三角恒等变换考点典型例题

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三角恒等变换经典例题

三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-(3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(4）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan ba ϕϕϕ=== ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin = （2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定）（1）2cos 12sinaa -±=，（2）2cos 12cos a a +±= ，（3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=7，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a bb a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒= 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,专题四三角恒等变形各类题命题点1 和差公式的直接应用1．(2015课标1,2) 0000sin 20cos10cos160sin10-=（）.AB 1.2C - 1.2D2．（2017江苏，5）若1tan()46πα-=，则tan α=_____________ . 3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝________.4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－125．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.16256．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos (π4＋θ)等于( )A.23B.43C.34D.327．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin25θ=-，3cos 25θ=，则θ属于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限命题点2 角的变换8．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5259．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．11．(2016·浙江五校联考)已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )A.43 B ．－43 C ．－23 D ．－3 命题点3 三角函数式的化简12．（2013重庆，9）004cos50tan 40-=（）BC 1 13．化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ (0<θ<π)；化简4cos 2sin 22+-14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．15．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cosπ＋α2sin π－α2－cosπ－α2等于A.12 B ．－12C ．2D ．－2 命题点4 给值求值问题17．（2017课标全国3文，4）已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=（） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7.9D18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.19．（2013浙江，6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则tan 2α=（） 4.3A 3.4B 3.4C - 4.3D - 20．（2014江苏，15）已知(,)2παπ∈，sin α=（1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值。

三角恒等变换问题(典型题型)

三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。

例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减）已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++=两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-=化简得，59sin()72βα-=-即59sin()72αβ-=方法评析：式的变换包括：1、tan(α±β)公式的变用2、齐次式3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）例2 （角的变换---已知角与未知角的转化）已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+．解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α，于是3tan 4α=-故348tan()311πα-+-+===方法评析：1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3（合一变换---辅助角公式）设关于x的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围.解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+， ∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a ++=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin332x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--.方法评析：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4（，一题多解型）若cos 2sin αα+=求tan α的值.解：方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=，再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。

高一数学知识点三角函数与恒等公式经典题常考题50道含答案与解析

高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B. C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= + = ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴ = = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。

==========================================================================4.sin15°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。

三角恒等变换大题(含详细解答)

三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式．解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3．解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5．解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式．解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。

三角恒等变换经典例题

三角恒等变换经典例题删除明显有问题的段落，改写每段话如下：三角恒等变换半角公式是根据角度所在的象限来选择符号的。

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ2）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ3）tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)2.万能公式：tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)，tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)3.角度的三角函数值：sinα=1/2，cosα=1/2，tanα=24.降幂公式：sin^2α=(1-cos2α)/2，cos^2α=(1+cos2α)/2，tan^2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)5.辅角公式：asinθ+bcosθ=sqrt(a^2+b^2)sin(θ+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sinφ=b/sqrt(a^2+b^2)，cosφ=a/sqrt(a^2+b^2)，tanφ=b/a6.二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-17.常见数据：sin15°=cos75°=(sqrt(6)-sqrt(2))/4，sin75°=cos15°=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.1.cos2a = 1 + cos2a2.sin2a = 1 - cos2atan15° = 2 - √3.tan75° = 2 + √34.升幂公式：1) 1 + cosα = 2cos2α/22) 1 - cosα = 2sin2α/23) 1 ± sinα = (sinα ± cosα)2/24) 1 = sin2α + cos2α1.解：sin20cos10 - cos160sin10 = sin20cos10 + cos20sin10 = sin30 = 1/2，选B。

三角恒等变换知识点梳理及经典高考例题及解析

三角恒等变换【考纲说明】1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2、能运用上述公式进行简单的三角函数化简、求值和恒等式证明.3、本部分在高考中约占5-10分.【趣味链接】1、 cos(α＋β)有的时候蛮无聊的，把人家好好的α和β硬是弄得分居，结果上去调停的还是她；sin(α＋β)也会做差不多的事，但他比较懒,不变号.2、 tan 很寂寞很寂寞，于是数学家看不下去了，创造了cot 陪陪他.【知识梳理】1、两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2、二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3、半角公式2cos 12sin αα-±= 2c o s12c o s αα+±= αααcos 1cos 12tan+-±= （αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=） 4、三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=. αα2cos 1sin 22-= αα2cos 1cos 22+= （2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+= [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin和差化积公式： ①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-5、三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

新高考数学计算题型精练三角恒等变换(解析版)

