考研数学-高数讲义精华版
考研高数数学讲义
转换
单调有界数列有极限 极限存在准则 夹逼定理
两个重要的极限 函数的连续性
lim
n
1
1 n
n
e
lim sin x 1 x0 x
用导数的定义
带皮亚诺余项的泰勒公式
用函数极限求数列极限
用定积分定义求某些和式的极限
利用级数相关理论求极限(数一、三)
无穷小量与无穷大量的定义、关系
无穷小量的运算性质
(3)商：若 lim g(x) b 0 ，则 lim f (x) lim f (x) a . g(x) lim g(x) b
(4)复合函数的运算法则：已知 lim uu0
f
(u)
A, lim (x) xx0
u0
在有意义的情况下，
lim f [(x)] A.
xx0
6.无穷小量与无穷大量
(1)无穷小量的概念
若
lim
xx0
( x)
0
，称 (x)
为
x
x0
(
x
)时的无穷小，即极限为
( x)
0 的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数 0 也是无穷小.
(2)无穷小量的性质 lim f (x) a 的充分必要条件为 f (x) a (x) ，其中 (x) 为 (xxx0 )
x x0 ( x )的无穷小.
1
二、知识网络
函数 有界性、单调性、奇偶性、周期性
极限概念
“ N ”定义
“ X ”定义
“ ”定义
极限性质
唯一性 有界性
保号性
数列整体有界 函数局部有界
极限 连续性
求极限的 主要方法
无穷小量 连续的概念 间断点的分类
考研数学讲义
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 022=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 20-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导计算1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2t e ty y tx x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
考研数学之高等数学讲义第四章(考点知识点+概念定理总结)
第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
考研--高数讲义
第一讲 极限与连续一、重要的概念 1．极限定义（1）数列极限定义—（N -ε）A a n n =∞→lim ：若对任意的0>ε，总存在0≥N ，当N n >时，有ε<-||A a n 成立，称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 。
（2）自变量趋于无穷时函数极限的定义—（δε-）A x f ax =→)(lim ：若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 当a x →时的极限，记A x f ax =→)(lim 。
（3）自变量趋于有限值时函数极限的定义—（X -ε）A x f x =∞→)(lim ：若对任意的0>ε，总存在0>X ，当Xx >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记A x f x =∞→)(lim 。
（4）左右极限的定义—)0(-a f ：若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 在a x =处的左极限，记)0()(lim -==-→a f A x f a x 。
)0(+a f ：若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 在ax =处的右极限，记)0()(lim +==+→a f A x f a x 。
注解：)(lim x f ax →存在)0(),0(+-⇔a f a f 都存在且相等。
2．无穷小（1）无穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设0,0→→βα，若0lim=αβ，称β是α的高阶无穷小，记为)(αβo =；若),0(lim ∞≠=k αβ，称β与α为同阶无穷小，记为)(αβO =，特别地，若1lim =αβ，称β与α为等价无穷小，记为αβ~。
考研高数讲义新高等数学上册辅导讲义——第一章上课资料
零，但不一定等于 0。
函数极限与无穷小的关系定理
lim f ( x) A （ A 为 一 常 数 ）
x x0 x
lim ( x) 0
x x0 x
f (x) A ( x) ， 且
二、无穷大（量）
如果当 x x0 时，对应的函数值 f ( x) 的绝对值
x
x
| f ( x) |无限增大，则称当
x0 时， f ( x)是无穷
【例 2】（91 三）设数列的通项为：
n2 n ,若n为奇数，
xn
n
则当 n ，xn是（ ）
1， 若n为偶数，
n
（A）无穷大量 . （C）有界变量 . 【答案】（ D）
（B）无穷小量 . （D）无界变量 .
二、无穷小与无穷大的关系
定理： lim f ( x) x x0 x
1 lim
0
x x0 f ( x)
有 限 次的 四 则 运 算 和复合
初等函数
第二节 数列和函数的极限
一、数列极限的定义
数列： un f (n)，n N * ，称为整标函数。其函 数值： u1, u2 , , un , 叫做数列（序列）。数列的 每一个数称为项， 第 n项 un称为数列的一般项。 简 记数列为 {un } 数列极限：已给数列 {un }和常数 A，如果对于
三、无穷小的性质 （ 1）有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 （ 2）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
考研高等数学精讲讲义
第一讲 极限与连续一、数列的极限 1、数列极限的定义定义1：如果对0>∀ε，0>∃N ，使得当N n >时，总有ε<-||a x n ，则称a 为数列{n x }的极限，记作a x n n =∞→lim ，或a x n→（)∞→n .2、计算数列极限常常需要用到的几个结论：)0(01lim >=∞→p n p n ；)1|(|0lim <=∞→q q n n ；)0(1lim 1>=∞→a a n n ；1lim 1=∞→n n n . 3、收敛数列的相关性质定理1：收敛数列必有界.定理2：如果a x n n =∞→lim ，且0>a （或0<a ），则0>∃N ，当N n >时，有0>n x （或0<n x ）.定理3：如果数列{n x }收敛于a ，那么其任一子数列{k n x }也收敛于a . 定理4：单调有界数列必收敛。
