微分方程建模

总结一下，在一个典型的微分问题中，以下的步骤是必须的：
把用文字语言描述的情况转化为数
学语言
陈述所涉及的原则或物理定律
建立微分方程
给定条件
求微分方程的解
求出参数
问题的答案
对照实际问题检验你的答案，想想答案的合理性，不足之处怎么 解决。
如果以上步骤都完成了，问题也就解决了。
例子 例一：减肥问题 一个人怎样才能减肥呢？好象有许多方式，但归
3929000 5336000 7228000 9757000 13109000 17506000 23192000 30412000 39372000 50177000 62769000 76870000 91972000 107559000 123124000 136653000 149053000
第1节 建立微分方程模型
什么时候 这应该是两个问题:一是
需要建立微分方程
的模型?
二是怎样建立微分方程的模型.
在我看来,第一个问题是最关键的.
那么, 什么时候需要建立微分方程的模型呢?
这要从我们的问题入手,在实际问题中,有许多表示”导数”的词,如”速 率”、“增长”（在生物学及人口问题中）、“衰变”（在放射性问题 中）、“边际”（经济问题中）等等。“改变”、“变化”、“增加”、“减 少”这些词就是信号，要注意什么在变化，导数也许可以用上。
2、 符号： ——时刻的产卵数 ——时刻年龄组鱼的大小， ——鱼的平均自然死亡率。 ——年龄组鱼的产卵力， ——年龄组鱼的的平均重量， ——年龄组鱼的捕捞强度系数，
——产卵时刻 3、 数据 =0.8 ,单位:克 ,E称为捕捞努力量 =
4、 模型 1、 无捕捞时鱼的增长
， 其中 其中
2、 固定努力量捕捞下鱼的增长 由假设：此时，捕捞期为： 故 ，-----------------------------------------------（1） ，，-------------------------（2） 其中 ------------------------------------------------------------------（3） -----------------------------------（4） 其中
（后面的四组数据是由Dartmouth学院写作组加上的）
可以用这个公式来估计我国的人口极限：
可以如下求得：1980年5月1日，我国公布的人口 总数1979年底为97092万人，当时人口增长率为， 于是从而求得（亿），即我国人口极限约为19.42亿 人。
注： 1、 显然，技术的发展，对环境的考虑，以及
微分方程建模
微分方程已有悠久的历史，而且 继续保持着进一步发展的活力，其主 要原因是它的根源深扎在各种实际问 题之中。
NEWTON最早用数学方法研究二体问 题，其中需要求解的运动方程是微分 方程。他以非凡的积分技巧解决了 它，从而在理论上证实了地球绕太阳 的运动轨道是一个椭圆，澄清了当时 关于地球将坠毁于太阳的一种悲观论 点。
变化=输入－输出
如果这个模式出现时你能理解它，可能微分方程就近在眼前了。
其次，要注意：微分方程是一个在任何时候都正确的瞬时表达式。这 是问题的核心。如果你找到了表示导数的关键词，就要想去找、及之间 的关系。这个关系往往就是你要找的微分方程。
建立微分方程，还有几个问题要注意：一是单位，要保持单位的一 致；二是给定的条件，就是关于系统在某一特定时刻的信息。它们独立 于微分方程而存在，可以用它们来确定有关的参数。、
用此模型估算1700-1961年间的人口数目，在1961
年，地球人口总数约为，增长率约为a=2%/年。代 Nhomakorabea入（2）：
exp（0.02(t-1961)） (3)
计算结果与人口实况竟然惊人地近似。地球的实际
人口在此期间每35年翻一番，而用此公式计算：翻
一番的时间为34.6年。
现在，让我们看一下未来，问题来了：当时， 计算结果，具体地，由此模型可以求得: 到2510 年，人口总数为2000亿左右，到2635年，人口总数 为1万8千亿,我们地球的总表面积约为1万8千6百亿 平方英尺，其中80%被水覆盖。想象看，将近4个 人在一平方英尺里不能动是什么感觉。
3929000 5308000 7240000 9638000 12866000 17069000 23192000 31443000 38558000 50156000 62948000 75995000 91972000 105711000 122775000 131669000 150697000
（3） 这个方程被称为群体增长的逻辑律。a、b称为群 体的生命系数，b与a相比是十分微小的。因此，当 p不是很大时，方程中-bp2与ap相比将微不足道，这 时，群体的增长是指数形式。当p很大时，-bp2这 一项就不能忽略了，它将阻滞群体的增长。 （3）的解为：
