概率论与数理统计综合练习册
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论与数理统计习题册
第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S-7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 8设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从 分布.第七章 参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i iX n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）. （A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t n S XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是： 和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3 则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：1.70，1.75，1.70，1.65，1.75 则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是 的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） . 9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z 11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为 （1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章 假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题 拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形 如（ ）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、 样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ).A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进 行称量,得如下结果:99.3, 98.7, 100.5, 101,2, 98.399.7 99.5 102.1 100.5, 99.2 假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ， 取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章 样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A) 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2.代表性和独立性 3.μ，2nσ4. 0.15.26.2(1)n χ-第七章 参数估计一、选择题1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===n i i X n A X E 111)(ˆ， 所以，∑=-=-=ni i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ， 由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；. 341, 0.2828； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i iXX ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去 所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p4、 1.71，0.00138；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D .5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [992.16，1007.84]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--+-； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [14.869，15.131]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-， 化间得：]131.15,869.14[. 11、 [14.754，15.146]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X 696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[ 12、. [0.15，0.31]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ， 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章 假设检验一、选择题1.C 、2.B 、3.B 、4.C 、5.B 、6.B 、7.C 、8.B 二、填空题 1.100=μ 2. 1.176概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C(6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉.其中有3个铆钉强度太弱.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1. （1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭⎰⎰23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++ （4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki n i ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)kkn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m n m n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？ 【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。
概率论与数理统计综合练习(文科各专业本、专科),附答案
概率论与数理统计综合练习（文科各专业本、专科）一、选择题1.设()0P A >，()0P B >，则下列公式正确的是（ ） A.()()()1P A B P A P B -=-⎡⎤⎣⎦ B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()()()P AB P B P A B =D.()()P A B P B A =2.对于任意两个事件,A B ，则()() P A B -= A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()P A P B ⋅D.()()()P A P B P AB -+3.事件,A B 是两个相互独立的随机事件，且()P A p =，()P B q =，()01,01p q <<<<，则()P A B ⋃() = A.p q +B.()()11p q --C.p q pq +-D.()1p q -4.设,A B 是两个互不相容的随机事件,()0P A >，()0P B >，则() A.()()1P A P B =- B.()()()=P AB P A P BC.()=1P A B ⋃D. ()=1P AB5.设()=0P AB ，则（ ） A.A 和B 没有关系B.A 和B 独立C.()0P A =或()=0P BD.()()P A B P A -=6.设A 和B 是对立事件，则（ ） A.A 和B 没有关系B.A 和B 独立C.()0P A =或()=0P BD.()()P A B P A -=7.设A 和B 为两个相互独立的随机事件，()=0.5P A ，()=0.6P B ，则()=P A B ⋃（ ） A.0.6B.0.7C.0.8D.0.98.口袋中有4个白球，2个黑球，从中随机地取出3个球，则取得2个白球、1个黑球的概率是() A.0.3B.0.4C.0.5D.0.69.若函数()y f x =是一随机变量X 的概率密度，则一定成立的是（ ）A.()f x 的定义域为[]0,1B.()f x 的值域为[]0,1 C.()f x 在(),-∞+∞内连续 D.()f x 为非负10.设随机变量ξ服从()2,N μσ（其中2,μσ已知，且0σ>），如果{}12P k ξ<=，则k =（ ） A.0B.μC.μσD.2μσ11.若()1F x ，()2F x 为分布函数，下列说法正确的是（ ） A.()()()12F x F x F x =+是分布函数 B.()()121F F -∞=-∞= C.()()121F F +∞=+∞=D.()()1122a F x a F x +不是分布函数12.若连续型随机变量ξ的分布函数()20, 0, 061, 6x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则必有() A =A.6B.1/6C.1/18D.1/3613.设离散型随机变量X 的分布律表如下，则常数c =（ ）题13表A.12B.4C.13D.1614.设随机变量X 的分布律为{}15k P X k ==，1,2,3,4,5k =，则15=22P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()A.15B.25C.35D.4515.设随机变量X 的分布律为{},1,2,3,4,5P X k a k ===，则3{3}2P X <≤=( ) A.15B.25C.35D.4516.设离散型随机变量X 的分布函数()2, 2351, 3F x x x⎪⎪=-≤<⎨⎪≤⎪⎩，则X 的分布律为()17.设随机变量X 的分布律为{}15k P X k ==，1,2,3,4,5k =，则15=22P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()A.45B.25C.35D.1518.设连续型随机变量X 的概率密度为()1, 00, 0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，则{}()0.1 P X ≤=A.0.11e -+B.0.11e -C.0.11e --D.0.11e +19.设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度函数是(),x y ϕ，则关于X 的边缘分布函数()=X F x （ ）A.(),xx y dx ϕ-∞⎰B.(){},x x y dy dx ϕ+∞-∞-∞⎰⎰C.(),x ϕ+∞D.(),xx y dy ϕ-∞⎰20.设(,)X Y 的联合分布律表如下，则()()1 P XY ==A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4 21.设离散型随机变量X 的分布律如下，则()=E X （ ）A.-0.2B.0.1C.0.2D.-0.122.已知随机变量X 的分布函数为(), 0441, 4x F x x x ⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩，则()=E X （ ）A.2B.4C.1D.323.设随机变量ξ服从区间()1,3上的均匀分布，则()=E ξ（ ） A.0B.1C.2D.324.设(){}20, 0, 011, 1x F x P x X x x x <⎧⎪=≤=≤≤⎨⎪>⎩，则()() E X =A.13x dx ⎰B.122x dx ⎰C.12x dx ⎰D.202x dx -∞⎰25.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量,ξη相互独立时，下列中错误的是（ ）A.()()()E E E ξηξη=B.()()()D D D ξηξη±=+C.()()()D D D ξηξη=D.()cov ,0ξη=26.下列关于协方差的性质，错误的是（ ） A.cov(,)()X X D X =B. cov(,)cov(,)aX aY a Y X =(其中a 为常数)C. cov(,)cov(,)X Y Y X =D. cov(,)0C X =(其中C 为任意常数)27.设随机变量X 服从区间()1,3-的均匀分布，则()E x =（ ） A.12B.34C. 1D.4328.设随机变量X 服从区间()1,3-的均匀分布，则()() D x = A.12B.34C. 1D.4329.设随机变量X ()10,0.4B ，则()() D x =A.1B. 1.2C. 2.4D. 430.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量,ξη相互独立时，下列中错误的是()A.()()()E E E ξηξη=B.()()()D D D ξηξη±=+C.()()()D D D ξηξη=D.()cov ,0ξη=二．填空题1. 设C B A ,,为三个事件，请用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1） A ，B ，C 都发生 ； （2）B A ,发生而C 不发生 ； （3）A 发生而B ，C 都不发生 ； （4） A ，B ，C 至少有一个发生 ； （5） A ，B ，C 都不发生 ； （6） A ，B ，C 不都发生 ； （7） A ，B ，C 至多有2个发生 ； （8） A ，B ，C 至少有2个发生 .2．设B A ,为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===⋃B P A P B A P ，则=)(B A P ，=)|(B A P 。
概率论与数理统计习题册详细答案
《概率论与数理统计》练习册（2010年版）参考答案第一章 概率论的基本概念第一节 一、选择题.1、D ；2、A ；3、C ；4、D ；5、B . 二、解答题.1、（1）、C B A D ++=；（2）、C B A E =；（3）、C B A C B A C B A F ++=；（4）、=G C B A C B A C B A C B A +++.第二节 一、填空题.1、0.3；2、5.0；3、1p -；4、0.3；5、0.6；6、32；7、2113；8、158；9、2517；10、0.25. 二、选择题.1、B ；2、D ；3、B ；4、A . 三、解答题.1、307)(,157)(21==A P A P .2、21)(51025231533123822=++=C C C C C C C C P . 3、1133123831234=+C C C C .第三节 一、填空题.1、0.7；2、73；3、2；4、12053，5320. 二、选择题.1、B ；2、A ；3、C ；4、D . 三、解答题.1、令A 表示取出的球是白球，i B 表示从第i 个箱子中取球)2,1(=i ，则21}{}{,204}|{,108}|{2121====B P B P B A P B A P ，故21}{=A P . 2、设A 表示取到的是次品，i B 表示取到的零件是由甲（=i 1）、乙（=i 2）、丙（=i 3）机床提供的， 则由已知条件得18.05.01.03.03.02.02.0}{=⨯+⨯+⨯=A P （1）82.0}{=A P ；（2）5.0}|{2=A B P .3、记事件A =“小孩说谎”，B =“小孩可信”，设()0.8P B =,()0.1P A B =,()0.5P A B =.由贝叶斯公式，小孩第一次说谎之后，()0.444P B A =；第二次说谎之后，()0.138P B A =. 第四节 一、填空题.1、23；2、0.5；3、0.8704；4、1(1)n p --,1(1)(1)n n p np p --+-；5、4353或；6、0.75. 二、选择题.1、A ；2、C ；3、D ；4、B ；5、A ；6、C . 三、解答题.1、令i A 表示第i 个灯泡可使用1000个小时以上，则2.0)(=i A P ，3,2,1=i ，104.02.0)2.01(2.0)(2133321321321321=⋅-+=+++C A A A A A A A A A A A A P .2、432222)1)(21(1r r r r r r +-=-+--.3、设事件A 表示“飞机被击落”，i B 表示“飞机被i 个人击中”),3,2,1,0(=i ，1C 表示“甲击中”，2C 表示“乙击中”，3C 表示“丙击中”.则由概率加法公式、乘法公式和事件的独立性得09.0)()(3210==C C C P B P ，14.0)(,41.0)(,36.0)(321===B P B P B P .由题意有,1)|(,6.0)|(,2.0)|(,0)|(3210====B A P B A P B A P B A P 由全概率公式得458.0)(=A P .4、记i A 表示甲第i 次掷6点，i B 表示乙第i 次掷6点，1,2,i =⋅⋅⋅.记B A ,分别表示甲、乙取胜，则15()(),()(),(1,2,)66i i i i P A P B P A P B i =====⋅⋅⋅，且111211223A A A B A A B A B A =+++⋅⋅⋅，由独立性和加法公式，有116)(=A P ，从而115)(1)(=-=A P B P .第二章 随机变量第一节 一、填空题. 1、2516. 二、选择题. 1、A ；2、C . 三、解答题.1、（1）不是分布函数，因为2)(lim 1=+∞→x F x .（2）不是分布函数，因为)(2x F 在),2(ππ是单调减少的. （3）是分布函数，符合分布函数的三条性质.2、由题意知2132,1=-=+a b a ，所以61=a ，65=b .于是61}1{=-=X P ，21}2{,1}1{====X P X P .3、由1)(lim =+∞→x F x 得1=A ；由于)(x F 是连续函数，111lim20=+→x x ，故0=B ，从而0=C .4、X 的取值i 只有1,0两个值，以j ω记掷骰子出现j 点（1,2,,6j =⋅⋅⋅）事件，所以21}{)0(,61)(531=⋃⋃===ωωωωP X P P j ，21)1(==X P ，故⎪⎩⎪⎨⎧=1210)(x F ， 1100≥<≤<x x x第二节一、填空题.1、14；2、12；3、2；4、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=,1,5.0,2.0,0)(x F .3,32,21,1≥<≤<≤<x x x x ；5、2719.二、选择题.1、C ；2、D . 三、解答题.分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=1918891550)(x F .2,21,10,0≥<≤<≤<x x x x 36}2{}1{}2521{==+==≤<X P X P X P .2、41}1{,42}0{,41}1{=====-=X P X P X P . 3、设所需抽取次数为随机变量X .(1)设k A 表示第k 次取得正品()4,3,2,1=k ，m B 表示第m 次取得次品()3,2,1=m .则,107)(}1{1===A P X P ,307)(}2{21===A B P X P 1201}4{,1207}3{====X P X P .所以同理可得：（3）X 的概率分布为：第三节 一、填空题.1、141；2、0>；3、4；4、1，12；5、1,0211,02xx e x e x -⎧<⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩；6、0.2. 二、选择题.1、B ；2、C ；3、A ；4、D .三、解答题.1、设电子元件的使用寿命为X ，i A 表示第i 个电子元件能使用200小时.则312006006001}200{)(-∞+-==>=⎰e dx e X P A P xi ，eA A A P a 11}{1321-=-=.2、（1）由0)(,1)(=-∞=+∞F F 得π1,21==B A . （2）21)1()1(}11{=--=<<-F F X P . （3）)1(1)()(2x x F x f +='=π.3、（1）ππ1,11)(112===-=⎰⎰-+∞∞-A A dx xA dx x f ；（2）3111}21|{|21212=-=<⎰-dx xX P π；（3）⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰∞-1arcsin 1210)()(x dx x f x F x，.1,11,1≥<≤--<x x x4、设1A 表示电压不超过200V ，2A 表示电压在200V ～240V 之间，3A 表示电压超过240V ，B 表示电子元件损坏，则,212.0)8.0(1)25220200(}200{)(1=Φ-=-Φ=≤=X P A P 576.0)8.0()8.0(}240200{)(2=-Φ-Φ=≤<=X P A P ，}240{)(3>=X P A P =212.0)8.0(1=Φ-，,2.0)|(,001.0)|(,1.0)|(321===A B P A B P A B P （1）1()0.0642;P P B ==（2）220.5760.001(|)0.0090.0642PP A B ⨯==≈.5、若)(x f 为概率密度，则必有,0)(≥x f 故02>++c bx ax 。
概率论与数理统计综合练习册
1. 设 x1, x2 , x3 是总体 ξ 的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ].
1 2
(A)
( x1
x2
1 2
)
x1
.
1 3
x2
1 6
x3
；
(B)
2. 设 A，B 是两个事件，则“这两个事件至பைடு நூலகம்有一个没发生”可表示为[ ].
(A) AB ； (B) AB AB ； (C) A B ； (D) AB .
