动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)

O
aO
n aCy aCO 2 e
2 ge2
2 C
n a CO C mg
轮O受力如图
N x
N mg maCy mg(1
2e 2

2 C
)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。

3 2 2 [解]：圆柱的动能 T1 0 T2 m(r1 r2 ) 4 W m g(r1 r2 )(cos cos 0 )
r1

N mg(7cos 4cos 0 ) 3 F mgsin 3 F sin f N 7cos 4cos 0
aC
2(m A mC ) aA g 6m A mC aC 0.5a A F 0.5(m A 2mC ) g 0.5(2m A mC )a A
综合7：均质细杆AB，长为l，重量为P，由绳索水平静止悬挂如 图。在突然剪断右端绳索的瞬时，求：(1)若忽略绳索的变形， 求A端绳索的约束力大小和AB杆的角加速度；(2)若考虑绳索的弹 性变形，则A端绳索的约束力大小和AB杆的角加速度。 解：忽略绳索变形。在剪断右端绳 索瞬间，AB杆角速度为零，其上各 点速度也为零。
V O C V
解：质心C在水平运动守恒。若OC铅垂，设轮O角速度为 。 1 1 1 2 2 2 末动能 T2 mV mC 2 初动能 T1 mV 2 2 2 2 ge 2 2 动能定理 T2 T1 mge
C
以O为基点研究C点加速度
n aC aO aCO
y
由动能定理的积分形式 T2 T1
W
1 1 1 2 2 2 2 J B m(Vr B r ) J 2 mgr 2 2 2
在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2 J B m B r r
H1 H 2
当B点脱离墙面时，NB=0
2V cos 1 3 gl
2 A

13
3gVA 1 2 2l
13
y
B

在B点脱离墙面后，仍以AB杆与竖直方向的夹角 为系 统参数。AB受力如图 对A应用相对动量矩定理 1 2 1 ml mglsin 3 2
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
2 aC l 4
×
aC
2 aC l C 4
根据刚体平面运动微分方程
B
m aC m g N J C 0.5lN cos 45

mg
A

N
2 N mg 5
综合2：半径是r的铅直空圆环，对圆环直径的转动惯量是J，以 角速度 绕定轴z转动。在管子内最高点A放一质量为m的小球， 由于微小扰动使小球从静止开始沿管下滑。试求当小球达到B和 C时，圆环的角速度和小球的绝对速度。不计摩擦。
综合9：均质直杆AB的质量为m，长为l，置于光滑的直角间，今 在A端加一水平力使它沿地面以常速率V0 运动。求直杆倒地时B 端的速度VB。 y
B

C
FA
A
o
AB杆运动分为两个阶段： •B点脱离墙以前AB的运动分析； •B点脱离墙以后AB的运动分析。
V0 x
y
B
NB
解：在B点脱离墙面以前，AB杆的运动学分析
z
A

[解]：小球下滑到B点时，设其相对于圆 环的速度是Vr ，方向竖直向下。牵连速 度Ve垂直于铅垂平面。
r
C
1 T1 J 2 Ve 2 1 1 2 T2 J B mVB2 B 2 2 1 1 Vr 2 2 J B m(Vr2 B r 2 ) 2 2
W m gr
解：滚轮A受力图如下
滚轮A和滑块C的运动学关系为

aA aC
a A R
aC a A 0.5R
滚轮A的动力学方程
0.5m A R 2 0.5TR FR m A a A m A g sin T F
滑块C的动力学方程
mC aC T mC g
滑块C受力图 由此可得
综合1：均质杆长l，质量为m，刚性地面光滑，φ=45°，求绳断 瞬间地面的反力。 解：绳切断后AB受力如图。
×
aC
n a AC 0
B
质心加速度铅直向下，AB杆的角 加速度为。 以C为基点，研究A的加速度为
C

