1999年高考(理工农医类)数学

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1999年高考数学试题及答案(全国理) - 副本

1999年高考数学试题及答案(全国理) - 副本

1999年普通高等学校招生全国统一考试一选择题:本大题共14小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11)—(14)题每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 如图,I 是全集,M 、P 、S 是I3个子集,则阴影部分所表示的集合是(A )(M ∩P )∩S(B )(M ∩P )∪S(C )(M ∩P )∩S(D )(M ∩P )∪S(2) 已知映射f :B A →,其中,集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A射f 下的象,且对任意的,A a ∈在B (A )4 (B )5 (C )6 (D )7(3)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ,则()b g 等于(A )a (B )1-a (C )b (D )1-b(4)函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数,且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos在[]b a ,上 (A )是增函数 (B )是减函数(C )可以取得最大值M (D )可以取得最小值M -(5)若()x x f sin 是周期为π的奇函数,则()x f 可以是(A )x sin (B )x cos (C )x 2sin (D )x 2cos(6)在极坐标系中,曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于 (A )直线3πθ=轴对称 (B )直线πθ65=轴对称 (C )点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π中心对称 (D )极点中心对称 (7)若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中,量得水面的高度为cm 6,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(A )cm 36 (B )cm 6 (C )cm 3182 (D )cm 3123(8)若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为 (A )1 (B )1- (C )0 (D )2(9)直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π(10)如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB ,EF 23=,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为(A )29 (B )5 (C )6 (D )215 (11)若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α (A )⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ (B )⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π (C ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π (D )⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4ππ (12)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R ,中截面把圆台分为上、 下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=(A )10 (B )15 (C )20 (D )25(13)已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程: ①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是(A )①③ (B )②④ (C )①②③ (D )②③④(14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒, 则不同的选购方式共有(A )5种 (B )6种 (C )7种 (D )8种二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。

1990年高考全国卷数学试题及答案

1990年高考全国卷数学试题及答案

1990年高考试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){-4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么【】(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于【】(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a-b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a-1│<h且│b-1│<h.那么【】(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有【】(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C'与C关于原点对称,那么C'所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于.(18)已知{a n}是公差不为零的等差数列,如果S n是{a n}的前n项的和,那(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.(20)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2=.三、解答题.(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC.DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB,SB=BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│=a.n≥2.(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.1990年试题(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)B(3)D(4)C(5)C(6)B (7)A(8)D(9)B(10)D(11)C(12)B (13)B(14)C(15)D二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.解法一:①由②式得d=12-2a.③整理得a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入③式得d1=4,d2=-6.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x①由①式得x=3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y+12)=(12-y)2,整理得y2-13y+36=0.解得y1=4,y2=9.代入③式得x1=0,x2=15.从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.解法一:由已知得解法二:如图,不妨设0≤α≤β<2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有解法三:由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).将②式代入①式,可得sin(α-)=sin(-β).于是α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),或α-=2kπ+(-β)(k∈Z).若α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z),即α+β=2+2kπ(k∈Z).所以(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.解法一:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上,∴SA⊥BD.而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,∴BD⊥DE,BD⊥DC.∴∠EDC是所求的二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.设SA=a,又因为AB⊥BC,∴∠ACS=30°.又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°,即所求的二面角等于60°.解法二:由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.又已知SC⊥DE,BE∩DE=E∴SC⊥面BDE,∴SC⊥BD.由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.∵DE面BDE,DC面BDC,∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.解法一:设z=x+yi,代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.③(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2+2x=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a.⑤.由此可知:当a=0时,方程⑤无负根;当a>0时,方程⑤有负根x=1-.(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0;当a>0时,方程⑥无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.⑦(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧由此可知:当a>1时,方程⑧无实根.当a≤1时解方程⑧得y=1±,从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;当0<a≤1时,方程⑧有正根y=1±.(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨由此可知:当a>1时,方程⑨无实根.当a≤1时解方程⑨得y=-1±,从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;当0<a≤1时,方程⑨有负根y=-1±所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=±2i;当0<a≤1时,z=±(1+)i,z=±(1-)i.而当a>1时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得于是原方程等价于方程组由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为x2+2│x│=a.即| x |2+2│x│=a.③解方程③得,所以,原方程的实数解是.情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为-y2+2│y│=a.即-│y│2 +2│y│=a.④当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i.当0<a≤1时,解方程④得,即当0<a≤1时,原方程的纯虚数解是.而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a.于是原方程等价于方程组情形1.若r=0.①式变成0=a.③由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解.当a>0时,方程③无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a>0时,原方程无零解.考查r>0的情形.(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为r2+2r=a.④.由此可知:当a=0时,方程④无正根;当a>0时,方程④有正根.所以,当a>0时,原方程有解.(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=±2i;当0<a≤1时,原方程有解当a>1时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是其中a>b>0待定,0≤θ<2π.设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则大值,由题设得,因此必有,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的参数方程是.解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是其中a>b>0待定.,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则其中-byb.由此得,由此可得b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是(26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.(Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是1+2x+…(n-1)x+n x a>0x∈(-∞,1],n≥2,上都是增函数,在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值也就是a的取值范围为(Ⅱ)证法一:2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.即[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a]a∈(0,1],x≠0.②现用数学归纳法证明②式.(A)先证明当n=2时②式成立.假如0<a<1,x≠0,则(1+2x a)2=1+2·2x a+22x a2≤2(1+22x)<2(1+22x a).假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以因而当n=2时②式成立.(B)假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有[1+2x+…+(k-1)x+k x a]2<k[1+22x+…+(k-1)2x a] a∈(0,1],x≠0,那么,当a∈(0,1],x≠0时[(1+2x+…+k x)+(k+1)xa]2=(1+2x+…+k x)2+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+2(1+2x+…+k x)(k+1)x a+(k+1)2x a2=k(1+22x+…+k2x)+[2·1·(k+1)x a+2·2x(k+1)x a+…+2k x(k+1)x a]+(k+1)2x a2<k(1+22x+…+k2x)+{[1+(k+1)2x a2]+[22x+(k+1)2x a2]+…+[k2x+(k+1)2x a2]}+(k+1)2x a2]=(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a2]≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2x a],这就是说,当n=k+1时②式也成立.根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1],x≠0.证法二:只需证明n≥2时因为其中等号当且仅当a1=a2=…=a n时成立.利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x]2<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x].当0<a<1,x≠0时,因a2<a,所以有[1+2x+…+(n-1)x+n x a]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a2]<n[1+22x+…+(n-1)2x+n2x a].即有2f(x)<f(2x)a∈(0,1),x≠0.。