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
概率论与数理统计练习册(最新)
院（系） 班 姓名 学号第一章 概率论的基本概念 练习1.1 随机试验与随机事件一、填空题1.样本空间是 .2.样本空间中各个基本事件之间是 关系.3.对立事件____ 不相容事件；不相容事件 对立事件.(填一定是，不是，不一定是)4.对立事件A 与A 在每一次试验中 发生.5.设随机事件A 与B ，若AB ＝A B ，则A 与B 的关系为___________6.设A ，B 为任意两个随机事件，请把下列事件化为最简式： （1）(A B)(A B)(A B)(A B)=______； （2）ABAB AB A B AB=______－；二、写出以下随机试验的样本空间：1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打，观察选择结果。
2.10件产品中有4件次品，其余全是正品，从这10件产品中连续抽取产品，每次一件，直到抽到次品为止，记录抽出的正品件数。
三、有三位学生参加高考，以i A 表示第i 人考取（1,2,3i =）.试用i A 表示以下事实： 1.至少有一个考取；2.至多有两人考取；3.恰好有两人落榜。
四、投掷一枚硬币5次，问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件？1. A 表示至少出现3次正面；2. A 表示至多出现3次正面；3. A 表示至少出现3次反面。
五、袋中有十个球，分别编有1至10共十个号码，从其中任取一个球，设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”， 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”， 事件C 表示“取得的球的号码小于5”，则,,,,,C A C AC A C A B AB ⋃-⋃分别表示什么事件？六、在某系的学生中任选一名学生，令事件A 表示“被选出者是女生”；事件B 表示“被选出者是三年级学生”；事件C 表示“被选出者是会弹钢琴”。
（1）说出事件C AB 的含义；（2）什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ⊆正确; （4）什么时候有等式B A =成立。
概率论与数理统计练习册—第一章答案
第一章 概率论的基本概念基础训练I一、选择题1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：（ D ）。
A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销；B ）甲乙产品均畅销；C ）甲种产品滞销；D ）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设A ,B ,C 是三个事件，则C B A ⋃⋃表示（ C ）。
A ） A ,B ,C 都发生； B ） A ,B ,C 都不发生；C ） A ,B ,C 至少有一个发生；D ） A ,B ,C 不多于一个发生3、对于任意事件B A ,，有=-)(B A P （ C ）。
A ）)()(B P A P -； B ）)()()(AB P B P A P +-；C ）)()(AB P A P -；D ）)()()(AB P B P A P -+。
4、已知5个人进行不放回抽签测试，袋中5道试题（3道易题，2道难题），问第3个人抽中易题的概率是( A ) 。
A ） 3/5；B ）3/4；C ）2/4；D ）3/10.5、抛一枚硬币，反复掷4次，则恰有3次出现正面的概率是（ D ）。
A ） 1/16B ） 1/8C ） 1/10D ） 1/46、设()0.8P A =，()0.7P B =，(|)0.8P A B =，则下列结论正确的有（ A ）。
A ）B A ,相互独立； B ）B A ,互不相容；C ）A B ⊃；D ）)()()(B P A P B A P +=⋃。
二、填空题1.设C B A ,,是随机事件，则事件“A 、B 都不发生，C 发生”表示为C B A , “C B A ,,至少有两个发生”表示成BC AC AB ⋃⋃ 。
2.设A 、B 互不相容，4.0)(=A P ，7.0)(=⋃B A P ，则=)(B P 0.3 ；3. 某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，则同时订这两种的住户百分比是：30%；4.设4/1)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ，则C B A 、、三件事至少有一个发生的概率为：5/8；5. 若A 、B 互不相容,且,0)(>A P 则=)/(A B P 0 ；若A 、B 相互独立，,且,0)(>A P 则=)/(A B P )(B P 。
概率论与数理统计练习册
概率论与数理统计练习册练习⼀随机事件的概念和概率的定义⼀、选择题：1.设A 、B 、C 为任意三个事件,⽤A 、B 、C 表⽰“⾄多有三个事件发⽣”为 ( ) A A B C ++ B ABCCABC ABC ABC ++ D Ω2.在某学校学⽣中任选⼀名学⽣,设事件A =“选出的学⽣是男⽣”;B =“选出的学⽣是三年级学⽣”;C =“选出的学⽣是篮球运动员”.则ABC 的含义是 ( )A 选出的学⽣是三年级男⽣B 选出的学⽣是三年级男⼦篮球运动员C 选出的学⽣是男⼦篮球运动员D 选出的学⽣是三年级篮球运动员3.在掷骰⼦的试验中,观察其出现的点数,记A =“掷出偶数”;B =“掷出奇数点”;C =“掷出的点数⼩于5”;D =“掷出1点”.则下述关系错误的是 ( )A B A = B A 与D 互不相容 C C D = D A B Ω=+ 4.某事件的概率为0.2,如果试验5次,则该事件 ( ) A ⼀定会出现1次 B ⼀定会出现5次 C ⾄少会出现1次 D 出现的次数不确定5.对⼀个有限总体进⾏有放回抽样时,各次抽样的结果是 ( )A 相互独⽴B 相容的C 互为逆事件D 不相容但⾮逆事件 6. 若()p A =0.5 .()0.5p B =,则()p A B += ( )A 0.25B 1C 0.75D 不确定7.某射⼿向⼀⽬标射击两次，A i 表⽰事件“第i 次射击命中⽬标”，i =1，2，B 表⽰事件“仅第⼀次射击命中⽬标”，则B =（）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A AD ．21A A8.从⼀批产品中随机抽两次，每次抽1件。
以A 表⽰事件“两次都抽得正品”，B 表⽰事件“⾄少抽得⼀件次品”，则下列关系式中正确的是（） A ．A ?B B ．B ?AC ．A=BD ．A=B9.从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取⼀个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（） A ．10150 B ．10151 C ．10050 D ．10051 10.设A 为随机事件，则下列命题中错误．．的是（） A ．A 与A 互为对⽴事件 B ．A 与A 互不相容 C ．Ω=?A A D ．A A =⼆、填空题：1. 在⼗个数字0、1、2.….9中任取四个数（不重复），则能够排成⼀个四位数的偶数的概率为2. ⼀个⼩组有10个学⽣，则这个⼩组10个学⽣都不同⽣⽇的概率是（设⼀年365天）3. 设袋中有五只⽩球，3只⿊球。
概率论与数理统计习题册答案
第一章 随机事件与概率 § 随机试验 随机事件 一、选择题1. 设B 表示事件“甲种产品畅销”,C 表示事件“乙种产品滞销”,则依题意得A=BC .于是对立事件 {}A B C ==甲产品滞销或乙产品畅销,故选D.2. 由A B B A B B A AB =⇔⊂⇔⊂⇔=Φ,故选D.也可由文氏图表示得出. 二 写出下列随机试验的样本空间1. {}3,420，，2 []0,100 3. z y x z y x z y x z y x ,,},1,0,0,0|),,{(=++>>>=Ω分别表示折后三段长度;三、1任意抛掷一枚骰子可以看作是一次随机试验,易知共有6个不同的结果.设试验的样本点 ""1,2,3,4,5,6i i i ω==出点点， ；则{}246,,A ωωω=,{}36,B ωω=2{}135,,A ωωω=,{}1245,,,B ωωωω=,{}2346,,,A B ωωωω=,{}6AB ω=,{}15,AB ωω=四、1ABC ；2ABC ；3“A B C 、、不都发生”就是“A B C 、、都发生”的对立事件,所以应记为ABC ；4A B C ；5“A B C 、、中最多有一事件发生”就是“A B C 、、中至少有二事件发生”的对立事件,所以应记为：AB AC BC .又这个事件也就是“A B C 、、中至少有二事件不发生”,即为三事件AB AC BC 、、的并,所以也可以记为AB ACBC .§ 随机事件的概率 一、填空题1. 试验的样本空间包含样本点数为10本书的全排列10,设{}A =指定的3本书放在一起,所以A 中包含的样本点数为8!3!⋅,即把指定的3本书捆在一起看做整体,与其他三本书全排,然后这指定的3本书再全排;故8!3!1()10!15P A ⋅==; 2. 样本空间样本点7!5040n ==,设事件A 表示这7个字母恰好组成单词SCIENCE,则因为C 及C, E 及E 是两两相同的,所以A 包含的样本点数是2!2!4A =⨯=,故2!2!1()7!1260P A ⋅==二、求解下列概率1. 1 25280.36C C ≈; 2 1515373766885!0.3756!C C C A C A == 2. 412410.427112A -≈3. 由图所示,样本点为随机点M 落在半圆202 ()y ax x a <<-为正常数内,所以样本空间测度可以用半圆的面积S 表示;设事件A 表示远点O 与随机点M 的连线OM 与x 轴的夹角小于4π,则A 的测度即为阴影部分面积s , 所以2221142()22a a s P A S aπππ+===+ §概率的性质 一． 填空题 1．; 2. 1p -; 3. 16; 4. 712二． 选择题1. C;2. A;3. D;4. B;5. B. 三． 解答题解：因为,AB A AB ⊆⊆所以由概率的性质可知：()()().P AB P A P A B ≤≤又因为()0,P AB ≥所以可得 ()()(),P AB P A P B ≤+于是我们就有()P AB ≤ ()()P A P A B ≤()()P A P B ≤+.如果,A B ⊆则,AB A = ()()P AB P A =； 如果,B A ⊆则,AB A =这时有()().P A P A B =如果,AB φ=则(0,P AB =）这时有()()().P A B P A P B =+§ 条件概率与事件的独立性aa2a1.1图一． 填空题 1.23；2. 0.3、；3. 23；4. 14； 5. 2； 5. 因为AB AB =,所以()(),()()AB AB AABB AB AB AB AB φ====,则有,AB A B A B φ=+=+=Ω,因为,AB A B φ=+=Ω且所以A 与B 是对立事件,即A B A B ==，;所以,()()1,P A B P A B ==于是()()2P A B P A B +=二． 选择题1. D ；2. B ；3. A ；4. D ；5. B1． 已知()()1,P A B P A B +=又()()1,P A B P A B +=所以()(),P A B P A B =于是得()()()()P AB P AB P B P B =,注意到()()(),()1(),P AB P A P AB P B P B =-=-代入上式并整理后可得()()()P AB P A P B =;由此可知,答案D; 三． 解答题 1.33105，； 2. 2n§ 全概率公式和逆概率Bayes 公式 解答题 1. 2. 1；23.10.943；20.848§ 贝努利概型与二项概率公式 一． 填空题1. 11(1),(1)(1)n n n p p np p ----+-；2.23二． 解答题 1. .2. 0.94n,222(0.94)(0.06)n n n C --,11(0.94)(0.06)(0.94)n n n ---3.1,2,3章节测验一． 填空题 1.825； 2. 对立；3. 0.7； 4. 84217，二． 选择题 三、解答题 1.1； 22232. .0038 四、证明题略; 随机变量 分布函数一、填空题1.)(1a F -；)1()1(--F F ；)()()(b F a F b F -；2. 1,12a b ==/π；3.121--e二、选择题1、D ；2、A ； 三、计算题1.所以得随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=5,154,10443,1013,0)(x x x x x F2.解：1由条件知,当1-<x 时,0)(=x F ； 由于81}1{=-=X P ,则81}1{)1(=-≤=-X P F ； 从而有 8581411}1{}1{1}11{=--=-=-=-=<<-X P X P X P ；由已知条件当11<<-x 时,有 )1(}111{+=<<-≤<-x k X x X P ； 而1}1111{=<<-≤<-X X P ,则21=k 于是,对于11<<-X 有}111{}11{}11,1{}1{<<-≤<-⋅<<-=<<-≤<-=≤<-X x X P X P X x X P x X P 16)1(52185+=+⨯=x x 所以 167516)1(581}1{}1{)(+=++=≤<-+-≤=x x x X P X P x F 当1≥x 时,1)(=x F ,从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,16751,0)(x x x x x F2略;离散型与连续性随机变量的概率分布 一、填空题1．3827；2.2二、选择题； ；三、计算题1.12,1==B A ；2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤--<≤<=2,121,12210,20,0)(22x x x x x x x x F ；343 2.略;常用的几个随机变量的概率分布 一、填空题1.649；2.232-e ；3.2.0 二、计算题 1、43；2、352.0；3、5167.0；4、19270.01)5.1()5.2(=-Φ+Φ；229.3=d随机向量及其分布函数 边际分布 一、填空题1、(,)(,)(,)(,)F b b F a b F b a F a a --+；(,)(,)F b b F a b -；2、0；1 二、计算题1、12,2,12πππ===C B A ；2161； 3R x x x F X ∈+=),2arctan 2(1)(ππ,R y yy F Y ∈+=),3arctan 2(1)(ππ 2、1⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(2x x e x F x X ,⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y ,；242---e e;3、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππx x x x x x F X ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<=2,120),cos 1(sin 210,0)(ππy y y y y y F Y二维离散型与连续性随机向量的概率分布一、填空题1、87；2、∑+∞=1j ij p ,∑+∞=1i ij p ；3、41；4、41二、计算题1、1=c ；⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f xX ；⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,)1(1)(2y y y y f Y2、16,(,)(,)0,x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它；226(),01()0,X x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其它；),01()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它3、条件分布 随机变量的独立性一、选择题1、B ；2、A ；3、D ；4、C ；5、D 二、计算题1、2、||2,012,01(|),(|)0,0,X Y Y X x x y y f x y f y x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其它其它 3、18=c ；241}2{=<X Y P ；3不独立; 4、)1(11121Φ-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--e π 随机变量函数的概率分布一、填空题1、2、1,01()0,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它二、选择题1、B ；2、D ； 三、计算题1、⎩⎨⎧<<=else y y f ,010,1)(；2、⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-<=--1,)1(10,10,0)(z e e z e z z f z zZ3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,21,0)(z z z z f Z ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤=1,21110,20,0)(z zz z z z F Z 第二章测验一、填空题1、41；2、34；3、0；4、2.0 二、选择题1、C ；2、A ；3、B 三、计算题1、~(3,0.4)X B ,则随机变量的概率函数为其分布函数为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=3,132,12511721,1258110,125270,0)(x x x x x x F2、124=A ；2⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2x x x x f X ,⎩⎨⎧≤≤-=其它,010),1(12)(2y y y x f X ；3不独立；4⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它其它,010,10,2)|(,,010,10,)1()1(2)|(2|2|y x x y x y f y x y x y x f X Y Y X ;3、1⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(z z ze z f z Z ；2⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0,00,)1(1)(2z z z z f Z第三章 随机变量的数字特征数学期望 一 、填空题1、13,23,3524 ； 2、21,0.2 3、 2 ,4796二、计算题1. 解： 11211()(1)(1)1k k k k k a a a E X k k a a a -+∞+∞+==⎛⎫== ⎪+++⎝⎭∑∑ 根据公式()''12111(1)11k k k k x kx x x x x +∞+∞-==⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑ 得到221()(1)11a E X a a a a ==+⎛⎫- ⎪+⎝⎭2． 0 ；3．:2a4. 2/3,4/3 ,-2/3,8/5 ； 5．4/5,3/5,1/2,16/15 方差一、填空题1. 0.49 ；2. 1/6 ；3. 8/9 ；4. 8 , 二、计算题 1.： , 提示： 设0,1,i i X i ⎧=⎨⎩部件个不需要调整部件个需要调整则123,,X X X 相互独立,并且123X X X X =++,显然1(1,0.1),X B2(1,0.2),X B 3(1,0.3)X B2.：1/3,1/3 ； 3．： 16/3 ,28三、 证明题提示： [][]22()())D XY E XY E XY E XY EX EY =-=-[]2)E XY YEX YEX EX EY =-+-[]2()()E Y X EX EX Y EY DX DY =-+-≥ 协方差与相关系数 一、 选择题 1. A ； ； 二、 计算题1. ()()0E X E Y ==,()()0.75D X D Y ==, 0XY ρ=, () 1.5D X Y += X 与Y 不独立2. 0 ,0提示：111()0Y y f y π⎧=-≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它 1211()10E Y yy dy π-=-=⎰()0.25D Y =同理可得()()0E X E Y ==,()()0.25D X D Y ==221(,)()0x y xyCov X Y E XY dxdy π+≤===⎰⎰3. ：2222a b a b-+ 矩与协方差矩阵1. 33321132v v v v μ=-+2.1,,, ；2 ；340.210.020.020.24-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦第三章 测验 一、 填空题1． ； 2. 1 ,； 3． ab二、 选择题 1．B ； ；三、 计算题1.解：设X 表示该学徒工加工的零件中报废的个数,又设 0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第个零件未报废第个零件报废则由题设知1111iX i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥++⎣⎦于是有 101i i X X ==∑ 且1()(1,2,,10)1i E X i i ==+从而1010101111111()()() 2.0212311i i i i i E X E XE X i =======+++=+∑∑∑ 2.： 10分25秒提示：设乘客到达车站的时间为X ,由题意可知X 为0,60上的均匀分布,根据发车时间可以得到等候时间Y ,且Y 是关于X 的函数10010301030()553055705560X X X X Y g X X X XX -<≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩3. 0,0第四章习题切比雪夫不等式 随机变量序列的收敛性 1．解：由切比雪夫不等式知,2221(37)(|5|2)12221(|5|8)832P X P X P X <<=-<≥-=->≤=2．解：设X 为在n 次试验中事件A 出现的次数,则~(,)X B n p ,Xn为频率． 21110.750.25()()0.750.75,()()X X E E X n D D X n n n n n n⨯==⨯⨯=== 由题意知{0.70.8}0.9,XP n<<≥而由切比雪夫不等式有20.750.25{|0.75|0.05}10.05X n P n ⨯-<≥- 所以有20.750.2510.90.05n ⨯-=,得750n =大数定理1． 证：有题设知n n=2,3,…的概率分布为：故n 的数学期望为()012101n -)(n =⨯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯=nn n n X EX n 的方差为()(22222121()[()]012n nn D X E X E X n n n⎛⎫=-=⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故∑==Nnn X NX 11的数学期望 ()()01111==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==Nnn Nn n X E N X NE X E方差()()NN X D N X ND X D Nn Nn n Nn n 2211112121===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===在利用车比雪夫不等式得(){}()0222−−−−→−≤≤≥-+∞→N N X D XE X P εεε因此,X 1,X 2,…,X n ,…服从大数定理;2．证：由于X 1,X 2,…,X n 相互独立,且()i i E X μ=,()i D X 存在,令 n 11ni i X X n ==∑则 ()()k k 111111n nn nki i i EX E X E X n n n μ===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑有限;()()k k 211110n n n ni i D X D X D X n n →∞==⎛⎫==−−−→ ⎪⎝⎭∑∑故由车比雪夫不等式知,0>∀ε; ()()()()1222111nknn k n n D XD X P XE X n εεε→∞=-≤≥-=-−−−→∑即 1111lim {||}1n ni i n i i P X n n με→+∞==-<=∑∑中心极限定理1．解：设X 为抽取的100件中次品的件数,则(100,0.2)XB ,()1000.220,()200.816E X D X =⨯==⨯=则18202025201205{1825}{}{}444244(1.25)(0.5)(1.25)(0.5)10.89440.691510.5859X X P X P P ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=2．解：1 设X 为一年中死亡的人数,则(,)XB n p ,其中n =10000,p =保险公司亏本则必须1000X>120000,即X>120 P{保险公司亏本}={120}P X >=P >=7.769}P >1(7.769)0≈-Φ=2P{保险公司获利不少于40000元}{120000100040000}{80}(2.59)0.995P X P X P -≥=≤=≤=Φ=3．解：设X i ={每个加数的舍入误差},则X i ~ U, ,()0i =X E ,()121i =X D ,i = 1, 2, …故由独立同分布中心极限定理知X 1,X 2,…服从中心极限定理;1[][][]802.10)9099.01(2)4.31(121)4.31(21)4.31()4.31(11211500015001512115000150012115000150015-1151511511515001150011500115001=-⨯=Φ-=-Φ-=-Φ-Φ-≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯--=⎪⎭⎫⎝⎛≤≤--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>∑∑∑∑====i i i i i i i i X P X P X P X P 21{||10}0.9n i i P X =<≥∑,|0.9n i X P ⎧⎫⎪⎪⎪<≥⎨⎪⎪⎩∑由中心极限定理得,210.9,0.95Φ-≥Φ≥,所以1.65≥,解得440n =．第四章 测验一、填空题 1．1/4；211k-． 2．221n σε-．提示：利用切比雪夫不等式估计． 3．1/12 4．0． 5．． 6．()x Φ． 二、选择题1．A 2．C 3 D ．三、应用题1．解：设X 为1000次中事件A 出现的次数,则(1000,0.5)X B()500,()5000.5250E X D X ==⨯=25039{400600}{|500|100}10.9751000040P X P X <<=-<≥-==2．解：设至少要掷n 次,有题设条件知应有()9.06.04.0≥<<n X P其中∑==nii X nX 1n1, i=1,2,…独立同分布,且()()5.001i i ====X P X P , 5.0)(i =X E ,25.05.05.0)(i =⨯=X D1 用切比雪夫不等式确定()()()2n 1.011.05.06.04.0nn X D X P X P -><-=<<而()nnX D n X n D X D ni ni i ni 25.05.0111)(12212n ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑==即要求90.01.025.012≥-n即)次(2501.025.03=≥n 即至少应掷250次才能满足要求; 2用中心极限定理确定()0.40.60.50.50.5210.90555n n X P X P n n n n n n ⎛⎫<<=<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ-=Φ-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得10.900.9552n ⎛⎫+Φ≥= ⎪ ⎪⎝⎭查标准正态分布表的645.15≥n ,225.8645.15=⨯≥n所以6865.67225.82≈=≥n即在这种情况下至少应掷68次才能满足要求; 3．