(人教版)高中数学必修四优秀教案
完美版高中数学人教版必修四第一章详细教案教师版(新课复习都可用)
§1.1.1任意角1. 理解任意角、象限角的概念，会用集合语言表示终边相同的角；2. 通过学习，培养学生的类比思维能力、形象思维能力；3. 通过对任意角的概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识.用数.重点：任意角的概念，用集合表示终边相同的角. 难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系.通过回忆已有知识和观察日常生活中的实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.回忆初中所学的角的定义,任意角概念的学习为以后三角函数的建立做好了准备.探究1：任意角的概念 1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？(1)角可以看成是由平面内的一点出发的两条 所组成的图形.(2)角可以看成平面内的一条 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的 ，OB 叫做角的 ，射线的端点O 叫做叫做角的 . 以上两种定义方式哪一种更科学、合理?为什么?2.在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫做 __,按顺时针方向旋转所形成的角叫做 __.如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个 __.这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括 __、 __和 __. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 探究2：象限角在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与 ___重合，角的始边与_____轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是________________.如教材图1.1-4中的30︒角、210︒-角分别是第______象限角和第______象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为__________.探究3：终边相同的角将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图 1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合______________________________,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.探究4：自主完成课本P5练习.例1. 在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）分析：所有与角α终边相同的角构成的集合{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈，这里关键是确定k 的取值. 解答：例2.写出终边在y 轴上的角的集合.分析：在0360︒︒~范围内，终边在y 轴上的角有两个，与这两个角终边相同的角的集合还是可以合并的.解答：拓展：你能写出终边在x 轴上，终边坐标轴上的角的集合吗？第一、二、三、四象限角的集合呢？ 例 3.写出终边在直线y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.分析：关键是先写出集合S ，注意类比例2去做. 解答：拓展：你能写出终边在在直线y=-x 上的角的集合吗？例4.若角α是第一象限角，判断2α，2α，3α各是第几象限角.分析：由α的取值范围，来确定2α，2α，3α的取值范围，从而确定它们各是第几象限角.解答：1. 下列说法正确的有几个（）.（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角； （3）小于 90°的角是锐角；（4）0°～90°的角是锐角. A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边在 x 轴的非负半轴上，则角0885是第（ ）象限角.A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．若{}{}{}.,90;,180;,360000Z k k a C Z k k a a B Z k k a a A ∈⋅=∈⋅==∈⋅==则下列关系正确的是（ ）．Ａ．C B A ==Ｂ．C B A =Ｃ．C B A =Ｄ．C B A ⊂⊂４．若α是第四象限角，则α-0180是（）．A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 ５． 若 α 与 β 的终边互为反向延长线，则有（ ）. Ａ．0180+=βαＢ．0180-=βαＣ．βα-= Ｄ．()Zk k ∈⋅++=,180120βα６．钟表经过 4 小时，时针与分针各转了_______，________. (填度数)７．与1840°终边相同的最小正角为_______，与－1840°终边相同的最小正角是 _ .８．将下列各角表示为()0003600,360〈≤∈⋅+ααZ k k 的形式，并判断角在第几象限．（１）42560'； （２）42560'-．９．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式00720720〈≤-β的元素β写出来．（１）0210-； （２）1513420'．10.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?此时它们所成的角为多少?本节课我们主要学习了：1.任意角包括正角、负角、零角；2. 象限角与轴线角；3.终边相同的角.1. 习题1.1 A 组第1,2,3,４题．2. 结合导学案预习§1.1.2 弧度制．§1.1.2弧度制1．（1）理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算； （2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（3）理解在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.2.通过弧度制的学习,理解并认识到角度制和弧度制都是对角度量的方法, 二者是辨证统一的，不是孤立、割裂的关系．经历用类比方法学习新知识的过程，认识类比方法的重要性． ３．通过对现实生活中一些量的不同单位制的度量，引发学生学习弧度制的兴趣．重点：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点：理解弧度制定义，弧度制的运用.在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.探究1：(1)弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.把长度等于_______的_____所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号_____表示. 读作弧度．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或单位符号“rad ”可以省略不写， 如：3表示3rad ， sin π表示πrad 角的正弦．(2) 如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.角有______、______、______之分，它的弧度数也应该有正、负、零之分.一般地, 正角的弧度数是一个_______，负角的弧度数是一个_______，零角的弧度数是_______.(3) 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：___________，其中，α的正负由角α的终边的旋转方向来决定. 探究2：弧度与角度的换算360︒=_____ rad, 180︒=_____ rad, 1︒=rad rad01745.0_____≈,'1857__________1 =≈=rad特殊角的角度数与弧度数的对应值表：y xAαOB探究3：弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式(1)lR α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.你会推导吗？探究4：角的集合与实数集R 的对应关系角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了_________关系：即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应．探究５：自主完成课本P ９练习.例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:（１）精确值；（２）精确到0.001的近似值. 分析：这里主要应用1︒=rad 180π，另外注意计算器计算非特殊角的方法.解答：例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001). 分析: 这里主要应用180rad π︒=,同时注意计算器计算非特殊角的方法.解答：例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1)lR α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积.分析: 利用角度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 解答：例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小. 分析:利用计算器计算非特殊角三角函数值. 解答：1.下列各对角中终边相同的角是（ ）.A ．2π和)(22Z k k ∈+-ππ B.2π-和322 C.97π-和911πD.320π和9122π2. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）. A.rad 6πB.rad 6π-C.rad 12πD.rad 12π-3. 两个圆心角相同的扇形的面积之比为 1∶2，则两个扇形周长的比为（ ）. A.2:1 B.4:1 C.2:1 D 8:14. 下列命题中正确的命题是（）.A. 若两扇形面积的比是 1∶4，则两扇形弧长的比是 1∶2.B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值.C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值.D. 