1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷第1至 2页。

第II 卷3至8页.共150分。

考试时间120分钟.第I 卷(选择题共60分)注意事项1. 答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。

2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。

3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回. 参考公式:三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高一、 选择题:本大题共14小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11) —(14)题每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 如图,I 是全集,M 、P 、S 是I3个子集,则阴影部分所表示的集合是 (A)(M ∩P )∩S (B)(M ∩P)∪S(C )(M ∩P )∩S (D )(M ∩P )∪S(2) 已知映射f :B A →,其中,集合{,2,3---=A都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ,则集合B 中元素的个数是(A )4 (B )5 (C )6 (D )7 (3)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ,则()b g 等于(A )a (B)1-a (C)b (D )1-b(4)函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数,且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上(A)是增函数 (B )是减函数(C )可以取得最大值M (D )可以取得最小值M - (5)若()x x f sin 是周期为π的奇函数,则()x f 可以是(A )x sin (B )x cos (C)x 2sin (D )x 2cos(6)在极坐标系中,曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于(A )直线3πθ=轴对称 (B)直线πθ65=轴对称 (C )点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 (D )极点中心对称(7)若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中,量得水面的高度为cm 6, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(A)cm 36 (B )cm 6 (C )cm 3182 (D)cm 3123(8)若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为(A )1 (B )1- (C )0 (D )2 (9)直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为(A )6π (B)4π (C )3π (D )2π (10)如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3的正方形,EF ∥AB ,EF 23=,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为(A )29 (B )5 (C)6 (D )215(11)若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α(A )⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π (D)⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ(12)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R ,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=(A )10 (B )15 (C )20 (D )25(13)已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程:①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP |的所有曲线方程是(A )①③ (B)②④ (C )①②③ (D )②③④(14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒, 则不同的选购方式共有(A)5种 (B )6种 (C )7种 (D )8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类) 第II 卷(非选择题共90分)注意事项:1.第II 卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。

1989年全国高考数学试题及答案解析

1989年全国高考数学试题及答案解析

1989年全国高考数学试题及答案解析(理工农医类)一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.【】[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.(1)A(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【】[Key] (2)D【】[Key] (3)C【】[Key] (4)A(A)8 (B)16(C)32 (D)48【】[Key] (5)B【】[Key] (6)C【】[Key] (7)D(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5【】[Key] (8)B【】[Key] (9)C【】[Key] (10)D(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数【】[Key] (11)A(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个【】[Key] (12)C二、填空题:只要求直接填写结果.[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .[Key][Key] (15)(-1,1)(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .[Key] (16)-2[Key] (17)必要,必要(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO'之间的距离等于 .[Key] (18)三、解答题.[Key] 三、解答题.(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.证法一:证法二:(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.(Ⅰ)证明:如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN,∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.∴A1M=A1N.∴OM=ON.∴点O在∠BAD的平分线上.(Ⅱ)解:∴平行六面体的体积(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.解法一:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即整理得12k2+25k+12=0,故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.解法二:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L'所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,以下同解法一.(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解由①得 2kx=a(2+k2). ④当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.把⑤代入②,得当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.当k>0时得k2<1,即0<k<1.综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.(23)是否存在常数a,b,c使得等式对一切自然数n都成立?并证明你的结论.[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,令n=3 得70=9a+3b+c,经整理得解得a=3,b=11,c=10.于是,对n=1,2,3下面等式成立:记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.设n=k时上式成立,即那么S k+1=S k+(k+1)(k+2)2也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.解法二:因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).由于下列等式对一切自然数n成立:由此可知综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.它的判别式是△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:当a<-8k时:故所求集合。

