完美长方形
【试读】《浴缸里的惊叹：256道让你恍然大悟的趣题》
但是，如果排除掉这种情况呢？这仍然是有解的。如下图，我们把一个21×10的长 方形分成了两个六边形，其中小六边形的各边长度分别为1, 2, 4, 8, 5, 10，大六边形 的各边长度分别为2, 4, 8, 16, 10, 20。这两个六边形的形状相同，但是大小不同。
这个问题出自2004年美国奥林匹克数学竞赛试题。原题其实是这样的：对于怎样 的正实数k，我们能够把1×k的矩形划分成两个相似但不全等的多边形？答案非常 出人意料：只要k≠1，满足要求的划分方案都是存在的。
1 几何问题 3
接下来的问题或许更具有挑战性：你能再想出一种与上面给出的所有方案都不同 的方案吗？答案如下图所示。
这里还有一个很有意思的问题：把一个正方形分割成n个小正方形，这对于哪些 n来说是有解的？答案是，除了n=2, 3, 5以外，对于其他所有的n，把一个正方形 分割成n个小正方形都是有可能的。对于n为1, 4, 6, 7, 8的情况，分割方案如下图 所示。
如图，首先，画一个正五边形ADEFG。然后，找出它的中心O，将它分别与A、D、 E、F、G相连。最后，延长AD和FE并交于点B，延长AG和EF并交于点C。那么，整 个大三角形ABC将会成为一个顶角为108°的等腰三角形。这就是一个绝对让人信 服的例子，我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数，从而说 明每个小三角形的确都是锐角三角形。
【奥赛】小学数学竞赛：不规则图形的面积.学生版解题技巧 培优 易错 难
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．10104GF ED CB AGH F ED CB A41010【巩固】求图中五边形的面积．例题精讲4-2-6.不规则图形的面积6453【例 2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【例 3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【例 4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【例 6】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B 点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？BA 1米1米【例 7】 右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米8厘米4厘米【例 8】 右图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米，求ED 的长．AB CDE F【巩固】如图所示，4CA AB ==厘米，ABE △比CDE △的面积小2平方厘米，求CD 的长为多少厘米？ABE C D【巩固】如图，平行四边形ABCD 种，10BC cm =，直角三角形ECB 的边8EC cm =，已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大210cm ，求平行四边形ABCD 的面积．G FEDCBA【例 9】 如图，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求BCO 与EFO 的面积差．O B C D GFE A【例 10】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？680平方米2720平方米60【巩固】有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？2【例 11】 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？【例 12】 一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少231cm．求原长方形纸片的面积．52【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？66【例 13】一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如图)，面积就比原来正方形减少181平方分米．原正方形的边长是多少分米？85【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？5【巩固】如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米．原正方形的边长是______分米．11【例 14】如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大34平方厘米，求阴影部分的面积．10cm【例 15】一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积的27；再把左下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的________(答案用分数表示)．甲乙【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍．已知阴影部分面积之和为1，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？5【例 16】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【例 17】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？44 4【例 18】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？【巩固】如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．第6题【巩固】图中有6个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的4边中点连接而成．已知最大的正方形的边长为16厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？【例 19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面26cm，最小的正方形的边长为多少厘米？积为2【例 20】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【例 21】如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．第2题【例 22】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)6【巩固】如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【例 23】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？108 6丙乙甲【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张)．地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？【例 24】有2个大小不同的正方形A和B．如下左图所示的那样，在将B正方形的对角线的交点与A正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的19．求A与B的边长之比．如果当按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？左图右图【例 25】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路．求草坪的面积是多少平方米？【例 26】如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长8米、宽3米．水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈．水池【例 27】用四个相同的长方形拼成一个面积为2100cm的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米？【巩固】如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是36平方分米，求一个小长方形的面积及周长．【例 28】四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？16【巩固】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．第19题【例 29】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？1米【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？5【巩固】有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm，已知两个长方形之间部分的面积是216cm，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．BA【例 30】已知大正方形比小正方形边长多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米．问大、小正方形面积各是多少？【巩固】两个正方形的面积相差29cm，边长相差1cm．求两个正方形的面积和．C BA【巩固】有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？【例 31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1)(2)【例 32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？【例 33】 计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？(2)(1)【巩固】有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为1厘米，已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．【巩固】一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？AAB C C A BA【例 34】 一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加30米(如图虚线所示)，则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？3030【例 35】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？