三角恒等变换考点典型例题

江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二）

三角恒等变换

一、考点、要点、疑点：

考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点：

1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形

2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形

3、 )sin(cos sin 22ϕωωω++=

⇒+=x B A y x B x A y

4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点：

1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222

等）

2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次

3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符

号确定，θ角的值由a

b

=θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维：

1、下列等式中恒成立的有

① βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=-

③ )]sin()[sin(21

cos sin βαβαβα-++=⋅ ④ )]cos()[cos(2

1

sin sin βαβαβα--+=⋅

2、化简：

① 0

53sin 122sin 37sin 58cos +＝

② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++⋅-＝ 3、已知),2

(

,5

3cos ππ

θθ∈-=，则)3

cos(

θπ

-＝ ，)23

cos(

θπ

-＝

4、若αtan 、βtan 是方程0652

=-+x x 的两根，则)tan(

βα+＝

5、已知)2,0(,54sin παα∈=

，则α2sin ＝ ；α2cos ＝ ；2

sin α

＝ ； 2

t a n α

＝ ；α3sin ＝ ；αα2sin 2cos 2-+＝

6、已知1cos 3sin -=-m αα，则实数m 的取值范围是 。

三、典型例题解析： 例1、已知5

2sin =α，α是第二象限角，且1)tan(=+βα，求βtan

例2、若316sin =⎪⎭⎫

⎝⎛-απ，则⎪⎭

⎫ ⎝⎛+απ232cos = 例3、求值：（1）0

0040cos 20cos 10sin ；（2）0

0020

cos 20sin 10cos 2-； （3）)44tan 1)(1tan 1(00++

例4、（07安徽）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛

⎫=+ ⎪8⎝

⎭的最小正周期，

)1),41(tan(-+=βα，)2,(cos α=，且m =⋅，求22cos sin 2()

cos sin ααβαα

++-的值．

例5、已知),0(,π∈B A ，且3

1

tan ,71tan ==B A ，求角A ＋2B 的值。

例6、已知0,14

13

)cos(,71cos 且=-=βαα<β<α<2π, (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.

四、课堂练习：

1

、已知sin α=

，则44

sin cos αα-的值为 2、已知1sin cos 5θθ+=，且4

32π

θπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．

3、若53cos =x ，则)4sin()4sin(x x +-π

π＝

4

、若cos 2π2sin 4αα=-

⎛

⎫- ⎪

⎝

⎭cos sin αα+的值为 5、若1cos()5αβ+=，3

cos()5

αβ-=，则βαtan tan ⋅＝_____．

6、已知b a =+=+βαβαcos cos ,sin sin ，则)cos(βα-＝

7、函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛

⎫=+

-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为 ，最大值为 8、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T

9、已知3

1

)2tan(,21)2tan(-=-=-αββα，求)tan(

βα+

10、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的最小值和最大值．

参考解答：

激活思维：1、①③ 2、0

5cos ，β2cos 3、

50

3

247,10334+-

- 4、75- 5、

5

3

3,

12544,21,55,257,2524- 6、]3,1[- 例题解析：1、－3 2、97-

3、2,3,81

4、)2(2+m

5、4π

6、47

38-，3π

课堂练习：1、53- 2、257- 3、507- 4、21 5、252 6、2

2

22-+b a

7、3,π 8、π 9、24

7

10、1,2,-π