1998年高考数学试题及其解析

1998年高考数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一.选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11— 15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) -21(C) 23 (D) -23(2) 函数y =a |x |(a >1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2+(y +2)2=4 (B) x 2+(y -2)2=4 (C) (x -2)2+y 2=4 (D) (x +2)2+y 2=4 (4) 两条直线A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2+B 1B 2=0 (B) A 1A 2-B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f -1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) -x (x ≠0) (D) -x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α-cos α,tg α)在第一象限,则在)20[π,内α的取值是 ( )(A) (432ππ,)∪(45ππ,) (B) (24ππ,)∪(45ππ,) (C) (432ππ,)∪(2345ππ,) (D) (24ππ,)∪(ππ,43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数-i 的一个立方根是i ,它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) -2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ,S ′,中截面的面积是S 0,那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S +S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示,那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中,a 1>1,且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ,那么a 1的取值范围是( ) (A)(1,+∞) (B)(1,4) (C) (1,2) (D)(1,2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.16.设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________17.(x +2)10(x 2-1)的展开式中x 10的系数为____________(用数字作答)18.如图,在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1-ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件____________时,有A 1 C ⊥B 1 D 1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)19.关于函数f (x )=4sin(2x +3π)(x ∈R ),有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍; ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x -6π); ③y =f (x )的图像关于点(-6π,0)对称; ④y =f (x )的图像关于直线x =-6π对称.其中正确的命题的序号是_______ (注:把你认为正确的命题的序号都.填上.) 三、解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (20)(本小题满分10分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,设a +c =2b ,A -C=3π.求sin B 的值. 以下公式供解题时参考: sin θ+sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-, sin θ-sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-,cos θ+cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-, cos θ-cos ϕ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(22)(本小题满分12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC -A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直,∠ABC =90º,BC =2,AC=23,且AA 1 ⊥A 1C ,AA 1= A 1 C .Ⅰ.求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小;Ⅱ.求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小; Ⅲ.求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离.(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3-x ,将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.Ⅰ.写出曲线C 1的方程; Ⅱ.证明曲线C 与C 1关于点A (3t ,2s)对称; Ⅲ.如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,证明s =43t -t 且t ≠0.(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列,b 1=1,b 1+b 2+…+b 10=145. Ⅰ.求数列{b n }的通项b n ; Ⅱ.设数列{a n }的通项a n =log a (1+nb 1)(其中a >0,且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与31log a b n +1的大小,并证明你的结论.1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算.)1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.)16.31617.179 18.AC ⊥BD ,或任何能推导出这个条件的其他条件.例如ABCD 是正方形,菱形等 19.②,③ 三、解答题20.本小题考查正弦定理,同角三角函数基本公式,诱导公式等基础知识,考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.解:由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B,又A -C =3π 得 23cos 2B=sin B ,所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π,cos 2B≠0, 所以sin2B =43, 从而cos2B =4132sin 12=-B所以sinB=83941323=⨯.21.本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系,求曲线方程的解析几何的基本思想.考查抛物线的概念和性质,曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力.解法一:如图建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点.依题意知:曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A ,B 分别为C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px (p >0),(x A ≤x ≤x B ,y >0),其中x A ,x B 分别为A ,B 的横坐标,p =|MN |. 所以 M (2p -,0),N (2p,0). 由|AM |= 17 ,|AN |=3 得(x A +2p )2+2px A =17, ① (x A -2p)2+2px A =9. ②由①,②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或 因为ΔAMN 是锐角三角形,所以2p> x A ,故舍去⎩⎨⎧==22Ax p所以p =4,x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN |-2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4,y >0).解法二:如图建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点. 作AE ⊥ l 1,AD ⊥ l 2,BF ⊥ l 2,垂足分别为E 、D 、F . 设A (x A ,y A )、B (x B ,y B )、N (x N ,0).依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3, y A =|DM |=2222=-DAAM,由于ΔAMN 为锐角三角形,故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P (x ,y )是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x ,y )|(x -x N )2+y 2=x 2,x A ≤x ≤x B ,y >0}.故曲线段C 的方程为y 2=8(x -2)(3≤x ≤6,y >0).22.本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识.解法一:设y 为流出的水中杂质的质量分数,则y =abk,其中k >0为比例系数.依题意,即所求的a ,b 值使y 值最小.根据题设,有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0), 得 b =aa+-230(0<a <30). ① 于是 y =ab k=aaa k +-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =, 当a +2=264+a 时取等号,y 达到最小值. 这时a =6,a =-10(舍去). 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:依题意,即所求的a ,b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60(a >0,b >0),即 a +2b +ab =30(a >0,b >0). 因为 a +2b ≥2ab 2, 所以 ab 22+ab ≤30, 当且仅当a =2b 时,上式取等号. 由a >0,b >0,解得0<ab ≤18.即当a =2b 时,ab 取得最大值,其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3,a =6.故当a 为6米,b 为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.23.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,棱柱的性质,空间的角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.Ⅰ.解:作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC ,所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C , 所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ.解:作DE ⊥AB ,垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知,AB ⊥BC ,得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23, 所以DE =1,AD =A 1D =3, tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ.解法一:由点C 作平面A 1ABB 1的垂线,垂足为H ,则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ,由于AB ⊥BC ,得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ,知HB ∥A 1E ,且BC ∥ED , 所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二:连结A 1B .根据定义,点C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C -A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=, 即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24.本小题主要考查函数图像、方程与曲线,曲线的平移、对称和相交等基础知识,考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ.解:曲线C 1的方程为y =(x -t )3-(x -t )+s .Ⅱ.证明:在曲线C 上任取一点B 1(x 1,y 1).设B 2(x 2,y 2)是B 1关于点A 的对称点,则有2221t x x =+, 2221sy y =+. 所以 x 1=t -x 2, y 1=s -y 2.代入曲线C 的方程,得x 2和y 2满足方程:s -y 2=(t -x 2)3-(t -x 2),即 y 2=(x 2-t )3-(x 2-t )+ s , 可知点B 2(x 2,y 2)在曲线C 1上.反过来,同样可以证明,在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此,曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ.证明:因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点,所以,方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ,整理得3tx 2-3t 2x +(t 3-t -s )=0, 这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4-12t (t 3-t -s )=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25.本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法,考查对数函数性质,考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解:Ⅰ.设数列{b n }的公差为d ,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n -2.Ⅱ.由b n =3n -2,知S n =log a (1+1)+ log a (1+41)+…+ log a (1+231-n ) = log a [(1+1)(1+41)……(1+231-n )], 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小,可先比较(1+1)(1+41)……(1+231-n )与313+n 的大小.取n =1有(1+1)>3113+⋅,取n =2有(1+1)(1+41)>3123+⋅, ……由此推测(1+1)(1+41)……(1+231-n )>313+n . ① 若①式成立,则由对数函数性质可断定:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1.下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n =1时已验证①式成立.(ⅱ)假设当n =k (k ≥1)时,①式成立,即(1+1)(1+41)……(1+231-k )>313+k . 那么,当n =k +1时,(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+()2131-+k )>313+k (1+131+k ) =13133++k k (3k +2). 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k()013492>++=k k , 所以13133++k k (3k +2)>().1134333++=+k k 因而(1+1)(1+41)……(1+231-k )(1+131+k )>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由(ⅰ),(ⅱ)知①式对任何正整数n 都成立.由此证得:当a >1时,S n >31log a b n +1. 当0<a <1时,S n <31log a b n +1.。

1998年全国高考数学试题

1998年全国高考数学试题

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M={x │0≤x<2},集合N={x │x 2-2x-3<0},集合M ∩N 为(A){x │0≤x<1} (B){x │0≤x<2}(C){x │0≤x ≤1} (D){x │0≤x ≤2}[Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos )B (33arccos )A (ππ[Key] C(5)函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x (t 是参数,t ≠0),它的普通方程是11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x x y D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x(B) 14)3(9)2(22=-+-y x (C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④[Key] C(14)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49,常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。

1993年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学

1993年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学

1993年试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为【】【】(A)45°(B)60° (C)90° (D)120°【】(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i【】(5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是【】(6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB(C)既无最大值也无最小值(D)有最大值1,但无最小值【】(7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35【】(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数也可能是偶函数(D)不是奇函数也不是偶函数【】(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线【】(10)若a、b是任意实数,且a>b,则【】(11)已知集合E={θ│cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ│tgθ<sinθ},那么E∩F为区间【】(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为(A)抛物线(B)圆(C)双曲线的一支(D)椭圆【】(A)三棱锥(B)四棱锥(C)五棱锥(D)六棱锥【】(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是【】(A)50项(B)17项(C)16项(D)15项【】(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么【】(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有(A)6种 (B)9种(C)11种(D)23种【】(18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条【】二、填空题:把答案填在题中横线上.(20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答).(22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤.(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.(Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;(Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β.证明:(Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│α│<4+b且│b│<4;(Ⅱ)如果2│α│<4+b且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2.1993年试题(理工农医类)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.(1)C (2)B (3)C (4)D (5)C (6)B(7)B (8)A (9)A (10)D (11)A (12)C(13)D (14)A (15)B (16)B (17)B (18)B二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.(19)2 (20)17.3 (21)4186三、解答题.(25)本小题考查对数函数的概念及性质,不等式的解法.(26)本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力.解:(Ⅰ)l∥A1C1.证明如下:根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l=平面A1BC1∩平面ABC.根据两平面平行的性质定理有l∥A1C1.(Ⅱ)解法一:过点A1作A1E⊥l于E,则A1E的长为点A1到l的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A⊥平面ABC.∴直线AE是直线A1E在平面ABC上的射影.又l在平面ABC上,根据三垂线定理的逆定理有AE⊥l.由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l∥A1C1,∵l∥AC.作BD⊥AC于D,则BD是Rt△ABC斜边AC上的高,且BD=AE,在Rt△A1AE中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,解法二:同解法一得l∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt△ABC∽Rt△BEA,AE:BC=AB:AC,以下同解法一.(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力.解法一:建立直角坐标系如图:以MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴.(c,0)和(x0,y0).∵ tgα=tg(π-∠N)=2,∴由题设知解法二:(28)本小题考查复数的基本概念和运算,三角函数式的恒等变形及综合解题能力.(29)本小题考查一元二次方程根与系数的关系,绝对值不等式的性质和证明;逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力.证法一:依题设,二次方程有两个实根α,β,所以判别式△=a2-4b≥0.平方得a2-4b<16-8a+a2,a2-4b<16+8a+a2,由此得-4(4+b)<8a<4(4+b),∴2│a│<4+b.(Ⅱ)∵2│a│<4+b,│b│<4,4±a>0;且△=a2-4b<a2-4(2│a│-4)=a2±8a+16=(4±a)2,又△≥0,∴-2<α≤β<2,得│α│<2,│β│<2.证法二:(Ⅰ)根据韦达定理│b│=│αβ│<4.因为二次函数f(x)=x2+ax+b开口向上,│α│<2,│β│<2.故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0,2a>-(4+b);4-2a+b>0,2a<4+b.∴2│a│<4+b.(Ⅱ)由2│a│<4+b得4+2a+b>0即22+2a+b>0,f(2)>0. ①及4-2a+b>0即(-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0. ②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外.若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾.若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾.综上所述α,β均落在(-2,2)内.∴│α│<2,│β│<2.。

