一线三等角模型的研究

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一线三等角模型及其解法

一线三等角模型及其解法一线三等角模型是将一个图表分解为一线三等角形。

它是一种分解复杂图形的有效方法，可以帮助工程师了解复杂图表中可能存在的规律性和关系。

一、一线三等角模型的定义一线三等角模型是一种通过一条直线和三条重合线将数据进行分解的方法。

它的定义是：原有的数据经过分解、重构后，可以用一线三等角结构或等角三线结构图表示（即用三条线把一条线一分为三），以保证在某一范围内搜索达到最大或最小值。

二、一线三等角模型的特点1、合理性：一线三等角模型由来自原始数据的三角形组成，因此它可以合理地反映数据，以更容易地挖掘数据正确的值和规律。

2、比较性：由于一线三等角模型可以以图形的形式直观地表示数据的相互关系，因此它可以更清晰地显示不同数据之间的差异。

3、趋势性：一线三等角模型可以清楚地显示数据之间的变化趋势，它可以有效地预测某些情况下的发展前景。

三、一线三等角模型的解法1、根据图形上的定义，确定图形线条的表示方式；2、将数据或原始度量根据图形上的定义转换为图形内的点；3、利用拟合算法进行拟合，连接图形上的点与相关的定义；4、使用数学方程求解一线三等角模型，得出不同变量的比例关系及相应的数值；5、根据计算结果绘制图表，解释结果。

四、一线三等角模型的应用1、市场营销：一线三等角模型可以分析市场竞争，从而定位和优化品牌。

2、团队管理：一线三等角模型可以揭示团队的组织关系，以提高团队效率。

3、资源管理：一线三等角模型可以激发和有效地分配资源，以提高生产效率。

4、项目研究：一线三等角模型可以帮助分析市场需求情况，以及项目规划和实施情况。

5、战略管理：一线三等角模型可以提供组织战略发展的方向和衡量标准。

“一线三等角”问题的探究和拓展——以2022年中考数学安徽卷第14题为例

一线三等角问题的探究和拓展以2022年中考数学安徽卷第14题为例安徽省安庆市宿松县东洪初级中学曹喜荣 (邮编:246524)摘要一线三等角是几何证明中重要的数学模型,本文以2022年中考题为例进一步探讨一线三等角问题,有利于增强学生的几何直观能力,提升学生的数学核心素养.关键词一线三等角;初中数学;几何模型 ‘义务教育数学课程标准(2022年版)“指出,学业水平考试要坚持素养立意,凸显育人导向.2022年安徽省中考数学卷第14题是基于一线三等角模型的问题,体现立足基础,源于教材,联系实际,突出能力,强调应用,着意素养的命题思路.试题以教材习题素材为蓝本进行综合㊁创新㊁改造,引领教师在教学中要注重对教材内容的理解以及在理解的基础上的适度拓展,既提升教材的价值,又拓展学生的思维,培养学生的能力,发展学生数学素养.以该题为例,分析试题立意,进行解法探究,感悟用好教材的方法.1试题及其解答图1如图1,四边形A B C D是正方形,点E 在边A D 上,әB E F 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形,E F ,B F 分别交C D 于点M ,N ,过点F 作A D 的垂线交A D 的延长线于点G .连接D F ,请完成下列问题:(1)øF D G =.(2)若D E =1,D F =22,则MN =.受篇幅所限,本文仅讨论题(1).分析观察发现,在直线A D 上出现了三个相等的直角:øA =øB E F =øG ,结合题设易证全等三角形,这是一线三等角数学模型应用的典型范例.解析由题意可得,因为øA B E +øB E A=øB E A +øF E G =90ʎ,同角的余角相等,得øA B E =øF E G .又因为øA =øG =90ʎ,E B =E F ,所以әB E A ɸәE F G A A S .从而B A =E G ,A E =G F .又四边形A B C D 是正方形,B A =A D .得到G D =E G -E D =B A -E D =A D -E D =A E =GF ,所以әDG F 是等腰直角三角形.所以øF D G =45ʎ.说明一线三等角是指在一条直线上出现了三个相等的角,在这种情况下,综合性几何题往往就会利用全等以及等腰三角形的性质作为出题和解题的一种形式.2 教材原题溯源本题以沪科版义务教育教科书八年级‘数学“上册第15章轴对称图形与等腰三角形第140页练习第7题素材为母题,兼顾知识㊁能力㊁思想方法等方面的考查,呈现形式贴近学生,符合学生认知规律.(沪科版教材八年级上册第140页第7题)已知:如图2,在әA B C 中,A B =A C ,点D ㊁E 分别在边B C ㊁A C 上,A D =A E ,若øB A D =30ʎ,求øE D C 的度数.解析设øE D C =x ,øB =øC =y ,图2则øA E D =øE D C +øC =x +y ,又因为A D =A E ,所以øA D E =øA E D=x +y .则øA D C =øA D E+øE D C =2x +y .又øA D C =øB +øB A D ,所以2x +y =y +30ʎ,解得x =15ʎ,所以øE D C 的度数是15ʎ.注该题主要考查等腰三角形的性质,当øA D E =øB 时就构造了一线三等角模型,熟练掌握该模型的相关特点,可以在解题过程中判定全等三角形㊁相似三角形等几何关系,从而提升学生的数学思维能力.3 模型拓展应用552023年第3期中学数学教学图3拓展1 如图3,D ,E 是直线l 上的两个动点(D ,A ,E 三点互不重合)F 为øB A C 内一点,且әA B F 和әA C F 均为等边三角形,连接F D ,F E ,B D ,C E .若øB D A =øA E C =øB A C ,求证:D F =E F .解析因为øB D A =øA E C =øB A C ,øB D A +øA B D +øB A D =øB A D +øB A C+øC A E =180ʎ,所以øA B D =øC A E .因为әA B F 和әA C F 均为等边三角形,所以øA B F =øC A F =60ʎ,F B =A B =A F =A C ,所以øD B A +øA B F =øC A E +øC A F ,即øD B F =øE A F .在әA D B 和әC E A中,øA B D =øC A E ,øB D A =øA E C ,A B =C A ,所以әA D B ɸәC E A (A A S ),即B D =A E .在әD B F 和әE A F 中,F B =F A ,øD B F =øE A F ,B D =A E ,所以әD B F ɸәE A F (S A S ),所以D F =E F .注此题直接给出了一线三等角模型的条件,熟悉该模型可在复杂的几何图形中迅速搭建证明思路,实现在等边三角形中的应用.图4在全等三角形之外, 一线三等角在三角形相似证明中也有充分的应用.拓展2 如图4,在等腰三角形或等边三角形中,ø1=ø2=ø3,可根据三角形内角和及补角得到另一组等角,可得同一三角形中两阴影部分三角形相似.拓展3 如图5,әD E F 的三个顶点分别在等边әA B C 的三条边上,B C =4,øE D F =90ʎ,D ED F=3,则D F 长度的最小值是.解析由t a nøE F D =D ED F=3,可得图5øE F D =60ʎ,因为әA B C 是等边三角形,所以øA =øC=60ʎ,A B =B C =A C =4,由三角形内角和得øA F E +øA E F =180ʎ-øA =120ʎ,又øA F E +øD F C =180ʎ-øE F D =120ʎ,所以øA E F =øD F C ,可得әA E F ʐәC F D ,所以C D A F =D FE F=c o s øE F D =12,设C D =a ,则A F =2a ,C F =A C -A F =4-2a ,过点F 作F H ʅC D 于点H ,在R t әD F H 中,C H =C F c o s øC =2-a ,F H =C F s i n øC =23-3a ,所以DH =C D -C H=a -(2-a )=2a -2,在R t әD F H 中,D F 2=DH 2+F H 2=(2a -2)2+(23-3a )2=7a 2-20a +16=7(a -107)2+127,所以D F 2的最小值为127,D F 最小值为2217.注在该题中,单纯运用几何知识难以求出最值,需要串联知识,借助函数的工具.运用一线三等角模型易证三角形相似,在此基础上建立函数关系式便很快突破了难点,解决了问题;提升学生的几何直观能力,根据题设条件特点及图形特征,运用基本结论解决问题的技能是几何教学的重难点之一,也是学生解题需要掌握的基本能力.4 总结2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念㊁数据观念;数学学科核心素养也包括数学抽象和直观想象,逻辑推理和运算能力,数学模型和数据分析.在初中数学教学中,及时归纳如一线三等角等数学模型,注重培养学生的模型观念,有利于增强学生的数学能力,提升学生的数学核心素养.参考文献[1] 史宁中.‘义务教育数学课程标准(2022年版)“的修订与核心素养[J ].教师教育学报,2022,9(3):92-96.[2] 孔凡哲,史宁中.中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J ].教育科学研究,2017(6):5-11.(收稿日期:2023-04-11)65中学数学教学2023年第3期。

