反常积分的收敛判别法
反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀
反常积分收敛判别口诀：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分(又称无界函数的反常积分)。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细，而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
只要研究被积函数自身的性态，即可知其敛散性。
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子.关键词: 区域;收敛;一致收敛前言含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.1.定义定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分(),c f x y dy +∞⎰ (1)都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有()(),c I x f x y dy +∞=⎰，[],x a b ∈, (2)称式(1)为定义在[],a b 上的含参量x 的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.2.含参量反常积分一致收敛性的判别法定义2 若含参量反常积分(1)与函数()I x 对任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得当M N >时,对一切[],x a b ∈,都有()(),M c f x y dy I x ε-<⎰,即 (),M f x y dy ε+∞<⎰,则称含参量反常积分(1)在[],a b 上一致收敛于()I x .或简单的说含参量积分(1)在[],a b 上一致收敛.定义3 设函数()y x f ,在区域[][),,R a b c d =⨯上有定义，若对x 的某些值, y d =为函数()y x f ,的瑕点，则称(),dc f x y dy ⎰ (3) 为含参量x 的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。
若对每一个x ∈[],a b ，积分(3)都收敛，其积分值x 在[],a b 上一致收敛的定义是定义4 对任给正数ε,总存在某正数d c δ<-,使得当0ηδ<<时,对一切[],x a b ∈,都有(),dd f x y dy ηε-<⎰,则称含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛.定理1（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[],a b 一致收敛的充要条件是：对任给正数ε,总存在某一实数M c >,使得当12,A A M >时,对一切[],x a b ∈,都有()21,A A f x y dy ε<⎰.例1 证明含参量反常积分 0sin xy dy y+∞⎰ (4) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>),但在(0,)+∞内不一致收敛.证 做变量代换u xy =,得sin sin A Ax xy u dy du y u +∞+∞=⎰⎰, (5) 其中0A >.由于0sin u du u+∞⎰收敛,故对任给正数ε,总存在正数M ,使当A M >时,就有'sin A u du uε+∞<⎰. 取A M δ>,则当M A δ>时,对一切0x δ≥>,由(5)式有sin A xy dy yε+∞<⎰, 所以(4)在0x δ≥>上一致收敛. 现在证明(4)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存在某一正数0ε,使对任何实数()M c >,总相应地存在某个A M >及某个[],x a b ∈,使得0sin A xy dy y ε+∞≥⎰. 由于非正常积分0sin u du u+∞⎰收敛,故对任何正数0ε与M ,总存在某个(0)x >,使得 00sin sin Mx u u du du u u ε+∞+∞-<⎰⎰. 即0000sin sin sin Mx u u u du du du u u u εε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (6) 现令001sin 2u du uε+∞=⎰,由(5)及不等式(6)的左端就有 000sin sin 2M Mx xy u dy du y uεεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(4)在(0,)+∞内不一致收敛.