1))]31()43[(5i i i +--+-解析： )]31()43[(5i i i +--+-=i i i 44)4(5+-=+-(2)i bi a bi a 3)32()(---+ （R b a ∈,）解析： i bi a bi a 3)32()(---+i b a i b b a a )34(]3)3([)2(-+-=---+-=点评：（1）类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．（2）算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部和虚部分别相加．例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值． 解析：由i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数得：⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+)31(2122m m m m 解得：⎩⎨⎧=±=11m m 从而1=m 。
即1=m 时，21,z z 是共轭复数．点评：应准确把握共轭复数的代数特征：实部相同，虚部互为相反数． 例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．分析：先利用,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=得到复数z 满足的等式，然后设bi a z += （R b a ∈,）利用复数相等得到关于实数b a ,的方程组，解方程组即可． 解：因为,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=i z z i i z i z i i z i z i i z i z i z f 223)(23)(23)()(2)(-+=--++=-+++=-+++=+所以i z z 3662-=-+即i z z -=+62设bi a z += ),(R b a ∈则bi a z -=，所以i bi a bi a -=++-6)()(2即i bi a -=-63 由复数相等的定义知：⎩⎨⎧-=-=163b a ，解得：⎩⎨⎧==12b a 所以i z +=2 所以 i i i i z f 463)2()2(2)(--=-+-+--=-点评：本题中要求)(z f -的值关键是先求出z ，在求复数z 时通常设复数),(R b a bi a z ∈+=，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．。
复数的四则运算
(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
1 2 3 4
i , i __ i __ __ __ i , i 1 , i 1
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？ 4 n 1 4n i i , i 1,
例4、下列命题中的真命题 为： D ( A )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
四、例题应用：
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i )
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
（ 1 ） (a bi)(a bi) 例2：计算
a abi abi b i
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
五、课堂小结： 1、定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
目标: 分母实数化;
手段:
z z R.
三、知识新授：
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
复数四则运算
棣美弗定理
設 Z Z (cos i sin )
Z Z (cos n i sin n ) ，n為整數
n n
我們稱此公式為棣美弗定理。
複數
複數的n次方根
x Z 的根為
n
xk
n
2 k 2 k Z (cos i sin ) ，( Arg( Z ))
n n
k = 0、1、2、3、……、 n 1
複數
i之運算性質
n為自然數， i 1 (1) i4n = 1 (2) i4n+1 = i （指數除以4餘數為0） （指數除以4餘數為1）
(3) i4n+2 = –1 （指數除以4餘數為2）
(4) i4n+3 = – i （指數除以4餘數為3）
複數
數
系
整數(Z ) 有理數(Q ) 分數 正整數( 自然數 ) 零 負整數 有限小數 無限循環小數 無理數( 不循環的無限小數 )
實數(R)
複數(C )
虛數
複數
複
數
設a、b為實數，形如 a + bi 的數稱為複數，a 稱為 實部，b 稱為虛部。
複數 Z = a + bi
b
0，Z為純虛數。 a = 0 ， b
= 0，Z為實數。
複數
共軛複數
若Z = a + bi，a、b為實數，則 a bi稱為 a + bi的共軛複數，以符號 Z 表之，即
複數
複數的絕對值
設x、y為實數， Z x yi ( Z 0)，則在複 數平面上之Z點到原點的距離稱為Z的絕對 值，以 Z 表示之，且規定
