微积分下册主要知识点汇总

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微积分知识点简单总结

微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。

导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。

导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。

2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。

高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。

3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。

微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。

微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。

4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。

不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。

不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。

5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。

定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。

6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。

第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。

第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。

7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。

微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。

微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。

微积分知识点总结(期末考研笔记)

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

微积分笔记整理

微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。

2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。

3. 导数的意义：- 函数的变化率。

- 曲线的切线斜率。

- 判断函数的单调性。

二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。

2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。

3. 微分的意义：- 切线的近似值。

- 函数的增量。

三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。

2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。

3. 积分的意义：- 函数的面积。

- 函数的平均值。

- 求导的逆运算。

四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。

2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。

3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。

五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。

2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。

3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。

4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。

5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。

微积分下册复习要点（共5篇）

微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。

6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。

必考。

第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。

必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。

（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。

（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

大一微积分下期期末知识点

大一微积分下期期末知识点微积分是数学的一个重要分支，对于大一学生而言，学习微积分是非常重要的一门课程。

下面我将为大家总结一下大一微积分下学期期末考试的知识点，希望能够帮助大家复习和备考。

一、函数与极限1. 函数的定义与性质- 函数的定义及表示法- 常见函数的性质：奇偶性、周期性、单调性、有界性等2. 极限的定义与性质- 极限的定义与极限存在的条件- 极限的性质：唯一性、局部有界性等- 极限运算法则：四则运算、复合函数、有理函数等3. 极限的计算- 基本初等函数的极限计算- 无穷大与无穷小的概念与计算- 极限存在的判定方法：夹逼准则、单调有界准则等二、导数与微分1. 导数的概念与性质- 导数的定义与几何意义- 导数与函数的连续性、可导性的关系- 常见函数的导数公式与性质2. 导数的计算- 基本初等函数的导数计算- 导数的四则运算法则与复合函数求导法则- 高阶导数的定义与计算3. 微分的概念与性质- 微分的定义与几何意义- 微分的计算与近似计算三、微分中值定理与应用1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理- 罗尔中值定理的条件与结论- 拉格朗日中值定理的条件与结论2. 泰勒公式与应用- 泰勒公式的定义与表述- 泰勒公式的应用：函数近似、极值、曲线拟合等3. 函数的单调性与曲线的凹凸性- 函数单调性的判定方法- 函数曲线的凹凸性与拐点的判定方法四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义与几何意义- 基本积分表与常见公式2. 不定积分的计算方法- 基本积分法与换元积分法- 分部积分法与有理函数积分法3. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、区间可加性等4. 定积分的计算- 几何应用：面积、体积、弧长等- 基本积分表与常见公式的应用五、微分方程与其应用1. 微分方程的基本概念与分类- 微分方程的定义与基本概念- 一阶微分方程与高阶微分方程的分类2. 一阶微分方程的求解- 可分离变量方程的求解- 齐次方程的求解- 一阶线性微分方程的求解3. 高阶微分方程的求解- 常系数齐次线性微分方程的求解- 非齐次线性微分方程的求解：待定系数法、常数变易法等4. 微分方程的应用- 物理问题中的微分方程建模- 生物问题中的微分方程建模以上就是大一微积分下学期期末考试的知识点总结。

微积分下总结

齐次方程通解非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
一、 f (x) e x Pm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
设特解为 y* e x Q (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , y* e x[ Q (x) Q(x) ]
非齐次方程特解
二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
dx
dx
dz (1 n) P(x) z (1 n)Q(x) (线性方程) dx
故方程化为
设其通解为 p ( y,C1), 即得
分离变量后积分, 得原方程的通解
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法逐次积分
令 y p(x) , 令 y p(y) ,
定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
数) 是该方程的通解. (自证)
这时原方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y1

1 2
( y1

y2 )
e x cos x
①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式

微积分下册主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式： ⎰⎰-=vdu uv udv (3.1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆xx f x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

微积分知识点总结(期末考研笔记)

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

微积分下册知识点

曲為 viZk#微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数 (一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a (a x ，a y ,a z )，b (b x ,b y ,b z )，则 a b (a xb x ,a y b y , a z b z ), a ( a *, a $, a z )；5、向量的模、方向角、投影：1) 向量的模：「| 后—y 2—?；2) 两点间的距离公式：AB \」；(X 2 xj 2(y 2 y i )2(Z 2 zj 23)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,2 2 2cos cos cos 1(二)数量积，向量积 1、数量积： a b la b cos1)a a a22)a4) 方向余弦:COSx 一，cosry, cos r5)投影：Prj u a a cos ，其中为向量a 与u 的夹角肅為viZmf-a b a x b x a y b y a z b z2、向量积：cab大小：|a||b sin ，方向：a ,b , c符合右手规则1) a a02) a// b a b0■ i■ j ka b a x a y a zb x b y b z运算律：反交换律b a a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线C : f (y, z) 0，2 2绕y轴旋转一周：f (y, x z ) 0/ 2 2-绕z轴旋转一周：f( \ X y , z) 03、柱面：F(x,y) F (x, y) 0表示母线平行于z轴，准线为z 0 4、二次曲面(不考)0的柱面2x0 01）椭圆锥面：—2a2y b 2z 22）椭球面: 2x 2 a 2y b 2旋转椭球面: 2x ~2 a2y 2 a 2z 2 c 3) 单叶双曲面:2 x2 a y b 22 z 2c 4) 双叶双曲面:2 x2a2y b 22 z 2c5) 椭圆抛物面:2y b 2 6) 双曲抛物面（马鞍面）2x ~2 a7) 椭圆柱面:2x a 2 2y b 2 8) 双曲柱面:9) 抛物柱面:2 x2a 2x2y b 2（四）空间曲线及其方程1、ayF (x, y,z) 般方程：G(x,y,z)曲為 viZk#x x(t)x a cos t 2、参数方程：yy（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t) zbt3、空间曲线在坐标面上的投影H （x,y ） 00 '消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影z 0（五）平面及其方程x截距式方程：aAx 0 By 。

微积分(下册)主要知识点汇总

微积分(下册)主要知识点汇总一、第一换元积分法（凑微分法）：对于形如$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx$的积分，可以令$u=\phi(x)$，则$du=\phi'(x)dx$，将原式转化为$\int g(u)du$的形式，然后进行积分，最后再将$u$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果$\int g[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

二、常用凑微分公式：1.积分类型换元公式：int x^\mu(x^\mu-1)f(x)dx=\int x^\mu d(x^{\mu-1})$$当$\mu\neq 1$时成立。

int x^3f(\ln x)dx=\int x^3d(\ln x)=\int x^3\frac{1}{x}dx$$int e^xf(e^x)dx=\int e^xd(e^x)=e^xf(e^x)$$int_a^b f(x)dx=\int_{\ln a}^{\ln b}f(e^t)e^tdt$$当$a,b>0$时成立。

int \frac{f(\sin x)\cos x}{\sqrt{1-\sin^2 x}}dx=\int f(\sin x)d(\cos x)$$int \frac{f(\cos x)\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}dx=-\int f(\cos x)d(\sin x)$$int \frac{f(\tan x)}{\cos^2 x}dx=\int f(\tan x)d(\tan x)$$int \frac{f(\cot x)}{\sin^2 x}dx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$$int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(t)dt$$int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\int f(t)dt$$三、第二换元法：对于形如$\int f(x)dx=\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt=F(t)+C=F[\phi(x)]+C$的积分，可以令$\psi(t)=x$，则$\psi'(t)dt=dx$，将原式转化为$\intf[\psi(t)]\psi'(t)dt$的形式，然后进行积分，最后再将$t$用$\phi(x)$表示回去，即可得到结果。