定理2 含参量反常积分()1在[],a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A （其中1A c =）,函数项级数在[],a b 上一致收敛.例2 证明：若(,)f x y 在[,][,)a b c ⨯+∞上连续,又在[,)a b 上收敛,但在x b =处发散,则在[,)a b 上不一致收敛.证 用反证法,假如积分在[,)a b 上一致收敛,则对于任给0ε>,总存在M c >,当',A A M >时对一切[,)x a b ∈恒有'(,)A A f x y dy ε<⎰. 由假设(,)f x y 在'[,][,]a b A A ⨯上连续,所以'(,)A Af x y dy ⎰是x 的连续含数.在上面不等式中令x b →,得到当'A A M >>时,'(,)A A f b y dy ε≤⎰. 而ε是任给的,因此(,)c f x y dy +∞⎰在x b =处收敛,这与假设矛盾,所以积分(,)c f x y dy +∞⎰在[,)a b 上不一致收敛.魏尔斯特拉斯M 判别法 设有函数()g y ,使得(),()f x y g y ≤,,a x b c y ≤≤≤<+∞.若()c g y dy +∞⎰收敛,则(,)c f x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos 1xy dx x +∞+⎰ (7) 在(,)-∞+∞上一致收敛.证 由于对任何实数y 都有及反常积分收敛,故由魏尔斯特拉斯M 判别法,含参量反常积分(7)在(,)-∞+∞上一致收敛.狄利克雷判别法 设(i) 对一切实数N c >,含参量正常积分对参量x 在[],a b 上一致有界,即存在正数M ,对一切N c >及一切[],x a b ∈,都有(,)N c f x y dy M ≤⎰; (ii) 对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 是单调递减且当y →+∞时,对参量,(,)x g x y 一致地收敛于0,则含参量反常积分在[],a b 上一致收敛.阿贝尔判别法 设(i)(,)c f x y dy +∞⎰在[],a b 上一致收敛;(ii) 对每一个[],x a b ∈,函数(,)g x y 关于y 是单调的单调函数,对参量,(,)x g x y 在[],a b 上一致有界.则含参量反常积分在[],a b 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分0sin xy x e dx x+∞-⎰ (8) 在[]0,d 上一致收敛.证 由于反常积分收敛(当然对于参量y ,它在[]0,d 上一致收敛),函数(,)xy g x y e -=对每一个[]0,y d ∈关于x 单调,且对任何0y d ≤≤,0x ≥,都有 (,)1xy g x y e -=≤.故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(8)在[]0,d 上一致收敛.例5 证明0xy xe dy +∞-⎰(i)在[,]a b (0)a >上一致收敛;(ii)在[0,]b 上不一致收敛.证 (i) (,),[0)x a b y ∀∈∈+∞,有0xy ay xe be --≤≤,而0ay be dy +∞-⎰收敛(0)a >.故xy xe dy+∞-⎰在[,]a b(0)a>上一致收敛.(ii) 因在0x=处不连续,而xyxe-在0,0x b y≤≤≤<+∞内连续,由连续性定理知,xy xe dy+∞-⎰在0x b≤≤上不一致收敛.结束语本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编,数学分析(下册)．北京:高等教育出版社,2001．[2] 钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉：崇文书局,2003．[3] 武汉大学数学系编,数学分析[M], 武汉大学数学系,1999．[4] 吉林师范大学数分教研室编,数学分析讲义[M],吉林师大数学系，2003．。
反常积分法的收敛判别法
而在第二项中，由于 g(x) 单调，因此 g′(x) 保持定号，由积分第一中值
定理，存在 ξ ∈[a, b] ，使得
于是
∫ ∫ ∫ b
F
( x) g ′( x)dx
=
F
(ξ
)
bg ′(x)dx = [g(b) − g(a)]
ξ f (x)dx ，
a
a
a
∫ ∫ b a
f
( x ) g( x )dx
=
g(b)
也发散。
例 8.2.1
讨论
+∞
∫1
cos 2 x3
x sin + a2
x
dx
的敛散性（
a
是常数）。
解 因为当 x ≥ 1时有