50.5【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为26m，问锯下的长方形木条面积是多少？【巩固】从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米？【例 36】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米．求乙正方形的面积．【例 37】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？图a图b【例 38】 如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB 为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．A BCDEF 488【例 39】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【例 40】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【巩固】如图，长方形ABCD 的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD 的面积？A B C D IH G FEAB C D【例 41】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？图１ 图2【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？24【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【例 44】 如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．A614DCB【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？ABA BCDE FGH【巩固】如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为281cm ，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？第2题【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积．【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图．1518141094781【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．51215A 51215【例 48】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？1230201636G FEDC B AS 3S 2S 11230201636G FEDC B A【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？302448【巩固】如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形．其中有5个小矩形的面积如图所示．矩形ABCD 的面积为 ．164221CB DA【例 49】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10．求正方形盒底的面积．绿黄红绿黄红【例 50】 如图所示，在正方形ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是 ．DCBA绿黄红 312【巩固】如图所示，在正方形ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.绿黄红D C BA【例 51】 如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A 和B 是两个正方形的重叠部分，C 、D 、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A ：B ：C ：D ：E =1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是________．【例 52】 如图如果长方形的面积为56平方厘米，且2MD =厘米、3QC =厘米、5CP =厘米、6BN =厘米，那么请你求出四边形MNPQ 的面积是多少厘米？33C P D M2356532MD BPC N【巩固】长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A ，B ，C ，D 分别在四条边上，并且C 比A 低5米，D 在B 的左边2米，四边形ABCD 的面积是 平方米．DCBADCBA【例 53】 直角三角形PQR 的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？95QED P R FCBAN MH G A B CFR P DEQ 59【例 54】 如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ，四边形ABCD 的面积是220cm ．⑴求正方形EFGH 的边长？⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？F E HGDCB A 丙乙丁甲ABC DG H E F hgfe d cba图1 图2 图3【例 55】 如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求三角形ADE 的面积．FECB DAH 2H 1HADBCEF【例 56】 右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?【例 57】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积．图a中中中大图b【例 58】 如图，长方形的面积是小于100的数．它的内部有三个边长是整数的正方形．正方形②的边长是长方形长的512，正方形①的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是。
完美长方形的定义和概念
完美长方形的定义和概念完美的长方形是一种几何图形，具有特定的属性和特征。
它是一种矩形，具有四个直角和相对的边相等的特点。
长方形有两条长边和两条短边，它们的对边平行且相等。
完美的长方形具有理想的比例和对称性，是一种具有美学价值的几何形状。
长方形的概念包括其数学定义、属性和特征。
它是一种平行四边形，具有四个直角和相对的边相等。
长方形的对角线相等，且相互平分，其面积等于长边和短边的乘积，周长等于两倍长边加两倍短边。
长方形是一种具有规则几何特征的多边形，其属性严格符合数学定律和公式。
长方形在现实生活中有着广泛的应用和意义。
它是建筑设计中常见的平面图形，在建筑物的墙面、地面和天花板上都有着广泛的应用。
长方形的规则形状和对称特性，使得其在建筑设计中具有美学和实用价值。
此外，长方形还在家具、家居用品、文具、日常物品等领域中得到广泛运用，成为人们日常生活中不可或缺的几何形状之一。
在数学中，长方形是对其他几何形状的重要基础。
它的定义和特征为学生理解几何学打下了坚实的基础，是数学教学中不可或缺的重要内容之一。
通过研究长方形的性质和特点，学生可以培养对数学的兴趣和理解，同时也可以培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
除了在数学和现实生活中的应用外，长方形还在艺术和设计领域中具有重要意义。
在绘画、雕塑、建筑、设计等领域中，长方形的规则形状和对称特性为艺术家和设计师提供了丰富的设计元素和表现方式。
通过对长方形的艺术创作和设计应用，人们可以感受到其美学魅力和实用性，为人们的生活和环境带来美感与便利。
总之，完美的长方形是一种具有特定属性和特征的几何图形，在数学、现实生活和艺术设计中都具有重要意义。
它不仅是数学教学中重要的基础内容，也是现实生活中广泛应用的几何形状，同时在艺术和设计领域中具有重要意义。
因此，长方形的定义和概念是我们理解世界、解决问题和创造价值的重要组成部分。
奥数第4讲-巧求周长与面积
巧求周长与面积掌握巧求周长与面积的基本方法；1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。
【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是__________厘米。
【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE 的宽。
FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形ADHE 的长与宽之和。
所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+⨯=厘米。
【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。
甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。
由于4 1.56AE =⨯=，6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，642EF AE AF =-=-=（厘米）。
【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？[分析] 大平行四边形上、下两边的长为(23622)2116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=L ，所以有三角形19238⨯=个，小平行四边形38139+=个。
黄金矩形长和宽的比
黄金矩形长和宽的比全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：黄金矩形，顾名思义，就是指长和宽的比例符合黄金比例的矩形。
那么什么是黄金比例呢？黄金比例，又称黄金分割，是一种最具美感和和谐感的比例关系。
黄金比例的比值是1：1.618，又称为费波那奇数，这是一个无限不循环小数。
在几何学和艺术中，黄金比例经常被用来构建更加和谐优美的形状和作品。
事实上，黄金比例的应用在建筑、绘画、雕塑等艺术领域广泛可见，同时也在设计、摄影、服装等领域得到应用。
黄金矩形的长和宽比例也正是1：1.618，这种比例被认为是最具美感和和谐感的。
黄金矩形的形状使得人们在看到它时会产生一种愉悦和舒适的感觉，这也是为什么黄金比例在设计领域被如此重视的原因。
黄金矩形的长和宽比例之所以被认为是最美的比例之一，是因为它具有一种“完美”的感觉。
这种完美不是指严格的对称或精确的比例，而是一种更加抽象、主观的感觉。
人们在欣赏黄金矩形时会感觉到一种和谐、优美的感觉，这是因为黄金矩形符合人们对美的认知和感觉。
黄金矩形的长和宽比例是如此重要和引人注目，以至于许多艺术家和设计师都会将其运用到自己的作品中。
在建筑设计中，黄金比例被广泛应用于建筑的立面、平面设计、空间布局等方面。
在绘画和雕塑中，艺术家们也经常利用黄金比例来创作更加优美和谐的作品。
虽然黄金矩形的长和宽比例是非常吸引人的，但是并不是所有的作品都必须符合这种比例。