（4） 上式有极限：
（5）
这个值称为容纳量，或最大容许值。 这个结果告诉我们：不论初始值怎样，群体规模 总是趋于极限值， 其次时，单调增加。又
我们这里提供一个分析
由物理定律:
这里代表空气阻力,有以下公式:
其中代表阻力系数,A代表跳远者和空气接触的 面积,是空气密度, 通常取0.375; A=0.75;
,单位:,于是 , 令,可以用降阶法解此方程:
代入初始条件,得: 即: 设跳远者跳过距离距离所用时间为,则(注意)
从而
为了计算,需要Bob Beamo的参数,,则
因为其值很小,所以
我们关心的是差 因为4.2远小于55,所以Bob Beamon的世界记录主要是个人能力获得。
例三、AMCM1996的A题。
这里，我们只是来看一下本题的微分方程讨论： 最优捕鱼策略
1、 假设 1、 所有的鱼在下一年初进入另一年龄组 2、 产卵在8月初 3、 4龄以上的鱼全部死亡 4、 孵化在每年的产卵之后，在下个年头进入一龄鱼。
纳起来也就是物理或手术，而物理也不外乎两种： 一是减少摄入量，二是增加消耗量。
分析：若某人的食量是M卡/日，他每天的自动消 耗为A卡/日，他健身的消耗大约是B卡/公斤/日，假
设以脂肪形式存在的热量100%有效，而1公斤脂肪 含热量10000卡。看这个人的体重随时间变化情 况。
解：设这人时刻的体重为公斤 显然，体重每天的变化=吸收量/天－消耗量/天 取天 消耗量/天=AB 于是得到微分方程（注意单位）：
社会发展趋势对生命系数a、b都有重要影响。所 以，每隔几年要重新估计他们的值。
（7） 下表是Pearl和Reed预测的美国人口与实际观测的 人口数，我们可以看出物合的程度非常好。
表中的结果是值得注意的，特别是，因为我们没
有把移民进入美国以及这期间美国五次卷入战争而
造成大规模人口波动算进去。
问题：由Pearl和Reed估计美国极限人口为约为2 亿，可近来美国人口却稳定在2.5亿，为什么？
t P
（6） 当时，即单调增加。 当时，单调减少。 因此，若，则应具有如右上图所示形状，可看 出：群体总数达到极限值一半之前是一个加速增长 时期，之后则是一个增长速度减慢的时期。 生物学家G. F .Gause对属于原生动物门的草履虫 做了一个实验，证实了这些预测。 为了把这个结果应用到人口预测中来，还是按 1961年 世界人口的数值来估计，当时，一些生态学 家已估算出，而，当时人口增长率为2%/年，故有 可算出，代入可算出地球上人口的极限值为 根据这个结果，1961年我们仍处于人口加速增长 时期，因为当时的人口还没达到预测极限的一半。 作为这个规律的另一个验证。Pearl和Reed利用美 国1790、1850和1910年的人口普查数据，求出及， 解出美国人口的简化函数为：
答案：技术的发展，对污染的考虑，以及社会发展趋势都对生命系 数a,b有重要影响，美国在二战以后经济的高速发展，及新技术革命，而 美国在世界霸权的形成，使得它可以廉价地使用全世界的资源，使得美 国的实际人口高于它的预测值。
表1 1790~1950年美国人口
年
实际数
预测数
误差
百分比
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950
前言：怎样做数模？或：怎样完成一个数模题目？
1、 读懂问题 1、读懂问题本身， 2、读懂相应的背景资料， 3、寻找别人的解决方法。
2、 适当添加条件 就是添加假设，将问题可能的解析固定。
3、 建立模型 1、固定符号； 2、介绍原理； 3、数学模型；．
4、 求出答案 1、模型求解； 2、参数讨论
5、 还原实际问题 6、 适度的讨论：总结与发挥 7、 最后，写成文章 怎样写成文章呢？四个字：实话实说！或者：怎 么做的就怎么写。 8、 摘要 一篇数模文章的摘要和科技文章的摘要不同，它 要比较详细：应该包括：主要问题的主要模型， 主要的结果
鱼群的增长：由（1）（2）并注意到连续性（3）有 ----------------------------------------------------（5）
其中：，
捕捞量： 单位时间第龄鱼的捕捞数：
， 则全年的捕捞数 则K年总的捕捞量（重量）：
第2 人口问题：一阶微分方程 节 的应用
咋一看，用微分方程来建立一个物种的增长模型几乎是不可能的， 因为任何一个物种的群体总是整数变化的，因而不可能是时间的连续函 数。不过，如果给定的群体很庞大，那么增加的单一个体和群体的规模 相比是很微小的。所以我们可以近似假设大规模群体随时间是连续可微 地变化，因而可用微分方程这一工具来研究。
自上世纪二十年代（特别是第二次世 界大战）以来，微分方程的应用范围 不断扩大并深入到机械、电讯、化 工、生物、经济和其他社会学科的各 个领域，各种成功的例子不胜枚举。