高等数学同济大学第六版第八章单元练习题参考答案

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同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济大学第六版高等数学课后答案详解全集同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1,11, 设A,(,,～ ,5),(5～，,)～ B,[,10～ 3)～写出A,B～ A,B～ A\B及A\(A\B)的表达式,2, 设A、B是任意两个集合～证明对偶律: (A,B)C,AC ,BC , ,3, 设映射f : X ,Y～ A,X～ B,X , 证明(1)f(A,B),f(A),f(B),(2)f(A,B),f(A),f(B),g,f,If,g,IXY 4, 设映射f : X,Y～若存在一个映射g: Y,X～使～～其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射～即对于每一个x,X～有IX x,x, 对于每一个y,Y～有IY y,y, 证明: f是双射～且g是f的逆映射: g,f ,1, 5, 设映射f : X,Y～ A,X , 证明:(1)f ,1(f(A)),A,(2)当f是单射时～有f ,1(f(A)),A ,6, 求下列函数的自然定义域:111y,2y,y,,1,x22y,3x，2y,sinx4,xx1,x (1),, (2), (3),(4),(5),1y,3,x，arctanx (6) y,tan(x，1),(7) y,arcsin(x,3), (8),, (9)y,ln(x，1),1xy,e (10),7, 下列各题中～函数f(x)和g(x)是否相同,为什么,(1)f(x),lg x2～ g(x),2lg x,2x (2) f(x),x～ g(x),,3343f(x),x,xg(x),xx,1 (3)～,(4)f(x),1～ g(x),sec2x,tan2x ,,,|sinx| |x|,,3,(x),,,,,,x0 ||,,()()(,),,,3,644 8, 设～求～～～ ,(,2)～并作出函数y,,(x)的图形,, 9, 试证下列函数在指定区间内的单调性:xy,1,x (1)～ (,,～ 1),(2)y,x，ln x～ (0～，,),10, 设f(x)为定义在(,l～l)内的奇函数～若f(x)在(0～l)内单调增加～证明f(x)在(,l～ 0)内也单调增加,11, 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,l～ l)上的～证明:(1)两个偶函数的和是偶函数～两个奇函数的和是奇函数,(2)两个偶函数的乘积是偶函数～两个奇函数的乘积是偶函数～偶函数与奇函数的乘积是奇函数,12, 下列函数中哪些是偶函数～哪些是奇函数～哪些既非奇函数又非偶函数,(1)y,x2(1,x2),(2)y,3x2,x3,21,xy,21，x (3),(4)y,x(x,1)(x，1),(5)y,sin x,cos x，1,x,xa，ay,2 (6)13, 下列各函数中哪些是周期函数,对于周期函数～指出其周期:(1)y,cos(x,2),,(2)y,cos 4x,(3)y,1，sin ,x,(4)y,xcos x,(5)y,sin2x,14, 求下列函数的反函数:3y,x，1 (1)错误～未指定书签。

同济大学第六版高数练习册答案上册

高等数学习题解答第一章（7-11）第六节极限存在准则两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明：令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。

同济大学第六版高等数学的课后典型题

246页例3.
247页例5.
248页例6.
249页例7.
习题5--3题1做一半，题2.
习题5--4题1做偶数题，题2
总习题五题8.9.10.11.12.13.14
习题6--2题5.7.9.13.20.28.30.
习题7--2题1做奇数，
习题7--3题1.
习题7--4题1.7.
习题7--5题1
习题7--6题5
习题7--7题1做奇数，
习题7--8题1做奇数，
总习题七题1.题7
习题9--2题3.4.6.8.9.
习题9--3题2.5.
同济六版高等数学典型题
习题1--5:习题4.5.
习题1--6:习题2.4，
习题1--7:习题4.
习题1--8习题3.4.5
习题1--没有画题，看自己的情况选择做
习题9--4题2.7.9.12.
习题9--5题1.2.6.11.
习题9--8题1.2.4.5.
总习题九习题5.8.9.12.
习题10--2题2.6.11.13.14.15
以上就是同济大学第六版高等数学的课后典型题，供近期才开始复习的同学参考，第二章求导没有画题，看自己的情况选择做
总习题一习题3.9.12.13.14
习题3--1全部
习题3--2:题2.4
习题3--3:题10
习题3--4题5.6.11.12.15
习题3--5题2.3
总习题三全部
221页总习题四，
习题5--2题3.9.10.12.14.