定理5：如果数列{n x }、{n y }、{n z }满足以下条件：（1）0>∃N ，当N n >时，有n x <n y <n z ;（2）a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，那么，a x n n =∞→lim二、函数的极限 （一）函数极限的定义定义1：A x f x x =→)(lim 0⇔对0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||00x x 时，总有ε<-|)(|A x f ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作Ax f x x =→)(lim 0或A x f →)(（0x x →）.定义2：A x f x =∞→)(lim ⇔对0>∀ε，0>∃Z ，当Z x >||时，总有ε<-|)(|A x f ，则称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.（二）函数极限的性质定理1：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00。
2024版考研数学高等数学辅导讲义
2024版考研数学高等数学辅导讲义2024年版考研数学高等数学辅导讲义我们来了解一下高等数学的基本概念。
高等数学包括了微积分和数学分析两个部分，其中微积分是高等数学的核心内容。
微积分主要研究函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。
函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点的极限，我们可以得到函数在该点的导数。
导数是函数在某一点的变化率，它具有重要的几何和物理意义。
积分是导数的逆运算，它可以求得函数的面积、体积等重要的几何量。
在高等数学的学习过程中，我们需要掌握一些重要的解题技巧。
首先是函数的性质和图像的分析。
通过对函数的性质和图像的分析，我们可以更好地理解函数的行为和特点，从而为解题提供便利。
其次是函数的导数和积分的运算法则。
掌握了导数和积分的运算法则，我们可以更快地计算函数的导数和积分。
另外，我们还需要注意一些常见的函数和定理，如三角函数、指数函数、对数函数以及洛必达法则、泰勒展开等。
除了基本概念和解题技巧，我们还需要了解一些高等数学中的重要定理和公式。
例如，微积分中的中值定理、费马定理、罗尔定理等，它们是解题过程中常用的工具。
另外，我们还需要掌握一些常见的数列和级数的性质和判别法则，如等比数列、等差数列、收敛级数、发散级数等。
在高等数学的学习中，我们还需要进行大量的习题训练。
通过解题训练，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。
在解题过程中，我们要注重思路和方法的灵活运用，遇到难题时要善于思考，多角度思考问题，找到解题的突破口。
总结起来，2024版考研数学高等数学辅导讲义是一本全面系统地介绍了高等数学的基本概念、解题技巧和重要定理的教材。
通过学习该讲义，考研学生可以全面掌握高等数学的知识，提高解题能力，为考研数学的复习打下坚实的基础。
希望大家能够认真学习，刻苦钻研，取得优异的成绩。
(整理)高等数学考研讲义第六章
第六章 多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P (x,y )∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 1:,12222≤+--=y x D y x z 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数Ω∈=),,(),,,(z y x z y x f u 空间一个点集，称为三元函数。
n x x x f u n 元函数称为),,,(21 =它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设),(),(00y x y x f 在点的邻域内有定义，如果对任意,00>>δε存在，只要εδ<-<-+-A y x f y y x x ),(,)()(2020就有则记以A y x f A y x f y x y x y y xx ==→→→),(lim ),(lim )(),(000或称当),(),(),(00y x ，f y x y x 时趋于的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：),(),(00y x y x 趋于这里是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于),(00y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若处连续在点则称),(),(),(),(lim 00000y x y x f y x f y x f xx y y =→→ 若D y x f 在区域),(内每一点皆连续，则称),(y x f 在D 内连续。
历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。
比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。
高等数学考研教材精讲
高等数学考研教材精讲高等数学是考研数学科目中的重要部分，对于考生来说，深入学习和掌握高等数学的知识是非常必要的。
本文将对考研高等数学教材进行精讲，帮助考生更好地应对考试。
1. 一元函数微分学1.1 函数的极限与连续在微分学中，函数的极限和连续是重要概念。
在极限的概念中，我们需要掌握函数极限的定义、性质以及计算方法，并能够应用到具体问题中。
在连续的概念中，我们需要了解连续性的定义、充分条件以及常见的连续函数，以便解决与连续性相关的问题。
1.2 导数与微分导数是微分学中的核心内容，我们需要掌握导数的定义、性质以及各种求导法则，能够熟练地计算各种函数的导数。
此外，还需要了解微分的概念、微分中值定理以及泰勒公式等内容，并能够应用到实际问题中。
1.3 微分中值定理与导数应用微分中值定理是微分学中重要的定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
我们需要掌握这些定理的条件和结论，以及能够熟练地应用到各种问题中。
此外，在导数应用方面，需要了解函数的单调性、凸凹性以及函数的极值等内容，能够解决与这些内容相关的应用问题。
2. 一元函数积分学2.1 不定积分与定积分不定积分是积分学的基础内容，我们需要了解不定积分的定义、性质以及常见函数的不定积分。
定积分是对函数在一定区间上的积分，我们需要掌握定积分的定义、性质以及计算方法，并能够应用到几何、物理等实际问题中。
2.2 定积分的应用定积分在应用数学中有广泛的应用，包括求曲线的弧长、曲线下面的面积、物体的质量、质心等问题。
我们需要了解这些应用问题的数学建模方法和解题技巧，并能够熟练地解决这些问题。
2.3 牛顿-莱布尼兹公式与微积分基本定理牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的重要公式，与定积分紧密相关。
微积分基本定理是微积分的核心内容，它将微分学和积分学联系在一起，需要深入理解该定理的含义和应用。
3. 多元函数微分学3.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限和连续与一元函数类似，但需要考虑多个变量的变化情况。