1999高考数学试题及答案

1999高考数学试题及答案

1999高考数学试题及答案1999年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一、选择题(每小题5分,共60分)1. 已知集合A={x|x=2n,n∈Z},B={x|x=2n+1,n∈Z},则A∩B=()A. {x|x=2n,n∈Z}B. {x|x=2n+1,n∈Z}C. ∅D. R答案:C2. 已知函数f(x)=x^2+2x+3,g(x)=x^2+3x+3,则f[g(x)]等于()A. x^2+5x+9B. x^2+5x+12C. x^2+7x+12D. x^2+7x+15答案:C3. 已知向量a=(1,2),b=(2,3),则|a+b|等于()A. 3B. 3√2C. √10D. 5答案:C4. 已知函数f(x)=x^3-3x,x∈R,则f(x)的单调递增区间为()A. (-∞,-1)∪(1,+∞)B. (-∞,1)∪(1,+∞)C. (-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A5. 已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=(√2/2)x,则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. 3答案:B6. 已知函数f(x)=x^3+1,x∈R,则f(1)+f(-1)+f(0)的值为()A. 1B. 3C. -1D. -37. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a5=10,a2+a4=6,则S5的值为()A. 20B. 15C. 10D. 5答案:B8. 已知函数f(x)=x^2-4x+m,x∈R,若对于任意x∈[2,3],f(x)>0恒成立,则实数m的取值范围为()A. m>-2B. m>-1C. m>0D. m>1答案:D9. 已知抛物线C:y^2=4x的焦点为F,点P在抛物线上,若|PF|=2,则点P的坐标为()A. (1,2)B. (1,-2)C. (2,4)D. (2,-4)答案:A10. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+1,若f'(x)=3x^2+2ax+b,且f'(1)=0,f'(-1)=0,则a+b的值为()A. -4B. -2C. 0D. 2答案:C11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a4=16,则S3的值为()A. 7B. 8C. 15D. 31答案:A12. 已知直线l:y=kx+1与圆C:x^2+y^2=4相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则k的值为()A. 1B. -1C. 0D. ±1答案:D二、填空题(每小题4分,共24分)13. 已知函数f(x)=x^2-4x+3,x∈R,若f(x)=0的根为x1,x2,则|x1-x2|=______。

1998年全国高考数学试题及答案解析

1998年全国高考数学试题及答案解析

第 1 页 共 10 页 1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合M={x │0≤x<2},集合N={x │x 2-2x-3<0},集合M ∩N 为
(A){x │0≤x<1} (B){x │0≤x<2}
(C){x │0≤x ≤1} (D){x │0≤x ≤2}
[Key] B
(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为
32
)(23
)(6)(3)(D C B A ---
[Key] B
(3)函数
)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是
[Key] A
(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是
32)D (2)C (31
arccos )B (33
arccos )A (ππ
[Key] C
(5)函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是
ππππ
4)D (2)C ()B (2)A (
[Key] B。

1998年试题 全国高考试题(高考数学试卷)

1998年试题 全国高考试题(高考数学试卷)

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、 选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合M={x │0≤x<2},集合N={x │x 2-2x-3<0},集合M ∩N 为(A){x │0≤x<1} (B){x │0≤x<2}(C){x │0≤x ≤1} (D){x │0≤x ≤2}[Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等,且AB=AC=3,BC=2,则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos )B (33arccos )A (ππ[Key] C(5)函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位(C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y t x (t 是参数,t ≠0),它的普通方程是11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x x y D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x(B) 14)3(9)2(22=-+-y x (C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数;偶函数g(x)在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b);③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a),其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④[Key] C(14)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有(A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49,常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。

2000年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2000年高考.全国卷.理科数学试题及答案

2000 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷 1 至2 页。

第II 卷 3 至9 页。

共150 分。

考试时间120 分钟。

第I 卷(选择题共60 分)注意事项:1.答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答,不能答在试题卷上。

3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式:三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式其中c′、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线其中S′、S 分别表示上、下底面积,h 表示高一、选择题:本大题共12 分,每小题5 分,共60 分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N,映射f:A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素,则在映射f 下,象20 的原象是()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(2)在复平面内,把复数对应的向量按顺时针方向旋,所得向量对应的复数是(A)(B)(C)(D)(3)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是(A)(B)(C)6(4)已知sinα>sinβ,那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角,则cosα>cosβ(B)若α、β是第二象限角,则tgα>tgβ(C)若α、β是第三象限角,则cosα>cosβ(D)若α、β是第四象限角,则tgα>tgβ(5)函数y=-xcosx 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800 元的部分不必纳税,超过800 元的部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分希累进计算。