新高考数学计算题型精练三角恒等变换1．cos70cos20sin70sin160︒︒-︒︒=（）A．0B．12C D．1【答案】A【详解】cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒()cos20cos70sin18020sin70=︒︒-︒-︒︒cos20cos70sin20sin70=︒︒-︒︒()cos2070cos900=︒+︒=︒=．故选：A．2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（）A B C．﹣12D．12【答案】D【详解】sin40°cos10°+cos140°sin10°，=sin40°cos10°-cos40°sin10°，=sin（40°-10°），=sin30°＝12.故选：D3．sin20cos40cos20sin140︒︒︒︒+=A．B．2C．12-D．12【答案】B【详解】sin20cos40cos20sin140sin20cos40cos20sin40sin(2040)sin60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B4．已知π1cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πsin26α⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．79-B．79C．3-D．3【答案】A【详解】因为π1 cos63α⎛⎫-=⎪⎝⎭，故2πππππ27sin 2sin 2()cos 2()2cos ()116626699αααα⎛⎫⎡⎤+=-+=-=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：A 5．若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．23B ．13C ．89D ．79【答案】D【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6．sin 20cos 40sin 70sin 40︒︒+︒︒=（）AB ．12C．2D ．1【答案】A【详解】已知可化为：()sin 20cos 40cos 20sin 40sin 20402︒︒︒+︒=︒+︒=.故选：A7．若πtan 28α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πtan 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【详解】由2π2tan()π448tan 2π41431tan ()8ααα-⎛⎫-===- ⎪-⎝⎭--.故选：D8．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【详解】π2sin(4αα=+Q，)22(sin cos )2cos sin αααα=+-Q,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.9．已知5π4sin 125θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】C【详解】5ππππ4sin sin cos 12212125θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以22πππ47cos 2cos 22cos 1216612525θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得ππππ7sin 2sin 2cos 2326625θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：C.10．已知tan 2α=，则213cos sin2αα-=（）A ．12B ．14C ．2D ．4【答案】A【详解】因为tan 2α=，所以222213cos sin 2cos tan 221sin22sin cos 2tan 42αααααααα---====，故选：A.11．化简：()22sin πsin 22cos 2ααα-+=（）A ．sin αB ．sin 2αC ．2sin αD ．sin2α【答案】C【详解】根据题意可知，利用诱导公式可得()222sin πsin 22sin sin 22cos 2cos 22αααααα-++=再由二倍角的正弦和余弦公式可得()()222sin 1cos 2sin 1cos 2sin sin 22sin 1cos 2cos2cos22αααααααααα+++===+，即()22sin πsin 22sin 2cos2αααα-+=.故选：C12．cos78cos18sin 78sin18︒︒+︒︒的值为（）A ．12B ．13CD【答案】A【详解】依题意由两角差的余弦公式可知，()1cos78cos18sin 78sin18cos 7818cos602︒︒+︒︒=︒-︒==.故选：A13．若tan 2θ=-，则()()()πsin 1sin22sin πcos πθθθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-++____________【答案】35-/-0.6【详解】()()()()22πsin 1sin2cos sin cos 2cos sin cos sin πcos πsin cos θθθθθθθθθθθθ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭==--++-22222tan 1213cos sin 1tan 1(2)5cossin cos θθθθθθ-=---===-+++-，故答案为：35-14．已知ππ2θ<<，且4cos 5θ=-，则tan 2θ=______．【答案】247-【详解】4cos 5θ=-，3sin 5θ==±，ππ2θ<< ，3sin 5θ∴=.sin 3tan cos 4θθθ∴==-,232tan 242tan 291tan 7116θθθ-===---.故答案为：247-.15．已知cos 24π7sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是______．【答案】4149【详解】22cos 2442cos sin π777sin 422αααα=⇒⇒-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭228841cos 2sin cos sin 1sin 2sin 2494949αααααα⇒-+=⇒-=⇒=，故答案为：414916．已知()0,απ∈，若sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________.【答案】3±【详解】因为sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以sin 2=2sin cos =6663πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫---±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以cos 2cos 2cos 2sin 2=6326263ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=--± ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故答案为：17．若3,0,sin 25⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭x x π，则tan 2x =________.【答案】247-【详解】343,0,sin cos ,tan 2554x x x x π⎛⎫∈-=-∴==-⎪⎝⎭Q 232tan 242tan 291tan 7116x x x -∴===---故答案为：247-18．已知(),2αππ∈，cos 3sin 1αα-=，则cos 2α=_______________________．【答案】【详解】因为(),2αππ∈，所以,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由cos 3sin 1αα-=可得212sin 6sin cos 1222ααα--=，整理可得sin 3cos 22αα=-，22sin 3cos 22sin cos 12222ααααπαπ⎧=-⎪⎪⎪+=⇒⎨⎪⎪<<⎪⎩cos 2α=故答案为：19．若πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则α=__________.【答案】6π/16π【详解】依题意，πcos 0,,tan 22sin αααα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以2222tan 1,2tan 1tan 1tan tan ααααα==--，21tan 3α=，而α为锐角，所以πtan 6αα=.故答案为：π620．已知tan 3α=，则sin 2α=______．【答案】35【详解】22222sin cos 2tan 233sin 2sin cos tan 1315ααααααα⨯====+++.故答案为：3521．已知α是第二象限的角，1cos24α=，则tan α=________．【答案】5/【详解】因为21cos 212sin 4αα=-=，又α是第二象限的角，所以6sin 4α=，cos 4α=，所以5tan α=-.故答案为：5-22．已知22cos 5sin 10αα-+=，则cos 2=α______．【答案】12/0.5【详解】解：已知()2222cos 5sin 121sin 5sin 12sin 5sin 30αααααα-+=--+=--+=，即()()22sin 5sin 32sin 1sin 30αααα+-=-+=，解得1sin 2α=或sin 3α=-（舍），211cos 212sin 1242αα∴=-=-⨯=，故答案为：12.23．若tan 2θ=，则sin cos 2cos sin θθθθ=-_________.【答案】65/1.2/115【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθ-==+--222222sin cos sin tan tan 246sin cos sin sin cos tan 155θθθθθθθθθθθ+++=+====++.故答案为：65.24．函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．【答案】14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【详解】因为()()222221cos cos sin 2sin 2sin cos 11=2cos 2cos 2cos 1cos 1cos 1cos 22x x x x x x f x x x x x x x -⎛⎫===-+=--+ ⎪+++⎝⎭，因为1cos 1x -≤≤，当1cos 2x =时，()f x 取得最大值12，当cos 1x =-时，()f x 取得最小值4-，又因为1cos 0x +≠，所以()f x 的值域为14,2⎛⎤- ⎝⎦．故答案为：14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.25．已知sin 2cos αα=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan α=________．【详解】sin 2cos 2sin cos αααα==，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 0α≠，1sin 2α=，π6α=，故tan α=26．（1）计算：cos157sin 97sin 60cos 97︒+︒︒︒；（2）已知tan 1α=-，求2cos 2sin cos 1ααα--的值．【答案】（1）12；（2）12【详解】（1）cos157sin 97sin 60cos97︒+︒︒︒()cos 9760sin 97sin 60cos 97︒+︒+︒︒=︒cos 97cos 60sin 97sin 60sin 97sin 60cos 97︒︒-︒︒+︒︒=︒cos 60=︒12=．（2）2cos 2sin cos 1ααα--222cos 2sin cos 1cos sin ααααα-=-+212tan 11tan αα-=-+()()2121111-⨯-=-+-12=．。

三角恒等变换(知识、题型、训练及答案)

