矩阵练习带答案详解
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ,B ,有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=,则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=,因此A 可逆,且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则,A B 的秩一个等于n ,一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵,若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭,有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵,若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形,矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆,则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠,又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆,且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵,则.**)*(A B AB =正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆,两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵,B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是B .A AB BA - B AB BA +C 2()ABD BABAD 为对称矩阵,B 为反对称矩阵,C 当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵,那么 A 是对称矩阵. A T A A B T A A - C 2A D T A A - 3．以下结论不正确的是 C .(A) 如果A 是上三角矩阵,则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵,则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵,则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵,则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零,则下列结论正确的是BA AB 的第j 行元素全等于零； B AB 的第j 列元素全等于零；C BA 的第j 行元素全等于零；D BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵,E 为n 阶单位阵,则以下命题中正确的是D A 222()2A B A AB B +=++ B 22()()A B A B A B -=+-C 222()AB A B =D 22()()AE A E A E -=+- 6．下列命题正确的是B . A 若AB AC =,则B C = B 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (C) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = D 若AB AC =,且0,0B C ≠≠,则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则 B. (A)当m n >时,必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时,必有行列式0AB = (C)当n m >时,必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时,必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵,当m n >时,(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<,所以0AB =.8．以下结论正确的是 C(A)如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B)如果矩阵A 满足20A =,则0A =；(C)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D)对任意方阵,A B ,有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,则方程组*0A x =的基础解系为 C .A 123,,ααα.B 122331,,αααααα+++.C 234,,ααα.D 12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此A,B 中向量组均为线性相关的,而D 显然为线性相关的,因此答案为C.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵,A 适合下列条件 C 时,n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = B A 是可逆矩阵 C 0n A = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是 D(A)1A = B 0A = C T A A = D 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵,下列命题正确的是 A(A) 若A 是可逆矩阵,则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵,则必有AB BA = (C) 若0A ≠,则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠,则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,则有C (A) ACB E = B BAC E = C BCA E = D CBA E =14．A 是n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则下列结论错误的是 D (A) 若A 是可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵,则*A 也是不可逆矩阵； (C) 若*0A ≠,则A 是可逆矩阵； Ｄ*.AA A = 15．设A 是5阶方阵,且0A ≠,则*A = Ｄ(A)A B 2A C 3A D 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵,则*A A 中位于(,)i j 的元素为ＢA 1n jk ki k a A =∑ B 1n kj ki k a A =∑ C 1n jk ik k a A =∑ D 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式,则C(A)A 是B 的伴随 B B 是A 的伴随 C B 是A '的伴随 D 以上结论都不对18．设,A B 为方阵,分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = Ｃ (A)**00A CB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B **00A A C B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C **00B AC A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,下列运算可行的是 C (A) A B + B A B - C AB D AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵,C 是n 阶矩阵,那么 D21．