全月应纳税所得额税率不超过500 元的部分5%超过500 元至2000 元的部分10%超过2000 元至5000 元的部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78 元,则他的当月工资、薪金所得介于(A)800~900 元(B)900~1200 元(C)1200~1500 元(D)1500~2800 元(7)若,则(A)R<P<Q (B)P<Q<R (C)Q<P<R (D)P<R<Q (8)以极坐标中的点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程是(A)(B)(C)(D)(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(A)(B)(C)(D)(10)过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是(A)(B)(D)(11)过抛物线(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P、Q 两点,若线段PF 与FQ 的长分别是p、q,则等于(A)2a (B)(C)4a (D)(12)如图,OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为(A)(B)(C)(D)第II 卷(非选择题共90 分)注意事项:1.第II 卷共7 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年高考数学试题及答案(全国理)1999年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷第1至 2页。

第II 卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题共60分)注意事项1. 答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。

2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。

3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式:三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长 台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高一、 选择题:本大题共14小题;第(1)—(10)题每小题4分,第(11) —(14)题每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 如图,I 是全集,M 、P 、S 是I3个子集,则阴影部分所表示的集合是 (A )(M ∩P )∩S (B )(M ∩P )∪S(C )(M ∩P )∩S (D )(M ∩P )∪S(2) 已知映射f :B A →,其中,集合{,2,3---=A都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ,则集合B 中元素的个数是(A )4 (B )5 (C )6 (D )7 (3)若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ,则()b g 等于(A )a (B )1-a (C )b (D )1-b (4)函数()()()0sin >+=ωϕωx M x f 在区间[]b a ,上是增函数,且()(),,M b f M x f =-=则函数()()ϕω+=x M x g cos 在[]b a ,上(A )是增函数 (B )是减函数(C )可以取得最大值M (D )可以取得最小值M - (5)若()x x f sin 是周期为π的奇函数,则()x f 可以是(A )x sin (B )x cos (C )x 2sin (D )x 2cos(6)在极坐标系中,曲线⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 4πθρ关于(A )直线3πθ=轴对称 (B )直线πθ65=轴对称 (C )点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π中心对称 (D )极点中心对称(7)若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中,量得水面的高度为cm 6, 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(A )cm 36 (B )cm 6 (C )cm 3182 (D )cm 3123(8)若(),323322104x a x a x a a x +++=+则()()2312420a a a a a +-++的值为(A )1 (B )1- (C )0 (D )2 (9)直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为(A )6π (B )4π (C )3π (D )2π (10)如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF ∥AB ,EF 23=,EF 与面AC 的距离为2,则该多面体的体积为(A )29(B )5 (C )6 (D )215 (11)若,22sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->>παπαααctg tg 则∈α(A )⎪⎭⎫ ⎝⎛--4,2ππ (B )⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,4π (C ) ⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π (D )⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ(12)如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R ,中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=(A )10 (B )15 (C )20 (D )25(13)已知两点,45,4,45,1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛N M 给出下列曲线方程:①0124=-+y x ②322=+y x ③1222=+y x ④1222=-y x 在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是(A )①③ (B )②④ (C )①②③ (D )②③④(14)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元 的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒, 则不同的选购方式共有(A )5种 (B )6种 (C )7种 (D )8种1999年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理工农医类) 第II 卷(非选择题共90分)注意事项:1. 第II 卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。

2000年高考试题—数学理(全国卷)

2000年高考试题—数学理(全国卷)