三角恒等变换知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan α. 3.辅助角公式函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ).（其中，ab =ϕtan ）注意：1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础自检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.792.若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.453.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.4.sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.题型解析题型一三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【训练1】 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β)B.sin αC.cos(α＋2β)D.cos α题型二三角函数式的求值【例2】(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.(2)若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝14，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.【训练2】 (1)已知x ∈(0，π)，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22πx ＝sin 2x ，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)已知α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πα＝－23，则cos α＝________.题型三三角变换的简单应用【例3】 △ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量.(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B 2的最大值.【训练3】已知函数f (x )＝3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ时，f (x )≥－12.答案诊断自测1.A2.D3.34.22【例1】 (1)sin(α＋γ) (2)cos α 【训练1】 D 【例2】(1)6 (2)－78 (3)－3π4【训练2】(1)A (2)15－26【例3】解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A－cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立.。

高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目(附解析)

高中数学三角函数及三角恒等变换精选题目（附解析）一、三角函数的定义若角α的终边上任意一点P (x ，y )(原点除外)，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)．1.已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝________，tan α＝________.[解析] ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos θ＜0，∴r ＝x 2＋y 2＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cosθ，故sin α＝y r ＝－45，tan α＝y x ＝－43.[答案] －45 －43 注：利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．2．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13 B ．±13 C ．－3D ．±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45解析：选B 在角θ的终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)．则r 2＝|OP |2＝a 2＋(2a )2＝5a 2. 所以cos 2θ＝a 25a 2＝15，cos 2θ＝2cos 2 θ－1＝25－1＝－35.4．若θ是第四象限角，则点P (sin θ，tan θ)在第________象限．解析：∵θ是第四象限角，则sin θ＜0，tan θ＜0， ∴点P (sin θ，tan θ )在第三象限．答案：三二、同角三角函数的基本关系及诱导公式①牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．②诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．5.已知2＋tan (θ－π)1＋tan (2π－θ)＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．[解] 法一：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ ) ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知得2＋tan θ1－tan θ＝－4，解得tan θ＝2.即sin θcos θ＝2，∴sin θ＝2cos θ.∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.注：三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．6．若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝()A．1B．7 C．－7 D．－1解析：选B由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35.又α是第三象限角，所以cos α＝－4 5，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin⎝⎛⎭⎪⎫π2－α－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝7.7．已知sin θ＋cos θ＝43，且0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13D ．－13解析：选B ∵sin θ＋cos θ＝43，∴1＋2sin θcos θ＝169，则2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－2sin θcos θ＝－23，故选B.8．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m,2sin αcos α＝m 2，则m 的值为________．解析：由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，得4m 2＝1＋m 2，即m 2＝13.又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，则m <0，所以m ＝－33.答案：－339．已知sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋β，cos(π－α)＝63cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求sin α和cos β的值．解：由已知，得sin α＝2sin β，① 3cos α＝2cos β，②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2，所以sin 2α＝12. 又0＜α＜π，则sin α＝22. 将sin α＝22代入①，得sin β＝12.又0＜β＜π，故cos β＝±32.三、简单的三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； ③tan 2α＝2tan α1－tan 2α.10.已知tan α＝2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.注：条件求值的解题策略(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．11．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35 B.45 C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3等于( )A ．－45 B ．－35 C.35D.45解析：选D 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝－435，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－435，所以32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，所以－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－435，即－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π3＝－435，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，故选D.13．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29 C.29D.79解析：选A 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2 α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，函数f (x )＝a ·b .(1)若f (θ)＝0，求2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f (x )的值域．解：(1)∵a ＝(1，－3)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，2cos 2x 2－1，∴f (x )＝a ·b ＝sin x －3⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝sin x －3cos x .∵f (θ)＝0，即sin θ－3cos θ＝0，∴tan θ＝3，∴2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θtan θ＋1＝1－33＋1＝－2＋ 3.(2)由(1)知f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )min ＝－3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )max ＝2，∴当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域为[－3，2]．。

三角恒等变换常考题(含答案)

三角恒等变换基础题型一．选择题（共20小题，每小题5分）时间60分钟4．已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣ D．5．若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．6．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．7．若，则=（）A． B．C．D．8．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．9．若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．10．若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．12．已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣13．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．715．已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．16．cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣17．若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣B．C．5 D．﹣519．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A． B．C．D．21．已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣B．﹣ C．D．23．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．24．已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．325．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣226．已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1三角恒等变换基础题型组卷参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）4．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：==，由于：，所以：=，故选：D．5．（2017•焦作二模）若，则cos（π﹣2α）=（）A．B．C．D．【解答】解：由，可得：sinα=．∵cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=．故选D6．（2017•衡水一模）已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（α+）+sinα=﹣，∴，∴，∴cos（α﹣）=，∴cos（α+）=cos[π+（α﹣）]=﹣cos（α﹣）=．故选C．7．（2017•商丘三模）若，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵=cos（α+），∴=cos[2（α+）]=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．8．（2017•德州二模）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，那么β=（）A．B．C．D．【解答】解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos[（β﹣α）+α]=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×﹣（﹣）×=，所以β=．故选：C．9．（2017•青海模拟）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴co sα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．10．（2017•大武口区校级四模）若α，β为锐角，且满足cosα=，cos（α+β）=，则sinβ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，∴sinα==，sin（α+β）==，则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=﹣×=，故选：C．12．（2017•腾冲县校级二模）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，故选：C．13．（2017•榆林一模）已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣ B．﹣7 C．D．7【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．15．（2017•全国三模）已知，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知，则平方可得1﹣sin2α=，∴sin2α=，故选：C．16．（2017•山西一模）cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°的值为（）A．﹣ B．C．D．﹣【解答】解：cos15°•cos105°﹣cos75°•sin105°=cos15°•cos105°﹣sin15°•sin105°=cos（15°+105°）=cos120°=﹣．故选：A．17．（2017春•陆川县校级月考）若tanα=，则sin2α+cos2α的值是（）A．﹣ B．C．5 D．﹣5【解答】解：原式=．故选B．19．（2017春•福州期末）cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°+sin43°cos（90°+77°）=cos43°cos77°﹣sin43°sin77°=cos（43°+77°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选D．21．（2017春•荔城区校级期中）已知sinα+cosα=，则sin2α=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sina+cosa=，∴（sina+cosa）2=，∴1+2sinacosa=，∴sin2a=﹣．故选：A．23．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．24．（2016•肃南裕县校级模拟）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1 B．2 C．D．3【解答】解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．25．（2016•河南模拟）已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2 D．﹣2【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．26．（2016•全国二模）已知，则tanα=（）A．﹣1 B．0 C．D．1【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=sinα，∴tanα===﹣1．故选：A．29．（2017•玉林一模）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵3sinα+cosα=0，∴tanα=﹣，∴===，故选：A．30．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=cos（x+）sinx，则函数f（x）的图象（）A．最小正周期为T=2πB．关于点（，﹣）对称C．在区间（0，）上为减函数D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=cos（x+）sinx=（cosx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x+）+，故它的最小正周期为=π，故A不正确；令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，且f（x）的图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+为增函数，故C不正确，故选：D．。