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型

初二《全等三角形》数学模型之“一线三等角”模型.doc在初中数学中，全等三角形是一个重要的知识点，其中有许多模型。

掌握好这些模型，对于研究几何和提高成绩都有帮助。

今天我要介绍的是“一线三等角”模型。

这个模型贯穿初中几何的始终，也是相似三角形一个非常重要的知识点。

一线三等角”是指三个相等的角的顶点在同一条直线上。

例如，如果在直线AB上，有∠1=∠2=∠3，那么这就是一个“一线三等角”模型。

对于这个模型，我们可以得到以下性质：1.只要题目中满足“一线三等角”的条件，三角形必相似。

2.如果题目中还有对应边相等的条件，那么三角形就必全等。

一线三等角”模型常见的背景图形包括正方形、等边三角形、等腰三角形等等。

例如，正方形ABCD中，有一个直角的顶点在边AB上。

又如，等腰直角三角形ABC中，有一个45°角的顶点在边AB上。

下面以一个例题来说明如何运用“一线三等角”模型：已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD＋CE。

解析：因为BD⊥直线m，CE⊥直线m，所以有∠BDA＝∠CEA＝90°。

又因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠CAE＝90°。

又∠BAD＋∠ABD＝90°，所以∠CAE＝∠ABD。

因为AB＝AC，所以△ADB≌△CEA，从而AE＝BD，AD＝CE。

因此，XXX。

如果将条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角。

请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。

一线三等角模型结论及证明

一线三等角模型结论及证明
摘要
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。

本文将详细阐述一线三等角模型的结论及证明，以及如何使用它来解决实际问题。

一、定义
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，它们的夹角均为120度。

二、结论
一线三等角模型的结论如下：
1、如果在一条直线上有三个等角，则它们的夹角均为120度。

2、如果三条直线的夹角均为120度，则它们共线。

三、证明
1、证明一：假设在一条直线上有三个等角，设它们的夹角为α，β，γ，则有
α+β+γ=360°，由等角性质可知α=β=γ=120°，得证。

2、证明二：假设三条直线的夹角均为120°，设它们的夹角分别为α，β，γ，则有α+β+γ=360°，此时α=β=γ=120°，由此可知，三条直线共线，得证。

四、实际应用
一线三等角模型可以用来解决实际问题，比如，在建筑设计中，可以根据一线三等角模型设计出美观的建筑结构，如三角形的屋顶，具有特殊的视觉效果。

结论
一线三等角模型是几何学中的重要概念，它指的是在一个给定的直线上，存在三个等角，
它们的夹角均为120度。

本文详细阐述了一线三等角模型的结论及证明，并且给出了如何使用它来解决实际问题的实例。

一线三等角模型特征及结论

一线三等角模型特征及结论好嘞，咱们来聊聊“一线三等角模型”，这个听起来高大上的名词其实也没那么复杂。

就像一碗热腾腾的面条，虽然看起来简单，但其中却藏着不少讲究。

咱们先说说这“一线三等角”是个啥。

简单来说，就是在某些情况下，我们可以把事情简化成一条线和三个角。

这听起来是不是有点像数学课上学的那些东西？但实际上，它在很多领域里都能派上用场，比如说设计、分析，甚至日常生活中也能找到它的身影。

想象一下，你和朋友们一起去泡温泉，那个水雾缭绕的地方，大家围坐在一起，谈笑风生。

这时候，气氛就像那一条线，大家都聚在这条线上，享受着温暖。

而那些欢声笑语，正是那三个角，分别代表着不同的情感、不同的观点。

你看，一个简单的场景，运用这个模型，就能让我们更好地理解和分析这个过程。

这就是“一线三等角”的魅力所在，能把复杂的事情，变得简单又生动。

再说说这个模型的特征。

这条线就代表着一个核心主题或者主线，围绕着这个主题，大家可以展开不同的讨论。

就像我们在聊天的时候，始终围绕着一个话题，有时候跑偏了，但大家又会很自然地拉回来。

这种核心的连结，让人觉得踏实，也让讨论有了方向。

这三个角嘛，分别代表着不同的视角。

比如说，一个角可能是乐观的，一个是现实的，还有一个可能是有点悲观的。

每个角都有它的价值，咱们不能只看一个角度，这样就会错过很多精彩的细节。

可能有人会想，这种模型有什么用呢？嘿嘿，别急，接下来咱们就来看看它的实际应用。

想想看，在工作中，我们常常需要开会讨论项目。

这个时候，一条主线就是项目的目标，而三个角可以代表不同团队的反馈和建议。

大家围绕着这个目标，分享各自的想法，碰撞出火花，真是热闹得很。

经过这样的讨论，最后能形成一个更完善的方案，让大家都心服口服，简直就像是团队合作的缩影。

在学习上，咱们也能用这个模型。

想象你在复习一门课程，主线就是你要掌握的知识点，而那些角度则可以是不同的例题、应用和理论。

换个角度看问题，会让你豁然开朗，原来原本的难题竟然也能迎刃而解。

全等典型模型：“一线三等角”模型

全等典型模型：“一线三等角”模型本文介绍了三角形证明中的“一线三等角”和“三垂直”两种典型模型。

其中，“一线三等角”模型的题型特征是图形的某条线段上出现三个相等的角，解题方法是只要再出现一组等边，就可以证明两个三角形全等；“三垂直”模型的题型特征是图形的某条线段上出现三个直角，解题方法也是只要再出现一组等边，就可以证明两个三角形全等。

此外，本文还给出了两种变化图形：交叉型和L型。

例题1中，给出了一个△ABC，AB=AC=2，∠B=40º，点D在线段BC上运动，连接AD，作∠ADE=40º，DE交线段AC于点E。

题目要求当∠BDA=115°时，求∠EDC和∠AED；线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由。

例题2中，给出了一个长方形ABCD，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，长方形的周长为16，求AE的长。

例题3中，给出了一个△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C作过A点的直线的垂线，垂足为D、E。

题目要求证明△AEC≌△BDA，并求出ED的长。

已知在△ABC中，如图①，∠BAC=90°，且AB=AC。

直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E。

现需证明DE=BD+CE。

证明：首先，连接BE、CD，如图②所示。

由于AB=AC，∠BAC=90°，因此△ABC为等腰直角三角形，即AB=BC=AC。

又因为BD⊥m，CE⊥m，所以BD和CE分别是△ABC的高，且BD=AB-AD，CE=AC-AE。

将BD和CE代入DE=BD+CE中，得到DE=(AB-AD)+(AC-AE)，即DE=AB+AC-(AD+AE)。

接下来，我们来证明XXX。

由于XXX，XXX，所以∠ADE=∠XXX°，∠AED=∠ABC。

一线三等角几何模型在数学解题中的探究

2021年17期61扫描二维码，获取更多本文相关信息引言数学模型是指把一种事物的特征和关系高度概括抽象，用数学中独有的语言描述出来的结构[1]。

数学模型对学生学习数学提出了更高的要求，加之新课程标准要求教师培养学生的数学敏感度和符号、空间、集合、运算等观念、思想和能力，因此，数学模型成为数学教学的重中之重。

教师在教学中应善于从整体出发，重点讲授建立数学模型和求解的过程，引导学生领会其中的模型思想。

一、引导拓展探究2011年江苏省盐城市的一道中考题引发了教师的思考。

教师在教学一线三等角几何模型时可以将这道问题呈现给学生，然后让学生展开相应的探究，最后进行拓展延伸。

整个过程中，教师需要引导学生逐渐深入，使学生对这一模型的理解呈螺旋式的上升趋势，进而逐渐一线三等角几何模型在数学解题中的探究陈丽冰（福建省莆田渠桥第二中学，福建莆田 351142）摘　要：数学在初中教育中占据着非常重要的地位，几何是数学最基本的研究内容之一。

因此，初中数学教师要注重培养学生的几何思维和几何能力。

近年来，一种几何基本模型随着江苏省的一道中考题受到了人们的广泛关注——一线三等角几何模型。

本文将从以下三点阐述一线三等角几何模型在数学解题中的运用。

关键词：初中数学；几何模型；一线三等角；解题探究中图分类号：G 427 文献标识码：A 文章编号：2095-9192(2021)17-0061-02图1 图2掌握这个模型，题目如下所示：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A'C'D ，如图1所示，将△A'C'D 的顶点A'与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A （A'）、B 在同一条直线上，如图2所示。

观察图2可知：与BC 相等的线段是　_________，∠CAC'=_________°。

问题探究：如图3，△ABC 中，AG ⊥BC于点G ，以A为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ，试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)

专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

专题07 探索“一线三等角”模型(解析版)