美术史上也有很多不符合黄金比例的作品成为经典之作，因为美的标准是主观的，不同的人对美的看法也会有所不同。
在现代设计中，黄金矩形的应用仍然很广泛。
许多设计师在布局、排版、色彩搭配等方面都会考虑黄金比例，以创造更加吸引人和和谐的作品。
而在摄影领域，黄金比例也常常被用来构图，以达到更好的视觉效果。
黄金矩形的长和宽比例在设计和艺术领域中具有重要的意义。
它不仅代表着一种完美和和谐的美感，还体现了人类对美的追求和认知。
虽然并不是所有作品都必须符合黄金矩形的比例，但是了解并运用黄金比例可以帮助设计师和艺术家创造更加出色和吸引人的作品。
几何08不规则多边形
【例 1】 (第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【例 2】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【例 3】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B 点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？BA 1米1米【例 4】 (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米8厘米4厘米【巩固】如图，平行四边形ABCD 种，10BC cm =，直角三角形ECB 的边8EC cm =，已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大210cm ，求平行四边形ABCD 的面积．G FEDCBA【例 5】 如图，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求BCO 与EFO 的面积差．O BC D GFE A【例 6】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？680平方米2720平方米60【巩固】(希望杯培训题)如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米．原正方形的边长是______分米．11【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？5【例7】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【例8】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？44 4【例9】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？?【巩固】(2008年第七届”小机灵杯”数学竞赛决赛)如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．第6题【例10】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为226cm，最小的正方形的边长为多少厘米？【例11】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【例12】(2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．第2题【例13】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)6【巩固】（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【例14】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？108 6丙乙甲【例15】有2个大小不同的正方形A和B．如下左图所示的那样，在将B正方形的对角线的交点与A正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的19．求A与B的边长之比．如果当按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？左图右图【例16】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【例17】(2008年北京”数学解题能力展示”读者评选活动复赛)如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长8米、宽3米．水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈．水池【巩固】(2008年”陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．第19题【例18】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？【巩固】（第四届《小数报》数学竞赛决赛试题）有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？【例19】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1)(2)【例20】计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？(2)(1)【例21】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？图a【例 22】 图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米．求乙正方形的面积．【例 23】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？图a图b【例 24】 （第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB 为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．A BCDEF 488【例 25】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【例 26】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形ABCD 的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD 的面积？AB C DIH G FEAB C D【例27】一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【例28】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？图１图2【例29】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【例 30】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．B【例 31】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 32】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？ABA BCDE FGH【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为281cm ，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？第2题【例 33】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．？51215【例 34】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？1230201636G FEDC B AS 3S 2S 11230201636G FEDC B A【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛决赛试题)如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形．其中有5个小矩形的面积如图所示．矩形ABCD 的面积为 ．164221CBD A【例 35】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10．求正方形盒底的面积．绿黄红绿黄红【例 36】 如图所示，在正方形ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是 ．DCBA绿黄红 312【巩固】如图所示，在正方形ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.绿黄红D C BA【例37】如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形的重叠部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是________．【例38】(2005全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)如图如果长方形的面积为56平方厘米，且2MD=厘米、3QC=厘米、5CP=厘米、6BN=厘米，那么请你求出四边形MNPQ的面积是多少厘米？CP2552PC【巩固】(南京市第三届”兴趣杯”少年数学邀请赛预赛)长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A，B，C，D分别在四条边上，并且C比A低5米，D在B的左边2米，四边形ABCD的面积是平方米．DCB ADCBA【例39】(2004全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)直角三角形PQR的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？D FCCF D【例 40】 如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ，四边形ABCD 的面积是220cm ．⑴求正方形EFGH 的边长？⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？FE GD BBDGEF gfc图1 图2 图3【例 41】 如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求三角形ADE 的面积．FECB DAH 2H 1HADBCEF08奥数天天练——不规则图形面积21【例 42】 右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?【例 43】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积．图a中中中大图b。
小学奥数习题版三年级几何巧求面积学生版