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设集合A 和B 都是自然数集合N ,映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2,则在映射f 下,象20的原象是 ( ) A .2B .3C . 4D . 52. 在复平面内,把复数i 33−对应的向量按顺时针方向旋转3π,所得向量对应的复数是( )A .23B .i 32−C .i 33−D .3i 3+3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6,这个长方体对角线的长是 ( ) A .23B .32C . 6D .64. 已知βαsin sin >,那么下列命题成立的是 ( )A .若α、β是第一象限角,则βαcos cos >B .若α、β是第二象限角,则βαtg tg >C . 若α、β是第三象限角,则βαcos cos >D . 若α、β是第四象限角,则βαtg tg > 5. 函数x x y cos −=的部分图像是 ( )6.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算:全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分15% ……某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A .800~900元B .900~1200元C . 1200~1500元D . 1500~2800元7. 若1>>b a ,P =b a lg lg ⋅,Q =()b a lg lg 21+,R =⎪⎭⎫⎝⎛+2lg b a ,则 ( )A .R <P <QB .P <Q <RC . Q <P <RD . P <R <Q8. 以极坐标系中的点()1 , 1为圆心,1为半径的圆的方程是( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛−=4cos 2πθρB .⎪⎭⎫ ⎝⎛−=4sin 2πθρC . ()1cos 2−=θρD . ()1sin 2−=θρ9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )A .ππ221+ B .ππ441+ C .ππ21+ D .ππ241+ 10. 过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( )A .x y 3=B .x y 3−=C . x y 33=D . x y 33−= 11. 过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ,则qp 11+等于 ( ) A .a 2B .a21C . a 4D .a4 12. 如图,OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为( )A .321arccosB .21arccosC . 21arccos D . 421arccos第II 卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线.13. 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛.3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员选2名安排在第二、四位置,那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14. 椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P横坐标的取值范围是________15. 设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+−+++n n n n a a na a n (n =1,2,3,…),则它的通项公式是n a =_______16. 如图,E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心,则四边形E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是_______.(要求:把可能的图的序号都.填上)三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知函数1cos sin 23cos 212++=x x x y ,R ∈x . (I) 当函数y 取得最大值时,求自变量x 的集合;(II) 该函数的图像可由()R ∈=x x y sin 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 18. (本小题满分12分)如图,已知平行六面体ABCD -1111D C B A 的底面ABCD 是菱形,且CB C 1∠=CD C 1∠=BCD ∠= 60. (I) 证明:C C 1⊥BD ; (II) 假定CD =2,1CC =23,记面BD C 1为α,面CBD 为β,求二面角 βα−−BD 的平面角的余弦值; (III) 当1CC CD的值为多少时,能使⊥C A 1平面BD C 1?请给出证明. 19. (本小题满分12分)设函数()ax x x f −+=12,其中0>a .(I) 解不等式()1≤x f ;(II) 求a 的取值范围,使函数()x f 在区间[)+∞,0上是单调函数.C 1CDABD 1B 1A 120. (本小题满分12分)(I) 已知数列{}n c ,其中n n n c 32+=,且数列{}n n pc c −+1为等比数列,求常数p ;(II) 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列,n n n b a c +=,证明数列{}n c 不是等比数列.21. (本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示. (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ;写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ;(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿收益最大?(注:市场售价和种植成本的单位:元/210kg ,时间单位:天) 22. (本小题满分14分)如图,已知梯形ABCD 中CD AB 2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点.当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围.2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分.(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B(8)C (9)A (10)C (11)C (12)D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.(13)252 (14)-5353<<x (15)n1(16)②③三.解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质,考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.满分12分.解:(Ⅰ) y =21cos 2x +23sin x cos x +1=41(2cos 2x -1)+41+43(2sin x cos x )+1=41cos2x +43sin2x +45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x +6π)+45 ——6分 y 取得最大值必须且只需2x +6π=2π+2kπ,k ∈Z , 即 x =6π+kπ,k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时,自变量x 的集合为 {x |x =6π+kπ,k ∈Z } ——8分 (Ⅱ)将函数y =sin x 依次进行如下变换: (i)把函数y =sin x 的图像向左平移6π,得到函数y =sin(x +6π)的图像; (ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到函数y =sin(2x +6π)的图像;(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到函数y =21sin(2x+6π)的图像; (iv)把得到的图像向上平移45个单位长度,得到函数y =21sin(2x +6π)+45的图像;综上得到函数y =21cos 2x +23sin x cos x +1的图像. ——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系,逻辑推理能力,满分12分. (Ⅰ)证明:连结A 1C 1、AC 、AC 和BD 交于O ,连结C 1O . ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AC ⊥BD ,BD =CD .又∵∠BCC 1=∠DCC 1,C 1C= C 1C , ∴ △C 1BC ≌△C 1DC ∴ C 1B =C 1D , ∵ DO =OB∴ C 1O ⊥BD , ——2分 但AC ⊥BD ,AC∩C 1O =O , ∴ BD ⊥平面AC 1, 又C 1C ⊂平面AC 1∴ C 1C ⊥BD . ——4分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AC ⊥BD ,C 1O ⊥BD , ∴ ∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角.在△C 1BC 中,BC =2,C 1C=23,∠BCC 1=60º, ∴ C 1B 2=22+(23)2-2×2×23×cos60º=413 ——6分∵ ∠OCB=30º, ∴ OB=21BC=1. ∴C 1O 2= C 1B 2-OB 2=491413=−, ∴ C 1O =23即C 1O = C 1C . 作 C 1H ⊥OC ,垂足为H .OHGC 1CDA BD 1B 1A 1∴ 点H 是OC 的中点,且OH =23, 所以cos ∠C 1OC=O C OH 1=33. ——8分 (Ⅲ)当1CC CD=1时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 证明一: ∵1CC CD=1, ∴ BC =CD = C 1C ,又∠BCD=∠C 1CB=∠C 1CD , 由此可推得BD = C 1B = C 1D .∴ 三棱锥C -C 1BD 是正三棱锥. ——10分 设A 1C 与C 1O 相交于G .∵ A 1 C 1∥AC ,且A 1 C 1∶OC =2∶1, ∴ C 1G ∶GO =2∶1.又C 1O 是正三角形C 1BD 的BD 边上的高和中线, ∴ 点G 是正三角形C 1BD 的中心, ∴ CG ⊥平面C 1BD .即A 1C ⊥平面C 1BD . ——12分 证明二:由(Ⅰ)知,BD ⊥平面AC 1,∵ A 1 C 平面AC 1,∴BD ⊥A 1 C . ——10分 当1CC CD=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形, 同BD ⊥A 1 C 的证法可得BC 1⊥A 1C , 又BD ⊥BC 1=B ,∴ A 1C ⊥平面C 1BD . ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识,分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.满分12分.OHGC 1CDA BD 1B 1A 1解:(Ⅰ)不等式f (x ) ≤1即12+x ≤1+ax ,由此得1≤1+ax ,即ax ≥0,其中常数a >0. 所以,原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+−≥.02)1(,02a x a x ——3分 所以,当0<a <1时,所给不等式的解集为{x |0212a ax −≤≤}; 当a ≥1时,所给不等式的解集为{x |x ≥0}. ——6分 (Ⅱ)在区间[0,+∞]上任取x 1、x 2,使得x 1<x 2. f (x 1)-f (x 2)=121+x -122+x -a (x 1-x 2)=1122212221+++−x x x x -a (x 1-x 2)=(x 1-x 2)(11222121++++x x x x -a ). ——8分(ⅰ)当a ≥1时 ∵11222121++++x x x x <1∴11222121++++x x x x -a <0,又x 1-x 2<0, ∴ f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2).所以,当a ≥1时,函数f (x )在区间),0[+∞上是单调递减函数. ——10分 (ii)当0<a <1时,在区间),0[+∞上存在两点x 1=0,x 2=212a a−,满足f (x 1)=1,f (x 2)=1,即f (x 1)=f (x 2),所以函数f (x )在区间),0[+∞上不是单调函数.综上,当且仅当a ≥1时,函数f (x )在区间),0[+∞上是单调函数. ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力,满分12分. 解:(Ⅰ)因为{c n +1-pc n }是等比数列,故有 (c n +1-pc n )2=( c n +2-pc n+1)(c n -pc n -1), 将c n =2n +3n 代入上式,得 [2n +1+3n +1-p (2n +3n )]2=[2n +2+3n +2-p (2n +1+3n +1)]·[2n +3n -p (2n -1+3n -1)], ——3分 即[(2-p )2n +(3-p )3n ]2=[(2-p )2n+1+(3-p )3n+1][ (2-p )2n -1+(3-p )3n -1], 整理得61(2-p )(3-p )·2n ·3n =0, 解得p =2或p =3. ——6分 (Ⅱ)设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ,p ≠q ,c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上,22c =(a 1p +b 1q)2=21a p 2+21b q 2+2a 1b 1pq , c 1·c 3=(a 1+b 1)(a 1 p 2+b 1q 2)= 21a p 2+21b q 2+a 1b 1(p 2+q 2). 由于p ≠q ,p 2+q 2>2pq ,又a 1、b 1不为零,因此≠22c c 1·c 3,故{c n }不是等比数列. ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力,满分12分.解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f (t )=⎩⎨⎧≤<−≤≤−;300200,3002,2000300t t t t ,——2分由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g (t )=2001(t -150)2+100,0≤t ≤300. ——4分 (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t ),则由题意得 h (t )=f (t )-g (t )即h (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<−+−≤≤++−300200210252720012000217521200122t t t t t t ,, ——6分 当0≤t ≤200时,配方整理得h (t )=-2001(t -50)2+100, 所以,当t =50时,h (t )取得区间[0,200]上的最大值100;当200<t ≤300时,配方整理得h (t )=-2001(t -350)2+100 所以,当t =300时,h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5. ——10分 综上,由100>87.5可知,h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t =50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大. ——12分(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力,满分14分.解:如图,以AB 的垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系xoy ,则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ,且以A 、B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于x 轴对称. ——2分依题意,记A (-c ,0),C (h c ,h ),E (x 0, y 0),其中c=21|AB |为双曲线的半焦距,h 是梯形的高.由定比分点坐标公式得 x 0=λλ++−12c c = )1(2)2(+−λλc , λλ+=10h y . 设双曲线的方程为12222=−by a x ,则离心率a c e =. 由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得14222=−bh e , ① 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+−⎪⎭⎫ ⎝⎛+−b h e λλλλ. ② ——7分 由①式得 14222−=e b h , ③将③式代入②式,整理得()λλ214442+=−e ,故 2312+−=e λ.——10分 由题设4332≤≤λ得,43231322≤+−≤e . 解得107≤≤e . 所以双曲线的离心率的取值范围为]107[,. ——14分。