对任意一个n 阶矩阵A ,若n 阶矩阵B 能满足AB BA =,那么B 是一个 Ｃ(A)对称阵 B 对角阵 C 数量矩阵 D A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵,且0A =,那么A 的主对角线上的元素 Ｃ(A) 全为零 B 只有一个为零（C ） 至少有一个为零 D 可能有零,也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则1A-= D(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦B131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦D121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则P= B(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若矩阵A的秩为1,则a必为A(A)1 B-1 C11n-D11n-矩阵A的任意两行成比例.26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是 DA ①, ③.B ②, ④.C ②,③. D③,④.当APPB1-=时,,A B为相似矩阵;相似矩阵的秩相等;齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数;三、填空题1．设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,有2A =,则11()2*3A A --=11*||2A A A A --==,111()33A A --=,因此11111311()2*34(1)32A A A A A A ------=-=-=-=-. 2．设,AB 为4阶方阵,且3A =,则1(3)A --= 1/27 , 21BA B -= 9 ; 3．设A 是一个m n ⨯矩阵,B 是一个n s ⨯矩阵,那么是()'AB 一个s m ⨯阶矩阵,它的第i 行第j 列元素为1njk ki k a b =∑.4.n 阶矩阵A 可逆A 非退化 ||0A ≠⇔ A 与单位矩阵等价 ⇔ A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的伴随矩阵*A = 000000bc ac ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则*1()A -=16A . 6．设0,1,2,i a i n ≠=,矩阵12100000000000n na a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 111121100000000000n n a a a a -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7．设,A B 都是可逆矩阵,矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则(2)B A C -= ． 9．A 既是对称矩阵,又是反对称矩阵,则A 为 零 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且2,3A B =-=则行列式A B += 4 .11．设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,已知,A a B b ==,则行列式00A B=ab mn )1(-.将A 的各列依次与B 的各列交换,共需要交换mn 次,化为00A B12．设A 为n 阶方阵,且0A ≠,则 在A 等价关系下的标准形为 n 阶 单位矩阵 .13. 设12221311A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭a为某常数,B 为43⨯的非零矩阵,且0BA =,则矩阵B 的秩为 1 .由0BA =可得A 的各列为齐次线性方程组0Bx =的解,A 的前两列线性无关,因此0Bx =的基础解系至少有两个解,因此()1r B ≤.又B 为非零矩阵,因此()1r B ≥.即() 1.r B =四、解答下列各题 1．求解矩阵方程1 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭; 3 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：11254635462231321122108X -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 212111132212104328/352/3111X --⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭2．设033110123A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2AB A B =+ ,求B 解：(2)A E B A -=.0332002332110020110123002121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22A E -=,因此2A E -可逆.3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫= ⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,求11A . 解：1,A P P -=Λ4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-,证明：2A E -可逆,并求其逆. 证明：124A B B E -=-两边同左乘以A 得到24B AB A =-.因此有(2)4A E B A -=.由A 可逆可得2A E -,且111(2).4A E BA ---=5．设A 是一个n 级方阵,且()R A r =,证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.证明：()R A r =,因此矩阵A 可以经过一系列行初等变换化为后n r -行全为零.也即存在初等矩阵11,,,m P P P ,使得21m P P P A 后n r -行全为零. 21mP P P P =,则PA 的后n r -行全为零.由矩阵乘法运算可得1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯,且,m n AB E <=,证明：A 的行向量组线性无关. 证明：由,m n AB E <=可得()()m r AB r A m =≤≤,因此()r A m =.因此A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵,证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是0.AB BA +=证明：当B A +时幂等阵时, 因此0.AB BA +=反之,当0.AB BA +=时有 B A +是幂等矩阵.。
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解：AB
A 2B
即( A
2I ) B
A．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
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而( A
2I )1
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所以B ( A 2I )1A
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1.给定矩阵A2
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，求BTA及A1
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矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
矩阵运算练习题及
矩阵运算练习题及解答矩阵运算练习题及解答矩阵运算是线性代数中的重要内容之一，它在各个领域都有广泛的应用。
通过对矩阵的加法、乘法等基本运算进行练习，可以帮助我们更好地理解和掌握矩阵运算的相关概念和性质。
本文将为大家提供一些矩阵运算的练习题及其详细解答，以便读者巩固相关知识。
1. 矩阵加法设矩阵A、B分别为：A = [2 3 -1]，B = [1 4 2]求矩阵A和B的和。
解答：两个矩阵的和等于对应元素相加。
根据题目给出的矩阵A和B，可以直接进行相加。
A +B = [2+1 3+4 -1+2] = [3 7 1]因此，矩阵A和B的和为[3 7 1]。
2. 矩阵乘法设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4 5 6]求矩阵A和B的乘积。
解答：两个矩阵相乘的结果可通过将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列进行对应元素相乘并相加得到。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的乘积为[32]。
3. 转置矩阵设矩阵A为：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]求矩阵A的转置。