Z x y
2 2
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
高二数学复数的四则运算1
复数的运算
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上下功夫。 口福和眼福俱饱矣，耳福呢？ 无一座城市致力于“音容”，无一处居所以“寂静”命名。 我们几乎满足了肉体所有部位，唯独冷遇了耳朵。 甚至连冷遇都不算，是折磨，是羞辱。 做一只现代耳朵真的太不幸了，古人枉造了“悦耳”一词，实在对不住，我们更多的是“虐耳”。 有个说法叫“花开的声音”，一直，我当作一个比喻和诗意幻觉，直到遇一画家，她说从前在老家，中国最东北的荒野，夏天暴雨后，她去坡上挖野菜，总能听见苕树梅绽放的声音，四下里噼啪响 “苕树梅”，我家旁的园子里就有，红、粉、白，水汪汪、亮盈盈，一盏盏，像玻璃纸剪出的小太 阳。我深信她没听错，那不是幻听和诗心的矫造，我深信那片野地的静、那个年代的静，还有少女耳膜的清澈她有聆听物语的天赋，她有幅画，《你能让满山花开我就来》，那绝对是一种通灵境界我深信，一个野菜喂大的孩子，大自然向她敞开得就多。 我们听不见，或难以置信，是因为失聪日 久，被磨出了茧子。 是的，你必须承认，世界已把寂静 这大自然的“原配”，给弄丢了。 是的，你必须承认，耳朵 失去了最伟大的爱情。 我听不见花开的声音。 我只听见耳朵的惨叫。 ? 让事物恢复它的本来面目 ? 林间松韵，石上泉声，静里听来，识天地自然鸣佩； 草际烟光，水心云影， 闲中观去，见乾坤最上文章。 （明）洪应明《菜根谭》 1 我越来越笃信两点： 好东西都是原配的，好东西应是免费的。 近爱翻古人书，如《水经注》《帝京景物略》《夜航船》《闲情偶寄》之类，本以为年龄之故，后醒悟：我太想知道原先的世界何等模样，太急于在古代攀几位熟人，可随 时去串串门，偷得浮生半日闲，来一回精神私奔总之，我想看看这世间变化有多大，看看不一样的人生、不一样的活法。 还有，我迷上了古画，尤其《清明上河图》《南都繁会图》《皇都积胜图》这类市井风情长卷。我看的是画里的人生，我会对一个小人物凝视半天：夹袱疾行的汉子，挑帘张 望的妇人，酒旗下瞌睡的小二，拱桥上抱拳作揖的商贾我会猜其所有信息，年龄、职业、财路、性格，猜他为何出现在这里，其生存路线图，其梦想、快乐和烦忧我甚至想，以他的身份，今天会是什么境遇。比如一个挑担的游贩，我忍不住想，这个进城务工人员，会不会被勒令办暂住？何以躲 避城管的驱赶、地痞的纠缠、黑社会的保护费？他租得起房吗？娶得上媳妇吗？能供孩子上学吗？ 谁还记得从前的世界？谁还记得生活本来的样子？ 天本是蓝的，山本是绿的，河本是涌的，水本是清的，庙本是有佛的，菩萨本是热心肠的，人本是知羞的，猪本是自然长大的，房子本是连地皮 的，娃本是想生就生的，燕雀本是登堂入室的，承诺本是值千金的，商铺本是童叟无欺的 这些自然元素、风物资源，这些生活原理、道德逻辑，皆为世间“原配”，乃上天早早给人设计好、配置好了的作为祖业和古训，作为安身立命之本。就像中医里的方子，怎么兑、如何煎，早就酝酿好、交 代齐了。 遵循即获益。 古人还有个伟大共识：露天的事物、街面的东西，皆理所当然、天经地义地被视为阳光下的公产，没人会瞎琢磨、动邪念。比如路是免费的，桥是免费的，饮水是免费的，进城是免费的，入厕是免费的，烧香许愿是免费的，拴马歇轿是免费的，击鼓喊冤是免费的，询人 问路是免费的，山色湖光、游山玩水是免费的 东西越必需、越珍贵，越需要免费，越值得免费。 渐渐，你会发现，无论山岳江河还是市井俗习，无论风物万象还是生活美学，只要不去干预和涂改，只要保存和延续到今天，就是有价值、受器重的，就成了珍贵的物质或非物质文化遗产。这说明 了什么呢？ 只能实一点：人类对自然犯了错，对生活犯了错。 我们用50年推翻了5000年。 2 世界尚存多少原配？人间还剩几许古意？ 我们改变了山岳的形貌，改变了河流的习性，改变了季节的脾气，改变了几千年常识和老理我们拼命往地里灌农药化肥，往饲料和食物里投添加剂，还有什么 “转基因”“太空种子”“辐照食品” 我们把人之外的东西吃了个遍，把大地翻了个底朝天，盗出最贵重的珠宝，然后埋下垃圾。 像窃贼，像匪徒，我们扑向所有的乳房，把她们吸瘪、抽干、榨尽在贪欲面前，地球已毫无秘密，藏不住任何东西。 我们消灭了“原配”和母体，颠覆了古老与经 典。我们在混乱的逻辑中挣扎，以更大的亏损去生产，以更大的消耗去收获，以更大的破坏去修葺 这是个“二奶”的时代。 我们在“二奶”的基础上迎娶繁荣，畅想未来。 天地的质与本，上苍配给生命的天然元素和神圣契约，被消解了。我们离造物主颁发的秩序和法则，越来越远。 自从发 明空调暖气，我们连春夏秋冬都不想要了。有中医告诫我：夏天你一定要出汗，冬天你一定要知冷。 没错。身体是有原始记忆和密码的，它和大自然有约定百万年前就约好了。它耐心守候寒暑轮回、时序更替，若对方迟迟未临如同约好了人，苦苦翘首却不见其影，那悲愤可想而知。日子久了， 它 即紊乱即自暴自弃，以生病惩罚人的毁约，报复世界的失信。 所以，现代人身体多为病体。 没有山，只剩下矿山。没有河，只剩下河床。 守着一点点“原配”的残羹，人搬个板凳，开始吆三喝五地收费。封山，封湖，封岛，封户，封寨，封庙，封城那么多路障，那么多门票，若李白、张 岱、徐霞客们高寿至今，要携多少银两出门？多少人惦记他的盘缠？他哪里还会吟诗，只骂娘了。 我一直以为，山水门票，是人类发明的最丑陋和最无耻的东西。当一张黄山票卖300元时，那株傲立风霜的迎客松，即成了老鸨一样的摇钱树。 