高三数学课件 专题三 数列

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第8讲 数列、等差数列、等比数列
—— 教师知识必备 ——
数 列、 等差 数 列、 等比 数列
概念 满足an＋1：an＝q(q≠0且q为常数)，单调性由a1 的正负，q的范围确定
等比 数列 {an}
通项 公式
前n 项 和公 式
an＝a1qn－1＝amqn－m
Sn＝
a1
(1 q 1 q
n
)
考 点
所以数列ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．
考
[小结]在等差数列问题中，最基本的量是首项和公
向 探 究
差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也 就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本量方法，
其中蕴含着方程思想的运用．等差数列的判断或证明，一
般是依据等差数列的定义或等差中项进行判断．
n
1, Sn1，n≥2
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
—— 教师知识必备 ——
数列、 等差数 列、等 比数列
简单 的递 推数 列解
法
累加法 累乘法 转化法
待定 系数法
an＋1＝an＋f (n) 型
an＋1＝an f (n)型 an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，
q≠0)⇔apnn＋ ＋11＝pann＋q an＋1＝can＋d(c≠0，1，d≠0)
考 向
所以an－an－1＝1或an＋an－1＝1(n≥2)．
探
又因为an是单调递增数列，故an－an－1＝1，
探 究
[解析] 依题意，因为 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，所以aa41＋＋aa63
＝a1aq13＋＋aa33q3＝q3＝18，所以 q＝12.
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
(2)证明：设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d， 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5. 所以数列{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d. 依题意，得(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍 去)，
an 与 Sn
考
的关系 ——1.由 an 与 Sn 的关系求 an；2.由 an 与 Sn 的关
点 考
系求 Sn
向
探
题型：选择，填空
究
难度：中等
分值：4－5 分 热点：求通项 an
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
例 3 (1)[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{an}满足 an＋1 ＝1－1an，a8＝2，则 a1＝________．
断与证明
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通项 ——1.求等差数列中的某一项；2.求通项；3.求 n
考
点
前 n 项和——1.求等差数列前 n 项和；2.求通项；3.求基
考
本量
向
探
究 题型：选择，填空，解答 分值：5－14 分
难度：基础
热点：求等差数列基本量
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
例 1 (1)已知数列{an}，若对任意 n∈N*满足 an＋1＝an＋
a1 anq 1 q
,
q
1,
na1, q 1
aman＝apaq⇔m＋n＝p ＋q aman＝a2p⇔m＋n＝2p
公比不等于－1时， Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…成等比数列
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
► 考点一 等差数列的计算与证明 概念 ——1.对等差数列概念的理解；2.等差数列的判
聚 焦
的 前n项和为S③ n ，则Sn＝________．
公式、求和公式如 ③.
[答案] 3－2·23n－1
[解析] Sn＝11－－2323n＝3－2·23n－1.
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
体验高考
核 心
4．[2013·上海卷] 在等差数列
知 识
a
n
中，若a1＋a2＋a3＋a4＝30，则
(2)单调递增数列an的前 n 项和为 Sn，满足 Sn＝12
an2＋n，则数列{an}的通项公式为________．
考 点
[答案]
1 (1)2
(2)an＝n
考 向 探
[解析] (1)由题易知 a8＝1－1a7＝2，得 a7＝12；a7＝1－1a6
究
＝12，得 a6＝－1；a6＝1－1a5＝－1，得 a5＝2，于是可知数
[解析] 在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，则a2＝a1＋a2，
所以a1＝0.令n＝2，则a3＝2a2，所以a2＝1.于是an＋1－an＝
1，故数列
a
n
是首项为0，公差为1的等差数列，所以a2014
＝2013.
(2)证明：由已知可得
an＋1 n＋1
＝
an n
＋1，即na＋n＋11
－
an n
＝1，
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
变式题 (1)设{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项和， 且 a1＋a2＋a5＋a8＝8，则 S7＝( )
A．13
B．14
C．15
D．16
考
(2)已知等差数列{an}单调递增且满足 a1＋a10＝4，则
点 a8 的取值范围是( )
考 向
A．(2，4)
探
C．(2，＋∞)
5 3
＝25，
所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)
＝log225＝5.
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体验高考
主干知识
核 心
6．[2014·湖北卷改编] 已知递增
⇒ 等差数列
知 识 聚 焦
的 等差数列{an}满足：a1＝2，且a1， a2，a5成等比数列⑥ ，则数列{an}的通
{an} 前n项 和公式
满足an＋1－an＝d(常数)，d＞0递增、d＜0递 减、d＝0常数数列
an＝a1＋(n－1)d ＝am＋(n－m)d
am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p ＋q
am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p
Sn＝na1＋
n（n2－1）d＝
n（a1＋an） 2
Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…为等差数列
[小结] 在等比数列问题中，最基本的量是首项和公比，
在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随
之解决了，这就是解决等比数列问题的基本量方法，其中
考 蕴含着方程思想的运用．等比数列的判断或证明，一般是
点 考
依据等比数列的定义或等比中项进行判断．
向
探
究
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
变式题 (1)已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋
与等比数列的综合 关键词：等差
与等比问题融合在
项公式 an＝________．
一个问题中如⑥.
[答案] 4n－2
[解析] 设等差数列的公差为d，
则d>0.因为a1，a2，a5成等比数列，所
以a
2 2
＝a1
a5
，即(a1＋d)2＝a1(a1＋
4d)，解得d＝4，所以an＝4n－2.
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
聚
焦
[答案] 8
[解析] 设公差为d，由题意得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝ 4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.