cos 2x sin x ≤ 1 ，
x3 + a2 x x
在例
8.1.2
中，已知
∫ +∞ 1
x
1 x
dx
收敛，由比较判别法，∫1+∞
cos 2x sin x x3 + a2
dx
dx 发散。
因此，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
条件收敛。
例 8.2.5
讨论
+∞
∫1
sin
x
arc x
tan
x
dx
的敛散性。
解
由例
8.2.4，
∫ +∞ 1
sin x
x
dx
收敛，而
arc
tan
x
在
[1,+∞)
上单调有界，
由 Abel
| dx
收敛，则称
ch反常积分的收敛判别法
于是，由比较判别法，当 a ( x)dx 发散时 a
f ( x)dx 也发散。
数学分析
例 8.2.2
解 因为
3
讨论 1
3
dx 的敛散性。 x 3x 5x 2x 1
4 3 2
1
由于 1
3
x 3x 5x 2x 1 1 1 dx 收敛，所以 1 3 4 dx 收敛。 4 3 2 x x 3x 5x 2x 1
f ( x ) dx 。
A
A
f ( x)dx
数学分析
cos 2 x sin x 例 8.2.1 讨论 1 dx 的敛散性（ a 是常数）。 3 2 x a 解 因为当 x 1时有 cos 2 x sin x 1 ， 3 2 x x x a cos 2 x sin x 1 dx 收敛，由比较判别法， 1 已知 1 dx 绝 3 2 x x x a cos 2 x sin x 对收敛，所以 1 dx 收敛。 3 2 x a
推论
证1 对任意给定的 0 ，由于 a
f ( x)dx 收敛而非绝对收敛，则称 a
f ( x)dx
若反常积分 a
f ( x)dx 绝对收敛，则它一定收敛。
f ( x ) dx 收敛，所以存在
A0 a ，使得对任意 A, A A0 ，成立 利用定积分的性质，得到
A
A
1、非负函数反常积分的收敛判别法
)上恒有 定理 8.2.2（比较判别法） 设在[a , 0 f ( x) K( x)，其中 K 是正常数。则
（1） 当 a ( x)dx 收敛时 a （2） 当 a
反常积分收敛判别法
些 新 的判 别 方 法 ．
二 、 常 积 分 基 本 判 别 方 法 反
反常积分与数值级数 ∑ ｎ之间的 如下 类比
级 数 的通 项 ： ａ 被 积 函数 ）
级数的 部分和： ｎ ∑Ｎ ａ
专 题 研 究
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反常积分收敛判别法
◎高建平 刘 声 （ 州大学理学院 贵 ◎ 张 蕊 （ 南 信 阳 师 范 学 院 教 育 学 院 河
＋… 的 和 问 题
单调有界， Ｉ ＿ ） （ ｄ 则 厂 ｇ ） ｘ收敛； ｉ ｈ ｔ （ Ｄｒ ｌ 判别法： ｉ ｅ ｃ 若 ， Ａ ＝ｆ （）ｘ ｎ ＋。 上有界，（ ） 。 ＋。） （） 厂 ｄ 存［ ， 。） ｇ 在［ ， 。 上
因此要反常积分 ｆ 厂 ） ｘ存 在 ， 须也 只需 对于任 （ ｄ 必
知 ， 些 反 常 积 分 能 化 为 级数 ． 有
设 ， ｘｘ … 有 ｄ
ｇ
一 （） ｇ 等＝ ÷
２ ．级 数 判 别 法
函数的极限可以用两种方法来 表达 ， “ 即 ｓ一６说 法 ”与
（）． ÷等
“ 整 序 变 量 说 法 ” 若 把 极 限 的 第 二 种 定 义 法 用 到 函 数 用 ．
设 函数 ＿ 在 区 间 ［ ，］ 连 续 ， 厂 （ ） 。 ｂ上 ｂ为瑕 点 ． 有 则
￡：
ｌ ＿ ＿
ch-8-2反常积分的收敛判别法
+∞
f ( x )dx ， ∫a
2
+∞
1 dx 收敛， 收敛， 2 x
由比较判别知
故
∫a
+∞
f ( x) | | dx 收敛， 收敛， x
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛。 收敛。 x
数学分析 3、一般函数反常积分的收敛判别法
8.2.4（积分第二中值定理） b 定理 8.2.4（积分第二中值定理） 设 f ( x)在[a, ]上可 b 上单调， 积， g( x)在[a, ]上单调，则存在ξ ∈ [a ,b]，使得
+∞
+∞ +∞
f ( x )dx 收敛； 收敛； f ( x )dx 发散。 发散。
例 8.2.3
解
的敛散性（ 讨论 ∫0 x a e − x dx 的敛散性（ a ∈ R ）。
因为对任意常数 a ∈ R ，有 lim x 2 ( x a e − x ) = 0 ，
x → +∞
+∞
判别法的极限形式（ ），可知 收敛。 由 Cauchy 判别法的极限形式（1），可知 ∫0 x a e − x dx 收敛。
即 ∫a
+∞
f ( x ) dx = 2 ∫a ϕ ( x ) dx −
+∞
∫a
+∞
f ( x ) dx , 收敛 收敛.