巧求面积知识要点我们已经学会了计算正方形、长方形的周长和面积，运用这些基础的知识，可以解决一些较复杂的面积计算.由长方形、正方形引出的问题形式多样，要解决这些问题，关键要能够合理地切拼，要做到这一点，就需要我们开动脑筋，细心观察，掌握图形特点，找出分割与切拼的方法，达到解决问题的目的.1.掌握巧妙的解题方法.2.了解“等量代换”的思想.3.培养学生灵活运用的能力.简单求面积【例 1】4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个面积是100平方厘米的大正方形，已知小正方形的面积是36平方厘米，问长方形的长和宽各是多少厘米？【例 2】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米.把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？75【例 3】一个长方形周长是80厘米，它是由3个完全相同的小正方形拼成的，那么每个小正方形的面积是多少平方厘米？面积增减【例 4】一块长方形铁板，长15分米，宽l2分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米?【例 5】一块长方形地长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使原来的面积不变，长应减少多少米?【例 6】人民路小学操场原来长80米，宽55米，改造后长增加20米，宽减少5米.现在操场的面积比原来增加多少?【例 7】有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米?【例 8】一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【例 9】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米.求原正方形的面积?等量代换【例 10】7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米?24【例 11】若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形.已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 12】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少?(单位：厘米)366找规律【例 13】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？… …平移【例 14】有一块菜地长37米，宽25米，菜地中间留了1米宽的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？37米25米1米1米【例 15】一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，红条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少?【例 16】（第六届小机灵杯决赛第七题）图中由若干个相同的正方形拼成，图形的周长是68厘米，这个图形的面积是多少平方厘米？【例 17】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示.如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？翻折【例 18】如图，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？旋转【例 19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米?【例 20】（第七届小机灵杯决赛第六题）图中是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形（阴影部分）的周长是8，那么最大的正方形的边长是多少？第6题【例 21】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形.求第五个正方形的面积。
20181122小学奥数练习卷(知识点：剪切和拼接)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：剪切和拼接）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共3小题）1．将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A．14B．16C．18D．202．两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（）拼成．A．两个锐角三角形B．两个直角三角形C．两个钝角三角形D．一个锐角三角形和一个钝角三角形3．在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（）A．8B．7C．6D．5第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共40小题）4．图（a）和图（b）是两个完全相同的长方形，现在每个长方形中放入了四个同样的小长方形，阴影部分是空下来的．已知大长方形的长比宽多6厘米，图（a）、图（b）的阴影部分的周长哪个长？长多少？5．有一张长6分米、宽4分米的长方形硬纸板，在四个角各剪去一个同样大小的正方形，准备做个长方形纸盒．求被剪后的硬纸板的周长．6．如图，在一个长为60厘米，宽为30厘米的长方形黑板上涂满白色，现有一块长为10厘米的长方形黑板擦，用它在黑板内紧紧沿着黑板的边擦黑板一周（黑板擦只作平移，不旋转）．如果黑板上没有擦到部分的面积恰好是黑板面积的一半，那么这个黑板擦的宽是厘米．7．如图由一个正三角形和一个正六边形组成．如果正三角形的面积为960，正六边形的面积是840，那么阴影部分的面积是．8．在一条水平直线上放了一个正方形和两个等腰直角三角形，如果斜着放置的正方形面积为6平方厘米，那么，阴影部分的面积和是平方厘米．9．如果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个长方形称为完美长方形．已知下面的长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，已知其中最小的三个正方形的边长分别为1，2，7，那么，图中没有标示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为．10．如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形．第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形EFG竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ．第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是平方厘米．11．如图：平行四边形的一边长为15厘米，这条边上的高6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，题目的面积相差18平方厘米，那么其中梯形的面积是平方厘米．12．如图，长方形ABCD的长AD是10厘米，宽AB是6厘米．AE把长方形分成了一个直角三角形和一个梯形，其中梯形的面积是三角形面积的4倍．三角形与梯形的周长相差厘米．13．在如图中，点A1、B1、C1、D1、E1、F1分别是正六边形ABCDEF各边的中点，点A2、B2、C2、D2、E2、F2分别是正六边形A1B1C1D1E1F1各边的中点．已知三角形A1B1B的面积是5平方厘米，那么，正六边形A2B2C2D2E2F2的面积是平方厘米．14．如果用1×2和1×3两种规格的长方形地板砖铺满如图的地面，要使地板砖数尽量少，要怎样铺？至少需要地板砖．15．如图所示，从大正方形纸片上剪下1个小正方形后，将剩下的部分再剪成4个完全相同的等腰梯形（如图1），拼成一个平行四边形（如图2）．若这个平行四边形的一条边长33厘米，这条长边对应的高为5厘米，那么，剪下的小正方形的面积是平方厘米．16．在如图1所示的A、B、C、D、这4个图形中，可以用如图2所示的两种小块无重叠地拼成的图形是．17．如图，若干个相同的小正方形放在大正方形内，我们用S阴表示阴影部分面积，S大表示大正方形面积．则S大÷S阴=．18．如图，一块正方形钢板，一边截下2分米宽的长条，另一边截下3分米宽的长条，剩下部分面积比原来减少了44平方分米．则原正方形的面积为平方分米．19．如图有大小两个正方形组成，大正方形边长是10，小正方形边长是6，那么阴影部分的面积为．20．将一个面积为36平方厘米的正方形纸片按照如图所示方式折叠两次后对折，沿如图所示水平对折线剪开，得到的长方形纸片中周长最小为厘米21．索玛立方体组块是丹麦物理学家皮特•海音（Piet Hein）发明的7个小立方体组块（如图所示，注意5号与6号组块，这是两个不同的组块）．因为利用这7个组块可以恰好组成一个立方体，所以称为索玛立方体组块．一个索玛立方体组块如果能够被某个平面分割成形状完全相同的两部分，则称这个组块是可平面平分的．那么，这些组块中有而且只有1种分割方法的可平面平分组块为，不可平面平分组块为（填0表示没有）．22．如图正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为8，图中四边形ABCD 的面积为36，阴影长方形的面积是．23．现有1×1×2的积木3块，1×1×3的积木3块，1×2×2的积木5块（如图），从这些积木中选出若干个，拼出一个3×3×3的实心正方体，1×1×2的积木最少需要块，在你的拼法中还需要1×1×3的积木块，1×2×2的积木块．24．如果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个长方形称为完美长方形．已知右面的长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，这是一个长为57，宽为55的完美长方形，用小正方形中心的数字代表其边长，已知两个正方形的边长分别为30与27，那么，图中没有标示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为．25．如图，小正方形的面积是1，则图中阴影部分的面积是．26．如图，由七巧板拼成的兔子图形中，兔子耳朵（阴影部分）的面积是10平方厘米，则兔子图形的面积是平方厘米．27．如图所示，两个完全相同的等腰三角形中各有一个正方形，图乙中的正方形面积为36平方厘米，则图甲中的正方形面积为平方厘米．28．如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40平方厘米，则长方形的面积是平方厘米．29．如图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，面积多96平方厘米．大正方形的面积是平方厘米，小正方形的面积是平方厘米．30．如图，若每个小正方形的顶点均位于其相邻的正方形各边的中点，且其中最小的阴影正方形面积为48平方厘米，那么图中最大的正方形面积为平方厘米．31．如图所示，正方形的边长为18厘米，以它每条边上的三等分点为顶点，分别作两个小正方形，这两个小正方形重叠部分刚好构成了一个正八边形，那么这个正八边形的面积与阴影部分面积之差为平方厘米．32．如图所示，中间空白部分是一个正六边形，其边长为2厘米，图中阴影部分的面积为平方厘米，（π取3）33．