专题07 探索“一线三等角〞模型【常见图形】【典例解析】【例1】〔2021·广东高州期中〕如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BD ⊥DE ，AE ⊥DE ，垂足分别为D 、E ．〔这几何模型具备“一线三直角〞〕如下列图1：〔1〕①请你证明：△ACE ≌△CBD ；②假设AE ＝3，BD ＝5，求DE 的长；〔2〕迁移：如图2：在等腰Rt △ABC 中，且∠C ＝90°，CD ＝2，BD ＝3，D 、E 分别是边BC ，AC 上的点，将DE 绕点D 顺时针旋转90°，点E 刚好落在边AB 上的点F 处，那么CE ＝．〔不要求写过程〕【答案】〔1〕①见解析；②DE =8；〔2〕CE =1.【解析】〔1〕证明：∵BD ⊥DE ，AE ⊥DE ，∴∠E =∠D =90°．∵∠ACB =90°，∴∠1=∠2，在△ACE 与△CBD 中，12E B AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△CBD ；②解：同〔1〕，得△ACE ≌△CBD ，∴CE =BD =5，AE =CD =3，∴DE =CE +CD =5+3=8．(2)过F 作FM ⊥BC 于M ，那么∠FMB =∠FMD =90°，∵∠C =90∘，AC =BC ，∴∠B =∠A =45°，∴∠MFB =∠B =45°，∴BM =MF ，∵DE ⊥DF ，∴∠EDF =∠FMD =∠C =90°，∴∠CED+∠CDE=90∘,∠CDE+∠FDM=90°，∴∠CED=∠FDM，在△CED和△MDF中，CED MDFC FMDDE DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CED≌△MDF，∵CD=2，BD=3，∴DM=CE，CD=FM=2=BM，∴CE=DM=3−2=1，故答案为1.【例2】〔2021·四川巴州期末〕某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，假设AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．【答案】见解析.【解析】解：由题意可知：∠B=∠CDE=∠ACE=90°∴∠ACB+∠DCE=90°∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC∴∠DCE=∠BAC又AB=CD∴△ABC≌△CDE∴DE=BC，∴BC=DE=BD－CD=64-12=52故该居民楼ED的高度为52米.【例3】〔2021·潮州市潮安区月考〕问题背景：〔1〕如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．拓展延伸：〔2〕如图2，将〔1〕中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC．请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．〔不需要证明〕实际应用：〔3〕如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－6，3)，请直接写出B点的坐标．【答案】见解析.【解析】〔1〕证明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，ABD CAEADB CEA AB CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE即：DE＝BD＋CE〔2〕数量关系：DE＝BD＋CE理由如下：在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD，∠BDA=∠AEC，∴∠ABD=∠CAE，在△ABD和△CAE中，ABD CAEBDA AEC AB CA∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABD≌△CAE∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AD+AE=BD+CE；〔3〕解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，由〔1〕可知，△AEC≌△CFB，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B的坐标为B〔1，4〕．【例4】〔2021·广东广州月考〕如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是___________．【答案】50.【解析】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，在△AEF和△BAG中，90F AGBAEF BAGAE AB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BAG，〔AAS〕同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG=3，AG=EF=6，GC=DH=4，BG=CH=3，∵梯形DEFH的面积=12(EF+DH)•FH=80，S△AEF=S△ABG=12AF•AE=9，S△BCG=S△CDH=12CH•DH=6，图中实线所围成的图形的面积：80-2×9-2×6=50，故答案为：50．【例5】〔2021·曲阜月考〕如图，点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线OC上，－直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，那么OA＋BO＝______________【答案】2【解析】解：作过PPE⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，根据题意得：PE=PF，∴2m-1=6m-5，∴m=1，∴P〔1，1〕，∵∠EPF=90°，∵∠BP A=90°，PE=PF=1，∴∠EPB =∠FP A ，在△BEP 和△AFP 中，90PEB PFA PE PF EPB FPA ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝，∴△BEP ≌△AFP 〔ASA 〕，∴BE =AF ，∴OA +OB =OF +AF +OE -BE =OF +OE ，∵P 〔1，1〕，∴OE =OF =1，∴OA +OB =2．故答案为：2．【习题专练】1.〔2021·广东英德期末〕〔1〕如图1，：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．图1〔2〕如图2，将〔1〕中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；假设不成立，请说明理由．图2〔3〕如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．图3【答案】见解析【解析】解：〔1〕①∵BD ⊥l ，CE ⊥l∴∠BDA =∠CEA =90°∵∠BAC =90°∴∠BAD +∠CAE =90°∵∠BAD +∠ABD =90°∴∠CAE =∠ABD②在△ADB和△CEA中，ABD CAEBDA CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CEA∴AE=BD，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；〔2〕成立：DE=BD+CE证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB和△CEA中，ABD CAEBDA CEA AB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△CEA∴AE=BD、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE；〔3〕过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N ∴∠EMI=GNI=90°由〔1〕和〔2〕的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI和△GNI中，GIH EIM EM GNGHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI≌△GNI∴EI=GI∴I是EG的中点．2.〔2021·湖北武汉月考〕如图，A点的坐标为〔0，3〕，B点的坐标为〔〕，D为x轴上的一个动点，AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交y轴于点M〔1〕假设D点的坐标为〔〕，求E点的坐标:〔2〕求证:M为BE的中点〔3〕当D点在x 轴上运动时，探索:OMBD为定值【答案】见解析.【解析】解：(1)过E点作EF⊥y轴于F，∵AD⊥AE，EF⊥AF∴∠AOD=∠AFE=90°∵∠DAO+∠EAF=90°，∠EAF+∠AEF=90°∴∠DAO=∠AEF在△AOD和△EF A中，DAO AEFAOD AFEAD AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD≌△EF A(AAS)∴EF=OA=3 AF=OD=5∴OF=AF-OA=5-3=2即E(3,-2)(2)D点有3个位置根据题意：AE=AD，∠AEF+∠DAO=90°，又∵∠AEF+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠DAO∴△AOD≌△EF A∴OB=EF，∠BOM=∠EMF=90°∴△BOM≌△EFM(AAS)∴BM=EM=12 BE.(3)根据(2)可知，D点在可以在3个位置，当D点如下列图的位置时，过D作直线a⊥x轴于D，过A作AG⊥a于G，由(2)知△BOM≌△EFM，∴EF=OB，由(1)知△AOD≌△EF A即：EF=OA =OB，AF=OD∴OF=AF-OA=OD-OB，∵OM=12OF=12BD∴OMBD=12，当D在另外两个位置时，同理可证：OMBD=12.3.〔2021·黑龙江齐齐哈尔期中〕观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．〔1〕求证：△AEC≌△CDB；〔2〕类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；〔3〕拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC 以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB 上，求点P运动的时间．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB；(2)过B’作B'D⊥AC于D，由旋转知，AB’=AB，∠B’AB=90°，∠B′AC＋∠BAC=90°，又∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△AB′D，∴B′D=AC=6，△AB ′C 的面积=6×6÷2=18；(3)由旋转知，OP =OF ，∵△BCE 是等边三角形，∴∠CBE =∠BCE =60°∴∠OCP =∠FBO =120°，∠CPO ＋∠COP =60°，∵∠POF =120°，∴∠COP ＋∠BOF =60°，∴∠CPO =∠BOF ，在△BOF 和△PCO 中，∠OBF =∠PCO =120°,∠BOF =∠CPO ，OF =OP ∴△BOF ≌△PCO ，∴CP =OB ，∵EC =BC =4cm ，OC =3cm ，∴OB =BC -OC =1，∴CP =1，∴EP =CE ＋CP =5，点P 运动的时间为：5÷秒.4.〔2021·三台县月考〕王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板()AC BC,ACB 90∠==，点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【答案】见解析．【解析】解：由题意得：AC =BC ，∠ACB =90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE∴∠ADC =∠CEB =90°∴∠BCE =∠DAC 在△ADC 和△BCE 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB由题意得：AD =CE =6，CD =BE =14，∴DE =CD +CE =20答：两堵木墙之间的距离为20cm ．5．〔2021·舞钢市月考〕小强为了测量一幢楼的高度AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P 〔如图〕．测得视线PC 与地面所成的夹角∠DPC =36°，视线P A 与地面所成的夹角∠APB =54°，旗杆的高度CD 是10米，量得P 到楼底距离PB 也是10米，量得旗杆与楼之间距离为DB =25米，小强计算出了楼高，(旗杆与楼都和地面垂直〕请问楼高AB 是_____________米．【答案】15.【解析】解：由题意，得：∠D =90°，∠DPC =36°，∴∠PCD =180°－90°－36°=54°，∵∠APB =54°，∴∠APB =∠PCD ，在△APB 和△PCD 中，∵∠APB =∠PCD ，PB =CD =10米，∠ABP =∠D =90°，∴△APB ≌△PCD ，∴AB =DP ，∵DB =25米，PB =10米，∴DP =15米，即AB =15米．故答案为：15．6.〔2021·海口市月考〕在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，①求证：ADC ≌CEB △；②求证：DE AD BE =+；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，〔1〕中的结论②还成立吗？假设成立，请给出证明；假设不成立，说明理由．【答案】见解析．【解析】证明：〔1〕①∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠DAC +∠ACD =90°，∴∠DAC =∠BCE ，又∵AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB ；②∵△ADC ≌△CEB ，∴CD =BE ，AD =CE ，∵DE =CE +CD ，∴DE =AD +BE ；〔2〕DE =AD +BE 不成立，DE =AD －BE ，理由如下：∵BE ⊥MN ，AD ⊥MN ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，又∵AC =BC ，∴△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DE =CE －CD ，∴DE =AD －BE ．7.〔2021·齐齐哈尔市期中〕综合与探究如图，等腰直角ABC ∆中，BC AC =，90ACB ∠=︒，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B 坐标为()0,1，点C 坐标为()3,0.〔1〕过点A 作AD x ⊥轴，求OD 的长及点A 的坐标；〔2〕连接OA ，假设P 为坐标平面内异于点A 的点，且以O 、P 、C 为顶点的三角形与OAC ∆全等，请直接写出满足条件的点P 的坐标；〔3〕5OA =，试探究在x 轴上是否存在点Q ，使OAQ ∆是以OA 为腰的等腰三角形？假设存在，请直接写出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：〔1〕∵点B坐标为〔0，1〕，点C坐标为〔3，0〕∴OB=1，OC=3∵∠ACB=90°，∠ADC=90°∴∠CAD=∠BCO又AC=BC，∠ADC=∠COB=90°∴△ACD≌△CBO∴CD=OB=1，AD=OC=3∴OD=OC+CD=4.∴点A坐标为〔4,3〕.〔2〕①△OP1C≌△OAC时，此时P1〔4，-3〕②△OP2C≌△OAC时，此时P2〔-1,3〕③△OP3C≌△OAC时，此时P3〔-1,-3〕〔3〕①当以点A为顶点时，且OA是腰Q1〔8,0〕，AQ1=AO②当以点O为顶点时，且OA是腰的锐角三角形时，即OQ2=OA=5∴点Q2的坐标为〔5,0〕；③当以点O为顶点时，且OA是腰的钝角三角形时，即OQ3=OA=5∴点Q3的坐标为〔-5,0〕.。

