小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
5年级奥数等差数列求和
德国著名大科学家高斯(1777～ 1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还 不会讲话就自己学计算，在三岁时有一 天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正 父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学 家、数学家。他在物理的电磁学方面有 一些贡献，现在电磁学的一个单位就是 卡尔·弗里德里希·高斯 用他的名字命名。数学家们则称呼他为 “数学王子”。
44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
练习
1、计算 （1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第 21项是多少?（2）这串数共有多少个？
小学奥数——高斯求和专项讲解
张淑平版权作品 侵权必究
跟 找规律求和：
张
1+2+3=6=2×3
老
1+2+3+4+5=15=3×5
师
1+2+3+4+5+6+7=28=4×7
学
小
1+3+5=9=3×3
学
1+3+5+7+9=25=5×5
奥
1+3+5+7+9+11+13=49=7×7
数
规律：等差数列的和=中间数×项数
张淑平版权作品 侵权必究
师
示
举例： 1,3,5,7,9……
学
小 公差d=__2___ 首项a1=__1____
学 a1=1 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
奥
a10=a1+_9_×__d a20=_a_1_+19__×__d
数
a100=a1+9_9_×__d an=_a_1_+_9_9_×__d
张淑平版权作品 侵权必究
数 =50
=100 × 50÷2 =5000÷2
=2500
张淑平版权作品 侵权必究
跟 例题解析：
张
（3）电影院的第1排有10个座位，以
老
后每排比前一排多一个座位，电影
师
院共20排，一共有多少个座位？
学
a1＝10， d＝1 ,n＝20
小
学
an=a1+(n-1)d
=10+(20-1)×1
S=（a1+an） ×n ÷2 =（10+29）× 20÷2
13五年级奥数高斯求和
例5： 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12 厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的 面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴 棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每 层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
层
小三 角形 数 火柴 数
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
6
11
7
13
8
15
3
6
9
12
15
18
21
24
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各 层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为 （1＋3＋5＋…＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（平方厘米）。 2）火柴棍的数目为 3＋6＋9+…+24 ＝（3＋24）×8÷2=108（根）。 答：最大三角形的面积是768厘米2，整个 图形由108根火柴摆成。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和 公式： 和=（首项+末项）×项数÷2。
例1： 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等 差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个 数。由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断 题目中的各个加数是否构成等差数列。
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时， 有一天老师出了一道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯 却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快 又准呢？原来小高斯通过细心观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和 都相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了， 简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问 题。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析
高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级奥数思维训练第二讲《高斯求和》
奥数思维训练·第二讲姓名：
《高斯求和》
一、高斯求和——等差数列
【例1】1+2+3+4+5+……98+99+100 首项，末项，公差，项数。
=
=
=
我发现：和=
☞我会做：
（1）1＋2＋3＋……＋19＋20首项，末项，公差，项数。
⑵1＋2＋3＋4＋5 ＋…＋49＋50首项，末项，公差，项数。
（3）1＋3＋5＋7＋…＋97＋99
（4）2+4+6+8+……+98+100
我会自己出题：（）
二、先求项数，再求他们的和。
【例2】5＋8＋11＋14＋…＋29＋32 一共有（）项。
首项，末项，公差，项数。
5＋8＋11＋14＋…＋29＋32
=
=
=
我发现：项数=
☞做一做2 先求项数，再计算他们的和。
⑴计算3＋7＋11 ＋…＋43＋47的和
（2）计算5＋10＋15 ＋…＋90＋95＋100的和
（3）计算5+10+15+20+……80的和
我会自己出题：（）
三、温故知新
1.美羊羊学做蛋糕，第一天做了5个蛋糕，以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了25个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？
2.有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……这列数中前24个数的和是多少？
3. （5+6+7+8+……+30+31）×2。
四年级奥数《高斯求和》答案及解析教学内容
高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
]例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
7.2高斯求和, 认识等差数列
等差数列公差的知识要点
1.an-an-1=d (n≥2)（数学表达式）
2.公差是唯一的常数； 3.等差数列要求从第2项起，后一项与 前一项作差.不能颠倒 4.作差的结果要求是同一个常数. 可以是整数，也可以是０和负数.