高考数学热点：三角恒等变换

高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=，故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________．【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=，即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________．答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=，故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−，故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______．【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=，所以4sin 22sin cos 5θθθ==．故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________．【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++，可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+，故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。

专题5.5 三角恒等变换(解析版)

专题5.5三角恒等变换（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos_β－sin_αsin β；S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos αsin β；T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；4sin(2cos sin πααα±=±.sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，3．辅助角公式：函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f(α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．（二）二倍角的正弦、余弦、正切公式1.S 2α：sin 2α＝2sin αcos α；C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α2.变形公式：（1）降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，sin αcos α＝12sin 2α.（2）升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin αα2＋cos ；1－sin αα2－cos .（3）配方变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)21±sin αsin α2±cos 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2（4）sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.tanα2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.（三）常见变换规律(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50︒︒-︒︒等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒【答案】C【解析】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒=-+=-=故选：C2．已知()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．7-B ．7C ．1D ．1-【答案】D【解析】：因为()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=，所以sin tan 2cos ααα==，又()1tan 3αβ+=，所以()()()12tan tan 3tan tan 111tan tan 123αβαβαβααβα-+-=+-===-⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D3．已知,αβ均为锐角，且1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，则()sin αβ-=（）A ．35B ．45C．3D ．23【答案】A【解析】：因为1sin 2sin ,cos cos 2αβαβ==，所有22221sin cos 4sin cos 14ααββ+=+=，则2153sin 44β=，又,αβ均为锐角，所以sin β=cos β=所以sin αα==所以()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=.故选：A.4．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.故选：B5．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）ABC ．D ．±22【答案】D【解析】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin cos 122θθθ++=，即3sin 122θθ+=，故1sin cos 223θθ+=，所以sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 62πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭故选：D6．下面公式正确的是（）A ．3sin cos 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．2cos212cos θθ=-C ．3cos sin 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．cos()sin 2πθθ-=【答案】D 【解析】对A ，3sin cos 2πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误；对B ，2cos 22cos 1θθ=-，故B 错误；对C ，3cos sin 2πθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故C 错误；对D ，cos()sin 2πθθ-=，故D 正确；故选：D7．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值为（）A ．16B ．322C ．2213D ．1318【答案】B【解析】：因为2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，所以()tan()tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫+=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()tan tan 41tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭213542122154-==+⨯.故选：B 8．设1cos1022a =-，22tan131tan 13b =+，c =，则a ，b ，c 大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a<<【答案】C【解析】()1cos10cos 6010cos 70sin 202a =︒=︒+︒=︒=︒，2222sin132tan13cos132sin13cos13sin 26sin 131tan 131cos 13b ︒︒︒===︒︒=︒︒+︒+︒，sin 25c =，因为函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，故sin 20sin 25sin 26<<，即a c b <<.故选：C.9．已知sin()63πα+=-，则2cos(2)3πα-=（）A ．23-B ．13-C ．23D ．13【答案】B 【解析】：因为sin()6πα+=2cos 2cos 263παππα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣+⎭⎝⎦6cos 2πα⎪+⎛⎫=- ⎝⎭212n 6si πα⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎭⎣+⎝⎦21123⎡⎤⎛⎢⎥=--=- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦故选：B 10．若11tan ,tan()72βαβ=+=，则tan =α（）A ．115B ．112C ．16D ．13【答案】D【解析】：因为11tan ,tan()72βαβ=+=，所以()()()11tan tan 127tan =tan 111tan tan 3127αββααββαββ-+-+-===⎡⎤⎣⎦+++⨯.故选：D.11．已知3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C．3-D．3【答案】B【解析】：因为3cos 16παα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即3cos cos sin sin 166ππααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即13cos sin 122ααα⎫-+=⎪⎪⎝⎭3sin 12αα-=1cos 123πααα⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 2cos 2662πππαα⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 22cos 133ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21213⎡⎤⎢⎥=--=⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故选：B 12．已知4sin 5α=，π5,π,cos ,213αββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，则()cos αβ-=（）A ．3365-B ．3365C ．6365D ．6365-【答案】A【解析】由4sin 5α=，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3cos 5α=-由5cos ,13ββ=-是第三象限角，可得12sin 13β=-则()3541233cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A13．若sin 25α=，()sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（）A ．54πB ．74πC ．54π或74πD ．54π或94π【答案】B【解析】,,2,242ππαπαπ⎡⎤⎡⎤∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又∵sin 2,2,,,242πππααπα⎡⎤⎡⎤=∴∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴cos 25α==-.又∵35,,,224πππβπβα⎡⎤⎡⎤∈∴-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴()cos βα-==，于是()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦5105102⎛⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦，则74αβπ+=.故选：B.14．)sin20tan50=（）A ．12B ．2C D ．1【答案】D【解析】原式()()()()sin20sin 50cos502sin 20sin 50602sin 20sin 9020cos50cos50cos 9050++===-2sin 20cos 20sin 401sin 40sin 40===.故选：D.15．若1cos ,sin(),0722ππααβαβ=+=<<<<，则角β的值为（）A ．3πB ．512πC ．6πD ．4π【答案】A 【解析】∵0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，由1cos 7α=，()sin αβ+=，得sin α=11cos()14αβ+=±，若11cos()14αβ+=，则sin sin[()]βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+1110714=-<，与sin 0β>矛盾，故舍去，若11cos()14αβ+=-，则cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++111147147=-⨯+⨯12=，又(0,)2πβ∈，3πβ∴=.故选：A.16．若7171212ππα<<，且7cos 268πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5cos 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．B ．CD ．14-【答案】A【解析】由27cos 212sin 6128ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得215sin 1216πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为7171212ππα<<，所以233122πππα<+<，所以sin 122πα⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以15sin 124πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以5cos cos sin 1221212ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A17．已知sin cos αα-=0απ≤≤，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A B ．