高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法

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高中数学解析几何总结

解析几何是高中数学中的一个重要分支，主要研究平面和空间中的几何图形，以及它们的性质和变换。

以下是解析几何的一些总结：1.平面直角坐标系解析几何的基础是平面直角坐标系，它将平面上的点和数对一一对应。

平面上的一条直线可以用一个一次方程表示，即$y=kx+b$，其中$k$ 是斜率，$b$ 是截距。

两点间的距离可以用勾股定理计算，即$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$。

2.空间直角坐标系类似于平面直角坐标系，空间直角坐标系将空间中的点和数组一一对应。

在空间中，一条直线可以用一个二次方程表示，即$Ax+By+Cz+D=0$，其中$A,B,C$ 是系数，$D$ 是常数。

两点间的距离也可以用勾股定理计算，即$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$。

3.平面和空间中的几何变换解析几何中常见的几何变换包括平移、旋转、对称和伸缩。

平面上的平移可以用向量表示，旋转可以用旋转矩阵表示，对称可以用对称轴表示，伸缩可以用矩阵表示。

空间中的几何变换也类似于平面中的，但需要用到三维向量和三阶矩阵。

4.直线和平面的性质解析几何中，直线和平面有很多重要的性质。

例如，两条平行直线的斜率相等，两条垂直直线的斜率积为$-1$;平面上两条直线相交的角的余弦可以用它们的斜率表示;两个平面的夹角可以用它们的法向量表示等等。

5.空间中的立体图形解析几何中，还研究了一些常见的立体图形，如点、线、面、球、圆锥曲线等。

例如，圆锥曲线有圆、椭圆、双曲线和抛物线四种类型，它们的方程可以用标准式、一般式或参数式表示。

平面直角坐标系

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D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为: 1
5 6
2 3
2
B
A
3
6
2
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2

7 6

7 6
4 3
C
3 2
5 3
11 6
4 3
C
F
3 2
5 3
11 6
例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ

§一平面直角坐标系

x′＝ λx（ λ>0），其中区分变换的前后方向是关键． y′＝ μy（μ>0）
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一运用坐标法解决解析几何问题例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′，解 (1)①由伸缩变换得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．

高中数学中的坐标系与平移变换

高中数学中的坐标系与平移变换在高中数学中，坐标系和平移变换是两个非常重要的概念。

坐标系是一种表示点在平面上位置的方式，而平移变换则是一种改变点位置的操作。

本文将对这两个概念进行详细讨论。

一、坐标系的基本概念1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，由两条垂直的直线（通常称为x轴和y轴）交叉而成。

通过定义一个原点和单位长度，我们可以用有序数对(x, y)来表示平面上的任意一点。

2. 极坐标系极坐标系使用径向距离和极角来描述点的位置。

其中，径向距离表示点到原点的距离，极角则表示点与正向x轴之间的夹角。

3. 其他坐标系此外，还有柱面坐标系、球面坐标系等其他不同形式的坐标系，它们在特定的数学领域和物理领域中具有重要的应用。

二、平移变换的基本原理在数学中，平移是一种将图形沿着指定方向移动的变换方式。

它通过将所有点的坐标值分别增加或减少一个常数来实现。

平移变换的基本原理如下：1. 平移向量平移变换通过一个平移向量来描述移动的方向和距离。

平移向量由两个分量组成，分别表示在x轴和y轴上的移动距离。

2. 平移的公式设点P(x, y)进行平移变换，平移向量为(a, b)，则点P'的坐标可以表示为：P'(x', y') = P(x+a, y+b)三、坐标系与平移变换的关系坐标系与平移变换密切相关，它们之间的关系主要体现在以下几个方面：1. 坐标系对平移变换的作用坐标系为平移变换提供了基础。

