常微分方程的常见解法

或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
1、 逐次迭代法
对初始值问题
构造迭代序列
（ 1x） =y0 ＋ xx 0f(s,0(s))ds
该序列一致收敛到解，故迭代一定次 数后就可以作为一个近似
例 求初值问题的近似解 d y y , y(0)1 dx
解：该初值问题近似解的迭代序列 {yn(如x)下}
y0(x) 1,
y 1(x) 1 0 xy 0 ( s ) d s 1 x,
dy f (x)dx g(y) 这样对上式两边积分得到
gd(yy)f(x)dxC
齐次方程
齐次函数: 函数 f (x, y) 称为m次齐次函数, 如果
f(t,x t)y tm f(x ,y )t, 0 .
齐次方程: 形如 dy F( y) 的方程称为齐次方程。
dx x
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程 求解。
考虑 [t,tt] 内湖泊中盐酸的变化。
x (t t) x (t) 2 3 0 .0 t8 10 t0 0x (t) 40 0 2t0 00
因此有 d x1x 00 6.6 ,1 x (0 ) 0 .
dt40 0 2 t000
该方程有积分因子
( t) ex1 p0 (d ) 0 ( t4 0 0 .0 0 t) 5 2 0 0 40 2 0 t 000
Maple指令：
DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),
# 画向量场及积分曲线
# 定义微分方程 y' y
x=-2..2,
# 指定x范围
[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]], # 给出3个初始值
dirgrid=[17,17],
ydyd(1 y2) 2
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
cx o sx is n d ( x2 d x y y x 2 d x ) y d 0y
方程的通解为：
sin2xx2y2y2c
利用条件 y(0) 2 得 c 4
最后得所求初值问题得解为：
sin2xy2(1x2)4
四、微分方程的近似解法
4. 对特殊方程 dyf(a xb yc)
dx
令 zaxb,y则
dzab(fzc). dx
例 求方程
dy x y1 的通解。
dx xy3
解：解方程组
x y 1 0 x y 3 0
得
x 1
y
2
令 x u 1 ,y v 2
代入原方程可得到齐次方程
令 vuz得
dv u v dx u v
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
引入新变量 x ,y .
此时, 方程可化为齐次方程:
d ab
f(
).
d a1b1
(2) 若
a
b 0
则存在实数 ,
使得:
a1 b1
a 1a ,b 1b ,或者有 aa 1,bb 1 .
不妨是前者, 则方程可变为
dy a xb yc
f(
).
dx a1xb1yc1
令 zaxb,y则
d d x zabd d y xab(fz z c c1).
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
R中连续且有连续的一阶偏导数，则
M (x ,y )d N x (x ,y )d 0 y 是全微分方程的充要条件为:
M(x,y)N(x,y)
y
xபைடு நூலகம்
（2.3.3)
3.全微分方程的积分
当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.
(1) 线积分法:
(x ,y )
F (x ,y ) M (x ,y ) d x N (x ,y )dy (x 0 ,y 0 )
在L上任一点，L的切线与 1.3.1 所确定的向量场在该 点的向量相重合。 L在每点均与向量场的向量相切。
例1.3.1 在区域 D x ,y |x 2 ,y 2 内画出方程
d y y 的向量场和几条积分曲线。
dx
解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上 画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘 图误差较大。我们可以用Maple 软件包来完成。
C308 (0 40)0510 51
x ( t) 3[ 0 48 0 0 .0 0 0 t 4 2 0 ( 04 00 0 ) 5 0 ]0.0
51
4 0 0 .0 0 t2 0
x(87)60 223(8 k)2 g.4
变量可分离方程的求解
当 g(y),0 方程（2.2.1）两边同除以 g ( y ) 得
常微分方程的解法介绍
一、 向量场
设一阶微分方程
dy f x, y
dx
1.3.1
的右端函数在 x y 平面的一个区域 D 中有定义,
满足解的存在唯一性定理的条件。
那么，过 D 中任一点 x0, y0 有且仅有 1.3.1的一个解
yx，满足 x0y0 x fx ,x
从几何方面看，解 yx就是通过点x0, y0 的一条
(3)凑微分法
例：验证方程
( c o s x s i n x x y 2 ) d x y ( 1 x 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它满足初始条件： y(0) 2的解。 解：由于 MN2xy
y x
所以方程为全微分方程。 由于 cosxsinxdxd(1sin2x)
2
xy2dxyx2dyd(1x2y2) 2
