常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版
常用的求导积分公式及解法
常用的求导积分公式及解法 1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x-='，xx 21)(='。
⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。
⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα；（2） C x dx x +=⎰||ln 1； C e dx e x x +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C aa dx a x x； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211 下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
积分公式和求导公式
积分公式和求导公式
积分公式是一种用于求函数积分的数学公式，它们使我们能够将一个函数从一个区间上的点积累为一个数值。
下面是一些常见的积分公式：
1.基本积分公式：
∫x^ndx=(x^(n+1))/(n+1)+C（n≠1）
∫1/xdx=ln|x|+C
∫e^xdx=e^x+C
2.三角函数积分公式：
∫sin(x)dx=cos(x)+C
∫cos(x)dx=sin(x)+C
∫sec^2(x)dx=tan(x)+C
3.求和与积分公式：
∫af(x)dx=a∫f(x)dx（a是常数）
∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
求导公式是一种用于求函数导数的数学公式，它描述了函数在每个点的变化率。
下面是一些常见的求导公式：
1.基本求导公式：
d/dx(x^n)=n*x^(n1)
d/dx(e^x)=e^x
d/dx(ln(x))=1/x
2.三角函数求导公式：
d/dx(sin(x))=cos(x)
d/dx(cos(x))=sin(x)
d/dx(tan(x))=sec^2(x)
3.求导法则：
乘法法则：若f(x)=u(x)*v(x)，则
f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
除法法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则
f'(x)=(u'(x)*v(x)u(x)*v'(x))/(v(x))^2
链式法则：若f(x)=g(u(x))，则f'(x)=g'(u(x))*u'(x)。
不定积分求导公式
不定积分求导公式如下
如果对不定积分式子∫f（x）dx进行求导，那么得到的当然还是f（x），而如果是∫f（x-t）dx 这样的式子，就还要先转换积分变量，再进行求导。
求导是微积分的基础，同时也是微积分计算的一个重要的支柱。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数公式：
1.C'=0(C为常数)；
2.(Xn)'=nX(n-1) (n∈R)；
3.(sinX)'=cosX；
4.(cosX)'=-sinX；
5.(aX)'=aXIna （ln为自然对数)；
6.(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a\u003e0，且a≠1)；
7.(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8.(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
9.(secX)'=tanX secX；
10.(cscX)'=-cotX cscX；。
常用求导积分公式及不定积分基本方法
常用求导积分公式及不定积分基本方法常用求导公式：1.一元函数求导公式：- 反函数求导法则：若y=f(u)，则u=f^(-1)(y)，则有(dy)/(dx) =1/(du/dy)- 常数乘法法则：若y=kf(x)，则(dy)/(dx) = kf'(x)-基本初等函数求导法则：- 常数函数求导法则：若y=c，则(dy)/(dx) = 0- 幂函数求导法则：若y=x^n，则(dy)/(dx) = nx^(n-1)- 指数函数求导法则：若y=a^x，则(dy)/(dx) = (lna) * a^x- 对数函数求导法则：若y=loga(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (xlna)- 三角函数求导法则：若y=sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x)，则(dy)/(dx) = cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)、-csc^2(x)、sec(x)tan(x)、-csc(x)cot(x)，对应地还有反三角函数的求导公式- 反函数求导法则：若y=f^(-1)(x)，则(dy)/(dx) = 1 / (dx/dy)-两个函数的和、差、积、商求导法则：- 和、差法则：若y=u+v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) + (dv)/(dx)，若y=u-v，则(dy)/(dx) = (du)/(dx) - (dv)/(dx)- 积法则：若y=uv，则(dy)/(dx) = u(dv)/(dx) + v(du)/(dx)- 商法则：若y=u/v，则(dy)/(dx) = (v(du)/(dx) - u(dv)/(dx))/ v^22.多元函数求导公式：-偏导数：对多元函数，其对其中其中一个自变量求导，其它自变量当作常数，即得到偏导数-偏导函数的求导法则：对偏导函数重复使用一元函数求导公式常用不定积分基本方法：1.基本初等函数的不定积分法则：- 幂函数积分法则：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n≠-1- 指数函数与对数函数积分法则：∫a^x dx = (1/lna) * a^x + C，∫(1/x) dx = ln，x， + C-三角函数与反三角函数积分法则：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C，∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C，∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C- ∫(1/√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C，∫(1/√(1+x^2)) dx = arctan(x) + C- 反函数的不定积分法则：若F'(x) = f(x)，则∫f^(-1)(x) dx =x * f^(-1)(x) - F(f^(-1)(x)) + C-特殊函数的不定积分法则：包括指数函数幂倍积分法则、二次函数积分法则等2.基本不定积分运算：- 基本线性运算：若∫f(x) dx = F(x) + C₁，∫g(x) dx = G(x) +C₂，则∫(af(x) + bg(x)) dx = aF(x) + bG(x) + C₃，其中a、b为实数- 递推公式：若∫f(x) dx = F(x) + C，则∫f(x)Ⓓ(x) dx = FⒹ(x) - ∫FⒹ(x) fⒹd(x) dx + C3. 分部积分法：设u(x)和v(x)具有连续一阶导数，根据分部积分公式，有∫u(x)v(x) dx = u(x)v(x) - ∫v(x)uⒹ(x) dx4.换元积分法（含有待定变量）：设y=f(u)，u=g(x)，当g(x)可导、f(u)的原函数可积时5.改线积分法：将不定积分中的自变量换成关于自变量的函数。