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种一一对应关系.5. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是 4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）. A.()21cos 1sin 221R ⋅- B.21cos 1sin 21R ⋅ C.221R D.()21cos 1sin 1R ⋅- 6. 若α ＝－216°， l = 7π ，则 r ＝ _______(其中扇形的圆心角为α ，弧长为l ，半径为 r ). 7. 圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 _____.8. （1）把112 30 ' 化成弧度制； （2）把125π-化成角度制.9. (1);2cos 4tan6cos6tan3tan3sin ππππππ-+ (2).0tan 4cos 3sin c b a ++ππ10. 已知扇形 A OB 的面积是 1 cm 2，它的周长是 4 cm ，则弦 A B 的长等于多少 c m ？本节课我们主要学习了：1. 弧度制的定义；2. 弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；3. 角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.1. 习题1.1 A 组第７,８,９,10题．2. 结合导学案预习§1.2.1 任意角的三角函数(一)．§1.2.1任意角的三角函数（一）1．（1）借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；. 2. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．3．让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的“发现”过程，培养合情猜测能力．重点：任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 难点：用角终边上的点刻画三角函数.任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数，正切函数，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.借助直角三角形，回忆锐角三角函数的定义.探究1：锐角三角函数思考：你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r=>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α终边上的位置的改变而改变呢？ 我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 探究2：任意角的三角函数锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？定义方法1: 利用单位圆定义任意角的三角函数如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠.定义方法2:思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么sin α=r y , cos α=r x , tan y xα=. 所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 探究3：三角函数的定义域，三角函数值在各象限的符号请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三种函数的值在各个象限的符号记忆口诀：“一全二正弦，三切四余弦”。
高中数学必修四教案最新5篇
高中数学必修四教案最新5篇高中高二数学必修四教案篇一教学目标1、掌握平面向量的数量积及其几何意义；2、掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、掌握向量垂直的条件。
教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高一上册数学必修四教案篇二教学目标1、通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2、明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示。
；3、让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性。
教学重难点教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”。
教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题。
教学过程由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
人教课标版高中数学必修四《降幂公式、半角公式》教案(1)-新版
3.1.4 降幂公式、半角公式一、教学目标 （一）核心素养通过让学生自己动手由二倍角公式的变形推导出降幂公式以及半角公式，并会运用公式进行灵活变形计算，在数学运算、逻辑推理中体会转化与化归、降元与换元的数学思想方法. （二）学习目标1．通过二倍角公式的变形推导出降幂公式，加深理解降元、三角恒等变换的基本思想方法． 2．经历二倍角变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，并明确“±”号的选取，进一步体会化归、换元的数学思想．3．能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力． （三）学习重点 1．降幂公式的推导．2．半角的正弦、余弦和正切公式以及公式的正用、逆用、变形应用． （四）学习难点1．降幂公式、半角公式与倍角公式之间的内在联系． 2．运用半角公式时正负号的选取． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）“倍角”的含义是什么？“倍角”是描述两个角之间的关系，具有相对性.例如：2α是α的倍角，4α是2α的倍角，2α是4α的倍角．（2）二倍角公式22cos 22cos 112sin ααα=-=-可以怎样进行变形？ 移项变形得到：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=若已知二倍角函数值，开根号可得到单角函数值：sin α=、cos α=若已知单角函数值，换元后可得到半角函数值：sin2α=cos 2α=2．预习自测1.下列说法中正确的个数是（ ）①当α是第一象限角时,sin 2α=②对任意角α, 21cos tan 21cos ααα-=+都成立；③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. A.0 B.2 C.1 D.3 答案：C解析：【知识点】降幂公式、半角公式概念辨析． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】当α是第一象限角时，222k k ππαπ<<+，∴24k k απππ<<+，∴2α在第一、三象限，故sin 2α=tan 2α有意义且1+cos α≠0,即：2,(21)()22k k k k Z αππαππαπ≠+≠+≠+∈且即②错；由半角公式推导过程可知③正确．点拨：明确“±”号的选取以及公式适用条件． （2）求2cos 22.5︒的值．答案：12解析：【知识点】降幂公式的运用． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21+cos 451cos 22.5=22︒︒=+． 点拨：降元化为特殊角的三角函数进行求值． （3）求sin15,cos15,tan15值．2． 解析：【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】1-cos302sin15====;1+2cos15====sin156tan15=2cos156== 点拨：利用半角公式化为特殊角的三角函数进行求值． （4）已知532x ππ<<，则sin 2x=（ ）A ．B ．CD ．答案：D ．解析：【知识点】半角公式中“±”号的选取． 【数学思想】化归思想．【解题过程】5533sin 24222x x x ππππ<<∴<<∴=，，． 点拨：明确“±”号选取的原则． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式：2S :sin 22sin cos αααα=22222C :cos 2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-222tan T :tan 21tan αααα=- （2）二倍角公式的使用条件：①公式22S C αα、中的α∈R. ②公式2T α中的()42k k k Z ππαπαπ≠+≠+∈且（3）运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是2α、4α的二倍角等等．2．问题探究 探究一 降幂公式●活动① 二倍角公式的变形思考1:如何用cos2α表示2sin α、2cos α？利用二倍角公式进行移项变形，由22cos 212sin 2cos 1ααα=-=-得：21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=思考2: 21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=这两个式子有什么共同特点？ 由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的) 我们称①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+=为降幂公式．【设计意图】教师与学生一起总结出降幂公式的特点,并告诉学生倍角公式和降幂公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明．探究二 半角公式★▲ ●活动① 半角公式的推导 思考1：⑴α与2α有什么关系?⑵如何建立cos α与2α的三角函数之间的关系？解析：α是2α的两倍角；利用降幂公式，将公式中的α用2α代替即可得cos α与2α的三角函数之间的关系．在降幂公式21cos 2sin 2αα-=、21cos 2cos 2αα+=以及ααααα2cos 12cos 1cos sin tan 222+-==中，以α代替2α以2α代替α即得：∴21cos sin =22αα-① cos 22α=1+cos 2α② 21cos tan 21cos ααα-=+③ 思考2：上面①②③式还可以怎样变形处理？ 