选修4-5数学归纳法PPT

k ( k 1)( 2k 1) 6
2
k ( k 1)( 2k 1) 6( k 1) 6

( k 1)( k 2)( 2k 3) 6
=右 ∴n=k+1时，原等式成立 由1、2知当nN*时，原等式都成立
题型一 用数学归纳法证明等式问题
证明：(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2×1＝2， ∴等式成立． 第二步的证明要用 (2)假设 n＝k(k∈N*)时等式成立． 上归纳假设! 即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3×5×…×(2k－1)成立． 那么 n＝k＋1 时， (k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)×…×(k＋k)(2k＋1) ＋ ＝2k 1×1×3×5×…×(2k－1)[2(k＋1)－1] 即 n＝k＋1 时等式成立． 由(1)、(2)可知，对任何 n∈N*等式均成立．
（2）假设当 n k ( k N , 且 k n 0 ) 时结论正
确，并证明当 n k 1 时结论也正确。 根据(1)(2)知对任意的 n N 且 n n 0 时命题成立。 （1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结 注： 论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失 去了递推的依据。 （2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得 出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要 做一个总的结论。 （3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
*
证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即有:
1 1 2 1 3 1 k 2 k,
则当n=k+1时,我们有:
1
2
1 2

1 3

k
1 k 1

1 k 1
) 2(
2
k
1 k 1
k)
,
1
k 1 (2 2 k 1 k k 1
Microsoft Office PowerPoint，是微软 公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或 者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打 印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的 领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不 仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召 开面对面会议、远程会议或在网上给观众展 示演示文稿。 叫演
1 k 1 1 k2 1 2k 13 24 ,
1
1
1
1
14
13
则当n=k+1时,我们有:
1 ( k 1) 1 1 k 1 1 k 2 1 ( k 1) 2 1 2k 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 1 2k 2 1 2k 2 1 k 1 )
题型二 用数学归纳法证明不等式问题
例5、用数学归纳法证明:
1 n 1 1 n2 1 2n 13 24 ( n 2 , n N ).
*
, 不等式 证:(1)当n=2时, 左边= 2 1 2 2 3 4 24 24 成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错 2、对 3、对 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全 归纳法，问题3是用的完全归纳法。
法国的数学家费马（Pierre de Fermat） 问题情境二：数学家费马运用不完全 (1601年～1665年) 。 归纳法得出费马猜想的事例 十七世纪最卓越的数学家之一， 他在数学许多领域中都有极大的贡献， 因为他的本行是专业的律师， 为了表彰他的数学造诣， 世人冠以“业余王子”之美称，
2

k 1 k 2
右边

k (k 2) 1 ( k 1 )( k 2 ) k 1 k 2 右边
即 n k 1时等式成立。 由（ 1）（ 2）可知，对一切正整数 ，等式均成立。

( k 1 )( k 2 )
例3、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 2 S n 用数学归纳法证明: a n n 1 .
1 2
(ak
1 ak
)
1 2
( k
k 1
k
k 1
2
k.
a k 1 S k 1 S k a k 1 k 1
1 2
( a k 1
1 a k 1
)
k a k 1 2 k a k 1 1 0
k ( a k 1 0 ).
(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 若当n=k(kn0 )时命题成立, 验证n=n0时命 证明当n=k+1时命题也成立 题成立 命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。
费 马 观 察 到 ： 2 2 2 2 2
2
0
1 3 1 5 1 17 1 257 1 65537
2
1
猜想：
Fn 2
2
n
2
2
1( n N )
2
3
都是质数
2
4
......
二、概念
1、归纳法定义： 对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可 能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。
n
an
1 an
.
证:(1)当n=1时, 2 a =1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 a k 则当n=k+1时,
a1 S 1 ( a1
1
1
1
) a 1 1 a 1 1, 1
2
11