解：设X 为每天去阅览室上自习的人数; 则有(12000,0.08),()120000.08960,()9600.92883.2X B E X D X =⨯==⨯=1{880}1{880}9608809601{}883.2883.21( 2.692)(2.692)0.996P X P X X P >=-≤--=-≤≈-Φ-=Φ= 2设总座位数为n960960{}0.8,{}0.8883.2883.2X n P X n P --<=≤=由中心极限定理知, 960()0.8883.2n -Φ=,查表得960883.2n -=,986n =,所以应增添986-880=105个座位; 4．解：令n 为该药店需准备的治胃药的瓶数 X 为在这段时间内购买该药的老人数则由题意知(2000,0.3)XB ,()20000.3600,()6000.7E X D X =⨯==⨯{}0.99600600{}0.99420420P X n X n P ≤=--≤=由中心极限定理知, 600()0.99420n -Φ≈,查表得6002.33420n -=,所以648n ≈四、证明题1．证明：设则有,11,()()(1)4nn k k k k k k k M X E X p D X p p ====-≤∑ 11111()()().nknn n k k k k k pM E E X E X n n n n======∑∑∑12221111114()()().4nnnn k k k k k M D D X D X n n n nn=====≤≤∑∑∑ 由切比雪夫不等式得,1222()111{||}4nn nM D M p p p n P n n n εεε++-≤-≤-<,所以当n →+∞时121{||}1n nM p p p P n nε++≤-<≤,即12{||}1n n M p p p P n nε++-<=．2．证：因为12,,,n X X X 相互独立且同分布,所以21X ,22X ,…,2n X 相互独立且同分布,且有相同的数学期望与方差：()22a X E i =,()()()[]()0a -22242242≠=-==σa X E X E X D ii i满足独立分布中心极限定理条件,所以∑=nii X 12近似服从正太分布()22,σn na N,即∑==ni i nX n Y 121近似服从⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n a a a N 2242)(, 第五章 数理统计的基本概念总体 样本 统计量 一、选择题 1.D2.A ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑3. D二、应用题1. 5,2.551251511()(,,...)(),,...0,i X i i b a f x x x f x a x x b=⎧⎪-==<<⎨⎪⎩∏其它3.0,11,124()3,2341,3x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩抽样分布 一、选择题 1.C 注：1~(1)t n -才是正确的.2.B 根据()()2221~1n S n χσ--得到()221()~1ni i X X n χ=--∑ 3.A 解：()99211~(0,9)9~0,1ii i i XN X N ==⇒∑∑,()92219~9i i Y χ=∑由t()9t 二、应用题 1. (1,1)F n -2. 13~(10,)2X N 23.第五章 测验一、选择题 1. C2.C 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数 3D对于答案D,由于~(0,1),1,2,,i X N i n μσ-=,且相互独立,根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.C 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的5.C 12345{max(,,,,)15}P X X X X X >123451{max(,,,,)15}P X X X X X =-≤ ()15115,,15P X X =-≤≤=5)]5.1([1Φ- 二、填空题 1.μ,2nσ2.1nii Xn=∑()2111n i i X X n =--∑,11i n k i X n =∑,()11nk i i X X n =-∑ 3. ,pqp n4. 252(1)n χ-三、应用题1.(1)21211(,,...)()!!n n knn n ni i f x x x e e k k λλλλ+--====∏∏2. 0.13.(1)t n -第六章 参数估计参数的点估计 一、选择题二、解答题 1.解 1()()∑∑∞=-∞=-===1111}{x x x p p x x X xP X E ∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==11x x q q p q dq dpp1=()p q -=1 用X 代替()X E ,则得p 的矩估计量Xp 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n i i X n X 112分布参数p 的似然函数()()∏∏=-=-===ni x i n i p p x X P p L i 1111}{()∑-=-=ni i nx np p 11取对数 ()()p n x p n p L n i i -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1解似然方程 ()011ln 1=⎪⎭⎫⎝⎛---=∑=n i i n x p p n dp p L d得p 的极大似然估计量 Xp 1=⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n i i X n X 112.解 1()()()26;32θθθθθ=-==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E ,用∑==ni i X n X 11代替总体均值()X E ,则得参数θ的矩估计量为.2X =θ2()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑=n i i X n D X D X D D 11442θ()()()∑====ni iX D nX nD nX D n122444因为()()()()⎰∞+∞-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=22222;][θθdx x f x X E XE X D ()⎰=--=θθθθθ022332046 dx x x 所以 ()nn D 520422θθθ==3.解 取()()∑-=+-=112121,,,,n i i i n X X C X X X ϕ由定义()]()⎢⎢⎣⎡⎢⎣⎡=⎥⎦⎤-=∑-=+112121,,,n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑-=+=-1121n i i i X X E C][=+-∑-=++1121212n i i i i i X X X X E C ()()()][∑-=++=+-1121212n i i i i i X E X X E X E C()()()()][=+-∑-=++1121212n i iii i X E X E X E XE C ()()()][∑-=+=+-1122212n i ii X E X E X E C()()21122221σσσσ=-=+∑-=n i n C C所以 ()121-=n C参数的区间估计 一、选择题1. C2. A一个总体均值的估计1.解 由于,99.01=-α 故,31,01.0=-=n 又α查t 分布表得()0.0123 5.841,t =又%,03.0%,34.8==s x 故得μ的99%的置信区间为][%428.8%,252.8)%403.0841.534.8()%,403.0841.534.8( =⎢⎣⎡⎥⎦⎤⨯+⨯- 2.解 计算得样本均值16,0171.0,125.22===n s x10.120.10,1.645,0.01,u ασ=== 总体均值μ的90%的置信区间为]22 2.121, 2.129x u x u αα⎡⎤⎡-+=⎢⎣⎢⎣2.151,10.0=-=n α查t 分布表得()0.1215 1.753t =()753.11510.0=t ,总体均值μ的90%的置信区间为((]2211 2.117, 2.133x t n x t n αα⎡⎤⎡--+-=⎢⎣⎢⎣3.解：计算得265,3000,0.05x s α===, n -1=7,查t 分布表得()0.1027 1.895t =,计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为(2128.298x t n α--=. 4.解 每20.10hm 的平均蓄积量为315m ,以及全林地的总蓄积量375000m ,估计精度为0.9505A =5. ,一个总体方差与频率的估计1.解 由样本资料计算得3750.60=x ,3846.02=s ,6202.0=s ,又由于05.0=α,025.02=α,975.021=-α,151=-n 查2χ分布表得临界值,488.27)15(2025.0=χ,262.6)15(2975.0=χ从而2σ及σ的置信概率为%95的置信区间分别为,与,.2. 解 1由于,14=n ,05.0=α查t 分布表得()0.05213 2.16,t =又67.1,7.8==s x ,故得总体均值μ的95%的置信的区间为((]22117.736,9.664x t n x t n αα⎡⎤⎡--+-=⎢⎣⎢⎣2由于,10.0=α 05.0=２α,,95.021=-α,131=-n 查2χ分布表得()362.2213205.0=χ,()892.513295.0=χ,故得总体方差2σ的90%的置信区间为()()()()][153.6,621.111,112212222=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----n S n n S n ααχχ 3. 解,41,95.021,05.02,10.0=-=-==n ααα查2χ分布表得(),488.94205.0=χ ()711.04295.0=χ,又计算得1.21=x ,505.82=s ,故得该地年平均气温方差2σ的90%的置信区间为()()()()][85.47,58.311,112212222=⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----n s n n s n ααχχ 4. 解 造林成活率的置信区间为[0.8754,0.9369] 两个总体均值差的估计1. 解 由于182,05.021=-+=n n α,查t 分布表得临界值()0.05218 2.101.t =又,8.126,06.14,1021====y x n n ,96.71,93.162221==s s 从而求得21μμ-的置信概率为95%的置信区间为,.即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高7.536kg 到20.064kg.2.解由样本值计算得5,5,27,4.24221=====A B A n n y x σ,82=Bσ,05.0=α,,96.105.0=u 故21μμ-的95%的置信区间为()()]5.76,0.56A B A B x y x y ⎡⎢⎡---+=-⎣⎢⎣3.解由样本值计算得222211.10,875.75,30.11,44.81====B B A A s y s x ,,91=n ,82=n ,05.0=α 查t 分布表得()0.05215 2.131,t =故得B A μμ-的95%的置信区间为4. ,两个总体方差比的估计解 ,025.02,05.0,911===-=-ααB A n n 查F 分布表得()=--1,12B A n n F α()(),03.49,91,1025.02==--F n n F A B α故 2221σσ的95%的置信区间为：()()][⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤----6008.3,2217.01,1·,1,11·222222 n n F s s n n F s s A B BA B AB A αα第六章 测验一、选择题二、填空题 1.12α=2.21ˆ2X θ-= 3. ][588.5,412.4 4. 21;1λλ 5. ()0.351t n k -=三、计算题1.解 因为X ～N (),4,2μ所以(),9492222χχ～S =于是, ⎩⎨⎧=⎭⎬⎫>=>1.0169169}{22σS P a S P 查2χ分布表得,684.14169=a所以.105.26≈a ()(()(12212222 5.58,16.71.A B A B x y t n n x y t n n αα⎡--+-⎢⎣⎡⎤⎤-++-=-⎢⎥⎥⎦⎦⎣2.解 1()()λλλ-==∏∏==ex x f x x x f n i ni ix in i1121!;,,, ∏=-∑==ni i x n x eni i 1!·1λλ；2()()()λλλnn S E nX D X E n 1,,2-===. 3.解 因为X ～N()22,30 ,于是()(),)21(,30)162(,3022 ＝N ～N X 从而()1,02130 ～N X U -=,故 }{⎩⎨⎧⎭⎬⎫-<-<-=<<2/130312/1302/130293129X P X P()()()9545.0197725.0212222221302=-⨯=⎩⎨⎧-Φ=-Φ-Φ=⎭⎬⎫<-<-=X P4.解 1178320,314022====b x σμ ；219813322==s σ5.解 设施肥与不施肥的收获量分别为总体,,Y X 且X ～N ()，，21σμY ～N)(~22σμ，N Y ,计算可得,1738.1,9227.0,7.9,4.11222221====s s y x 又,05.0,162,10,82121==-+==αn n n n 查t 分布表得临界值()0.05216 2.12,t =从而计算均值差21μμ-的95%的置信区间为()()][.7773.2,6227.016810181738.199227.0712.27.94.11,16810181738.199227.0712.27.94.112222=⎥⎦⎤⨯⨯⨯+⨯+-⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⨯--故在置信概率下,每201亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产到斤.第七章 假设检验假设检验概念和原理 一、填空题：1、概率很小的事件在一次试验抽样中是不至于发生的;2、0H 为真,通过一次抽样拒绝0H 所犯错误； 0H 为假,通过一次抽样接受0H 所犯错误; 二、选择题 1、B ；2、D;三、应用计算题1、解：{}1232|1258P x x x p α=++≥=={}1232|14364P x x x pβ=++<==2、解：1、0.62c ==2、因c u α= 故拒绝原假设00:0H μμ==;3、{}1.15P x P α⎫=≥=≥[]3.6412(3.64)10.0003P ⎫⎪=≥=-Φ-=⎬⎪⎭一个总体参数的假设检验 一、填空题：1、X U =12(,,):1n X x x u α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭;3、1(,,):n R x x u p α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭二、选择题1．A 3. B 三、应用计算题1、1若根据以往资料已知σ=14 ；2σ未知; 解：101:500:500H H μμ=↔≠ 0.452x u ===因 20.452 1.96u u α=<= 故接受原假设0H . 从而包装机工作正常; 2.先检验标准差 0010:=15:H H σσσσ≥↔< 22222(1)(101)1610.2415n S χσ--=== 22110.24 3.325(1)n αχχ-=<=- 故拒绝原假设00:=15H σσ≥其次检验01:500:500H H μμ=↔≠ 0.395x T ===因2T 0.395 2.262(1)t n α=<=- 故接受原假设0:500H μ= 所以,综合上述两个检验可知包装机工作正常;2、解：0010:=0.3:=0.3H H σσσσ≤↔<22222(1)(251)(0.36)0.3456(0.3)n S χσ--=== 220.345636.415(1)n αχχ=<=- 故接受原假设;标准差没有明显增大;3、解：0010:0.9:0.9H p p H p p ≤=↔>= 4400.88500W ==1.49U ===-0.050.011.645, 2.33u u ==0.05 1.645U u <= 0.01 2.33U u <= 故两个水平下均接受原假设;两个总体参数的假设检验 一、填空题 1、等方差; 2、22122212S S F σσ=服从12(1,1)F n n --.分布;3、U =, 其中112212n W n W W n n +=+;二、选择题 1、 B 2. A 三、应用计算题1、解：012112::H H μμμμ=↔≠X YT =0.206==-因20.206 2.131(15)T t α=<= 故接受原假设;2、解：检验012112::H H μμμμ=↔≠1.5X Y U ==-因21.5 1.96U u α=<= 故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异; 3、解：012112::H p p H p p ≤↔>1202000.1W == 2152000.75W ==112212350.07500nW n W W n n +===+5.97U ==因 5.97 1.645U u α=>= 故拒绝原假设,即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂; 非参数假设检验 一、填空题 1、1m k --2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合;3、(1)(1)r c --; 二、选择题 1. A ；2. C 三、应用计算题1、解：0:H 该盒中的白球与黑球球的个数相等;记总体X 表示首次出现白球时所需摸球次数,则X 服从几何分布{}1(1)k P X k p p -==-,1,2,k=其中p 表示从盒中任摸一球为白球的概率;若何种黑球白球个数相等,则此时12p = 从而{}1112p P X ===, {}2214p P X === ,{}3318p P X === {}44116p P X ===,{}552116kk P X +∞-=≥==∑2521() 3.2i i i i v np np χ=-=∑2(4)9.488αχ= 223.29.488(4)αχχ<= 则接受原假设;2、解：0:H X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤{}100.250.0625p P X =<≤=,{}20.250.50.1875p P X =<≤={}30.50.750.3125p P X =<≤=,{}40.7510.4375p P X =<≤= 2421()64 1.82935i i i i v np np χ=-==∑ 2(3)7.815αχ= 因221.8297.815(3)αχχ<=故接受原假设即认为X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤; 3、解：0:H 公民对这项提案的态度与性别相互独立223211()2173.7ij ij i j ijn e e χ==-==∑∑因222173.7 5.991(2)αχχ>= 故拒绝0H ,即认为公民对这项提案的态度与性别不独立;4、略;第七章 测验一、填空题每小题4分,共20分1、12(,,):2n X R x x u α⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭2、X T =3、222(1)n S χσ-=；2χ；4、2122S F S =；(){}222211221212,,:,n R x x S S F S S F αα-=≥≤或；5、 =14α； 916β=．二、选择题每空4分,共20分1、A ；2、C ；3、B ；4、C ；5、A三、应用题共60分1、解：检验01:70:70H H μμ=↔≠ 1.4x T ===因2T 1.4 2.02(1)t n α=<=- 故接受原假设0:70H μ= 2、解： 001:=8:8H H σσσ=↔≠ 2220(1)(101)75.73310.6564n S χσ--⨯===221210.65 2.7(1)n αχχ-=>=- 故拒绝原假设00:=8H σσ=3、解：先检验2222012112::H H σσσσ=↔≠2122 3.3251.492.225S F S ==2212S S > 查表的212((1),(1)) 5.35F n n α--=因2121.49 5.35((1),(1))F F n n α=<=--故可认为方差相等; 其次检验012112::H H μμμμ≤↔>X YT =3.52=-因 3.52 2.552(18)T t α=-<= 故接受原假设012:H μμ≤ 4、解：0010:0.2:H p p H p p ≤=↔>,3.5U ===因 3.5 1.645U u α=>= 故拒绝原假设; 5、解：（1）1.026α= （2）0.0132β=第八章 方差分析与回归分析方差分析的概念与基本思想 一、名词解释1. 因素：影响试验指标变化的原因;2. 水平：因素所设置的不同等级3. 单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验4. 多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验,这类试验一般可用因素的数目来命名5. 处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合6. 处理效应组间误差：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响7. 随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异 二、问答题1. 单因素试验中,因素的每一个水平即为一个处理,试验有几个水平,就相应地有几个处理；多因素试验中,处理的数目是各因素水平的乘积;例如,三因素试验中,A 因素有a 个水平,B 因素有b 个水平,C 因素有c 个水平,则处理数为abc 个;2. 方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差,利用数理统计的相关原理建立适当的统计量,在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差,从而检验处理效应是否显著; 单因素方差分析 一、填空题1. 平方根变换,角度弧度反正弦变换,对数变换；2. 最小显著差数法,最小显著极差法；新复极差法,q 法；3. 总平方和,随机误差平方和,组间平方和; 二、计算题 1.2.解：112229i n r i j i j T X ====∑∑,211199327in rij i j X ===∑∑, ()222112229199327589.3625in rT ij i j T SS X n ===-=-=∑∑()()222122291200704219024174724495.36525ri A i iT T SS n n ==-=+++-=∑589.36495.3694e T A SS SS SS =-=-=方差分析表如下：因为0.01=26.35 4.43(4,20)F F >=,所以,当显著性水平=0.01α,5个温度对产量的影响有显著差异;3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析;其方差分析表如下：多重比较省略;4.母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用; 双因素方差分析1.F 检验结果表明,品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平; 2.; 回归分析的基本概念1.如何用数学语言描述相关关系相关关系就是一个或一些变量X 与另一个或一些变量Y 之间有密切关系,但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度,其数学语言描述可为：如果给定变量X 任意一个具体取值0x ,存在变量Y 的一个概率分布与其对应,并且该概率分布随0x 的不同而不同；同时给定变量Y 任意一个具体取值0y ,存在变量X 的一个概率分布与其对应,并且该概率分布随0y 的不同而不同,则称X 与Y 之间具有相关关系;相关关系是两个随机变量之间的平行相依关系;2.什么是回归关系回归关系与相关关系有何联系回归关系是指在相关关系中,如果X 容易测定或可人为控制,就将X 看成为非随机变量,并记为x 称为预报因子,这时x 与Y 称为预报量之间的关系称为回归关系; 回归关系是相关关系的简化,是变量之间的因果关系;一元线性回归模型的建立与检验 一、填空题 1.()211ˆ2n i i i Y y n =--∑; 2.01ˆˆy x ββ=- , ()()()1121ˆ=ni i xy i n xxi i x x Y Y L L x x β==--=-∑∑; 二、应用题1. 解：21111211113755.68,11xx i i i i L x x ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑11111111118708.58,11xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2111121116050.58311yy i i i i L y y ==⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑1先求回归方程,由于1=0.633,xy xxL L β=01=-38.97,y x ββ-=所以Y 关于x 的回归方程为ˆy0.633-38.97,x = 2用相关系数检验法计算样本相关系数00.955r ==因为()0.0190.7348,r =而()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的 3把0200x =代入回归直线方程,得ˆ0.633200-38.9787.63y=⨯=, 2. 略; 3. 证明略;预测、控制与残差分析（1） 解：211112211113675051013104.55,1111xx i i i i L x x ==⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑11111111111139105102143988.18,1111xy i i i i i i i L x y x y ===⎛⎫⎛⎫=-=-⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑2111122111154222141258.731111yy i i i i L y y ==⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑1先求回归方程,由于13988.18=0.304,13104.55xy xxL L β==01214510=0.304 5.36,1111y x ββ-=-⨯= 所以Y 关于x 的回归方程为ˆy5.360.304,x =+ 在检验,用相关系数检验法计算样本相关系数00.982r ===取=0.01α,查相关系数检验表得,()0.0190.7348,r =由于()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的;2把075x =代入回归直线方程,得ˆ 5.360.3047528.16y=+⨯=, ˆ 2.301σ==,0.05(9) 2.626t =， 故当075x s =时,腐蚀深度Y 的95%预测区间为[]28.16 2.262 2.301 1.074,28.16 2.262 2.301 1.074,-⨯⨯+⨯⨯即 []22.57.7，335. 3要使腐蚀深度在1020m μ之间,即1210,20,y y Y ==的取值在区间[]1020，内时,则由方程组10112012ˆ2ˆ2,y x y x ββσββσ=+-⎧⎨=++⎩ 解得()()()()1101220111ˆ210 5.362 2.30130.40,0.30411ˆ220 5.362 2.30133.02.0.304x y x y βσββσβ=-+=⨯-+⨯==--=⨯--⨯=可线性化的一元非线性回归 一、填空题011ln ,ln ,ln ,Y Y x x ββββ''''====；00111ln ,,ln ,Y Y x xββββ''''====；ln ,lg Y Y x x ''==;二、解答题解：做散点图如右图;由于Y 与x 散点图呈指数曲线形状,于是有•,x Y e βαε=()2ln 0,N εσ两边取对数,令ln ,ln ,,,ln Y Y a b x x αβεε'''=====模型转化为线性模型()2,0,Y a bx N εεσ''''=++对所给数据进行形影变换得到10ˆˆ0.29768,8.164585ββ=-= 所以Y '对x '的样本回归方程为 8.164585-0.29768Y x ''=用t 检验法检验'Y 对'x 的回归效果是否显著,取显著性水平为,可得()0.02532.36938 2.3060t t ==>=即线性回归效果是显著的;代回原变量,得曲线回归方程()0.29768ˆˆexp 3514.26x yy e -'== 第八章 测验一、选择题1、A ；2、C ；3、B ；4、D 二、填空题1. 正态 ,独立, 等方差 ;2. ()201,~0,Y x N ββεεσ=++;3. ˆr β=三、解答题 1.提示与解答：方差分析结果表明,农药的杀虫效果是极显著的;2. 提示与解答：一元线性回归方程建立、检验、应用. 销售费用Y 与销售收入x 之间的经验回归方程为ˆ 3.140.108Yx =+ 销售费用Y 与销售收入x 之间的线性回归关系是显著的;。
