第十章 一年多点试验资料的方差分析
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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
第十讲 重复测量数据的方差分析
重复测量设计资料的方差分析（四）一、重复测量资料的特征：重复测量资料系指同一受试对象的某项观测指标进行多次测量所得的数据。
如对病人治疗（或手术）后1天、3天、1周、2周等多个时间点连续观察；又如在眼睛视觉研究中，让同一受试者戴上效率分别为6/6，6/18，6/36/，6/60的镜片；观察其大脑皮质在佩戴不同镜片时的电反延迟时间等。
在重复测量中，由于同一个观察单位具有多个观察值，而这些观察值来自同一受试对象的不同时间（部位等），因此这类数据间往往有相关性存在，违背了方差分析要求数据满足独立性的基本条件。
此时若用一般方差分析方法，将会增大犯I 类错误的概率。
例如：为比较某一降压新药与上市的标准药品降低舒张压的效果，将24名病人随机分配到新药组和标准药物组，每组12名病人，给药前先测定基础血压（3次测定的均数）。
给药后每隔2周测量一次血压，共连续测量4次。
在此期间有3名病人退出（标准药物组1名、新药组2名），试分析新药的降压效果是否不同于标准药。
两组舒张压变化量（服药后-服药前）（mmHg）基础标准药物组基础标准药物组编号血压2w 4w 6w 8w M i编号血压2w 4w 6w 8w M i1 108 -8 -10 -19 -17 -54 3 104 -7 -7 -11 -13 -382 105 -6 -2 -14 -13 -35 5 102 -5 -9 -6 -14 -344 105 -4 -5 -11 -15 -356 98 -3 -10 -9 -13 -357 103 0 -11 -17 -19 -47 9 99 -3 -2 -1 -14 -2012 96 1 -3 -5 -8 -15 10 98 -1 -3 -8 -15 -2714 108 -3 -3 -17 -16 -39 11 100 2 -4 -8 -16 -2615 104 -3 -7 -10 -15 -35 17 106 -5 -8 -15 -20 -4816 97 2 3 -2 -3 0 18 108 -9 -12 -15 -17 -5319 98 1 -5 -7 -11 -22 21 104 0 -6 -7 -24 -3722 104 -1 -1 -11 -10 -23 24 107 -2 -7 -12 -19 -4023 103 -1 -1 -5 -8 -15均数102.8 -2 -4.9 -10.4 -12.3 均数102.6 -3.3 -6.8 -9.2 -16.5标准差 3.15 3.41 5.61 4.76 标准差 3.30 3.16 4.26 3.57 T i-22 -45 -118 -135 A1=-320 T i-33 -68 -92 -165 A2=-358 B1=-55 B2=-113 B3=-210 B4=-300由于重复测量结果即使不施加任何干预,也常会随时间的推移产生自然变化,因此重复测量试验常常需要设立平行对照.试验设计阶段需考虑以下三个因素：1、处理因素各组给以不同的干预2、重复测量因素时间（可根据专业的要求确定，其间隔可以不等或相等。
方差分析
n 打开数据文件grocery_1month.sav。 n 选择【分析】→【一般线性模型】→【单变量】
绘制选项
把style选入水平轴，gender选入单图，然后点击 “添加”。再把style和gender互相交换，选入不同 的框中，单击“添加”。
结果及其解释（1）
结果及其解释（2）
结果及其解释（3）
数据。
方差分析的前提条件
n 方差分析的自变量是“因子”或者“因素”， 它是分类变量；其因变量则为尺度变量，需要 满足以下两个基本前提条件：
n 每个处理的因变量为正态分布（正态性） n 每个处理的因变量具有相同的方差（方差齐性）
单因素的方差分析
n 用于研究一个影响因素对试验结果的影响，它 用于比较两个或者两个以上的总体之间是否有 显著的差异
结果解释
两两比较结果及解释
由于Levene检验没有证据说明三种培训方式的方差相等，参照两种不 同的两两比较的结果是必要的。 Bonferroni和Tamhane多重比较的结果是一致的。即培训2天和培训3天 没有显著的区别，而培训1天与另外两种培训都有显著区别。
同质子集
Tukey B两两比较输出的结果，它把在5%的显著性水 平下没有区别的总体放在同一列，作为同类子集。 这里，培训2天和培训3天没有显著区别，它们作为 一类。而培训1天单独作为1类。
协方差分析的数学模型
n 协方差分析的数学模型为 yij = ¹ + ai +¯ zij+ ²ij