如图，大正方形内五个阴影所示图形都是正方形，所标数字是正方形顶点之间线段的长度，则这五个阴影正方形面积之和是．34．如图，大正方形面积为8平方厘米，小正方形面积为5平方厘米，那么图中阴影面积是平方厘米．35．如图，大小两个正方形合并放在一起，大正方形面积比小正方形的面积大37平方厘米，图中阴影部分的面积是平方厘米．36．如图一张A4纸的长为29厘米，宽为21厘米；将四个角如图进行折叠（图中给出的是一个角的折叠，每次折完后都打开）．最后两条折痕会围成一个正方形，那么这个正方形的面积是平方厘米．37．郭老师有一块蛋糕要分给4或5名小朋友，于是郭老师把蛋糕切成若干块，其中每块不一定一样大；这样无论是来4名小朋友还是5名小朋友，都可以取其中的若干块使得每个人分得的一样多，那么郭老师至少把蛋糕分成块．38．沿长方形ABCD中的虚线将长方形剪成两部分，会发现两部分形如汉字“凹凸”．已知长方形AD=10厘米，宽AB=6厘米，EF=GH=2厘米；那么剪成的“凹凸”两部分的周长和为厘米．39．索玛立方体是丹麦物理学家皮特•海音（Piet Hein）发明的7个小立方体组块（如图所示），如果假设这些小立方体的边长为1，则利用这7个组块不仅可以组成一个3×3的立方体，还可以组成很多美妙的几何体．那么，要组成下面的几何体，需要用到2个索玛立方体的编号是．40．如图，正六边形被分割成了3个平行四边形，阴影三角形的面积是1，那么正六边形的面积是．41．如图所示，将一张A4纸沿着长边的2个中点对折，将得到2个小长方形，小长方形的长与宽之比与A4纸相同．如果设A4纸的长为29.7厘米，那么，以A4纸的宽为边长的正方形面积为平方厘米（精确到小数点后一位）．42．如图，正六边形内接于大圆，如果大圆的面积为2016cm2，那么，图中阴影部分面积是cm2．43．正八边形的边长是16，那么阴影部分的面积是．三．解答题（共7小题）44．将2个长是13厘米、宽是7厘米的长方形拼成一个大长方形，有两种拼法，哪一种拼法周长比较长，它比另一种拼法的周长长多少厘米？45．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为99cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为19cm2，求四边形ABCD的面积．46．请用9个边长分别是2，5，7，9，16，25，28，33，36的正方形，拼出一个长方形，在你拼出的图形中标上有关数据．47．如图，正方形客厅边长为12米，若正中铺一张正方形纯毛地毯，周边铺化纤地毯，共用44910元．已知纯毛地毯每平方米500元，化纤地毯每平方米70元，则铺在正中的纯毛地毯的正方形边长是米．48．现有1×1×2的积木（A）、1×1×3的积木（B）、1×2×2的积木（C）（如图），分别有6块、11块、10块，从这些积木中选出若干个，拼成3×3×3的实心正方体，至多可以拼出个3×3×3的实心正方体，写出这几个正方体的拼法分别所用的A、B、C的个数（如1A+7B+1C）：49．每个小正方体的质量为100克，由125个小正方体组成大正方体，从这个大正方体中抽出一组小正方体，抽的方法是：从一个面到其对面所涉及到的小正方体都要抽掉，如图中涂色部分就是抽出后的情形，抽出这些小正方体后的几何体的质量是克．50．如图所示，两个边长为6的正方形ABFE和CDEF拼成长方形ABCD．G为DE 的中点．连接BG交EF于H．求图中五边形CDGHF的面积．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．将长方形ABCD对角线平均分成12段，连接成如图，长方形ABCD内部空白部分面积总和是10平方厘米，那么阴影部分面积总和是（）平方厘米．A．14B．16C．18D．20【分析】设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1=ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab=3ab=3，同理，相邻的空白部分的面积就是5ab=5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是1+5+9=15，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15=（平方厘米）；同理，那么阴影部分面积总和是：3+7+11=21，然后进一步解答即可．【解答】解：设把中间最小的空白长方形的面积看作单位1=ab，那么与它相邻的阴影部分的面积就是2a×2b﹣ab=3ab=3，同理，相邻的空白部分的面积就是5ab=5，依此规律，面积依次下去为7，9，11，则空白部分的面积总和是1+5+9=15，而实际空白部分面积总和是10平方厘米，可得单位1的实际面积是10÷15=（平方厘米）；那么阴影部分面积总和是：3+7+11=21，则实际面积是：21×=14（平方厘米）；答：阴影部分面积总和是14平方厘米．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，关键是通过方程思想，确定一个标准，然后把要求的量统一到这个标准下再解答．2．两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（）拼成．A．两个锐角三角形B．两个直角三角形C．两个钝角三角形D．一个锐角三角形和一个钝角三角形【分析】因为平角是180°，拼在一起的两个小三角形一定有两条边共线，这时能组成一个平角，所以两个角的和必须等于平角，据此解答即可．【解答】解：因为拼在一起的两个小三角形一定有两条边共线，这时能组成一个平角，A、因为两个锐角的和小于180度，所以，两个锐角三角形不可能拼成一个大三角形；B、因为90°+90°=180°，所以两个直角三角形能拼成一个大三角形；C、因为钝角+锐角有可能等于180°，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；D、因为钝角+锐角有可能等于180°，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；故选：A．【点评】本题考查了图形的拼组，难点是把所求问题转化为哪两种角能拼成平角．3．在桌面上，将一个边长为1 的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接，要求无重叠，且拼接的边完全重合，则得到的新图形的边数为（）A．8B．7C．6D．5【分析】正六边形每个内角是120°，正三角形每个内角是60°，正六边和正三角形边长都为1，所以它们的边拼组后有两组成为直线段，所以减少了4条边，据此解答即可．【解答】解：180°×（6﹣2）÷6=180°×4÷6=120°180°÷6=60°120°+60°=180°所以，拼接后的图形是：6+3﹣4=5（条）答：得到的新图形的边数为5．故选：D．【点评】本题关键是算出正六边形每个内角的度数，明确拼组方法．二．填空题（共40小题）4．图（a）和图（b）是两个完全相同的长方形，现在每个长方形中放入了四个同样的小长方形，阴影部分是空下来的．已知大长方形的长比宽多6厘米，图（a）、图（b）的阴影部分的周长哪个长？长多少？【分析】图（a）中阴影部分的周长恰好等于大长方形的周长；图（b）中阴影部分的周长明显比大长方形周长小．二者相差2AB．【解答】解：图（a）中阴影部分的周长恰好等于大长方形的周长；图（b）中阴影部分的周长明显比大长方形周长小．故图（a）中阴影部分的周长比图（b）中阴影部分的周长大．从图（b）的竖直方向看，AB=a﹣CD；图（b）中大长方形的长是a+2b，宽是2b+CD，则AB=a﹣CD=（a+2b）﹣（2b+CD）=6（厘米），6×2=12（厘米）．答：图（a）的阴影部分的周长长，长12厘米．【点评】解答本题关键是根据图形的拼组情况，通过转化得到图（a）、图（b）的阴影部分的周长的等量关系．5．有一张长6分米、宽4分米的长方形硬纸板，在四个角各剪去一个同样大小的正方形，准备做个长方形纸盒．求被剪后的硬纸板的周长．【分析】在四个角上各剪去一个同样大小的正方形，如图，由于正方形四条边都相等，剪去后剩下的边与剪之前的长度相等，所以被剪后硬纸板的周长不变，相当于长6分米、宽4分米的长方形的周长，周长=（长+宽）×2，据此解答即可．【解答】解：（4+6）×2=10×2=20（分米）答：被剪后的硬纸板的周长是20分米．【点评】此题考查了长方形的周长公式，要注意剪去四个小正方形之后硬纸板的周长没变．6．如图，在一个长为60厘米，宽为30厘米的长方形黑板上涂满白色，现有一块长为10厘米的长方形黑板擦，用它在黑板内紧紧沿着黑板的边擦黑板一周（黑板擦只作平移，不旋转）．如果黑板上没有擦到部分的面积恰好是黑板面积的一半，那么这个黑板擦的宽是 3.75厘米．【分析】用长方形黑板的长乘宽，再除以2求出没擦部分的面积，再要除以没擦部分的长60﹣10﹣10=40厘米，求出没擦部分的宽，再用30去减的差除以2，就是黑板擦的宽．据此解答．【解答】解：没在擦到部分的面积：60×30÷2=900（平方厘米）没擦到部分长方形的宽900÷（60﹣10﹣10）=900÷40=22.5（厘米）黑板擦的宽（30﹣22.5）÷2=7.5÷2=3.75（厘米）故答案为：3.75．【点评】本题的重点是求出剩下没擦到部分的面积，难点是求出没擦到部分的宽．7．如图由一个正三角形和一个正六边形组成．如果正三角形的面积为960，正六边形的面积是840，那么阴影部分的面积是735．【分析】中间三角形面积为840÷2=420，根据鸟头模型，可计算出A为四等分点．三角形BOE的面积为六边形面积的，为840÷6=140，三角形BOC的面积为960÷4﹣140=100；CB：BE：ED=5：7：4，ABC的面积为则阴影部分的面积是960﹣75×3=735【解答】中间三角形面积为840÷2=420，根据鸟头模型，可计算出A为四等分点．三角形BOE的面积为六边形面积的，为840÷6=140，三角形BOC的面积为960÷4﹣140=100；CB：BE：ED=5：7：4，ABC的面积为则阴影部分的面积是960﹣75×3=735【点评】本题考查鸟头模型．8．在一条水平直线上放了一个正方形和两个等腰直角三角形，如果斜着放置的正方形面积为6平方厘米，那么，阴影部分的面积和是3平方厘米．【分析】下图中两个涂色的直角三角形是相等的，根据勾股定理，这个三角形的直角边的平方和与正方形的边长平方是相等的．【解答】解：两个阴影的面积和是6÷2=3（平方厘米）故填3．【点评】此题考查的是勾股定理和三角形面积的计算．9．如果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个长方形称为完美长方形．已知下面的长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，已知其中最小的三个正方形的边长分别为1，2，7，那么，图中没有标示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为9、11、13、21、22、24、36、37、44．【分析】本题考察平面图形的计算．【解答】解：剩下的小正方形的编号分别是从①到⑨，如下图：正方形①的边长是：2+7=9正方形②的边长是：9+2=11正方形③的边长是：11+2=13正方形④的边长是：9+11+1=21正方形⑤的边长是：21+1=22正方形⑥的边长是：22+1=23正方形⑦的边长是：23+13=36正方形⑧的边长是：9+21+7=37正方形⑨的边长是：37+7=44．故填：9、11、13、21、22、24、36、37、44．【点评】本题较为繁琐，可操作性低，难度也低．10．