34410-C ．D 【答案】D【解析】：因为sin cos αα-=()22sin cos αα-=⎝⎭，即222sin 2sin cos cos 5αααα-+=，即21sin 25α-=，所以3sin 25α=，又sin cos 45πααα⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，即2sin 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0απ≤≤，所以3444πππα-≤-≤，所以044ππα<-≤，即42ππα<≤，所以22παπ<≤，所以4cos 25α==-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin333πππααα⎛⎫-= ⎪⎝⎭23145252⎛⎫=⨯--⨯ ⎪⎝⎭故选：D18．若10,0,cos ,cos 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A B ．C D ．【答案】C 【解析】cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为0,022ππαβ<<-<<所以3,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，,4242πβππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则122cos 233βα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C 19．已知π43cos sin 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（）A ．45-B ．45C ．5-D ．5【答案】A【解析】由πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ππ3πcos cossin sin sin sin 6623αααααα⎛⎫++=+=-=⎪⎝⎭，所以，π4cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2πππ4cos cos πcos 3335ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.20．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos()α-=（）A ．10B ．10C ．10-D ．222110【答案】C【解析】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．又2sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 45πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，cos()cos cos cos cos sin sin 44444410ππππππααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.二、多选题21．对于函数()sin 22f x x x =，下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的最小值为2-C ．()f x 的图象关于直线6x π=-对称D ．()f x 在区间,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】AB【解析】()1sin 222(sin 2cos 2)2sin(2)223f x x x x x x π=+=+=+，22T ππ==，A 正确；最小值是2-，B 正确；(2sin()0633f πππ-=-+=，C 错误；(,26x ππ∈--时，22(,0)33x ππ+∈-，232x ππ+=-时，()f x 得最小值2-，因此函数不单调，D 错误，故选：AB ．22）A ．222cos2sin 1212ππ-B ．1tan151tan15+︒-︒C ．cos 75︒︒D ．cos15︒︒【答案】ABC【解析】A ：222cos 2sin 2cos 12126πππ-==B ：1tan15tan 45tan15tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒=-︒-︒︒C ：cos 754sin15230︒︒=︒︒=︒=D ：cos152sin(3015)2sin15︒︒=︒-︒=︒.故选：ABC23．已知函数2()sin 222x x xf x =-，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为4πB ．直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，则3m π≥【答案】BD【解析】：()21cos 1cos sin sin 222262x x x xf x x x π-⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2,π故A 不正确；因为2362πππ-+=-，所以直线23x π=-是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；当02x π<<时，2+663x πππ<<，而函数sin y x =在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故C 不正确；当2x m π-≤≤时，++366x m πππ-≤≤，因为()f x 在区间,2m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，即11sin 622x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，所以sin 16x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，所以+62m ππ≥，解得3m π≥，故D 正确.故选：BD.24．已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->的周期为π，当π[0]2x ∈，时，()f x 的（）A ．最小值为2-B ．最大值为2C ．零点为5π12D ．增区间为π06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】BCD【解析】22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+->2cos 2x xωω=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的周期为π，所以22ππω=，得1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π[0]2x ∈，时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小值为1-，最大值为2，所以A 错误，B 正确，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，得26x ππ+=，解得512x π=，所以()f x 的零点为5π12，所以C 正确，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤，所以()f x 的增区间为π06⎡⎤⎢⎣⎦，，所以D 正确，故选：BCD25．关于函数()cos 2cos f x x x x =-，下列命题正确的是（）A ．若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()12f x f x =成立；B ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；C ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称；D ．将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后将与2sin 2y x =的图象重合．【答案】ACD 【解析】()1cos 2cos cos 222cos 222f x x x x x x x x ⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，若1x ，2x 满足12πx x -=，则()()()1222ππ2cos 2π2cos 233f x x x f x ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭成立，故A 正确；对于B ，由ππ2π22π2π,3k x k k Z +≤+≤+∈，得：π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ，即()f x 在区间π5π,36⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，故B 错误；对于C ，因为πππ2cos 2012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，故C 正确；对于D ，将函数()f x 的图象向左平移7π12个单位后得到7π7ππ3π2cos 22cos 22sin 2121232y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其图象与2sin 2y x =的图象重合，故D 正确．故选：ACD 三、解答题26．求下列各式的值(1)cos54cos36sin54sin36⋅-⋅(2)sin7cos37cos(7)sin(37)⋅+-⋅-(3)ππcos sin 1212⋅(4)22ππsincos 88-【答案】(1)0；(2)12-；(3)14；(4)2-.【解析】(1)cos54cos36sin54sin36cos(5436)cos900⋅-⋅=+==.(2)sin7cos37cos(7)sin(37)sin7cos37cos7sin37⋅+-⋅-=⋅-⋅1sin(737)sin(30)2=-=-=-.(3)ππ1π1cossin 1212264⋅==.(4)22πππsin cos cos 8842-=-=-.27．已知3sin 5α=，其中2απ<<π.(1)求tan α；(2)若0,cos 2πββ<<=()sin αβ+的值.【答案】(1)34-(2)5-【解析】(1)由3sin 5α=可得4cos 5α=±，因为2απ<<π，故4cos 5α=-，进而sin 3tan cos 4ααα==-(2)π0,cos 2ββ<<=，故sin β==；()34sin =sin cos cos sin 55αβαβαβ++==28．已知角α为锐角，2πβαπ<-<，且满足1tan23=α，()sin 10βα-=(1)证明：04πα<<；(2)求β.【答案】(1)证明见解析(2)3.4πβ=【解析】(1)证明：因为1tan23α=，所以2122tan332tan 1tan 1441tan 129απαα⨯===<=--，因为α为锐角且函数tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以04πα<<(2)由22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，结合角α为锐角，解得3sin 5α=，4cos 5α=，因为2πβαπ<-<，且()sin 10βα-=所以()cos βα-==()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=-+-⎣⎦3247225105102⎛=⨯-+⨯ ⎝⎭又5224πππαβπα<+<<+<，所以3.4πβ=29．已知α，β为锐角，π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭，()11cos 14αβ+=-．(1)求cos α的值；(2)求角β．【答案】(1)17(2)π3【解析】(1)因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ336πα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭-，，又π33sin 314α⎛⎫-=⎪⎝⎭所以π13cos 314α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以ππcos =cos +33αα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππ1cos cos sin sin =33337αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)因为α，β为锐角，所以0αβ<+<π，则()sin 0αβ+>，因为()11cos 14αβ+=-，所以()sin 14αβ+==．又α为锐角，1cos 7α=，所以sin α==，故()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111714=+=因为β为锐角，所以π3β=．30．已知sincos22αα-=(1)求sin α的值；(2)若αβ，都是锐角，()3cos 5αβ+=，求sin β的值.【答案】(1)12【解析】(1)解：2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 2222222a αααααα⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭，1sin 2a =.(2)因为αβ，都是锐角,所以0αβ<+<π，()4sin 5αβ+==，13sin cos 22a a =⇒=，()()()43sin cos c 0s 13si o 55n sin sin 221αβααβααββα-=-+=+-=+-=⨯⨯⎡⎤⎣⎦31．已知tan ,tan αβ是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值：(1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-；(3)()cos 22αβ+.【答案】(1)12-(2)54(3)35【解析】（1）由题意可知：57tan tan ,tan tan 33αβαβ+=-=-()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+（2）()()5sin sin cos cos sin tan tan 537cos cos cos sin sin 1tan tan 413αβαβαβαβαβαβαβαβ-+++====-++-（3）()22222211cos ()sin ()1tan ()34cos 221cos ()sin ()1tan ()514αβαβαβαβαβαβαβ-+-+-++====++++++。