11-12《概率论与数理统计习题册》
班级 姓名 班内序号习题一 样本空间、随机事件、概率一、填空题．1．设,,A B C 为三事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件．（1）A 发生，B 与C 不发生：（2）A 与B 都发生，而C 不发生：（3）,,A B C 中至少有一个发生：（4）,,A B C 都不发生：（5）,,A B C 中不多于一个发生：（6）,,A B C 中不多于两个发生：（7）,,A B C 中至少有两个发生：2．设,A B 为两随机事件且3()7P AB =，4()()7P A P B ==，则()P A B ⋃=3．设A B ⊃，(),()P A p P B q ==，则()P A B -=4．判断下列命题的正误．（1）()A B AB B ⋃=⋃ （ ） （2）AB A B =⋃ （ ）（3）若,,AB C A BC φφ=⊂=且则（ ） （4）若B A A B A⊂⋃=，则（ ） 二、计算题．1．写出下列随机试验的样本空间Ω和下列事件所包含的样本点．（1）掷一颗骰子，出现奇数点．（2）掷两颗骰子，A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点”2．设,A B 为两事件且()0.6,()0.7P A P B ==，问（1）在什么条件下()P AB 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下()P AB 取到最小值，最小值是多少？3．设,,A B C 为三事件，且1()()(),()()04P A P B P C P AB P BC =====， 1()8P AC =，求,,A B C 至少有一个发生的概率．4．设,A B 为两事件，且()0.7,()0.3P A P A B =-=，求()P AB ．班级姓名班内序号习题二古典概型一、填空题．1．已知6只产品中有两只次品，在其中任取两只，则两只都是正品的概率是2．设一同学书桌上放着9本书，其中有3本英语书，现随机取两本，取到的全是英语书的概率为3 ．在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连续抽取7张进行排列，则排列结果为ability的概率为二、计算题．1．对一个5人学习小组考虑生日问题：（1）求5个人的生日都在星期日的概率；（2）求5个人的生日都不在星期日的概率；（3）求5个人的生日不都在星期日的概率．2．从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？3．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小号码为5的概率． (2) 求最大号码为5的概率．4．随机地向半圆0)y a <<为正常数内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率是多少？班级 姓名 班内序号习题三 条件概率、全概率公式一、计算题．1．设()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，求()P B A B ⋃．2．已知在10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品．3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，问他拨号不超过3次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？4．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？5．有两箱同种类的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取1只，作不放回抽样．求（1）第一次取到的零件是一等品的概率．（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．班级 姓名 班内序号习题四 独立性一、填空题．1．假设,A B 是两个相互独立的事件，()0.7,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B =2．某人向同一目标重复射击，每次命中率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好是第二次命中的概率为二、计算题．1．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一个能将密码译出的概率是多少？2．袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？3．甲、乙、丙3人独立地向飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率．4．证明：若()()P A B P A B =，则,A B 相互独立．（提示：()()()P AB P A P AB =-）班级姓名班内序号习题五离散型随机变量及其分布律1．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以X 表示3只求中的最大号码，写出随机变量X的分布律．2．进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p，失败的概率为=-<<．1(01)q p p（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律．（此时称X服从以p为参数的几何分布）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律．（此时称Y服从以,r p为参数的巴斯卡分布）3．设离散型随机变量X 的分布律为：{},(1,2,3,)k P X k b k λ===且0b >，求λ的值．4．设随机变量X 服从泊松分布，且满足{1}{2}P X P X ===，求{4}P X =．5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，今各投3次，求（1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率．班级姓名班内序号习题六分布函数与连续型随机变量（一）1．将一枚硬币连抛2次，以X表示正面朝上的次数，写出X的分布律和分布函数，并画出分布函数的图形．2．以X表示某商店从早晨开始营业起到直到第一个顾客到达的等待时间（以分钟计），X的分布函数是0.41,0(),0,0xXe xF xx-⎧->=⎨≤⎩求下述概率：（1）{3}P至多分钟；（2）{}P至少4分钟；（3）{3}P分钟至4分钟之间；（4）{3}} P至多分钟或至少4分钟；（5）{ 2.5}P恰好分钟3．设连续型随机变量X 的分布函数为：,0(),(0)0,0x A Be x F x x λλ-⎧+≥=>⎨<⎩（1）求常数,A B ；（2）求{2},{3}P X P X ≤>；（3）求密度函数()f x4．已知随机变量X 的密度函数为：(),()xf x Ae x -=-∞<<+∞求：（1）常数A 的值；（2）{01}P x <<（3）()F x班级 姓名 班内序号习题七 连续型随机变量（二）一、填空题．1．设随机变量X 服从指数分布，其密度函数为：,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，含有变量a 的二次方程220a a X ++=有实根的概率为 2．记z α为标准正态随机变量的上α分位点，则0.01z = ， 0.003z = ，0.997z = ． 二、计算题．1．某种型号的器件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：21000,1000()0,x f x x ⎧>⎪=⎨⎪⎩其它现有一大批此种器件（设各器件损坏是否相互独立），任取5只，问其中至少有一只寿命大于1500小时的概率是多少？2．设2~(3,2)X N ，求 （1）{25}P X <≤，{2}P X >（2）确定c 使得{}{}P X c P X c >=≤（3）设d 满足{}0.9P X d >≥，问d 至多为多少？3．设随机变量X Y 与均服从正态分布，且2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，试比较以下12p p 和的大小．12{4},{5}p P X p P Y μμ=≤-=≥+4．设随机变量2~(,)X N μσ，试问：随着σ的增大，概率{}P X μσ-<是如何变化的？班级 姓名 班内序号习题八 随机变量函数的分布1．设随机变量X 的分布律为：求2Y X =的分布律．2．设随机变量X 服从（0，1）上均匀分布． （1）求XY e =的概率密度．（2）求2ln Y X =-的概率密度．3．设~(0,1)X N ，求Y X =的概率密度．4．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,xx f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求s i n Y X =的概率密度．5．设随机变量X 服从参数为12的指数分布，证明：21X Y e -=-在区间 （0，1）上的均匀分布．班级 姓名 班内序号习题九 二维随机变量和边缘分布一、填空题．1．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为2(,)(arctan )(arctan ),(,)22x F x y A B y x y R π=++∈则常数A = B =2．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{,}P a X b Y d <≤≤= 二、计算题．1．箱子中装有12只开关，其中2只次品，取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样（2）不放回抽样，我们定义随机变量,X Y 如下：0,1,X ⎧=⎨⎩若第一次取的是正品若第一次取的是次品 0,1,Y ⎧=⎨⎩若第二次取的是正品若第二次取的是次品试分别就（1）（2）两种情况，写出,X Y 的联合分布律．2．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 (6),02,24(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它（1）确定常数k ； （2）求{1,3}P X Y <<；（3）求{ 1.5}P X <； （4）求{4}P X Y +≤．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为 ,0(,)0,y e x yf x y -⎧<<=⎨⎩其它（1）求随机变量X 的密度()X f x ； （2）求{1}P X Y +≤．班级 姓名 班内序号习题十 条件分布、相互独立的随机变量1． 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下：(1)求X Y 和的边缘分布；(2)求在0.4Y =的条件下X 的分布律；(3){50.4}P X Y ≥=；（4）判断X Y 和是否相互独立．2． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：1,,01(,)0,y x x f x y ⎧<<<=⎨⎩其它（1）求条件概率密度(),()Y X X Y f y x f x y ；（2）判断X Y 和是否相互独立．3． 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：2221,1(,)40,x y x y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它（1）求边缘概率密度；（2）判断X Y和是否相互独立．4．在（0，1）上随机取两个数，求这两个数之差的绝对值小于12的概率．5．设X Y和是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为：21,0 ()20,0yYe yf yy-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩（1）求X Y和的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为220a Xa Y ++=，试求a 有实根的概率．6*．设随机变量X Y 和相互独立，下表列出随机变量(,)X Y 联合分布律及关于X Y 和的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．班级 姓名 班内序号习题十一 随机变量函数的分布一、填空题．1、 设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间（0，3）上的均匀分布， 则{max(,)1}P X Y ≤=2、 设X Y 与为两个随机变量，且3{0,0},7P X Y ≥≥=4{0}{0},7P X P Y ≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=二、计算题1．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它， ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其它求随机变量Z X Y =+的概率密度．2．设X Y 与为两个独立的随机变量，其概率密度分别为：,0()0,0x X e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，,0(),(,0)0,0y Y e y f y y μμμλ-⎧>=>⎨≤⎩为常数引入随机变量 1,0,X YZ X Y ≤⎧=⎨>⎩，（1）求条件概率密度()X Y f x y ；（2）求Z 的分布律和分布函数．3．设某种型号的电子元件的寿命（于小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机地取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率．4．设X Y 与相互独立，1{},(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为 1,01()0,Y y f y ≤≤⎛=⎝其它，记Z X Y =+， （1）求1{0}2P Z X ≤=；（2）用全概率公式计算{ 1.4}P Z ≤5．设随机变量,X Y 相互独立，且服从同一分布．试证明： 22{min(,)}[{}][{}]P a X Y b P X a P X b <≤=>->班级 姓名 班内序号习题十二 数学期望一、填空题．1．X 服从参数为1的指数分布，则2(23)XE X e-+=2．~(1)X π，则{2()}P X E X ==二、计算题．1．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次．每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备．以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X ．（设各产品是否为次品是相互独立的）2．设随机变量X Y 与的联合概率分布如下：求()E X ，()E Y ，()E XY ．3．设(,)X Y 的概率密度为： 212,01(,)0,y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它求()E X ，()E Y ，()E XY ，22()E X Y +．4．将n 只球（1~n 号）随机地放进n 只盒子（1~n 号）中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求()E X ．班级 姓名 班内序号习题十三 方差一、填空题．1．设~(,)X b n p ，则()E X = ，()D X = 2．设~()X πλ，则()E X = ，()D X = 3．设~(,)X U a b ，则()E X = ，()D X =4．设X 服从参数为θ的指数分布，则()E X = ，()D X = 5．设2~(,)X N μσ，则()E X = ，()D X = 6．已知随机变量~(3,1),~(2,1)X N Y N -，且,X Y 相互独立，27Z X Y =-+，则~Z二、计算题．1．设随机变量1234,,,X X X X 相互独立，且有(),()5,i i E X i D X i ==-(1,2,3,4)i =．设12341232Y X X X X =-+-，求(),()E Y D Y ．2．卡车装运水泥，设每袋水泥的重量X （以公斤计）服从2(50,2.5)N ，问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05．3．设随机变量,X Y 相互独立，且~(6,16),~(1,9)X N Y N ，求 （1）{}P X Y >，（2）{7}P X Y +>4．设X 为随机变量，C 为常数，证明2(){()}D X E X C ≤-．班级 姓名 班内序号习题十四 协方差与相关系数一、填空题．1．设()1,()1,()1,()2,(,)1E X D X E Y D Y Cov X Y =-====， 则(34)E X Y += ，(34)D X Y -= 2．设()2,()3,(,)1D X D Y Cov X Y ===-， 则(321,43)Cov X Y X Y -++-=3．设~(0,1),~(1,4)X N Y N ，1xy ρ=，则{21}P Y X =+=4．设221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ，则X Y 和相互独立的充要条件是ρ=二、计算题．1．设随机变量(,)X Y 具有概率密度：1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求()E X ，()E Y ，(,),,().XY Cov X Y D X Y ρ+2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为：221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它，试验证X Y 和是不相关的，但X Y 和不是相互独立的．3．设(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()X Y D X D Y σσ==，证明当222/X Y a σσ=时随机变量W X aY X aY =-=+与V 相互独立．班级 姓名 班内序号习题十五 大数定律与中心极限定理一、填空题．1．设随机变量X 具有2(),()E X D X μσ==，则有切比雪夫不等式，有{3}P X μσ-≥≤ 2．设12,,,,n X X X 相互独立同分布，且()n E X =0，则1lim {}ni n i P X n →∞=<=∑ 二、计算题．1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数．设所有舍入误差是独立的且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布．（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？2．设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9，以95%概率估计，在一次行动中，至少有多少人能够进入？3．在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费，求：（1）保险公司没有利润的概率为多大？（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？4．一复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性为0.90，且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作，问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95？班级 姓名 班内序号习题十六 样本及抽样分布（一）一、填空题． 1．设12,,,n X X X 为来自总体2(0,)N σ的样本，且随机变量221()~(1)ni i Y C X χ==∑，则常数C =2．设1234(,,,)X X X X 取自正态总体2~(0,2)X N 的样本，且22123411(2)(34)20100Y X X X X =-+-，则，~Y 分布． 二、计算题．1．在总体2(52,3)N 中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率．2．求总体(20,3)N 的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率．3．设1210,,,X X X 为2(0,0.3)N 的一个样本，求1021{ 1.44}i i P X =>∑．4．设总体2~()X n χ，1210,,,X X X 是来自X 的样本，求2(),(),()E X D X E S ．班级 姓名 班内序号习题十七 样本及抽样分布（二）二、填空题．1．设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，则22221()(1)~ni i X X n S σσ=--=∑分布，221()~ni i X μσ=-∑分布．2．记()t n α为t 分布的上α分位点，则0.995(29)t = 3．已知~(),X t n 则2~X 分布． 二、解答题．1．设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X 是来自X 的样本．（1）求12(,,,)n X X X 的分布律；（2）求1ni i X =∑的分布律；（3）求2(),(),()E X D X E S ．2．设在总体2(,)N μσ中抽取一容量为16的样本，这里2,μσ均为未知．（1）求222{ 2.041},S P S σ≤其中为样本方差；（2）求2()D S3．设总体2~(,)X N μσ，1234,,,X X X X 为来自X 的样本，Y =~(2).Y t班级 姓名 班内序号习题十八 点估计1． 设12,,,n X X X 为总体X 的一个样本，X 的密度函数为：1,01(),(0)0,x f x θ≤≤=>⎝其它，求θ的矩估计和最大似然估计．2．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为 2()2,(;)0,x e x f x θθθ--⎧>=⎨⎩其它其中0θ>为未知参数，又设12,,,n x x x 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．3．设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，且~()X πλ．求{0}P X =的最大似然估计．4．设总体X 具有分布律（如下表）其中(01)θθ<<为未知参数．已知取得了样本值1231,2,1x x x ===．试求θ的矩估计值和最大似然估计值．班级 姓名 班内序号习题十九 估计量的评价标准一、填空题．1．设12,,,n X X X 是来自总体(,)B n p 的样本，若2X kS +为2np 的无偏估计，则k =2．设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，若21()n i i a X μ=-∑和21()n i i b X X =-∑都是2σ的无偏估计，则a = ，b = 二、解答题．1．设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本，设2(),()E X D X μσ==（1）确定常数c 使1211()n i i i cX X -+=-∑为2σ的无偏估计；（2）确定常数c 使22()X cS -为2μ的无偏估计．2．设1234,,,X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体的样本．其中θ未知．设有估计量： 1123411()()63T X X X X =+++， 212341(234)5T X X X X =+++， 312341()4T X X X X =+++ （1）指出中哪几个是θ的无偏估计量；（2）在上述θ的无偏估计量中指出哪一个较为有效．3．设ˆθ是参数θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>，试证^22ˆ()θθ=不是2θ的无偏估计．班级 姓名 班内序号习题二十 正态总体均值与方差的区间估计1．设总体~(,8)X N μ，1236(,,,)X X X 为其简单随机样本，[1,1]X X -+是μ的一个置信区间，求该置信区间的置信水平．2．设某种油漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为：6.0 5.7 5.8 6.57.0 6.3 5.6 6.1 5.3设干燥时间总体服从正态分布2(,)N μσ，求μ的置信水平为0.95的置信区间．（1）若由以往的经验知σ=0.6（小时）；（2）若σ为未知．3．随机地取某种炮弹9发做实验，得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信水平为0.95的置信区间．4．研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05/cm s ，取样本容量为1220n n ==，得燃烧率的样本均值分别为1218/,24/x cm s x cm s ==，求两燃烧率总体均值差12μμ-的置信水平为0.99的置信区间．5．设2~(,)X N μσ，2σ已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信水平为1α-，且置信区间的长度不大于L ？班级 姓名 班内序号习题二十一 单侧置信区间1．为研究某种汽车轮胎的磨损特性，随机地选择16只轮胎，每只轮胎行使到磨损为止，所行使的路程为1216,,,X X X ，假设这些数据来自正态总体2(,)N μσ，其中2,μσ未知，计算得出41117,1347X S ==，试求：（1）求μ的置信水平为0.95的单侧置信下限；（2）求方差2σ的置信水平为0.95的单侧置信上限．2．设两位化验员,A B 独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各作10次测定，其测定值的样本方差依次为220.5419,0.6065A B S S ==．设22,A B σσ分别为,A B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的，（1）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的置信区间；（2）求方差比22/A B σσ的置信水平为0.95的单侧置信上限．班级 姓名 班内序号习题二十二 假设检验一、填空题．1．在假设检验中，0H 表示原假设，1H 为备择假设，则犯第一类错误指的是 不真，接受 ；犯第二类错误指的是 不真，接受 ．2．设12(,,,)n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的样本，2σ已知，现要检验假设00:H μμ=，则应选取的统计量是 ；当0H 成立时，该统计量服从 分布．3．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 ．二、计算题．1．已知某炼钢厂铁水含碳量服从正态分布2(4.55,0.108)N ，现在测定了9种铁水，其平均含碳量4.84．若估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（0.05α=）？2．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，样本标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩仍为70分？（给出检验过程）3．要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时。