数学分析 例1 设 ∫a f ( x )dx 收敛，证明 收敛，
2 +∞
∫a
+∞
f ( x) dx 收敛（a>0）。 收敛（ ） x
f ( x) 1 1 |≤ [ 2 + f 2 ( x )] 证 Q | x 2 x
反常积分判敛的三种方法
反常积分判敛的三种方法反常积分在数学中有着重要的地位，但有的反常积分发散，有的反常积分收敛。
那么，如何判断反常积分是否收敛呢？本文介绍三种判断反常积分是否收敛的方法。
一、比较判别法比较判别法是判断反常积分是否收敛的基本方法之一。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若存在一个正函数 $g(x)$，使得当 $x \geq a$ 时有 $f(x) \leq g(x)$，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 收敛，则原积分收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)\text{d}x$ 发散，则原积分也发散。
同理，对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，只需将“$x \geq a$” 替换为“$x \leq a$”，“$\leq$” 替换为“$\geq$” 即可。
二、极限判别法极限判别法是另一种判断反常积分是否收敛的方法。
对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若极限 $\lim_{x \rightarrow +\infty} xf(x) = A$ 存在且有限，则积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则积分发散。
对于形如 $\int_{-\infty}^{a}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，则需将“$x \rightarrow +\infty$” 替换为“$x \rightarrow -\infty$”。
三、绝对收敛判别法绝对收敛判别法是在比较判别法的基础上引出的判定方法。
对于形如 $\int_{a}^{+\infty}f(x)\text{d}x$ 的反常积分，若$\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 收敛，则原积分绝对收敛；反之，若 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)|\text{d}x$ 发散，则原积分发散。
无穷区间上的反常积分
无穷区间上的反常积分
无穷区间上的反常积分是微积分学中一个重要的概念，需要掌握其定义、性质以及计算方法。
下面我们将按照以下列表分别进行介绍。
一、定义
无穷区间上的反常积分是指在某些情况下，对于无限区间上的某些连续函数，其在区间某一部分的积分值趋近于无穷或趋近于无穷大的情况下，该函数在整个区间上的积分是收敛的。
二、性质
1. 如果无穷区间上的一个函数是收敛的，那么对于所有的t>0，函数在区间[t，+∞)上的积分也是收敛的。
2. 如果无穷区间上的一个函数是收敛的，那么对于所有的c<d，函数在区间[c，d]上的积分也是收敛的。
3. 如果无穷区间上的一个函数是发散的，那么对于所有的t>0，函数在区间[t，+∞)上的积分也是发散的。
三、计算方法
对于无穷区间上的反常积分的计算，一般存在以下两种方法：
1. 收敛性判别法
收敛性判别法是指通过找到恒等式、引入变量或者比较函数等方法来证明函数在特定区间上的积分是收敛的。
2. 收敛级数法
收敛级数法是指将原函数拆分成可加性函数的级数形式，然后通过计算级数的收敛性来判断函数在整个区间上的积分是否收敛。
无穷区间上的反常积分在微积分学中具有重要的应用价值，在计算实际问题中也有着广泛的应用。
需要我们在学习过程中，深刻理解其定义、性质及计算方法，并在实际中灵活应用。
最新习题82反常积分的收敛判别法
习题82反常积分的收敛判别法习题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中«Skip Record If...»或«SkipRecord If...»时，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在«Skip Record If...»上恒有«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是正常数。
则当«Skip Record If...»收敛时«Skip Record If...»也收敛；当«Skip Record If...»发散时«Skip Record If...»也发散。
证当«Skip Record If...»收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：。
«Skip Record If...»于是，«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»也收敛；当«Skip Record If...»发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»：。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。
其中，反常积分是指积分区间为无穷或者在某些点上函数值无界的情况。
本文将介绍反常积分判敛的方法，帮助读者更好地理解和处理这类积分。
一、无穷积分的判敛方法对于无穷积分，我们需要分情况讨论其判敛性。
一般来说，无穷积分可以分为无穷限积分和无穷间断积分两种情况。
1. 无穷限积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷限积分，我们可以通过比较判别法来判断其是否收敛。
比较判别法的基本思想是将被积函数与一个已知的易于处理的函数进行比较，从而确定其收敛性。
若存在一个函数$g(x)$，使得在积分区间$[a, +\infty)$上，$0\leq f(x) \leq g(x)$成立，且$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则原积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛；若$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则原积分$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。
2. 无穷间断积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的无穷间断积分，其中积分区间存在间断点，我们需要分别讨论左右极限的情况。