在直角坐标系中，通过改变点的坐标值，可以实现平移变换。

而在极坐标系中，则需要通过改变径向距离和极角来实现平移。

2. 平移变换对坐标系的作用平移变换改变了图形中每个点的位置，从而影响了坐标系的布局。

在平移变换之后，原有的坐标系会随之发生改变，因此我们需要根据新的图形位置重新确定坐标系。

3. 坐标系和平移变换的综合应用在几何图形的研究中，我们经常会用到坐标系和平移变换。

通过在坐标系中进行平移变换，我们可以研究图形的性质、计算图形的参数等。

高中数学2-7用坐标方法解决几何问题湘教版选择性必修第一册

高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少.
分析根据题目特征,建立平面直角坐标系,求出圆弧所在的方程,根据方程
特征求解.
解 (1)以 EF 所在直线为 x 轴,以 MN 所在直线为 y 轴,建立如图所示的平面直
角坐标系,则 E(-3 3,0),F(3 3,0),M(0,3).
由于所求圆的圆心在 y 轴上,因此设圆的方程为 x2+(y-b)2=r2.
x0= 51 .
所以当水面下降 1 m 后,水面宽为 2x0=2 51 m.
探究点三与圆有关的轨迹问题
【例3】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行
四边形MONP,求点P的轨迹方程.
分析设出点P的坐标,利用MONP为平行四边形,建立点P与点N之间的坐标
2.点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则点P满足的方程是( A )
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2-2x+4y-5=0
D.8x2+8y2+2x+4y-5=0
解析设动点P(x,y),满足|PA|=3|PO|,即|PA|2=9|PO|2.又由O(0,0),A(1,-2)得(x-
课标要求
1.理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题;
2.掌握用解析法处理平面几何问题的方法.
目录索引
重难探究·能力素养全提升
学以致用·随堂检测全达标
重难探究·能力素养全提升
探究点一用坐标方法解决几何问题
【例1】已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直

2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件

思路点拨:依据数轴上两点间的距离公式首先判定不等式或方程表示的点集,然后在数轴上表示出来. 解:如图 (1)d(x,2)<1表示到点A(2)的距离小于1的点的集合.所以d(x,2)<1表示线段BC(不包括端点); (2)|x-2|>1表示到点A(2)的距离大于1的点的集合,所以|x-2|>1表示射线BO和射线CD(不包括端点); (3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点 C(3).
(C)AB=AO+OB
(D)AB+AO+BO=0
解析:A正确,因为AB=AO+OB=OB-OA; B正确,因为AO+OB+BA=AB+BA=0; C正确,因为AO+OB=AB; D不正确,因为AB+AO+BO不一定为0,故选D.
4.数轴上A、B两点间的距离是5,点A的坐标是1,则点B的坐标是
.
解析:设B点的坐标为x, 则|x-1|=5,所以x=6或-4. 答案:6或-4
类型二数轴上的基本公式的应用【例2】已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A).
解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b; d(A,B)=|x2-x1|=2|b|;d(B,A)=|x1-x2|=2|b|.
方法技巧 (1)记住公式,理解符号的含义是解题的关键;(2)明确向量的长度及数量的区别与联系;(3)注意区别:|AB|=d(A,B)=|xB-xA|,AB=xB-xA.
变式训练2-1:已知A,B,C是数轴上任意三点: (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)若A(-2),BC=1,AB=2,求C点的坐标;