这里yij表示在控制因素的i水平下的第j次试 验的因变量观测值；¹为因变量总体均值;ai表 示控制因素的水平下对因变量产生的效应；¯ 为协变量的回归系数；zij表示在控制因素的水 平i下的第j次试验的协变量观测值；²ij为抽样 误差，假设它是服从方差相等的正态分布变量。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
试验资料的方差分析 PPT
2MSe r
缺区与非缺区间得比较
s xi• x j•
MSe [2
k
]
r
(r 1)(k 1)
第三节 两因素随机区组设计试验资 料得方差分析
一、数学模型与期望均方
设试验有A与B两因素,A因素有a个水平,B因素有b 个水平,随机区组设计,重复r次,则该试验共有abr个观 察值。
任一观察值得数学模型为:
38.766 2.170 1.126 32.206 3.264
dfT k 2 1 52 1 24, dfr dfc dft k 1 5 1 4
dfe (k 1)(k 2) (5 1) (5 2) 12
方差分析
经过方差分析,得表10-12。
各品种小区产量平均数间得多重比较 (LSD法)
缺区估计
一、缺区估计得原理
缺区估计得原理就是最小二乘法(Least squares method),取误差平方与为最小值得方法来估计。
对于随机区组试验,有
xi'j
Tt' xi'j r
TB'
xi'j k
T ' xi'j kr
0
xi'j
rTB' kTt' T ' (r 1)(k 1)
【例10-6】资料处理与区组两向表,见表10-26。 A与B因素两向分组整理,见表10-27。
平方与得计算
x2 1525.42
C
64634.588
rab 3 4 3
SST x2 C 39.82 43.32
44.32 64634.588 3885.152
SSAR
xi2 l
C
方差分析
一年多点区域试验数据的方差分析(spss)
一年多点区域试验数据的方差分析（spss）例：5个水稻品种在4个地方进行种植，每个地方均采用3次重复的随机区组设计。
进行测产，得到产量数据如下表所示1、按照上表格式在excel中整理好数据2、将数据导入或复制粘贴至spss的“数据”窗口，并在视图窗口进行命名。
如图所示3、点击【分析】，然后选择【一般线性模型】，【单变量】。
4、打开【单变量】对话框，将产量选入因变量，其余分组变量选入固定因子5、打开【模型】，选择【设定】，然后设定地方、品种、区组的主效应，设定品种与地方的交互作用。
设定完成后点击继续6、打开两两比较或事后比较（26版以上spss）对话框，选择ducan法或LSD 法，并将地方和品种选入右边对话框进行两两比较。
点击继续。
7、回到【单变量】对话框。
点击确定，输出最后结果主体间效应的检验因变量: 产量df 均方 F Sig.源III 型平方和校正模型771.621a13 59.355 1.455 .212截距38592.602 1 38592.602 946.185 .000地方299.060 2 149.530 3.666 .042品种13.474 3 4.491 .110 .953区组40.207 2 20.103 .493 .617地方 * 品种418.880 6 69.813 1.712 .165误差897.327 22 40.788总计40261.550 36校正的总计1668.947 35a. R 方 = .462（调整 R 方 = .145）从上面可以看出试验点差异显著。
地方*品种差异不显著说明，品种在不同实验点的结果比较一致。
地方的两两比较结果如下。
产量Duncan地方N 子集1 23.00 12 29.10831.00 12 32.9583 32.95832.00 12 36.1583Sig. .154 .233已显示同类子集中的组均值。
基于观测到的均值。
误差项为均值方 (错误) = 40.788。
田间试验与统计分析习题
四川农业大学植物生产类专业生物统计考试复习题第一章田间试验一、名词解释试验指标、试验因素、因素水平、试验处理、试验小区、总体、样本、样本容量、隋机样本总体准确性精确性二、简答题1、田间试验有哪些特点？保证田间试验质量的基本要求有哪些？2、什么是试验误差？随机误差与系统误差有何区别？田间试验误差有哪些主要来源及相应的控制途径？3、控制土壤差异的小区技术包括哪些内容？各措施有何作用？4、田间试验设计的基本原则及其作用为何？5、什么是试验方案？如何制订一个完善的试验方案？6、简述完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计和裂区设计各自的特点及其应用条件。
三、应用题1、有5个油菜品种A、B、C、D、E（其中E为对照）进行品种比较试验，重复3次，随机区组设计，试绘制田间排列图。
2、拟对4个水稻品种（副区因素）进行3种密度（主区因素）的栽培试验，重复3次，裂区设计，试绘制田间排列图。
第二章资料的整理与描述一、名词解释数量性状资料质量性状资料次数资料计量资料算术平均数几何平均数中位数众数调和平均数标准差变异系数二、简答题1、试验资料分为那几类？各有何特点？2、简述计量资料整理的步骤。
