2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试文科数学试卷Word版含答案

2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试

文科数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合1|02x A x x +⎧⎫

=<⎨⎬-⎩⎭

，{}|12B x x =<≤，则A B =（ ） A ．(1,2)

B ．(1,2]

C ．[]1,2-

D ．[1,2)-

2.设复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i -+

B ．1i --

C ．1i +

D ．1i -

3.设向量(1,2)a =，(,1)b m m =+，//a b ，则实数m 的值为（ ） A ．1

B ．1-

C ．1

3

-

D ．3-

4.双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的1

4

，则此双曲线的离心率是（ ） A ．2

B ．

32

C ．3

D ．4

5.一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6.检测600个某产品的质量（单位：g ），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组所对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5~105.5之间的产品数为150，则质量在115.5~120.5的长方形高度为（ ）

A ．

112

B ．

130

C ．

16

D ．

160

7.已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ） A ．90S =

B ．5S 最小

C ．36S S =

D ．50a =

8.函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，2

2

π

π

ϕ-<<

）在区间(

,)42

ππ内是增函数，则（ ） A ．()14

f π

=-

B ．()f x 的周期为2

π

C ．ω的最大值为4

D ．3(

)04

f π

= 9.如图是用二分法求方程320x -=近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（ ）

A ．a m =，b m =

B ．b m =，a m =

C ．()a f m =，()b f m =

D ．()b f m =，()a f m =

10.过抛物线2

2y px =（0p >）的焦点F 作直线交抛物线于A ，B ，若4OAF OBF S S ∆∆=，则直线AB 的斜率为（ ） A ．35

±

B ．45

±

C ．34

±

D ．43

±

11.已知四面体A BCD -中，ABC ∆和BCD ∆都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（ ） A ．60π

B ．30π

C ．20π

D ．15π

12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(0)2f =，则不等式

()20x f x e -<的解集为（ ）

A ．(2,)-+∞

B ．(0,)+∞

C ．(1,)+∞

D ．(4,)+∞

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知实数x ，y 满足40,360,23120,x y x y x y -+≥⎧⎪

--≤⎨⎪+-≤⎩

则2z x y =+的最大值为 ．

14.若02a <<，02b <<

，则函数3

21()233

f x x bx =

+-存在极值的概率为 ． 15.若0a >，0b >，且21a b +=

，且2

2

4a b --的最大值是 ．

16.各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且11a =，23a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知在ABC ∆中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin sin sin()

a c A B

a b A B -+=

-+． （Ⅰ）求角B 的值；

（Ⅱ）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆面积S 的最大值．

18.某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：

30岁以上（含30岁） 300 260 140

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；

（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．

19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D 为AC 的中点，点E 为1AA 上．

（Ⅰ）当14AA AE =时，求证：DE ⊥平面1BDC ； （Ⅱ）当12AA AE =时，求三棱锥1C EBD -的体积．

20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率1

2

e =，点P 为椭圆上的

一个动点，PAB ∆面积的最大值为23 （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）动直线l 过椭圆的左焦点1F ，且l 与椭圆C 交于M ，N 两点，试问在x 轴上是否存在定点D ，使得

DM DN ⋅为定值？若存在，求出点D 坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．

21.已知函数2

()2ln 2()f x x x ax a R =+-+∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若存在0(0,1]x ∈，使得对任意的[2,0)a ∈-，不等式20()322(1)a f x a a me a >++-+（其中e 是