方法技巧专题19 三角恒等变换(解析版)

方法技巧专题19 三角恒等变换解析版一、三角恒等变换问题知识框架【一】公式顺用、逆用及其变形用1.例题【例1】计算：(1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【解析】(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 【例2】(1)计算：cos 2π12－sin 2π12；【解析】原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan 75°；【解析】 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3.(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.【解析】原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18.【例3】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.【解析】3 原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 【解析】方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. （3）已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.【解析】 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32【解析】Bcos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.【练习2】1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.【解析】－1原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.【练习3】在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 【解析】A∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)．(*) 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －s in A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾．∴由(*)得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3.又∵0<C <π，∴C ＝π3.【练习4】若sin α＋cos α＝13，则sin 2α= .【解析】由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.1.例题【例1】已知31)3sin(=-πα，则)6cos(πα+ 的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－223【答案】A 【解析】∵sin )3(πα-＝13，∴cos )6(πα+＝cos )]3(2[παπ-+＝－sin )3(πα-＝－13.【例2】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P . 若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．【答案】－5665或1665【解析】由角α的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P ，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.【例3】若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭2.巩固提升综合练习【练习1】已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ________. 【答案】－33【解析】tan )65(απ+＝tan )6(αππ+-＝tan )]6([αππ--＝－tan )6(απ-＝－33. 【练习2】若1027)4sin(=+πA ，A ∈),4(ππ，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34【答案】B 【解析】∵A ∈),4(ππ，∴A ＋π4∈)45,2(ππ， ∴cos （A ＋π4）＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin[（A ＋π4）- π4]＝sin （A ＋π4）cos π4－cos （A ＋π4）sin π4＝45.【练习3】已知sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=（） A.−45 B.45C.−35D.35【答案】C【解析】因为sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=cos[π2+(α−3π10)]=−sin(α−3π10)=−35．故应选C ．【练习4】若sin （3x π-）=23，则cos （23x π+）=（）A ．79B ．19C ．19-D ．79-【答案】C 【解析】令3x πθ=-，则223x ππθ+=-，所以()21cos 2cos 2cos 22sin 139x ππθθθ⎛⎫+=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【练习5】已知3sin 245x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为（） A ．1825B ．1825±C ．725D ．725±【答案】C【解析】由题意得：297cos 412sin 212242525x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 4cos 4225x x π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C1.例题【例1】已知02απ<<，cos()4απ+= （1）求tan()4απ+的值；（2）求sin(2)3απ+的值．【解析】（1）∵02απ<<，cos()4απ+= ∴sin()4απ+==， ∴sin()4tan()24cos()4αααπ+π+==π+．（2）∵tan 1tan()241tan αααπ++==-，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+，3sin(2)sin 2cos cos 2sin 33310αααπππ++=+=．【例2】已知△ABC 中,137cos sin -=+A A ,则tanA= . 【解析】解法一：列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1cos sin 137cos sin 22A A A A由第一个方程得,A A sin 137cos --=,代入第二个方程得1)sin 137(sin 22=--+A A ，即016960sin 137sin 2=-+A A ，解得135sin =A 或1312sin -=A ，因为△ABC 中0<A<π, 所以sinA>0,135sin =A ，1312cos -=A ，所以125tan -=A . 答案:125-. 解法二：由已知得sinA>0, cosA<0, |sin A|<|cos A|, tanA>-1, 由137cos sin -=+A A 两边平方,整理得16960cos sin -=⋅A A ，即16960cos sin cos sin 22-=+⋅A A A A ，分子分母同除以A 2cos 得169601tan tan 2-=+A A ，解得125tan -=A .2.巩固提升综合练习【练习1】已知a ∈R ，sina +2cosa =√102，则tan2a =（）A ．−34或−35 B ．−34C ．34D ．−35【答案】B 【解析】因为sina +2cosa =√102，所以(sina +2cosa )2=52，所以sin 2a +4cos 2a +4sinacosa =52，所以sin 2a+4cos 2a+4sin acosasin 2a+cos 2a=52，即tan 2a+4+4tanatan 2a+1=52，解得tana =3或者tana =−13，当tana =3时，tan2a =2tana1−tan 2a =−34，当tana =−13时，tan2a =2tana 1−tan 2a =−34，综上所述，tan2a =−34，故选B 。