3、常用的统计表和统计图有哪些？4、算术平均数有哪些基本性质？三、应用题计算下面两个玉米品种的10个果穗长度（cm）的平均数、标准差和变异系数，解释所得结果。
BS24： 19 21 20 20 18 19 22 21 21 19金皇后： 16 21 24 15 26 18 20 19 22 19第三章常用概率分布一、名词解释随机事件概率的统计定义小概率事件实际不可能性原理正态分布标准正态分布两尾概率一尾概率二项分布标准误t分布分布 F分布二、简答题1、事件的概率具有那些基本性质？2、正态分布的密度曲线有何特点?3、标准误与标准差有何联系与区别?4、样本平均数抽样总体与原始总体的两个参数间有何联系？三、应用题1、已知随机变量～(100, 0.1),求的总体平均数和标准差。
方差分析方法
方差分析方法方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件1.1方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
1.2方差分析的用途1.2.1两个或多个样本均数的比较。
1.2.2分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4方差齐性检验。
1.3方差分析的适用条件1.3.1各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2各抽样总体的方差齐。
1.3.3影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2.单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
十章节协方差分析
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
StPx1n.1 y1.x2n.2 y2..
.. xk.yk.x.y...
nk
k
ni
i1
dft k1
SPe
k i1
ni j1
xij
yij
x1n.1y1.x2n.2y2..
.. xkn.kyk.
=SPT-SPt
k
df e = n -i k =dfT-dft i1
(10-9)
有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS， 就可进行协方差分析。
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y)
n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
回归关系显著性检验表
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明 哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线 性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来 校正y，并对校正后的y进行方差分析。
2、对校正后的50日龄重作方差分析
第十章方差分析重复测量资料的方差分析
第十章方差分析重复测量资料的方差分析重复测量设计是一种常用的实验设计方法，特指对同一组被试在不同时间点或不同条件下进行多次测量的实验。
在这种实验设计中，同一组被试的多次测量数据间存在相关性，因此不能简单地使用传统的方差分析方法来分析数据。
为了解决这个问题，可以使用重复测量方差分析方法。
重复测量的方差分析方法可以分为两种：一元重复测量方差分析和多元重复测量方差分析。
一元重复测量方差分析是指只有一个自变量的重复测量设计，而多元重复测量方差分析是指有两个及以上自变量的重复测量设计。
一元重复测量方差分析的基本模型是：Yij = μ + αi + βj + (αβ)ij + εij其中，Yij是第i组第j次测量的观察值，μ是总均值，αi是第i 组的效应，βj是第j次测量的效应，(αβ)ij是第i组第j次测量的交互效应，εij是误差项。
在这个模型中，我们要检验的主要效应是组效应，即是否存在组间差异。
同时，还可以检验时间效应、组内差异以及组间×时间的交互效应。
检验组效应的方法可以使用F检验或t检验。
F检验是比较组间均值之间的差异是否显著，而t检验则是比较每个组的均值与总体均值之间的差异是否显著。
另外，还可以使用Levene检验来检验组间方差的齐性。
如果数据满足方差齐性的假设，则可以使用传统的重复测量方差分析方法进行分析；如果不满足方差齐性的假设，则可以使用非参数的方法，如Friedman检验。