人，诗意地栖息在大地上。这诗意，一定和“免费” 有关。 3 小时候，我痴迷地图册。最讨厌的是行政页，最热爱的是自然版：褐色乃山，绿色为林，蓝色喻水，色度象征山水之高低深浅我还莫名地想，“爱祖国”“爱世界”“爱人民”，即因为有这些好看的颜色吧？有了五颜六色，江山才叫美，生活才值得过，世界才让人爱啊！ 所以，我一 面对地图，童心里就涨起“爱国主义”潮水，用不着教育。 那会儿的大自然，基本还算原配。 那天，网上读到个帖子，《请饶了故乡，不要种速生林》。 “家乡的木兰湖畔，正有人大规模毁山砍树，准备种速生林本人致电国家林业局、环保总局，接听者称不在管辖之列。致电国家信访办，永 远是忙音。致电《焦点访谈》，无人理睬本人感到空前绝望。故乡处生态脆弱的丘陵地带，河流短小急促，水土流失严重，而种速生林，生长周期短，又需大量水，易造成土壤板结，形成生态灾难。革命时期故乡14万烈士为新中国捐躯，恳请看在牺牲重大和生态脆弱的份上，饶了故乡，不要种 速生林，尤其别毁坏天然林 ” 读这篇帖子，内心几度哽咽。吾学浅薄，无力判断其科学逻辑，但经验告诉我：“原配”一定优于“二奶”！大自然选定的天然林，一定优于人工发明的速生林！ 我向这位孤独的陌生人致敬，向遥远山冈上的那份呐喊致敬。 它捍卫的是古老，是祖业。 4 卢梭说： “事物之所以美好并符合秩序，乃其事物本质使然，与人的约定无关。” 是的，人只能发现世界的美好并接受赐予，自己并不能创造世界的美好。 人其实很渺小，很无能。他不是地球主人，和草木虫兽一样，仅仅是孩子，是被抚养者。不知为何，他老想革命，想主持天下，想做皇帝。 从剥削 万物的角度看，人确实是在地球上建了个奴隶王国，且是最坏的那个朝代。若把所有物种都请上一个台面，人肯定是最道德败坏的那一席，就像我们最痛恨的人群中的败类。 发明有两种：一是适度发明，一是过度发明。 人，常常自殁于过度的创举。托马斯·米基利乃美国化学家，凭加铅汽油 和氯氟烃两项发明，他被封为“地球历史上对大气影响最大的个体生物”和“历史上杀戮最多的个体”。后来，他染上了脊髓灰质炎和铅中毒并瘫痪，即便如此，他也不甘寂寞，设计了一套绳索滑轮以便于自己起床。55岁那年，不幸发生了，他突然被绳索缠住，窒息身亡。 纵其一生，这个聪明 人亲手发明了自己的死。 我不知道，对人类来说，这是个怎样的寓言？ 真想，真想对马达轰鸣的世界大叫一声：停！ 让万物归位，让生活恢复它的本来面目吧 天是蓝的，山是绿的，河是流的，水是清的 我衷心怀念大自然的原配，人间游戏的原配。 末了，请容我爆一句粗口：打倒二奶！ ? 怎样才算一个好的时代 一死囚在临刑前哭喊对不起家人，他参与了一桩灭门杀人案。一个人在医院偷患者钱包，因母病重急需钱。一个官员贪污几千万，为了让深爱的女人锦衣玉食。一父亲为了女儿上大学，设局顶替了别人家的女儿。一老板拖欠民工的血汗钱，称别人欠自己的也没还。一妇女 从产房里将婴儿偷走，理由是太喜欢孩子却不能生育 一个坏的时代，在人性、伦理、规则、逻辑上，默认或怂恿如下做法 宠爱自己的孩子却漠视别人的孩子，孝敬自己的父母却欺凌别人的父母，善待自己的兄弟却盘剥别人的兄弟，荫护自己的眷属却虐待别人的眷属，爱惜自己的姐妹却侮辱别 人的姐妹，扩充自己的钱包却压榨别人的钱包，造福自己的家乡却掠夺别人的家乡 天使与魔鬼，两种人格，两个身份，两套本能。 而这，每天都发生在贪官、恶奴、街霸、骗子、奸商、盗贼身上。偶尔，也会若无其事地发生在普通人身上。 一个好的时代，应最大限度地消解以上荒谬和悖论。 一个好的时代，会让天下孩子都遇到呵护，所有父母都得到孝敬；会以政府的担当替代百姓的焦虑，会以政府的信用激励民间的诚实；会以完善的制度保障游戏的公正、分配的合理、权力的谦卑；会让富人失去骄横、学会仁爱，会让弱者得到帮助却不失尊严；会让每个做梦的人都有光明之感， 会让美德和纯真不被嘲笑与辜负；会让命运不亏待那些劳苦，会像麦田那样承诺耕耘与收成、汗水和果实成正 比 一个好的时代，个人的幸福不以别人的痛苦为肥料，个人的满足不以别人的忧愁为成本，个人的衣冠楚楚不以别人的破衫褴褛为背 景甚至，人类“以人为本”的时候不再虐待别 的物种，壮大人间的时候不再奴役大自然。 一个好的时代，空气中最大成分是氧和爱，大街上最流行的风景是笑容，是问候、礼让、牵手、携扶，非怨恨、牢骚、争抢和骂骂咧咧。 一个好的时代，应尽快到来！应尽快变成共识和承诺，变成效率和实践。应只争朝夕地去呼唤，夜以继日地去兑 现。 一个好的时代，不会把它的任务让渡给下个时代，它会对公民此生的幸福负责。
复数四则运算
复数四则运算复数是一种有趣而复杂的数字类型，可以表示一个或多个实数的数字。
复数由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一般地，我们可以用z=a+bi（a和b为实数）的形式表示复数。
其中，a表示实部，b表示虚部，i表示虚数单位。
复数的四则运算是对复数进行算数操作的基本知识。
一、复数的加法复数的加法即两个复数的相加，它的运算规则是：将两个复数的实部相加，虚部相加，然后结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的和，我们有：z1+z2=2+5i+2-3i=4+2i上式中，4+2i即为z1,z2的和。
二、复数的减法复数的减法即两个复数的相减，它的运算规则是：将两个复数的实部相减，虚部相减，然后结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的差，我们有：z1-z2=2+5i-2-3i=0+8i上式中，0+8i即为z1，z2的差。