解答：转置矩阵是将原矩阵的行变为列，并将列变为行得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵A，可以进行转置操作。
A的转置记为AT，且AT的第i行第j列元素等于A的第j行第i 列元素。
A的转置为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]因此，矩阵A的转置为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]4. 矩阵的数量积设矩阵A、B分别为：A = [1 2 3]，B = [4; 5; 6]求矩阵A和B的数量积。
解答：矩阵的数量积等于矩阵A的行向量与矩阵B的列向量的数量积，即矩阵A与矩阵B的乘积。
A ×B = [(1×4 + 2×5 + 3×6)] = [32]因此，矩阵A和B的数量积为[32]。
5. 矩阵的逆设矩阵A为：A = [1 2; 3 4]求矩阵A的逆。
高中数学《矩阵与变换》练习题(含答案解析)
高中数学《矩阵与变换》练习题（含答案解析）一、单选题1．方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为（ ） A ．()0,1B ．(){}0,1C ．{}0,1D ．{}2x x =2．若某线性方程组的增广矩阵为1282416⎛⎫⎪⎝⎭，则该线性方程组的解的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定3．关于x ，y 的二元一次方程组2332x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为（ ）A ．1231- B ．1332C ．1231-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2312-⎛⎫⎪⎝⎭4．某人在超市一次性购买了20斤大米和10斤食用油，大米的价格是4.8元/斤，食用油的价格是15元/斤，则购买这两种商品的总花费可以用下列哪个算式计算得到（ ）．A ．201510 4.8⎛⎫⎪⎝⎭B ．20 4.81015⎛⎫⎪⎝⎭C ．()4.8201015⎛⎫⎪⎝⎭D ．() 4.8201015⎛⎫⎪⎝⎭5．二元一次方程2135x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式的值是（ ）A ．2B ．5C ．7D ．116．三阶行列式111222333a b c a b c a b c 中，1b 的代数余子式是（ ）． A ．1122a c a c B ．2233a c a c C ．2233c a c a D ．1122c a c a7．由9个互不相等的正数组成的矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭中，每行中的三个数成等差数列，且111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++成等比数列，下列判断正确的有①第2列中的122232a a a 、、必成等比数列；①第1列中的112131a a a 、、不一定成等比数列；①12322123a a a a +>+； A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个8．若矩阵12a b -⎛⎫⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-9．下列行列式的值与()sin αβ+不相等的是（ ） A ．sin cos sin cos ααββ- B ．sin cos sin cos ββαα--C ．sin sin cos cos αβαβ- D ．cos sin cos sin ααββ-10．在ABC ∆中，如果1101a c b a c b =，则ABC ∆一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形二、填空题11．三阶行列式3510236774-----中元素5-的代数余子式的值为_________．12．行列式4126的值为____________． 13．函数()sin 111||x f x =的最小正周期为_____．14．若数列{}n a*10,N 1n =∈，且lim n n a →∞存在，则lim n n a →∞=___________； 三、解答题15．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．16．王明、李东、张红三位同学在第一、第二学期消费的部分文具的数量如表所示：若笔记本的单价为每本5元；练习本每本2元；水笔每支3元；铅笔每支1元.求三位学生在这些文具上各自花费的金额.17．已知三角形三边的和6a b c ++=，又0a b cc a b b c a=，求各边之长．18．已知sin 1cos 1x x x m ωωω=⎪⎭-⎛⎫⎝，(cos sin ,2sin )(0)n x x x ωωωω=->，若()f x m n =⋅且()f x 的图像相邻的对称轴间的距离不小于2π. (1)求ω的取值范围；(2)若当ω取最大值时，()1f A =，且在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，其面积ABCS =求ABC 周长的最小值.参考答案与解析：1．C【分析】解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，由此能求出方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合 【详解】解：解方程x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1， 方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为{}0,1． 故选：C ．2．C【解析】将线性方程组转化为方程，即可判断解的个数. 【详解】该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解， 故选：C. 3．C【分析】根据方程组的系数矩阵的定义判断即可.【详解】解：关于x ，y 的二元一次方程组2332x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数矩阵为1231-⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C 4．D【分析】先计算出购买这两种商品的总花费，再计算矩阵比较即得解. 【详解】由题意得购买这两种商品的总花费为20 4.8+1015=246⨯⨯又() 4.82010=20 4.8+1015=24615⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭ 故选：D 5．C【解析】先列出二元一次方程2135x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式为1231-，再计算即可求解.【详解】因为二元一次方程2135x y x y -=⎧⎨+=⎩的系数行列式为1231-，()121132731-=⨯-⨯-=，故选：C 6．C【分析】直接利用代数余子式的定义计算得到答案.【详解】行列式111222333a b c a b c a b c 1b 的代数余子式是()222222333313321a c a c c a a c a c c a +=-=-.故选：C.7．C【解析】根据每行中的三个数成等差数列，可以把原来的矩阵变形，最后根据等比的数列的性质、基本不等式，举特例对三种说法逐一判断即可.【详解】因为每行中的三个数成等差数列，所以有222a a d a d b b m b m c c n c n ++⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪++⎝⎭.111213a a a ++、212223a a a ++、313233a a a ++分别为：3(),3(),3()a d b m c n +++，它们成等比数列，因此有：2()()()b m a d c n +=++，因此说法①正确；()()2()a d c n b m +++>=+题中已知可知这九个数都不互相相等，故不取等号），因此说法①正确；当1232.54 5.56.589.5⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭显然符合已知条件，所以说法①正确. 故选：C【点睛】本题考查了等差数列的性质、等比数列的性质，考查了基本不等式的应用. 8．A【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵12a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，则1,1a b ==-.故选：A .【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题. 9．D【分析】根据行列式的运算性质，结合两角和的正弦函数的公式，逐项运算，即可求解. 