高中数学一年级 1.1.2弧度制及换算
1.1.2 弧度制
(2)若和的终边关于y轴对称，则 ( B )
2 B. ( 2k 1) ( k Z ) C . 2 k ( k Z ) D. 2k A.
2
(k Z )
16
课堂小结
1. 什么叫1弧度角? 2. 任意角的弧度的定义.
1.2 (2)由弧长公式 L= r=10 =6 米 2
因此轮周上一点每秒所转过的弧长为6π米。
22
9、如图，扇形AOB的面积为4cm2，周长为10cm， 求扇形的中心角α及AB的长。
解：设扇形半径为r，
A
1 2 r =4 得2 , 2r+ r=10
O
1 = 或8，r=4或1 2 1 = ，r=4 =8>2 舍去 2 1 AB=2r sin =8sin 2 4
1弧度记做1rad. 在实际运算中， 常常将rad单位省略．
1rad
5
思 考：
1. 一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径 大小有关吗？
6
弧度制的性质
①半圆所对的圆心角为
r
r
.
2 r ②整圆所对的圆心角为 2 . r ③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一个负数．
8
常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少的形式，不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．
9
特殊角的弧度数
角 度 弧 度
0 30 45 60 90 120 135 150180 270 360
0
6
4
2 3 5 3 2 3 4 6
3 2 2
2019A新高中数学必修第一册：1.1.2 弧度制
4. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象 限角的集合.
解:
第三象限角:
角度表示: {b |180+k·360<b <270+k·360, kZ},
弧度表示:
{
b
|p
+
2kp
b
3p
2
+ 2kp ,
k Z }.
第四象限角:
角度表示: {b |270+k·360<b <360+k·360, kZ},
弧度表示:
{b
|
3p
2
+ 2kp
b
2p
+ 2kp ,
k Z }.
6. 一条弦的长等于半径, 这条弦所对的圆心角等
于 1 弧度吗? 为什么?
答: 不等于 1 弧度. (如图) 当且仅当 l=r 时, 圆心角
r dl
才是 1 弧度的角.
而 d=r, l>d, 则 l>r.
∴圆心角不是 1 弧度的角.
7. 把下列各角度化成弧度:
S ={b |b
=
p
4
+ kp ,
kZ}.
y
p
4
po
x
4
例4. 利用计算器比较 sin1.5 和 sin85 的大小.
解: 用计算器求得 sin1.5 ≈0.9974, sin85≈0.9962, ∴sin1.5 > sin85.
练习: (课本9页) 第 1、2 题.
练习: (课本9页)
1. 把下列角度化成弧度:
(2) S
|a
|
=
l R
,
=
12aR2;
1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算
3.圆心角的求法：
l
r （其中 是弧度制的角）
如：圆周角3600 2r 2
r
思考：
弧度制和角度制如何转化？
弧度制和角度制互换
180 rad
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3 2
2
2
1、弧长公式:
n r
l
l
180
2、扇形的面积公式：
S扇形
Hale Waihona Puke n360R2
l
n°
r
扇形的弧长和面积公式：
弧度制下扇形弧长和面积公式：
1、弧长公式:
l r
l
（其中ɑ是弧度制的角）
r
2、扇形的面积公式：
S 1 lr 1 r2
22
例3. 扇形AOB中,弧AB所对的圆心角是60º，
半径是50米，求弧AB的长l（精确到0.1米）
情境导思
度量长度可以用米、尺、码等不同的单 位制，度量重量可以用千克、斤、磅等不同 的单位制.不同的单位制能给解决不同的问 题带来方便，那么角的度量都有什么不同的 单位制呢？
在初中几何里，我们学习过角的度量，回忆一 下：1度的角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以角度作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，角度制是六十进制，很多时候不方 便运算，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
57°18′，
1°= 180 rad=0.01745 rad
（教材10页例4）
原创2：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
引入课题
在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？
l 2 r n
第一章 三角函数 §1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
高中数学必修4·精品课件
学习目标
1．了解弧度制的有关概念 2. 记住角度制与弧度制的互化 3. 牢记圆心角、弧长与弧度数之间的关系 4. 学会弧度制的相关应用
引入课题
长度可以用米、厘米、英尺、码等不同的单位度量，物体 的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.