结果还可以变形为:2sin)2αα=2cos)2αα=2tan)2αα=2T α中：(21)()k k Z απ≠+∈并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定．观察上面的①②③式，总结：用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数． 思考3：半角正切公式还有其他的表示式吗？2sin 2sincossin 222tan21cos cos 2cos 22αααααααα===+① 2sin 2sin 1cos 22tan2sin cos2sincos222αααααααα-===② 该表达式中tan2α的符号由sin α确定，避免了符号的讨论，使用起来非常方便．【设计意图】通过进一步的三角恒等变形，培养学生推导能力，同时使学生认识到新公式产生的根源．●活动② 符号的确定思考1：若给出的角α是某一象限的角时，怎么确定半角三角函数表示式前的符号？ 原则：公式相等的前提条件是左右两边符号一致，即左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号，根据下表决定符号：思考2：如果没有给出限定符号的条件，怎么办？ 在根号前保留正负两个符号．【设计意图】通过让学生自己探究发现问题的过程，明确利用半角公式求三角函数值易错的地方．探究三 降幂公式、半角公式的应用★▲ ●活动① 归纳梳理，理解提升 （1）降幂公式： ①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+= （2）半角公式：2sin)2αα= 2cos )2αα= 2tan )2αα= 2T α中：(21)()k k Z απ≠+∈sin 1cos tan=21cos sin ααααα-=+ （3）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号．【设计意图】培养学生归类整理意识，并能熟练运用这些变形公式． ●活动② 巩固基础，检查反馈例1. 若sin80°=m ,则用含m 的式子表示cos5°=________．【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】由题意得：sin80°=cos10°=m,∴cos5︒===【思路点拨】利用半角公式求值，并准确判断符号．同类训练cos x=79,且322xππ<<,则cos2x=______．答案：解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵322xππ<<,∴342xππ<<,2x是第二象限角，∴cos2x===．点拨：利用半角公式求值，并准确判断符号．例2. 求22cos18π-的值．．解析：【知识点】降幂公式的运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】22cos1=cos11cos844πππ-+-==．点拨：降幂化为特殊角的三角函数进行求值．同类训练21+2cos cos2=θθ-_________．答案：2．解析：【知识点】倍角公式的灵活运用．【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】21+2cos cos 2=1+1+cos2cos 2=2θθθθ--． 点拨：二倍角公式灵活化简．【设计意图】巩固降幂公式、半角公式，并熟练应用． ●活动③ 强化提升，灵活应用例3 已知43sin ,,52παπα=-<<求sin cos ,tan 222ααα，．【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】∵3,2ππα<<∴3,224παπ<<又∵4sin 5α=-，∴3cos 5α=-．∴sin 2α==cos = 2α==sin 2tan= 22cos2ααα=-． 【思路点拨】利用半角公式时注意符号取值．；2． 同类训练 化简：1tan+8tan12ππ．答案：1+解析：【知识点】半角公式1cos tan 2sin ααα-=的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】原式=1+cos 1-cos641sinsin46ππππ+=+=+点拨：利用半角公式1cos tan2sin ααα-=，可避免“±”的讨论． 【设计意图】巩固半角公式，注意灵活选取半角的正切公式．3．课堂总结 知识梳理 （1）降幂公式： ①21cos 2sin 2αα-=②21cos 2cos 2αα+= （2）半角公式：2sin)2αα=2cos )2αα=2tan )2αα= 2T α中： )(,)12(Z ∈+≠k k a πsin 1cos tan=21cos sin ααααα-=+ 重难点归纳（1）半角公式符号选取原则：左边的三角函数值在2α所在象限的符号就是右边的符号．（2）运用半角的正切公式sin 1cos tan =21cos sin ααααα-=+，为避免符号的选择，最好选用后面的两个公式．（三）课后作业 基础型 自主突破1．下列各式恒成立的是（ ）221cos 1cos 2A tanB cos 2sin 22tan2C tan D tan21tan 2ααααααααα-+==±=-.= .. . 答案：B ．解析：【知识点】降幂公式、半角公式以及适用条件． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】A 选项中，要求除)(,)12(Z ∈+≠k k πα外，还必须有)(,Z ∈≠k k πα；B 选项中，α可以取一切实数；C 选项中,要求)(,2Z ∈+≠k k ππα且)(,)12(Z ∈+≠k k πα；D 选项中，要求)(,)12(Z ∈+≠k k πα．点拨：明确角α的限制条件．2．设532ππα-<<- ）A ．sin 2αB ．cos2αC ．cos 2α- D ．sin2α-答案：C ．解析：【知识点】利用半角公式进行化简． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵532ππα-<<-，则35224παπ-<<-，cos 22αα=-．点拨：注意“±”的选取． 3．设56,cos ,sin24a θθπθπ<<=求．答案：． 解析：【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】若56πθπ<<，则5322πθπ<<，∴53442πθπ<<，则sin =4θ=点拨：利用半角公式．4．已知4sin 02)sin cos tan 5222αααααπ=-<<（，求、和的值．答案：见解题过程．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归、分类讨论思想．【解题过程】①当α在第三象限时，此时3cos5α=-，2α在第二象限，sin2sin cos tan2222cos2ααααα===-②当α在第四象限时，此时3cos5α=，2α在第二象限，sin12sin cos tan2222cos2ααααα===-点拨：注意对角α的范围进行分类讨论．5．利用半角公式，求sin cos1212ππ-的值．答案：．解析：【知识点】半角公式的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】sin cos1212ππ-==．点拨：利用半角公式转化为特殊角的三角函数求解．6．函数21sin2sin2y x x=+，R∈x的值域是（）A．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．1122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦答案：C．解析：【知识点】降幂公式、两角差的正弦公式逆用． 【数学思想】降元、化归思想． 【解题过程】21111sin 2sin =sin 2+(1cos 2)22)22221).42y x x x x x x x π=+-=+=-+∵R ∈x ，∴sin(2)[1,1]4x π-∈-，∴函数的值域为1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点拨：灵活利用公式进行变形化简． 能力型 师生共研74)παπ<<等于（ ） A ．sin16αB ．2sin16αC ．2cos 16αD ．cos16α答案：B ．解析：【知识点】半角公式的逆用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】=2sin2sin.1616αα===原式点拨：使根号下不含三角函数8．求22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒的值． 答案：34． 解析：【知识点】利用降幂公式、两角差的余弦公式化简．【数学思想】降元、化归思想． 【解题过程】22221cos 401cos100=cos 70cos502211[cos(7030)cos(7030)]cos(6010)cos(6010)21sin 70sin 30cos 60cos 10sin 60sin 101131cos 20(1cos 20)(1cos 20)28834-︒+︒++︒︒=+︒+︒-︒-︒+︒+︒︒-︒=-︒︒+︒︒-︒︒=-︒++︒--︒=原式 点拨：统一角、统一三角函数名称，化为特殊角的三角函数求值． 探究型 多维突破9．化简ααααα2cos 2)2cos 2)(sincos sin 1(+-++，其中(,2)αππ∈答案：cos α．解析：【知识点】三角函数式化简．【数学思想】化归思想．【解题过程】222cos (cos sin )(sin cos )222222cos 22cos (cos sin )2coscos 2222(,2),,cos0,=cos 2222cos2cos22αααααααααααπαααπππααα+-=---==∈∴<<∴<∴原式，原式点拨：式中有角α及2α，可用半角公式把α化为2α的三角函数．10．证明：(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22αααααα+--+=．【知识点】三角函数式化简． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】22[sin (1cos )][sin (1cos )]2sin cos sin 1cos 2cos 1cos tan2sin cos sin 2αααααααααααααα--+-=--+-===证明：左边 点拨：弦化切，统一三角函数名，利用半角正切公式化简． 答案：见解题过程． 自助餐1．已知α是第三象限角，且24sin 25α=-，则tan 2α等于（ ） A ．34-B ．34C ．43D ．43-【知识点】半角的正切公式． 【数学思想】化归思想．【解题过程】由α是第三象限角及24sin 25α=-知7cos 25α=-, ∴24sin 425tan =721cos 3125ααα-==-+-.【思路点拨】利用半角的正切公式，切化弦． 【答案】D ．2．