三、复数的乘法复数的乘法即两个复数的相乘，它的运算规则是：用分数形式乘，然后将实部与虚部分别相乘，最后将结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i与z2=2-3i的积，我们有：z1z2=(2+5i)*(2-3i)=(2*2-5*3i)+(2*3i+5*2)=4-15i+6i+10=4+i上式中，4+i即为z1，z2的积。
四、复数的除法复数的除法即两个复数的相除，它的运算规则是：将分子分母换成一个复数，然后用乘法规则将分子实部与分母实部相乘，分子虚部与分母虚部相乘，再分别相减，最后将结果以新的复数的形式表示。
例如，计算复数z1=2+5i除以z2=2-3i，我们有：z1/z2=(2+5i)/(2-3i)=(2*2+5*3i)/(2*2-3*3i)-(2*3i+5*2)/(2*2-3*3i)=6+2i/1上式中，6+2i即为z1，z2的商。
综上所述，复数四则运算也就是复数的加法、减法、乘法和除法，其计算规则也是由上述运算规则及其举例来表示。
复数的四则运算(1)
准备
导学案导学，自主学习
教学
设想
前面我们学习了复数的相关概念和两个复数相等的充要条件，既然复数是数系的扩充，那么复数也肯定涉及一些四则运算，本节课我们主要学习复数的加、减、乘法运算，在教学中，我们应该类比多项式的运算法则，通过合情推理加深理解复数的加、减、乘法运算法则。对于本节知识的处理，由于内容较为简单，我们可以大胆放手让学生通过自主学习获得知识。
总课题
数系的扩充与复数的引入
总课时
第2课时
课题
复数的四则运算（1）
课型
新授课
教
学
目
标
知识目标
1.掌握复数的加法运算法则
2.掌握复数的减法运算法则
3.掌握复数的乘法运算法则
能力目标
会根据复数的加、减、乘法运算法则进行复数的加、减、乘法运算
情感目标
理解并掌握复数加、减、乘法运算法则，通过类比该运算法则与多项式的加、减、乘法运算法则，提高学生的数学猜想、类比、合情推理能力。
教学过程
师生互动
反思
模块一预习导学
复习回顾：
1.已知复数 ，其中纯虚数的是
2.复数 的实部是，虚部是
3.若复数 是虚数，则实数 的取值范围是
4.若复数 ，则实数a=
5．若 ，则实数x=，y=
模块二合作探究
探究一、复习回顾：实数运算法则
1、交换律： 或
2、结合律： 或
3、分配律:
探究二、复数的加、减、乘法运算法则：
1.复数的加法运算法则：
2.复数的减法运算法则：
3.复数的乘法运算法则：探究 Nhomakorabea、共轭复数：
探究四、知识应用：.
例1、（1）计算
（2）计算
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2
交换律 结合律 乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三 共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为 实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答案 满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ， 减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个 重要依据.
本课结束
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2021/11/22
知识点二 复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？ 答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关 于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚 部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有
12345
解析 答案
3. 设 复 数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ， 若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ， 则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.
高中数学 第三章 第二节 复数四则运算(1)(1)
第三章第二节复数四则运算（1）年级组别高二数学审阅（备课组长）审阅（学科校长）主备人使用人授课时间课题复数四则运算法则课型新课课标要求B级教学目标知识与能力掌握复数的加法运算及意义，共轭复数概念过程与方法理解并掌握实数进行四则运算的规律情感、态度与价值观理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点复数加（减）法、乘法法运算法则．教学难点复数加（减）法、乘法运算的运算律。