探究点4 元素与集合的关系
正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正数 负数
零
典例精讲：
在弧度制下，与角α终边相同的角如何表示？ 终边在坐标 轴上的角如何表示？
终边x轴上： β = α + 2kπ(k Z) kπ(k ∈ Z)
终边y轴上：
π + kπ(k Z) 2
拓展提升：
请用弧度制表示下列角度所在区间。 锐角：{θ|0°＜θ＜90°}
合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是
多少？
弧AB的长
r 2r
r
2r 3 r
OB旋转的方向 逆时针 逆时针 顺时针 顺时针 顺时针
∠A后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去 不写，而只写该角所对应的弧度数.如α=2表示α是2rad的 角. 思考：在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以建立一 个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？
1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算(技术总结
的所对的圆心
角的大小；
（3） 弧度制是十进制 ， 它的表示是用一个实 数表示 ，而角度制是六十进制；
（4） 以弧度和度为单位的角 ，都是一个与 半径无关的定值。
4. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角 ，零角既是0º 角 ， 又是0 rad角 ， 同一个非零角的度数和 弧度数是不同的.
②平角 、周角的弧度数： 平角= rad 、周角=2 rad.
③ ∵ 360 =2 rad ， ∴180 = rad ∴1 = 1 rad
例3. 填写下表：
角度 0 ° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
注： 今后在用弧度制表示角的时候 ， 弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度 ”为单位的度量角的 单位制 ， 角度制是以“度 ”为单位来度量角 的单位制； 1弧度≠1º ;
（2） 1弧度是 弧 长 等 于 半 径 长 的 圆 弧 所 对 的 圆
心角的大小 ，而1度是圆周
弧度
2π
5. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： ① 弧长公式：
由公式：
比公式
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积. ②扇形面积公式
其中l 是扇形弧长 ，R是圆的半径。
例1
【解析】 根据角度 、弧度的定义 ，可知无论角 度制还是弧度制 ， 角的大小都与圆的半径长短无 关 ，而与弧长与半径的比值有关 ，所以D错误 . 【m ， 当它的半径和圆心角
高中数学_1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计学情分析教材分析课后反思
弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计一、内容分析：1、教材的地位与作用《弧度制和弧度制与角度制的换算》是普通高中课程标准实验教科书人教B 版必修四第一章第一单元第二节的内容。
本节课起着承上启下的作用——学生在初中已经学习过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识做铺垫。
通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数并且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。
同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是相互联系、辩证统一的。
2、教学重点和难点教学重点：角度与弧度的换算，弧长公式、扇形面积公式的应用教学难点：弧度制的概念的理解二、目标分析根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：1.知识与技能：理解弧度制的概念，会进行弧度与角度之间的互化。
2.过程与方法：通过控制变量法以及类比法建立对弧度制概念的理解。
3.情感态度与价值观：通过弧度制的学习，体会不同表象下相同事物的本质。
三、教法分析根据上述教材分析和目标分析，贯彻诱思探究教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1、计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生直观感受当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并引导学生进行讨论；利用多媒体向学生展示不同的例题以及课堂练习，使学生能够直观观察。
2、讨论式教学在引入新课时，通过观察表格让学生分组讨论、交流、总结，说出当半径不同时，扇形弧长以及弧长和半径的比值，并给予一定的指导。
在计算特殊角的弧度数时，让学生分组进行，保证每一位学生能够练习到，也保证课堂的进度。
1.1.2弧度制
在平面几何中研究角的度量，当 o 时是用度做单位来度量角，1 的角是如 何定义的？
1°的角
O
在角度制下，当把两个带着度、分、秒 各单位的角相加、相减时，由于运算进率非 十进制，总给我们带来不少困难．那么我们 能否重新选择角单位，使在该单位制下两角 的加、减运算与常规的十进制加减法一样去 做呢？ 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角 度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常 用到一种度量角的制度 —弧度制，它是如何定义呢？
= 60 =
3
R=45
因为 R=45， 所以弧长 l = R =
3
45 = 15 (m)
例题讲解
例4 如果一扇形的周长为20cm，问扇形的半径和 圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？
设扇形的中心角为 , 半径为r, 则
20 2r 2r r = 20, = r 1 2 1 20 2r 2 r = (10 r )r = 10r r 2 S 扇形 = r = 2 r 2 10 当r = = 5时, S扇形 = 25, 此时 = 2 max 2 (1) 答 : 扇形的半径为 5cm,圆心角为 2rad时, 扇形面积最大
弧度制 ：
1、1弧度的角定义： 我们把长度等于半径长的 弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度 量时，这样的圆心角等于1rad。 单位符号 ：rad B
1rad
读作:弧度 C
l = 2r 2rad O
l =r
o r O
A
o
r
A
AOB=1rad
AOC=2rad
注： (1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0 (2)角的弧度数的绝对值