同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答)

习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74, f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x 幂展开函数f (x )=(x 2-3x +1)3. 解因为f '(x )=3(x 2-3x +1)2(2x -3),f ''(x )=6(x 2-3x +1)(2x -3)2+6(x 2-3x +1)2=30(x 2-3x +1)(x 2-3x +2), f '''(x )=30(2x -3)(x 2-3x +2)+30(x 2-3x +1)(2x -3)=30(2x -3)(2x 2-6x +3), f (4)(x )=60(2x 2-6x +3)+30(2x -3)(4x -6)=360(x 2-3x +2), f (5)(x )=360(2x -3), f (6)(x )=720;f (0)=1, f '(0)=-9, f ''(0)=60, f '''(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以6)6(5)5(4)4(32!6)0(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(x f x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+==1-9x +30x 3-45x 3+30x 4-9x 5+x 6.3. 求函数x x f =)(按(x -4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解因为24)4(==f , 4121)4(421=='=-x x f , 32141)4(423-=-=''=-x x f , 328383)4(425⋅=='''=-x x f , 27)4(1615)(--=x x f , 所以4)4(32)4(!4)()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x ξ4732)4()]4(4[1615!41)4(5121)4(641)4(412--+⋅--+---+=x x x x x θ(0<θ<1). 4. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--; kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1), 所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-. 5. 求函数x x f 1)(=按(x +1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f (x )=x -1, f '(x )=(-1)x -2, f ''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , 1)1()(!)1()( )2)(1()(++--=-⋅⋅⋅--=n n n n xn xn x f ; !)1(!)1()1(1)(k k fk k k -=--=-+(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n f ξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1). 6. 求函数f (x )=tan x 的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=sec 2x ,f ''(x )=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x ,f '''(x )=4sec x ⋅sec x ⋅tan 2x +2sec 4x =4sec 2x ⋅tan 2x +2sec 4x ,f (4)(x )=8sec 2x ⋅tan 3x +8sec 4x ⋅tan x +8sec 4x ⋅tan x xx x 52cos )2(sin sin 8+=;f (0)=0, f '(0)=1, f ''(0)=0, f '''(0)=2,所以 4523)(c o s 3]2)()[s i n s i n (31t a nx x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 7. 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解因为 f '(x )=e x +xe x ,f ''(x )=e x +e x +xe x =2e x +xe x , f '''(x )=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ; f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1 !2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.8. 验证当210≤≤x 时, 按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求e 的近似值, 使误差小于0.01.解因为公式62132x x x e x+++≈右端为e x 的三阶麦克劳林公式, 其余项为 43!4)(x e x R ξ=, 所以当210≤≤x 时，按公式62132x x x e x +++≈计算e x 的误差 01.00045.0)21(!43|!4||)(|42143<≈≤=x e x R ξ.645.1)21(61)21(212113221≈⋅+⋅++≈=e e .9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1)330; (2)sin18︒.解 (1)设3)(x x f =, 则f (x )在x 0=27点展开成三阶泰勒公式为2353233)27)(2792(!21)27(273127)(-⋅-⋅+-⋅+==--x x x x f4311338)27)(8180(!41)27)(272710(!31--⋅+-⋅⋅+--x x ξ(ξ介于27与x 之间).于是33823532333)272710(!313)2792(!21327312730⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅+≈---10724.3)3531311(31063≈+-+≈, 其误差为5114311431131088.13!4803278180!41|3)8180(!41||)30(|---⨯=⋅=⋅⋅⋅<⋅-⋅=ξR .(2) 已知43!4s i n !31s i n x x x x ξ+-=(ξ介于0与x 之间),所以 sin 18︒3090.0)10(!311010sin 3≈-≈=πππ,其误差为44431003.2)10(!46sin |)10(!4sin ||)10(|-⨯=<=πππξπR . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1))23(lim 434323x x x x x --++∞→;(2))]1ln([cos lim2202x x x e x x x -+--→;(3)2220sin )(cos 1211lim 2x e x x x x x -+-+→. 解 (1)tt t xx x x x x x t x x 430434343232131lim 12131lim)23(lim --+=--+=--++→+∞→+∞→.因为)(1313t o t t ++=+,)(211214t o t t +-=-, 所以23])(23[lim )](211[)](1[lim)23(lim 00434323=+=+--++=--++→+→+∞→t t o t t o t t o t x x x x t t x . (2)])1ln(1[)](41!21211[)](!41!211[lim)]1ln([cos lim1344244202202x x xx x xx o x x x o x x x x x e x -++⋅+--++-=-+-→-→010)1l n (1)(121lim 11340=+=-++-=-→e x x x o x x x . (3)2442442442202220))](!211())(!41!211[()](!43!211[211lim sin )(cos 1211lim 2xx o x x x o x x x o x x x x e x x x x x x +++-++-+-+-+=-+-+→→ 12123!43)(241123)(!43lim )(241123)(!43lim 2424404264440-=-=+--+=⋅+--+=→→x x o x x x o x o x x x x o x x x .