多元重复测量方差分析的基本模型是：Yijk = μ + αi + βj + γk + (αβ)ij + (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijk其中，Yijk是第i组第j次第k条件下的观察值，μ是总均值，αi 是第i组的效应，βj是第j次测量的效应，γk是第k条件的效应，(αβ)ij、(αγ)ik、(βγ)jk和(αβγ)ijk是交互效应，εijk是误差项。
多元重复测量方差分析的检验方法与一元重复测量方差分析类似，可以使用F检验或t检验来检验各个主要效应的显著性。
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。
在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。
方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。
2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。
3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。
二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。
2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。
3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。
4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。
2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。
3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。
4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。
多因素试验的方差分析
交互作用解释 缝合后2月的(外膜或束膜缝合)神经轴突通 过率比缝合后1月的提高2%； 束膜缝合的(缝合后2月或1月)神经轴突通过 率比外膜缝合的提高2%。 交互作用较小。
27
60 50 均 40 数 30 20 10
0
外膜缝合
缝合后2月 缝合后1月
束膜缝合
两因素交互作用示意图（无交互）
28
2
0.73
0.54
0.23
1.50
3
0.43
0.34
0.28
1.05
4
0.41
0.21
0.31
0.93
5
0.68
0.43
0.24
1.35
n
X ij
j 1
Xi
n
X
2 ij
j 1
3.07 0.614 2.0207
2.17 0.434 1.0587
1.57 0.314 0.5451
6.81 0.454 3.6245
X
X2
24 120 4400
44 220 11200
束膜缝合(a2)
1月(b1) 10
2月(b2) 50
20
50
30
70
50
60
30
30
合计
28 140 4800
52 260 14400
740 34800
30
处理组均数比较的方差分解 （完全随机设计）
变异来源 自由度 SS MS
F
P
总变异
19
处理组间 3
33
SPSS结果(General Linear Model)
Te sts of Betw een-Subjects Effects
统计学与研究方法试题答案
统计学与研究方法试题答案第一章绪论1单选题1、总体是指（）A.全部研究对象B.全部研究对象中抽取的一份C.全部样本D.全部研究指标E.全部同质研究对象的某个变量的值2、统计学中所说的样本是指（）A.随意抽取的总体中任意部分B.有意识的选择总体中的典型部分C.依照研究者要求选取总体中有意义的一部分D.依照随机原则抽取总体中有代表性的一部分E.有目的的选择总体中的典型部分3、下列资料属等级资料的是（）A.白细胞计数B.住院天数C.门急诊就诊人数D.病人的病情分类E.ABO血型分类4、为了估计某年华北地区家庭医疗费用的平均支出，从华北地区的5个城市随机抽样调查了1500户家庭，他们的平均年医疗费用支出是997元，标准差是391元。
该研究中研究者感兴趣的总体是（）A.华北地区1500户家庭B.华北地区的5个城市C.华北地区1500户家庭的年医疗费用D.华北地区所有家庭的年医疗费用E.全国所有家庭的年医疗费用5、欲了解研究人群中原发性高血压病（EH）的患病情况，某研究者调查了1043人，获得了文化程度、高血压家族史、月人均收入、吸烟、饮酒、打鼾、脉压差、心率等指标信息。
则构成计数资料的指标有（）A.文化程度、高血压家族史吸烟、饮酒、打鼾B.月人均收入、脉压差、心率C.文化程度、高血压家族史、、打鼾D.吸烟、饮酒E.高血压家族史、饮酒、打鼾第二章计量资料统计描述及计数资料统计描述1、描述一组偏态分布资料的变异度，以（）指标较好。
A.全距B.标准差C.变异系数D.四分位数间距E.方差2、用均数和标准差可以全面描述（）资料的特征。