小练习
(1) (2) (3) (4)
判断是否为等差数列
1 , 2 , 4 , 6 , 8 ,10 , 12 , -3, -2 , 1 , 3 , 5 , 7 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 ,
1、 观察与思考 ：下面的几个数列
4，5，6，7，8，9，10 …
3，0，-3，-6，-9，-12
…
0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6 …
想一想
从第2项起它们的后一项与前一项的差有什 麽特点？ 分析：后一项与前一项的差的特点是：
1， 1， 1， 1， 1， 1 … 是常数1.
-3，-3，-3，-3，-3 …
a b 2
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做 a与b的等差中项.
例2、
若a1+a4+a7=39, 则a4= ——.
例 3：
（1）、已知等差数列的首项 a1是3，
公差 d 是2，求它 的通项公式.
（2）、求等差数列 10 ，8 ， 6 ，4 ， ‥‥的第20项.
（3）、 -401是不是等差数列 –5 ， -9 ， -13 ，‥‥的项 ？如果是，是第几项？
例 1：
在等差数列{an}中 ,已知a6=12 ， a18=36 ,求首项a1 ，公差 d 及通项 an .
解： 由题意可得
a1+5d=12
a1+17d=36 ∴ d=2 ∴ a1 =2
三年级奥数高斯求和.
高斯求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。
小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。
数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。
(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。
(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。
(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。
练习4：计算。
(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。
三年级上奥数精品讲义等差数列求和
高斯的烦恼(等差数列求和)知识图谱高斯的烦恼知识精讲一．等差数列求和1．等差数列求和公式：()2=+⨯÷和首项末项项数．2．等差数列项数为奇数时，可以利用中间数来求和．公式为：=⨯和中间数项数．三点剖析本讲主要培养学生的运算能力，其次培养学习的实践应用能力．本讲内容是在等差数列的基础计算上，继续学习等差数列的求和．从“凑整思想”中总结出基本求和公式，并且学习了对于奇数列利用中间数来求和的方法．课堂引入例题1、高斯在上小学时，一天老师布置了一道数学题：计算1234599100+++++++……的和是多少？老师觉得这题还是比较难的，正想坐下休息一会．但是没想到，高斯很快就把写有答案的石板交上来了，上面正写着正确答案——5050．老师不相信，让高斯回去再算，高斯却说：“1和100凑成101，2和99凑成101，________和________凑成________，……这样的数一共有________组，所以它们的和就是____________（列算式）．”优秀的你能帮高斯填一下吗？例题2、 根据课堂引入中的方法，求1234564849++++++++……．基本求和公式例题1、 计算：7067646158555249+++++++．例题2、 计算：111825102+++⋅⋅⋅+=_________．今天我们要来来讲一讲高斯的故事．高斯？不就是先生您吗？您要讲您的什么故事呀？当然不是啦，此高斯非彼高斯．应该是说德国的数学家高斯吧？高斯真的很聪明哦~同为高斯，我是没有数学家高斯那么优秀了！但是大家还有机会哦~等差数列求和公式还记得吗？这个数列有多少项呢？例题3、 计算：从1开始的100个连续奇数的和是________．例题4、 柯小南为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么柯小南一共做了多少天的仰卧起坐？共做了多少个仰卧起坐？例题5、 柯小南从27起写了26个连续奇数，唐小虎从26起写了26个连续自然数，然后他们分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是多少呢？随练1、 计算：________．随练2、 计算：9083763427+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=________．随练3、 唐小虎为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？利用中间数求和例题1、 一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第________项．例题2、 一个等差数列共5项，和等于100，那么这个等差数列的中间项是第________项，这个数是________．例题3、 若9个连续偶数的和是2016，那这些数中，最小的是________．例题4、 7层书架，共777本，每下面一层比上面多7本，最上面一层有多少本书？1317212529333741+++++++=公式我都记住了，这题太简单！中间数的项数跟什么有关呢？已知和，反求中间项，我该用什么方法好呢？例题5、 一个等差数列的第1项是18，前5项的和为160，那么这个等差数列的第8项是________．随练1、 一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第________项． 随练2、 9个连续奇数之和为171，其中最大的奇数是________．易错纠改例题1、 有这样的一道题目：若9个连续奇数的和是2025，那这些数中，最大的是________．看完他们的对话，你能写出正确的计算过程吗？拓展1、 计算：32343638404244464850+++++++++=__________．2、 计算：131925......6773+++++=__________．3、 371115......++++，等差数列共12项，那么这12项的和是__________．4、 雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋．5、 一个等差数列的第1项是8，前9项的和为180，那么这个等差数列的第12项是__________．6、 计算：从1开始的100个连续偶数的和是________．7、 9个连续偶数之和为144，其中最大的偶数是__________．8、 暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米．请问：小高这些天里一共游了多少米？9、 分析并口述题目的做题思路及方法．小明把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？这个是求末项的，上节课学过，我可以做哦~但是哪里好像有些不一样呢……求最小的数，也就是求末项呗！题目中给出了项数、和，求末项还需要首项，末项不知道，不能求呀……但是项数是奇数呀，这就够了！有和、项数就行了．对，还得有公差！都有都有，可以解决问题了！。