等腰三角形顶角的余弦是13，则底角的正弦是_______，正切是_______．【知识点】半角公式的运用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】设底角为α，则顶角为-2πα，而1cos(-2)3πα=，即1cos 23α=-，∴sin α==，cos α==sin tan cos ααα==【思路点拨】利用半角公式求解．． 3．函数2()sin cos f x x x x =在区间42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值是（ ）A ．1 B．C ．32D．【知识点】降幂公式、辅助角公式． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】由已知得1-cos 21()2sin(2)226x f x x x π==+-，当42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，52636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，1sin(2),162x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 的最大值等于131=22+．【思路点拨】利用降幂公式、辅助角公式化简． 【答案】C ．4．已知tan 2α=-，且满足42ππα<<的值为（ ）．A ．B． C．- D．3-【知识点】二倍角公式、降幂公式的运用． 【数学思想】降元、化归思想．cos sin 1tan cos sin 1tan αααααα--=++.又∵22tan tan 21tan ααα==--22tan 0αα⇒--=，解得tan =α.又42ππα<<，∴tan α∴3=-+原式 【思路点拨】遇弦化切． 【答案】C ．5．已知sin 222cos 2αα-=，则2sin +sin 2αα= ．【知识点】倍角公式、升幂公式的运用． 【数学思想】化归思想、分类讨论思想．【解题过程】2sin 22=2cos 2,2sin cos 22(2cos 1)ααααα-∴-=-,即2sin cos 2cos ααα=,cos 0tan 2αα∴==或.① 当cos 0α=时,sin 1α=±,22sin +sin 2sin +2sin cos 101ααααα==+=;② 当tan 2α=时, 222222sin +2sin cos tan +2tan 4+48sin +sin 2sin +cos tan +14+15αααααααααα==== 【思路点拨】利用二倍角公式求解值时注意分类讨论．【答案】1或85.6．已知函数 )(,1cos 2cos sin 32)(2R ∈-+=x x x x x f（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；（2）若006()=542f x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos 2x 的值．【知识点】二倍角公式逆用，降幂公式的综合运用． 【数学思想】降元、化归思想．【解题过程】（1）由题意得：2()cos 2cos 2cos 22sin(2)6f x x x x x x x π=+-+=+∴函数()f x 的最小正周期为π．因为()2sin(2)6f x x π=+在区间06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间62ππ⎛⎤⎥⎝⎦，上为减函数，又∵(0)=1,()2,()162f f f ππ==-所以函数()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为2，最小值为－1．（2）由(1)可知00()2sin(2)6f x x π=+．又∵06()=5f x ，所以03sin(2)=65x π+，由042x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0272636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，．∴04cos(2)65x π+==-,∴0000cos 2cos[(2)]cos(2)cos +sin(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=++=【思路点拨】配凑角：002=2)66x x ππ+-（，将其化为已知角的三角函数值求解．【答案】见解题过程．。
新人教版(B)高中数学必修4三角函数的定义教案
三角函数的定义[考点透视]一、考纲指要1．理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.二、命题落点1．考查象限角的概念.如例1.2．考查三角函数化简，求值等知识.如例2.3．考查三角函数在各个象限的符号.如例3.[典例精析]例1：α为第三象限角，那么2α所在的象限是〔〕 A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈, ∴3224k k k Z παπππ+<<+∈, 可知2α在第二象限或第四象限．答案：D ．例2： tan600°的值是〔 〕A ．33-B ．33C ．3-D ．3解析:360tan 240tan 600tan 000===．答案：D ．例3：假设sinθcosθ＞0，那么θ在〔 〕A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同号.当sinθ＞0，cosθ＞0时，θ在第一象限，当sinθ＜0，cosθ＜0时，θ在第三象限，因此，选B ．答案：B ．[常见误区]1．在角的表示中注意角度值和弧度值不能在同一角的表示中使用.2．三角函数值的符号是学生解题中的易错点、易漏点.[基础演练]1．R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，那么a ＝〔 〕A ．0B ．1C ．－1D ． ±12．设M 和m 分别表示函数y=31cosx －1的最大值和最小值，那么M+m 等于〔〕 A ．32B ．－32C ．－34D ．－23．假设A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且A<B<C 〔C≠2π〕，那么以下结论中正确的是〔 〕A ．sinA<sinCB ．cotA<cotCC ．tanA<tanCD ．cosA<cosC4．在〔0，2π〕内，使sinx ＞cosx 成立的x 取值X 围为〔 〕A ．〔4π，2π〕∪〔π，45π〕B ．〔4π，π〕C ．〔4π，45π〕D ．〔4π，π〕∪〔45π，23π〕5．点P 〔tanα，cosα〕在第三象限，那么角α的终边在第 象限.6．在△ABC 中，假设最大角的正弦值是22，那么△ABC 必是 三角形.7．比较sin 52π，cos 56π，tan 57π的大小.8．sinθ＋cosθ＝51，θ∈〔0，π〕，求cotθ的值.9．:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值.。
高中数学必修4教案6篇
高中数学必修4教案6篇教学目标1、把握平面对量的数量积及其几何意义；2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、把握向量垂直的条件。
教学重难点教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高中数学必修4优秀教案篇二教学预备教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。
(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。
依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。
三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
高中数学 任意角的三角函数教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。
高一数学必修四教案优秀10篇
高一数学必修四教案优秀10篇高一数学必修四教案篇一教学准备教学目标o了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量·o通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别·o通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力· 教学重难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量·教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系·教学过程（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？课后小结1、描述向量的两个指标：模和方向·2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。
反思教学方式及能力培养篇二为了强调学生的主体性，把时间还给学生，有的教师上课便叫学生自己看书，教师指导性差、没有提示和具体要求，看得如何没有检查也没有反馈等等。
一些课堂上教师片面追求小组合作这一学习形式，对小组合作学习的目的、时机及过程没有进行认真设计。
这些学习方式，学生表面上获得了自主的权利，可实际上并没有做到真正的自主。
课堂教学是开展反思性学习的主渠道。
在课堂教学中要有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习；要引导学生自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题，从而提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
人教A版高中数学必修四 第三章《简单的三角恒等变换》教案
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求： 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 23y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用． 小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：157158P P -14T T -。
(人教版)高中数学必修四教案(可打印修改)
一般地,我们有:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构 成一个集合 S { | k 360, k Z} ,即任一与角 终边相同的角,都可以表示成 角 与整数个周角的和.