概率论与数理统计统计习题册
第一章 随机事件与概率一、填空题1. 设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2. 设 A 、B 为随机事件， ，，P (A)=0.5P(B)=0.6P(B A )=0.8。
则P(＝ B )A3. 若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7, 则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 二、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是（ ） （A ）P (A B) = P (A) （B ）⋃()P(A)P AB ;= （C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ） （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是（ ）（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是（ ） （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
5. 若()P B A =1，那么下列命题中正确的是（ ）（A ）A （B ）B ⊂B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ） ()P A B -=0三、计算题1. 一个袋内装有7个球，其中4个白球，3个黑球。
概率论与数理统计练习册(最新)简单答案
练习 1.1一、1.样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合；2.互不相容；3.一定是，不一定是；4.必有一个 二、1. )},(),,(),,(),,(),,(),,{(E B D B C B E A D A C A =Ω; 2. }6,5,4,3,2,1,0{=Ω 三、1.321A A A ⋃⋃; 2. 321A A A ; 3. 321321321A A A A A A A A A ⋃⋃四、1.=A {至多出现2 次正面}；2.=A {至少出现4次正面}；3.=A {至多出现2 次反面} 五、=C {5,6,7,8,9,10}; }10,8,6,4,3,2,1{=⋃C A ;}4,2{=AC ; }10,8,6{=-C A ;Ω=⋃B A ；φ=AB六、1. C AB 表示该生是某系三年级的女生 ，但不会弹钢琴；2. 当某系会弹钢琴者全是三年级的女生时，C C B A = ；3. 当某系除三年级外其它年级的学生都不会弹钢琴，B C ⊆；4.当三年级学生都男生，而且其它年级都没有男生时，B A =练习 1.2一、1.稳定性；2. 近似值，稳定值；3.(i)只有有限个基本事件；(ii)每个基本事件发生的可能性相等；4. 0.9， 0.3， 0.6， 0.7， 0.2， 0.9；5. 0.6；6. ()P A ; 7. 0.7; 8. 7/12. 二、当A B ⋃=Ω时，()P AB 取到最小值为0.3；当AB A =时，()P AB 取到最大值0.6。
三、1931711020C C p C =; 1017210201-C p C =.四、1. 1221288p =；2. A φ≠，但()0P A =. 五、10103651210103641,1365365P p p =-=-. 六、提示：利用()1()1[()()()]P AB P A B P A P B P AB =-⋃=-+-.七、()1()P AB P AB =-,而()()()()()0.70.30.4.P AB P A P AB P A P A B =-=--=-= 故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=练习 1.3一、1. ;;;;1;1ac b acac a b ac a ac c b a-+----. 2. 0.54; 3. 0.2, 0; 4. 1/18; 5. 0.829, 0.988二、23。
概率论与数理统计习题册
概率论与数理统计习题册(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）.A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x X N X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑4． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--12(~(0,1)X X N C.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--5. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 612,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC. 221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 7. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. C.320D. 2658设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211- 9设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A. 161,121,81B. 161,121,201C. 31,31,31D. 41,31,2110设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑服从分布是( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P .5．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．6设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σn S n -服从 分布.第七章 参数估计一、选择题1. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-ni i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计2 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,max{21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,min{},,,max{2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；3 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 4 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 5 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++（C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+6 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 7. 设θ为总体X 的未知参数，21,θθ是统计量，()21,θθ为θ的置信度为)10(1<<-a a 的置信区间，则下式中不能恒成的是（ ）.A. a P -=<<1}{21θθθB. a P P =<+>}{}{12θθθθC. a P -≥<1}{2θθD. 2}{}{12aP P =<+>θθθθ 8 设),(~2σμN X 且2σ未知，若样本容量为n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则μ的95%的置信区间为（ ）A. )(025.0u n X σ±B. ))1((05.0-±n t nS XC. ))((025.0n t nS X ±D. ))1((025.0-±n t nS X9 设22,),,(~σμσμN X 均未知，当样本容量为n 时，2σ的95%的置信区间为（ ）A. ))1()1(,)1()1((2025.022975.02----n x S n n x S nB. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n x S n n x S nC. ))1()1(,)1()1((2975.022025.02----n t S n n t S n D. ))1((025.0-±n t nS X 二、填空题1. 点估计常用的两种方法是： 和 .2. 若X 是离散型随机变量，分布律是{}(;)P X x P x θ==，（θ是待估计参数），则似然函数是 ，X 是连续型随机变量，概率密度是(;)f x θ，则似然函数是 .3. 设总体X 的概率分布列为：X 0 1 2 3 P p 2 2 p (1-p ) p 2 1-2p其中p (2/10<<p ) 是未知参数. 利用总体X 的如下样本值： 1， 3， 0， 2， 3， 3， 1， 3则p 的矩估计值为__ ___，极大似然估计值为 . 4. 设总体X 的一个样本如下：，，，，则该样本的数学期望)(X E 和方差)(X D 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体X 的密度函数为：⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x ，设n X X ,,1 是X 的样本，则λ的矩估计量为 ，最大似然估计量为 .6. 假设总体),(~2σμN X ，且∑==ni i X n X 11，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则X 是 的无偏估计.7 设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，则常数k= , 使∑=-ni i X X k 1为的无偏估计量.8 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为40=S .设电子管寿命分布未知，以置信度为95.0，则整批电子管平均寿命μ的置信区间为（给定96.1,645.1025.005.0==Z Z ） .9设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为.10 某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定05.0=α则滚珠的平均直径的区间估计为 .)96.1,645.1(025.005.0==Z Z11. 某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：已知原来直径服从)06.0,(N μ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为 ，（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）.12. 某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得2.0=S ，则σ的置信区间为 （1.0=α，68.19)11(22=αχ，57.4)11(221=-αχ）.第八章 假设检验一、选择题1. 关于检验的拒绝域W,置信水平α,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是( ). A. α的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述 B ．事件021|),,,{(H W X X X n ∈ 为真}即为一个小概率事件C ．设W 是样本空间的某个子集，指的是事件120{(,,,)|}n X X X H 为真D ．确定恰当的W 是任何检验的本质问题2. 设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,要采用检验估计量( ).A.nX /0σμ- B.nS X /0μ- C.nS X /μ- D.nX /σμ-3. 样本n X X X ,,,21 来自总体)12,(2μN ,检验100:0≤μH ,采用统计量( ). A.nX /12μ- B.nX /12100- C.1/100--n S X D.nS X /μ-4设总体22),,(~σσμN X 未知,通过样本n X X X ,,,21 检验假设00:μμ=H ,此问题拒绝域形式为 .A.}C >B. }/100{C nS X <- C. }10/100{C S X >- D. }{C X >5．设n X X X ,,,21 为来自总体)3,(2μN 的样本，对于100:0=μH 检验的拒绝域可以形 如（ ）.A ．}{C X >-μ B. {100}X C ->C. }C >D. {100}X C -<6、 样本来自正态总体),(2σμN ,μ未知,要检验100:20=σH ,则采用统计量为( ). A.22)1(σS n - B. 100)1(2S n - C. n X 100μ- D. 1002nS7、设总体分布为),(2σμN ,若μ已知,则要检验100:20≥σH ,应采用统计量( ).A.nS X /μ- B.22)1(σSn - C.100)(21∑=-ni iXμ D.100)(21∑=-ni iX X二、填空题1. 为了校正试用的普通天平, 把在该天平上称量为100克的10个试样在计量标准天平上进行称量,得如下结果:, , , 101,2,,假设在天平上称量的结果服从正态分布,为检验普通天平与标准天平有无显著差异,0H 为 .2．设样本2521,,,X X X 来自总体μμ),9,(N 未知.对于检验00:μμ=H ，01:μμ=H ，取拒绝域形如k X ≥-0μ，若取05.0=a ，则k 值为 .第六章 样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2.（C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3.（D ）对于答案D,由于~(0,1),1,2,,iX N i n μσ-=，且相互独立，根据2χ分布的定义有2212()~()nii Xx n μσ=-∑4.(C) 注：1~(1)X t n -才是正确的.5.(D)6C) 注：1~(0,)X N n~(1)t n -才是正确的{}{}12121211P X P X -≤=-≤-(({}2121121P X =-≤-=Φ- 7.(A) ()9922221192859257.591918iii i XX XX S ==--⨯-⨯====--∑∑ 8.(A) 9.(B) 解：由题意可知122~(0,20)X X N +，345~(0,12)X X X N ++，6789~(0,16)X X X X N +++，且相互独立，因此()()()()22212345678922~3201216X X X X X X X X X χ++++++++，即111,,201216a b c === 10(A)解：()99211~(0,9)9~0,1i i i i X N X N ==⇒∑∑，()92219~9i i Y χ=∑由t分布的定义有()9t 二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量2.代表性和独立性3.μ，2nσ4.6.2(1)n χ-第七章 参数估计一、选择题 1.答案： D.[解] 因为)()(222X E X E -=σ，∑===n i i X n A X E 12221)(ˆ，∑===ni i X n A X E 111)(ˆ，所以，∑=-=-=n i i X X n X E X E 12222)(1)(ˆ)(ˆˆσ. 2.答案： A.[解]因为似然函数n i in X a a L )max (11)(≤=，当i i X a max =时，)(a L 最大， 所以，a 的最大似然估计为},,,max{21n X X X . 3 答案 A .[解]似然函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∏=2212)(21exp 21),(μσσπσμi ni x L ， 由0ln ,0ln 2=∂∂=∂∂L L σμ，得22A =∧σ. 4. 答案 C.[解]在上面第5题中用μ取代X 即可.5答案 B.6.答案 C. 7答案 D. 8.答案 D. 9.答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.∏iix p );(θ，∏iix f );(θ；.3 41, ； [解] （1） p 的矩估计值28/1681===∑=i i X X ，令X p X E =-=43)(，得p 的矩估计为 4/14/)3(ˆ=-=X p. （2）似然函数为4281)]3()[2()]1()[0()()(=======∏=X P X P X P X P x X P p L i i42)21()1(4p p p --=)21ln(4)1ln(2ln 64ln )(ln p p p p L -+-++=令 0218126])(ln [=----='pp p p L ， 0314122=+-⇒p p 12/)137(±=⇒p . 由 2/10<<p ，故12/)137(+=p 舍去 所以p 的极大似然估计值为 .2828.012/)137(ˆ=-=p 4、 ，；[解] 由矩估计有：nXX E X X Eii∑==22)(ˆ,)(ˆ，又因为22)]([)()(X E X E X D -=，所以71.1575.165.17.175.17.1)(ˆ=++++==X X E且00138.0)(1)(ˆ12=-=∑=n i i X X n X D . 5、XX --=112ˆλ, ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ；[解] （1）λ的矩估计为：210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰λλλλλλλx dx x x X E 样本的一阶原点矩为：∑==ni i x n X 11所以有：XX X --=⇒=++112ˆ21λλλ （2）λ的最大似然估计为：λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ；∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得：∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ.6、μ；[解]μμ===∑=nn X E n X E n i i 1)(1)(.7、)1(2-n n π；[解]注意到n X X X ,,,21 的相互独立性，()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121 21)(,0)(σnn X X D X X E i i -=-=-所以，)1,0(~2σnn N X X i --， dz enn z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=σπnn 122-=因为：⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==n i i n i i X X E k X X k E 11||||σσπ=-=nn kn122 所以，)1(2-=n n k π.8、. [，]；[解] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：05.0,40,1000=α==S X ，96.1025.0=Zμ的95%的置信区间是：]84.1007,16.992[],[025.0025.0=+-Z nSX Z n S X . 9、22((1),(1))X n X n αα--； [解]这是2σ为未知的情形，所以)1(~/--n t nS X μ.10、 [，]；[解] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得：905.004.0152==α=σ=n x ，代入计算可得：]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-， 化间得：]131.15,869.14[. 11、 [，]；[解] 这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为：],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X696.105.0025.0===αn Z 代入即得：]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯- 所以为：]146.15,754.14[12、. [，]； [解] 由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得： 2222)1(αχσS n -≥，22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为：[)11()1(222αχS n -，)11()1(2212αχ--S n ] ， 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0].第八章 假设检验一、选择题 、、、、、、、 二、填空题 1.100=μ 2.。
概率论与数理统计练习册及答案
第一章 概率论的基本概念一、选择题1．将一枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（ ） A ．{（正，正），（反，反），（一正一反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{一次正面，两次正面，没有正面} D.{先得正面，先得反面}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表示（ ） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有一个发生 C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发生3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（ ）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（ ）.A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对立事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ⊂则下面答案错误的是( ). A. ()B P A P ≤)( B. ()0A -B P ≥C.B 未发生A 可能发生D.B 发生A 可能不发生 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为一列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是( ).A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独立,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独立,则11()()n ni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个白球,b 个黑球,从中任取一个,则取得白球的概率是( ). A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有十张电影票,其中只有两张座号在第一排,现采取抽签方式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更大可能抽到第一排座票B.后抽者更可能获得第一排座票C.各人抽签结果与抽签顺序无关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个小球随机放到)(N n N ≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !C. nn N Nn C !⋅ D.Nn 13.设有r 个人,365≤r ,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均等的,则此r 个人中至少有某两个人生日相同的概率为( ).A.rr P 3651365- B. rr r C 365!365⋅ C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第一次抽的是不合格品},=2A {第二次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A P B.)(2A P 的值不依赖于抽取方式(有放回及不放回) C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取方式15.设A,B,C 是三个相互独立的事件,且,1)(0<<C P 则下列给定的四对 事件中,不独立的是( ). A.C AUB 与B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三人每人购买１张,则恰有一个中奖的概率为( ). A.4021 B.407 C. 3.0 D. 3.07.02310⋅⋅C 17.当事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C PB.1)()()(-+≥B P A P C PC.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P 且则( ). A. A 与B 不相容 B. A 与B 相容 C. A 与B 不独立D. A 与B 独立19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的 是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P ,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有一个发生的概率为( ). A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在一次试验中事件A 发生的概率为P ,现重复进行n 次独立试验 则事件A 至多发生一次的概率为( ). A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.一袋中有两个黑球和若干个白球,现有放回地摸球4次,若至少摸 到一个白球的概率为8180,则袋中白球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正面朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25C.0.125D.0.37524.四人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ).A.1B.21C.52 D. 32 25.已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( ). A. 81B. 83C. 85D.87 26.甲,乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被击中的概率为( ). A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知目标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43B.65C.32D.116 28.