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式 - 1 - 一、基本导数公式：()()()()()()()()()()()()()()()''1'''''''2'2'''''21.2.3.ln 4.15.log ln 16.ln 7.sin cos 8.cos sin 9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 13.arcsin 14.arccos 115.arctan 11n n xxxxa kx k x nx aaae e x x ax xx x x x x x x x x x x x x x x x x -========-==-==-==-=+()'216.a cot 1rc x =-+ 二、基本微分公式：()()()()()()()()()()()()()12221.2.3.ln 4.15.ln 16.log ln7.sin cos8.cos sin9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 113.arcsin n n xxxxad kx kdx nx dxd a a adx de e dxd x dx xd x dxx a dx xdxd x xdxd x xdxd x xdxd x x xdxd x x xdxd x dx -========-==-==-=()()()()()()229.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 13.arcsin 14.arccos dx xdxd x xdx d x x xdx d x x xdxd x dxd x ==-==-=()()22115.arctan 1116.cot 1dxd x dx xd arc x dx x=-=+=-+三、不定积分基本公式：11.2.13.14.ln 15.ln ||6.sin cos7.cos sin8.tan ln |cos |9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n nx x x x kdx kx c x x dx cn e dx e c a dx a c adx x c xxdx x c xdx x c xdx x c xdx x cxdx x x c xdx x x c+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222222112.c cot sin 113.sec tan cos 114.arctan 115.arcsin 16.sec tan sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||2dx cs xdx x c x dx xdx x c x dx x cx dx x cx xdx x c x xdx x c dx x c x a a a dx x ac x a a x a ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰高等数学导数、微分、不定积分公式 - 2 -222216.sec tan sec 17.csccot csc 118.arctan 119.ln ||220.x xdx xcx xdx x c dx xcx a a a dx x ac x a a x a=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln |xca x cx c=+=++=++⎰⎰⎰()221ln 112x dx x c x =+++⎰ 21arctan 1dx x c x =++⎰五、三角函数的和差化积公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos .sin22cos cos 2cos .cos22cos cos 2sin .sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=+-+=+--= 六、三角函数的积化和差公式：()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ 幂的公式:21cos 2sin 2a α-=21cos 2cos 2αα+=七、万能公式： 令 tan2xt = 则x=2arctant 221dx dt t =+ 22222sin cos 2tan2222sin 2sin cos 221sin cos 1tan 222x x x x x t x x x t α====+++ 22222222cos sin 1tan 1222cos 1cos sin 1tan 222x x xt x x x x t ---===+++ 222tan22tan 11tan 2x t x x t ==-- 八、平方关系：222222sin cos 11tan sec 1cot csc αβαααα+=+=+=九、导数关系：tan .cot 1sin .csc 1cos .sec 1αααααα===十、商的关系：sin sec tan cos csc ααααα==csc csc cot sin sec ααααα==十一 、x →0时的等价无穷小1e ~1)ln(x ~arctanx ~tanx ~arcsinx ~sinx ~x ++x 221~cos -1xx()nx x n ~11-+。
不定积分基本公式表(经典实用)
不定积分基本公式表（经典实用）以下是一些经典的不定积分公式：1. 基本导数公式：$\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$, （当$n≠-1$）$\int e^xdx=e^x+C$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$, （$x≠0$）$\int \cos xdx=\sin x+C$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$\int \sec^2xdx=\tan x+C$$\int \csc^2xdx=-\cot x+C$$\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x+C$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$2. 三角函数公式：$\int \tan xdx=\ln|\sec x|+C$$\int \cot xdx=\ln|\sin x|+C$$\int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$\int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C$$\int \sin^2 xdx=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C$$\int \cos^2 xdx=\frac{1}{2}(x+\sin x\cos x)+C$$\int \sin^3 xdx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+\cos x+C$$\int \cos^3 xdx=\frac{1}{3}\sin^3 x+\sin x+C$3. 特殊公式：$\int e^{ax}\cos bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C$$\int e^{ax}\sin bx dx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C$$\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$ $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C$ $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C$其中，$C$为常数。
导数微分不定积分公式
导数微分不定积分公式一、导数1.定义导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
对于函数$f(x)$，在点$x=a$处的导数表示为$f'(a)$或$\frac{{df}}{{dx}}\bigg，_{x=a}$。
导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
2.基本导数公式常见函数的导数公式如下：常值函数的导数为零：$\frac{{d}}{{dx}}(C) = 0$，其中$C$为常数。
幂函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1}$，其中$n$是实数。
指数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(a^x) = a^x \ln{a}$，其中$a>0$。
对数函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\log_a{x}) = \frac{{1}}{{x \ln{a}}}$，其中$a>0$且$a\neq 1$。
三角函数的导数：$\frac{{d}}{{dx}}(\sin{x}) = \cos{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cos{x}) = -\sin{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\tan{x}) = \sec^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\cot{x}) = -\csc^2{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\sec{x}) = \sec{x}\tan{x}$$\frac{{d}}{{dx}}(\csc{x}) = -\csc{x}\cot{x}$二、微分1.定义微分表示函数在其中一点附近的变化情况，主要有全微分和偏微分两种。
全微分：对于函数$z=f(x,y)$，在点$(x_0,y_0)$处全微分表示为$dz=\frac{{\partial z}}{{\partial x}}dx+\frac{{\partialz}}{{\partial y}}dy$，其中$\frac{{\partial z}}{{\partial x}}$和$\frac{{\partial z}}{{\partial y}}$分别表示对于$x$和$y$的偏微分。
积分求导公式表
1x11x，， 4dx,arcsin，C ，，3dx,arctan，C,,2222aaaa，xa,x
11x,a ，，5dx,ln，C,222ax，ax,a
bba
f(x)dx,f(t)dtf(x)dx,0,,,aaa (1) (2)
bcb
f(x)dx,f(x)dx，f(x)dxba,,,aac (3) (4) ，，，，fxdx,,fxdx,,ab
4、积分定理:
,x，，(1) ，，，，ftdt,fx,,,a，，
,bx，，，，,,(2)，，，，，，，，，， ,,,,ftdt,fbxbx,faxax,,，，,ax，，
bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)a,a(3)若F(x)是f(x)的一个原函数，则
5、积分方法
ax，b,t;设: ，，，，1fx,ax，b
22x,asint;设: ，，，，2fx,a,x
22 ;设: x,asect，，fx,x,a
22x,atant ;设: ，，fx,a，x
udv,uv,vdu分部积分法: ，，3,,
积分求导公式表
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
基本求导积分公式
基本求导积分公式求导积分是微积分中最基本的概念之一，它们可以帮助我们理解函数的性质和计算函数在特定区间的变化。
在本文中，我将为您介绍一些基本的求导和积分公式，并详细解释它们的推导和应用。
一、求导公式1.常数函数求导公式如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
因为常数函数没有变化率，所以它的导数永远为零。
2.幂函数求导公式如果 f(x)=x^n，其中 n 是实数，则有 f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到，也可以通过使用指数函数的导数公式来得到。
3.指数函数求导公式如果 f(x)=a^x，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
4.对数函数求导公式如果 f(x)=log_a(x)，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) =1/(x * ln(a))。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
5.三角函数求导公式(1) sin(x) 的导数是 cos(x)；(2) cos(x) 的导数是 -sin(x)；(3) tan(x) 的导数是 sec^2(x)，其中 sec(x) 是 secant 函数，其定义为 sec(x) = 1/cos(x)；(4) cot(x) 的导数是 -csc^2(x)，其中 csc(x) 是 cosecant 函数，其定义为 csc(x) = 1/sin(x)；(5) sec(x) 的导数是 sec(x) * tan(x)；(6) csc(x) 的导数是 -csc(x) * cot(x)。
6.反三角函数求导公式(1) arcsin(x) 的导数是1/√(1-x^2)；(2) arccos(x) 的导数是 -1/√(1-x^2)；(3) arctan(x) 的导数是 1/(1+x^2)；(4) arccot(x) 的导数是 -1/(1+x^2)；(5) arcsec(x) 的导数是 1/(，x，* √(x^2-1))；(6) arccsc(x) 的导数是 -1/(，x，* √(x^2-1))。
导数微分不定积分公式
导数微分不定积分公式一、导数导数是微积分中的重要概念，表示函数在特定点上的变化率。
假设函数y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，那么函数在其中一点x=a处的导数表示为f'(a)或$\frac{dy}{dx}$。
导数的定义可以通过极限来表示：$$f'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，h是一个无穷小的增量。
导数有以下几个基本规则：1. 常数规则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数等于零，即$\frac{d}{dx}(c) = 0$。
2. 幂函数规则：对于幂函数f(x) = $x^n$，其中n是任意实数，它的导数是f'(x) = $nx^{(n-1)}$。
3. 指数函数规则：对于指数函数f(x) = $a^x$，其中a是常数且大于零，它的导数是f'(x) = $a^x\ln(a)$。
4. 对数函数规则：对于对数函数f(x) = $\log_a{x}$，其中a是常数且大于零且不等于1，它的导数是f'(x) = $\frac{1}{x\ln(a)}$。
5.和差规则：设f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的和（差）f(x)±g(x)的导数是f'(x)±g'(x)。
6. 积法则：设f(x)和g(x)是可导函数，那么它们的积fg的导数是f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
7. 商法则：设f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)不等于零，那么它们的商$\frac{f(x)}{g(x)}$的导数是$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$。
此外，还有复合函数的导数、隐函数的导数等规则，它们的求导公式可以根据基本规则和链式法则来推导。
二、微分微分是导数的一个重要应用，它描述了函数局部变化的情况。
微分有两种方式表示，一种是微分形式，另一种是微分方程形式。
不定积分公式大全 含求积分通用方法及例题
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
不定积分最全公式
常见不定1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1.∫adx = ax+C (a 为常数)2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C3.∫cos(x)dx = sin(x)+C4.∫tan(x)dx = -loge |cos(x)|+C = loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx = loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx = loge|sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 48. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 49. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C10.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C11.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)12.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)13.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C15.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C16.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C17.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C18.∫e x dx = e x +C∫ ?a? dx = a log |x| ? (a 为常数) x仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
不定积分求导公式运算法则
不定积分求导公式运算法则不定积分和求导可是数学里的一对“欢喜冤家”，它们之间有着千丝万缕的联系。
要搞清楚不定积分求导公式的运算法则，咱们得一步步来。
先来说说不定积分。
不定积分呢，就像是在寻找一个函数的“前世今生”。
比如说，给你一个函数的导数，让你去找出原来的那个函数，这就是不定积分要干的事儿。
咱们来举个例子感受一下。
比如说，已知函数 f'(x) = 2x，那它的不定积分就是∫2xdx = x² + C （这里的 C 是常数哦）。
那求导又是什么呢？求导就像是给函数做个“体检”，看看它在每个点的变化快慢。
比如说，函数 f(x) = x²，它的导数就是 f'(x) = 2x 。
不定积分求导公式的运算法则里有一个很重要的性质。
如果 F(x) 是f(x) 的一个原函数，也就是 F'(x) = f(x) ，那么对∫f(x)dx = F(x) + C 求导，结果就是 f(x) 。
还记得我之前教过的一个学生小明吗？有一次在课堂上，我讲不定积分求导公式的运算法则，小明一脸懵。
我就问他：“小明，你是不是没听懂啊？”小明挠挠头说：“老师，我感觉这些公式在我脑子里打架，分不清谁是谁了。
”我笑了笑，给他举了个例子：“你看啊，假如你每天上学的路程和时间有个关系，路程对时间求导就是速度，那速度的不定积分就是路程，是不是很好理解？”小明眼睛一亮，好像有点开窍了。
咱们继续说这运算法则。
如果有两个函数 f(x) 和 g(x) ，它们的不定积分分别是 F(x) 和 G(x) ，那么∫[f(x) ± g(x)]dx = F(x) ± G(x) + C ，对这个式子求导，结果就是 f(x) ± g(x) 。
再复杂一点，如果函数是 f(ax + b) 的形式，那么先做变量代换 u = ax + b ，求出不定积分后再把 u 换回来。
总之啊，不定积分求导公式的运算法则虽然有点复杂，但只要多练习，多琢磨，就一定能掌握。
常用求导积分公式及不定积分基本方法
一、基本求导公式1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x'= 2. (sin )cos x x '= (c o s )s i nxx '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(c o t )c s cx x '=-4. (sec )tan sec x x x '= (c s c )c o t c sxx x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x xe e '=6. ()2arctan 11x x '+=()a r c s i n x '=()2arccot 11x x '+=-()a r c c o s x '=二、基本积分公式1.1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1l n ||+d x x Cx =⎰ 2. d ln xxa a x C a=+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰ 4. 2secd tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ c o t d l n |s i n |xx x C =+⎰ 6.sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ c s cd l n |c s cc o t x x x x C=-+⎰ 7.21d arctan 1x x C x =++⎰ arcsin x x C =+2211d arctan xx C a x a a=++⎰ arcsinxx C a=+8.ln x x C =+(ln x x C =+9.2211d ln 2x ax C a x a x a-=+-+⎰ 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x +=2. 正余切与正余割正割 1sec cos x x = 22sec 1tan x x =+余割 1csc sin x x= 22csc 1cot x x =+四、常用凑微分类型1.11()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰; 2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰;4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a =>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x⋅=⎰⎰;6. (sin )cos d (sin )d sin f x x x f x x = ⎰⎰; (cos )sin d (cos )d cos f x x x f x x =-⎰⎰;7.2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;2(cot )cscd (cot )d cot f x x x f x x =-⎰⎰;8.