习题3-41. 判定函数f (x )=arctan x -x 单调性.解因为011111)(22≤+-=-+='x x x f , 且仅当x =0时等号成立, 所以f (x )在(-∞, +∞)内单调减少.2. 判定函数f (x )=x +cos x (0≤x ≤2π)的单调性.解因为f '(x )=1-sin x ≥0, 所以f (x )=x +cos x 在[0, 2π]上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7;(2)xx y 82+=(x >0);(3)x x x y 6941023+-=;(4))1ln(2x x y ++=; (5) y =(x -1)(x +1)3;(6))0())(2(32>--=a x a a x y ; (7) y =x n e -x (n >0, x ≥0); (8)y =x +|sin 2x |.解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 0)2)(2(28222=+-=-='x x x x y ,令y '=0得驻点x 1=2, x 2=-2(舍去).因为当x >2时, y >0; 当0<x <2时, y '<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加. (3)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.(4)因为011)1221(11222>+=++++='x x x x x y , 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加. (5) y '=(x +1)3+3(x -1)(x +1)22)1)(21(4+-=x x . 因为当21<x 时, y '<0; 当21>x 时, y '>0, 所以函数在]21 ,(-∞内单调减少, 在) ,21[∞+内单调增加.(6)32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.(7)y '=e -x x n -1(n -x ), 驻点为x =n . 因为当0<x <n 时, y '>0; 当x >n 时, y '<0, 所以函数在[0, n ]上单调增加, 在[n , +∞)内单调减少.(8)⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+=πππππππk x k x x k x k x x y 22sin 2 2sin (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),⎪⎩⎪⎨⎧+<<+-+≤≤+='πππππππk x k x k x k x y 2 2c o s 212 2c o s 21(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). y '是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y '=0, 得驻点21π=x , 652π=x , 不可导点为23π=x .列表得根据函数在[0, π]上的单调性及y '在(-∞, +∞)的周期性可知函数在]32 ,2[πππ+k k 上单调增加, 在]22 ,32[ππππ++k k 上单调减少(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).4. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为 0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1l n (122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++.(3)设f (x )=sin x +tan x -2x , 则f (x )在)2,0[π内连续,f '(x )=cos x +sec 2x -2xx x x 22cos ]cos )1)[(cos 1(cos ---=. 因为在)2 ,0(π内cos x -1<0, cos 2x -1<0, -cos x <0, 所以f '(x )>0, 从而f (x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即sin x +tan x -2x >0, 也就是 sin x +tan x >2x .(4)设331tan )(x x x x f --=, 则f (x )在)2 ,0[π内连续,))(t a n (t a n t a n 1s e c )(2222x x x x x x x x x f +-=-=--='. 因为当20π<<x 时, tan x >x , tan x +x >0, 所以f '(x )在)2 ,0(π内单调增加, 因此当20π<<x 时, f (x )>f (0)=0, 即031t a n 3>--x x x ,也就是 231t a n x x x +>.(5)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0, 也就是2x >x 2. 5. 讨论方程ln x =ax (其中a >0)有几个实根？解设f (x )=ln x -ax . 则f (x )在(0, +∞)内连续, xax a x x f -=-='11)(, 驻点为a x 1=.因为当ax 10<<时, f '(x )>0, 所以f (x )在)1 ,0(a 内单调增加; 当a x 1>时, f '(x )<0, 所以f (x )在) ,1(∞+a内单调减少. 又因为当x →0及x →+∞时, f (x )→-∞, 所以如果011ln )1(>-=a a f , 即e a 1<, 则方程有且仅有两个实根; 如果011ln )1(<-=aa f , 即e a 1>, 则方程没有实根. 如果011ln )1(=-=a a f , 即e a 1=, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f (x )=x +sin x .解单调函数的导函数不一定为单调函数.例如f (x )=x +sin x 在(-∞,+∞)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f '(x )=1+cos x ≥0,这就明f (x )在(-∞, +∞)内是单调增加的. f ''(x )=-sin x 在(-∞, +∞)内不保持确定的符号, 故f '(x )在(-∞, +∞)内不是单调的.7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y =4x -x 2 ; (2) y =sh x ;(3)xy 11+=(x >0);(4) y =x arctan x ; 解 (1)y '=4-2x , y ''=-2,因为y ''<0, 所以曲线在(-∞, +∞)内是凸的. (2)y '=ch x , y ''=sh x . 令y ''=0, 得x =0.因为当x <0时, y ''=sh x <0; 当x >0时, y ''=sh x >0, 所以曲线在(-∞, 0]内是凸的, 在[0, +∞)内是凹的.(3)21x y -=', 32x y =''. 因为当x >0时, y ''>0, 所以曲线在(0, +∞)内是凹的. (4)21arctan xx x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ; (3) y =(x +1)4+e x ;(4) y =ln(x 2+1); (5) y =e arctan x ; (6) y =x 4(12ln x -7),解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720 ,35(.(2)y '=e -x -xe -x , y ''=-e -x -e -x +xe -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.(4)122+='x x y , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).(5)2arctan 11x e y x+⋅=',)21(12arctan x x e y x-+=''. 令y ''=0得, 21=x . 