人教课标版高中数学选修4-4《平面直角坐标系》教案-新版

1.1平面直角坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想．（二）学习目标1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想．（三）学习重点1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．3．平面直角坐标系中的伸缩变换．（四）学习难点1．适当直角坐标系的选择．2．对伸缩变换中点的对应关系的理解．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2．预习自测（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象() A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 21sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y ＝12sin 12x 的图像．【思路点拨】可根据三角函数的知识求解【答案】D（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________．【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】422=+y ．端点的坐标关系，最后代入整理即可．【答案】422=+y x ．（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 42后得到的图形对应的方程是（）A ．0142=-'+'y xB ．01=-'+'y xC ．014=-'+'y xD ．0116=-'+'y x 【知识点】伸缩变换【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程．【答案】B（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________．【知识点】伸缩变换【数学思想】【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】1422=+y x(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质与其他几何图形的关系． 2．问题探究探究一结合实例，感受坐标法思想★例1某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.） ●活动①实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点.【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义【数学思想】数形结合，转化与化归【解题过程】解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A - 于是直线l 的方程为x y -=设双曲线Γ的方程是)0,0(12222>>=-b a by a x由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,于是双曲线Γ的方程是134056802222=⨯-y x将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以)5680,5680(-P ,10680=OP所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.同类训练由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【知识点】平面直角坐标系的应用【数学思想】坐标法思想【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上． k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)， ∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)． ②联立①②，解得P 点坐标为(8,53)， ∴k P A ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A 、B 、C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动②归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.●活动③学以致用,理论实践例2 已知△ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+ , BE,CF 分别为边AC,AB 上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.A BCO y xF E【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程【数学思想】数形结合【解题过程】解: 如图, 以△ABC 的顶点A 为原点O, 边AB 所在的直线为x 轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F 的坐标分别为)0,2()0,(),0,0(c F c B A ,设点C 的坐标为),(y x ,点E 的坐标为)2,2(yx .由2225a c b =+可得2225BC AB AC =+即[]22222)(5y c x c y x +-=++,整理得05222222=-++cx c y x因为),2(),2,2(y x cCF y c x BE --=-=所以0)5222(41222=-++-=•cx c y x CF BE由此,BE 与CF 相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE 与CF 相互垂直.同类训练已知正三角形ABC 的边长为a ,在平面上求一点P ,使|P A |2+|PB |2+|PC |2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系【数学思想】数形结合思想【解题过程】如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A (0,23 a ),B (-2a ,0),C (2a ,0).设P (x ,y ),则|P A |2+|PB |2+|PC |2 =x 2+(y -23 a )2+(x +2a )2+y 2+(x -2a)2+y 2 =3x 2+3y 2-3ay +452a =3x 2+3(y -63a )2+a 2≥a 2,当且仅当x =0,y =63a 时,等号成立,∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心. 【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题【答案】所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P (0,63a ),是正三角形AB C 的中心【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势. 探究二探究平面直角坐标系中的伸缩变换 ●活动①温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin =吗？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，就的到曲线x y 2sin =.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，得到点),(y x P '''，则⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 21①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动②温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y sin 3=呢？在由正弦曲线x y sin =上任取一点),(y x P ，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就的到曲线x y sin 3=.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设),(y x P 为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，得到点),(y x P '''，则⎩⎨⎧='='y y x x 3②我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫． ●活动③巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线x y sin =怎样得到曲线x y 2sin 3=呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的21，再保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来的3倍，就可得曲线x y 2sin 3=.类比上述情况，即：设平面直角坐标系中任意一点),(y x P 经过上述变换后为点),(y x P '''，那么⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 321③ 我们把③式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念．活动④巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy xx 2131后的图形.⑴14922=+y x ；⑵1121822=-y x ⑶x y 22= 【知识点】伸缩变换．【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】．⑴由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2131得⎩⎨⎧'='=y y x x 23代入14922=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为122='+'y x同理可得⑵式经过伸缩变换后的图形方程为13222='-'y x⑶式经过伸缩变换后的图形方程为x y '='232 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程.同类训练在平面直角坐标系中, 求方程032=+y x 所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y xx 32后的图形对应的方程为.【知识点】坐标的伸缩变换．【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 32得⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 321代入032=+y x ，得到经过伸缩变换后的图形方程为0='+'y x【思路点拨】伸缩变换公式的应用．【答案】0='+'y x●活动⑤强化提升、灵活应用例4在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 3后，曲线C 变为曲线9922='-'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x x 3代入曲线9922='-'y x 得到曲线C 对应的方程为122=-y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用．【答案】122=-y x ．同类训练在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312后，曲线C 变为曲线1922='+'y x ，求曲线C 的方程．【知识点】伸缩变换逆向应用．【解题过程】将伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 312代入曲线1922='+'y x 得到曲线C 对应的方程为1422=+y x 【思路点拨】伸缩变换公式的应用．【答案】1422=+y x ． 3.课堂总结知识梳理（1）坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉与的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 的作用下，点),(y x P 对应点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 重难点归纳（1）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法．