高中数学必修四第三章三角恒等变换

必修四第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1）求tan()αβ+的值；（2）求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（）Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为。

第四章三角恒等变换（讲义+例题）（解析版）

第四章三角恒等变换（讲义+例题）1.同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示) 例1．已知α是第二象限，且1tan 3α=-，计算：（1）sin()25cos sin()πααπα+--；（2）2sin cos()cos .απαα++ 答案（1）316；（2）65. 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以cos α 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值. 【详解】（1）原式cos 5cos sin ααα=-，上下同时除以cos α后，得11315tan 1653α==-+；（2）原式2222sin cos cos sin cos cos cos sin αααααααα-+=-+=+，上下同时除以2cos α后，得211tan 16311tan 519αα+-+==++举一反三1．已知tan 2α=，求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.答案．（1） 4 （2）54【分析】（1）分子分母同时除以cos α，化为tan 2tan 1αα+-可得答案.（2）将分子1写成22sin cos αα+，再分子分母同时除以2cos α，化为22tan 1tan tan 2ααα++-，可得答案. 【详解】（1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===---（2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+- 2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+-2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan baa b a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-例2：（1）．若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1B ．3C ．5D ．71．B 【分析】利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-⋅，又1tan 2α=，原式1+1tan 12=311tan 1-2αα+==-. 故选：B.（2）．sin140cos10cos40sin350︒︒+︒︒=（） A ．12B ．12-C ．32D ．3 2．A 【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项. 【详解】依题意，原式()1sin 40cos10cos 40sin10sin 4010sin 302=-=-==，故选A.本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于基础题. 3．求值：（1）7sin12π；（2）tan105︒. 答案．（1）264；（2）23- 【分析】（1）根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；（2）根据两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】（1）7212326sinsin()sin cos cos sin 1243434322224πππππππ=+=+=+=；（2）tan 60tan 453tan105tan(6045)231tan 60tan 4513︒︒︒︒︒︒+︒=+===--- 【点睛】本题考查了两角和的正弦、正切公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 举一反三1．sin115cos55cos115sin55︒︒︒︒-=（） A 3B ．22C ．12D ．22-答案．A 【分析】逆用两角差的正弦公式进行化简即可. 【详解】3sin115cos55cos115sin55sin 602︒︒︒︒︒-==．本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题. 2（多选）．下列说法正确的是（） A ．sin15cos152sin 60︒+︒=︒B ．()()()sin 15sin 15cos cos 15sin αβαβαβ+-︒=-︒+-︒C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+D ．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+-=-【答案】AB 【分析】利用辅助角公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式即可求解. 【详解】对于A ，22sin15cos152sin15cos1522⎛⎫︒+︒=︒+︒ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 45152sin 60=︒+︒=︒，故A 正确；对于B ，由两角和的正弦公式，()()()sin 15sin 15cos cos 15sin αβαβαβ+-︒=-︒+-︒，故B 正确.对于C ，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-，故C 错误. 对于D ，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，故D 错误.故选：AB3．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 10．（1）求3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值:（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为5求αβ+的值．答案．（1）52）34αβπ+=【分析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=,进而求出310cos 10α= 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5得出5cos β=,进而得出25sin β=利用正弦的和差公式即可求出()2sin αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 10所以由任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=．从而2310cos 1sin 10αα=-=．（1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 310210251021025⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是55-所以5cos 5β=-,从而225sin 1cos ββ=-= 于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+1053102522⎛=+ ⎝⎭．因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=．【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.3，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a b b a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x例3：1．已知1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）A 3B 3C ．12D ．33答案．D【分析】根据题中条件，由两角差的余弦公式化简整理所求式子，即可得出结果. 【详解】因为1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以33cos cos cos cos cos sin sin cos sin 33322x x x x x x x πππ⎛⎫+-=++=+ ⎪⎝⎭ 33cos 63x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查根据两角差的余弦公式化简求值，属于基础题型. 2．化简31cos15cos 7522︒-︒=______. 2【分析】化简可得：31cos 75sin 60cos15cos 60sin15sin 4522︒-︒=-=，根据特殊值即可得解. 【详解】31cos15cos75sin 60cos15cos60sin15222sin(6015)sin 452︒-︒=-=-==故答案为：22【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了正弦的两角差公式，考查了计算能力，属于基础题. 举一反三1．化简：（13cos x x +；（22(sin cos )x x -. 答案．（1）2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2cos 4x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 【分析】逆用两角和与差的正弦函数公式变形即可. 【详解】（1）原式312cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin sin cos cos 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）原式222x x ⎫=-⎪⎝⎭2sin sin cos cos 44x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos 4x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用，属于基础题. 2．已知函数()3sin cos f x x x +. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π,π6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.”解答：（1）因为()3sin cos f x x x =+，所以()312cos 22f x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos cos sin 66x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以2π2π1T ==. 所以函数()f x 的最小正周期是2π.（2）因为ππ6x -≤≤，所以π7π066x ≤+≤. 所以当ππ62x +=时，函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值是1.所以当π3x =时，函数()f x 的最大值是2.4.二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2aa -=升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin 2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin2sin ααα=例4：1．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（）A ．2425- B ．725-C ．7-D ．17-2．D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-，代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=，因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细. 2．（多选）下列各式中，值为12的是（） A ．22cossin 1212ππ-B ．2tan 22.51tan 22.5- C ．2sin195cos195D ．1cos62π+【答案】BC 【分析】由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值即可. 【详解】选项A ，223cos sin cos 2cos 1212126ππππ⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭，错误；选项B ，22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⋅==--，正确；选项C ，()()12sin195cos1952sin 18015cos 180152sin15cos15sin 302=++===，正确；选项D 31cos 1236222π+++==，错误.故选：BC 【点睛】本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值，属于基础题. 3．已知：2()2cos 32f x x x a =++（a R ∈，a 为常数）．（1）若x ∈R ，求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[6π-，]4π上最大值与最小值之和为3，求a 的值．22．（1）π；（2）0 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；（2）根据x 在[6π-，]4π上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求a 的值．【详解】解：2()2cos 32f x x x a =++3sin 2cos21x x a =+++2sin(2)16x a π=+++，（1）()f x ∴的最小正周期222T πππω===；（2）[,]64x ππ∈-，22[,]663x πππ∴+∈-，当ππ266x 时，即6x π=-，()f x 取得最小值为2sin()16a a π-++=，当262x ππ+=时，即6x π=，()f x 取得最大值为2sin()132a a π++=+，最大值与最小值之和为3，33a a ∴++=，0a ∴=，故a 的值为0．【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．举一反三1.22cos 30sin 30-的值是（） A ．12- B ．12C ．3D 34．B 【分析】根据二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】22cos 30sin 30-=cos 6012=. 故选：B 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.2.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（） A ．53B ．23 C ．13D 5 ．A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3.已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B ．55 C ．33D ．2557．B 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．4．设向量()()2,sin ,1,cos a b θθ==，其中θ为锐角．()1若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值；()2若//a b ，求cos2θ的值．答案．（1）233；（2）35-【解析】【分析】（1）根据向量的数量积和三角函数的关系，即可求出；（2）根据向量的平行和同角的三角函数的关系，即可求出．【详解】()1向量()()2,,1,a sin b cos θθ==，13216a b sin cos θθ∴⋅=⨯+=， 16sin cos θθ∴=，214()12133sin cos sin cos θθθθ∴+=+=+=， θ为锐角，0sin θ∴>，0cos θ>，23sin cos θθ∴+=． ()2//a b ，2221cos sin sin cos θθθθ∴=+=，2241cos cos θθ∴+=，215cos θ∴=，223221155cos cos θθ∴=-=-=-【点睛】本题考查了向量的数量积和向量与平行的关系，以及三角函数的化简，属于基础题. 5．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()2f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解. 答案．（1）3[]-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案；（2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案.（1）233()3sin cos 2sin 22a f x x a x x x x =--=- 当1a =，31()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+ 由73[0,],2[,],cos(2)[1,]266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈- 所以()f x 的值域为3[]-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立即332sin 22sin 22222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴= 所以由33()cos 224f x x ==-得3cos 22x =-又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±±5 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定）（1）2cos 12sinaa -±=，（2）2cos 12cos a a +±= ，（3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=补充. 万能公式（用的不多，了解一下）: （1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=例5：1．若()4tan 3πα+=-，α是第二象限角，则1sin sin 22παπα=+-⋅（） A ．35B ．3C ．5D ．53【答案】C 【解析】由题知43sin ,cos 55αα==-，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.【详解】解：因为()4tan tan 3παα+==-，α是第二象限角，所以43sin ,cos 55αα==-，所以1122531cos sin sin coscos122225παπαααα====+-+⎛⎫⋅⋅+- ⎪⎝⎭. 故选：C 2．若3sin 5θ=，532πθπ<<，则tan 2cos 22θθ+=____________．【答案】1035-##15105- 【解析】【分析】先利用同角三角函数的关系求出cos θ，再利用半角公式求出cos 2θ，sin2θ，从而可求出tan2θ，进而可求得答案【详解】因为3sin 5θ=，532πθπ<<，所以294cos 1sin 1255θθ=-=-=-，因为532πθπ<< 所以53422πθπ<<，所以411cos 105cos222θθ-+=-=411cos 3105sin 222θθ+-==-=，所以sin 2tan32cos2θθθ==，所以10tan2cos322θθ+=故答案为：1035-3．已知函数()2sin cos cos ,R f x x x x x =⋅+∈.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的值域.【答案】(1)π； (2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出周期；（2）求出24x π+的范围，进而结合三角函数的性质求得答案.(1)()11cos 221sin 2sin 222242x f x x x π⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为π. (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()210,2f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.举一反三1．已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（）A ．16B ．13C ．23D ．122【答案】B 【解析】【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解. 【详解】∴1sin23α=，∴2π11cos 21π1sin2123cos 42223ααα⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭．故选：B ．2．已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限的角，则tan 2α=______．【答案】13或12【解析】【分析】根据同角三角函数关系，建立方程求出sinα，cosα的值，结合正切函数的公式进行求解即可．【详解】解：∴α是第一象限角，7sin cos 5αα+=， ∴7sin cos 5αα=-+平方得2221449sin cos cos 1cos 525αααα=-+=-，得214242cos cos 0525αα-+=，即46cos 2cos 055αα⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3cos 5α=或4cos 5α=，当3cos 5α=时，4sin 5α，则311cos 15tan 42sin 25ααα--===．当4cos 5α=时，3sin 5α=，则411cos 15tan 32sin 35ααα--===，即1tan22α=或13．故答案为：12或13．3．已知2sin 24cos 2αα=-.(1)若α在第二象限，求cos2sin αα+的值；(2)已知0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23tan 2tan 30ββ+-=，求()tan 2αβ+的值.【答案】(1)2535- (2)17【解析】【分析】（1）根据题意，结合半角公式得tan 2α，故25sin α=5cos α=公式计算即可.（2）由题知tan 23β=，再结合正切的和角公式求解即可. (1)解： 2sin 212cos 2cos 2ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴tan 2α∴α在第二象限，∴25sin α=5cos α=，∴2253cos 2sin 2cos 1sin αααα-+=-+=(2)解：()2222tan 3tan 2tan 302tan 31tan 31tan ββββββ+-=⇒=-⇒=-∴tan 23β=，()tan tan 2231tan 21tan tan 21237αβαβαβ+-++===-+⨯。

简单的三角恒等变换专题及答案

简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。

答案：B。

通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。

2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。

答案：C。

通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。

答案：B。

通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。

答案：B。

通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。

5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。

答案：D。

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