高中数学学案10：1.1.2 弧度制
1.1.2 弧度制一、学习目标1.弧度的角及弧度的定义；2.掌握角度与弧度的换算公式；3.熟练进行角度与弧度的换算；4.理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
二、自主学习1．度量角的单位制(1)角度制;规定周角的为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2)弧度制;在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作．这种以作单位度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度与弧度的互化(1)角度制与弧度制的互化(换算)180°＝；1°＝rad＝0.017 45 rad；1 rad＝＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个数；任一负角的弧度数都是一个数；零角的弧度数是．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？3．390°可以写成360°＋π6吗？三、合作探究探究1：角度制与弧度制的互化1．(1)把112°30′化为弧度； (2)－5π12rad 化为度．类题·通法1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可． 2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．跟踪训练1．将下列角度与弧度互化．(1)20°；(2)11π12；(3)8 rad探究2 用弧度制表示角的集合2．把下列角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3； (2)－1 485°.类题·通法用弧度制表示角的集合时应注意：(1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数；(2)π的倍数是偶数，α的范围是[0，2π)(3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位．跟踪训练2 (1)用弧度表示终边落在x轴的非正、非负半轴上，y轴的非正、非负半轴上，x轴上，y轴上的角的集合；(2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合．探究3：弧长公式与面积公式的应用3．(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积．(2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．类题·通法1．涉及扇形的周长、弧长、圆心角和面积等的计算，关键是要弄清题目中已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组解决．2．解题过程中，常常用到方程的思想及等价转化的思想．跟踪训练3 扇形的周长C一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形的面积S最大，最大值是多少？四、自主小测1．下列说法不正确的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同制度B ．1度的角是圆周的1360所对的圆心角，1弧度的角是圆周的12π所对的圆心角 C ．根据弧度的定义，180°一定等于π radD ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关2．若α＝1 920°，则该角的弧度数为( )A.163B.323C.16π3D.32π33．－29π12的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．5．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20 cm ，则扇形的面积是________．6．(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.7．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2012°是不是这个集合的元素．参考答案二、自主学习1．(1)1360(2)圆心角 弧度 弧度2．(1)π rad π180180°π (2)0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 5π4 3π2 7π42π (3)正 负 03．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12 12|α|r 2 [问题思考]1．提示：相同．在公式|α|＝l r中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．提示：不是同一个角.2°是角度制，2是弧度制，2 rad 约为115°.3．提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．三、合作探究探究1：角度制与弧度制的互化1．解：(1)∵1°＝π180rad ， ∴112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad. (2)∵1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，∴－5π12 rad ＝－5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°. 跟踪训练1 解：(1)20°＝20×π180＝π9， (2)11π12＝1112×180°＝165°. (3)8 rad ＝8×⎝⎛⎭⎫180π°≈8×57.30°＝458.40°. 探究2 用弧度制表示角的集合2．解：(1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z . 跟踪训练2 解：(1)终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π，k ∈Z }； 终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2k π＋3π2，k ∈Z ；终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{β|β＝2k π＋π2，k ∈Z }； 所以，终边落在x 轴上的角的集合为{β|β＝k π，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝k π＋π2，k ∈Z . (2)第一象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π<β<2k π＋π2，k ∈Z ； 第二象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋π2<β<2k π＋π，k ∈Z ； 第三象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋π<β<2k π＋3π2，k ∈Z ； 第四象限角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k ∈Z . 