建构数学模型深化解题策略——以“一线三等角全等”模型为例

技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。

W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。

这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。

由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。

对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。

似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。

1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。

2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。

所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。

根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。

全等三角形中“一线三等角”模型

第11讲全等三角形中“一线三等角”模型（核心考点讲与练）【基础知识】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。

过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：【考点剖析】1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE（2）在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.2、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.解析：∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD≌△DCE3、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD 证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC【解析】（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M证△BAE≌△ACM（AS A）得CM=AE=CD∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD∴AB=BD∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）（2）AB+AE=BD+DC=BC4、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=BD.解析：延长CE、BA相交于点F.∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBEBE=BE∠CEB=∠FEB∴△BCE≌△BFE(ASA)∴CE=EF∴CE=CF=BD【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兰陵县期末）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【分析】由题中条件求出∠BAC＝∠DCE，可得直角三角形ABC与CDE全等，进而得出对应边相等，即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，应熟练掌握．2．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm【分析】根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCE，再利用AAS证明△ACD≌△CBE，得CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，从而得出答案．【解答】解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，故选：C．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．3．（2022春•北碚区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AC⊥BC，且AD＝CD＝AB＝2，则BC为（）A．1B．C．D．【分析】过点D作DE⊥AC于点E，证明△DAE≌△ABC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BC，设CB＝x，则AC＝2x，由勾股定理得出（2x）2+x2＝22，求出x的值则可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，∵AD⊥AB，AC⊥BC，∴∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B，又∵AD＝AB，∴△DAE≌△ABC（AAS），∴AE＝BC，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AE＝CE，设CB＝x，则AC＝2x，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2x）2+x2＝22，∴x，∴BC，故选：B．【点评】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（2021秋•合肥期末）如图，E为线段BC上一点，∠ABE＝∠AED＝∠ECD＝90°，AE＝ED，BC＝20，AB＝8，则BE的长度为（）A．12B．10C．8D．6【分析】根据一线三等角模型证明△ABE≌△ECD，可得AB＝EC，即可解答．【解答】解：∵∠ABE＝∠AED＝90°，∴∠A+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠A＝∠DEC，∵∠ABE＝∠ECD＝90°，AE＝ED，∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝CE＝8∵BC＝20，∴BE＝BC﹣CE＝20﹣8＝12，故选：A．【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角模型是解题的关键．5．（2021秋•岑溪市期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点B在直线l上，过A作AD⊥l于D，过C作CE⊥l于E．下列给出四个结论：①BD＝CE；②∠BAD与∠BCE互余；③AD+CE＝DE．其中正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠BCE，再根据“AAS”可得△ABD≌△BCE，再逐项分析可得结论．【解答】解：∵AD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝∠BCE+∠EBC＝90°，即∠ABD＝∠BCE，在△ABD和△BEC中，，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴BD＝CE，故①正确；∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD＝∠BCE，∴∠BAD+∠BCE＝90°，即∠BAD与∠BCE互余，故②正确；∵△ABD≌△BCE，∴AD＝EB，DB＝CE，∵BE+D＝DE，∴AD+CE＝DE，故③正确．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△CBE是解题的关键．6．（2020秋•襄汾县期末）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接AE、BD、FG，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，则下列结论中：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④CF＝CG，以上结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG 是等边三角形，易得③正确；证出△CFG是等边三角形，得出FG＝CG．【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，（①正确）∠CBD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠ACG＝60°，在△BCF与△ACG中，，∴△BCF≌△ACG（ASA），∴AG＝BF，（②正确）；同理：△DFC≌△EGC（ASA），∴CF＝CG，∴△CFG是等边三角形，∴∠CFG＝∠FCB＝60°，∴FG∥BE，（③正确）．∵∠ACG＝60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG＝CG，故④正确；故选：D．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．7．（2021秋•武昌区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE BD，AD，BD，则△BDE的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据SAS证明△ABF与△BED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ABD＝∠C＝∠E，AB＝BE，在BD上截取BF＝DE，在△ABF与△BED中，，∴△ABF≌△BED（SAS），∴S△BDE ＝S△ABF．∴S△ABDBD•AD••．∵DE BD，∴BF BD，∴S△ABF S△ABD，∴S△BDE．故选：C．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABF与△BED全等．二．填空题（共6小题）8．（2021秋•台江区期末）如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为　3　．【分析】利用AAS证明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，从而解决问题．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等等知识，证明△ACD≌△BDE是解题的关键．9．（2021秋•重庆期末）如图，已知AB＝AD，请添加一个条件，使得△ABC≌△ADC，则添加的条件可以为　∠BAC＝∠DAC，CB＝CD　（只填写一个即可）．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：由题意AB＝AD，AC＝AC，∴根据SAS，可以添加∠BAC＝∠DAC，使得△ABC≌△ADC，根据SSS，可以添加CB＝CD，使得△ABC≌△ADC，故答案为：∠BAC＝∠DAC，CB＝CD．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2021秋•北仑区期末）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为　2.5　．【分析】如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，根据SAS证明△BED≌△GFE，得FG＝CG＝BE，最后证明AD＝2BE可得结论．【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，∵FG平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝BE+CG＝2BE＝5，∴BE＝2.5．故答案为：2.5．【点评】本题考查了等边三角形性质，全等三角形判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形全等．11．（2021秋•苏州期末）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为　12　．【分析】如图，过点A作AA'⊥BC于A'，先根据面积法可得AA'的长，证明△AA'C≌△CGK（AAS），可得CG＝AA'，最后根据长方形的面积公式可计算其答案．【解答】解：如图，过点A作AA'⊥BC于A'，∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5，AB•AC BC•AA'，∵S△ABC∴，∴AA'，∵四边形ACKL是正方形，∴AC＝CK，∠ACK＝90°，∴∠ACA'+∠KCG＝∠ACA'+∠CAA'＝90°，∴∠KCG＝∠CAA'，在△AA'C和△CGK中，，∴△AA'C≌△CGK（AAS），∴CG＝AA'，∴长方形CDPG的面积＝CD•CG＝512．故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键．12．（2021秋•房山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，则∠A的度数是　（180°﹣2α）　度．（用含α的代数式表示）【分析】根据已知条件可推出BDF≌△CDE，从而可知∠EDC＝∠FDB，则∠EDF＝∠B．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°∠A，∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2α，故答案为：（180°﹣2α）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现∠EDF＝∠B．再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．13．（2021秋•蜀山区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边AC、BC上的点，且AD＝DE，AB＝BE，∠A＝70°，则∠CED＝　110　度．【分析】根据SSS证明△ADB与△EDB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ADB与△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（SSS），∴∠A＝∠DEB＝70°，∴∠CED＝180°﹣∠DEB＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ADB与△EDB全等．