如图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形．第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形EFG竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ．第一步操作后两张纸片重叠的面积与第二步操作后两张纸片重叠的面积相等，那么这个正方形纸片ABCD的面积是121平方厘米．【分析】第一次重合的部分是平行四边形KBNG，第二次重合部分是平行四边形BOJL，这两部分面积相等，同时减去平行四边形BNML，得到平行四边形KLMG 和平行四边形MNOJ面积相等．【解答】解：平行四边形KLMG=5×3=15（平方厘米）因为图中的三角形都是等腰直角三角形，所以BI=BO=3+5，BF=BN=3，所以NO=5厘米JC=15÷5=3（厘米）正方形边长3+5+3=11（厘米）正方形面积11×11=121（平方厘米）故填121．【点评】此题主要考查平行四边形的面积计算．11．如图：平行四边形的一边长为15厘米，这条边上的高6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，题目的面积相差18平方厘米，那么其中梯形的面积是54平方厘米．【分析】做如图所示的虚线，平行四边形中左下角和右上角两个三角形完全相同，所以两个三角形中间夹着的小平行四边形的面积为18平方厘米，从而它的底边为18÷6=3厘米，即梯形的上底为3厘米，所以梯形的面积为（3+15）×6÷2=54平方厘米．【解答】解：18÷6=3（厘米）（3+15）×6÷2=18×3=54（平方厘米）答：梯形的面积是54平方厘米．故答案为：54．【点评】本题解答的突破口是做出辅助线，根据面积差求出梯形的上底．12．如图，长方形ABCD的长AD是10厘米，宽AB是6厘米．AE把长方形分成了一个直角三角形和一个梯形，其中梯形的面积是三角形面积的4倍．三角形与梯形的周长相差12厘米．【分析】要求出梯形的周长与直角三角形周长的差，因为梯形的周长=AD+CD+CE+AE，三角形ABE的周长=AE+BE+AB，又因AB=CD，AE是公共边，所以只要求出AD+CE﹣BE是多少就可以了【解答】解：根据题意可知，S=S△ABE×4，梯形AECD即（AD+EC）×CD÷2=AB×BE÷2×4，也就是（AD+EC）×6÷2=6×BE÷2×4，所以AD+EC=BE×4，所以BE+EC+EC=4BE，所以2EC=3BE，因为BE+EC=10（cm），所以EC=6（cm），BE=4（cm），那么，AD+CE﹣BE=10+6﹣4=12（厘米）；答：梯形的周长与直角三角形周长的差是12厘米．故答案为：12．【点评】本题考查剪切与拼接、长方形的性质、梯形的性质等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题．13．在如图中，点A1、B1、C1、D1、E1、F1分别是正六边形ABCDEF各边的中点，点A2、B2、C2、D2、E2、F2分别是正六边形A1B1C1D1E1F1各边的中点．已知三角形A1B1B的面积是5平方厘米，那么，正六边形A2B2C2D2E2F2的面积是67.5平方厘米．【分析】进行如图所示割补，正六边形可以看成有24个小三角形构成，推断出中间正六边形面积是大正六边形的面积的，同理可得小正六边形的面积是中间正六边形面积的，由此即可解决问题．【解答】解：进行如图所示割补，正六边形可以看成有24个小三角形构成，所以正六边形的面积=24×5=120（平方厘米），中间的正六边形有18个小三角形构成，面积为18×5=90（平方厘米）即占了大正六边形面积的，所以小正六边形的面积占中间的正六边形的面积的，90×=67.5（平方厘米），故答案为67.5．【点评】本题考查剪切和拼接、割补法求面积，解题的关键是学会添加辅助线，把大正六边形分成24个小三角形．14．如果用1×2和1×3两种规格的长方形地板砖铺满如图的地面，要使地板砖数尽量少，要怎样铺？至少需要地板砖10块．【分析】由题意要使得地板砖数尽量少，所以尽量用1×3的地板，如图所示，这种铺法的地板最少，至少需要10块．【解答】解：由题意要使得地板砖数尽量少，所以尽量用1×3的地板，如图所示，这种铺法的地板最少，至少需要10块．故答案为10块．【点评】本题考查剪切和拼接，解题的关键是理解题意，尽量用1×3的地板．15．如图所示，从大正方形纸片上剪下1个小正方形后，将剩下的部分再剪成4个完全相同的等腰梯形（如图1），拼成一个平行四边形（如图2）．若这个平行四边形的一条边长33厘米，这条长边对应的高为5厘米，那么，剪下的小正方形的面积是196平方厘米．【分析】根据图2中的条件，首先确定等腰梯形的上下底的长，即可解决问题．【解答】解：由题意，图2中平行四边形的边长为33厘米，高为5厘米，可得等腰梯形的下底比上底多5厘米，上下底的和为33，可得上底为14，下底为19，所以小正方形的边长为14，所以小正方形的面积为14×14=196（平方厘米），故答案为196【点评】本题考剪切和拼接、等腰梯形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是确定等腰梯形的上下底的长．16．在如图1所示的A、B、C、D、这4个图形中，可以用如图2所示的两种小块无重叠地拼成的图形是D．【分析】先从图2知，能拼成的图形中的小正方形的个数必须是3的倍数，排除掉A，B，再根据排布特点排除掉C．【解答】解：图2都是由三个小正方形组成的图形，所以由此两种图形拼成的图形中，小正方形的个数是3的倍数，而A中有11小正方形，B中有11小正方形，所以A，B不能由图2无重叠的拼成，C中小正方形的个数是12，虽然满足3的倍数，但明显上面三排不能拼成，所以只有D符合题意，故答案为D ．【点评】此题是剪切与拼接，先确定出能拼成的图的个数必须是3的倍数，用排除法是解本题的关键．17．如图，若干个相同的小正方形放在大正方形内，我们用S 阴表示阴影部分面积，S 大表示大正方形面积．则S 大÷S 阴= ．【分析】如图所示，连接对角线，设小正方形的边长为a ，则大正方形的对角线长为14a ，分别求出S 大、S 阴，即可得出结论．【解答】解：如图所示，连接对角线，设小正方形的边长为a ，则大正方形的对角线长为14a ，∴大正方形的边长为7a ，∴S 大=98a 2，S 阴=28a 2，∴S 大÷S 阴=98a 2÷28a 2=，故答案为．【点评】本题给出几何图形，求解面积问题，考查学生读图的能力，确定正方形的边长是关键．18．如图，一块正方形钢板，一边截下2分米宽的长条，另一边截下3分米宽的。
2017年第十五届“走美杯”小数数学竞赛初赛试卷(五年级B卷答案及解析)
2017年第十五届“走美杯”小数数学竞赛初赛试卷（五年级B卷）-学生用卷一、填空题共15题，共120 分1、计算：（写成小数的形式，精确到小数点后三位）。
2、两个标准骰子一起投掷次，点数之和第一次为，第二次为的可能性（概率）为/（先填分子，再填分母）。
3、大于的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的倍，则这样的数称为完美数或完全数。
比如，的所有因数为，，，，，是最小的完美数。
是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一。
研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，的所有因数之和为。
4、昊宇写好了五封信和五个不同地址的信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信。
只有一封信装对，其余全部被装错的情形有种。
5、“点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从张扑克牌（不包括大小王）中抽取张，用这张扑克牌上的数字（，，，）通过加减乘除四则运算得出，最先找到算法者获胜。
游戏规定张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用次，比如，，，，则可以由算法得到，海亮在一次游戏中抽到了，，，，经过思考，他发现，我们将满足的牌组称为“海亮牌组”，请再写出组不同的“海亮牌组”。
6、在中国古代的历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫作“十二地支，；十天干和十二地支进行循环组合：甲子、乙丑、丙寅。
一直到癸亥，共得到个组合，称为六十甲子。
如此周而复始用来纪年的方法，称为甲子纪年法。
在甲子纪年中，以“丑”结尾的年份除了“乙丑”外，还有。
7、现有个抽屉，每个抽屉中都放置个玻璃球（形状大小相同），分别为蓝色、红色与黄色。
如果分别从这个抽屉中各取出一个玻璃球放在一个布袋中，则布袋中的个玻璃球共有种不同情况。
8、古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来，定义了多边形数：比如，根据图示，三边形数：，，，，四边形数：，，，，五边形数：，，，，六边形数：，，，，那么，第个三边形数，四边形数，五边形数，六边形数分别为。
【拓展】完美正方形与完美长方形
完美正方形与完美长方形
完美正方形是指由若干个边长不相等的小正方形拼成的
大正方形。
如果其中任何一部分小正方形都无法构成一个长方
形或正方形，则称为简单完美正方形，否则称为复合完美正方
形。
1939年斯普拉格造出第一个完美正方形，它由55个小正
方形组成，边长4205个单位。
最小的简单完美正方形由21个
小正方形组成，边长112个单位，于1978年由荷兰数学加杜
依维斯廷用计算机发现，这个完美正方形不仅阶数最低，同时数字也更简单（较小），且构造上有许多优美的特性，如右图（正方形内数字表
示正方形的边长）。
最小的复合完美正方形则由24个小正方形
组成，有威尔科克斯发现。
完美长方形，是可以分割成几个大小不同的正方形的长方
形。
完美长方形是由完美正方形演变来的，因为完美正方形太
难寻找了，所以有些人就放宽条件，转而研究完美长方形。
1925
年数学家莫伦发现世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成
10个大小不同的正方形。
长为33个单位，宽为32个单位。
如右图。
小学6年级平面计算部分有答案
如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？梯形ABCD被对角线BD分成了两个三角形。
上底与下底之和为20CM，上底与下底差为10CM，三角形BCD的面积比ABD多30平方厘米。
那么梯形的面积是多少？在梯形ABCD中，两条对角线把梯形分成四个三角形，已知其中两个三角形的面积分别为4平方厘米和16平方厘米。
求这个梯形的面积。
如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。
如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm2，△CED的面积是6cm2。
问：长方形ABEF的面积是多少平方厘米？1．如图所示，梯形ABCD中，AB平行于CD，又4AC=，BD=，3 +=．试求梯形ABCD的面积．5AB CDA BDC如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形EFD面积是4平方厘米，黄色三角形CED面积是6平方厘米。
求绿色四边形ABEF的面积。