教学方法小组讨论，合作探究教学程序设计教学过程及方法环节一明标自学过程设计二次备课复习回顾：1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)a bi ab R+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即(,)z a bi a b R=+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小教学过程及方法环节二 合作释疑 环节三 点拨拓展过程设计二次备课讲解新课：１．复数z 1与z 2的和的定义： z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 2. 复数z 1与z 2的差的定义： z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1. 证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R ). ∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i . z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .又∵a 1+a 2=a 2+a 1，b 1+b 2=b 2+b 1. ∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律:(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)证明：设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ).∵(z 1+z 2)+z 3=［(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )］+(a 3+b 3i )=［(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ］+(a 3+b 3)i =［(a 1+a 2)+a 3］+［(b 1+b 2)+b 3］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )+［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］ =［a 1+(a 2+a 3)］+［b 1+(b 2+b 3)］i =(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3)，(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3). ∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律 5．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.6.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z37*.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数讲解范例：例1计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)＝(5-2-3)+(-6-1-4) i=－11 i例2计算：(1－2i)+(－2+3i)+(3－4i)+(－4+5i)+…+(2013—2014i)+(—2014+2015i)解法一：原式=(1－2+3－4+…+2013—2014)+(－2+3－4+5+…+2014－2015)i=﹣1007+1007i.解法二：∵(1－2i)+(－2+3i)=－1+i， (3－4i)+(－4+5i)=－1+i，……(2013－2014i)+(－2014+2015)i=－1+i.相加得(共有1007个式子)：原式=1007(－1+i)教学过程及方环节四当堂检测二次备课一、选择题1．0a=是复数()z a bi a b=+∈R，为纯虚数的（）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件2．设1z，2z为复数，则下列四个结论中正确的是（）Ａ．若2212z z+>，则2212z z>-Ｂ．2121212()4z z z z z z-=+-Ｃ．22121200z z z z+=⇔==Ｄ．11z z-是纯虚数或零3．若1i+是实系数方程20x bx c++=的一个根，则方程的另一个根为（）法Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i4．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．—2 Ｄ．—15、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对 计算题1．已知Z=1+i ．（1）若234z z ω=+-，求ω2、（10分）设,a b 为共轭复数，且2()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
循环课堂复数的四则运算(1)教案
