一次函数存在性问题

一次函数动点问题

1 如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101<

（1）求直线2l 的解析式．

（2）设△PCQ 的面积为S ，请求出S 关于t 的函数关系式．

（3）试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？

2 已知直线y=3x ＋43与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点， ∠ABC=60°，BC 与x 轴交于点C.

（1）试确定直线BC 的解析式.

（2）若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动（不与A 、C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动(不

与C 、A 重合) ，动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存在一点N ，使以A 、Q 、M 、N

为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由.

3 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P是直线AB

上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．

(1)当b＝3时，

①求直线AB的解析式；

②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；

(2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D．当P'D：DC=1：3时，求a的值；

(3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，

请说明理由．

4 如图，已知一次函数y =- x +7与正比例函数y =

43x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长的速度，

沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度沿x 轴向左平移，在平移过程中，

直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在

运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

A B

O y

x y =-x +7

y =43x （备用图） A B O

y x y =-x +7y =43

x

5 如图12，直线y=kx-1与x 轴、y 轴分别交与B 、C 两点，tan∠OCB=2

1. （1） 求B 点的坐标和k 的值；

（2） 若点A （x ，y ）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A 运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x

的函数关系式；

（3） 探索：

①当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是4

1； ②在①成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P 点的

坐标；若不存在，请说明理由.

图12

7 在直角梯形OABC 中，903CB OA COA CB ∠=︒=∥，，，6OA =， 3 5.BA =分别以OA OC 、边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.

（1）求点B 的坐标；

（2）已知D E 、分别为线段OC OB 、上的点，52OD OE EB ==，，直线DE 交x 轴于

点.F 求直线DE 的解析式；

（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N ，使以O D M N 、、、为

顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.

A B D

E

（第4题 图1） F C

O

M N

x

y

8 如图，已知一次函数y =- x +7与正比例函数y =

43x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B . （1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒.

①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．

l R P

C A B O y x

答案

1设直线2l 的解析式为y kx b =+，则806k b b +=⎧⎨=⎩，．

················································ 2分 解，得3

64

k b =-=，． ················································································· 3分 ∴2l 的解析式为364

y x =-+． ········································································ 4分 （2）解法一：如图，过P 作2PD l ⊥于D ，

则PDC BOC △∽△．

PD PC BO BC

∴=． ·········································· 5分 由题意，知268OA OB OC ===，，．

221010BC OB OC PC t ∴=+==-，．

10610

PD t -∴

=． 3(10)5

PD t ∴=-． ······················································································· 7分 21133(10)322510PCQ S CQ PD t t t t ∴==-=-+g g △． ············································ 8分 解法二：

如图，过Q 作QD x ⊥轴于D ，

则CQD CBO △∽△．

QD QC BO BC

∴=． ·············································· 5分 由题意，知268OA OB OC ===，，．

2210BC OB OC ∴=+=．

610

QD t ∴

=． 35

QD t ∴=． ······························································································· 7分 21133(10)322510PCQ S PC QD t t t t ∴==-=-+g g g △． ··········································· 8分 （3）要想使PCQ △为等腰三角形，需满足CP CQ =，或QC QP =，或PC PQ =．