以 f x, y 的值为斜率中心在 x, y 点的线段，我们 就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程 所确定的向量场。
向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方 程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走 向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的 性质来研究解的性质。
从几何上看，方程 1.3.1的一个解 yx就是位于
两边同乘以 (t) 后,整理得
d [x ( 40 0 .0 0 t) 5 2 ] 0 0 6 .6 ( 1 40 0 .0 0 t) 5 2 0 0 dt
积分得
( 4 0 0 .0 0 t) 5 2 x 0 0 3( 0 4 8 0 0 .0 t 0 0 ) 5 2 1 C 51
利用初始条件得
x
x
s
y y 0 e x p (x 0 p () d ) x 0 g ( s ) e x p x 0 p () d d s
Bernoulli方程
伯努利方程的标准形式:
d y P (x )y Q (x )y n(n 0 ,1 ) d x
解法: 以 yn 除方程两边 , 得
yndyP (x)y1nQ (x)
三、一阶常微分方程的解法
1线性方程 2 变量可分离方程 3 全微分方程 4 变量替换法
5 一阶隐式方程 6 近似解法 7 一阶微分方程的应用
初值问题
dy
dx
p(x) y
0
y(x0 ) y0
的解为
x
yy0exp(x0p(x)dx)
初值问题
dy dx
p(x)y
g(x)
y(x0) y0
的解为
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式(2.3.4)得:
x
y
F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的 每一点都与向量场在这一点的方向相切。
形象的说，解 yx就是始终沿着向量场中的方向 行进的曲线，因此，求方程 1.3.1 满足初始值 yx0y0 的解，就是求通过点x0, y0的这样的一条曲线。
定理1.3 曲线 L为 1.3.1 的积分曲线的充要条件是：
F (x,y)x 2 siyn N (x,y) y
求 F(x,y)
F ( x ,y ) ( e x y ) d e x x y ( x y )
而 F(x,y)x2sin y
y
即 x (y ) x 2 siyn
从而 (y)2siyn
(y)2coys
即 F (x ,y ) e x x y 2 cy o C s
dV
2
rV 3
V(0)288 V(2)36
dx
分离变量积分得方程得通解为
V(t) 1(Crt)3 27
再利用条件 V(0)288 V(2)36
确定出常数C和r代入关系式得
V(t)(123t)3
6
t的取值在 [ 0 ,4 ] 之间。
方程为全微分方程的充要条件
定理2.1 设函数 M(x, y)和 N(x, y)在一个矩形区域
二、 积分曲线的图解法
• 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直 接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大 致图形。
• 图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要 特征。
• 该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求 解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对 了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重 要的指导意义。
曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率 就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
故通解为 ysinxx2ey2yC
其中 C为任意常数
(2)偏积分法 例：求方程 ( e x y )d ( x x 2 sy i)d n 0 y 的通解.
解：由于 M (x,y)exy N (x,y)x2siyn
M (x,y)1N (x,y)
y
x
假设所求全微分函数为 F(x,y),则有
F (x,y) exyM (x,y) x
• 用一些函数去近似微分方程的解 • 在一些点上计算方程解的近似值 逐次迭代法 Taylor级数法 Euler折线法 Runge-Kutta法
能得到解析解的方程：
线性方程、变量可分离的方程、 全微分 方程以及能通过各种方法化为这些类型 的方程. 绝大部分方程无法求得解析解，一些近似 解法也对实际问题的解决有很大帮助，我 们需要讨论在得不到解析解时寻求近似解 的方法。
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
u
dz dx
1 z2 1 z
变量分离后积分
(1z)dz du
1z2
u
a rc ta n z 1 ln (1 z2 ) lnu C 2
还原后得原方程通解为
a r c ta n y 2 ln( x 1 ) 2 (y 2 ) 2 C x 1
变量可分离方程的应用
例:雪球融化问题
设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比