若在间断点$a$处，$\lim_{x \to a^+}f(x)$和$\lim_{x \to a^-}f(x)$中至少有一个是无穷大或无穷小量，则该积分为无穷间断积分。
此时，我们可以将积分区间分为$[a, c]$和$[c, b]$两部分，分别讨论其判敛性。
二、无界函数积分的判敛方法对于在积分区间内函数值无界的情况，我们需要特殊处理来判断其收敛性。
1. 无界上下函数的判敛方法若被积函数$f(x)$在积分区间$[a, b]$上无界，即存在$M>0$，使得对任意$x \in [a, b]$，$|f(x)| > M$，则该积分为无界函数积分。
无穷限反常积分收敛判别法
无穷限反常积分收敛判别法本文探讨了一种可用于鉴别无穷限反常积分收敛性的方法——无穷限反常积分收敛判别法。
通过例子，展示了这一方法的运用，并简单分析了该方法的特点。
无穷限反常积分是对无穷级数和反常积分的理论总结，它可以用于对反常积分收敛性的研究。
无穷限反常积分收敛判别法是一种可以有效鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
一般，它将反常积分表示为： $$int_a^b f(x)dx=sum_{n=1}^{infty}int_a^bF_n(x)dx$$ 其中$F_n(x)$为反常函数序列，有$F_nightarrow f(x)$当$nightarrow infty$。
下面介绍一个具体的例子：考虑反常积分$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)ln x}dx$$可以将它分为两个部分：$$I=int_0^1frac{1-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)ln x}dx$$ 利用无穷限反常积分收敛判别法，可以证明$I$为有界积分，具体的，可以将积分分解为：$$I=int_0^1frac{1}{1+x}dx+int_0^1frac{-x}{(1+x)lnx}dx=int_0^1frac{1}{1+x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$ 由$F_n=frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-int_0^1frac{x}{(1+x)^2ln x}dx$$可以得到：$$I=sum_{n=1}^{infty}int_0^1frac{x^n}{(1+x)^{n+1}ln x}dx-frac{1}{2}$$由于右端部分可以给出明确的数值，因此$I$为有界积分。
从上面的例子中可以看出，无穷限反常积分收敛判别法是一种有效的鉴别无穷限反常积分收敛性的方法。
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
习题82反常积分的收敛判别法20页word文档
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）；⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，⎰∞+a dx x )(ϕ和⎰∞+adx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。
解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数。
则当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时⎰∞+adx x )(ϕ也发散。
证 当⎰∞+a dx x )(ϕ收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，0>∀ε ，a A ≥∃0，0,A A A ≥'∀：Kdx x A A εϕ<⎰')(。
于是≤⎰'A Adx x f )(εϕ<⎰'A A dx x K )(，所以⎰∞+adx x f )(也收敛；当⎰∞+adx x f )(发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，00>∃ε，a A ≥∀0，0,A A A ≥'∃：εK dx x f A A ≥⎰')(。
于是≥⎰'A A dx x )(ϕ0)(1ε≥⎰'A A dx x f K ，所以⎰∞+a dx x )(ϕ也发散。
（2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ϕ，且0)()(lim=+∞→x x f x ϕ。
则当⎰∞+a dx x f )(发散时，⎰∞+a dx x )(ϕ也发散；但当⎰∞+a dx x f )(收敛时，⎰∞+a dx x )(ϕ可能收敛，也可能发散。
例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p xx p ϕ，则0)()(lim =+∞→x x f x ϕ。
显然有 ⎰∞+1)(dx x f 收敛，而对于⎰∞+1)(dx x ϕ，则当21<<p 时收敛，当10≤<p 时发散。
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法一、定义首先，我们来回顾一下含参量反常积分的定义。
设函数$f(x,t)$定义在区间$[a,b]$上的一个闭区间$[c,d]$，则含参量反常积分可以表示为：$$\int_a^b f(x,t)dx$$其中，函数$f(x,t)$称为被积函数，参数$t$称为参数。
参数$t$取值在闭区间$[c,d]$上。
1.依据一致收敛的定义如果对任意给定的$\epsilon>0$，存在正数$\delta$，当$，x-a，<\delta$且$t\in[c,d]$时，$，f(x,t)-f(a,t)，<\epsilon$，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上关于$x$一致收敛。
这是最常用的判别方法之一2.莱布尼茨定理对于含参量反常积分，如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上关于$t$是逐点收敛的，并且对所有$x\in[a,b]$，极限$\lim_{t\to\infty}f(x,t)$存在，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
3.狄利克雷判别法狄利克雷判别法主要用于判别含参变量正交级数的一致收敛性，但同样适用于含参量反常积分。
如果被积函数$f(x,t)$和其导数$f'(x,t)$在$[a,b]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且在区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