(sec )sec tan d (sec )d sec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰; (csc )csc cot d (csc )d csc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰;9.(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x ⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法(1)可作代换t a x sin =；(2) 22x a +，可作代换t a x tan =； (3)22a x -，可作代换t a x sec =；(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t=；可作代换t =；可作代换t =六、分部积分基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰ 基本方法：()f x dx ⎰()()()f x u x v x '=−−−−−→分解()()u x v x d x '⎰−−−→凑微分()()u x d v x⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；一般地，按“反 对 幂 指 三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '.反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数1.()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰） 1sin 22x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2x x x x x '+=+⋅+⎰⎰31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2u u ⎰） 41(25)8x C =++ 3.()222222d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰（d u u e u e C =+⎰） 2x e C =+类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x '==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x=-=-+⎰5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰6. 33421tan tan tan sec d d tan 4x x x C x x x = =+⎰⎰ 7.2524sin cos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰()222sin 1sin dsin x x x =-⎰()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x x x x C =-+=-++⎰8.22221111d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1arctan .xC a a=+9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。
不定积分 求导(一)
两端求导得 y/ 1 1
yx
将 y xex 代入上式得 f / (x) ( 1 1)xex (1 x)ex
x
三、 f / (x) 与 f / (x0 ) 的区分
定义
区分
f / (x0 ) 函数f(x)在x=x0处的导数 常量 点导 先导后代
f / (x) 函数f(x)的导函数
六
复
个 简 ±×÷复合法则 杂
单
函
函
数
数
六个公式两特例 简单函数两标准 单个函数纯字母 不符条件用法则 哪里不符那里变 一直变到纯字母
六个简单函数的求导公式 (参课本P：14)
①若 f x C,则 f 'x 0
②若 f x xn,则 f 'x nxn1
③若 f x sin x,则 f 'x cos x
a0)
nan xn1 (n a 1) n1 xn2 ...2a2 x a1
特别地
(ax3
bx
2
cx
d
/
)
3ax2
2bx c
练习1.求导运算公式的应用
(1)下列求导运算正确的是___________
① (cos
6
6
③
(log 3
2)/
等比数列中,下标和等 对应项积等(常数列除外) 法3：隐函数求导技巧 先取对数后求导……
作业：
1.《固学案》P：1 Ex9
2.《固学案》P：4 Ex1
3.《固学案》P：5
Ex1
4.课本P：18 A组 Ex4 ①②③
预习：
商函数及复合函数的求导法则
① 0dx C
② dx x C
常用的求导和定积分公式(完美)
一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a x x ln )(='(10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln ='，(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x=++⎰ （5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰（19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰（24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
基本的导数和积分公式
�
1 dx tan x C cos 2 x
xdx
1 dx cot x C sin 2 x
sec x tan xdx sec x C
1 x
1
2
csc x cot xdx csc x C
dx arcsin x C
dx arctan x C
常用的不定积分公式
tan xdx ln cos x C sec xdx ln sec x tan x C
1 1 x2
(arc sec x )
1 x x2 1
(arccscx )
1 x x2 1
(sh x) ch x
(arshx) 1 1 x
2
(ch x ) sh x
(archx ) 1 x 1
2
(arthx )
1 1 x2
导数的四则运算法则
(u v ) u v
(uv ) u v uv
导 数 公 式
( x ) x 1 (a x ) a x ln a
(log a x) 1 x ln a
( x ) 1
(e x ) e x
( x )
1 2 x
1 1 ( ) 2 x x
(C ) 0
(ln x) 1 cos 2 x
1 x
(sin x) cos x
(cos x) sin x
反函数的求导法则 设 y f ( x ) 是单调的可导函数,则其反函数 x f 1 ( y ) 也可导,且
dx 1 dy dy dx
或
( f 1 )( y )
1 (其中 y f ( x ) ) . f ( x )
积 分 公 式
基本的不定积分公式
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常用求导积分公式及不定积分基本方法
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、基本求导公式