mg
a A a AC aC
投影到铅直向下方向
τ a AC aA A

N
0 aAC cos aC
1 LB1 mR cos mR2 2
2
当B点突然固定时，外力作用于B，故圆盘对B 的动量矩不变。设此时圆盘角速度为2
动力学普遍定理的优越性主要体现在研究比较复 杂的系统动力学问题。
在求解比较复杂的动力学问题时，往往不可能仅用 一个定理解决全部问题，需要综合应用几个定理来求解。 而且这种应用，并不存在一个固定的模式，必须具体问 题具体分析，综合考虑，灵活应用。但是一般说来，下 列原则仍有一定的参考价值。
(1)求解速度、角速度问题往往首先考虑应用动能定 理的积分形式, 且尽可能以整个系统为研究对象, 避免拆开系统。 (2)应用动能定理的积分形式，如果末位置的速度或 角速度是任意位置的函数，则可求时间导数来得到 加速度或角加速度。仅求加速度(角加速度)的问题, 应用动能定理的微分形式也很方便。
d d d 1 d 2 C dt d dt 2 d mg NA 2 3g cos C l FA A V0 积分常数C由B点脱离墙面的状态所确定 o x 13 13 2 2 2 2 g VA 2 1 3 9 1 3 g VA C [3 ( ) ( ) ] 4 C1 4 l 3 4 l 当杆AB水平时，以A为基点研究B即可求出其B点速度
J B J mr2
J (2 J m r2 ) VB 2 gr r 2 2 ( J m r2 ) 2
同理可得
C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端 分别沿光滑的铅直墙壁和光滑水平地面滑动。设杆的初始位置与 墙成0，求杆沿铅直墙壁下滑的角速度和角加速度。
1 M (2 L) 2 LM ( g sin L sin 2 L 2 sin cos ) 12 LM ( L cos2 L 2 sin cos )
3g sin 4L d d d 1 d 2 3g sin dt d dt 2 d 4L
T1
aC
1
杆AB运动状态及受力图如右
C
1 2 1 ml 1 Pl 3 2
3g 1 2l
P
l 3g aC 1 2 4 P T P maC 4
1 T2 P 2
解：考虑绳索弹性变形。在剪断右 端绳索瞬间，由于左端绳索维持原 有变形，因此左端绳索张力维持不 变。
2
xB VA y B C1 ( gVAl )1 3
综合10：质量为m的均质圆盘C以角速度绕其边缘上一点A在水 平面内运动，若轴A突然解脱，另一点B被突然固定，如图示。 已知ACB=，求圆盘绕B转动的角速度2。忽略摩擦不计。
A R
C

VC

2
解：A解脱的瞬间，圆盘质心速度为VC VC R B 圆盘转动的角速度仍为 ，此时圆盘对B 点的动量矩为
ห้องสมุดไป่ตู้
y
A
NA
[解]：杆AB受力图如图 根据刚体平面运动微分方程


C
G
MC N A x MC N B G y J C LN B sin LN A cos
补充两个运动学关系 xC Lsin yC L cos
o
B
NB
x
C Lcos L 2sin x C L sin L 2 cos y
根据质心运动定理
n C
n N D G m aC
64 N D m a G [1 ]m g 3π(9π 16)
综合6：半径为R的滚轮A，质量为mA ，对质心A的转动惯量为 JA=0.5mAR2 。轴半径为r=0.5R，滚轮在=30的足够粗糙的斜面 上纯滚动，细绳绕过无重量的定滑轮B后，挂一质量为mC的物块。 不计B轮系摩擦。求：(1)A轮轮心的加速度aA和C的加速度aC；(2) 当mA=4.5mC时候，斜面给A轮的摩擦力。
A 4r

由动能定理的积分形式 T2 T1
W
g 4 (9π 16)r
以圆心为基点研究质心加速度，其加速度矢量图如图。同时 画出其在竖直方向的受力状态 A O aO B
C
n aCO
τ aCO
G
D
ND
n τ n τ aC aC aC aO aCO aCO n n 2 4r aC aCO n 3π
(3)对既要求运动又要求约束力的问题，因为应用动 能定理不能求出无功约束力，此时往往先求运动， 然后再用质心运动定理或动量矩定理来求约束力。
(4)当系统由作平动、定轴转动、平面运动的刚体组 合而成时,一种比较直观的求解办法就是将系统拆开 成单个刚体,分别列出相应的动力学微分方程,然后 联立求解。
(5)注意动量、动量矩守恒问题,特别是仅在某一方向 上的守恒。
d 2
2
3g sind 2L
3g (cos 0 cos ) 2L
综合4：偏心轮O质量为m，偏心距为e。轮对质心C的回转半径 为C，置于光滑水平地面上。初始时OC水平，质心有一水平初 速度V，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平地 面对轮的约束反力。
O
C


C mg
FA
x A lsin
NA
VA lcos cos A l l 2 sin 0 x
x A lcos
系统受力图
VA2sin 2 3 l cos
A
o
V0 x
对A点应用相对动量矩定理 1 2 1 ml mglsin N B l cos 3 2
[解]：半圆盘对质心C的转动惯量 4r 2 1 2 16r 2 J C J O m( ) mr m 2 3π 3π 2 9π VC A 直径水平时，半圆盘的角速度为 O C B O C 4 W mgr B 3π D T1 0 9π 2 32 2 2 (3π 4) 2 1 1 mr mr2 2 T2 J C 2 mVC2 36π 2 18π 2 2 2
杆AB运动状态及受力图如右
C
P
1 T2 P 2 1 1 T2 l ml2 2 2 12
3g 2 l
综合8：质量为m、半径是r2的均质圆柱体在半径为r1固定圆柱面 内纯滚。试求圆柱体受到的反力及保证纯滚动的最小静滑动摩擦 系数(不计滚阻)。假设在0=60°从静止开始运动。
O
由动能定理的积分形式 T2 T1 W 4 g (cos cos 0 ) 2 r2 3(r1 r2 ) C mg 2 gsin F 3(r1 r2 ) N 以圆柱为研究对象，根据质心运动定理 m(r1 r2 ) mgsin F m(r1 r2 ) 2 N mgcos