4.魏尔斯特拉斯判别法魏尔斯特拉斯判别法是判别含参量反常积分收敛性的重要方法之一、如果被积函数$f(x,t)$在闭区间$[c,d]$上对于$t$关于$x$一致有界，并且对于任意给定的$x\in[a,b]$，被积函数$f(x,t)$对于参数$t$在闭区间$[c,d]$上关于$x$一致收敛，则函数$f(x,t)$在区间$[a,b]$上一致收敛。
5.独立变量法独立变量法是一种常用的判别方法。
对于含参量反常积分$\int_a^bf(x,t)dx$，将被积函数$f(x,t)$视为关于$x$的函数，并对其进行研究。
反常积分判敛的方法
反常积分判敛的方法反常积分是指在某些情况下，积分的上限或下限趋于无穷大或无穷小，导致积分的结果无法通过常规的积分方法求解。
在这种情况下，我们需要采用特殊的方法来判断反常积分的收敛性。
一、瑕积分的判敛方法瑕积分是指在积分区间上存在一个或多个奇点的情况下，积分的结果可能发散的情况。
常见的瑕积分包括第一类和第二类瑕积分。
1. 第一类瑕积分第一类瑕积分是指在积分区间上存在一个有限奇点的情况下，积分的结果可能发散的情况。
对于第一类瑕积分，我们可以采用以下方法进行判敛：（1）留数法：通过计算奇点处的留数来判断积分的收敛性。
如果奇点处的留数存在且有限，则积分收敛；如果留数不存在或为无穷大，则积分发散。
（2）柯西主值法：将积分区间上的奇点分割成多个小区间，然后分别计算每个小区间上的积分，最后将这些积分求和。
如果求和结果收敛，则原积分收敛；如果求和结果发散，则原积分发散。
2. 第二类瑕积分第二类瑕积分是指在积分区间上存在一个或多个无穷远点的情况下，积分的结果可能发散的情况。
对于第二类瑕积分，我们可以采用以下方法进行判敛：（1）变量代换法：通过变量代换将积分区间上的无穷远点变换为有限点，然后使用常规的积分方法求解。
如果变换后的积分收敛，则原积分收敛；如果变换后的积分发散，则原积分发散。
（2）渐近展开法：将被积函数在无穷远点附近进行渐近展开，然后对展开式进行积分。
如果展开式的积分收敛，则原积分收敛；如果展开式的积分发散，则原积分发散。
二、无界函数的判敛方法无界函数是指在积分区间上存在一个或多个无界点的情况下，积分的结果可能发散的情况。
对于无界函数的积分，我们可以采用以下方法进行判敛：1. 收敛性判别法：通过对被积函数进行分析，判断其在积分区间上的性质。
常见的收敛性判别法包括比较判别法、极限判别法、积分判别法等。
2. 正则化方法：通过对无界函数进行正则化处理，将其转化为有界函数，然后使用常规的积分方法求解。
如果正则化后的积分收敛，则原积分收敛；如果正则化后的积分发散，则原积分发散。
反常积分的收敛判别法
条件收敛（或称 f( x)在[a,)上条件可积）。
推论
若反常积分
a
f( x)dx绝对收敛，则它一定收敛。
证1
对任意给定的
0，由于 a
f ( x) dx 收敛，所以存在
A0
Байду номын сангаас
a，使得对任意 A, A
A0，成立
A
A
f ( x) dx
。
利用定积分的性质，得到
A
数学分析
第二节 反常积分的收敛判别法
一、Cauchy收敛原理 二、无穷区间形式
三、无界函数形式
四、小 结
重点：反常积分收敛的判别 难点: 反常积分的收敛的应用
一、反常积分的Cauchy收敛原理
数学分析
下面以 a
f( x)dx为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
由于反常积分
a
f
(
x)dx
数学分析
推论（比较判别法的极限形式）设在[a,)上恒有 f( x) 0和
( x) 0，且
lim f(x)
x ( x)
l，
则
（1）若0
l
，则
a
(
x)dx
收敛时
a
f( x)dx也收敛；
（2）若0
l
，则
a
(
x)dx
发散时
a
f( x)dx也发散。
（1）
当
a
(
x)dx
收敛时
a
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反常积分的收敛判别法
阿文
摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.
关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法
引 言
一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.
一 非负函数反常积分的收敛判别法
1.比较判别法
设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则
（1） 当⎰
+∞a
dx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；
（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.
2.Cauchy 判别法
设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，
（1）若p x
K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p x
x f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法
1.Abel 判别法
dx x f a ⎰
+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；
2.Dirichlet 判别法
F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞
收敛.
三 无界函数反常积分的收敛判别法
1.Cauchy 判别法
设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)
()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p
x b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法
⎰b
a dx x f )(收敛，)(x g 在),[
b a 上单调有界，则⎰b
a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法
⎰
-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰b
a dx x g x f )()(收敛.
总 结
函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.
熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.
参考文献
[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。