A.正偏态分布B.负偏态分布C.正态分布D.对称分布E.对数正态分布3、各观察值均加（或减）同一数后（）。
A.均数不变B.几何均数不变C.中位数不变D.标准差不变E.变异系数不变4、比较某地1~2岁和5~5.5岁儿童身高的变异程度。
宜用（）。
A.极差B.四分位数间距C.方差D.变异系数E.标准差5、偏态分布宜用（）描述其分布的集中趋势。
重复测量资料的方差分析
Transformed Variates
9 0.1145431 26.904488 0.0015
Orthogonal Components
9 0.1145431 26.904488 0.0015
第四节 趋势分析(trend analysis)
一般采用正交多项式（polynomial）分 析某处理因素的均数随时间的变化情况。 正交多项式的建立方法
Error(time)
56 11548.64076 206.22573
Greenhouse-Geisser Epsilon 0.5172
Huynh-Feldt Epsilon
0.6517
Sphericity Tests
Mauchly's
Variables
DF Criterion Chi-Square Pr > ChiSq
趋势分析实例
趋势分析实例
如果例10-3中的剂型与时间之间存在交互作用，则表示随着 时间的改变，不同剂型的血中浓度有所不同。
正交多项式变换的对比方法：将两组资料转变为两条正交多 项式曲线，检验这两条曲线的参数是否来自同一总体。
160
140
血药浓度（曲线下面积）
120
100
80
60
胶囊
40
片剂
20
20 30 40 30 40 40
-
2(5) = 20 2(10) = 2 2(15) = 2 2(15) = 2 2(20) = 2 2(25) = 2
本例差值对应的方差精确相 等，说明球形对称。
球形对称的检验
用Mauchly法检验协方差阵
1
是否为球形
H0：资料符合球形要求， 2 H1：资料不满足球形要求
第十章一年多点试验资料的方差分析
往是随机模型，故品种多点试验为混合模型。本例按表 10-6所列的均方进行F测验。
• 方差分析中处理效应的分类：
固定效应：在单因素试验的方差分析中，把k个处理看作k 个明晰的总体。如果研究的对象只限于这k个总体的结果， 而不需推广到其它总体；研究目的在于推断这k个总体平 均数是否相同，即在于检验k个总体平均数相等的假设H0： μ1=μ2=…=μk；H0被否定，下步工作在于作多重比较；重 复试验时的处理仍为原k个处理。这样，则k个处理的效应 (如=μi-μ)固定于所试验的处理的范围内，处理效应是固定 的。
C
1
1 3(5 1)
(
1 6
1 6
1 6
1 6
1) 6
1 30
1.07
2 1 30 ln13.78 71.7 6.54
1.07
• 查2表的自由度＝L－1＝5－1＝4，得0.05显著
水平临界值20.05(4)＝9.49。
• Bartlett 2测验结果，实得2 ＝6.54小于临界
j lnSj2
19.92 17.94 11.28 14.22 8.34 71.7
• 本例Bartlett 2测验计算（L=5）。
S 2
1
L
j
*
L
j 1
j
s
2 j
1 30
413.52
13.78
j 1
L
j 6 6 6 6 6 30
j 1
由于模型不同，方差分析中各项期望均方的计算也
有所不同，因而F检验时分母项均方的选择也有所
方差分析简介
方差分析简介1. 引言方差分析（analysis of variance，简称ANOV A）是一种假设检验方法，即基本思想可概述为：把全部数据的总方差分解成几部分，每一部分表示某一影响因素或各影响因素之间的交互作用所产生的效应，将各部分方差与随机误差的方差相比较,依据F分布作出统计推断，从而确定各因素或交互作用的效应是否显著。
因为分析是通过计算方差的估计值进行的，所以称为方差分析。
方差分析的主要目标是检验均值间的差别是否在统计意义上显著。
如果只比较两个均值，事实上方差分析的结果和t检验完全相同。
只所以很多情况下采用方差分析，是因为它具有如下两个优点：（1）方差分析可以在一次分析中同时考察多个因素的显著性，比t检验所需的观测值少；（2）方差分析可以考察多个因素的交互作用。
方差分析的缺点是条件有些苛刻，需要满足如下条件：（1）各样本是相互独立的；（2）各样本数据来自正态总体（正态性：normality）；（3）各处理组总体方差相等（方差齐性：homogeneity of variance）。
因此在作方差分析之前，要作正态性检验和方差齐性检验，如不满足上述要求，可考虑作变量变换。
常用的变量变换方法有平方根变换，平方根反正弦变换、对数变换及倒数变换等。
方差分析在医药、制造业、农业等领域有重要应用，多用于试验优化和效果分析中。
2. 单因素方差分析2.1 基本概念（1）试验指标：在一项试验中，用来衡量试验效果的特征量称为试验指标，有时简称指标，也称试验结果，通常用y表示。