教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了 5 分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手
表快了 1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向
或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅
2.弧度制的定义 [展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角， 记作 1 rad ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写). 3.探究:如图,半径为 r 的圆的圆心与原点重合,角 的终边与 x 轴的正半轴重合,交圆于点 A ,终边与圆交于点 B .请完成表格.
弧 AB 的 OB 旋转的方 AOB 的弧度 AOB 的度
立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度
制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公
式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正
确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度
制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨
高中数学 第一章《三角函数》正弦、余弦函数的周期性教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。
人教课标版高中数学必修四《积化和差与和差化积》教案(1)-新版
3.2 简单的三角恒等变换 3.2.1 积化和差与和差化积一、教学目标 (一)核心素养通过本节的学习，让学生自己导出“积化和差”及“和差化积”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力． (二)学习目标 1．能够推导“和差化积”及“积化和差”公式；2．能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题；3．揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识．(三)学习重点 1．推导“和差化积”及“积化和差”公式；2．运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题． (四)学习难点运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题． 二、教学设计 (一)课前设计 1．预习任务(1)强化巩固前一节所学的三角公式，并填空： 两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()αβ+= sin cos cos sin αβαβ+； sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- cos()αβ+= cos cos sin sin αβαβ-； cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-；tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+；二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin cos αα；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=-；tan 2α=22tan 1tan αα- (2)阅读教材P140例2，熟悉公式的推导，并填空：sin cos αβ=[]1sin()sin()2αβαβ++-； sin sin θϕ+=2sincos 22θϕθϕ+- 2．预习自测(1)下列等式错误的是（ ）A ．sin()sin()2sin cos AB A B A B ++-=B ．sin()sin()2cos sin A B A B A B +--=C ．cos()cos()2cos cos A B A B A B ++-=D ．cos()cos()2sin cos A B A B A B +--= 【知识点】两角和与差的正、余弦公式【解题过程】由两角和与差的正、余弦公式展开左边即可【思路点拨】cos(A +B )=cos A cos B －sin A cos B ,cos(A －B )=cos A cos B ＋sin A cos B , sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,sin(A -B )=sin A cos B -cos A sin B ．A 项正确，B 项正确，C 项正确．D 项，cos(A +B )－cos(A －B )=cos A cos B －sin A cos B-(cos A cos B ＋sin A cos B )=－2sin A cos B ． 【答案】D(2)根据预习所学，尝试证明：Ⅰ．cos sin αβ=[]1sin()sin()2αβαβ+--； Ⅱ．sin sin θϕ-=2cos sin22θϕθϕ+-． 【知识点】积化和差、和差化积公式推导 【数学思想】类比思想、方程思想、换元思想 【解题过程】Ⅰ．∵sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+；①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-；②将①-②得：sin()sin()2cos sin αβαβαβ+--= ∴cos sin αβ=[]1sin()sin()2αβαβ+--Ⅱ．由第一问的结论，sin()sin()2cos sin αβαβαβ+--= 设αβθ+=，αβϕ-=，则2θϕα+=，2θϕβ-=∴sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=【思路点拨】类比例2，用解方程的思想表示cos sin αβ，用换元的思想表示sin sin θϕ-． 【答案】见解题过程 (3)sin15sin 75︒︒=（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【知识点】积化和差【数学思想】化归思想，将非特殊角化为特殊角 【解题过程】[]1sin15sin 75cos(1575)cos(1575)2︒︒=-︒+︒-︒-︒[]11cos90cos 6024=-︒-︒= 【思路点拨】正确使用积化和差公式即可得解 【答案】B(4)函数sin()sin ,0,32y x x x ππ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦的值域是（ ）A ．[]2,2-B ．12⎡-⎢⎣C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．12⎡⎢⎣【知识点】和差化积【数学思想】化归思想，统一角度【解题过程】sin()sin =2cos()sin cos()3666y x x x x ππππ=+-+=+∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴2+,663x πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴12y ⎡∈-⎢⎣ 【思路点拨】正确使用和差化积公式即可得解 【答案】B (二)课堂设计 1．知识回顾(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()αβ+= sin cos cos sin αβαβ+； sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-cos()αβ+= cos cos sin sin αβαβ-； cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-；tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+；(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α=2sin cos αα；cos 2α=2222cos sin 2cos 112sin αααα-=-=-；tan 2α=22tan 1tan αα-(3)半角公式sin2α=cos 2α=tan 2α= 2．问题探究探究一 推导“和差化积”及“积化和差”公式 ●活动① 运用解方程的思想，推导积化和差公式[]1sin()sin()2sin cos sin cos sin()sin()2αβαβαβαβαβαβ++-=⇒=++- []1sin()sin()2cos sin cos sin sin()sin()2αβαβαβαβαβαβ+--=⇒=+--[]1cos()cos()2cos cos cos cos cos()cos()2αβαβαβαβαβαβ++-=⇒=++-[]1cos()cos()2sin sin sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβ+--=-⇒=-+--这组公式有何特点？应注意些什么？这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，它的优点在于将“积式”化为“和差”，且实现了“降次”，有利于简化计算．【设计意图】用解方程的思想，由已有知识自然过渡引出新知识，便于学生接受． 例1 求125cos12sinππ的值 【知识点】积化和差公式应用【解题过程】515511sincossin()sin()sin sin()12122121212122232ππππππππ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【思路点拨】直接运用公式将角转换为特殊角即可．