房山高级中学生态循环课堂教案 高二数学(理科) 第05周 02 总编号：02 主备人：3.2 复数的四则运算（1）一、教学目标：1．掌握复数的加减法及乘法运算法则及意义；理解共轭复数的概念． 2．理解并掌握实数进行四则运算的规律． 二、教学重难点复数乘法运算． 三、教学方法：引导发现法、探索讨论法 四、教学过程教学流程教学方法 （一）、学生思考：问题1 化简：(23)(1)x x ＋＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋＋－＋吗？ 问题2 化简：多项式(23)(1)x x ＋－＋，类比你能计算(23i)(1i)＋－＋吗？ 问题3 两个复数a ＋bi ，a －bi 有什么联系？学生 自由 讨论（二）、学生展示复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ．复数和的定义：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ． 复数差的定义：z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数积的定义：z 1z 2＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ．性质：z 2z 1＝z 1z 2； (z 1z 2)z 3＝z 1(z 2z 3)； z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 共轭复数：i z a b ＝＋与i z a b ＝－互为共轭复数；实数的共轭复数是它本身．共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋．（三）、精讲点拨例1、计算(1－3i)－(2＋5i)＋(－4＋9i)． 解 －5＋i ．教师 分析 引导 分析 探究例2、计算(－2－i) (3－2i) (－1＋3i)． 解 5－25i ．变式：计算(a ＋b i) (a －b i)． 解 a 2＋b 2．思考1 当a ＞0时，方程x 2＋a ＝0的根是什么？ 解 x．思考2 设x ，y ∈R ，在复数集内，能将x 2＋y 2分解因式吗？ 解 x 2＋y 2＝(x ＋y i) (x －y i)．讨论(四)、课堂检测1．课本练习第3题．2．课本练习第4题．3. 已知复数z 满足：2i 42i z z z -⋅⋅＋＝＋ ，求复数z ．（五）要点归纳与方法小结1．复数的加减法法则和运算律． 2．复数的乘法法则和运算律． 3．共轭复数的有关概念． 五、预习下一个学案 六、教学反思学生 自主 限时 完成 师生 共同 完成。
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(2)复数乘法的运算定理
即对任何z1,z2,z3∈C有 交换律: 结合律: 分配律:
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3);
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
x a 0 的解是什么? (2 iபைடு நூலகம்(3 2i)(1 3i).
(1 3i) (2 5i) (4 9i).
2.复数的乘法法则
(a bi)(c di)
2
ac adi bci bdi ac adi bci bd (ac bd ) (ad bc)i
点评:
1、与多项式的乘法是类似的
2、结果中把 i 2 换成-1 3、实部、虚部分别合并
为（ ）
A.1 2i
作业:P111
B.2 i
习题 1、2
C.1 2i
D.2 i
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部
与虚部分别相加(减).
点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与
实数加法法则保持一致
(2)很明显，两个复数的和差仍 然是一个复数。对于复数的加减
§3.2复数的四则运算
(一)加法 减法 乘法
学习目标: 1.理解复数代数形式的四则运算法则.
2.能用运算律进行复数的四则运算. 自学指导:
1.复数的加 减 乘运算法则是怎样的? 2.两个复数的和 差 积仍是一个复数吗? 3.复数的加 减 乘满足哪些运算律? 自学检测:P108 练习 1 , 2
1.复数加减法的运算法则：
2
思考:当a>0时,方程
例2. 计算
例3. 计算
(a bi)(a bi).
x 2 y 2 分解因式吗? 思考:在复数集C内,你能将
共轭复数的概念 Z的共轭复数记作Z 概念： 共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个 复数。 共轭虚数：虚部不为0的两个共轭复数。 思考：
3i的共轭复数是？ 2的共轭复数是？
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z a bi时, Z a bi
分层训练: 必做题:p108 练习 3 4
5
走进高考
1.设 a, b, c, d R,则复数 (a bi)(c di) 为实数的充要条件是（ ）
A.ad bc 0 B.ac bd 0 C.ac bd 0 D.ad bc 0 2.满足条件 z 2 z 3 2i 的复数z 的值
法可以推广到多个复数相加减的情形。
(3)复数加减法的法则可类比多项式合并同类项法则 来理解和记忆.
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
容易验证复数的加法满足交换律、结合 律，即对任意Z1∈C，Z2∈C，Z3∈C Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
例1 计算