三．解答题（共12小题）14．（2021秋•赫山区期末）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN 于点D，BE⊥MN于点N，求证：（1）△ADC≌△CEB；（2）DE＝AD+BE．【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠BEC＝90°，由同角的余角相等得：∠DAC＝∠BCE，因此根据AAS 可以证明）△ADC≌△CEB；（2）由（1）中的全等得：DC＝BE，AD＝EC，根据线段的和可得结论．【解答】证明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；（2）∵△ADC≌△CEB，∴DC＝BE，AD＝EC，∵DE＝DC+EC，∴DE＝BE+AD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键；在证明角相等时常利用同角的余角相等来证明角的大小关系；要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．15．（2021秋•霍林郭勒市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE 于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．【分析】先证明△ACD≌△CBE，再求出EC的长，解决问题．【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E＝∠ADC＝90°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°∴∠BCE＝∠DAC∵AC＝BC∴△ACD≌△CBE∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．再根据全等三角形的性质解决问题．16．（2021秋•嵊州市期末）【问题提出】（1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．【问题解决】（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD＝6cm，求CE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，然后利用AAS即可证明结论；（2）作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，根据等腰三角形的性质得CG＝3cm，利用勾股定理得AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），得CH＝AG＝4cm，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝3cm，在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），∴CH＝AG＝4cm，∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8cm．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握基本几何模型是解题的关键．17．（2021秋•顺义区期末）已知：在△ABC中，AB＝AC，直线l过点A．（1）如图1，∠BAC＝90°，分别过点B，C作直线l的垂线段BD，CE，垂足分别为D，E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠BAC≠90°时，设∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，点D，E在直线l上，直接用等式表示线段DE，BD，CE之间的数量关系为　DE＝BD+CE　．【分析】（1）①由题意画出图形即可；②证明△CEA≌△ADB（AAS），根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论；（2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直线l过点A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之间的数量关系为DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．（2021秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在BC边上，AD＝AE．求证：CD＝BE．【分析】根据AAS证明△ACE与△ABD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∴∠CEA＝∠BDA，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（AAS），∴CE＝BD，∴CE+ED＝DB+ED，即CD＝BE．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ACE与△ABD全等．19．（2021秋•番禺区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE．求证：CD＝BE．【分析】根据AB＝AC得出∠DBC＝∠ECB，利用SAS证明△BDC≌△CEB，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB，∵AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即DB＝EC，在△DBC和△ECB中，，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴CD＝BE．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用SAS证明△BDC≌△CEB解答．20．（2021秋•南关区期末）如图，CD∥AB，CD＝CB，点E在BC上，∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°，则∠BED的度数是　55°　．【分析】（1）根据ASA证明△DEC与△CAB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCE，在△DEC与△CAB中，，∴△DEC≌△CAB（ASA），∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB，∴∠CED＝∠A＝125°，∴∠BED＝180°﹣125°＝55°，故答案为：55°．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△DEC与△CAB全等是解题的关键．21．（2021秋•永吉县期末）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．（1）图中有　6　个三角形（包括△ABC），有　2　对全等三角形．（2）求证：BD＝CE．【分析】（1）根据等边对等角的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，再根据等角的补角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后根据“角角边”即可得到全等三角形．（2）根据AAS证明△ABE和△ACD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）图中有△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∴180°﹣∠ADE＝180°﹣∠AED，即∠ADB＝∠AEC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）．故答案为：6；2；（2）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AD＝AE，∴∠1＝∠2．在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS）．∴BE＝CD．∴BE—DE＝CD—DE．∴BD＝CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质得到相等的角是解题的关键．22．（2021秋•莱阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【分析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，则AE可求出．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．23．（2021秋•涡阳县期末）如图，把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转，当AB∥MN时，∠2＝　45　度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作AM⊥MN于M，BN⊥MN与N，若AM ＝6，BN＝2，求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【分析】（1）先求出∠B＝45°，再用平行线的性质，即可求出答案；（2）先用同角的余角相等判断出∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，进而判断出△AMC≌△CNB （ASA），得出AM＝CN，MC＝BN，即可求出答案；（3）同（2）的方法，即可得出结论．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∵AB∥MB，∴∠2＝∠B＝45°，故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，∴∠AMC＝90°，∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠CAM，同理：∠1＝∠CBN，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（ASA），∴AM＝CN，MC＝BN，∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM，理由：同（2）的方法得，△AMC ≌△CNB （ASA ），∴AM ＝CN ，MC ＝BN ，∴MN ＝MC ﹣CN ＝BN ﹣AM ．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△AMC ≌△CNB 是解本题的关键．24．（2021秋•青山区期末）如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，△ABD 为等腰三角形，AD ＝AB ＝BC ，E 为DB 延长线上一点，∠BAD ＝2∠CAE ．（1）若∠CAE ＝20°，求∠CBE 的度数；（2）求证：∠BEC ＝135°；（3）若AE ＝a ，BE ＝b ，CE ＝c ．则△ABC 的面积为．（用含a ，b ，c 的式子表示）【分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠D ＝∠DBA ＝70°，由三角形内角和定理可得出答案；（2）过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，证明△BAF ≌△CBG （AAS ），由全等三角形的性质得出AF ＝BG ，BF ＝CG ，得出AF ＝EF ＝BG ，BF ＝CG ，由等腰直角三角形的性质可得出结论；（3）根据S △ABC ＝S △AEB +S △AEC ﹣S △BEC 可得出结论．【解答】（1）解：∵∠CAE ＝20°，∠BAD ＝2∠CAE ，∴∠BAD ＝40°，∵AD ＝AB ，∴∠D ＝∠DBA ＝70°，又∵∠ABC ＝90°，∴∠CBE ＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A 作AF ⊥DE 于点F ，过点C 作CG ⊥DE 于点G ，∴∠AFB ＝∠ABC ＝∠CGB ＝90°，又∵AD ＝BC ＝AB ，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，∠FAB ∠DAB ＝∠CAE ，∵∠FAB +∠FBA ＝∠FBA +∠CBG ＝90°，∴∠FAB ＝∠CBG ＝∠CAE ，在△BAF 和△CBG 中，，∴△BAF ≌△CBG （AAS ），∴AF ＝BG ，BF ＝CG ，∵∠CBG ＝∠CAE ，∴∠AEF ＝∠ACB ＝45°，∴AF ＝EF ＝BG ，BF ＝CG ，∴BF ＝EG ＝CG ，∴∠CEG ＝∠AEF ＝45°，∴∠AEC ＝90°，∴∠BEC ＝135°；（3）解：由（2）可知CG ＝BF ，AF ＝EF ，∴CG ＝BF ＝EF ﹣BE ＝AF ﹣BE ，∵S △ABC ＝S △AEB +S △AEC ﹣S △BEC ，∴S △ABC BE •CGBE •（AF ﹣BE ）．故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，证明△BAF≌△CBG．25．（2021秋•岳阳期末）直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【分析】（1）由直角三角形的性质证出∠ABD＝∠CAE，可证明△ABD≌△CAE（AAS）；（2）证明△ABD≌△CAE（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝AE，DA＝EC，则可得出结论；（3）分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，得出AF＝CM，AF＝EN，证明△CMG≌△ENG（AAS），由全等三角形的性质得出CG＝EG，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α，∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD与△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l，EN⊥l，由（1）可知△ABF≌△CAM，△ADF≌△EAN，∴AF＝CM，AF＝EN，∴CM＝EN，∵CM⊥l，EN⊥l，∴∠CMG＝∠ENG＝90°，在△CMG与△ENG中，，∴△CMG≌△ENG（AAS），∴CG＝EG，∴G为CE的中点．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