1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x
'= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=-
3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=-
4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=-
5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '=
6. ()
2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= ()
2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1ln ||+dx x C x
=⎰ 2. d ln x
x
a a x C a =+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰
4. 2sec d tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰
5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ cot d ln |sin |x x x C =+⎰
6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰
7.
2
1d arctan 1x x C x =++⎰ arcsin x x C =+
2211d arctan x x C a x a a =++⎰ arcsin x x C a =+
8.
ln x x C =+
(
ln x x C =++ 9. 221
1d ln 2x a
x C a x a x a -=+-+⎰
三、常用三角函数关系
1. 倍角公式
21cos 2sin 2x
x -= 21cos 2cos 2x
x +=
2. 正余切与正余割
正割 1
sec cos x x = 22sec 1tan x x =+
余割 1csc sin x x = 22
csc 1cot x x =+
四、常用凑微分类型 1.
1
1
()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰;
2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a
+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰; 4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a
=>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x
⋅=⎰⎰; 6. (sin )cos d (sin )dsin f x x x f x x = ⎰⎰;
(cos )sin d (cos )dcos f x x x f x x =-⎰⎰;
7. 2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;
2(cot )csc d (cot )dcot f x x x f x x =-⎰⎰;
8.(sec )sec tan d (sec )dsec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰;
(csc )csc cot d (csc )dcsc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰; 9.
(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;
21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x
⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法
t a x sin =； (2) 22x a +，可作代换t a x tan =；
(3) 22a x -，可作代换t a x sec =；
(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t
=；
，可作代换t =
t = 六、分部积分
基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰
基本方法： ()f x dx ⎰
()()()f x u x v x '=−−−−−→分解()()u x v x dx '⎰−−−→凑微分()()u x dv x ⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰
使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：
（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；
一般地，按“反 对 幂 指 三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '. 反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数
1. ()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰
） 1sin 22
x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2
x x x x x '+=+⋅+⎰⎰ 31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2
u u ⎰） 41(25)8
x C =++ 3. ()22222
2d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰ （d u u e u e C =+⎰） 2
x e C =+
类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x
'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128
x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x
'==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x =-=-+⎰
5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3
s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰ 6. 33421tan tan tan sec d d tan 4
x x x C x x x = =+⎰⎰ 7. 2524sin cos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰
()2
22sin 1sin dsin x x x =-⎰ ()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x
x x x C =-+=-++⎰ 8. 2222111
1d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1arctan .x C a a
=+ 9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x
+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。