【答案】12同类训练：求125sin12sinππ的值【知识点】积化和差公式应用 【解题过程】515511sinsincos()cos()cos cos()12122121212122234ππππππππ⎡⎤⎡⎤=-+--=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 【思路点拨】直接运用公式将角转换为特殊角即可． 【答案】14●活动② 运用换元的思想，推导和差化积公式 在积化和差公式中，若令αβθ+=，αβϕ-=，则2θϕα+=，2θϕβ-=将其依次代入，可得什么？sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=sin sin 2cos sin22θϕθϕθϕ+--= cos cos 2cos cos22θϕθϕθϕ+-+= cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=- 观察这组公式的特点：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦之和(差)可以化为积的形式，它与积化和差公式相辅相成，配合使用．例2 已知11cos cos ,sin sin 23αβαβ-=-=-，求tan()αβ+的值【知识点】和差化积公式应用 【解题过程】∵1cos cos 2sinsin222αβαβαβ+--=-=① 1sin sin 2cossin223αβαβαβ+--==- ②又∵sin 02αβ-≠ ∴3tan 22αβ+-=- ∴3tan 22αβ+=∴22tan122tan()51tan 2αβαβαβ++==-+- 【思路点拨】由和差化积先得tan 2αβ+，再由二倍角公式得tan()αβ+【答案】125-同类训练 sin105°＋sin15°等于（ ）A ．B C D 【知识点】和差化积公式应用 【解题过程】sin105°＋sin15°＝21051510515sin cos22+-o o o o ＝2sin60°cos45°【思路点拨】由和差化积将角化为特殊角求值 【答案】C【设计意图】从正弦、余弦的和(差)角公式出发，逐步推导出积化和差、和差化积公式，再简单应用，增强学生对公式掌握的熟练度． 探究二 两组公式在三角函数变形中的应用三角函数的积化和差与和差化积，这两种互化，对于求三角函数的值、化简三角函数式及三角函数式的恒等变形，都有重要的作用，它们的作用和地位在三角函数的变形中是十分重要的．例3 求sin75°·cos15°的值 【知识点】积化和差公式应用 【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差公式解决之．[]11sin 75.cos15sin(7515)sin(7515)(sin 90sin 60)22︒︒=︒+︒+︒-︒=︒+︒=(法二)由于75°与15°互为余角，可以统一角度21cos150sin 75.cos15sin 75.sin 75sin 752-︒︒︒=︒︒=︒==(法三)由于75°与15°可以由45°与30°组合而成，所以可用和差角的三角函数公式来解决sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒+︒=︒︒+︒︒=cos15sin 75︒=︒=∴2sin 75.cos15︒︒==【思路点拨】三角函数求值或恒等变换，往往可以从不同角度考虑，进而使用不同的三角公式，获得问题的解决，可谓殊途同归，但是我们考虑问题时，一定要根据条件及结论、选择适当的方法，以求问题的解决．【设计意图】从不同角度使用不同的三角公式，都殊途同归使得问题解决，有利于锻炼学生从多角度思考问题并解决问题．同类训练 求sin37.5°cos7.5°＝________． 【知识点】积化和差公式应用 【数学思想】化归思想 【解题过程】[]11sin 37.5.cos 7.5sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30)22︒︒=︒+︒+︒-︒=︒+︒= 【思路点拨】利用积化和差公式化非特殊角为特殊角即可例4 求sin 20.sin 40.sin 60.sin 80︒︒︒︒=___________； 【知识点】积化和差公式应用 【数学思想】化归思想【解题过程】∵sin 60︒=111sin 20sin 40sin 80(cos 60cos 20).sin 80sin 80cos 20sin 80242︒︒︒=-︒-︒︒=-︒+︒︒1111sin 80(sin100sin 60)sin 80sin1004444=-︒+︒+︒=-︒+︒+=∴3sin 20.sin 40.sin 60.sin 8016︒︒︒︒=【思路点拨】利用积化和差公式化化积为和差，将非特殊角化为特殊角 【答案】316同类训练 求cos 20cos 40cos80︒︒︒的值．【知识点】积化和差公式应用 【数学思想】化归思想 【解题过程】(法一)1cos 20cos 40cos80(cos 60cos 20).cos802︒︒︒=︒+︒︒1111cos80cos 20.cos80cos80(cos100cos 60)4244=︒+︒︒=︒+︒+︒ 1111cos80cos80cos 604448=︒-︒+︒= (法二)2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos80=2sin 20︒︒︒︒︒︒︒︒2sin 40cos 40cos802sin 80cos80sin160sin 201=4sin 208sin 208sin 208sin 208︒︒︒︒︒︒︒====︒︒︒︒【思路点拨】法一利用积化和差公式化化积为和差，将非特殊角化为特殊角；法二是配凑法构造正弦二倍角公式，是化简形如cos cos 2cos 4cos 2n ααααL 、、、的三角函数式的常用办法．【答案】18例5 求sin 42cos12sin 54︒-︒+︒的值 【知识点】和差化积公式应用 【数学思想】化归思想【解题过程】sin 42cos12sin 54sin 42sin 78sin 54︒-︒+︒=︒-︒+︒2cos 60sin18sin 54sin 54sin18=-︒︒+︒=︒-︒2sin 36cos36cos 722cos36sin182cos36cos 72sin 36︒︒︒=︒︒=︒︒=︒1sin144sin 72cos 7212sin 36sin 362︒︒︒===︒︒【思路点拨】三个三角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式．由于有现成的同名角函数为sin 42,sin 54︒︒，因此考虑将这二个函数做和差化积．但本题若采用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．不妨将cos12︒转化为sin 78︒，使得能出现特殊角，问题迎刃而解． 【答案】12同类训练 求246coscos cos777πππ++的值 【知识点】和差化积公式应用【数学思想】化归思想 【解题过程】24636coscos cos =2cos cos cos777777ππππππ+++ 23333=2cos cos 2cos 12cos (cos cos )1777777ππππππ+-=+-42-4cos cos cos sin3277774cos cos cos 11777sin 7ππππππππ=-=- 4224418-2cos cos sin -cos sin sin7777727111sinsinsin777πππππππππ-=-=-=- 1sin12712sin 7ππ=-=- 【思路点拨】由于本题三个函数都是余弦，而任两角的和、差都不为特殊角，所以可任选其中的两个先作和差化积．采用同样的方法也可以对1、3两项或2、3两项先使用和差化积公式，再利用余弦的倍角进一步完成本题．【答案】12-例6 求证：333sin 3sin cos3cos cos 2ααααα+= 【知识点】积化和差与和差化积公式综合应用【解题过程】左边=22(sin 3sin )sin (cos3cos )cos αααααα+2211(cos 4cos 2)sin (cos 4cos 2)cos 22αααααα=--++22221111cos 4sin cos 2sin cos 4cos cos 2cos 2222αααααααα=-+++111cos 4cos 2cos 2cos 2(cos 41)222ααααα=+=+ 231cos 2.2cos 2cos 22ααα===右边 ∴原式得证【思路点拨】使用积化和差公式降次，同时朝着统一角度为2α的方向变形 【答案】详见解题过程 同类训练 化简sin 2sin 3sin 5sin 32sin 5sin 7A A AA A A++++【知识点】积化和差与和差化积公式综合应用 【解题过程】原式(sin sin 5)2sin 32sin 3cos 22sin 3(sin 3sin 7)2sin 52sin 5cos 22sin 5A A A A A AA A A A A A+++==+++ 2sin 3(cos 21)sin 32sin 5(cos 21)sin 5A A AA A A+==+ 【思路点拨】使用和差化积公式统一角从而使式子化简 【答案】sin 3sin 5AA3．课堂总结 知识梳理 (1)积化和差公式[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--(2)和差化积公式sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=sin sin 2cos sin22θϕθϕθϕ+--= cos cos 2cos cos22θϕθϕθϕ+-+= cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=- 重难点归纳(1)和差化积公式的左边全是同名函数的和或差，只有系数绝对值相同的同名函数的和与差才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用诱导公式化成同名函数后，再运用积化和差公式化成积的形式；(2)三角函数的恒等变换常用的规则是：化繁为简、化高为低(降次)，化复合角为单角(和差角公式)，化切割为弦，化大角为小角，和差化积，积化和差． (三)课后作业 基础型 自主突破1．sin20°·cos70°+sin10°·sin50°=_________；【知识点】积化和差公式的应用【数学思想】化归思想 【解题过程】11sin 20.cos 70sin10.sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)22︒︒+︒︒=︒-︒-︒-︒ 11111sin 50cos 4022424=-︒-+︒= 【思路点拨】运用积化和差公式将非特殊角化为特殊角，方便求值 【答案】142．