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）
德国数学家⾼斯幼年时代聪明过⼈，上学时，有⼀天⽼师出了⼀道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ ⽼师出完题后，全班同学都在埋头计算，⼩⾼斯却很快算出答案等于5050。
⾼斯为什么算得⼜快⼜准呢？原来⼩⾼斯通过细⼼观察发现： 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，⼩⾼斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
⼩⾼斯使⽤的这种求和⽅法，真是聪明极了，简单快捷，并且⼴泛地适⽤于“等差数列”的求和问题。
若⼲个数排成⼀列称为数列，数列中的每⼀个数称为⼀项，其中第⼀项称为⾸项，最后⼀项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如： （1）1，2，3，4，5， (100) （2）1，3，5，7，9， (99) （3）8，15，22，29，36， (71) 其中（1）是⾸项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是⾸项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是⾸项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由⾼斯的巧算⽅法，得到等差数列的求和公式： 和=（⾸项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，⾸项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利⽤等差数列求和公式之前，⼀定要判断题⽬中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，⾸项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利⽤等差数列求和公式时，有时项数并不是⼀⽬了然的，这时就需要先求出项数。
小学四年级下册奥数题-第一讲高斯求和
例2：求5＋8＋11＋14＋…＋29＋32的和
分析：这是一个公差为3、首项为5、末项为32 的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还 必须先找出项数。根据项数＝（末项－首项）÷公
差＋1，这个等差数列的项数是（32－5）÷3＋1
＝10。
解：（32－5）÷3＋1 ＝27÷3＋1 ＝9＋1 ＝ 10 5＋8＋11＋14＋…＋29＋32 ＝（5＋32）×10÷2 ＝37×10÷2 ＝185
练一练：
⑵小明练习写毛笔字，第一天写了8个大字，以后每 一天都比前一天多写3个，小明30天一共写了多少 个毛笔字？ 8＋3×（30－1） ＝8＋3 ×29 ＝8＋87 ＝95 （8＋95）×30÷2 ＝103×30÷2 ＝1545
练一练：
⑶有一堆粗细均匀的圆木，最上面有33根，每一层 都比上一层多1根，一共堆了15层，这堆圆木一共 有多少根？
(5＋25)×11÷2 ＝30×11÷2 ＝330÷2 ＝165
例3：有一列数按如下规律排列：10、17、24、31…
这列数中前80个数的和是多少？
分析：这是一个公差为7、首项为10、项数为80的等差 数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须 先找出末项。根据末项=首项+公差×（项数-1），这个等差 数列的末项是10＋7 ×（ 80－1）＝563。 解： 10＋7 ×（80－1）
高斯小学奥数含答案三年级(上)第21讲等差数列求和
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -对于一个等差数列而言，除了它的首项、公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非常重要的．在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以123456789++++++++为例：把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项()19+，而且共有项数()9那么多对，所以所有数之和等于：首项末项项数因为我们把原来的等差数列写了2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的2倍，于是可以+ + + + + + + + 1 23456789+ + + + + + + + 987654321+先把数列正着写一遍：再把数列反着写一遍：第二十一讲等差数列求和得到等差数列求和公式：2和首项末项项数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1计算下列各题：（1）36912151821242730+++++++++；（2）4137332925211713951++++++++++．分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？练习1计算：61116212631364146++++++++．例题2计算下列各题：（1）511177783+++++L ；（2）827772127．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习2计算：100928412L．例题3计算下列各题：（1）10121824共项+++L 14444444244444443；（2）131********共项+++L 1444444442444444443．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习3计算：12101316共项+++L 14444444244444443．例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？例题5小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？例题6小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007．小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？作业1.计算：．2.计算：．