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体验高考
主干知识
核 心 知 识
3．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]
设首项为1，公比为
2 3
的等比数列{an}
⇒ 等比数列 关键词：概 念、基本量、通项
a6＝54，则等比数列{an}的公比 q 的值为(
)
A．14
B．12
C．2
D．8
(2)成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数
考 分别加上 2，5，13 后成为等比数列{bn}中的 b3，b4，b5，若
点 考
数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．
向
[答案] (1)B
A．n(n＋1)
B．n(n－1)
C．n（n＋ 2 1）
D．n（n－ 2 1）
考
[答案] A
点 考
[解析] 由题意，得a2，a2＋4，a2＋12成等比数列，即(a2
向 ＋4)2＝a2(a2＋12)，解得a2＝4，故a1＝2，所以Sn＝2n＋
探 究
n（n－ 2 1）×2＝n(n＋1)．
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
故数列{bn}的公比为2，b1＝54，
考 点 考 向
所以数列{bn}的前n项和Sn＝54（11－－22n）＝5×2n－2－54，
探 究
即Sn＋54＝5×2n－2，所以S1＋54＝52，
因此数列Sn＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
► 考点三 数列中递推关系 递推数列——1.由递推公式求通项公式；2.由 ap 求 aq 项
列{an}具有周期性，且周期为 3，所以 a1＝a7＝12.
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
(2)n＝1时，a1＝12a21＋1，得a1＝1，
当n≥2时，有Sn－1＝12an2－1＋n－1①，
又Sn＝12a2n＋n②，
考 点
由②－①得an＝12a2n－a2n－1＋1，即an－12－a2n－1＝0，
专题三 数列
第8讲 数列、等差数列、等比数列 第9讲 数列求和及数列的简单应用
核
心
知
识
聚 焦
第8讲 数列、等差数列、等
考 点
比数列
考
向
探
究
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第8讲 数列、等差数列、等
比数列
体验高考
主干知识
核 心
1．[2013·重庆卷]若2，a，b，
知 识
c，9成 等差数列① ，则c－a＝
聚 ________．
焦
[答案]
7 2
⇒ 等差数列 关键词：概念 如①、基本量、通 项公式如②、求和 公式．
[解析] 设公差为d，则d＝95－－21＝
74，所以c－a＝2d＝72.
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
体验高考
核
心
2．[2014·重庆卷改编] 在等差数列{an}中，a1＝2，
知 识
a3＋a5＝10，则 a7＝② ________．
—— 教师知识必备 ——
知识必备 数列、等差数列、等比数列
数 列、 等差 数 列、 等比 数列
按照一定次序排列的一列数．分有穷、无 概念
穷、递增、递减、摆动、常数数列等
一般 数列 {an}
通项 公式
前n项 和
数列{an}中的项用一 个公式表示，an＝f(n)
Sn＝a1＋a2＋…＋an
an＝
S1, Sn
向
a3＜a8，所以 2a3＜a3＋a8＝4，所以 a3＜2，所以 a8＝4－
探 究
a3＞2，即 a8 的取值范围是(2，＋∞)．
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
► 考点二 等比数列的基本计算
概念 ——1.等比数列概念的理解；2.等比数列的判 断与证明
通项 ——1.求等比数列中的某一项；2.求通项；3.求n
考
点 考
前n项和 ——1.求等比数列前n项和；2.求通项；3.求基
向
本量
探
究 题型：选择，填空，解答 分值：5－14分
难度：中等
热点：求等比数列基本量
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
例 2 [2014·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为
2，若 a2，a4，a8 成等比数列，则{an}的前 n 项和 Sn＝( )
聚 焦
a2＋a3＝④ ________．
[答案] 15
[解析] 因为a1＋a2＋a3＋a4＝ 2(a2＋a3)＝30，所以a2＋a3＝15.
主干知识
⇒ 等差数列 与等比数列的性质
关键词：在条 件 m＋n＝p＋q 下 am，an，ap，aq 的关 系，如④⑤.
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
B．(－∞，2) D．(4，＋∞)
究▪
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
[答案] (1)B (2)C
[解析] (1)因为 a1＋a5＝2a3，a2＋a8＝2a5，所以由 a1 ＋a2＋a5＋a8＝8，可得 a3＋a5＝4，所以 S7＝7（a12＋a7）＝
考 点
7（a32＋a5）＝14.
考
(2)a1＋a10＝a3＋a8＝4，由于数列{an}单调递增，所以
a2，且 a3＝2，则 a2014＝(
)
A．2013
B．2014
C．20213
D．1012
考
(2)[2014·安徽卷改编] 已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1
点 考
＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋，求证：数列ann是等差数列．
向
探
究
[答案] (1)A
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
⇔an＋1＋λ＝c(an＋λ)，λ＝
c－d 1.比较系数得出λ，转化
为等比数列
解决递推 数列问题 的基本思 想是“转 化”，即 转化为两 类基本数 列——等 差数列、 等比数列
求解
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第8讲 数列、等差数列、等比数列
—— 教师知识必备 ——
数 列、 等差 数 列、 等比 数列
概念
等差 数列
通项 公式
体验高考
核
心
5．[2014·广东卷] 等比数列an的各项均为正数，且
知 识
a1a5 ＝ 4 ， 则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5 ⑤ ＝
聚 焦
________．
[答案] 5
[解析]
在等比数列{an}中，a1a5＝a2a4＝a
2 3
＝4.因为
an>0，所以a3＝2，所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝a