余弦定理习题及练习

❖ ②确定三角形的形状．
❖ 解答本题先由正弦定理将边转化为角，然 后由三角恒等式进行化简，得出结论；也 可先由余弦定理及同角三角函数关系转化 成边之间的关系，然后由边的关系确定三 角形形状．
❖ 则 条 件 转 化 为 4R2·sin2C·sin2B ＋ 4R2·sin2C·sin2B
❖ ＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC， ❖ 又sinB·sinC≠0， ❖ ∴sinB·sinC＝cosB·cosC， ❖ 即cos(B＋C)＝0. ❖ 又0°<B＋C<180°， ❖ ∴B＋C＝90°， ❖ ∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．
❖第2课时 余弦定理
❖ 在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则 △ABC的形状是( )
❖ A．锐角三角形
B．直角三角形
❖ C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解析因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－82<0，
❖ ∴AC边所对角B为钝角，故选C.
❖ 答案：C
2．在△ABC 中，AB＝3，BC＝ 13，AC＝4.则 AC 边上的高 为( )
❖ [分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
[解]
cos15°＝cos(45°－30°)＝
6＋ 4
2 .
由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋
2)＝8－4 3.
∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2.
由正弦定理得sianA＝sincC，
❖ [例4] 在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10， cosA＝ ，求b.
[ 分 析 ] 利用正弦定理 → 求出a、c → 利用余弦c＝ssiinnCA＝ssiinn2AA＝2cosA， ∴ac＝32. 又 a＋c＝10，
∴a＝4，c＝6. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得b21＋2b20＝34， ∴b＝4 或 b＝5.
夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确 定的，所以解也是惟一的．
❖ 2．余弦定理的应用
❖ 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形 的问题：
❖ (1)已知三边，求三个角； ❖ (2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，
进而求出其他角．
❖ 迁移变式3 在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－ a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定 △ABC的形状．
❖ 解：由于(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
❖ 所以a2＝b2＋c2－bc，
❖ 又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，
❖ 又∵sinA＝sin(B＋C) ❖ ＝sinBcosC＋cosBsinC且 ❖ sinA＝2sinBcosC， ❖ ∴sinBcosC＝cosBsinC， ❖ 即sin(B－C)＝0，∴B＝C， ❖ 又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°. ❖ 故△ABC为等边三角形．
＝
a2＋42－c2 8a
＝
8－c2＋42－c2 88－c
＝
108－－2cc.②
由①②知82－cc＝108－－2cc，整理得 5c2－36c＋64＝0.
∴c＝156或 c＝4(舍)，∴a＝8－c＝254.故 a＝254，c＝156.
1．余弦定理的正确理解 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－ 2abcosC. 余弦定理的推论：cosA＝b2＋2cb2c－a2，cosB＝c2＋2aa2c－b2，cosC ＝a2＋2ba2b－c2.
解析∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab.
❖ 又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
❖ ∴－2cosC＝1，∴cosC＝－ ，
❖ ∴C＝120°.
5．在△ABC 中： (1)a＝1，b＝1，C＝120°，求 c； (2)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最大角； (3)a∶b∶c＝1∶ 3∶2，求 A、B、C. 解：(1)由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝12＋12－2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3； (2)显然 C 角最大， ∴cosC＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12，∴C＝120°；
(3)由于 a∶b∶c＝1∶ 3∶2，可设 a＝x，b＝ 3x，c＝
2x.
由余弦定理得
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝
3x2＋4x2－x2＝ 2· 3x·2x
23，
∴A＝π6.
同理 cosB＝12，cosC＝0，∴B＝π3，C＝π2.
∴A＝π6，B＝π3，C＝π2.
❖ [例1] 在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ， C＝15°，求角A、B和边c的值．
❖ 迁移变式2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3， c＝5，求最大角和sinC.
解：∵a>c>b， ∴A 为最大角， 由余弦定理的推论得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×532×－572＝－12. 又∵0°<A<180°， ∴A＝120°， ∴sinA＝sin120°＝ 23，
由正弦定理sianA＝sincC得
❖ 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角． ❖ 请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观
规律，是解三角形的重要工具． ❖ (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的
特例． ❖ (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程
的观点，可以知三求一． ❖ (4)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
❖ [例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
❖ [分析] 由题目可获取以下主要信息：
❖ ① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
❖ [点评] 判断三角形的形状应围绕三角形的 边角关系进行思考，可用正、余弦定理将 已知条件转化为边边关系，通过因式分解、 配方等方式得出边的相应关系，从而判断 三角形的形状，也可利用正、余弦定理将 已知条件转化为角与角之间的关系，通过 三角变换，得出三角形各内角之间的关系， 从而判断三角形形状．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得 a＝72k，b＝52k，c＝32k，
∴边 a 是△ABC 中的最大边，则角 A 是最大内角． ∵cosA＝b2＋2cb2c－a2＝－12， ∴sinA＝ 23. ∴△ABC 的最大内角的正弦值是 23.
[点评] 本题中比例系数k的引入是解题的关键．
3 A.2 2 C.32
3 B.2 3 D．3 3
解析：由余弦定理 cosA＝92＋×136×－413＝12，sinA＝ 23，AC 边
上的高＝AB·sinA＝3× 23＝32 3.
答案：B
❖ 3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
❖ 4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于_120_______．
❖ 迁移变式4 在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4， a＋c＝8，求a、c的长．
解：由正弦定理，得sianA＝sincC .
∵A＝2C，∴sina2C＝sincC，∴a＝2ccosC，又 a＋c＝8，
∴cosC＝82－cc.①
又由余弦定理及 a＋c＝8，得
cosC
＝
a2＋b2－c2 2ab
sinA＝asicnC＝asinc15°＝2×6－6－4 2
2 ＝12，
∵b>a，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.
迁移变式 1 在△ABC 中，已知 sinC＝35，sinC＋cosC<0， 且 a＝2，b＝5.求边长 c.
解：∵sinC>0 且 sinC＋cosC<0， ∴cosC<0， 则 cosC＝－ 1－sin2C＝－45. 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC， 得 c2＝4＋25－2×2×5×(－45)＝45， ∴c＝3 5.
❖ [例2] 在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正 弦值．
❖ [分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．
当 b＝4 时，∵a＝4，∴A＝B. 又 C＝2A，且 A＋B＋C＝π， ∴A＝π4，与已知 cosA＝34矛盾，不合题意，舍去． 当 b＝5 时，满足题意．
❖ [点评] (1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c， 再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结 合求得结果．
❖ (2)正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系， 要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理， 根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注 意以下关系式的运用：
方法 2：将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B) ＝2bccosBcosC， 即有 b2＋c2－b2·(a2＋2ba2b－c2)2－c2·(a2＋2ca2c－b2)2 ＝2bc·a2＋2ca2c－b2·a2＋2ba2b－c2， 即 b2＋c2＝[a2＋b2－c24＋a2a2＋c2－b2]2 ＝44aa42＝a2，即 b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．