3.计算：．31581114L 144424443共项111825102++++L 7067646158555249+++++++课堂内外高斯是一对普通夫妇的儿子．他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲．在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作．他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师．高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今．他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算．能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋．高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和．他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050．这一年，高斯9岁．父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生．高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格．在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich ）．弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就．他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力．若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”．正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠．在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲．罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了．她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感．高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围．当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知．高斯的故事4.一个等差数列的首项是21，从第二项起每一项都比前一项大2，它的前20项之和是多少？5.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了多少根香蕉？第二十一讲等差数列求和1.例题 1答案：（1）165；（2）231详解：（1）()36912151821242730330102165+++++++++=+锤=．（2）()4137332925211713951411112231++++++++++=+锤=．2.例题 2答案：（1）616；（2）712 详解：（1）先求项数=()8356114-?=，再求和：()583142616原式=+锤=．（2）先求项数=()8275116-?=，827162712原式．3.例题 3答案：（1）390；（2）2041详解：（1）先求末项=()12101666+-?，()1218661266102390原式=+++=+锤=L ．（2）先求末项=()1931316121--?，()1931871211931211322041原式=+++=+锤=L ．4.例题 4答案：（1）8天；（2）204页详解：先求项数，即多少天=()3615318-?=天，()151********2204++鬃?=+锤=，即共有204页．5.例题 5 答案：360颗详解：利用中间数×项数，共有1524360?颗．6.例题 6 答案：63详解：123621953++++=L ，123632016++++=L ，则多加的数为2007195354-=，则漏加的数为201620079-=，则被重复计算和漏掉的两数之和为54963+=．7.练习 1 答案：234简答：()6111621263136414664692234++++++++=+锤=．8.练习 2 答案：672简答：先求项数=()100128112-?=，10012122672原式．9.练习 3 答案：318简答：先求末项=()10121343+-?，()121013161043122318+++=+锤=L 14444444244444443共项．10.练习 4答案：3600米简答：先求项数，有()6002005019-?=天，()200250600200600923600++鬃?=+锤=，即共游了3600米．11.作业 1答案：476简答：首项为70，末项为49，项数为8．(7049)82476原式．12.作业 2答案：791简答：项数为(10211)7114，和为(10211)142791．13.作业 3答案：1550简答：末项为530395，和为(595)3121550．14.作业 4答案：800简答：公差为2，第20项为2119259，和为(2159)202800．15.作业 5答案：162根简答：前9项的中间项是第5项．所以前9项和为189162．。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第21讲等差数列求和
☆☆常重要的+ 先把数列正着写一遍 再把数列反着写一遍 且共有项数(9)那么多对，所以所有数之和等于 在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法•以 首项末项项数对于一个等差数列而言， 除了它的首项、 公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非 9 + 8 + 7 + 6 +5 + 4 + 3 + 2 +1 因为我们把原来的等差数列写了 2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的 2倍，于是可以1 +2 +3 +4 + 5+ 6 + 7 + 8 + 91+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8+ 9 为例: 把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项(1+ 9)，而 第二^一讲等差数列求和例题1计算下列各题：(1)3+ 6+ 9+ 12 + 15+ 18+ 21+ 24+ 27+ 30 ;(2)41 + 37 + 33+ 29 + 25 + 21 + 17+ 13+ 9+ 5+ 1 .