cos72°－cos36°的值为（ ） A ．3－2 3 B ．12 C ．－12 D ．3＋2 3【知识点】和差化积公式的应用【数学思想】化归思想 【解题过程】原式723672362sin sin 2sin 54sin1822︒+︒︒-︒=-=-︒︒ ＝－2cos36°cos72°＝－2·sin36°cos36°cos72°sin36°＝－sin72°cos72°sin36°＝－sin144°2sin36°＝－12【思路点拨】化差为积，观察到5418︒︒、分别与3672︒︒、互余，且36,72︒︒为二倍角关系，变形方向就比较明确了．【答案】C3．若1cos()cos()3αβαβ+-=，则22cos sin αβ-等于（ ） A ．－23 B ．－13 C ．13 D ．23【知识点】积化和差公式的应用【数学思想】化归思想 【解题过程】原式1cos()cos()(cos 2cos 2)2αβαβαβ=+-=+ 22221(2cos 1)(12sin )cos sin 2αβαβ⎡⎤=-+-=-⎣⎦∴221cos sin 3αβ-= 【思路点拨】化积为差，并用二倍角公式化简得22cos sin αβ-【答案】C4．已知23παβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则cos()αβ+等于________． 【知识点】和差化积公式的应用【数学思想】化归思想 【解题过程】1cos cos 2coscos 2cos cos cos 223223αβαβπαβαβαβ+-+++==== ∴217cos()2cos 121299αβαβ++=-=⨯-=- 【思路点拨】化和为积，结合23παβ-=得cos 2αβ+，再由二倍角公式得cos()αβ+ 【答案】79- 5．函数sin()cos 6y x x π=-的最大值为（ ） A ．12 B ．14 C ．1 D ．22【知识点】积化和差辅助求三角函数的最值 【数学思想】化归思想 【解题过程】1sin()cos sin()sin()6266y x x x x x x πππ⎡⎤=-=-++--⎢⎥⎣⎦ 1111sin(2)sin(2)262264x x ππ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦ ∴max 111244y =-= 【思路点拨】化积为和，将三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式是最值的常用方法【答案】B6．求证cos 2cos sin 5sin 2cos 4cos3αααααα-=【知识点】积化和差辅助三角恒等证明【数学思想】化归思想【解题过程】左边111(cos3cos )(cos 7cos3)(cos cos 7)222αααααα=++-=+ 右边1(cos 7cos )2αα=+ ∴左边=右边 ∴原等式得证【思路点拨】积化和差统计角【答案】详见解题过程能力型 师生共研7．求cot 704cos 70︒+︒的值【知识点】三角恒等变形【数学思想】化归思想 【解题过程】原式cos 70cos 704sin 70cos 704cos 70sin 70sin 70︒︒+︒︒=+︒=︒︒ cos 702sin140sin 20sin 40sin 40sin 70sin 70︒+︒︒+︒+︒==︒︒ 2sin 30cos10sin 40sin 80sin 40sin 70sin 70︒︒+︒︒+︒==︒︒ 2sin 60cos 20sin 70︒︒==︒【思路点拨】余切函数与余弦函数共存，首先应化切为弦，接着进行通分，最后再考虑分子的化简，由于分子的三角函数的系数不同，一拆为二就是必然的了．8．求tan10sec50︒+︒的值【知识点】三角恒等变形【数学思想】化归思想 【解题过程】原式cos801cot 80csc 40sin 80sin 40︒=︒+︒=+︒︒ cos802cos 40(cos80cos 40)cos 40sin 80sin 80︒+︒︒+︒+︒==︒︒ 2cos 60.cos 20cos 40cos 20cos 40sin 80sin 80︒︒+︒︒+︒==︒︒ 2cos30cos10sin 80︒︒==︒【思路点拨】本题若只是简单直接进行切割化弦，后续处理会很棘手，很难得到正确结果，但注意到1050︒︒、分别与8040︒︒、互为余角，且8040︒︒、为二倍角关系，便于统一角度．探究型 多维突破9．22sin 20cos 50sin 20.cos50︒+︒+︒︒=__________；【知识点】二倍角公式与和差化积的综合应用【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)原式1cos 401cos100sin 20cos5022-︒+︒=++︒︒ cos100cos 4011(sin 70sin 30)22︒-︒=++︒-︒ 1131sin 70sin 30sin 70244=-︒︒+︒-= (法二)原式2(sin 20sin 40)sin 20.cos50=︒+︒-︒︒2(2sin 30cos10)sin 20.cos50=︒︒-︒︒211cos 20113cos 10(sin 70sin 30)sin 7022244+︒=︒-︒-︒=-︒+= 当然，也可以这样配方，原式2(sin 20sin 40)3sin 20.cos50=︒-︒+︒︒23(2cos30sin10)(sin 70sin 30)2=︒︒+︒-︒ 23333cos 203333sin 10sin 70sin 70242244-︒=︒+︒-=+︒-= 【思路点拨】法一：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理；法二：22,a b ab +在一起自然想到完全平方式，再进行和差化积、积化和差化角为特殊角． 【答案】3410．已知11sin sin ,cos cos 43αβαβ+=+=，求(1)cos()αβ-；(2)cos()αβ+ 【知识点】二倍角公式与和差化积的综合应用【数学思想】化归思想【解题过程】(法一)∵1sin sin 4αβ+=∴221sin 2sin sin sin 16ααββ++=………① ∵1cos cos 3αβ+= ∴221cos 2cos cos cos 9ααββ++=………②∴①+②得：263cos()288αβ-=- ②-①得：11cos 2cos 22cos()916αβαβ+++=- 即：72cos().cos()2cos()144αβαβαβ+-++= ∴[]77cos()288cos()125αβαβ+==-+ (法二)∵1sin sin 4αβ+= ∴12sin cos 224αβαβ+-=………③ ∵1cos cos 3αβ+= ∴12cos cos 223αβαβ+-=………④ ③２＋④２得：2254cos 2144αβ-=，即[]2521cos()144αβ+-= ∴263cos()288αβ-=- ③÷④得：3tan 24αβ+=∴221tan 72cos()251tan 2αβαβαβ+-+==++ 【思路点拨】求cos()αβ-利用方法一简单，求cos()αβ+利用方法二简单．一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差【答案】263cos()288αβ-=-；7cos()25αβ+= 自助餐1．求cos37.5°·cos22.5°=_________；【知识点】积化和差公式的应用【数学思想】化归思想 【解题过程】11111cos37.5.cos 22.5(cos 60cos15)cos15cos(4530)24242︒︒=︒+︒=+︒=+︒-︒= 【思路点拨】运用积化和差公式将非特殊角化为特殊角，方便求值2．在△ABC 中，若2sin sin cos 2C A B =，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形【知识点】积化和差公式的应用 【解题过程】∵[]11cos(A B)cos(A B)(1cosC)22--+=+，又A B C π+=- ∴cos(A B)cos()1cosC C π---=+ ∴cos(A B)1-=又∵A B ππ-<-< ∴0A B -=即A B = ∴△ABC 为等腰三角形【思路点拨】解三角形中常用A B C π+=-，借助诱导公式减少角的数量．【答案】B3．函数2cos()cos()33y x x ππ=++的最大值是______． 【知识点】积化和差公式的应用 【解题过程】∵21cos()cos()cos(2)cos()3323y x x x ππππ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦ 111cos 2x cos cos 22342x π⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ ∵1cos 21x -≤≤ ∴max 34y = 【思路点拨】通过积化和差，将式子变形为cos()B y A x ωϕ=++的形式便于求最值 【答案】344．化简：cos cos(120)cos(120)sin sin(120)sin(120)A B B B A A +︒++︒-+︒+-︒- 【知识点】和差化积应用于三角恒等变形 【解题过程】原式2sinsin cos 2cos120cos cos cos 22tan sin 2cos120sin sin sin 22cos sin 22A B B A A B A B A B A B B A B A B A +-+︒-+====+-+︒- 【思路点拨】和差化积统一角度 【答案】tan2A B + 5．在△ABC 中，若B ＝30°，求cos A sin C 的取值范围． 【知识点】和差化积应用于三角恒等变形 【解题过程】[][]1111cos sin sin(A C)sin(A C)sinB sin(A C)sin(A C)2242A C =+--=--=--∵1sin(A C)1-≤-≤ ∴1113sin(A C)4424-≤--≤ 【思路点拨】积化和差变形为sin(x )B y A ωϕ=++的形式方便求范围 【答案】13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．已知5sin 12(x),(0,)22sin 2x f x xπ=-+∈ (1)将(x)f 表示成cos x 的多项式；(2)求(x)f 的最小值．【知识点】和差化积应用于三角恒等变形【解题过程】(1)5513sinsin sin 2cos sin 132222(x)2cos cos 2222sin 2sin 2sin 222x x x x x x x f x x x -=-+=== 2cos 2cos 2cos cos 1x x x x =+=+- (2)219(x)2(cosx )48f =+-且1cos 1x -<< ∴1cos 4x =-时，min 9(x)8f =- 【思路点拨】使用和差化积、积化和差统一角度，转化为以cos x 为元的二次函数求最值【答案】(1)2(x)2cos cos 1f x x =+-；(2)min 9(x)8f =-。