专题“一线三等角”的相似模型教学设计

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为了全面评估学生的学习效果,我们将采取多元化的教学评价方式,既包括学习过程中的观察和诊断,也涵盖期末的综合考核。通过这样的评价体系,我们可以及时发现学生的掌握程度,并针对性地提供帮助与反馈。
展示交流
1
小组展示
各小组将自己设计的相似模型进行展示,详细介绍模型的特点和设计思路。
2
师生点评
师生对小组展示的相似模型进行点评,提出建设性意见和建议。
3
交流讨论
师生就相似模型的应用、设计方法等进行讨论交流,互相学习。
小结反思
总结相似模型的重要性
通过本节课的学习,我们深入了解了相似模型的概念及其在生活中的广泛应用,极大地拓宽了视野。
动手制作自己的相似模型
为了巩固学习成果,我们将安排一系列的练习活动。首先,让学生在生活中寻找并识别各种相似模型,观察它们的共同特点。接下来,通过分析相似模型的长度比、面积比等指标,深化对相似模型概念的理解。最后,鼓励学生动手设计并制作自己独特的相似模型,运用所学知识将创意付诸实践。这些练习将帮助学生更好地掌握相似模型的本质内涵。
未来展望
1
融合创新
将相似模型概念与新兴技术如虚拟仿真、3D打印等深入融合,开拓更广阔的应用前景。
2
跨学科协作
与数学、物理、艺术等相关学科联手,探索跨界整合的教学模式,提升学生的综合素养。
3
持续优化
基于教学实践和反馈,不断优化教学内容、方法和资源,持续提高相似模型教学的质量和效果。