分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少?练习1计算：6+ 11+ 16+ 21 + 26+ 31+ 36 + 41+ 46 .例题2计算下列各题：(1)5+ 11+ 17+ L + 77 + 83 ;(2)82 77 72 12 7 .分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来.练习2计算：100 92 84 L 12 .例题3计算下列各题：(1)电444442難为屁；共10项(2)唱444444444444443.共13项分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来.例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完•请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？例题5小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？例题6小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007 •小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007 •请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？课堂内外高斯的故事高斯是一对普通夫妇的儿子•他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲•在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作•他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师•高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今•他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算•能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋.高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和.他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和(1+100,2+99,3+98……)，同时得到结果:5050.这一年，高斯9岁•父亲格尔恰尔德迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生. 高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格.在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希(Friederich)•弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就•他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力•若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”•正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠.在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲•罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了•她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感.高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围•当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知.作业1. 计算：70 + 67+ 64 + 61+ 58+ 55 + 52+ 49 •2. 计算：11+ 18+ 25+ L + 102 •3.计算：54844>2 414 族共31项馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉•馋嘴猴前5.9周一共吃了多少根香蕉?详解：(1) 3+ 6+ 9+ 12+15+ 18+ 21 + 24 + 27 + 30= (3 + 30)锤10 2= 165 .(2) 41 + 37 + 33 + 29 + 25 + 21 + 17 + 13 + 9 + 5 + 1 =(41 + 1)锤11 2 = 231 .2. 例题2答案：(1) 616; (2) 712详解：(1)先求项数=(83 - 5)? 6 1= 14，再求和：原式=(5+ 83)锤14 2= 616 .(2)先求项数=(82 - 7)? 5 1= 16，原式82 7 16 2 712 .3. 例题3答案：(1) 390 ； (2) 2041详解：(1)先求末项=12 + (10- 1)? 6 66 ,原式=12 + 18 + L + 66 = (12 + 66)锤10 2 = 390 .(2)先求末项=193- (13- 1)? 6 121 , 原式=193 + 187 + L + 121 = (193 + 121)锤13 2 = 2041 .4. 例题4答案：(1) 8天；(2) 204页详解：先求项数，即多少天=(36 - 15)? 3 1 = 8 天，15 + 18 + 鬃？ 36 = (15 + 36)锤8 2= 204 ,即共有204页.5. 例题5答案：360颗详解：利用中间数X项数，共有15? 24 360颗.6. 例题6答案：63详解：1+ 2+ 3+ L + 62= 1953 , 1 + 2+ 3+ L + 63= 2016，则多加的数为2007- 1953= 54，则漏加的数为2016- 2007= 9，则被重复计算和漏掉的两数之和为54 + 9= 63 .7. 练习1答案：234简答：6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 = (6 + 46)锤9 2 = 234 .8. 练习2答案：672简答：先求项数=(100 - 12) ? 8 1 = 12 ,原式100 12 12 2 672 .9. 练习3答案：318简答•先求末项=10+ (12 - 1)? 3 43 W I44424444443= (10+ 43)锤12 2=318' 共12项即共游了3600米.11. 作业1答案：476简答：首项为70,末项为49,项数为 & 原式(70 49) 8 2 476 .12. 作业2答案：791简答：项数为(102 11) 7 1 14，和为(102 11) 14 2 791 .13. 作业3答案：1550简答：末项为5 30 3 95，和为(5 95) 31 2 1550 .14. 作业4答案：800简答：公差为2，第20项为21 19 2 59，和为(21 59) 20 2 800 •15. 作业5答案：162根简答：前9项的中间项是第5项•所以前9项和为18 9 162 •12。