探究3：弧长公式与面积公式的应用3．解：(1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|×r ＝π6×1＝π6(cm)S ＝12|α|×r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2) 故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2， 消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0，解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2， 圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度． 跟踪训练3 解：设扇形的半径为R ，则扇形的弧长为C －2R ，∵S ＝12(C －2R )×R ＝－R 2＋C 2R ＝－(R －C 4)2＋(C 4)2， ∴当R ＝C 4，即θ＝C －2R R ＝2时，扇形有最大面积C 216. 四、自主小测1．【答案】D【解析】根据角、弧度的定义，可知无论角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径长短无关，而与弧长与半径的比值有关，所以D 错误．2．【答案】D【解析】∵1°＝π180弧度，∴1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3rad. 3．【答案】D【解析】－29π12＝－2π－5π12，因为－5π12是第四象限角，所以－29π12是第四象限角．4．【答案】4【解析】由l ＝|α|×r ，得弧度数为4.5．【答案】80π cm 2【解析】设扇形的弧长为l .∵72°＝72×π180 rad ＝2π5rad ， ∴l ＝|α|×r ＝2π5×20＝8π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)． 6．解：(1)∵－1 480°＝－1 480π180＝－74π9＝－10π＋16π9， 又0≤16π9<2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π. (2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z . 又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1，则β＝－2π9，令k ＝－2，则β＝－20π9， ∴β的值是－2π9，－20π9. 7．解：∵150°＝5π6，∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }． ∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝⎛⎭⎫53π45＋10πrad ，又5π6＜53π45＜3π2.∴2012°＝503π45∈S .。
高中数学《1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版必修四第一章《1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教
案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
2学情分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的 ,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
3重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.。
1.1.2弧度制
l ∴α |= | r
1.1.2 弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 的角,用符号rad表示,读作弧度.例如:
B 1 O r=1 A
n ⋅ π ⋅1 nπ r ∴1 = Ql = 0 0 180 180
∴n = 180
0
π
精确值
≈ 57.3
π
0
思考: 思考 1rad等于多少度 等于多少度? 等于多少度
S是扇形的面积. 是扇形的面积.
1.1.2 弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 的角,用符号rad表示,读作弧度.例如:
B 1 O r=1 A
r=0.5 l=0.5
nπ ⋅ 0.5 nπ r ∴ 0.5 = Ql = 0 0 180 180
不变. 不变 ∴ n不变 思考: 思考 半径的大小会不会对该圆心角产生影响? 半径的大小会不会对该圆心角产生影响
(57018') 近似值
0
∴1rad =
180
0
π
即π rad = 180
0
即1 =
180
rad
1.1.2 弧度制 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表. 例1:填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表 填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600 弧 0 度
π π
6
π π
3
4
2π 2 3
3π 4
5π 6:按照下列要求 把67030'化成弧度 按照下列要求,把 化成弧度. 按照下列要求 化成弧度 (1)精确值 精确值; (2)精确到 精确到0.001的近似值 的近似值. 精确值 精确到 的近似值
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
【成才之路】高中数学 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
课堂典例讲练
弧度制的概念问题
下列命题中，错误的是(
)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 1 1 B．1° 的角是周角的360，1rad 的角是周角的2π C．1rad 的角比 1° 的角要大 D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
1 __________. 2lr
1.(2014· 浙江临海市杜桥中学高一月考 )下列转化结果错误 的是( ) 3π A．67° 30′化成弧度是 8 rad 12π B． 3 化成度是 600° 5π C．150° 化成弧度是 6 rad π D．12化成度是 15°
[答案] B
[解析]
12π ＝720° ，故选 B. 3 ＝4π＝4×180°
B＝{x|6＋x－
x2≥0}，则 A∩B＝________.