（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示. （三）课后作业基础型自主突破1．已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( )A.21B.2C.3D.31 【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式．【解题过程】:∵1,3,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩∴3,.x x y y '=⎧⎨'=⎩将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x . 【思路点拨】函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错．【答案】C2.曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='yy xx 43变换后得到的新曲线的方程是（）.A ．14322='+'y xB ．191622='+'y xC ．116922='+'y x D ．116922='+'y x【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】曲线122=+y x 经过φ: ⎩⎨⎧='='y y x x 43变换后,即⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 4131代入到圆的方程,可得116922='+'y x 即所求新曲线的方程为116922='+'y x ．【思路点拨】将y x ,表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程. 【答案】D ．3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是() A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用．【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的图形是双曲线，只能是圆或者椭圆．【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得．【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A ．2332x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B ．3223x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C ．x'y y'x =⎧⎨=⎩D ．11x'x y'y =+⎧⎨=-⎩【知识点】伸缩变换公式与应用．【解题过程】设此变换为,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩则3,22,3x'x y'y λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以所求变换为3,22,3x'x y'y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到．【答案】B ．5．已知函数=)(x f 22(1)1(1)1,x x -++++则)(x f 的最小值为__________．【知识点】平面直角坐标系的应用．【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f (x )可看作是平面直角坐标系下x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f (x )的最小值为2.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理．【答案】22．6．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩后，曲线C 变为曲线322='+'y x ，则曲线C 的方程为________．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】将伸缩变换5,3x x y y '=⎧⎨'=⎩代入322='+'y x ，得392522=+y x ．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】392522=+y x ．能力型师生共研7．设曲线C 对应的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ，曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧>•='>•=')0()0(:μμλλϕy y x x 后得到曲线C ',则曲线C '为（） A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．随μλ,的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换．【解题过程】将变换,,x'x y'y λμ=⎧⎨=⎩转化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='=y y x x μλ11代入双曲线方程得)0,0(1222222>>='-'b a b y a x μλ，所以曲线C '为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以与双曲线定义．【答案】A ．8．在同一平面直角坐标系中，将曲线01283622=+--x y x 变成曲线03422=+'-'-'x y x ，求满足条件的伸缩变换．【知识点】伸缩变换公式应用．【解题过程】解：x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为24()2x -－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为(x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②，可得42,23,x x y y -⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩ 所以将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0的图象．【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式．【答案】,23.xx y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩．探究型多维突破9．△ABC 的顶点A 固定，点A 的对边BC 的长是2a ，边BC 上的高的长是b ，边BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程．【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程．【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC 所在的定直线为x 轴，过A 作x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(0，b )．设△ABC 的外心为M (x ，y )．取BC 的中点N ，则MN ⊥BC ，即MN 是BC 的垂直平分线． ∵|BC |＝2a ，∴|BN |＝a ，|MN |＝|y |. 又M 是△ABC 的外心，∴|MA |＝|MB |. 又|MA |＝x 2＋y －b2，|MB |＝|MN |2＋|BN |2＝y 2＋a 2，∴x 2＋y －b2＝y 2＋a 2，化简，得所求的轨迹方程为x 2－2by ＋b 2－a 2＝0.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量. 【答案】02222=-+-a b by x ．自助餐1．将正弦曲线y ＝sin x 作如下变换：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，得到的曲线方程为( )．A ．y ′＝3sin 12x ′B ．y ′＝13sin 2x ′ C ．y ′＝12sin 2x ′ D ．y ′＝3sin 2x ′ 【知识点】三角函数图形、伸缩变换．【解题过程】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，转化为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 312代入y ＝sin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用．【答案】D2．将曲线F (x ，y )＝0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的13，得到的曲线方程为( )A ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，3y ＝0B ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，y 3＝0 C ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，y 2＝0 D ．F ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，2y ＝0【知识点】伸缩变换．【解题过程】设(x ，y )经过伸缩变换变为(x ′，y ′)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝3y ′，代入F (x ，y )＝0得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′，3y ′＝0.．【思路点拨】正确使用伸缩变换公式．【答案】A3．双曲线C:16422=-y x 经过⎩⎨⎧='='yy x x 23:ϕ变换后所得曲线C '的焦点坐标为________．【知识点】双曲线的性质、伸缩变换．【解题过程】将变换⎩⎨⎧='='y y x x 23ϕ变形为⎪⎩⎪⎨⎧'='=y y x x 231代入曲线C 中得：116922=-y x ，所有焦点坐标为)0,5(或)0,5(-．【思路点拨】先将曲线C '的方程求解，在根据双曲线的性质求焦点坐标．【答案】)0,5(或)0,5(-．4．在同一平面直角坐标系中，曲线369422=+y x 经过伸缩变换ϕ后变成曲线1222='+'y x ，则伸缩变换ϕ为________．【知识点】伸缩变换公式．【解题过程】将369422=+y x 变形为14922=+y x 与1222='+'y x 比较可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='yy x x 2231．【思路点拨】对伸缩变换公式进行适当的变形．【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='y y x x 2231． 5．如图所示，A ，B ，C 是三个观察站，A 在B 的正东，两地相距6 km ，C 在B 的北偏西30°，两地相距4 km ，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s 后B ，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过A ，B 两点的直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P 的坐标．【知识点】双曲线的定义、直角坐标系．【数学思想】坐标法思想．【解题过程】解：设点P 的坐标为(x ，y )，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在BC 的中垂线上．因为k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，所以直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又因为|PB|－|P A|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得x＝8或x＝－3211(舍去)，所以y＝5 3.所以点P的坐标为(8,53)．【思路点拨】根据实际问题建立合适的直角坐标系，转为数学问题．【答案】(8,53)．。