左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图（1）)，如果两个正方形的周长相差厘米，面积相差平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？2．7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？9．（2005•广州）如图，边长为12厘米的正方形中有一块阴影部分，阴影部分的面积是平方厘米．10．（1997•深圳）如图中E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 上的三等分点，如果阴影部分面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于平方厘米．如图，四边形ABFE和四边形CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．12．如图，ABCDEF为正六边形，P为其内部任意一点，若△PBC、△PEF的面积分别为3和12，则正六边形ABCDEF的面积是如图所示，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周长是厘米．（保留两位小数）在一个棱长为5厘米的正方体上如图切掉一个三棱柱．那么体积减少立方厘米；表面积减少平方厘米．40．如图，阴影部分的面积为2平方厘米，等腰直角三角形的面积为（）平方厘米。
五年级几何巧求周长和面积教师版
知识要点巧求周长长方形周长公式：长方形周长=（长+宽）2⨯，记作：C 长方形()2a b =+⨯； 正方形周长公式：正方形周长=边长4⨯，记作：C 正方形4a =⨯； 巧求周长时，常用到“平移线段法”和“标向法”。
巧求面积长方形面积公式：长方形面积=长⨯宽，记作：S 长方形a b =⨯；正方形面积公式：正方形面积=边长⨯边长，记作：S 正方形2a a a =⨯=；三角形面积公式：三角形面积12=⨯底⨯高，记作：S 三角形12a h =⨯⨯；平行四边形面积公式：平行四边形面积=底⨯高，记作：S 平行四边形a h =⨯；梯形面积公式：梯形面积12=⨯（上底+下底）⨯高，记作：S 梯形()12a b h =⨯+⨯；巧求面积时，常用到“割补法”（将图形平移、对称、旋转）。
巧求周长和面积常见巧求周长和面积问题1. 20个边长为3厘米的小正三角形按如图的方式拼成一个平行四边形。
这个平行四边形的周长是多少厘米？…【分析】平行四边形的周长()20222222366parallelog ram triangle triangle triangle C a a a ⎡⎤=÷⨯+⨯==⨯=⎣⎦厘米。
2. 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】大平行四边形上、下两边的长为()244222120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个， 三角形的数量与小平行四边形的数量相等，也是40个。
3. 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如图所示）拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？【分析】大平行四边形上、下两边的长为()236222116-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=L L ，有三角形19238⨯=个， 小平行四边形38139+=个。
《完美长方形》课件
合理利用布局和排版
确定长方形的尺寸和比例 选择合适的布局方式，如左右布局、上下布局等 合理分配内容，确保每个部分都有足够的空间展示 利用排版工具，如对齐、间距、颜色等，使内容更加清晰、美观
突出重点和层次感
色彩搭配：使用对比色或渐变色，突出重点内容 图形设计：使用简洁明了的图形，增强层次感 布局规划：合理安排内容布局，突出重点内容 字体选择：使用清晰易读的字体，增强层次感
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确定长方形的尺寸和位置
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预览并调整，确保整体效 果和谐统一
完美长方形的应用场景
感谢观看
汇报人：
完美长方形的案例分析
优秀完美长方形PPT课件案例赏析
案例一：苹果公 司的iPhone发布 会PPT
案例二：微软公 司的Windows 10发布会PPT
案例三：谷歌公 司的Android发 布会PPT
案例四： Facebook公司的 F8开发者大会PPT
案例中的优点和特色分析
设计简洁：采用简洁的设计风格， 易于理解和接受
内容丰富：案例中包含了丰富的内 容，有助于理解和掌握完美长方形 的概念
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色彩搭配：色彩搭配和谐，给人以 舒适的视觉体验
互动性强：案例中设计了互动环节， 增强了学习的趣味性和参与感
如何借鉴和应用到自己的作品中
观察长方形的构成 元素：线条、形状、 颜色等
分析长方形的布局 和设计原则：对称、 平衡、对比等
完美长方形计算公式
完美长方形计算公式长方形是我们在数学学习中经常接触到的一个几何图形，那什么是完美长方形呢？其实在数学的世界里，可能没有明确的“完美长方形”这个特定的概念。
但咱可以理解为，就是那种具有一些特殊性质或者在特定条件下表现得特别完美的长方形。
要说长方形，咱们先得搞清楚它的基本构成。
长方形有两条长和两条宽，长通常比宽要长一些。
那计算长方形的面积，公式就是长乘以宽啦。
比如说，有一个长方形，长是 5 厘米，宽是 3 厘米，那它的面积就是 5×3 = 15 平方厘米。
计算长方形的周长呢，公式就是（长 + 宽）× 2 。
还是上面那个例子，长 5 厘米，宽 3 厘米，周长就是（5 + 3）× 2 = 16 厘米。
我想起之前教过的一个学生，叫小明。
有一次上课，我在黑板上画了一个长方形，问大家怎么算出它的面积和周长。
小明特别积极地举手，站起来就说：“老师，这太简单啦，面积就是长乘以宽，周长就是长加宽乘以 2 。
”我笑着问他：“那如果这个长方形的长是 8 米，宽是 6 米，你能算算吗？”小明眨眨眼睛，马上在本子上算起来，不一会儿就大声说：“面积是 48 平方米，周长是 28 米。
”当时我就表扬了他，他可得意了，坐下的时候小胸脯挺得高高的。
在实际生活中，长方形的计算可有用啦。
比如说，咱们要给一个长方形的花园围上篱笆，那就得先算出周长，才能知道需要多长的篱笆材料。
又或者要给这个花园铺上草坪，那就得先算出面积，才知道需要买多少平方米的草坪。
再比如，装修房子的时候，客厅是个长方形，咱们买地砖得根据面积来算需要多少块；做窗帘呢，就得根据窗户这个长方形的周长来确定需要多少布料。
还有啊，做数学题的时候，经常会碰到那种给了面积或者周长，让咱们求长或者宽的。
这时候就得灵活运用公式啦。
总之，长方形的计算公式虽然简单，但用处可大着呢。
只要咱们掌握好了，就能解决好多生活和学习中的问题。
就像小明，学会了之后多有成就感呀！所以，大家可一定要把这两个公式牢记于心，随时都能拿出来用哦！。
把圆拼成长方形的推导过程
把圆拼成长方形的推导过程《把圆拼成长方形的推导过程》我呀，在数学的世界里发现了一个超级有趣的事儿，那就是把圆拼成长方形呢！这就像是一场奇妙的魔法变身。
咱们先来说说圆吧。
圆就像一个完美的、没有任何棱角的小圆盘。
它的边是弯弯的，是那么的圆润光滑。
我看着圆的时候，就觉得它像一个神秘的小星球，自己独自美丽着。
那怎么把这个圆变成一个长方形呢？这可需要我们动动脑筋啦。
我们先把圆平均分成好多好多的小扇形。
这些小扇形呀，就像一片片小小的披萨片。
你想啊，如果把一个圆当作一个大披萨，那我们现在就是把这个大披萨切成了好多小块块。
当我们把这些小扇形分得越多的时候，就越神奇哦。
我们开始把这些小扇形像拼图一样拼起来。
刚开始的时候，还不是很像长方形，它的边还是弯弯的呢，有点像波浪线。
可是随着小扇形的数量不断增加，哇，慢慢地，这个图形就越来越接近长方形啦。
这时候我就特别兴奋，感觉像是发现了一个大宝藏。
我和我的同桌就一直在讨论这个事儿呢。
我同桌说：“你看，这就像把好多弯弯的小月牙凑到一起变成了一个规规矩矩的长方形。
”我觉得他说得特别形象。
我就说：“是呀，这就像是把一群调皮的小弧线变成了直直的边呢。
”那这个长方形和原来的圆有什么关系呢？这可是个关键的问题。
这个长方形的长呀，就相当于圆周长的一半。
你想啊，当我们把那些小扇形拼起来的时候，圆的那一圈弯弯的边，就有一半变成了长方形的长。
而长方形的宽呢，就相当于圆的半径。
这就好像是圆把自己的一部分特征悄悄藏在了这个长方形里。
这时候可能有人会问了，那我们费这么大劲儿把圆拼成长方形干嘛呢？这可有用处啦。
因为长方形的面积我们很容易计算，就是长乘以宽。
那圆的面积呢？因为长方形的长是圆周长的一半（圆周长是2πr，那一半就是πr），宽是圆的半径r，所以圆的面积就是πr乘以r，也就是πr²啦。
这是不是很神奇呢？我和我的数学老师也讨论过这个推导过程。
老师说：“你看，数学就是这样充满惊喜，就像把一个神秘的宝藏用一种巧妙的方法打开了。
长方形纸折飞镖的方法
长方形纸折飞镖的方法
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲怎么用一张长方形的纸折出超酷的飞镖！
先把那张长方形纸平平地放在面前，就好像它是一片等待我们去开垦的小天地。
然后呢，把纸的短边对折一下，你看，这就像是给这片小天地划了一道界限。
接着，把纸展开，再把另外两个短边往中间那条折痕折过去，嘿，这一下子就有那味儿了吧！
这时候，纸就变得有点不一样了，对吧？就好像它开始有了自己的形状和性格。
接下来，把纸翻个面，让它另一面也来凑凑热闹。
把上面的两个角往中间折，哎呀，这是不是有点像给飞镖安上了两个小翅膀呀！再把下面多余的部分往上折一折，就像是给飞镖穿上了双小鞋子。
现在，最关键的一步来啦！把纸沿着中间对折，让两边完美地贴合在一起，哇哦，一个飞镖的雏形就出来啦！你说神奇不神奇？就这么简简单单的几步，一张普普通通的长方形纸就华丽转身变成了一个可以飞翔的飞镖啦！
想象一下，你拿着自己亲手折的飞镖，在院子里或者公园里，用力地扔出去，看着它在空中划过一道漂亮的弧线，那感觉多棒啊！这可都是你自己的劳动成果呀！
折飞镖不就跟我们生活中的很多事情一样吗？刚开始可能觉得挺难的，但是只要一步一步慢慢来，按照方法去做，最后总能收获到惊喜呀！你说是不是这个理儿？而且，折飞镖还能锻炼我们的动手能力和耐心呢，何乐而不为呢？
所以啊，大家赶紧去找张长方形纸，自己动手试试吧！让我们一起感受折纸的乐趣，一起让长方形纸在我们手中变成神奇的飞镖，然后尽情地享受那飞出去的快乐吧！别犹豫啦，赶紧行动起来呀！。
小学6年级平面计算部分有答案
如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？梯形ABCD被对角线BD分成了两个三角形。
上底与下底之和为20CM，上底与下底差为10CM，三角形BCD的面积比ABD多30平方厘米。
那么梯形的面积是多少？在梯形ABCD中，两条对角线把梯形分成四个三角形，已知其中两个三角形的面积分别为4平方厘米和16平方厘米。
求这个梯形的面积。
如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。
如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm2，△CED的面积是6cm2。