三个箱子,第一箱中有4个黑球1个白球,第二箱中有3个黑球3个白球,第三个箱中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱中取出一个球,则取到白球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱子,箱中装有黑、白两种颜色的小球,各类箱子中黑球、白球数目之比为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱子数目之比为1:3:2，现随机取一个箱子，再从中随机取出一个球，则取到白球的概率为（ ）. A.135B.4519 C.157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是一只白球,则此球是来自第二类箱子的概率为( ). A.21 B. 31C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有一枚为“残币”中华人民共和国其两面都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出一枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”面朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（ ）.A.1001B. 10099C.1010212+ D.10102992+ 32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客随机察看1只,若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ). A.0.94B.0.14C.160/197D.420418419C C C + 二、填空题1. E ：将一枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω . 2．某商场出售电器设备，以事件A 表示“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表示“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售一种品牌的电视机可以表示为 ；至少出售一种品牌的电视机可以表示为 ；两种品牌的电视机都出售可以表示为 . 3．设A ，B ，C 表示三个随机事件，试通过A ，B ，C 表示随机事件A 发生而B ，C 都不发生为 ；随机事件A ，B ，C 不多于一个发生 .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独立，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= .8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发生的概率为 .9.已知A 、B 两事件满足条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= .10.设A 、B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= . 11．设两两相互独立的三事件A 、B 和C 满足条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 . 13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 .14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成一行，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 .17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是 . 18．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 .19．一种零件的加工由三道工序组成，第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，第三道工序的废品率为3p ，则该零件的成品率为 .20．做一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第二章 随机变量及其分布一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（ ）. A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +- 8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)(B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ). A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417B.0.3753C.0.3830D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ- B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ ）.Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为 时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011，则X的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . 10．设随机变量),(~2σμN X ，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_________)0(=≤X p . 13．设)2,3(~2N X，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为１／２，则μ= .第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（ ）.A.X =YB.0}{==Y X PC.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ).A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪===⎪⎝⎭且P 则12{}P X X ==( ).A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y)的联合分布为: 则b a ,应满足( ). A ．1=+b aB. 13a b +=C.32=+b aD.23,21-==b a7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ ）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下面错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=⎰⎰C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=⎰⎰D.⎰⎰≥=≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以G S 与D S 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( ). A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GDG S S D Y X P -=∉1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X 分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=YX YX V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( ).A.),(~211σμN X B ),(~221σμN X C.若0=ρ,则X,Y 独立 D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( ). A.))(,(~22121σσμμ+++N Y XB.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X 17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（ ）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （ ）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.3830 19.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( ). A.21B.22C.12-D.12+ 21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( ).A.21B.31C.41D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ).A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.21 28.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( ). A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独立且都服从),(2σμN ,则( ). A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσμ+++C.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ). A.GDS S B.G G D S S C.⎰⎰D dxdy y x f ),( D.⎰⎰Ddxdy y x g ),(二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率：（1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<<b Y a X p （3）;____________________)0(=≤<a Y p （4）.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是 .3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则YX ,相互独立当且仅当=ρ .5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010，则∑==31i i X X 服从 分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车人数X服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率为；二为随机变量（X，Y）的概率分布为 .9.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数 .10.设两个随机变量X与Y独立同分布，且P（X=-1）=P（Y=-1）=1/2，P（X=1）=P（Y=1）=1/2，则P（X=Y）= ；P （X+Y=0）= ；P（XY=1）= .第四章 随机变量的数字特征一、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（ ）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ).A. 0B.1/2C.2D. 1 3. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立 4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独立,则( ). A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( ). A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y( ).A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关 8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是( ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=- 9.下式中恒成立的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=- 11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ).A. 4.0,6==p nB. 1.0,6==p nC. 3.0,8==p nD. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ).A. 222)(C EX c X E -=-B. 22)()(μ-=-X E c X EC. DX c X E <-2)(D. 22)(σ≥-c X E 14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D.p-1115.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n===()D X 则= ( ). A.)1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n 16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x,则)12(+X E =( ). A.1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方 差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（ ）. A. 22()21(,)2x y f x y e π+-=B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-=D. 2241(,)2x y f x y e π+-=18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ). A.21 B. 31 C.61D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ).A. 2B.n 43 C. 0 D. n 32 20. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N 21. 设2(,),(,)X b n p YN μσ，则( ).A.2()(1)D X Y np p σ+=-+B.()E X Y np μ+=+C.22222()E X Y n p μ+=+D.2()(1)D XY np p σ=-22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[nMM -- B.M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ).A. 1B.-2C.21D.41 24. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 9 25. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ). A. 1 B.0 C. 13D.4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥ 27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ). A. 不独立 B. 独立 C.相关系数不为0 D. 相关系数为028. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则下列不等式正确的是（ ）.A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X PC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E - 的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D. a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EXX DB.~(0,1)N C. 22)(EX EX =D. 22)(EX DX EX +=32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ). A. 1 B.2n C.2)1(+n n D. nn 1- 33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则.A.32 B. 31 C. 98D. 1 34.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A.e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A.e 376 B. e316C. 9D. 6 36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（ ）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 3437. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概 率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ). A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰ B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),( C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p .2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X E X ==，则X 的概率密度是 .3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x =EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3,p X <<=为 .5.若随机变量X服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= . 7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 . 10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）= .第五章 大数定理及中心极限定理一、选择题1. 已知的i X 密度为()(1,2,,100)i f x i =,且它们相互独立,则对任何实数x , 概率∑=≤1001}{i i x X P 的值为( ).A. 无法计算B.100110011001[()]i i i i x xf x dx dx ==≤∑⎰⎰C. 可以用中心极限定理计算出近似值D. 不可以用中心极限定理计算出近似值2. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ).A. 91≤B. 31≤C. 91≥D. 31≥ 3. 设随机变量1X ,210,,X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则（ ）A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi iXP B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi iXPC. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi iXP D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi iXP4. 设对目标独立地发射400发炮弹,已知每发炮弹的命中率为0.2由中心极限定理,则命中 60发～100发的概率可近似为( ).A. (2.5)ΦB. 2(1.5)1Φ-C. 2(2.5)1Φ-D. 1(2.5)-Φ5. 设 1X ,2,,n X X 独立同分布,2,,1,2,,,i i EX DX i n μσ===当30≥n 时,下列结论中错误的是( ).A.∑=ni iX1近似服从2(,)N n n μσ分布B.niXn μ-∑近似服从(0,1)N 分布C. 21X X +服从)2,2(2σμN 分布D.∑=ni iX1不近似服从(0,1)N 分布6. 设12,,X X 为相互独立具有相同分布的随机变量序列,且()1,2,i X i =服从参数为2的指数分布,则下面的哪一正确? ( )A.()lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑B. ()2lim ;n i n X n P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑C. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑D. ()2lim ;n i n X P x x →∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.二、填空题1、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p q p A P -==1,)(，则对 任意区间],[b a 有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-<∞→b npq np a P n n μlim ＝ .2、设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的0>ε，均有⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-∞→εμ||lim p n P n n = .3、一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X p = .4、已知生男孩的概率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率= .第六章 样本及抽样分布一、选择题1. 设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则12,,,n X X X 必然满足( )A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立; C 独立同分布; D.不能确定 2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（ ）. A ．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3. 设总体均值为μ,方差为2σ,n 为样本容量,下式中错误的是( ). A.0)(=-μX E B. 2()D Xnσμ-=C. 1)(22=σS E D. ~(0,1)X N4. 下列叙述中,仅在正态总体之下才成立的是( ). A.22211()()nnii i i XX X n X ==-=-∑∑ B. 2S X 与相互独立C. 22])ˆ([)ˆ()ˆ(θθθθθ-+=-E D E D. 221[()]nii E Xn μσ=-=∑5. 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（ ）. A. 若12~(,),F F n n 则211~(,)F n n FB ．若2~(),~(1,)T t n T F n 则C ．若)1(~),1,0(~22x XN X 则D ．在正态总体下2212()~(1)nii Xx n μσ=--∑6． 设2,i i X S 表示来自总体2(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（ ）.A. 2221122212~(1,1)SF n n S σσ--B.12(~(0,1)X X NC.)(~/11111n t n S X μ- D.2222222(1)~(1)n S x n σ--7. 设总体服从参数为θ1的指数分布,若X 为样本均值,n 为样本容量,则下式中错误的是( ).A.θ=X EB. 2DX nθ=C. ()22(1)n E Xnθ+= D. ()221θ=XE8. 设12,,,n X X X 是来自总体的样本,则211()1ni i X X n =--∑是( ).A.样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D.统计量 9. 12,,,n X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本,2,S X 分别为样本均值与样本方差,则( ).A. )1,0(~N XB. ~(0,1)nX NC.221~()ni i X x n =∑ D.~(1)Xt n S- 10. 在总体)4,12(~N X 中抽取一容量为5的简单随机样本,,,,,54321X X X X X 则}15),,,,{m ax (54321>X X X X X P 为( ).A. )5.1(1Φ-B. 5)]5.1(1[Φ- C. 5)]5.1([1Φ- D. 5)]5.1([Φ 11.上题样本均值与总体均值差的绝对值小于１的概率为( ).A. 1)5.0(2-ΦB. 1)25(2-Φ C. 1)45(2-Φ D. 1)5.2(2-Φ12. 给定一组样本观测值129,,,X X X 且得∑∑====91291,285,45i i i i X X 则样本方差2S 的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C.320D. 265 13. 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).A.a 21B. a 2C. a +21 D. a 211-14． 设12,,n X X X ，是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则∑=-ni i X X 12)(服从分布为（ ）.A ．)(2n x B. )1(2-n x C. ),0(2n N D. )1,0(nN15. 设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若298762543221)()()2(X X X X c X X X b X X a Y ++++++++=服从2x 分布，则c b a ,,的值分别为（ ）.A.161,121,81 B. 161,121,201 C. 31,31,31 D. 41,31,2116. 在天平上重复称量一重为a 的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从2(,0.2)N a 分布,以n X 表示n 次称量结果的算术平均,则为了使na X P n ,95.0}1.0{≥<-值最小应取作( ). A. 20 B. 17 C. 15 D. 1617. 设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N ,设921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量9iXU =∑服从分布是( ).A. )9(tB. )8(tC. )81,0(ND. )9,0(N二、填空题1．在数理统计中， 称为样本. 2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是 .3．设随机变量n X X X ,,,21 相互独立且服从相同的分布，2,σμ==DX EX ，令∑==ni i X n X 11，则EX =；.DX =4．设n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，样本均值_______________=X ，则样本标准差___________=S ；样本方差_________________2=S ；样本的k 阶原点矩为 ；样本的k 阶中心矩为 . 5.),,,(1021X X X 是来自总体)3.0,0(~2N X 的一个样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥∑=101244.1i i X P . 6．设n X X X ,,,21 是来自（0—1）分布)}1{,1}0{(p X P p X P ==-==的简单随机样本，X 是样本均值，则=)(X E .=)(X D .7．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本，),,,()()2()1(n X X X 是顺序统计量，则经验分布函数为=)(x F n ⎪⎩⎪⎨⎧_______________________8．设),,,(21n X X X 是来自总体的一个样本，称 为统计量；9．