一线三等角相似模型

物理学应用
在物理学中，可以利用一线三等角相似模型来研究物理现象和规律，如光的反射和折射、波的传播等。
04 一线三等角相似模型的证明方法
直接证明法
定义
直接证明法是通过直接使用已知条件和定理来证明结论的方法。
步骤
首先，根据已知条件，明确一线三等角的定义和性质；然后，通过比较两个三角形中的角度和边长，利用相似三角形的性质
03
注意事项
反证法需要熟练掌握反证法的原理和推理技巧，以及能够灵活运用已知条件。
综合法与分析法
定义
综合法是从已知条件出发，逐步推导出结论的方法；分析法是从结论出发，逐步推导出已知条件的方法。
步骤
在综合法中，首先明确已知条件和目标结论；然后，根据已知条件逐步推导所需结论；最后，总结推导过程。在分析法中，首先明确目标结论和已知条件；然后，根据结论逐步推导所需条件；最后，总结推导过程。
，逐步推导出所需的结论。
注意事项
直接证明法需要熟练掌握相似三角形的性质和定理，以及灵活运用已知条件。
反证法
01
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立的方法。
02
步骤
首先，假设结论不成立；然后，根据已知条件和反证法的原理，推导出与已知条件相矛盾的结论；最后，根据矛盾的结论，得出结论成立。
相似变换的性质
相似变换具有一些重要的性质，如保持角度不变、线段长度比例不变等。
相似变换的应用
相似变换在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、航天技术等。
相似多边形的性质与应用
1 2
相似多边形的定义
相似多边形是指各对应角相等、各对应边成比例的多边形。

从特殊走向一般——相似三角形“一线三等角”模型问题探究

二：利用外角，由ＡＤＰＢ为ＡＡＰＤ的外角可证
得／２＝／＿３，问题得以解决。同样的两个三角形
相似，解题的思路并未改变，只是将特殊的
“９０。角”改变为一般的“０角”，体现了从特殊到
一般的数学思想。
问题３：如图４，在ＡＡＢＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝
二、问题成串问题１：如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｐ４／３上一点，ＬＤＰＣ＝ＺＡ＝ＺＢ＝９０。求证：ＡＤ·ＢＣ＝ＡＰ·日Ｐ
ｒ
图ｌ
其中证明ＺＤ＝ＬＣＢＥ是关键，有两种方法
叮做参考。方法一：互余的思路，由已知条件
叮证Ｄ＋厶４Ｄ＝９０。，结合ＬＣＢＥ＋ＬＡＢＤ＝９０。，
Ｃ
Ｐ
Ｂ
图３
【解析】与问题１相比较，可用同样的思路
证明ＡＡＰＤ，－￣ＡＢＣＰ，问题的关键是证明３＝
／２，坦在证法上略有变化。方法一：利用互
补，由平角得：ｌ＋＋２＝ｌ８０。，由ＡＡＰＤ内
角和得１＋＋／３＝１８０。，所以／２＝／＿３；方法
ＢＤ＝５，点Ｐ以每秒１个单位长度的速度，由点
Ａ出发．沿边ＡＢ向点运动．且满足／ＣＰＤ＝
。设点Ｐ的运动时间为ｔ（秒），当以Ｄ为圆
心，ＤＣ为半径的圆与ＡＢ相切时，求ｔ的值。
Ｄ
ＡＰＥＰＢ
图５
【题后反思】从问题１设计的特殊情形出发，将不变的结论逐步过渡到问题２中的一般情形，并进行证明，最后对证明的结论通过问题３的设计进行应用，有效考查了同学们对知识的理解运用和对解题方法的迁移能力。从问题１到问题３，将 “一线三等角 ”相似模型隐藏 “题中”，且问题设计层层深入，体现了很好的梯度。若将３个问题串在一起作为一个完整的考题，同学们在 “拾阶而上”的过程中充分发挥自己的潜能，便会有昕收获。

中点一线三等角模型结论以及证明

中点一线三等角模型结论以及证明1.引言1.1 概述概述部分的内容可以写作：引言是文章中的开篇部分，用于引入我们要讨论的主题，并对整篇文章进行概括和介绍。

本文主要讲述的是中点一线三等角模型的结论以及其证明过程。

中点一线三等角模型是一个几何图形模型，它涉及到三角形的中点、角平分线和三等角关系。

通过研究这一模型，我们可以深入了解三角形内部的特殊性质与关系。

在本文中，我们将首先概述整篇文章的内容和结构。

然后，我们会详细探讨中点一线三等角模型的要点，并展示相关的证明过程。

最后，我们会对整个模型的结论进行总结和概述，以便读者能够更好地理解和应用该模型。

本文的目的是为读者提供清晰的论述和证明过程，使其能够深入理解中点一线三等角模型背后的原理和应用。

同时，通过学习这一模型，读者还可以培养逻辑思维和几何推理的能力，从而在解决实际问题时能够灵活运用相关知识。

接下来，我们将进入正文部分，通过介绍该模型的要点和证明过程，帮助读者逐步理解中点一线三等角模型的内涵和重要性。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述和分析：1. 引言：在引言部分，将对中点一线三等角模型进行概述，并明确本文的目的和意义。

2. 正文：正文部分将包括两个要点的详细阐述：2.1 第一个要点：首先，将介绍中点一线三等角模型的概念和基本性质。

然后，将详细探讨该模型的应用场景和实际意义，并给出相关例证或案例分析。

最后，将进一步讨论与该模型相关的数学原理和运用方法。

2.2 第二个要点：接着，将详细分析中点一线三等角模型的证明过程。

首先，将介绍该模型的基本假设和前提条件。

然后，将给出证明过程的详细步骤和推导过程，通过逻辑推理和数学运算来证明该模型的正确性。

最后，将对证明结果进行验证，并探讨可能的应用和推广方向。

3. 结论：在结论部分，将对中点一线三等角模型的结论进行总结概述，强调该模型的重要性和实用性。

同时，将详细解释并证明该结论的正确性，通过对证明过程的回顾和总结，进一步巩固读者对该模型的理解和认知。

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。