问：长方形ABEF的面积是多少平方厘米？1．如图所示，梯形ABCD中，AB平行于CD，又4AC=，BD=，3 +=．试求梯形ABCD的面积．AB CD5A BDC如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形EFD面积是4平方厘米，黄色三角形CED面积是6平方厘米。
求绿色四边形ABEF的面积。
左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图（1）)，如果两个正方形的周长相差厘米，面积相差平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？2．7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？9．（xx•广州）如图，边长为12厘米的正方形中有一块阴影部分，阴影部分的面积是平方厘米．10．（1997•深圳）如图中E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 上的三等分点，如果阴影部分面积为10平方厘米，则四边形ABCD 的面积等于平方厘米．如图，四边形ABFE和四边形CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．12．如图，ABCDEF为正六边形，P为其内部任意一点，若△PBC、△PEF的面积分别为3和12，则正六边形ABCDEF的面积是如图所示，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，则阴影部分的周长是厘米．（保留两位小数）在一个棱长为5厘米的正方体上如图切掉一个三棱柱．那么体积减少立方厘米；表面积减少平方厘米．40．如图，阴影部分的面积为2平方厘米，等腰直角三角形的面积为 ( )平方厘米。
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製作： 張瑗庭 曹書榕、 張瑗庭、 製作：822張瑗庭、曹書榕、翁浩宸 指導老師： 指導老師：傅淑婷
動機
我們閱讀許多書籍，在文獻中發現這個 流傳很久，且十分困難的老問題，看到 在書《數學是啥玩意》，〈數學頭腦鋪 瓷磚〉，及《迷宮黃金比索馬立方 體(葛老爹的數學遊戲)》，〈正方形分 割正方形〉，有研究與記載一些有關完 美長方形的資料，這題目引發我們極大 的興趣，便決定著手研究。
作圖(1)
D (x+2y) C (11x+y ) F (y) A (x) H (3x+y) I (2x+y)
B (4x) E (7x+y)
G (x+y)
作圖(1)(第2頁)
A、B都有可能變為最小正方形。 假設A會變成邊長為 x 的正方形， F會變成邊長為 y 的正方形， 其他所有長方形也都會變成正方形。 則G的邊長為(x+y)， G (x+y) D的邊長為(x+2y)，I的邊長為(2x+y) H的邊長為(3x+y)，B的邊長為(4x) E的邊長為(7x+y)，C的邊長為(11x+y)
(105,100) (6,13,81) (76,28,1) (7) (20) (48) (72,71,66) (5,61) (1,19,56) (55,18) (37) (85,57,67) (47,10) (77) (59,26) (7,40) (33) (89,49,71) (27,22) (5,88) (32) (70,19) (51) (92,64,53) (11,42) (44,31) (76,16) (73) (60) (96,56,57) (55,1) (58) (81,15) (66,4) (62) (56,41) (17,24) (40,14,2) (12,7) (31) (26) (51,47) (8,39) (35,11,5) (1,7) (6) (24) (50,48) (7,19,22) (45,5) (12) (28,3) (25) (92,64,53) (11,42) (44,31) (76,16) (73) (60) (96,56,57) (55,1) (58) (81,15) (66,4) (62) (56,41) (17,24) (40,14,2) (12,7) (31) (26) (51,47) (8,39) (35,11,5) (1,7) (6) (24) (50,48) (7,19,22) (45,5) (12) (28,3) (25)
它的數據是如何排列的， 各正方型邊長有無相關性， 且跟整個長方形有無關連。
(1)括號內的數字與正方形排列的關係： 已知括號內的數字為正方形邊長，經繪圖與討論後 發現，其正方形係按照由左而右的順序排列，第一 個括號內有兩個數據的，分別為最大正方形，置於 左上角；第二個數據則為次大正方形，置於右上角。
作圖(1)小結論
(18,15) (7,8) (14,4) (10,1) (9)
18
15
4 14 10
7
8
1
9
作圖(1)補充
這是一個32 x 33長方形，若在長邊再擺 一個邊長33的正方形或在寬邊擺一個邊 長32的正方形，我們就可得到另一個由 十個不全等正方形排成的長方形。但這 已沒什麼稀奇，所以如果排成一長方形 所用的正方形，拿掉其中任何一個或數 個後無法再構成一長方形，才為簡單排 法。上圖，便是32 x 33的長方形中的一 種完美簡單排法(分割法)。
目的(第3頁)
我們先進行有關完美長方形的 研究，希望能夠找出一些分割 時的技巧，進而推展出一套規 律用來正方分割長方形，依階 數建構完美長方形。 不完美是相對於完美而言，條 件較放寬的切割方式，所以暫 時不為我們的研究範圍。
過程
我們想(1)先找出圖形的基 本結構與配置，(2)藉由以 上所繪之表格，依其數據 嘗試繪圖，(3)探討其正方 形邊長的關係，以及數據 的組合方式。
論點(1)(第4頁)
(25,17,23) (11,6) (5,24) (22,3) (19) 而在第二個括號內，所有數據之和，等 於第一個括號內數字較小的，第二括號 內所有的正方形，轉而置於第一括號內 最小正方形的下面，且不管第一括號內 最小正方形是放在中間或右邊，第二括 號內所有的正方形還是與其左右切齊。
9
(18,15) (7,8) (14,4) (10,1) (9) (36,33) (5,28) (25,9,2) (7) (16)
10
(60,45) (19,26) (44,16) (12,7) (33) (28) (57,54) (3,7,44) (41,15,4) (11) (26) (60,55) (16,39) (34,15,11) (4,23) (19) (45,44,41) (3,38) (12,35) (34,11) (23) (30,27) (3,11,13) (25,8) (17,2) (15) (25,17,23) (11,6) (5,24) (22,3) (19)
作圖(1)(第3頁)
解未知數： 因為B = F+D-C = H+A-F F+D-C = -10x+2y， H+A-F = 4x， 所以-10x+2y = 4x 7x = y y，令x = 1 x 1，則y = 7 y 代入得 A = 1，B = 4，C = 18 ， D = 15，E = 14，F = 7， G = 8，H =10，I = 9 。
發現(1)(第2頁)
由所繪圖形及資料匯整我們開始研究最小 的正方形與它隔壁的正方形排列方式，對 完美長方形圖繪製的影響。 設最小的正方形為A，排在長方形的邊上， 且每個正方形都不全等。 排法可能就是下面兩種情形之一：
A
A
發現(1)(第3頁)
但不管是哪一種情況，放在A上方的正方 形一定與A相等 會排出兩個全等正方形。
目的
從《迷宮黃金比索馬立方體 (葛老爹的數學遊戲) 》，〈正方 形分割長方形〉中，記載下圖：
階數
完美
9
2
10 11 12
0 6 0 22 9
13
34
14
104
15
283
不完美 1
67 213 744 2609
目的(第2頁)
「階數」為幾個正方形。 所謂「不完美」的簡單正方分割長方 形，其中至少有一對兩個全等的正方 形；而「完美」的簡單正方分割長方 形，則是所有組成正方形都不全等。 「將一長方形以許多不全等的小正方 形加以分割，或其中可以有一對以上 兩個全等的正方形」，總稱為「建構 完美與不完美長方形」
18
15 (18,15) (7,8) (14,4) (10,1) (9) 4 7 10 8
1
9
14
論點(1)(第2頁)
(18,15) (7,8) (14,4) (10,1) (9) 第二個括號內所有數據之和， 等於第 一個括號內之第二個數據(次大正方形) 便將第二括號內的正方形放在次大正 方形的下面，且與其切齊。 第三個括號內所有數據之和， 等於第 一個括號內之第一個數據(最大正方形) 便將第三括號內的正方形放在最大正 方形的下面，且與其切齊。
A
→
A
發現(2)(第3頁)
配置圖：每邊相連一個比A大的正方形， 且與A一邊切齊。 發現如此排列就可以解決「出現兩個全等 正方形」的問題。
A
發現(2)小結論
★如果要由許多不全等的 正方形分割一長方形，則 最小的正方形四周會有四 個比它大的正方形，各與 小正方形的某一邊切齊。
步驟二
二.作圖，假設 先畫一個大長方形，然後把它 切割成大小不一的長方形，並 假設每個小長方形可能是正方 形的變形 ( 將正方形被四個正 方形圍繞的情形考慮進去)
論點(1)(第3頁)
第一個括號內有三個數據的，正方形仍是由左而右 排列，第一個數據為最大正方形，第二和第三，其 中較大者為次大正方形，但較小者非第三大正方形。
3 17 25 11 22 6
5
23
19
24
(25,17,23) (11,6) (5,24) (22,3) (19) (72,71,66) (5,61)(1,19,56) (55,17) (37)
作 圖
(2) 小
(99,78) (21,57) (77,43) (16,41) (34,9) (25)
78 99
結 論
43 77 34 16 25 41 21 57 9
步驟三
三.研究完美長方形中所 切割出的小正方形之邊 長(括號內的數據)的性質
(18,15) (7,8) (14,4) (10,1) (9)
。
(2)括號內的數字與長方形邊長的關係：
(25+17+23)為長方形的長邊，22+3=25=25 (25+22)為長方形的寬邊。 17 25 11 6 5 22 19 24 (25,17,23) (11,6) (5,24) (22,3) (19)
23
3
9 → 9個正方形。 ( ) 內之數字 → 長方形中小正方形的邊長。
11
(43,29,40) (19,10) (9,1) (41) (38,5) (33) (99,78) (21,57) (77,43) (16,41) (34,9) (25) (95,90) (5,24,61) (56,25,19) (6,37) (31) (100,85) (43,42) (68,32) (1,41) (4,40) (36) (105,80) (33,47) (78,27) (19,14) (5,56) (51) (99,88) (10,78) (1,9) (67,25,8) (17) (42) (97,94) (26,68) (65,32) (9,17) (33,8) (25) (102,89) (40,49) (75,27) (48,19) (10,39) (29) (100,94) (29,65) (59,25,16) (9,7) (36) (34) (102,92) (31,23,38) (81,21) (8,15) (60) (53) (105,90) (15,31,44) (86,34) (18,13) (57) (52) (105,94) (19,75) (64,33,8) (27) (31,2) (29) (102,97) (16,81) (76,15,11) (4,23) (19) (42)