人教版高中数学必修4-1.1《任意角》教学设计
《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计1.知识回顾本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到。
2019人教版高中数学必修4全套教案(80页)
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称： ③角的分类：
B 终边
始边
O 顶点
A
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意： ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角． 例 1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
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1.1．1 任意角
教学目标
知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合 的书写．
情感与态度目标
提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．
教学重点
例 5．写出终边在 y x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β
写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材 P2-P5； ②教材 P5 练习第 1-5 题；
（Ⅳ）
由四个图看出：
当角 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM x, MP y ,于是有
最新高中数学必修四教案 全套【5篇】
最新高中数学必修四教案全套【5篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法回忆-观察-讲解-归纳-推广.四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如教材图1.1-4中的30︒角、210︒-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.4.练习:(1)(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.(2)(回答)今天是星期三那么7()k k Z ∈天后的那一天是星期几? 7()k k Z ∈天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线OB (如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一?如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系?请结合4.(2)口答加以分析.[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果32︒-的终边是OB ,那么328,392︒︒-角的终边都是OB ,而328321360︒︒︒=-+⨯,39232(1)360︒︒︒-=-+-⨯.设{|32360,}S k k Z ββ︒︒==-+⋅∈,则328,392︒︒-角都是S 的元素,32︒-角也是S 的元素.因此,所有与32︒-角终边相同的角,连同32︒-角在内,都是集合S 的元素；反过来，集合S 的任一元素显然与32︒-角终边相同.一般地,我们有:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{|360,}S k k Z ββα︒==+⋅∈,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.6例题讲评例1. 例1在0360︒︒~范围内，找出与95012'︒－角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：0360︒︒－是指0360β︒︒≤<）例2.写出终边在y 轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α︒-≤720︒<的元素β写出来.7.练习 教材6P 第3、4、5题.注意: （1）k Z ∈；（2）α是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍.8.学习小结(1) 你知道角是如何推广的吗?(2) 象限角是如何定义的呢?(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x 轴、y 轴、直线y x =上的角的集合.五、评价设计作业：习题1.1 A 组第1,2,3题．1.1.2弧度制一、教学目标：（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来y x A αO B决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评 例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .五、作业：习题1.1 A 组第7,8,9题．1.2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、教学设想第一课时 任意角的三角函数（一）【创设情境】提问：锐角O借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP b OP r α==; cos OM a OP r α==; tan MP b OM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y,那么:(1)y叫做α的正弦(sine),记做sinα,即sin yα=；（2）x叫做α的余弦(cossine),记做cosα,即cos xα=；（3）yx 叫做α的正切(tangent),记做tanα,即tan(0)yxxα=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.例题讲评 例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-则5r ==.于是 4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：7．例题讲评例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评 例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求下列三角函数值: (1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题 五、评价1．作业：习题1.2 A 组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，Array以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y，过点P作PM x⊥轴交x轴于点M，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin|OM xα====；|||||cos|MP yα随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==cosOM xα同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==MP yαsin4.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题 9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.1.2任意角的三角函数 1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法. 二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、教学设想 【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=. 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.已知3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值.sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评 例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论． 五、评价设计 (1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.第二章 平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）ABCD结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.A(起点) B （终点）a5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例3下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（FECB,,）DO课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.。