微积分下册主要知识点

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ、二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的就是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=、四、积分表续 4、3分部积分法分部积分公式:xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ⎰⎰-=vdu uv udv (3、1)⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3、2)分部积分法实质上就就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算、一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都就是正整数)、.arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5、1定积分的概念 5、2定积分的性质两点补充规定:(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(、性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数)、性质3⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(、性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别就是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5、3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数:⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数、三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 就是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰、 (3、6)公式(3、4)称为牛顿—莱布尼茨公式、 5、4定积分的换元法积分法与分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件: (1),)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ;(2))(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(、 (4、1)公式(4、1)称为定积分的换元公式、定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似、但就是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点:(1)用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限;(2) 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了、二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=ba b a vdu uv ][ 或⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5、5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5、6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题,一般总可按“分割、求与、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式、可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U (总量)表示为定积分的方法——微元法,这个方法的主要步骤如下:(1) 由分割写出微元根据具体问题,选取一个积分变量,例如x 为积分变量,并确定它的变化区间],[b a ,任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +,求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值,即求出所求总量U 的微元dx x f dU )(=;(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用,本节与下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用、应用微元法解决实际问题时,应注意如下两点:(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性,即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之与、这一要求就是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键就是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(,即使得U dU dx x f ∆≈=)(、在通常情况下,要检验dx x f U )(-∆就是否为dx 的高阶无穷小并非易事,因此,在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性、二、平面图形的面积(1)直角坐标系下平面图形的面积 (2)极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体:由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体、这条直线称为旋转轴、旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积:如果一个立体不就是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积也可用定积分来计算、体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5、7积分在经济分析的应用6、1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中,我们建立了平面直角坐标系,并通过平面直角坐标系,把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来、同样,为了把空间的任一点与有序数组对应起来,我们来建立空间直角坐标系、过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴, 依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴、它们构成一个空间直角坐标系Oxyz (图6-1-1)、空间直角坐标系有右手系与左手系两种、我们通常采用右手系、二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中,如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ,而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程,则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题就是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件,建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程,研究曲面的几何形状、平面平面就是空间中最简单而且最重要的曲面、可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1、3)来表示,反之亦然、其中A 、B 、C 、D 就是不全为零常数、方程(1、3)称为平面的一般方程、柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面、这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线、二次曲面在空间直角坐标系中,我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面,从而得到平面与曲面一系列的交线(即截痕),通过综合分析这些截痕的形状与性质来认识曲面形状的全貌、这种研究曲面的方法称为平面截割法,简称为截痕法、椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1、4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=(同号与q p ) 双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6、2多元函数的基本概念一、平面区域的概念:内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 就是平面上的一个非空点集,如果对于D 内的任一点),(y x ,按照某种法则f ,都有唯一确定的实数z 与之对应,则称f 就是D 上的二元函数,它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ,即),(y x f z =,其中x ,y 称为自变量, z 称为因变量、点集D 称为该函数的定义域,数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域、类似地,可定义三元及三元以上函数、当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数、二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义,如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时,函数),(y x f 无限趋于一个常数A ,则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限、记为A y x f y y x x =→→),(lim 00、或 A y x f →),( (),(),(00y x y x →) 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质与运算法则,在此不再详述、为了区别于一元函数的极限,我们称二元函数的极限为二重极限、四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义,如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续、如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续,则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断、与一元函数类似,二元连续函数经过四则运算与复合运算后仍为二元连续函数、由x 与y 的基本初等函数经过有限次的四则运算与复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数、一切二元初等函数在其定义区域内就是连续的、这里定义区域就是指包含在定义域内的区域或闭区域、利用这个结论,当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时,只要算出函数在该点的函数值即可、特别地,在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理、下面我们不加证明地列出这些定理、定理1(最大值与最小值定理) 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值与最小值各一次、定理2(有界性定理)在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界、定理3(介值定理)在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次、 6、3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如,有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000、类似地,函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明,在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量瞧作常数,然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之、二、关于多元函数的偏导数,补充以下几点说明:(1)对一元函数而言,导数dxdy可瞧作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商、但偏导数的记号xu∂∂就是一个整体、 (2)与一元函数类似,对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求、(3)在一元函数微分学中,我们知道,如果函数在某点存在导数,则它在该点必定连续、但对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续、例如,二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续、三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =,)),(,,(00000y x f y x M 就是该曲面上一点,过点0M 作平面0y y =,截此曲面得一条曲线,其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率(图6-3-1)、同理,偏导数),(00y x f y 就就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率、四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入、记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆与 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见,pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率、而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率、称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性、同理,yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率、而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率、称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性、五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型就是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且,其中p 就是由x 个人力单位与y 个资本单位生产处的产品数量(资本就是机器、场地、生产工具与其它用品的成本)。