因为当21<x 时, y ''>0; 当21>x 时, y ''<0, 所以曲线y =e arctg x 在]21 ,(-∞内是凹的,在) ,21[∞+内是凸的, 拐点是) ,21(21arctane. (6) y '=4x 3(12ln x -7)+12x 3, y ''=144x 2⋅ln x . 令y ''=0, 得x =1.因为当0<x <1时, y ''<0; 当x >1时, y ''>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +∞)内是凹的, 拐点为(1, -7).9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:(1) nn n y x y x )2()(21+>+(x >0, y >0, x ≠y , n >1);(2))(22y x e e e yx y x ≠>++;(3)2ln)(ln ln yx y x y y x x ++>+ (x >0, y >0, x ≠y ). 证明 (1)设f (t )=t n , 则f '(t )=nt n -1, f ''(t )=n (n -1)t n -2. 因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=t n 在区间(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 nn n y x y x )2()(21+>+.(2)设f (t )=e t , 则f '(t )=e t , f ''(t )=e t . 因为f ''(t )>0, 所以曲线f (t )=e t 在(-∞, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x , y ∈(-∞, +∞), x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 )(22y x ee e yx yx ≠>++.(3)设f (t )=t ln t , 则 f '(t )=ln t +1, tt f 1)(=''.因为当t >0时, f ''(t )>0, 所以函数f (t )=t ln t 的图形在(0, +∞)内是凹的. 由定义, 对任意的x >0, y >0, x ≠y 有)2()]()([21yx f y f x f +>+,即 2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+. 10. 试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上.证明 222)1(12+++-='x x x y ,323223)1()]32()][32()[1(2)1(2662++---+=++--=''x x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, 322-=x , 323+=x . 例表得可见拐点为(-1, -1), ))32(431 ,32(---, ))32(431 ,32(+++. 因为41)1(32)1()32(431=-------, 41)1(32)1()32(431=--+--++,所以这三个拐点在一条直线上.11. 问a 、b 为何值时, 点(1, 3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解 y '=3ax 2+2bx , y ''=6ax +2b . 要使(1, 3)成为曲线y =ax 3+bx 2的拐点, 必须y (1)=3且y ''(1)=0, 即a +b =3且6a +2b =0, 解此方程组得23-=a , 29=b .12. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a 、b 、c 、d , 使得x =-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y '=3ax 2+2bx +c , y ''=6ax +2b . 依条件有⎪⎩⎪⎨⎧=''=-'-==-0)1(0)2(10)1(44)2(y y y y , 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=+++=+-+-02604121044248b a c b a d c b a d c b a .解之得a =1, b =-3, c =-24, d =16.13. 试决定y =k (x 2-3)2中k 的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y '=4kx 3-12kx , y ''=12k (x -1)(x +1). 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1.因为在x 1=-1的两侧y ''是异号的, 又当x =-1时y =4k , 所以点(-1, 4k )是拐点. 因为y '(-1)=8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814+-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即kk 814-=-, 82±=k .同理, 因为在x 1=1的两侧y ''是异号的, 又当x =1时y =4k , 所以点(1, 4k )也是拐点.因为y '(1)=-8k , 所以过拐点(-1, 4k )的法线方程为)1(814-=-x k k y . 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即k k 814-=-, 82±=k .因此当82±=k 时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.14. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ''(x 0)=0, 而f '''(x 0)≠0,试问 (x 0, f (x 0))是否为拐点？为什么？解不妨设f '''(x 0)>0. 由f '''(x )的连续性, 存在x 0的某一邻域(x 0-δ, x 0+δ), 在此邻域内有f '''(x )>0. 由拉格朗日中值定理, 有f ''(x )-f ''(x 0)=f '''(ξ)(x -x 0) (ξ介于x 0与x 之间), 即 f ''(x )=f '''(ξ)(x -x 0).因为当x 0-δ<x <x 0时, f ''(x )<0; 当x 0<x <x 0+δ 时, f ''(x )>0, 所以(x 0, f (x 0))是拐点.习题3-51. 求函数的极值: (1) y =2x 3-6x 2-18x +7; (2) y =x -ln(1+x ) ; (3) y =-x 4+2x 2 ; (4)x x y -+=1;(5)25431x xy ++=;(6)144322++++=x x x x y ;(7) y =e xcos x ;(8)xx y 1=;(9)31)1(23+-=x y ; (10) y =x +tan x .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在 (2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0. (3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.(4)函数的定义域为(-∞, 1], )112(1243121121211+---=---=--='x x x xx xy ,令y '=0, 得驻点43=x .因为当43<x 时, y '>0; 当143<<x 时, y '<0, 所以45)1(=y 为函数的极大值.(5)函数的定义为(-∞, +∞), 32)54()512(5x x y +--=', 驻点为512=x . 因为当512<x 时, y '>0; 当512>x 时, y '<0, 所以函数在512=x 处取得极大值, 极大值为10205)512(=y . (6)函数的定义为(-∞, +∞), 22)1()2(+++-='x x x x y , 驻点为x 1=0, x 2=-2.列表可见函数在x =-2处取得极小值3, 在x =0处取得极大值4.(7)函数的定义域为(-∞, +∞). y '=e x (cos x -sin x ), y ''=-e x sin x .令y '=0, 得驻点ππk x 24+=, ππ)1(24++=k x , (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).因为0)24(<+''ππk y , 所以22)24(24⋅=++ππππk e k y 是函数的极大值. 