第二步的证明要用 上归纳假设! k k 1.
1 )
Sk
第二步的证明没有 用上归纳假设!
当 n k 1时， 左边 (1 1 1 k 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) ( k 1 ( k 1) 1 1 k 1 1 k 2 )
左边 k k 1 1 ( k 1 )( k 2 ) ( k 1)
【例 2】用数学归纳法证明： (n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N*)．
①用数学归纳法证明与正整数有关的等式，关键在于“先看项”，弄清等 式两边的构成规律，等式两边有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝ k 到 n＝k＋ 1 时等式两边会增加多少项，增加怎样的项． ②在步骤(2)的证明过程中，突出两个“凑”字：一凑假设，二凑结论，关键是明确 n＝ k＋1 时证明的目标，充分考虑由 n＝ k 到 n＝ k＋1 时，命题形式之间的区别和联系．
证明：1、当n=1时,左=12=1，右=
∴n=1时，等式成立
2、假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时
1 2 3 k
2 2 2 2
6
1 第二步的证明要用 上归纳假设!

k ( k 1)( 2k 1) 6 ( k 1)
2
左=12+22+…+k2+(k+1)2=
2、归纳法分类： 归纳法
完全归纳法 不完全归纳法
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
（1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 说 不一定正确。 明： 提 出 问 题
（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
如何寻找一种严格推理的归纳法？
二、挖掘内涵、形成概念：
证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来 证明它们的正确性: (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立,
【归纳奠基】
问题情境三
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
3、数学归纳法 思考题：
（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？
（2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问 题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n 0 ( n 0 1 或 2 ) 时结论正确
(

13 24
(
1 2k 1

1 2k 2
)
13 24

1 ( 2 k 1 )( 2 k 2 )

13 24
.
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n 2 都成立. 例6、证明不等式:
1 1 2 1 3 1 n 2 n ( n N ).
请你来批作业
用数学归纳法证明： 1 2 证明：
（ 1）当 n 1时，左边 （ 2）假设当 1 1 2 1 23 1 2 ，右边 1 2
1

1 23

1 n ( n 1)

n n 1பைடு நூலகம்
(n N )

，左边
右边，等式成立；
n k 时等式成立，即 1 3 4 1 k ( k 1) k k 1
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形 式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘 法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
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题型二 用数学归纳法证明不等式问题
1 1 【例 4】 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式(1＋ )(1＋ )…(1＋ 3 5 2n＋1 1 )> 成立． 2 2n－1 1 4 5 证明：①当 n＝2 时，左＝1＋ ＝ ，右＝ ，左>右，不等式成立． 3 3 2 * ②假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N )时，不等式成立，即

数学归纳法的应用
题型一 用数学归纳法证明等式问题 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 题型三 用数学归纳法证明整除问题 题型四 用数学归纳法证明几何问题 题型五 用数学归纳法解决探究性问题
例1.用数学归纳法证明
1
2
2
2
3
2
n
2

n ( n 1 )( 2 n 1 ) 6 1(1 1)( 2 1)
2k＋1 1 1 1 (1＋ )(1＋ )…(1＋ )> ， 3 5 2 2k－1 那么当 n＝k＋1 时， 1 1 1 1 (1＋ )(1＋ )…(1＋ )[1＋ ] 3 5 2k－1 2k＋1－1
在用数学归纳法证明不等式时， 往往需要综合运用不等式证明的其他方法， 如比较法、配方法、分析法、综合法、重要 不等式法、放缩法(特别注意放缩要有“度”)等．
2k＋1 2k＋2 2k＋2 4k2＋8k＋4 > · ＝ ＝ 2 2k＋1 2 2k＋1 2 2k＋1 4k2＋8k＋3 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1 > ＝ ＝ ， 2 2 2k＋1 2· 2k＋1 ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由①②知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.
证明中的几个注意问题：
(1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效. (2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定. (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是 什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项.
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到
学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出： 这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º ，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内 角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º 。