掌握高中数学中的平面直角坐标系

掌握高中数学中的平面直角坐标系高中数学中的平面直角坐标系是一种重要的工具，它帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

在这篇文章中，我们将探讨如何正确地掌握平面直角坐标系，并且介绍一些常见的应用。

一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。

这两条轴的交点被称为原点，用O表示。

我们可以通过在x轴和y轴上取定一个单位长度，来确定平面上任意一点的坐标。

例如，点A的坐标可以表示为(x,y)，其中x表示点A在x轴上的位置，y表示点A在y轴上的位置。

二、平面直角坐标系的性质平面直角坐标系具有一些重要的性质，这些性质帮助我们更好地理解和分析数学问题。

1. 对称性：平面直角坐标系具有关于原点的对称性。

对于任意一点P(x,y)，其关于原点的对称点为P'(-x,-y)。

这一性质在解决对称性相关的问题时非常有用。

2. 距离公式：在平面直角坐标系中，我们可以使用距离公式计算两点之间的距离。

对于两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，它们之间的距离可以表示为√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

这个公式在解决几何问题时经常被使用。

3. 斜率公式：平面直角坐标系中的斜率公式可以帮助我们计算两点之间的斜率。

对于两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，它们之间的斜率可以表示为(y2-y1)/(x2-x1)。

斜率公式在解决直线相关的问题时非常有用。

三、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在数学中有许多应用。

下面我们将介绍其中的一些常见应用。

1. 图形的表示：平面直角坐标系可以用来表示各种图形，如直线、抛物线、圆等。

通过在坐标系中画出这些图形，我们可以更好地理解它们的性质和特点。

2. 函数的图像：函数的图像可以通过在平面直角坐标系中画出函数的图像来表示。

通过观察函数的图像，我们可以推断函数的性质，如增减性、奇偶性等。

3. 解方程：平面直角坐标系可以帮助我们解方程。

高二数学 4-4第一章坐标系全部教案

表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0，可以取任意角。
变式训练：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3，）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4，）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角的取值范围是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角，当＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的面积。（O 为极点）

高中数学同步备课平面直角坐标系

一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的三步骤：第一步：建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x λ＞0y′＝μ·y μ＞0的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换．用坐标法解决几何问题[例1] [思路点拨] 首先在平行四边形ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系,设出点A,B,C,D 的坐标,再依据两点间的距离公式即可证得结论．[证明] 如图,以A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系．设B(a,0),C(b,c),则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2,由对称性知D(b －a,c),所以|AB|2＝a 2,|AD|2＝(b －a)2＋c 2,|AC|2＝b2＋c2,|BD|2＝(b－2a)2＋c2,|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab),|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab,所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心,选对称中心为原点；(2)如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,求证：|AC|＝|BD|.证明：取BC所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系．设A(－a,h),B(－b,0),则D(a,h),C(b,0)．∴|AC|＝b＋a2＋h2,|BD|＝a＋b2＋h2.∴|AC|＝|BD|,即等腰梯形ABCD中,|AC|＝|BD|.2．在△ABC中,D是BC边上的任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|,求证：△ABC为等腰三角形．证明：作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在的直线为x轴,OA所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示．设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0),因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|,所以由距离公式得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d),即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．因为d－b≠0,所以－b－d＝c－d,即－b＝c,所以O为线段BC的中点．又因为OA ⊥BC,所以|AB|＝|AC|. 所以△ABC 为等腰三角形．用平面直角坐标系解决实际问题[例2] 已知某荒漠上有两个定点A,B,它们相距2 km,现准备在荒漠上围垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A,且与AB 成30°的角,现要对整条水沟进行加固改造,但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造,所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固,问暂不加固的部分有多长．[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为C,D,由围墙总长为8 km,得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2, 由椭圆的定义知,点C 的轨迹是以A,B 为焦点,长轴长2a ＝4,焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图所示),则点C 的轨迹方程为x 24＋y23＝1(y≠0)．易知点D 也在此椭圆上,要使平行四边形ACBD 的面积最大,则C,D 为此椭圆短轴的端点,此时,面积S ＝12×23×2＝2 3 km 2.(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y23＝1(y≠0)内,故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长,如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋1，x 24＋y 23＝1得13x 2＋8x －32＝0,则x 1＋x 2＝－813,x 1x 2＝－3213,那么弦长L ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813,故暂不加固的部分长为4813km.运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件,使表达式简明,运算简便．因此,要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．(2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程． (3)运算——通过运算,得到所需要的结果．3．已知B 村位于A 村的正西方向1 km 处,原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线l,但在A 村的西北方向400 m 处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W 周围100 m 范围划为禁区．试问：埋设地下管线l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(－1 000,0),由W 位于A 的西北方向及 |AW|＝400,得W(－2002,2002)．由直线l 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°,得直线l 的方程是x －3y ＋1 000＝0. 于是点W 到直线l 的距离为 |－2002－3×2002＋1 000|2＝100×(5－2－6)≈113.6＞100. 所以埋设地下管线l 的计划可以不修改．4.如图所示,A,B,C 是三个观察站,A 在B 的正东,两地相距6 km,C 在B 的北偏西30°,两地相距4 km,在某一时刻,A 观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后B,C 两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B 两点的直线为x 轴,以AB 的垂直平分线为y 轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x,y), 则A(3,0),B(－3,0),C(－5,23)．因为|PB|＝|PC|,所以点P 在BC 的中垂线上．因为k BC ＝－3,BC 的中点D(－4,3),所以直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4)．① 又因为|PB|－|PA|＝4,所以点P 必在以A,B 为焦点的双曲线的右支上, 双曲线方程为x 24－y25＝1(x≥2)．②联立①②,解得x ＝8或x ＝－3211(舍去),所以y ＝5 3.所以点P 的坐标为(8,53)．[例3] 伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝4y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x′2＋y′216＝1,求曲线C的方程．[解] 设P(x,y)为曲线C 上的任意一点．把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y′＝4y代入x′2＋y′216＝1,得x 2＋y 2＝1,故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.坐标伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ＞0，y′＝μyμ＞0注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变,即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.5．求4x 2－9y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后的图形所对应的方程．解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝13y′，将其代入4x 2－9y 2＝1,得4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x′2－9·⎝ ⎛⎭⎪⎫13y′2＝1.整理得x′2－y′2＝1.∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2＝1.6．若函数y ＝f(x)的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y′＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x′＋π6,求函数y ＝f(x)的最小正周期．解：由题意,把变换公式代入方程y′＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x′＋π6得3y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,整理得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6,故f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以y ＝f(x)的最小正周期为2π2＝π.一、选择题1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A ．椭圆 B ．比原来大的圆 C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D 由伸缩变换的意义可得．2．在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y后,曲线C 变为曲线x′2＋y′2＝1,则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝0 B ．25x 2＋9y 2＝1 C ．9x 2＋25y 2＝0D ．9x 2＋25y 2＝1解析：选B 把⎩⎪⎨⎪⎧x′＝5x ，y′＝3y代入方程x′2＋y′2＝1,得25x 2＋9y 2＝1,∴曲线C 的方程为25x 2＋9y2＝1.3．圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后所得图形的焦距为( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析：选C 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′2，y ＝y′3，代入x 2＋y 2＝1,得x′24＋y′29＝1,该方程表示椭圆,∴椭圆的焦距为29－4＝2 5.4．在同一平面直角坐标系中,将曲线y ＝12sin 3x 变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x′y ＝12y′ B.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x y′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3x′y ＝2y′D.⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x y′＝2y解析：选D 设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，则μy＝ sin λx ,即y ＝1μsin λx ,∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，∴伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y.二、填空题5．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y 后,曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝13y′，代入y ＝cos x,得13y′＝cos 12x′,即y′＝3cos x′2. 答案：y′＝3cos x′26．将点P(－2,2)变换为P′(－6,1)的伸缩变换公式为________．解析：设伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝－2λ，1＝2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.所以伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝12y7．已知f 1(x)＝cos x,f 2(x)＝cos ωx(ω>0),f 2(x)的图象可以看作是把f 1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)而得到的,则ω为________．解析：函数f 2(x)＝cos ωx ,x ∈R(ω>0,ω≠1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1ω(纵坐标不变)而得到的,所以13＝1ω,即ω＝3.答案：3 三、解答题8．在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝13y 后的图形．(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y′＝13y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝3y′.①(1)将①代入5x ＋2y ＝0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0,表示一条直线． (2)将①代入x 2＋y 2＝1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是x′214＋y′219＝1,表示焦点在x 轴上的椭圆．9．已知△ABC 是直角三角形,斜边BC 的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,证明：|AM|＝12|BC|.证明：以Rt △ABC 的直角边AB,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．设B(b,0),C(0,c),则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由于|BC|＝b 2＋c 2,|AM|＝ b 24＋c 24＝12b 2＋c 2, 故|AM|＝12|BC|.10．在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程． (1)曲线y ＝2sin x4变换为曲线y ＝sin 2x ；(2)圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y24＝1.解：(1)将变换后的曲线方程 y ＝sin 2x 改写为y′＝sin 2x′,设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λxλ>0，y′＝μy μ>0，代入y′＝sin 2x′得μy＝sin 2λx , 即y ＝1μsin 2λx,与原曲线方程比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝14，1μ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝18，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝18x ，y′＝12y.即先使曲线y ＝2sin x4上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的18,得到曲线y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤148x ＝2sin 2x,再将其纵坐标缩短到原来的12,得到曲线y ＝sin 2x.(2)将变换后的椭圆方程x 29＋y 24＝1改写为x′29＋y′24＝1,设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx λ>0，y′＝μy μ>0，代入x′29＋y′24＝1得λ2x 29＋μ2y 24＝1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22y 2＝1,与x 2＋y 2＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫λ32＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫μ22＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y′＝2y.即先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长为原来的3倍,得到椭圆x 29＋y 2＝1,再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的2倍,得到椭圆x 29＋y 24＝1.。