因为y ''0])1(24[>++ππk , 所以22])1(24[)1(24⋅-=++++ππππk e k y 是函数的极小值. (8)函数xx y 1=的定义域为(0, +∞),)ln 1(121x x x y x-⋅='. 令y '=0, 得驻点x =e .因为当x <e 时, y '>0; 当x >e 时, y '<0, 所以ee e y 1)(=为函数f (x )的极大值.(9)函数的定义域为(-∞, +∞), 3/2)1(132+-='x y , 因为y '<0, 所以函数在(-∞, +∞)是单调减少的, 无极值.(10)函数y =x +tg x 的定义域为ππk x +≠2(k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). 因为y '=1+sec 2x >0, 所以函数f (x )无极值.2. 试证明: 如果函数y =ax 3+bx 2+cx +d 满足条件b 2 -3ac <0, 那么这函数没有极值 . 证明y '=3a x 2+2b x +c . 由b 2 -3ac <0, 知a ≠0. 于是配方得到y '=3a x 2+2b x +c ab ac a b x a a c x a b x a 33)3(3)332(32222-++=++=,因3ac -b 2>0, 所以当a >0时, y '>0; 当a <0时, y '<0. 因此y =ax 3+bx 2+cx +d 是单调函数, 没有极值.3. 试问a 为何值时, 函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解 f '(x )=a cos x +cos 3x , f ''(x )=-a sin x -3 sin x .要使函数f (x )在3π=x 处取得极值, 必有0)3(='πf , 即0121=-⋅a , a =2 .当a =2时, 0232)3(<⋅-=''πf . 因此, 当a =2时, 函数f (x )在3π=x 处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为3)23(=f .4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4; (2) y =x 4-8x 2+2, -1≤x ≤3 ; (3)x x y -+=1, -5≤x ≤1.解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2)y '=4x 3-16x =4x (x 2-4), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=2, y (2)=-14, y (3)=11,经比较得出函数的最小值为y (2)=-14, 最大值为y (3)=11.(3)xy --='1211, 令y '=0, 得43=x . 计算函数值得65)5(+-=-y , 45)43(=y , y (1)=1,经比较得出函数的最小值为65)5(+-=-y , 最大值为45)43(=y .5. 问函数y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4)在何处取得最大值？并求出它的最大值. 解 y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.6. 问函数x x y 542-=(x <0)在何处取得最小值？解 2542x x y +=', 在(-∞, 0)的驻点为x =-3. 因为31082xy -='', 0271082)3(>+=-''y ,所以函数在x =-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x =-3处取得最小值, 最小值为27)3(=-y .7. 问函数12+=x xy (x ≥0)在何处取得最大值？解 222)1(1+-='x x y . 函数在(0, +∞)内的驻点为x =1.因为当0<x <1时, y '>0; 当x >1时y '<0, 所以函数在x =1处取得极大值. 又因为函数在(0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=21.8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm 长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解设宽为x 长为y , 则2x +y =20, y =20-2x , 于是面积为 S = xy =x (20-2x )=20x -2x 2. S '=20-4x =4(10-x ), S ''=-4. 令S '=0, 得唯一驻点x =10.因为S ''(10)-4<0, 所以x =10为极大值点, 从而也是最大值点. 当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解由V =π r 2h , 得h =V π-1r -2. 于是油罐表面积为S =2π r 2+2π rh rVr 222+=π(0<x <+∞),224r Vr S -='π.令S '=0, 得驻点32πV r =. 因为0443>+=''r V S π, 所以S 在驻点32πVr =处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为r r Vh 2 20==π. 底直径与高的比为2r : h =1 : 1.10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省.11. 设有重量为5kg 的物体, 置于水平面上, 受力F 的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数μ=0.25, 问力F 与水平线的交角α为多少时, 才可使力F 的大小为最小？解由F cos α =(m -F sin α)μ 得αμαμsin cos +=m F (2 0πα≤≤),2)sin (cos )cos (sin αμααμαμ+-='m F , 驻点为 α = arctan μ.因为F 的最小值一定在)2 ,0(π内取得, 而F 在)2,0(π内只有一个驻点α = arctan μ,所以α=arctan μ一定也是F 的最小值点. 从而当α=arctan0.25=14︒时, 力F 最小. 12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m 处挂一重量为49kg 的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m , 求最省力的杆长?解设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F , 则有1.049521⋅+⋅=x x xF , 即)0(9.425>+=x x x F .29.425xF -=',驻点为x =1.4. 由问题的实际意义知, F 的最小值一定在(0, +∞)内取得, 而F 在(0, +∞)内只有一个驻点x =1.4, 所以F 一定在x =1.4m 处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m . 13. 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图),问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π). 2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.14. 某吊车的车身高为1.5m , 吊臂长15m , 现在要把一个6m 宽、2m 高的屋架, 水平地吊到6m 高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？解设吊臂对地面的倾角为ϕ时, 屋架能够吊到的最大高度为h . 在直角三角形∆EDG 中 15sin ϕ=(h -1. 5)+2+3tan ϕ,故 21tan 3sin 15--=ϕϕh ,ϕϕ2cos 3cos 15-='h . 令h '=0得唯一驻点5451arccos 3≈=ϕ︒.因为0cos sin 6sin 153<--=''ϕϕϕh , 所以ϕ=54︒为极大值点, 同时这也是最大值点. 当ϕ=54︒时, 5.721tan 3sin 15≈--=ϕϕh m .所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m 高, 现只要求水平地吊到6m 处, 当然能吊上去. 15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R .