【详解】对于A 中，可得sin cos sin cos cos sin sin()sin cos αααβαβαβββ=+=+-；对于B 中，可得sin cos (sin cos cos sin )sin cos βββαβααα--=---sin cos cos sin sin()αβαβαβ=+=+；对于C 中，可得sin sin sin cos cos sin sin()cos cos αβαβαβαβαβ-=+=+；对于D 中，可得cos sin cos sin sin cos sin()cos sin αααβαβαβββ=--=-+-，故选D.【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及两角和的正弦公式的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合两角和的正弦公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题. 10．D【分析】根据1101a cb ac b =计算得到a b c ==，得到答案.【详解】2221101a cb a a bc ac bc ab c b =++---=即()()()222102a b b c a c a b c ⎡⎤-+-+-=∴==⎣⎦ 故选D【点睛】本题考查了行列式的计算，意在考查学生的计算能力. 11．34【分析】根据行列式的代数余子式的定义进行计算．【详解】由题可知[]1226(1)24(6)(7)3474+--⋅=-⨯--⨯-=-.故答案为：34. 12．22【分析】根据行列式的计算方法求解即可【详解】行列式4126的值为461222⨯-⨯=故答案为：22 13．2π【分析】化简函数结合最小正周期公式求解即可． 【详解】解：函数()sin 111||x f x =sin 1x =-，所以函数的周期为：221T ππ==． 故答案为：2π． 14．9【分析】由题设有60n a =，令0n x =有260x x --=，解方程即可得结果.60n a =-≥，则60n a =，又lim n n a →∞存在，故lim 60n n n a →∞-=，令0n x =≥，则2lim n n x a →∞=， 所以26(2)(3)0x x x x --=+-=，可得3x =或2x =-（舍），所以lim 9n n a →∞=. 故答案为：915．21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】根据矩阵特征值与特征向量的关系，建立,c d 关系式，从而求出矩阵A ，再利用公式求出逆矩阵.【详解】由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α 可得3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即c ＋d ＝6； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， 解得24c d =⎧⎨=⎩即3324A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵是21321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查特征值和特征向量的计算，考查了逆矩阵求解公式，属于基础题. 16．分别花费79元、87元、115元【分析】根据题意用矩阵表示各文具每学期消费数量和文具的单价，而花费的金额等于数量乘文具的单价，利用矩阵乘法求出三位学生在这些文具上各自花费的金额.【详解】各文具每学期消费数量用矩阵表示1352426334742A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，24633485251064A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.这些文具的单价矩阵为5231P ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，所以这三位同学两学期在这几种文具上花费的矩阵为()12571157792614858739171061151C A A P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+⋅== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以这三位学生在这些文具上分别花费79元、87元、115元【点睛】本题考查了线性变换的矩阵表示理解与应用，矩阵乘法，属于容易题. 17．2a b c ===【分析】先由行列式得到3333a b c abc ++=，再利用基本不等式3333a b c abc +≥+，得到a b c ==，然后由6a b c ++=求解.【详解】因为0a b cc a b b c a =，所以3333a b c abc ++=， 又因为3333a b c abc +≥+， 当且仅当a b c ==时，取等号， 又因为6a b c ++=， 所以2a b c ===，【点睛】本题主要考查行列式的计算以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 18．(1)01ω<≤ (2)6【分析】（1）化简得到()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据周期的范围得到答案.（2）根据()1f A =得到π3A =，根据面积公式得到4bc =，再利用余弦定理结合均值不等式得到答案. (1)()sin 1sin cos cos 1x x x x x x m ωωωωωω⎛⎫== ⎭+⎝-⎪，()22cos sin cos cos22f x m n x x x x x x ωωωωωω=⋅=-+=π2sin 26x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππ2T ω=≥，解得01ω<≤.(2)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 故π5π266A +=，π3A =.1sin 2ABC S bc A ===△4bc =，222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-，6a b c b c ++=+，当2b c ==时等号成立.故周长的最小值为6.。
高等代数第四章矩阵练习题目参考问题详解
适用标准文案第四章矩阵习题参照答案一、判断题1.关于随意 n 阶矩阵A，B，有 A B A B .错 .2.假如 A20,则A 0.错.如A 110,但A 0. 1, A213.假如 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确. A A2E A( E A)E，所以A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是n阶非零矩阵，且AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于n，一个小于n.错.由AB0可得 r ( A)r (B)n .若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错.如A 112132AC,但B C. 11, B,C3，有 AB2126．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在m阶可逆矩阵 P 及n阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 .右侧为矩阵 A 的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确.由A可逆可得|A| 0，又AA*A* A | A| E.所以 A* 也可逆，且(A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B* A * .正确 .(AB)(AB)*| AB |E | A||B| E.又(AB)(B* A*) A(BB*) A* A|B|EA* | B| AA* | A||B| E .所以 ( AB)( AB )* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为n阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得 (AB)* B* A* .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵， B 是n阶反对称矩阵(B T B) ,则以下矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A)AB BA(B)AB BA(C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可互换时为对称矩阵.2.设 A 是随意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的选项是（C） .(A)假如 A 是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵；(B)假如 A 是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；(C) 假如A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；(D)假如 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则以下结论正确的是（B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的选项是（ D ）(A)( A B)2 A 2 2AB B 2 (B)A 2B 2 (A B)( A B)(C)( AB)2 A 2B 2(D)A 2 E 2 (A E)(A E)6．以下命题正确的选项是（ B ） . (A) 若AB AC ，则B C(B)若ABAC ，且 A 0，则BC(C) 若ABAC ，且A 0，则B C(D)若AB AC ，且B0,C0，则 BC7. A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） . (A) 当 mn 时，必有队列式 AB0 ；(B) 当 m n 时，必有队列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有队列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有队列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 所以 r ( AB ) n m ，所以AB 0.8．以下结论正确的选项是（ C ）(A) 假如矩阵 A 的队列式A 0,则A 0 ；(B) 假如矩阵 A 知足 A 2 0，则A 0 ；(C) n 阶数目阵与任何一个 n 阶矩阵都是可互换的；(D) 对随意方阵 A,B ，有 (A B)(A B) A 2 B 29．设 1,2,3,4是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3, 4 ), A* 为 A 的陪伴矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0,2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（A ） 1, 2,3 .（B ） 12 ,23,31.（C ） 2, 3, 4.（D ） 12 ,23 ,34 ,41 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0,2,0) T可得 ( 1 ,2, 3,4 )0 0,1 230 .2所以（ A ），（B ）中向量组均为线性有关的，而（ D ）明显为线性有关的，所以答案为（C ）.由A* A A*( 1, 2, 3, 4)(A*1, A* 2, A* 3, A* 4)O可得 1 , 2 , 3 , 4 均为 A* x0 的解 .10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 合适以下条件（C）时， I nA 必是可逆矩阵(A)A nA(B)A 是可逆矩阵(C)A n(B)A 主对角线上的元素全为零11 ． n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充足必需条件是（D）(A)A 1(B)A 0(C)AA T (D)A12 ． A, B, C 均是 n 阶矩阵，以下命题正确的选项是（A）(A) 若 A 是可逆矩阵，则从 ABAC 可推出 BACA(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 ABBA(C) 若A0，则从 AB AC 可推出 BC(D) 若 B C ，则必有 ABAC13． A, B, C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（ C ）(A) ACBE （ B ） BAC E （C ） BCA E(D) CBAE14． A 是 n 阶方阵， A * 是其陪伴矩阵，则以下结论错误的选项是（ D）(A) 若 A 是可逆矩阵，则A * 也是可逆矩阵；(B) 若 A 是不行逆矩阵，则A * 也是不行逆矩阵；适用标准文案(C)若 A * 0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A EnA .15．设 A 是 5 阶方阵，且 A0，则 A *（ Ｄ）(A)A(B)23(D)A 4A(C) A16．设 A * 是 A(a )n n 的陪伴阵，则 A * A 中位于 (i , j ) 的元素为（Ｂ）ijnnnn(A)a jkAki(B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11a1nA11A1n17.设 A, B, 此中 A 是 a 的代数余子式， 则（ C ）ijijan1annAn1Ann(A) A 是 B 的陪伴 (B)B 是 A 的陪伴(C)B 是 A 的陪伴(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0(Ｃ )0 ,则C*B(A)A *(B) CA A *C0 B *B B *(C) CB A *0 (D) ABA *A B *CA BB *利用 CC*|C |E 考证.4 6 1 35 19．已知 A2, B4 ，以下运算可行的是（C）12 6(A) A B(B)A B(C) AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A)C(A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T CT()T TC C B(C)(D)(A B)C AC BC21．对随意一个n 阶矩阵A，若 n 阶矩阵B能知足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B)对角阵(C)数目矩阵(D) A 的逆矩阵与随意一个 n 阶矩阵均可互换的矩阵为数目矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）起码有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 1 3，则A1（ D）2001111 2332(A)（ B）（ C）（ D）11111111 36362636a1b1c1a1c12b124．设Aa2b2c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）a3b3c3a3c32b3100100001200(A)001（ B ）002（C）020（D）001020*********1 a a a a 1a a25．设 n(n 3) 阶矩阵 Aa a1a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）aa a1(A) 1（B ）-1（C ）111 n （D ）n 1矩阵 A 的随意两行成比率 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A,B 的队列式相等 , 即 | A | |B |,则 A, B 为等价矩阵 ;③若 Ax0与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ;④若 A, B 为相像矩阵 , 则 Ax0 与 Bx 0 解空间的维数同样 .以上命题中正确的选项是( D ) (A) ①, ③. (B)②, ④.(C)②, ③.(D)③, ④.当 BP 1 AP 时， A, B 为相像矩阵。
矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵练习题参考答案1. 解: (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=218016226AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=434014004321212113101012111BA ∴⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-244002222BA AB (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++++++++=c b a c b a c b a ac b ac c b a ac b ac c b a c b a AB 322222222222111111a c a b c a ac c b ab c c a c BA b b c b a a bc b b b b c ab b c a a c a b bc a c ac a ⎛⎫++++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==++++++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222222222232b aca b c b ab cb a ac cAB BA c bcac b a b c b ab c a c c bcb ac ⎛⎫-++----+-⎪∴-=--++--- ⎪ ⎪----⎝⎭2．解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433341255122100131132100131132100131132.(2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--84234421042544212423242335. (3) .0,0010,10112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛B B B E 其中因为B 与E 的乘积可交换, 所以 .101)(1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nB E B E nn(4)∵()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θϕθϕθϕθϕθθθθϕϕϕϕcos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ϕϕϕϕϕϕϕϕn n n n ncos sin sin cos cos sin sin cos(5) ()()11231(5)2,3,112310,12,3,1231.11231-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--=-+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭(6) 原式=()1112122122221112221112,,1222a x a y b x y a x a y b a x a xy a y b x b y c b x b y c ++⎛⎫⎪++=+++++ ⎪ ⎪++⎝⎭(7)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------=1111111111111111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4000040000400042A ∴122221n nn E n k A A n k -⎧==⎨=+⎩时时 (8) .0,000000100,000100010,32=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=B B B B E A 其中λ因为λE 与B 可交换,所以.002)1(0)(12122211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+++=+=-----nn nn n nn n n n n n n n n n n EB C EB C E B E A λλλλλλλλλλ3．(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101521142801121311222A()2613513803813221222f A A A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭(2) 222175331512A --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴()01215573522=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+-=A E A A A f4.解：(1) 设,,,a b a c b d a a b X A X X A c d cdc cd +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由0A X X Ac =⇒=，a b bd a d +=+⇒= ∴0a b X a ⎛⎫=⎪⎝⎭,a b 任取。
高中数学矩阵练习题及讲解
高中数学矩阵练习题及讲解1. 矩阵的加法设矩阵A和矩阵B如下：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵A和B的和，并验证加法的交换律。
2. 矩阵的数乘给定矩阵C：\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 求矩阵C与标量2的乘积。
3. 矩阵的乘法设矩阵D和矩阵E如下：\[ D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \]求矩阵D和E的乘积。
4. 矩阵的转置给定矩阵F：\[ F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]求矩阵F的转置。
5. 矩阵的行列式给定矩阵G：\[ G = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵G的行列式。
6. 矩阵的逆给定矩阵H：\[ H = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \] 求矩阵H的逆矩阵，如果H不可逆，请说明原因。
7. 线性方程组的矩阵表示考虑以下线性方程组：\[ \begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 1\end{align*} \]将此方程组转换为矩阵形式，并求解。
8. 特征值和特征向量给定矩阵I：\[ I = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] 求矩阵I的特征值和对应的特征向量。
高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案.docx
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。
矩阵习题及答案
矩阵习题一、选择题1、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×4、，下列运算( )有意义.(A). ABC (B). AB-C (C). A+B(D).BC-A.2、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×3、D3×3、，下列运算( )无意义.(A). |AB|(B). |BA|(C). |AB|=|A|⋅|B|(D). |CD|=|C|⋅|D| .3、设|A|≠0，下列结论( )无意义.(A). |A*|≠0 (B). |A－1|=|A|－1(C). A对称⇔ A－1对称(D). A－1=1/A.4、若同阶方阵A、B满足(A+B)(A－B)=A2－B2，则( ).(A). A=B (B).A=E (C). AB=BA (D).B=E.5、设A,B为同阶方阵，满足AB=O，则( )有意义.(A). |A|=0或| B|=0 (B).A+B=O (C). A=O或B=O (D). |A|+| B|=0.6、若A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( ).(A). |A|n-1(B). |A|n-2(C)|A|n (D). |A| .7、设A,B为同阶对称阵，则AB对称的充要条件为( ).(A).A可逆(B). B可逆(C). |A B|≠0 (D). AB=BA.8、若A、B为n阶方阵，则( ).(A). |A+ B|=|A|+| B| (B). |A B|=| B A |(C). AB=BA (D). (A+B)－1 =A－1+B－1.9、若A、B、A+B为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1 = ( ).(A). A－1+B－1(B). A+ B (C). B (A+B)－1 A (D). (A+B)－110、若A*为A的伴随矩阵，则(A*)*=( ).(A). |A|n-1 A (B). |A|n+1 A (C).|A|n-2 A. (D). |A|n+2 A .11、若A、B为n阶可逆阵，则 ( )(A). (AB)T=A T B T(B). (A+B)T=A T+ B T(C). (AB)－1 =A－1B－1(D). (A+B)－1 =A－1+B－1.12、设A、B为n阶矩阵，满足(AB) 2=E，则等式( )不成立.(A). A= B－1(B). ABA= B－1(C). BAB =A－1(D). (BA) 2=E .13、设A、B都可逆，且AB=BA，则等式( )不成立。
矩阵的测试题及答案
矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。
答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。
答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。
对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。
四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。
答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。
8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。
答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。
五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。
在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。
矩阵练习带答案详解
一、填空题：1.假设A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 假设n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1-C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，假设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 。
4. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111。
5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B .则=+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--731733。
6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T A 为A 的转置，则B A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-160222.8. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题〔每题2分，共12分〕1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(〔k 为正整数〕。
……………〔 × 〕2. 设,,A B C 为n 阶方阵，假设ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………〔 × 〕3. 设B A 、为n 阶方阵，假设AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B =。
……………………〔 √ 〕6. 假设A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…〔 × 〕7. 两个矩阵A 与B ，如果秩〔A 〕等于秩〔B 〕，则A 与B 等价。
数学课程矩阵运算练习题及答案
数学课程矩阵运算练习题及答案矩阵运算是数学中的一个重要概念，涉及到矩阵的相加、相减、相乘等操作。
通过练习题的方式，可以巩固和提升对矩阵运算的理解与应用能力。
以下是一些常见的矩阵运算练习题以及它们的答案，供大家参考。
1. 矩阵相加已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9) 和矩阵B = (9 8 7; 6 5 4; 3 2 1)，求A + B。
解答：将同一位置上的元素相加，得到：A +B = (1+9 2+8 3+7; 4+6 5+5 6+4; 7+3 8+2 9+1) = (10 10 10; 10 10 10; 10 10 10)2. 矩阵相减已知矩阵A = (1 2; 3 4) 和矩阵B = (5 6; 7 8)，求A - B。
解答：将同一位置上的元素相减，得到：A -B = (1-5 2-6; 3-7 4-8) = (-4 -4; -4 -4)3. 矩阵相乘已知矩阵A = (2 1 -3; 0 -2 1) 和矩阵B = (4 -1; 3 2; -2 1)，求A × B。
解答：矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，因此可以进行矩阵相乘。
按照矩阵相乘的规则，计算得到：A ×B = (2×4+1×3-3×-2 2×-1+1×2-3×1; 0×4-2×3+1×-2 0×-1-2×2+1×1) = (15 -2; -7 -1)4. 矩阵数量乘法已知矩阵A = (2 4; 6 8)，求2A。
解答：将矩阵A中的每个元素乘以2，得到：2A = (2×2 2×4; 2×6 2×8) = (4 8; 12 16)5. 矩阵的转置已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，求A的转置矩阵AT。
解答：将矩阵A的行与列互换得到其转置矩阵：AT = (1 4 7; 2 5 8; 3 6 9)6. 矩阵的逆已知矩阵A = (1 2; 3 4)，求A的逆矩阵A-1。
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一、填空题:１．若A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 若n 阶方阵A ,B ,C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵,则1-C＝AB。
3. 设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 。
４. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112,则1-A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111。
5. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B .则=+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--731733。
6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A ,则1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017.设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,T A 为A 的转置，则B A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-160222.8. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A ,B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题（每小题2分，共12分）1. 设B A 、均为n 阶方阵,则 kk k B A AB =)((k 为正整数）。
……………（ × )2． 设,,A B C 为n 阶方阵,若ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………( × )3． 设B A 、为n 阶方阵,若AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵,且0AB =,其中0A ≠,则0B =。
……………………… ( × ) 5． 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,,则C B =。
……………………（ √ ） 6. 若A 是n 阶对角矩阵,B 为n 阶矩阵，且AC AB =,则B 也是n 阶对角矩阵。
…（ × ） 7. 两个矩阵A 与B ，如果秩(A ）等于秩（B ),那么A 与B 等价。
…………（ × ） ８. 矩阵A 的秩与它的转置矩阵T A 的秩相等。