破解高中数学中的平面解析几何问题的解题技巧

破解高中数学中的平面解析几何问题的解题技巧解析几何是高中数学的一部分，也是较难掌握的数学分支之一。

在解析几何中，平面解析几何问题是其中的重要组成部分。

为了帮助同学们更好地掌握平面解析几何的解题技巧，本文将介绍一些实用的方法和技巧。

一、建立坐标系在解决平面解析几何问题之前，首先要建立坐标系。

选择一个合适的坐标系有助于简化解题过程，减少冗余计算。

通常，我们可以选择直角坐标系或极坐标系，具体选择取决于问题的特点。

对于直角坐标系，可以将问题中涉及到的点坐标表示为(x, y)的形式，从而将几何问题转化为代数问题。

对于极坐标系，可以通过引入极坐标参数来分析问题，有时候更具优势。

建立坐标系之后，我们就可以根据题目的要求选择合适的方法来解决问题了。

二、利用性质和定理在平面解析几何中，有许多性质和定理可以应用于解题过程中。

熟练掌握这些定理和性质是解决问题的关键。

1. 距离公式：根据两点的坐标，可以用距离公式计算它们之间的距离。

对于直角坐标系，距离公式为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。

对于极坐标系，距离公式为：d = √(r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1))。

2. 中点公式：根据两点的坐标，可以求得它们连线的中点坐标。

对于直角坐标系，中点公式为：(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)。

3. 斜率公式：根据两点的坐标，可以求得它们连线的斜率。

对于直角坐标系，斜率公式为：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

但需要注意的是，当(x2 - x1)为0时，斜率不存在或为无穷大。

4. 直线方程：利用点斜式或两点式可以得到直线的方程。

点斜式：y - y1 = k(x - x1)；两点式：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

5. 圆的方程：根据圆心和半径的坐标可以得到圆的方程。

高中数学解析几何总结非常全

高中数学解析几何总结非常全解析几何是数学中一个非常重要的分支，它凭借着坐标系的引入和解析法的运用，把几何图形的特征用精确的数学语言描述。

本篇文章主要围绕高中数学解析几何的知识点进行总结，旨在帮助读者更好的掌握该学科。

一、平面直角坐标系平面直角坐标系指由二维直角坐标系(x,y) 和坐标平面上给定的一个原点(O) 共同构成的平面。

坐标系的基础知识对解析几何的学习至关重要，因此我们需要掌握如下概念：1. 笛卡尔坐标系平面直角坐标系又称为笛卡尔坐标系，是二维空间中的一种坐标系。

该坐标系中，平面上的任意一点P的坐标(x,y) 是由P点在x轴、y轴上的投影所确定的。

2. 坐标轴平面直角坐标系中的两条坐标轴分别是x轴和y轴，它们相交于坐标系的原点O。

3. 坐标变化在平面直角坐标系中，任意一点P(x,y) 关于x轴、y轴、原点O的对称点分别是P'(x,-y)、P'(-x,y) 和P'(-x,-y)。

二、直线及其方程解析几何中的直线是平面上的一种基本几何元素，由于它们的性质非常重要，因此直线及其方程的知识点也是解析几何中的核心内容。

我们需要掌握以下知识点：1. 直线的方程直线的一般式和斜截式是解析几何中最为常用的两种方程。

（1）直线的一般式：Ax+By+C=0在直线的一般式中，A、B、C 均为实数，其中 A 和 B 不同时为零。

（2）直线的斜截式：y=kx+b在直线的斜截式中，k 为直线的斜率，即斜线的倾斜程度。

斜率为0的直线是水平线，斜率为正数的直线是上升的，斜率为负数的直线是下降的。

2. 直线的截距式直线的截距式比较简单，它是指直线在x、y轴上截距所组成的一种方程形式，可以用来求解直线的截距。

3. 直线之间的关系直线之间的关系有平行、垂直等多种情况，我们需要掌握这些关系的性质和求解方法。

三、圆与圆的方程圆是解析几何中的另一个重要几何元素，它可以用一个点和一个距离来描述。

在本篇文章中，我们需要掌握以下知识点：1. 圆的一般式圆的一般式为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。