令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.习题3-6描绘下列函数的图形: 1. )786(5124++-=x x x y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)23)1)(2(54)8124(51-+=+-='x x x x y ,)1)(1(512)33(542-+=-=''x x x y ,令y '=0, 得x =-2, x =1; 令y ''=0, 得x =-1, x =1.(3)列表(4)作图:2.21xx y +=;解 (1)定义域为(-∞, +∞);(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x ≥0时函数的图形.(3)22)1()1)(1(x x x y ++--=', 32)1()3)(3(2x x x x y ++-='',当x ≥0时, 令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得x =0, 3=x .(4)列表(5)有水平渐近线y =0; (6)作图:3.2)1(--=x e y ;解 (1)定义域为(-∞, +∞); (2))]221()][221([4)1(222)1()1(--+-=''--='----x x e y e x y x x ,令y '=0, 得x =1; 令y ''=0, 得221+=x ,221-=x .(3)列表(4)有水平渐近线y =0; (5)作图: 4.xx y 12+=;解 (1)定义域为(-∞, 0)⋃(0, +∞); (2)2321212xx xx y -=-=',333)1(222x x x y +=+='',令y '=0, 得321=x ; 令y ''=0, 得x =-1.(3)列表(4)有铅直渐近线x =0; (5)作图: 5.xxy 2cos cos =.解 (1)定义域为42ππ+≠n x (n =0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅)(2)是偶函数, 周期为2 . 可先作[0, ]上的图形, 再根据对称性作出[-, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-, ]以外的图形; (3)xx x y 2cos )sin 23(sin 22-=',xx x x y 2cos )sin 4sin 123(cos 342-+⋅='',在[0,]上, 令y '=0, 得x =0, x =; 令y ''=0, 得2π=x .(4)列表(5)有铅直渐近线4π=x 及43π=x ;(6)作图:习题3-71. 求椭圆4x 2+y 2=4在点(0, 2)处的曲率. 解两边对x 求导数得8x +2yy '=0, y x y 4-=', 244y y x y y '--=''.y '|(0, 2)=0, y ''|(0, 2)=-2.所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+-='+''=y y K .2. 求曲线y =lnsec x 在点(x , y )处的曲率及曲率半径.解 x x x xy tan tan sec sec 1=⋅⋅=', x y 2sec =''.所求曲率为|cos |)tan 1(|sec |)1(||2/3222/32x x x y y K =+='+''=, 曲率半径为 |sec ||cos |11x x K ===ρ.3. 求抛物线y =x 2-4x +3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y '=2x -4, y ''=2.令y '=0, 得顶点的横坐标为x =2. y '|x =2=0, y ''|x =2=2. 所求曲率为2)01(|2|)1(||2/322/32=+='+''=y y K , 曲率半径为211==K ρ.4. 求曲线x =a cos 3t , y =a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解 t x a t a y tan )cos ()sin (33-=''=', tt a x a x y 43cos sin 31)cos ()tan (⋅=''-=''. 所求曲率为|2sin |32|cos sin 31|)tan 1(|cos sin 31|)1(||32/3242/32t a t t a t t t a y y K ==+⋅='+''=, |2sin |3200t a K t t ==.5. 对数曲线y =ln x 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.解 x y 1=', 21xy -=''.2/322/3222/32)1()11(|1|)1(||x x xx y y K +=+-='+''=, xx 232)1(+=ρ,2222232212)12(1)1(2)1(23x x x x x x x x --=+-⋅⋅+='ρ.令ρ'=0, 得22=x . 因为当220<<x 时, ρ<0; 当22>x 时, ρ>0, 所以22=x 是ρ的极小值点, 同时也最小值点. 当22=x 时, 22ln =y . 因此在曲线上点)22ln ,22(处曲率半径最小, 最小曲率半径为233=ρ. 6. 证明曲线axa y ch =在点(x , y )处的曲率半径为a y 2.解 a x y sh =', axa y ch 1=''.在点(x , y )处的曲率半径为a y a x a a x a a xa x a a x y y 222/322/322/32ch |ch 1|)(ch |ch 1|)sh 1(||)1(===+='''+=ρ.7. 一飞机沿抛物线路径100002x y =(y 轴铅直向上, 单位为m )作俯冲飞行, 在坐标原点O 处飞机的速度为v =200m /s 飞行员体重G =70Kg . 求飞机俯冲至最低点即原点O 处时座椅对飞行员的反力.解 5000100002x x y ==', 50001=''y ; y '|x =0=0, 50001|0=''=x y . 500050001)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ.向心力56050002007022=⨯==ρmV F (牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79⨯9.8+560=1246(牛顿).8. 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h , 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力.解如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y =ax 2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得01.02525.0==a ,于是抛物线方程为y =0. 01x 2. y '=0.02x , y ''=0.02.5002.0)01(||)1(|2/322/320=+='''+==y y x ρ. 向心力为360050)3600106.21(1052332=⨯⨯==ρmV F (牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5⨯103⨯9.8-3600=45400(牛顿).*9. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.*10. 求曲线y =tan x 在点)1 ,4(π处的曲率圆方程.*11. 求抛物线y 2=2px 的渐屈线方程.总习题三1. 填空:设常数k >0, 函数k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内零点的个数为________.解应填写2.提示: e x x f 11)(-=', 21)(xx f -=''.在(0, +∞)内, 令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为f ''(x )<0, 所以曲线k exx x f +-=ln )(在(0, +∞)内是凸的, 且驻点x =e 一定是最大值点,最大值为f (e )=k >0.又因为-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以曲线经过x 轴两次, 即零点的个数为2.2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解选择B .