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考
小学奥数——高斯求和公式，简单问题的再思考高斯求和公式是小学奥数非常重要也是应用非常多的一个公式，要求学生们必须掌握。
记住公式的同时，还应该了解公式背后的原理，深刻的理解并能够灵活是我们追求的目标，从小就打下坚实的基础。
引言我们先计算一道简单的数学题：1+2+3+4+5=先不要说答案，告诉我你是怎么做的？一个数字一个数字相加吗？没关系，'不管黑猫白猫，能捉老鼠的就是好猫。
'实用最重要！问题升级：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=题目依然简单，可如果还是一个数字一个数字相加就需要有点耐心。
有的人可能会打点其他的注意，比如开始找点捷径。
不管用的什么方法，总之你做出来了，这题目还难不倒你。
问题再再升级：1+2+3+4+5+ (100)这下，似乎有点麻烦了，必须打点其他的注意，我们需要专门为这类题目打造专用工具——高斯求和公式（也叫等差数列求和公式）。
一、高斯求和公式（等差数列求和公式）(1).什么是等差数列？像前面的3组数，都是连续的自然数，他们排列整齐，依次增加或者依次减少，有一种和谐且治愈的美感。
又如：3，6，9，12，15，18；40，38，36，34，32，30，28，26。
第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，数列中数的个数也叫数列的项数。
(2).等差数列求和回头想想引言中的3道等差数列的题目，你们是怎么求和的呢？用的分别是什么思路呢？思路1：简单粗暴的相加，这似乎不叫思路，叫本能。
思路2：找平均数（中间数），选个代表出来，最能代表这组数大小的就是他们的平均数，它往往藏在队伍的最中间。
找到平均数，又知道项数，和=平均数×项数：3×5=15(中间数还有其它的一些妙用，例如日历表中横竖或者3×3正方形中间的数都为这些数的平均数。
)有的细心的同学会问，偶数个数没有中间数怎么办？比如：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=没有代表，我们也要造出一个代表来。
高斯速算等差数列求和
针对练习：1．快速计算：2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝________。
2．快速计算：99＋999＋9999＋99999= 。
3．快速计算：599999499993999299199+++++= 。
4．快速计算：++++8642…10098++= 。
5．快速计算：3+6+9+…+93+96+99= 。
6．快速计算：（1＋3＋5＋7＋…＋99＋101）－（2＋4＋6＋8＋…＋98＋100）= 。
7．快速计算：1＋2＋3＋…＋2006被7除，余数是________。
8．快速计算：：193+187+181+…+103= .9．等差求和：2＋5＋8＋11＋14＋……＋86＋89＝ 。
10．某次数学竞赛，规定前15名可以获奖。
比赛结果第一名1人；第二名并列2人；第三名并列3人；……；第十五名并列15人。
则得奖的一共有 人。
11．若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果最内圈有32人,共有 人。
12．某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有 个座位。
13．在1到200这二百个数中能被9整除的数的和是 。
14. 如图，跳棋棋盘上一共有 个棋孔。
二、探究应用：例1．画图探究：（1）当一条直线上有两个互不重合的点时，在这条直线上只有1条线段；（2）当一条直线上有三个互不重合的点时，在这条直线上有2+1=3条线段；（3）回答：①当一条直线上有四个互不重合的点时，在这条直线上有 条线段；②当一条直线上有十个互不重合的点时，在这条直线上有 条线段；例2．初一年级共有18支篮球队，若采用循环赛制（队队碰面）决出冠军要 场；若采用淘。
小学奥数—高斯求和
海青教育一对一个性化教案
二、选择题
1、下面各组数列中，是等差数列的是( )。
A、1、2、3、4、5
B、1、2、4、8、16
C、98、96、98、96
D、1、1、2、3、5、8
2、下面各组数列中，( )和其他三组有区别。
A、5、8、11、14、17
B、50、40、30、20、10
C、40、35、30、25、20
D、5、10、20、40、80
3、下面说法错误的是( )。
A、我们把按一定次序排成列的一列数称为数列。
B、数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
C、数列中第一个数称为这个数列的前项，最后一个数称为后项。
D、一个数列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个数，这个数列叫等差数列。
三、计算：
1、把一些圆柱形铁管按如图的样子摆在一起，如果正好摆了40层，共有多少根
铁管?
2、从1开始，每隔两个数写出一个数来，得到一个数列1、4、7、10、……前100
项的和是多少？
3、已知等差数列3、8、13、18、……问998是这个数列的第几项?。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）
德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题
让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案
等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广
泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中
第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列
称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末
项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加
数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时
就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，能够得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。