2000年高考数学 理工农医类、全国卷 真题

2000年高考数学 理工农医类、全国卷 真题

2000年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷(选择题 60分)一、选择题:本大题共12小题;第每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ,映射f:A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n +n ,则在映射f 下,象20的原象是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5(2)在复平面内,把复数i 33-对应的向量按顺时针方向旋转3π,所得向量对应的复数是( )(A)23 (B)i 32- (C)i 33-(D)i 33+(3)一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2, 3, 6,这个长方体 对角线的长是( )(A)23 (B)32 (C)6 (D)6(4)已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( ) (A)若α、β是第一象限角,则cos α>cos β (B)若α、β是第二象限角,则tg α>tg β (C)若α、β是第三象限角,则cos α>cos β (D)若α、β是第四象限角,则tg α>tg β (5)函数y=-x cos x 的部分图象是( )(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额。

此项税 款按下表分段累进计算:<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15% … …某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于( ) (A )800~900元 (B)900~1200元 (C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1,)2lg(),lg (lg 21,lg lg b a R Q P +=+=⋅=βαβα,则( )(A)R<P<Q (B)P<Q< R (C)Q< P<R (D)P< R<Q (8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 ( )(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比 是( )(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( )(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于()(A)2a (B) (C)4a (D)(12)如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线与轴的夹角为()第II卷(非选择题 90分)二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。

成人高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

成人高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

2 . 答卷前将密封线内的项 目 填写清楚.
二 、 空题 : 大题 共 4小 题 。 填 本 每小题 4 分, 1 共 6分 答 案填在 题 中横 线 上 . 巴
D. 0
1. 2已知一个等差数列 的第 5 项等于 1 , 0 前3 项的和等于 3那么这个等差数列的公差 ,
为( )
2 .本小 题满 分 1 ) 2( 2分
1. 5在正方体 A C - 。 D 中 , BDA C 1 A c所
在直线与 B C 所在直线所成角的大小是( )
A. 0 3。 B.5。 4
在 A B 中 B A C =8、 6 ,= 5 , / B 4。
C 6。 , ACB . =0 求 ,C 2 .本小 题满 分 1 ) 3( 2分 已知数 列{ ) 0 2 n: %. % 中,l ,+ : a
成 人高等学校 招生全国统一考试 数学( 理工农医类)
本 试 卷分 第 1 ( 择 题 ) 第 Ⅱ卷 ( 卷 选 和 非 选 择 题 ) 部分 . 两 第 1卷( 择题 , 8 选 共 5分 ) 注意 事项 : f 条 件
5设 甲 :=" , . I T

乙 :i = s xl n
A. 3 C. 一l B. 1 D. 一3
1. 圆 +2 5 8 过 ) 2 上一点 ( , 作该 圆 , = 一4 3) 的切 线 , 此切 线 方程 为 则 .
1. 9 各条棱长都为 2的正 四棱锥的体积


— —
1. y、 T的定义域是( ) 3函数 = /
则( )
A 甲是乙的必要条件 , . 但不是 乙的充分
B 甲是 乙 的充分 条 件 , 不 是 乙的必 要 . 但 1 第 1卷 前 , 生 须 将 姓 名 、 考 证 f . 答 考 准 条件 号、 考试 科 目用铅 笔涂 写在 答题 卡上 . 1 c 甲不 是 乙的 充分 条件 , 不 是 乙 的必 . 也 2每 小 题 选 出答 案 后 , 铅 笔把 答 题 卡 . 用 要条 件 上 对应 题 目的答 案标 号 涂 黑 ,如需 改 动 , 用 D甲是 乙的充分 必要 条件 . 橡皮擦干净后 , 再选 涂其他答 案 , 能答 在 不 6下列 函数 中 , . 为奇 函数 的是 ( ) 试 卷上 . I 3考 试 结 束 , 本 试 卷 和 答 题 卡 一并 交 J . 将

1990年高考全国卷数学试题及答案

1990年高考全国卷数学试题及答案

1990年高考试题(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内。

【】【】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4【】(5)【】【】(A){-2,4}(B){-2,0,4}(C){-2,0,2,4}(D){—4,-2,0,4}(7)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称,那么【】(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6【】(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【】(B){(2,3)}(C)(2,3)(D){(x,y)│y=x+1}【】(11)如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于【】(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a-b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a-1│<h且│b-1│<h。

那么【】(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻),那么不同的排法共有【】(A)24种(B)60种(C)90种(D)120种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有【】(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C。

又设图象C'与C关于原点对称,那么C'所对应的函数是【】(A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x—2)(C)y=—arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上。

数列在高中的应用

数列在高中的应用

数列在高考中的应用数列在历年高考试卷中占有相当的比重,1990年至2001年普通高校全国统一招生考试中,它在各年两就最近10年平均计算,数列在文史类试卷中比分占13%左右,在理工农医类试卷中占11%左右(其中前4年试卷满分为120分,后8年试卷满分为150)。

1998年或以后的高考对数列的考查有逐步加强的趋势,由此可知,本章是高中代数中的重要一章。

而分析近几年的高考试卷中有关数列的试题,我们可以从中发现如下一些带有规律性的东西:⑴等差、等比数列的基本知识(定义、通项公式、前n 项和公式)是必考内容,每份试卷都有这方面的试题,有的试卷这方面的比例还相当大。

这类题即有选择题、填空题,也有解答题,难度即有容易题、中等题,也有难题,对于这一点应给予足够的重视。

数列中,从n a 到n s ,从n s 到n a ,从n a 与n s 的关系式到n a 或n s 等,都是数的基本问题,也是高考的热门问题。

⑵数列极限也几乎是每一份试卷中都有,它多跟在数列后面,这要求我们对数列的掌握更应该得心应手,这样才能求解这一类综合性问题。

复习时,应从数列的特征、通项公式、前n 项和公式及其关等深入理解和掌握。

些外,在等差数列{}n a 中,若项数r q p ,,成等差数,q a 是r p a a ,的等差中项,若项数q p n m ,,,满足q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+。