它类似于数学中的因变量或目标函数。
试验指标用数量表示称为定量指标，如速度、温度、压力、重量、尺寸、寿命、硬度、强度、产量和成本等。
不能直接用数量表示的指标称为定性指标。
如颜色，人的性别等。
定性指标也可以转化为定量指标，方法是用不同的数表示不同的指标值。
（2）试验因素：试验中，凡对试验指标可能产生影响的原因都称为因素(factor)，也称因子或元，类似于数学中的自变量。
【医学统计学PPT】 多因素试验资料的方差分析析因设计的方差分析
多因素实验资料的方差分析
• 多因素实验：安排2个及以上处理因素的实验 • 处理因素：研究者根据研究目的施加于受试对象，
在实验中需要观察并阐明其效应的因素。如比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤的抑瘤效果，处理因素是 抗癌药物，能控制的非处理因素可能是小鼠体重。
12 20.25
用甲药
不用乙药
用乙药
20
46
12
52
10
39
9
47
2
44
17
38
14
46
15
33
12.38
43.13
2×2析因设计因素和水平的组合
乙药
不用 用
甲药
不用 8.25
用 12.38
20.25 43.13
甲药 单独效应
4.13 22.88
乙 药 12.00 单独效应
30.75
甲药的主效应＝（22.88+4.13)/2=13.51 乙药的主效应＝（30.75+12.00)/2=21.37 交互作用＝（22.88－4.13)/2=（30.75－12.00）/2＝9.37
Des criptive Statis tics
Dependent Var iable: 通 过 率
缝合法 外 膜 缝合
束 膜 缝合
Total
时间 1个 月 2个 月 Total 1个 月 2个 月 Total 1个 月 2个 月 Total
Mean 24.00 44.00 34.00 28.00 52.00 40.00 26.00 48.00 37.00
9
21
20
46
11
方差分析_精品文档
2021/5/27
44
2.2 组内观测次数相等的方差分析 K组处理中，每一处理皆有n个观测值，其方
差分析方法同前。
表5. 组内观测次数相等的单因素方差分析
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例2.测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵 州五个地区冬季针矛的长度，每个地区
随机抽取4个样本，测定结果如表示，试 比较各地区针毛长度差异显著性。
27
其中平均数差数标准误计算公式：
s x1x2
s12s22 n1 n2
se2(n11n12)
当n1=n2时，sx1x2
2se2 n
s e 2 为处理内误差方差，n为每一处理观察次数。
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例1. 表1. 氨氮含量(ppm)
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根据例1， s 2se2 2*9.112.13
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1.4.1 平方和的分解 总平方和=处理间平方和+处理内平方和
SSTSSt SSe
k
S S T 1
n(x x )2x 2 ( x )2x 2 T 2
1
k n
k n
令 C T 2 ，
kn
SST x2C
SSt =
Ti2 C n
SSe SSTSSt
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10
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例如，分析不同施肥量是否给农作物产
量带来显著影响，考察地区差异是否影 响妇女的生育率，研究学历对工资收入 的影响等。这些问题都可以通过单因素 方差分析得到答案。
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40
• 单因素方差分析的第一步是明确观测变 量和控制变量。例如，上述问题中的观
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60
68 76 204 52 61 46
L2
III
Tv
39
33
63
24
159
品种
试点 区组 I II L3 III Tv I II L4 III V1 5 6 4 15 11 6 4 V2 7 8 6 21 3 10 5 V3 10 13 16 39 13 11 15 V4 10 4 7 21 10 9 5 37 36 29 Tr. 32 31 33 96 T L..