微积分(下册)主要知识点汇总

一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时,;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx baba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ 且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题.一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法.这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题.选取一个积分变量.例如x 为积分变量.并确定它的变化区间],[b a .任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +.求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值.即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用.本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时.应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性.即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(.即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下.要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事.因此.在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体.但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积.那么.这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV =所求立体的体积 .)(⎰=badx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中.我们建立了平面直角坐标系.并通过平面直角坐标系.把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样.为了把空间的任一点与有序数组对应起来.我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴. 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴）.统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中.如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F .而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程.则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件.建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程.研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示.反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中.我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面.从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕）.通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法.简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集.如果对于D 内的任一点),(y x .按照某种法则f .都有唯一确定的实数z 与之对应.则称f 是D 上的二元函数.它在),(y x 处的函数值记为),(y x f .即),(y x f z =.其中x .y 称为自变量. z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域.数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地.可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义.如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时.函数),(y x f 无限趋于一个常数A .则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则.在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限.我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义.如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续.则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似.二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论.当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时.只要算出函数在该点的函数值即可.特别地.在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如.有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地.函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明.在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数.然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数.补充以下几点说明：（1）对一元函数而言.导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似.对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中.我们知道.如果函数在某点存在导数.则它在该点必定连续. 但对多元函数而言.即使函数的各个偏导数存在.也不能保证函数在该点连续.例如.二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =.)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点.过点0M 作平面0y y =.截此曲面得一条曲线.其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见.pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理.yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且.其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。

高二下册数学微积分知识点

高二下册数学微积分知识点微积分是数学的重要分支之一，也是高中数学的核心内容之一。

在高二下学期，我们将学习一些微积分的基本知识和概念。

本文将概述高二下册数学微积分的主要知识点。

一、导数与函数的变化率导数是微积分的基本概念之一。

在高二下学期，我们将深入学习导数的定义与性质，并应用导数求解一些实际问题。

1. 导数的定义- 函数的导数表示函数在某一点的变化率。

若函数f在点x处的导数存在，则记为f'(x)或df(x)/dx。

- 导数的定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 导数的性质- 可导函数的导数满足加法，减法，数乘和乘法规则。

- 链式法则：若y=f(u)、u=g(x)为可导函数，则复合函数y=f(g(x))的导数为y' = f'(g(x)) * g'(x)。

3. 导数的应用- 导数可以用来研究函数的变化趋势和开销最小化等实际问题。

- 导数可以用来求解函数的极值、最值，以及分析曲线的凹凸性等。

二、微分与微分公式微分是导数的一种应用，用于近似计算和函数的线性化。

在高二下学期，我们将学习微分的概念和常见的微分公式。

1. 微分的定义- 函数f在点x处的微分df(x)表示函数在x处的变化量。

简单来说，微分描述了函数在某一点附近的线性逼近。

2. 微分的计算方法- 符号法：df(x) = f'(x)dx，其中dx表示自变量的增量。

- 近似法：df(x) ≈ f'(x)Δx，其中Δx表示自变量的变化量。

3. 常用微分公式- 常数微分：d(c) = 0，其中c为常数。

- 幂函数微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中n为实数。

- 乘法公式：d(uv) = u'v + uv'，其中u、v为可导函数。

三、不定积分与定积分不定积分和定积分都是微积分的重要内容，它们分别对应函数的原函数和函数在区间上的累积变化量。

微积分下册主要知识点doc资料

微积分下册主要知识点一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x =xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμc) ,22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=. 四、积分表续 4.3分部积分法分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰b adx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=bab adx x f k dx x kf (k 为常数).性质3 ⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx bab a-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤bab adx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dx x f dx x f bab a<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 5.4定积分的换元法积分法和分部积分法一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件：（1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2）求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了.二、定积分的分部积分法 ⎰ba udv⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=ba b a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f 二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==babadx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用. 应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性.二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π= 所求旋转体的体积 .)]([2⎰=ba dx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴，依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）.空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 qy p x z 2222+=（同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 0.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →）也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界. 定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+ 如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z x fx zx y y x x x y y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim 00000. 类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000, 记为 ).,(,,00000000y x f z y f y z y y y x x y y y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dx dy 可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu ∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y y f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，p Qp ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Q p p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称 Q p p Q p p Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim0 为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，y Qy ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而 yQ y Q y y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Q y y Q y y QQ E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim 0为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c y cx y x p a a 且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。