在等比数列{}n a 中,若项数r q p ,,成等比数,则q a 是r p a a ,的等比中项,若项数q p n m ,,,满足q p n m +=+,则q p n m a a a a ⋅=⋅ ,总之,对等差数列,等比数列内在规律越熟悉,解决有关等差数列,等比数列问题的能力就越强。

数列的通项与前n 项的和有密切关系,当给出数列的前n 项和公式,要求其通项公式对,不能只由1--=n n n s s a 来决定,必须满足()()⎩⎨⎧≥-===-21111n s s a n s a n n n ,数列的求和是数列有关知识的具体应用。

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1999年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理工农医类)
一、选择题:本大题共14小题;第(1)--(10)题每小题4分,第(11)--(14)题每小
题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、如图,I 是全集,M 、P 、S 是I 的3个子集,则阴影部分所
表示的集合是________.
2、已知映射f : A B ,其中A = { –3 , –2 , –1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中 元素在映射f 下的象,且对任意的 a ∈ A ,在B 中和它对应的元素是 | a |,则集合B 中元素的个数是_______.
(A ) 4 (B )5 (C )6 (D )7
3、若函数 y = f (x )的反函数是y = g (x ) ,f (a) = b, ab ≠ 0, 则g (b) 等于_______. (A ) a (B) a –1 (C) b (D) b –1
4、函数 f (x ) = Msin(ωx + ϕ) (ω>0)在区间 [a, b ]上是增函数,且f (a) = –M ,f (b) = M, 则函 数g (x ) = Mcos(ωx + ϕ)在 [a, b ]上________.
(A )是增函数 (B )是减函数 (C )可以取得最大值M (D )可以取得最小值–M 5、若f (x )sin x 是周期为 π 的奇函数,则f (x )可以是______.
(A) sin x (B) cos x (C) sin2x (D) cos2x 6、在极坐标系中,曲线 ρ = 4sin(θ – 1
3
π)关于_______.
(A )直线θ = 13 π 轴对称 (B )直线θ = 5
6 π 轴对称
(C )点(2, 1
3
π)中心对称 (D )极点中心对称
7、若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器皿中,量得水面的高度为6cm . 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是 (A) 6 3 cm (B) 6 cm (C) 2
3
18 cm (D) 3
312 cm
8、若 (2x + 3 ) 4 = a 0 + a 1x + a 2x 2 + a 3x 3 + a 4x 4,则(a 0 + a 2 + a 4)2 – (a 1 + a 3)2的值为_______. (A) 1 (B) –1 (C) 0 (D) 2 9、直线 3 x + y – 2 3 = 0截圆 x 2 + y 2 = 4得的劣弧所对的圆心角为_______.
10. 如图,在多面体ABCDEF 中,已知面ABCD 是边长为3 的正方形,EF//AB ,EF= 3
2 ,EF 与 面AC 的距离为2,则
该多面体的体积为________.
S
P)(M (D) S P)(M (C)S P)(M (B) S P)(M (A) I
M
P
S
2
π
(D) 3π (C) 4π (B) 6π (A) E F
C
B
A
D
(A) 92 (B) 5 (C) 6 (D) 152
11. 若 sin α > tg α > ctg α , , 则α∈⎽⎽⎽⎽⎽⎽
12. 如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R, 中截面把圆台分为上、下两个圆台,它们的侧面积的比为1:2,那么R=______.
(A )10 (B )15 (C )20 (D )25 13. 已知两点M(1, 54 )、N(– 4, – 5
4
)给出下列曲线方程:
(1) 4x + 2y –1 = 0 (2) x 2 + y 2 = 3 (3) 12 x 2 + y 2 = 1 (4) 1
2x 2 – y 2 = 1
在曲线上存在P 满足| MP | = | NP | 的所有曲线方程是________.
(A) (1) (3) (B) (2) (4) (C) (1) (2) (3) (D) (2) (3) (4)
14. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘. 根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有______. (A) 5种 (B) 6种 (C) 7 种 (D) 8种
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一九九九年普通高等学校招生全国统一考试数学答题卷
高______班 姓名:____________ 学号:____________ 成绩:____________
2
π
α2π
<<- )2
π
,4π(
)D ( )4
π,0( )C ( )0 ,4
π( )B ( )4
π,2π( )A (-
-
--
二、填空题:本大题共4小题; 每小题4分, 共16分. 把答案填在题中横线上.
15. 设椭圆 (a>b>0)的右焦点为F1,右准线为 l1 . 若过F1且垂直于 x 轴的弦
的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是_____________.
16. 在一块并排10 垄的田地中,选择2垄分别种植A 、B 两种作物,每种作物种植一垄. 为有利于作物生长,要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有_______种(用数字作答).
17. 若正数a 、b 满足 ab = a + b +3 ,则ab 的取值范围是____________________.
18. 、 是两个不同的平面,m 、n 是平面 及 之外的两条不同直线. 给出四个论断: (1) m ( n (2) ( (3) n ( (4) m ( 以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个..命题:____________.
三、解答题:本大题共6小题;共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 19. (本小题满分10分)
解不等式
20. (本小题满分12分)
设复数 z = 3 cos θ + i ⋅2sin θ. 求函数 y = θ – argz (0<θ < )的最大值及对应的θ 值
21. (本小题满分12分)
如图,已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,点E 在棱D 1D 上,截面EAC // D 1B ,且面EAC 与底 面ABCD 所成的角为45o ,AB = a . (I )
求截面EAC 的面积;
(II )求异面直线A 1B 与AC 之间的距离; (III )求三棱锥B 1-EAC 的体积.
22(本小题满分12分)
右图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干 对冷轧棍组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊 逐步减薄后输出.
(I )输入带钢的厚度为a ,输出带钢的厚度b ,若每对轧辊的减薄率不超过r 0. 问冷轧机至
少需要安装多少对轧辊? (一对轧辊减薄率=
输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度
输入该对的带钢厚度

).1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a
a
2
π
A
A 1
D 1
C 1
B 1
C
B
D
E
(II)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600cm. 若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为L k . 为便于检修,请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度
23. (本小题满分14分)
已知函数y = f (x) 的图象是自原点出发的一条折线. 当n y n +1(n = 0,1,2,⋅⋅⋅)时,该图象是斜率为b n (其中正常数b ≠1),设数列{x n}由f (x n) = n (n = 1,2,⋅⋅⋅)定义.
(I)求x1、x2和x n的表达式;
(II)求f (x) 的表达式,并写出其定义域;
(III) 证明:y = f (x)的图象与y = x的图象没有横坐标大于1的交点.
24. (本小题满分14分)
如图,给出定点A(a, 0) (a>0)和直线: x = –1 . B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C. 求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.。

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