各试验点误差均方同质，可以将各试验点的结
果合并进行联合分析。
3. 品种多点试验结果的联合分析
（1）联合分析的平方和与自由度的计算 将5个试验点的试验结果，合并成为表10－3形式，根据表10 －2计算各变异来源的平方和与自由度。 矫正数C＝6782(4×5×3)＝7661.4 总平方和SST＝1944.60，总自由度dfT＝4×5×3－1＝59 区组平方和SSr＝(602＋682＋……＋332)/4－C= 108.5，区
行各试验点误差均方同质性测验，直接将各试验点的结果
合并进行联合分析。
(2）Bartlett 2测验的计算
• 可由表10-4列成表10-5形式进行计算
试验点Lj 误差均方 Sj2 L1 L2 L3 L4 L5 总和 27.67 19.92 6.58 10.75 4.0 误差df j 6 6 6 6 6 30 166.02 119.52 39.48 64.5 24.0 413.52 3.32 2.99 1.88 2.37 1.39 11.95 19.92 17.94 11.28 14.22 8.34 71.7 jSj2 lnSj2 j lnSj2
• 本例Bartlett 2测验计算（L=5）。
S2 1
j
j 1
L
1 2 s * j j 30 413.52 13.78 j 1
L
j 1
L
j
6 6 6 6 6 30
C 1
2
1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1.07 3(5 1) 6 6 6 6 6 30
如，进行多年、多点品种区域试验，品种效应、地点效应
应区域，而对试验点间的产量差异和试验点内区组间的差 异不感兴趣，所以在品种多点试验资料联合分析时，只作
品种以及品种×试验点互作的F测验。
• 一般品种多点试验，品种为固定模型，而试验点和区组往
往是随机模型，故品种多点试验为混合模型。本例按表 10-6所列的均方进行F测验。
• 方差分析中处理效应的分类：
（1）Bartlett 2测验方法
• 设有L个独立误差均方估计值S12，S22，…，SL2，
其相应自由度分别为V1，V2，……VL，那么合并 方差S2为：
S
2
1
j
j 1
L
2 s * j j j 1
L
j 1
L
j
1 2 L
• Bartlett 2值为：
2 处理效应方差等于零，即H0： =0；如果H0被否定，进一
步的工作是估计 2；重复试验时，从更大的总体随机抽取
新的处理。这样，处理效应是随机的。
按处理效应的类别来划分方差分析的模型，在单
因素试验时，有2种，即固定模型和随机模型；在
多因素试验时，则有3种，即固定模型、随机模型 和混合模型。 若各试验因素水平的效应均属固定，则称之为固 定模型。一般品种比较试验、肥料试验等均属固 定模型。
(如=μi-μ)固定于所试验的处理的范围内，处理效应是固定
的。
随机效应：在单因素试验中，k个处理并非特别指定，而 是从更大的总体中随机抽取的k个处理而已，即研究的对
象不局限于这k个处理所对应的总体的结果，而是着眼于
这k个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推断当 前k个处理所属总体平均数是否相同，而是从这k个处理所 得结论推断所在更大总体的变异情况，检验的假设一般为
•
分别对表10-3早稻多点试验各试验点小区产量结果（kg） 进行方差分析，计算出各试验点相应的平方和、自由度和
均方。
• • • •
矫正数C＝T2/Vr=2042/4×3=3468 总平方和SST=x2－C=（172＋102＋……＋122）－C＝438 区组平方和SSr=Tr2－C＝(602+682+762)/4-C=32 品种平方和SSv =Tv2－C ＝(692+332+572+452)/3－C＝240
l(r-1) l-1 v-1 (l-1)(v-1) l(r-1)(v-1)
ssr ssl ssv ssv l sse
msr msl msv msvl mse
msr/ mse msl/ mse msv/ mse msvl/ mse
品种×地点 试验误差
总
计
rlv-1
sst
