9.7.傅里叶级数ppt
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经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
傅里叶ppt课件
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
F()f(t)ejtdt
etejtdte(j)tdt 1
0
0
j
j 2 2
f(t)21 F()ejtd21 2 j2ejtd
10cos2t 2sintd
完整编辑ppt
33
因此
0
cost sint
0
2 2
0
0
其中
+
+
A () f() c o sd , B () f() s i nd .
(2.3)
(2.2) 是 f(t) 的傅里叶积分公式的三角形式
f(t) A(),B()
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20
傅里叶积分定理：若函数 f(t) 在区间 (,+) 上满足条件
(1) 在任意有限区间满足狄里克雷条件,
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40
(5)
F [ej0tf(t)]F(0)
像函数的 位移性质
F[ej0t f(t)] f(t)ej(0)tdt F(0).
完整编辑ppt
41
(6) 卷积定理 原函数的卷积与像函数的乘积间的关系
F[f1(t)]F1(), F[f2(t)]F2()
F [f1 ( t) f2 ( t) ] F 1 ()F 2 ()
kt
l
,
完整编辑ppt
10
偶函数 f(x) 有
f(t)a0
2
+
ak
k1
coskt,
l
ak
1 l
l f ( ) cos k d ,
l
l
bk
1 l
l f ( ) sin k d .
9.7.傅里叶级数ppt
①
f (x)dx
1 2
a0dx
[
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
1 2
a0dx
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0
1 2
2
,
a0
1
f (x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
an n , bn n .
练习题
一、设周期为2 的周期函数f ( x) 在[ , ) 上的表达式
为
f
(
x
)
bx ax
, ,
0
x
x
0
(常数a b 0)试将
其展开成傅里叶级数 .
二、将下列函数 f ( x) 展开成傅里叶级数:
1、
f
(x)
e x ,
x
0；
1,0 x
2、 f ( x) sin(arcsin x).
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
特别地，当 x为端点 x 时, 收敛于 f ( 0) f ( 0). 2
n1
令
an An sinn , bn An cosn ,
得函数项级数
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
称上述形式的级数为三角级数.
《傅里叶分析》课件
通信系统
傅里叶分析可以用 于调制解调过程中 的频谱分析，以及 信道估计和均衡等 关键问题的解决， 提高通信系统的性 能。
图像处理
傅里叶分析可以用 于图像的频域滤波、 去噪和增强等操作， 以及图像压缩和特 征提取等应用，提 高图像处理的效果 和质量。
其他领域的 应用
除了信号处理、通 信系统和图像处理 外，傅里叶分析还 在许多其他领域中 有着广泛的应用， 如物理学、经济学 等。
《傅里叶分析》PPT课件
傅里叶分析是一种广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域的数学 工具。本课件将介绍傅里叶分析的定义、傅里叶级数和傅里叶变换，以及其 在各个领域中的实际应用。
傅里叶级数
傅里叶级数是用正弦和余弦函数将周期函数分解为一系列振幅和相位不同的谐波信号的方法。它可以表 示周期函数在频域上的相关信息。
总结
傅里叶分析是一种重要的数学工具，它可以用于分析和处理各种信号，并在信号处理、通信系统、图像 处理等领域中发挥作用。
1 傅里叶分析的重要性和应用
2 学习和研究傅里叶分析的意义
傅里叶分析在现代科学和工程中具有重要 地位，它为我们理解和处理信号提供了有 力的工具和方法。
学习和研究傅里叶分析不仅能够提高我们 的数学能力，还能够拓宽我们的科学视野， 培养我们的创新思维。
3 傅里叶变换的性质与应用
傅里叶变换具有平移性、尺度性和对称性等重要性质，它在信号处理、通信系统等领域 中有着广泛的应用。
傅里叶分析的实际应用
傅里叶分析在许多领域中发挥着重要作用，包括信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域的实际应 用。
信号处理
傅里叶分析可以用 于分析和处理各种 信号，包括音频信 号、视频信号等， 以提取有用的信息 或实现信号压缩等 功能。
傅里叶级数PPT课件
0
f(x)a20 n 1anconsx
(0x)
-
x
26
例4 将 函 数 f(x )x 1(0x )分 别 展 开
成 正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 .
解 (1)求正弦级数. 对f(x)进行奇延, 拓
bn
2
0
f(x)sinnxdx 2
(x1)sinnxdx
0
n2 (1conscons)
2
令 a0 2
A0 ,
an=Ansin n ， bn=Ancosn ,ωt=x，
则(1)式右端变型为
a 2 0n 1(anco ns x bnsin n )x (2)
形如(2)式的级数叫做三角级数，其中a0、an、 bn
为常数。
-
3
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1 ,co x ,ssix ,n co 2x ,si2x n , co n,sxin n , x
-
22
例3 设f(x)是周期为2的周期函数,它在 [,)上的表达式为f(x)x,将f(x)展开成
傅氏级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在 x 点 (2 k 1 ) (k 0 , 1 , 2 , )处不 , 连
收敛 f(0 于 )f( 0) () 0,
2
2
在连 x (x (续 2 k 1 ) ) 点 处收 f(x ),敛于
数 f ( x) 展开成傅立叶级数。
方法： (i)先求傅里叶系数
an
1
f(x)c
onsxd, x(n0,1,2,)
bn
1
f(x)sinnxd, x(n1,2,)
(ii) 写出对应的傅里叶级数
f(x)~a 2 0n 1(anco n - s xbnsin n)x
高中数学(人教版)傅里叶级数课件
其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称 交性.
与 在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数
7傅立叶级数43页PPT
物理学中，Ansi nx ()
2
( An为振幅, 为角频率, φ为初相 ) 周期=
A n six n ) ( A n sic no x A s n co si s x n a n co x b s n six n
为最简单的周期运动 （间谐运动），它们的迭加 却可以表示很复杂的周期运动，即可用
ak co2ksxdx
(利用正交性)
a k 1 f(x )ck o x d x s(k 1 ,2 , )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
b k 1 f( x ) sk i x d n x( k 1 ,2 , )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x ) a 2 0 n 1 a n cn o x b s n sn ix n
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f(x ) a 2 0 n 1 (a ncn o x s b nsn i) nx ①
右端级数可逐项积分, 则有
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
f( x ) d a 2 0 x d x n 1 a n cn x o d x b s n sn x i d x n
7傅立叶级数
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
第七节 傅里叶级数
第十二章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:
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0
2
n
1 cos n
2
n
1 (1)n
0
,
当n 2 , 4 , 6 ,
f (x) 4 sin x 1sin 3x 1 sin(2k 1)x
3
2k 1
( x , x 0 , , 2 , )
f (x) 4 sin x sin 3x sin 5x sin 7x sin 9x ]
an n , bn n .
练习题
一、设周期为2 的周期函数f ( x) 在[ , ) 上的表达式
为
f
(
x
)
bx ax
, ,
0
x
x
0
(常数a b 0)试将
其展开成傅里叶级数 .
二、将下列函数 f ( x) 展开成傅里叶级数:
1、
f
(x)
e x ,
x
0；
1,0 x
2、 f ( x) sin(arcsin x).
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
y
3π 2π π π 2π 3π
O
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
a0
1 π
π π
f (x)d x
1 π
0
xdx
π
1 π
x2 2
0 π
π 2
an
1 π
π
π
f
( x) cos
nxdx
1 π
0
π
x
cos
nx
d
x
1 π
π
π cos k x cos nx dx
1 2
π
π
cos(k
n)x
cos(k
n)x
d
x
0
同理可证 :
π
π
sin
k
x
sin
nx
d
x
0
(k n )
π
π
cos
k
x
sin
nx
dx
0
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
ππ11dx 2 π
π
π
cos
2
n
x
dx
π
π sin2
(1)n1 n
( n 1,
2, )
4π
2
2 32 π
1 cos 3x sin3x
3
1 sin 4x
4
2 52 π
cos
5x
1 5
sin 5x
( x , x (2k 1) π , k 0, 1, 2 , )
说明:
当
x
(2k
1) π
时,
级数收敛于
0 ( π 2
)
π 2
注意:对于非周期函数,如果函数 f ( x) 只在区间
an
1
( x)cos nxdx
1
( t ) cos( nt )d ( t )
1
(
x)cos
nxdx
1
(
x)cos
nxdx
n
(n 0,1,2,)
bn
1
( x)sin nxdx
1
(t)sin(nt)d(t)
1
( x)sin nxdx
1
(
x)sin
nxdx
n
(n 1,2,)
周期延拓
f (x) ,
x [ π , π )
F(x)
f (x 2k π ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例
3
将函数
f
(
x)
x,
x,
x 0 展开为傅里
0 x
叶级数.