已知样本1621,,,X X X 取自正态分布总体)1,2(N ，X 为样本均值，已知5.0}{=≥λX P ，则=λ .10．设总体),(~2σμN X ，X 是样本均值，2n S 是样本方差，n 为样本容量，则常用的随机变量22)1(σnS n -服从 分布.11．设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，则样本均值∑==ni i X n X 11服从 ，又若i a 为常数),2,1,0(n i a i =≠，则∑=ni ii X a 1服从 .12.设10=n 时，样本的一组观测值为)7,4,8,5,4,5,3,4,6,4(，则样本均值为 ，样本方差为 .第七章 参数估计一、选择题1. 设总体X 在),(ρμρμ+-上服从均匀分布，则参数μ的矩估计量为（ ）.（A ）X1 （B ）∑=-n i i X n 111 （C ）∑=-ni i X n 1211 （D ）X 2. 设总体),(~2σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n i i X X n 12)(1是（ ）.)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计3. 设X 在[0，a]上服从均匀分布，0>a 是未知参数，对于容量为n 的样本n X X ,,1 ，a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,m ax {21n X X X （B ）∑=ni i X n 11（C ）},,,m in{},,,m ax {2121n n X X X X X X - （D ）∑=+ni i X n 111；4. 设总体X 在[a,b]上服从均匀分布，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，则a 的最大似然估计为（ ）（A ）},,,m ax {21n X X X （B ）X （C ）},,,m in{21n X X X （D ）1X X n -5. 设总体分布为),(2σμN ，2,σμ为未知参数，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）∑=-n i i X X n 12)(1 （B ）∑=--n i i X X n 12)(11 （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 6. 设总体分布为),(2σμN ，μ已知，则2σ的最大似然估计量为（ ）.（A ）2S （B ）21S nn - （C ）∑=-n i i X n 12)(1μ （D ）∑=--n i i X n 12)(11μ 7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧<<=-其他,010,),(1x ax a x f a （120),,,,n a x x x >是取自总体的一组样本值，则a 的最大似然估计为（ ）. A. ∑=-ni ixn1lnB. 11ln n i i x n =∑C. 11ln()ni i x n =-∑ D. ∑=-n i ix n 1ln8. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,00),(6)(3θθθx x xx f ，n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为( ).A. XB. X 2C. ),,,m ax (21n X X XD.∑=ni iX19. 设总体X 的数学期望为μ，方差为2σ，),(21X X 是X 的一个样本， 则在下述的４个估计量中，（ ）是最优的.(A) 2115451ˆX X +=μ(B) 2124181ˆX X +=μ(C) 2132121ˆX X +=μ(D) 2143121ˆX X +=μ 10. 321,,X X X 设为来自总体X 的样本，下列关于)(X E 的无偏估计中，最有效的为（ ）.（A ）)(2121X X + （B ）)(31321X X X ++ （C ）)(41321X X X ++ （D ）)313232321X X X -+11. 设),,,(21n X X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是（ ）.（A ）22111ˆ()n i i X X n σ==-∑； （B ）22211ˆ()1n i i X X n σ==--∑； （C ）22311ˆ()n i i X n σμ==-∑； （D ）22411ˆ()1n i i X n σμ==--∑. 12. 设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）.)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 13. 设)2(,,,21≥n X X X n 是正态分布),(2σμN 的一个样本，若统计量∑-=+-1121)(n i i i X X K 为2σ的无偏估计，则K 的值应该为（ ）（A ）n 21 （B ）121-n （C ）221-n （D ）11-n 14. 下列叙述中正确的是（ ）.A ． 若θˆ是θ的无偏估计，则()2ˆθ也是2θ的无偏估计.B ． 21ˆ,ˆθθ都是θ的估计，且)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则1ˆθ比2ˆθ更有效. C ． 若21ˆ,ˆθθ都是θ的估计，且2221)ˆ()ˆ(θθθθ-≤-E E ，则1ˆθ优于2ˆθ D ． 由于0)(=-μX E ，故.μ=X15. 设n 个随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，2σ=X D ，∑==ni i X n X 11，∑=--=ni i X X n S 122)(11，则（ ） A. S 是σ的无偏估计量 B. 2S 不是2σ的最大似然估计量。
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第六章样本及抽样分布一、选择题1.设X1 , X 2 ,L , X n是来自总体X的简单随机样本, 则X1, X2,L , X n必然满足 ( )A. 独立但分布不同 ;B. 分布相同但不相互独立 ; C 独立同分布 ; D. 不能确定2．下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.A．统计量为随机变量 B. 统计量是样本的函数C. 统计量表达式中不含有参数D. 估计量是统计量3 下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（） .1~ F (n2 ,n1)A.若 F ~ F ( n1 , n2 ), 则FB．若 T ~ t( n),则 T 2 ~ F (1,n)C ．若X ~ N ( 0,1),则X2~ x2(1)n) 2( X iD ．在正态总体下i 1 2(n 1)2 ~ x4．设X i , S i2表示来自总体N ( i , i2 ) 的容量为 n i的样本均值和样本方差(i 1,2) ，且两总体相互独立，则下列不正确的是（） .A. 22S12~ F (n1 1,n2 1) B.( X 1 X2) (1 2)2 2 2 2 ~ N (0,1) 1S2 1 2n1 n2C. X 1 1~ t(n1 ) D.(n 1)S2 2(n2 1) S1 / n1 2 2 2~ x21nX )25.设X1, X 2,L , X n是来自总体的样本, 则1 i ( X i 是( ).n 1A. 样本矩B. 二阶原点矩C. 二阶中心矩D. 统计量6 X1,X2,L , X n是来自正态总体N (0,1) 的样本, X , S2分别为样本均值与样本方差, 则( ).n X~ t( nA. X ~ N (0,1)B. nX ~ N (0,1)C. X i2 ~ x2 (n)D. 1)i 1 S9 9X i2 285, 则样本方差 S27. 给定一组样本观测值X1, X 2,L , X9且得X i 45,i 1 i 1的观测值为 ( ).A. 7.5B.60C. 20D.65 3 28 设X服从t (n)分布 , P{|X| } a ，则 P{ X } 为( ).A. 1a B. 2a C. 1 a D. 1 1 a2 2 29 设x1, x2,L , x n是来自正态总体N (0, 22 ) 的简单随机样本，若Y a( X 1 2X 2 ) 2 b( X 3 X 4 X 5)2 c( X 6 X 7 X 8 X 9 )2服从 x 2分布，则a, b, c 的值分别为（） .A. 1,1,1B.8 12 161,1,1 C. 1,1,1 D. 1,1,120 12 16 3 3 3 2 3 410 设随机变量X和Y相互独立 , 且都服从正态分布N(0,32),设 X1,X2, , X9和9X iY1,Y2, ,Y9分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量U i 1 服从分布是92Y ii 1( ).A. t(9)B. t (8)C. N (0,81)D. N (0,9)二、填空题1．在数理统计中，称为样本.2．我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特点是.3．设随机变量 X1,X2, , X n相互独立且服从相同的分布， EX , DX 2 ，令X 1 nX i ，则 EX ； DX . ni 14. (X1,X2, , X10) 是来自总体X ~ N(0,0.32) 的一个样本，则102P X i 1.44 .i 15．已知样本 X 1 , X 2 , , X 16 取自正态分布总体 N ( 2,1) ，X 为样本均值， 已知 P{ X} 0.5，则.10． 6 设总体 X ~ N(,2) ， X 是样本均值， S n 2是样本方差， n 为样本容量，则常用的随2机变量 (n1)S n 服从分布 .2第七章 参数估计一、选择题1.设总体 X~N(, 2)， X 1,, X n 为抽取样本，则 1 n ( X iX ) 2 是（）.n i 1( A) 的无偏估计 ( B)2的无偏估计(C )的矩估计(D )2的矩估计2 设 X 在 [0 ， a] 上服从均匀分布， a 0 是未知参数，对于容量为 n 的样本 X 1 , , X n ， a的最大似然估计为（ ）（A ） max{X 1,X 2,, X n }1n（B ）X in i 1（C ） max{X 1,X 2, , X n } min{ X 1 , X 2 ,, X n }（D ） 11 n X i ；n i 13 设总体分布为 N ( , 2) ，,2为未知参数，则2的最大似然估计量为（ ） .（A ） 1n( X i X ) 2（ B ） 1n( X i X )2n i 1n 1 i 1（C ） 1n( X i) 2（ D ） 11 i n( X i)2n i 1n 14 设总体分布为 N ( , 2) ，已知，则2的最大似然估计量为（） .（A ） S2（ B ）n 1S 2n（C ） 1n( X i) 2（ D ） 11 i n( X i)2n i 1n 15 X 1, X 2, X 3 设为来自总体 X 的样本，下列关于 E( X ) 的无偏估计中， 最有效的为（）.（A ）1(X 1 X 2 )（B ） 1(X 1X 2 X 3 )23（C ） 1(X 1X 2 X 3 )（D ） 2X 12X 2 1 X 3)43336 设 X 1,X 2,, X n (n 2)是正态分布 N( ,2)的一个样本，若统计量n1K( X i 1 X i ) 2 为2的无偏估计，则K 的值应该为（）i 1（A ）1（ B ）11（ C ）1 2 （D ）12n2n2nn 17. 设 为总体 X 的未知参数， 1 , 2 是统计量，1,2为 的置信度为 1 a(0a 1) 的置信区间，则下式中不能恒成的是（） .A. P{ 12}1 aB.P{2}P{1}aC. P{2}1aD.P{2}P{1}a28设X~N( , 2)且2未知，若样本容量为 n ，且分位数均指定为“上侧分位数”时，则的 95%的置信区间为（ ）A. ( Xu0.025)B. ( XS t 0 .05(n1))nnC. ( XSD.( X St 0 .025 ( n1))t 0.025 (n))nn9 设 X ~ N ( ,2), ,2均未知，当样本容量为n 时，2的 95%）的置信区间为（A.(( n 1)S 2, (n 1)S 2B. ( (n 1)S 2 ( n 1)S 221) 2)2 (n , 2(n )x 0.975 ( n x 0.025 (n 1)x 0.025 1) x 0.975 1)(( n 1)S 2( n 1)S 2( XSt 0. 025 (n1)) C. 2, 2) D.nt 0. 025 (n 1) t 0.975 ( n 1)二、填空题1. 点估计常用的两种方法是：和.2. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{ X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数） ，则似然函数是，X 是连续型随机变量，概率密度是f (x; ) ，则似然函数是.3. 设总体 X 的概率分布列为：X 012 3P p 2 2 p(1 -p ) p2 1- 2p 其中 p (0 p 1/ 2)是未知参数. 利用总体 X 的如下样本值：1 ，3，0，2，3，3，1，3则 p 的矩估计值为__ ___ ，极大似然估计值为.4. 设总体 X 的一个样本如下：，，，，则该样本的数学期望E(X ) 和方差 D(X ) 的矩估计值分别_ ___.5. 设总体 X 的密度函数为： f ( x) ( 1)x 0 x 10 其他，设 X 1 , , X n是X的样本，则的矩估计量为，最大似然估计量为.6. 假设总体 X ~ N( , 2)，且 X 1 n X i ， X1,X2, , X n 为总体 X 的一个样本，n i 1则 X 是的无偏估计 .7 设总体 X~N( , 2) ， X1, X2, , X n为总体X的一个样本，则常数k=, 使nk X i X 为的无偏估计量 .i 18 从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为S 40 .设电子管寿命分布未知，以置信度为0.95 ，则整批电子管平均寿命的置信区间为（给定 Z0. 05 1.645 , Z0.025 1.96 ）.9设总体X~N( , 2)， , 2 为未知参数，则的置信度为 1－的置信区间为.10某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为20.04 ，从某天生产的产品中随机抽取9 个，测得直径平均值为15 毫米，给定0.05则滚珠的平均直径的区间估计为. ( Z0.05 1.645 , Z 0.025 1.96)11.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6 个，测得直径为：已知原来直径服从N ( ,0.06) ，则该天生产的滚珠直径的置信区间为，（0.05，Z0.05 1.645 ， Z0.025 1.96）.12.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12 个子样算得S 0.2 ，则的置信区间为（， 2 (11) 19.68 ，2 (11) 4.57 ）.0.1 12 2第八章假设检验一、选择题1.关于检验的拒绝域W,置信水平, 及所谓的“小概率事件” , 下列叙述错误的是().A.的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述B ．事件 {( X1 , X 2 , , X n ) W |H0为真} 即为一个小概率事件C．设 W是样本空间的某个子集，指的是事件{( X1 , X 2 ,L , X n ) | H 0为真 }D．确定恰当的W是任何检验的本质问题2. 设总体 X~N( , 2 ), 2未知 , 通过样本X1, X2, , X n检验假设 H 0 : 0,要采用检验估计量 ( ).X 0B. X 0C.XD.XA.n S / n/ S/ n / n 3. 样本 X1, X 2, , X n来自总体 N ( ,122) ,检验 H 0 : 100 ,采用统计量( ).A. XB.X 100C.X 100D.X12 / n 12 / n S / n 1 S / n4设总体X ~ N( , 2 ), 2 未知 ,通过样本X1,X2, , X n检验假设 H 0 : 0,此问题拒绝域形式为.A. { X100 C} B. {X100 C } C. {X100 C} D. { X C}S / 10 S / n S / 105．设X1, X2, , X n为来自总体N ( ,32 ) 的样本，对于H 0 : 100 检验的拒绝域可以形如（） .． { X C} { X 100 C} X 100C} { X 100 C}A B. C. {n D.S /6 、样本来自正态总体N( , 2 ) , 未知 ,要检验H0: 2 100 , 则采用统计量为( ).A. (n 1)S2B.(n 1) S2C.Xn D.nS 22 100 100 1007、设总体分布为N ( , 2),若已知,则要检验H0: 2 100 ,应采用统计量 ( ).n 2 n 2A. XB. (n 1)S2C. i 1 ( X i )D.i 1( Xi X ) S / n 2 100 100二、填空题1.为了校正试用的普通天平 , 把在该天平上称量为 100 克的 10 个试样在计量标准天平上进行称量 , 得如下结果 :, , , 101,2,,假设在天平上称量的结果服从正态分布, 为检验普通天平与标准天平有无显著差异, H0 为.2．设样本X1, X2, , X25来自总体 N( ,9), 未知.对于检验 H 0 : 0，H1: 0，取拒绝域形如X 0 k ，若取a 0.05，则 k 值为.第六章样本及抽样分布答案一、选择题1. ( C )2. （ C ） 注：统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数3. （ D ）对于答案 D, 由于 X i~ N (0,1), 1,2, , n ，且相互独立，根据 2 分布的定义有i Ln ) 2( X i2i 1(n)2~ x4.(C)注：X 11~ t (n 1 1) 才是正确的 .S 1 / n 15.(D)6C) 注： X ~ N(0,1)，X ~ t(n 1)才是正确的 nS nP X 12 1 2PX 12 1 12PX1225 12512(5)1299222X i XX 9 Xi 2859 257.(A)S 2 i 11i 19 17.5 988.(A) 9.(B)解：由题意可知X 1 2X 2 ~ N(0,20) ， X 3X 4 X 5 ~ N (0,12) ，X 6 X 7 X 8X 9 ~ N (0,16) ，且相互独立，因此222X 1 2X 2X 3 X 4 X 5X 6 X 7X 8 X 9 ~ 23，201216即 a1, b1, c120121610(A)999解：X i ~ N (0,9 2 )X i 9 ~ N 0,1 ， Y i 2 9 ~29i 1i 1i 19X i 9由 t 分布的定义有i 1～t 992Y i 81i 1二、填空题1．与总体同分布，且相互独立的一组随机变量 2. 代表性和独立性 23.，n4. 0.16.2( n 1)第七章 参数估计一、选择题1. 答案： D.222?21 n2?1 n[ 解 ] 因为E(X )A 2X i，E (X) ，E(X )X i ，E( X ) A 1n i 1n i 1所以， ? 2?2?2( X )1n2.E( X) E( X i X )n i 12. 答案： A.[ 解 ] 因为似然函数 11 ，当 amax X i 时， L(a) 最大，L(a)(max X i ) n a nii所以， a 的最大似然估计为max{ X 1 , X 2 , , X n } .3答案A.n[ 解] 似然函数 L( ,2)i 11 exp 12 ( xi) 2 ，22由ln L 0, 2 ln L 0 ，得2A 2 .4. 答案 C.[ 解]在上面第 5题中用取代 X 即可.5答案 B.6. 答案 C. 7 答案 D. 8. 答案 D.9. 答案 B.二、填空题：1. 矩估计和最大似然估计；2.p(x i ; ) ，f ( x i ; )；i i.31 , ； 4816/82，令 E(X)[ 解 ] （ 1） p 的矩估计值 X X i 3 4 pX ，i 1得 p的矩估计为p (3 X ) / 4 1/ 4 .?（ 2）似然函数为8x i ) P( X 0)[ P( X 1)] 2P( X 2)[ P( X 3)] 4L( p)P( Xi 14 p(1 p) 2 (1 2 p)4ln L( p) ln 46ln p 2 ln(1 p) 4 ln(1 2 p)令 [ ln L ( p)]6 1 2 1 8 0 ，12 p 2 14 p 3 0pp2 pp (7 13) /12 . 由 0 p1/ 2 ，故 p (713) /12 舍去所以 p的极大似然估计值为 p (713) /120.2828 .?4、 ，；?? 2iX i 222[ 解 ]由矩估计有：)，又因为 D(X) E( X ) [E(X)]，E(X ) X,E(Xn?X 1.7 1.75 1.71.65 1.75 1.71所以 E(X)5?1n2( X iX )0.00138 .且D(X)n i 1n2X 1, n ln X i5、?? i 1 ；1 X n ln Xii 1[ 解 ] （ 1）的矩估计为：11 2 11E(X ) x ( 1) x d x x2 0 2样本的一阶原点矩为：1 nx i Xn i 1所以有：1 X ? 2X 12 1 X（ 2）的最大似然估计为：n nL ( X 1 , , X n； ) ( 1) X i ( 1) n ( X i )i 1 i 1nln L n ln( 1) ln X ii 1d ln L n nln X i 0d 1 i 1n得：? n ln X ii 1.nln X ii 16、；[ 解] E(X) 1 nE( X i ) n .nn i 17、；2n(n1)[ 解] 注意到X1, X2, , X n的相互独立性，X i1X1 X2 (n 1) X i X n Xnn 1E( X i X ) 0, D ( X i 2X )n所以， X i X ~ N (0, n1 2)，nz21n 1 22E(| X i X |) | z | e n dzn 12nz21 n 12 2 n 12 z e 2 dzn0 n 1 22nn nkn 2n 1因为： E k | X i X | k E | X i X |i 1 i 1 2 n所以， k2n( n 1).8、. [ ， ] ；[ 解 ] 这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有：X 1000, S 40, 0.05 ， Z 0.025 1.96 的 95%的置信区间是：[ X SZ0.025 , X S Z0.025 ] [ 992.16,1007.84] . n n9、(X St (n 1), XSt (n 1)) ；n 2 n 2[ 解 ] 这是 2 为未知的情形，所以X ~ t(n 1) .S / n10、 [ ， ] ；[ 解 ] 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：[ x Z , xn Z ]n 2 2 由题意得： x 15 2 0.04 0.05 n 9 ，代入计算可得：[15 0.2 1.96,15 0.2 1.96] ，化间得：[14.869,15.131] .9 911、 [ ，]；[ 解 ]这是方差已知，均值的区间估计，所以有：置信区间为： [ Xn Z , XnZ ]2 2由题得： X 1 (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 60.05 Z0.025 1.96 n 6代入即得： [14.95 0.06 1.96,14.95 0.06 1.96]6 6所以为： [14.754,15.146]12、.[，]；[ 解 ] 由2(n 1)S 2 2 得：1 22 22 (n 1) S2， 2(n 1)S22 2212所以的置信区间为： [ (n 1) S2，(n 1)S22 (11) 2] ，(11)212将 n 12 ， S 0.2 代入得[ 0.15 ， 0.31 ]. 第八章假设检验一、选择题、、、、、、、二、填空题1.1002.。
概率论与数理统计练习册 参考答案
概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或，{}12/1|<<x x ，Ω6、{3}，{1,2,4,5,6,7,8,9,10}，{1,2,6,7,8,9,10}，{1,2,3,6,7,8,9,10}7、（1) Ω={正，正，正，正，正，次}，A ={次，正}（2）Ω={正正，正反，反正，反反}，A ={正正，反反}，B={正正，正反}（3） 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 （4）Ω={白，白，黑，黑，黑，红，红，红，红}，A={白}，B={黑} 8、（1)123A A A (2)123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4)123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5)123123A A A A A A +9、（1）不正确 （2）不正确 （3）不正确 （4）正确 （5） 正确 （6）正确（7）正确 （8）正确10、（1）原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+=U U U （2）原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= （3）原式=()AB AB =∅11、证明：左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解：设,,A B C 分别表示“100人中数学，物理，化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===，{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解：设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解：（1）设A 表示“10件全是合格品”，则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”，则8295510100()C C P B C = 14、解：（1）设A 表示“五人生日都在星期日”，51()7P A =（2）设B 表示“五人生日都不在星期日”， 556()7P B = （3）设C 表示“五人生日不都在星期日”，55516()177P C =-- 15、解：{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”，则1{(,)|}3A x y x y =-≤， 所以5()9P A =1.31、0.8，0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注：加入条件()0.4P B =解：()()0.1P AB P A ==，()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==，()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解：设A 表示"13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =，8、解：设123,,A A A 分别表示“零件由甲，乙，丙厂生产”，B 表示“零件时次品”则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解：设123,,A A A 分别表示“甲，乙，丙炮射中敌机”， 123,,B B B分别表示“飞机中一门，二门，三门炮”，C 表示“飞机坠毁”。
概率论与数理统计练习册(内附答案)
概率论与数理统计练习册 复习题和自测题解答第一章 复习题1、一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是正品（i ＝1，2，3，……，n ），用i A 表示下列事件： （1） 没有一个零件是次品； （2） 至少有一个零件是次品； （3） 仅仅只有一个零件是次品； （4） 至少有两个零件是次品。
解：1）1ni i A A ==2）1ni i A =3）11nn i j i j j i B A A ==≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 4）A B2、任意两个正整数，求它们的和为偶数的概率。
解：{}(S =奇，奇），(奇，偶），（偶，奇），（偶，偶） 12P ∴=3、从数1，2，3，……，n 中任意取两数，求所取两数之和为偶数的概率。
解：i A －第i 次取到奇数（i ＝1，2）；A －两次的和为偶数1212()()P A P A A A A =当n 为奇数时：11111112222()112n n n n n P A n n n n n ----+--=⋅+⋅=-- 当n 为偶数时：1122222()112(1)n n n n n P A n n n n n ---=⋅+⋅=---4、在正方形{(,)|1,1}p q p q ≤≤中任意取一点(,)p q ，求使方程20x px q ++=有两个实根的概率。