二、品种多点试验结果统计分析示例
• 设有一个早稻品种多点试验，供试品种四个（V＝
4），以V1、V2, V3, V4表示，其中V4品种为对照，
三次重复（r＝3），以I、II、III表示，随机区
组试验设计，分别在五个试验点（L＝5）同时进
行，以L1, L2, L3, L4, L5表示，小区面积为100m2， 试验小区产量结果（kg）列于表10-3。
均方同质，即可将多点试验结果合并进行联合分析；若求 得的2值大于查2表的临界02 若值， 则说明各误差均方 不同质，需要对试验数据进行适当的数据处理，通常可剔 除个别“特殊”的试点，或将原始数据作平方根或对数转 换，获得一个同质的方差，再合并进行联合分析。当然在 对试验结果统计分析要求不太严格的情况下，也可以不进
SS
38.0 20.25 24.0 82.25
MS
19.0 6.75 4.0
2．各试验点误差均方同质性测验
• 对品种多点试验结果进行联合分析时，通常要对
各试验点误差均方进行同质性（齐性）测验，只 有当各试验点误差均方差异不显著时，才能将各 试验点的试验结果合并分析，否则，不宜合并。 对各试验点的误差均方行同质性测验。
L 1 L 2 2 ( j ) ln S j S j C j 1 j 1 2
1 L 1 1 C 1 L 3( L 1) j 1 v j vj j 1
• 如果求出的2值小于查2表的临界02 值， 则说明各误差
平方和
108.5
自由度
10
均方
10.850
F
试验点
品 种 品种×试Biblioteka 点 误 差 总 和689.1
379.8 353.7 413.5 1944.6
4
3 12 30 59
172.275
126.600 29.475 13.783 4.295* 2.139*
F测验
• 品种多点试验的主要目的在于鉴定参试品种的优劣及其适
…
x223
…
…
…
x22r
…
v
… … 1 L 2
x2v1
… xL11 xL21
x2v2
… xL12 xL22
x2v3
… xL13 xL23
…
… … …
x2vr
… xL1r xL2r
…
v
…
xLv1
…
xLv2
…
xLvr
…
…
…
xLvr
• 它的数学模型为：
xijk＝μ ＋ti＋Lj＋(tv)ij＋rjk＋eijk
1．各试验点品种比较试验的方差分析
表10-3
试点 区组
早稻5点试验各试验点小区产量（kg）
品种 V1 V2 V3 V4 Tr. T L..
L1
I
II III Tv I II
17
21 31 69 10 19 10
10
12 11 33 12 10 11
13
22 22 57 23 26 14
20
13 12 45 7 6 11
第十章
一年多点试验资料的方差分析
一、品种多点试验资料的方差分析
• 设有v个品种，在L个地点做比较试验。每个地点皆设r个
重复，按随机区组设计进行试验，则第i个品种(i=1, 2, …, v)在第j个地点(j=1, 2, …, u)，第k区组(k=1, 2, …, r)的观测值为xijk，如下表：
表10－1
379.8，dfv＝4－1＝3
• 品种×试验点互作SSvl＝1422.6―689.1―379.8＝353.7，
互作df＝12
• 误差平方和SSe＝1944.6―108.5―1422.6＝413.5，dfe
＝5(4－1)(3－1)＝30
(2）列方差分析表，进行F测验。
表10－6
变异来源
试验点内区组
早稻品种多点试验方差分析
DF
品种
误差 总变异
3
6 11
240.0
166.0 438.0
80.0
27.67
278.25
119.5 426.25
92.75
19.92
108.0
39.5 148.0
26.0
6.58
变异来源 区组 品种 误差 总变异 2 3 6 11
DF
L4
L5
SS
9.5 87.0 64.5 161.0
MS
4.75 29.0 10.75
• 误差平方和SSe＝438－32－240＝166
• 总dfT＝Vr－1＝4×3－1＝11
• 区组 dfr＝r－1=3－1=2
• 品种dfv=V－1=4－1=3
• 误差dfe＝(v－1)(r－1)＝(4－1)(3－1)＝6