全等三角形与平面直角坐标系综合题

全等三角形与平面直角坐标系综合题一、引言全等三角形是高中数学中重要的概念之一，它涉及到平面几何和坐标系的知识。

在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。

本文将深入探讨全等三角形的性质以及与平面直角坐标系的综合应用。

二、全等三角形的性质全等三角形是指两个三角形的所有对应的角相等，对应的边长相等。

在平面几何中，我们可以通过以下三种情况来判断两个三角形是否全等：2.1 SSS判据若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

这是最直观的判断方式，通过测量三边的长度即可确定。

2.2 SAS判据若两个三角形的一边和与其相对的两个角分别相等，则这两个三角形全等。

这种判据常用于实际问题中，通过测量一边的长度和两个角的大小即可确定。

2.3 ASA判据若两个三角形的两个角和与其相对的一边分别相等，则这两个三角形全等。

这种判据常用于实际问题中，通过测量两个角的大小和一边的长度即可确定。

三、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是指在平面上引入两个互相垂直的坐标轴，通过坐标点的位置来描述平面上的点。

在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。

3.1 坐标点的表示在平面直角坐标系中，我们使用有序数对(x, y)来表示一个点的位置，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A点在横坐标为2，纵坐标为3的位置。

3.2 坐标点的变换在平面直角坐标系中，我们可以通过平移、旋转和缩放等操作来对坐标点进行变换。

这些变换操作可以帮助我们判断两个三角形是否全等。

3.2.1 平移变换平移变换是指将一个点沿着指定的方向和距离移动。

在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别加上相同的常数来实现平移变换。

3.2.2 旋转变换旋转变换是指将一个点绕着指定的中心点按照一定的角度旋转。

在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别乘以旋转矩阵来实现旋转变换。

高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

课堂探究(tànjiū)·素养提升
类型(lèixí两ng点)一的距离(jùlí)公式【例 1】已知点 A(-3,4),B(-2, 3 ),试在 x 轴上找一点 P,使得 d(P,A)=d(P,B). 并求出 d(P,A).
解:设 P(x,0),由题意得 d(P,A)= x 32 0 42 = x2 6x 25 ,
d(P,B)= x 22 0 3 2 = x2 4x 7 ,
由 d(P,A)=d(P,B),即 x2 6x 25 = x2 4x 7 得 x=-9,
故 P(-9,0),d(P,A)= 9 32 0 42 =2 13 .
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变式训练(xùnliàn)1-1:已知三点A(3,2),B(0,5),C(4,6),则△ABC的形状是( )
故点 M 的坐标为( 0 b , c 0 ),即( b , c ).
22
22
由两点的距离公式得 d(B,C)= c2 b2 ,
d(A,M)=
b2 c2
=
b2 c2 ,
44
2
故 1 d(B,C)=d(A,M),即|AM|= 1 |BC|.
2
2
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类型(lèixíng两)四点间距离公式(gōngshì)的综合应用
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3.已知线段AB的中点在坐标(zuòbiāo)原点,且A(x,2),B(3,y),则x+y等于( ) D
(A)5
(B)-1
(C)1
(D)-5
解析:因为 AB 的中点为坐标原点,则有 x 3 =0, 2 y =0,
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高中数学知识点总结( 坐标系与参数方程第一节坐标系)

坐标系与参数方程第一节坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ＞0，y ′＝μ·y μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ.一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1，与x 2＋y 2＝1，比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2，化成直角坐标方程为y ＝33(x －4)，则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性． [题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1，把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2，所以|P Q|＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ，由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2，所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即(x －3)2＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R)与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0，故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|O Q|的值．解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ， ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)设P (ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|O Q|＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的方程为y 2＝x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ，得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1，x ＝－4(舍去)，当x ＝1时，y ＝±1，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A (1,1)，B (1，－1)，所以ρA ＝1＋1＝2，ρB ＝1＋1＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1，因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A 在第一象限，点B 在第四象限，所以θA ＝π4，θB ＝7π4，故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，7π4.。

高中数学平面解析几何知识点归纳

高中数学平面解析几何知识点归纳高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!高中数学平面解析几何知识点平面解析几何初步：①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。

直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。

②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。

③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。

空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。

高中数学平面解析几何知识点平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。

解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。

平面解析几何基本理论坐标在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。

最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。