……………………………………（ √ )三、选择题(每小题3分，共12分)1.设A 为3×4矩阵，若矩阵A 的秩为２，则矩阵TA 3的秩等于(B ）(A) １ (Ｂ) 2 (C) ３ （Ｄ) 42.假定A 、B 、C 为n 阶方阵,关于矩阵乘法,下述哪一个是错误的 ( C ) (A))(BC A ABC = (B))(kB A kAB = (C ）BA AB = (D)CB CA B A C +=+)(3. 已知B A 、为n 阶方阵,则下列性质不正确的是( A )(Ａ) BA AB = (B) )()(BC A C AB =（C ） BC AC C B A +=+)( (Ｄ) CB CA B A C +=+)( ４. 设I PAQ =，其中P 、Q 、A 都是n 阶方阵，则（ D )（A ）111---=Q P A (B ）111---=P Q A （C ）PQ A=-1（D)QP A =-1５. 设n 阶方阵A ，如果与所有的n 阶方阵B 都可以交换，即BA AB =,那么A 必定是（ Ｂ )(A)可逆矩阵 （B)数量矩阵(C)单位矩阵 （D)反对称矩阵 ６. 两个n 阶初等矩阵的乘积为（ C ）(A ）初等矩阵 (B ）单位矩阵(Ｃ）可逆矩阵 （Ｄ)不可逆矩阵 7. 有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C A ）(A ）AC (B ）BC(C)ABC (D ）C AB -8. 设A 与B 为矩阵且AC CB =,C 为m n ⨯的矩阵，则A 与B 分别是什么矩阵( Ｄ )(A) n mm n ⨯⨯ (B) m n n m ⨯⨯(C) n nm m ⨯⨯ (D ） m m n n ⨯⨯9.设A 为n 阶可逆矩阵，则下列不正确的是 （ B )(A) 1A -可逆 (B) I A +可逆 （C ） 2A -可逆 (D) 2A 可逆10.B A ,均n 阶为方阵，下面等式成立的是 （ Ｂ ） （A) BA AB = （B ）TTTB A B A +=+)( (Ｃ） 111)(---+=+B A B A （D ）111)(---=B A AB11.设B A ,都是n 阶矩阵,且0=AB ,则下列一定成立的是( C ）（A ） 0=A 或0=B （B ）B A ,都不可逆 (C ）B A ,中至少有一个不可逆 （D)0=+B A12．设B A ,是两个n 阶可逆方阵,则()[]1-TAB 等于（ A ）（A)()1-TA ()1-T B (B) ()1-TB ()1-T A（C ）()TB 1-T A )(1- (Ｄ)()TB 1-()1-T A1３.若B A ,都是n 阶方阵，且B A ,都可逆,则下述错误的是( A ）（Ａ）B A +也可逆 (Ｂ)AB 也可逆 （C ）1-B 也可逆 (Ｄ）11--B A 也可逆 １4.B A ,为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是 （ Ｂ ） （A ）AB (B ）B A + (C)BA (D ）BAB15．设B A ,均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是 ( D )（A ）B AB = （Ｂ）BA AB = (C)I AA = （D)I A=-1１6.设B A ,都是n 阶方阵，则下列结论正确的是( D ）(A ）若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （B ）若0≠A 且0≠B ，则0≠AB（C)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵（D)若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵17. 若B A 与均为n 阶非零矩阵，且0=AB ，则( Ａ ) （Ａ)n A R <)( (B)n A R =)( (C)0)(=A R (D)0)(=B R四、解答题：1． 给定矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=443312111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321B ，求A B T 及1-A 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=6848126594443312111313422321A B T …………………..（5分)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2121252121211041A ……………………………………………………(5分） 2. 求解矩阵方程=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X 110011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛521234311解：02110011101≠= ．.．......．．．.....．．.．.．.．.．．..．．２分1110011101-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=11111111121 .．.．．..．．..．．.．．..．．．．...．．３分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=301222012X ．.．.．．.....．．．.．．．．．．．．.．.．.． ３分３． 求解矩阵方程B XA =,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011220111A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112011111B解:因为6-=A 所以A 可逆 ……………….…………………….（２分)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-31313131********311A ………………………(4分) 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==-3465323131323431311BA X ……………………………..(４分)４． 求解下面矩阵方程中的矩阵X ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021102341,010100001,100001010C B A ,则B A ,均可逆,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--010100001,10000101011B A所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==--20143111211B C A X5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B ,使其满足矩阵方程B A AB 2+=．解：B A AB 2+=即A B I A =-)2(．．．...．．.．．．.．..．．....．...２分而.461351341121011322)2(11⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---I A ．.．.．．．．．....．..．.．3分 所以 A I A B 1--=)2(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=321011324461351341=.9122692683⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----..．...．.．.......．．．.．．.．．3分五、证明题1. 若A 是反对称阵,证明2A 是对称阵。
证明：因为A 是反对称阵，所以A A T -= (3分)22))(()()(A A A A A AA A T T T T =--===，所以2A 为对称阵。
(５分）2.设矩阵,A B 及A B +都可逆，证明11A B --+也可逆。
证明:因为,A B ,A B +可逆，故11,A B --,1()A B -+存在,.．...．..．3分所以有()()()()11111111111()()()()A B B A B A A B I B A A A B A A B A A A B A B A A A A I-----------++=++=++=++==．．.．..４分故11A B --+可逆,其逆为()1B A B A -+．．..．.．．.．.．.．.....．..． 1分3．已知B A ,为n 阶方阵,且B A B A B B A A +=-==222)(,,， 证明：0=+BA AB证明：B A BA AB B A B A +=--+=-222)(……………4分所以0=+BA AB ……………4分4．设B A ,为两个n 阶方阵,试证明：22))((B A B A B A -=+-的充要条件是BA AB =。
证明：充分性： 因为BA AB =所以2222))((B A B BA AB A B A B A -=--+=+-……… ４分必要性：因为22))((B A B A B A -=+-,即2222B A B BA AB A -=--+ 所以BA AB =……… 8分5. A 是反对称矩阵,B 是对称矩阵,证明:AB 是反对称矩阵的充要条件是BA AB =。
证明: 充分性：因为A A T -=,B B T =, BA AB =所以AB BA A B AB TTT-=-==)(,即AB 是反对称矩阵……… 4分 必要性：因为AB 是反对称矩阵，即AB AB T-=)( 又BA A B AB TTT-==)( 所以BA AB =……… 8分。