[答案]
π π π x－2≤x<－ 或 <x< 2 4 2
[解析] B＝{x|6＋x－x2≥0}＝{x|－2≤x≤3}， π π 又∵A＝{x|kπ＋4<x<kπ＋2，k∈Z}， π π ∴当 k＝0 时，A∩B＝{x|4<x<2}，
2．角度与弧度的互化 2π π 360°＝________rad,180 °＝________rad ， π 180 1°＝________rad≈ 0.01745rad， 180 ° π 1rad＝________≈ 57.3°＝57°18′. 3 ．在弧度制下，弧长公式为 l ＝ θr ，扇形面积公式为 S ＝
1.1.2 弧度制
弧度数的计算公式可以用弧长与其半径的比 值来表示，那么一个角的弧度数与所在的圆 的半径之间存在一定的联系么？若存在，请 阐述是什么关系？若不存在，说明理由。 结论：当圆心角一定时，它所对的弧长与半径
的比值是一定的，与所在圆的半径大小无关。
二、弧度与角度的换算 360°= 2π 弧度
1
180°= π 弧度
(360 / )
0
0
2
180 0 180 360
性质：
我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数
为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度
数的绝对值：
其中：l —— 以角α为圆心角所对的弧长 r —— α角所在圆的半径
l | | r
这种用“弧度” 做单位来度量角的制度，叫做弧度制。
2
直角： {θ|θ=90°}
2
钝角： {θ|90°＜θ＜180°}
平角： {θ|θ=180°}
, 2
[0,
2 )
0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}
小于90°角：{θ|θ＜90°}
( ,
2
)
1.1.2 弧度制
1、什么叫角度制？ 2、1º 的角是怎样规定的？
1. 用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。
单位为“度”（即“ º ”）
不能省略
2. 规定周角的1/360叫做1度的角。
一、弧度制
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 做1弧度的角。“弧度”常用“rad”表示。 设弧AB的长为l : 若l=r,则∠AOB= 若l=2r,则∠AOB= 若l=3r,则∠AOB=
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用弧度制表示弧长公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角弧度的绝对值 与半径的积.
用弧度制表示扇形面积公式：
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
例1. 把112º30′化成弧度（用π 表示）。 112º30′=112.5×
8 例2. 把 化成度。 5
8 8 180 ( ) 288 5 5
180
=
5 . 8
例3. 填写下表：
半径是50米，求
， AB 所对的圆心角是60º
的长 ABl
解：因为60º = 3 ,所以
l=α· r=
3×50≈52.5 .
答： AB 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
中心角等于
，面积为2R2的扇形的
弧度。
4 解：（1）240º = ，根据l=αR，得 3
1.1.2弧度制及换算
角度制
在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
引入：圆心角、弧长和半径的关系：
AB AB =定值， r r
B O
B’
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r， A A' 2 r l , n 则 l n ， 360 r 180 结论： 可以看出，等式右端不含 可用圆的弧长与半 径的比值作单位去 半径，表示弧长与半径的 度量角。 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来
度量角的制度叫做弧度制。
注：单位rad可以略去不写。
弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单
位制 （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆
1 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 360
1 2 1 （2）根据S= lR= αR ，且S=2R2. 2 2
4 l R 3
所以 α=4.
例6.与角－1825º 的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º =－5×360º －25º ， 所以与角－1825º 的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º .
角的大小； 1弧度≠1º
（3）以弧度和度为单位的角，都是一个与半
径无关的定值。
弧度制与角度制的换算
① 零角既是0º角，又是0 rad角
② 平角、周角的弧度数：
180°= rad
360°=2 rad
1 =
180
rad
180 1 rad 57.3 57 18'
角度
弧度 角度 弧度
0°
30°
6
45°
4
60°
3
90°
2
120°
2 3
0
135° 150° 180° 210° 225° 240° 4 7 5 3 5
4 6
π
6
4
3
角度
弧度
270° 300° 315° 330° 360°
3 2 5 3
7 4 11 6
2π
例4. 扇形AOB中，
5 合 36
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于
所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？ 解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
扇形面积是 (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1) R
2