解 所给函数满足Dirichlet充分条件.
拓广的周期函数的傅
y
氏级数展开式在 [ , ]
收敛于 f (x) .
2 0 2 x
称为函数
的傅里叶系数 ; 以 的傅里
叶系数为系数的三角级数 ① 称为
的傅里叶级数 .
傅里叶系数
a0
1
1 f (x)dx;
2
an
1
f (x) cos nxdx, (n 1, 2,
)
bn
1
f (x) sin nxdx, (n 1, 2,
)
n阶傅里叶多项式
Fn
(x)
1 2
a0
n k 1
(ak
(其中m,n 1,2,)
三、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx)
①
右端级数可逐项积分, 则有
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
(1)
求a0
.
1 2
a0
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
①
f (x)dx
1 2
a0dx
[
(ak cos kx bk sin kx)]dx
k 1
பைடு நூலகம்
1 2
a0dx
ak cos kxdx k 1
bk sin kxdx k 1
a0
1 2
2
,
a0
1
f (x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[, ] 上有定义,并且满足Dirichlet充分
条件,也可展开成傅氏级数.
作法: 周期延拓 (T 2 ) F ( x)
F
(
x)
f f
( (
x) x
x ( , ) 2k ) 其它
拓广的周期函数在 [ , ]上的傅里叶级数展开式.
端点处收敛于 1[ f ( 0) f ( 0)]
2
定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
π
3
5
7
9
说明: 1) 根据收敛定理可知,
y
1
π Oπ
x
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
1
y x
O
小结：将f (x)展开成傅里叶级数的步骤： 1、先画出函数f(x)的图形，便于看出函数的奇偶性及 间断点 2、根据收敛定理讨论f (x)与其傅里叶级数相等的范围， 若f (x)有间断点，还需要指出傅里叶级数的和函数在间 断点的值. 3、观察f (x)是否为奇函数或者偶函数，利用对称性计 算傅里叶系数an ,bn. 4、写出f (x)的傅里叶级数及范围.
练习题答案
一、 f ( x) (a b)
4
n1
[1
(
1)n ]( n2
b
a
)
cos
nx
(
1)
n1 ( n
a
b)
s
in
nx
( x (2n 1), n 0,1,2,).
二、1、
f
(
x)
1
2
e
1
[
n1
1
(1)n e 1 n2
]cos
nx
1 n (1)n e 1 (1)n
3
5
7
F 4 sin t
F 4 (sin t 1 sin 3t)
3
F 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
F 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
F 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
第七节 傅里叶(Fourier) 级数
一、问题的提出
二、三角级数 三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
四、小结
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加，就会得到矩形波
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
x
sin n
nx
cos nx n2
0 π
1
cos n
n2 π
an
1
cos n n2 π
π
2 (2k 1)2 π
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 , )
bn
1 π
π
π
f
( x) sin
nx d
x
1 0
π π
x sin
nxdx
π 2 cos x sin x 1 sin 2x
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在 上的表达式为
f
(
x)
1
1
, ,
π x0 0 x π
y
将 f (x) 展成傅里叶级数.
1
π Oπ
x
解 所给函数满足Dirichlet充分条件. 1
在点x k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 1 1 1 (1) 0,
2
2
当x k时, 收敛于f ( x). 和函数图象为