解： 21411136x S dx dy --==⎰⎰ 13136424p ∴==5、盒中放有5个乒乓球，其中4个是新的，第一次比赛时从盒中任意取2个球去用，比赛后放回盒中，第二次比赛时再从盒中任意取2个球，求第二次比赛时取出的2个球都是新球的概率。
解：i A －第一次比赛时拿到i 只新球（i ＝1，2）B －第二次比赛时拿到2只新球1）()()1122()()|()|P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅2122344222225555950C C C C C C C C =⨯+⨯=6、两台机床加工同样的零件，第一台加工的零件比第二台多一倍，而它们生产的废品率分别为0.03与0.02，现把加工出来的零件放在一起 （1）求从中任意取一件而得到合格品的概率；（2）如果任意取一件得到的是废品，求它是第一台机床所加工的概率。
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2012.9目录综合练习一 (1)综合练习二 (5)综合练习三 (7)综合练习四 (9)综合练习五 (11)综合练习六 (13)综合练习七 (15)综合练习八 (17)综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1. 设3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P _____________.2. 设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且}2{}1{===ξξP P ，则=≥}1{ξP _________.3. 从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则=)(ξE _______.4.设总体)3.0,0(~2N ξ，nξξξ,,,21 是总体样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i P ξ________________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 设321,,x x x 是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ]. (A)321613121x x x ++； (B) )(31321x x x ++； (C) 321x x x -+； (D) )(2121x x +. 2. 设A ，B 是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[ ]. (A) AB ； (B) B A B A ； (C) B A ； (D) B A .3. 设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++ξξx x 有实根的概率为[ ]. (A)53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 4. 设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为和则下列式子中，正确的是[ ].(A) ηξ=； (B) 1}{==ηξP ； (C) 95}{==ηξP ； (D) 0}{==ηξP . 三、完成下列各题(6×8＝48分)1. 已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2. 设),0(~2σξN ，求||ξη=的概率密度.3. 甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l ，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4. 某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0041)(4x x ex f x，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5. 设某厂生产的灯泡的寿命),1600(~2σξN ，如要求975.0}1200{≥>ξP ，问σ应满足什么条件？6. 设某种零件的长度服从正态分布),(2σμN ，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102. (1)若已知μ=100，求2σ的置信区间； (2)未知μ，求2σ的置信区间.(均取α=0.05)7. 计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8. 设总体ξ的样本观察值为n x x x ,,,21 ，证明：∑-=+--=11212)()1(21ˆn i i i x x n σ是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,15),(2xy x xy y x ϕ，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.五、(9分)在长度为L 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于41的概率. 六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l 件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1. 设事件A ，B 相互独立2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A B A P _____________. 2. 设),(~2σμξN ，k ，h 为常数，0≠k ，h k +=ξη，则相关系数=||ξηρ____________.3. 将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4. 将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[ ].(A)52; (B) 43; (C) 42; (D) 53. 2. 已知事件A 及B 的概率都是21，则下列结论中，一定正确的是[ ].(A) 1)(=B A P ; (B) 41)(=AB P ; (C) )()(B A P AB P =; (D)21)(=AB P .3. 设随机变量),(~p n B ξ，已知E (ξ)＝0.5，D (ξ)＝0.45，则n ，p 的值为[ ]. (A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.4. 若随机变量ξ与η满足D (ξ＋η)=D (ξ－η)，则下列式子中，正确的是[ ].(A) ξ与η相互独立; (B) ξ与η不相关; (C) D (ξ)=0; (D) D (ξ)·D (η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 猎人在距离100m 处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m ，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m ，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2. 测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex πϕ，求在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.3. 每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4. 设随机变量ξ，η相互独立，)21,2(~B ξ，)32,2(~B η，求ξ＋η的概率分布及P {ξ>η}. 5. 设总体ξ的概率密度为)(21);(||+∞<<-∞=-x e x x θθθϕ，其中θ>0，若样本观测值为n x x x ,,,21 ，求θ的极大似然估计.6. 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137； 第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布),(211σμN 及),(222σμN ，其中，1μ，2μ，1σ，2σ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差1μ－2μ对应于置信概率0.95的置信区间(假定1σ=2σ).7. 为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到x =1500h ，s ＝20h ，设灯炮使用时数服从正态分布，求 (1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8. 设三事件A ，B ，C 相互独立，证明A －B 与C 也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利. 设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1. 设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.2. 设ξ～B (10，0.3)，则在P {ξ=m }(m =0，l ，…，10)中，最大的值是_________________.3. 设ξ～N (2，σ2)，P {2<ξ<4}=0.3，则P {ξ<0}=_____________.4. 设ξ服从泊松分布P (λ)，抽取样本1x ，2x ，…，n x ，则样本均值x 的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l. 从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[ ].(A) 211； (B) 2112； (C) 218； (D) 2113. 2. 设总体ξ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.3. 设离散型随机变量ξ的分布律为P {ξ=k }=αβk (k =1，2，…)，且α>0，则β为[ ].(A) 11-=αβ； (B) 1+=ααβ； (C) 11+=αβ； (D) 1+=αβ. 4. 设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[ ].(A) 51l ； (B) 21； (C) －3； (D) 36.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2. 设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D (η).3. 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为])()[(2122221221),(μμσπσϕ-+--=y x e y x ，其中σ>0，求随机变量U =a ξ＋b η，V =a ξ－b η的相关系数r uv ，其中a ，b 为常数.4. a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.5. 某系统备有30个电子元件a l ，a 2，…，a 30，先使用a l ，若a l 损坏，立即使用a 2；若a 2损坏，则立即使用a 3；…直至30个元件用尽. 设a i 的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h 的概率.6. 设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l 分布， ⎩⎨⎧>≤=1,11,01ηηξ； ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,02ηηξ 求(ξ1，ξ2)的概率分布及E (ξ1ξ2).7. 在半径为R 的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8. 设随机变量ξ的数学期望为E (ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C ，均有)(])[(2ξξD C E ≥-.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异. (取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数21=λ的指数分布，求方程022=++ηξt t 有实根的概率.六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束. 假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1. 一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2. 在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________. 3. ξ的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.3,1;31,8.0;11,4.0;1,0}{)(x x x x x P x F ξ 则ξ的分布列为_________________________.4. ξ与η独立，且都服从N (0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量292191ηηξξ++++= U 服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1. 对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )；(C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2. 设随机变量ξ~N (μ，σ2)，则随σ的增大，P {|ξ−μ|<σ}[ ].(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定.3. 设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P {ξ=－1}=P {η=－1}=21，P {ξ=1}=P {η=1}=21，则下面各式中，成立的是[ ]. (A) P {ξ=η}=21； (B) P {ξ=η}=1； (C) P {ξ+η=0}=41； (D) P {ξη}=41. 4. 设ξ和η的方差存在且不为零，则D (ξ+η)=D (ξ)+D (η)是ξ和η[ ].(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件； (D) 独立的充分必要条件.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2. 把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3. 做一件事情，一次成功的概率p =0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4. 设ξ服从泊松分布 P {ξ=k }=!k e k λλ-(k =0，1，2，…)，问当k 取何值时，P {ξ=k }为最大.5. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P (0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6. 已知高度表的误差的标准差σ=15m ，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度x 的误差的绝对值小于30m ？假定高度表的误差服从正态分布.7. 求抛硬币多少次，才能使子样均值x 落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8. 设(ξ，η)在区域D ：0<x <1，|y |<x 内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2) η=2ξ+l 的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记⎩⎨⎧=.,0;,1其他等品若抽取i i ξ (i ＝l ，2，3) 试求(1) ξ1和ξ2的联合分布；(2) ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D (ξ－η)=D (ξ)+D (η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW ·h ，每天的耗电量与百万kW ·h 的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为 ⎩⎨⎧<<-=.0;10),1()(2其他x x A x ϕ 如果发电厂每天的供电量为80万kW ·h ，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=41，P (AB )=0，P (AC )=P (BC )=81，则A ，B ，C 全不发生的概率为_________________.2. 设ξ的密度121)(-+-=x x e x πϕ，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3. 设ξ服从参数为1的指数分布，则)(2ξξ-+e E =_______________________________.4. 设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N (0, 22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )；(C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).2. 设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, l)，则[ ].(A) P {ξ+η≤0}=21； (B) P {ξ+η≤1}=21； (C) P {ξ－η≤0}=21； (D) P {ξ－η≤1}=21. 3. 设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.4. 设x 1，…，x n 是母体ξ的n 个子样. 21)(σ=x D ，∑==n i i x n x 11，∑=--=n i i x x n s 122)(11，则[ ].(A) s 是σ的无偏估计量； (B) s 是σ的极大似然会计量；(C) s 是σ的一致估计量； (D) s 与x 相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 任取两个真分数，求它们乘积不大于41下的概率.2. 设ξ在]2,2[ππ-上服从均匀分布，求η=cos ξ的概率密度. 3. 一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---.,0;0,0,1),()(5.05.05.0其他y x e e e y x F y x y x 问(1) ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h 的概率．4. 在长为L 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5. 为了确定事件A 的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A 发生了36次；如果取频率0.36作为A 的概率p 的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s ＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7. 过半径为R 的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8. 从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N (50, 102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60, 42)，若有70min 时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x ae x ax ϕ (a>0为常数) 求子样均值x 的分布． 六、(10分)设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h 的情况下，再无故障运行8h 的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2. 若ξ在(1, 6)上服从均匀分布, 则x 2+ξx +1=0有实根的概率是______________.3. 某灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.2, 今3个灯泡在使用1000h 以后最多只坏1个的概率为________.4. 设由来自正态总体ξ~N (μ, σ2), 容量为9的简单随机样本得样本均值x =5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则[ ].(A) A 和B 互不相容; (B) AB 是不可能事件; (C) AB 未必是不可能事件; (D) P (A )=0或P (B )=0.2. 设随机变量ξ的密度函数φ(x ), 且φ(－x )=φ(x ), F (x )是ξ的分布函数, 则对任意数a , 有[ ].(A) F (－a )=1－⎰a dx x 0)(ϕ; (B) F (－a )=211－⎰a dx x 0)(ϕ; (C) F (－a )= F (a ); (D) F (－a )= F (a )－1.3. 设随机变量ξ与η相互独立, 其概率分布为和 则下式中, 正确的是[ ].(A) ξ=η; (B) P {ξ=η}=0; (C) P {ξ=η}=21; (D) P {ξ=η}=1. 4. 设x 1, …, x n 是来自正态总体N (μ, σ2)的简单随机样本, x 是平均值, 记∑=--=n i i x x n s 1221)(11; ∑=-=n i i x x n s 1222)(1; ∑=--=n i i x n s 1223)(11μ; ∑=-=ni i x n s 1224)(1μ. 则服从自由度为n －1的t 分布的随机变量是[ ].(A) 11--=n s x t μ; (B) 12--=n s x t μ; (C) n s x t 3μ-=; (D) n s x t 4μ-=.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 第一箱中有10个球, 其中有8个白球和2个黑球. 第二箱中有20个球, 其中有4个白球和16个黑球. 现从每箱中任取1球, 然后从这两球中任取1球. 问取到白球的概率是多少？2. 某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度: ⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0;1000,1000)(2其他x x x ϕ现有一大批此种管子, 任取5只, 问其中有2只寿命大于1500h 的概率是多少？3. 某工厂生产过程中, 出现次品的概率为0.05, 每100个产品为一批. 检查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 若发现次品不多于1个, 则认为这批产品是合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.4. 点随机地落在中心在原点, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀分布的. 求这点的横坐标的概率密度.5. 设x 和y 分别是取正态总体N (μ, σ2)的容量为n 的两组子样(x 1, …, x n )和(y 1, …, y n )的均值, 试确定n , 使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6. 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.7. 某转炉炼某特种钢, 每一炉钢的合格率为0.7, 现有若干个转炉同时冶炼, 若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％, 问同时至少要有几个转炉炼钢？8. 对某一目标连续射击, 直到命中n 次为止, 设每次射击的命中率为p , 求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ, η)的密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;1,),(22其他y x y cx y x ϕ (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P (λ), 抽取样本x 1, …, x n , 求样本均值x 的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, 相互独立, 且同分布. P (ξi =0)=0.6, P (ξi =1)=0.4(i =1, 2, 3, 4), 求行列式4321ξξξξη=的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2.设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X ～N (2，σ2)，P {2<X <4}=0.3，则P {X <0}=_____________.6.设X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N (0, 22)，X 3服从参数λ=3的泊松分布，记Y =X 1+2X 2+3X 3，则D (Y )=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )； (C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++X Xx x 有实根的概率为[ ].(A) 53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 3.设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率分布为和 (A)X =Y ; (B) P {X =Y }=0; (C) P {X =Y }=21; (D) P {X =Y }=1. 4.设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )； (C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).5.设两个相互独立的随便机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X －2Y 的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.6.若随机变量X 与η满足D (X ＋Y )=D (X －Y )，则下列式子中，正确的是[ ].(A) X 与Y 相互独立; (B) X 与Y 不相关; (C) D (X )=0; (D) D (X )·D (Y )＝0.7.设总体X ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.8.设随机变量),(~p n B X ，已知E (X )＝0.5，D (X )＝0.45，则n ，p 的值为[ ].(A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.三、完成下列各题1.a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.2.某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X ,Y )的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<<<<+=其它010,10),(y x y x y x f ，求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性。