1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质ppt
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m n
m 1 n
C
m n 1
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数f (r ) 0,1,2,, n ,其定义域是：
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
（1）对称性
1 1 1 1 1 4 3 6
+
1 2 3
+
1 1
1 4 + 10 10 5 1 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1
C
2 n
3 n
4 n
C
C C
r r r r 1
C
C
r r 2
C
r n1
C
r 1 n
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和， 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
5
2 3
3 C 5 10 的系数是______.
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
小 结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值.
总结：
“斜线和”
…… ……… 2 r n 2 r 1 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 1 r n 1 2 1 … … 第 n行 1 C n C n Cn Cn …… … …
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第 7行
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
这就是说，
(a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于：2 n
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
①每行两端都是1 上的两个数的和
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩
C C
与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到． n 图象的对称轴： r 2
（2）增减性与最大值
k C 由于： n
n k 1 1 所以C 相对于Ck 决定． n 的增减情况由 k n k 1 n 1 由： k 1 k 2
1 1
0 n
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
0 (C C ) (C C )
0 n 2 n 1 n 3 n
C C C C C C
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
杨 辉
《详解九章算法》中记载的表
杨辉三角
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
斐波那契数列
斐波那契 （11701250）
意大利商人兼数学家,他 的著作《算盘书》中,首 先引入阿拉伯数字，将 “十进制”介绍给欧洲 人认识，对欧洲的数学 发展有深远的影响。
k n
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 Cn k (k 1)! k
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
（2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
例： 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
Байду номын сангаасn n n
在二项式定理中，令
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
二项定理: 一般地，对于n ∈ N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
课前练习: 45 项. 1． 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 c5 有___ 2．展开 a b ，其中 a b
m 1 n
C
m n 1
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数f (r ) 0,1,2,, n ,其定义域是：
当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
（1）对称性
1 1 1 1 1 4 3 6
+
1 2 3
+
1 1
1 4 + 10 10 5 1 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1
C
2 n
3 n
4 n
C
C C
r r r r 1
C
C
r r 2
C
r n1
C
r 1 n
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和， 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。 第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
5
2 3
3 C 5 10 的系数是______.
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
小 结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
(2) 数学思想：函数思想 a 单调性； b 图象； c 最值.
总结：
“斜线和”
…… ……… 2 r n 2 r 1 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 1 r n 1 2 1 … … 第 n行 1 C n C n Cn Cn …… … …
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 第 6行 第 7行
n 2 取得最大值； n
n 1 2 、 n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
这就是说，
(a b)n 的展开式的各二项式系数的和等于：2 n
3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
①每行两端都是1 上的两个数的和
+
+
+ +
+
+
+
+
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+
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+
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Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩
C C
与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m nm C n C n 得到． n 图象的对称轴： r 2
（2）增减性与最大值
k C 由于： n
n k 1 1 所以C 相对于Ck 决定． n 的增减情况由 k n k 1 n 1 由： k 1 k 2
1 1
0 n
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
0 (C C ) (C C )
0 n 2 n 1 n 3 n
C C C C C C
2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
对称性
杨 辉
《详解九章算法》中记载的表
杨辉三角
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6
1）请看系数有没有明显的规律？
2）上下两行有什么关系吗？
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
斐波那契数列
斐波那契 （11701250）
意大利商人兼数学家,他 的著作《算盘书》中,首 先引入阿拉伯数字，将 “十进制”介绍给欧洲 人认识，对欧洲的数学 发展有深远的影响。
k n
n(n 1)(n 2) (n k 1) k 1 n k 1 Cn k (k 1)! k
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的 后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
（2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
例： 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数 的和等于偶数项的二项式系数的和。
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
Байду номын сангаасn n n
在二项式定理中，令
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
二项定理: 一般地，对于n ∈ N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n r
n 2
b
2 n
C a
r n
n r
b C b
n n
课前练习: 45 项. 1． 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 c5 有___ 2．展开 a b ，其中 a b