提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以 f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞→.解根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞→∞→∞→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.5. 证明多项式f (x )=x 3-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.证明 f '(x )=3x 2-3=3(x 2-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.6. 设1210++⋅⋅⋅++n a aa n =0, 证明多项式f (x )=a 0+a 1x +⋅ ⋅ ⋅+a n x n 在(0,1)内至少有一个零点.证明设121012)(+++++=n n x n a x ax a x F , 则F (x )在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且F (0)=F (1)=0. 由罗尔定理, 在(0, 1)内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F '(x )=f (x ), 所以f (x )在(0, 1)内至少有一个零点.7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0.8. 设0<a <b , 函数f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 试利用柯西中值定理, 证明存在一点ξ∈(a , b )使abf b f a f ln )()()(ξξ'=-.证明对于f (x )和ln x 在[a , b ]上用柯西中值定理, 有ξξ1)(ln ln )()(f ab a f b f '=--, ξ∈(a , b ), 即 abf b f a f ln )()()(ξξ'=-, ξ∈(a , b ).9. 设f (x )、g (x )都是可导函数, 且|f '(x )|<g '(x ), 证明: 当x >a 时, |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).证明由条件|f '(x )|<g '(x )得知,1)()(<''ξξg f , 且有g '(x )>0, g (x )是单调增加的, 当x >a 时, g (x )>g (a ).因为f (x )、g (x )都是可导函数, 所以f (x )、g (x ) 在[a , x ]上连续, 在(a , x )内可导, 根据柯西中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , x ), 使)()()()()()(ξξg f a g x g a f x f ''=--. 因此,1)()()()(|)()(|<''=--ξξg f a g x g a f x f , |f (x )-f (a )|<g (x )-g (a ).10. 求下列极限:(1)xx x x xx ln 1lim 1+--→;(2)]1)1ln(1[lim 0xx x -+→;(3)x x x )arctan 2(lim π+∞→.(4)nxx n x x x n a a a ]/) [(lim 11211+⋅⋅⋅++∞→(其中a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n >0).解 (1) (x x )'=(e x l n x )'=e x l n x(ln x +1)=x x (ln x +1).xx x x xx x x x x x x x x x x x x x x x xx -+-=+-+-='+-'-=+--+→→→→1)1(ln lim11)1(ln 1lim )ln 1()(lim ln 1lim 11111 21)1)(ln 11(ln 1lim11=--+++-=+→xx x x x x x x . (2)xxx x x x x x x x x x x x x x x x ++++-='+'+-=++-=-+→→→→1)1ln(111lim ])1ln([])1ln([lim )1ln()1ln(lim ]1)1ln(1[lim 00002111)1l n (1lim )1ln()1(lim00=+++=+++=→→x x x x x x x。

(完整word版)同济大学第六版高等数学课后答案详解全集

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A\B 及A\(A\B)的表达式.2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B)C =AC ⋃BC . .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f(A ⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1);(10)x e y 1=.7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x .8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x2(1-x2);(2)y =3x2-x3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+= 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);.(2)y =cos 4x ;(3)y =1+sin πx ;(4)y =xcos x ;(5)y =sin2x .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

高等数学第六版(同济版)第八章复习资料

第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算一、向量的相关概念1.向量的定义：称既有大小又有方向的量为向量(或矢量).2. 向量的数学表示法：用一条有方向的线段表示,记为 AB 或a .3. 向量的模：称向量的大小为向量的模，记为||a .4. 自由向量：称与起点无关的向量为自由向量.(如位移)5. 单位向量：称模为1的向量为单位向量,记作e .6. 零向量：称模为0的向量为零向量，记作0.7. 两向量相等：若向量与同模同方向，则称的与相等，记作=.(即两个向量平移后重合.)8. 两向量的夹角：],0[),(πϕ∈=∧b a ，≠,.9. 两向量平行：若非零向量a 与b 所成的角•b a 0),(=∧或π，则称的a 与b 平行，记作b //a . 规定: 零向量与任何向量平行.10. 两向量垂直：若非零向量a 与b 所成的角•2/),(π=∧，则称的a 与b 垂直，记作⊥.注: 零向量可认为与任何向量平行或垂直.11. 向量共线：平行的向量可移动到同一条直线上，也称之为向量共线.12. 向量共面：将)3(≥k k 个向量的起点放到同一点时，若k 个终点与公共起点在一个平面上，则称这k 个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加减法 (1). 向量的加法①．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的和.I. 三角形法则：c AC BC AB b a ==+=+.II. 平行四边形法则：==+=+=+.②.运算规律：1°. 交换律：a b b a +=+.2°. 结合律：)()(c b a c b a ++=++.注:)3(≥n 个向量相加的法则：用前一个向量的终点作为后一个向量的起点，依次作向量n a a a ,,,21 ，再以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求向量的和，即n a a a s +++= 21. (2). 向量的减法①．负向量：称与向量a 同模反向的向量为它的负向量，记作a -.②. 两向量的差：称向量b 与向量a 的负向量a -的和为b 与a 的差向量，记作)(-+=-. 注：特别地，当a b =时，0)(=-+=-a a a a . ③．运算法则：设有向量a 与b ，求a 与b 的差.I.平行四边形法则：AB OC OA OB a b ==-=-. II.三角形法则：AB OA OB a b =-=-. (3). 运算定理：||||||+≤±. 2．向量与数的乘法(1). 定义：称向量与实数λ的乘积λ为向量的数乘. 注：1°. 规定a λ是一个向量.2°. ||||||a a ⋅=λλ3°. 若0>λ，则a λ与a 同向；若0<λ，则a λ与a 反向；若0=λ，则0=a λ. (2). 运算规律：①．结合律：a a a )()()(λμλμμλ==. ②．分配律：b a b a λλλ+=+)(. (3). 性质①．向量a 的同向单位向量：||a ae a =，a e a a ⋅=||. ②．向量平行的充要条件(定理)：若向量0≠a ，则向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使a b λ=.③．数轴上的点P 的坐标为x 的充要条件为：i x OP =，其中向量i 为数轴的单位向量，实数x称为有向线段OP 的值.例1. 如图，用a 、b 表示MA 、MB 、MC 以及MD .解：由于MC AC b a 2==+，故()b a MC +=21，进而()b a MA +-=21. 又MD BD a b 2==-，故()-=21，进而()()-=--=2121.三、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：oxyz 坐标系或],,;[O 坐标系.2. 坐标面：xoy 面；yoz 面；zox 面.3. 卦限：),,(+++→z y x I ；),,(++-→z y x II ；),,(+--→z y x III ；),,(+-+→z y x IV ； ),,(-++→z y x V ；),,(-+-→z y x VI ； ),,(---→z y x VII ；),,(--+→z y x VIII .4. 空间点的坐标：),,(z y x M .OM r =(向径)OR OQ OP ++=k z j y i x ++=. (1). 向量r 的坐标分解式：k z j y i x r ++=. (2). 向量的分向量：z y x ,,. (3). 向量的坐标：),,(z y x =. (4). 点M 的坐标：),,(z y x M .注：1°. xoy 面上点M 的坐标：)0,,(y x M ； 2°. x 轴上点M 的坐标：)0,0,(x M ；yoz 面上点M 的坐标：),,0(z y M ； y 轴上点M 的坐标：)0,,0(y M ；zox 面上点M 的坐标：),0,(z x M . z 轴上点M 的坐标：),0,0(z M .四、利用坐标作向量的线性运算：设),,(z y x a a a =，),,(z y x b b b =. 1. 向量线性运算的坐标表示：(1). 加减法：),,(z z y y x x b a b a b a ±±±=±. (2). 数乘：),,(z y x a a a λλλλ=.(3). 两向量平行：)0,,(,),,(),,(≠==⇔=⇔z y x zzy y x x z y x z y x a a a a b a b a b a a a b b b b //a λ.注：1°. 若0,,0≠=z y x a a a ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇔z z yy x ab a b b b //a 0.2°. 若0,0≠==z y x a a a ，则⎩⎨⎧==⇔00yx b b //.例2. 已知)2,1,2(=，)2,1,1(--=，求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-by x ay x 2335的解向量.解：方程①乘2减去方程②乘3得：b a x 32-=)2,1,1(3)2,1,2(2---=)10,1,7(-=，方程①乘3减去方程②乘5得：b a y 53-=)2,1,1(5)2,1,2(3---=)16,2,11(-=.例3. 已知两点),,(111z y x A 、),,(222z y x B 及实数1-≠λ，在直线AB 上求一点M ，使λ=. 解：因为OA OM AM -=，OM OB MB -=，因此有)(-=-λ，整理得)(11OM λλ++=，代入坐标得)],,(),,[(11222111z y x z y x OM λλ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ，从而得到点M 的坐标⎪⎭⎫⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x M .注：线段AB 中点坐标公式⎪⎭⎫⎝⎛+++2,2,2212121z z y y x x M .五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间距离公式：(1). 向量的模：k z j y i x z y x OM r ++===),,(，222||z y x ++=. (2). 两点间距离公式：点),,(111z y x A 与),,(222z y x B 之间的距离：212212212)()()(|z z y y x x AB -+-+-=.推导：因为()121212,,z z y y x x OA OB AB ---=-=，所以|)()()(||||212212212z z y y x x AB AB -+-+-==.例4. 求证以三点)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点间距离公式，有 14)12()31()47(||22221=-+-+-=M M ；6)23()12()75(||22232=-+-+-=M M ； 6)31()23()54(||22213=-+-+-=M M ，由于||||1322M M M M =，故321M M M ∆为等腰三角形. 例5. 在z 轴上求与两点)7,1,4(-A 、)2,5,3(-B 等距离的点. 解：由题可设所求点为),0,0(z M ，有||||MB MA =，即222222)2()05()03()7()10()40(z z --+-+-=-+-++，整理得914=z ，故所求点为⎪⎭⎫ ⎝⎛914,0,0M . 例6. 已知两点)5,0,4(A 、)3,1,7(B ，求与AB 同向的单位向量e .解：因为)2,1,3()53,01,47(-=---=，所以14)2(13||222=-++=，于是)2,1,3(141||-==AB .2. 方向角与方向余弦(1). 向量的方向角：称非零向量r 与三条坐标轴的夹角γβα,,为向量r 的方向角，],0[,,πγβα∈.(2). 向量的方向余弦：方向角的余弦γβαcos ,cos ,cos .222||cos zy x x r ++==α,222||cos zy x y r ++==β,222||cos zy x z r ++==γ.注：1°. 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα.2°. )cos ,cos ,(cos ),,||||γβα===z y x r r r e . 例7. 已知两点)2,2,2(1M 、)0,3,1(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：由于)2,1,1()20,23,21(21--=---=M M ，从而有2)2(1)1(||22221=-++-=M M于是，21cos -=α，21cos =β，22cos -=γ，由此可得43,3,32πγπβπα===.例8．设点A 位于第I 卦限，向径与x 轴、y 轴的夹角依次为3π、4π，且6||=OA ，求点A 的坐标.解：由于3πα=，4πβ=，并且1cos cos cos 222=++γβα，有4122211cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=γ，由题可知0cos >γ，故21cos =γ，于是)3,23,3(21,22,216||=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==e ，故点A 的坐标为)3,23,3(. 3. 向量在轴上的投影(1). 向量在轴上的投影：设向量与u 轴正向的夹角为ϕ，称数ϕcos ||为向量在u 轴上的投影，记作j u Pr 或u )(.注：向量),,(z y x a a a a =在三个坐标轴上的投影即为对应的坐标，即x x a j =Pr ，y y a j =Pr ，z z a j =Pr .(2). 投影的性质：①．j j j u u u Pr Pr )(Pr +=+. ②．j j u u Pr )(Pr λλ=.例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|= a ，求OA 在OM 方向上的投影OA j OM Pr .解：记ϕ=∠MOA ，有31||||cos ==OM OA ϕ，于是3cos ||Pr a OA OA j OM ==ϕ.§8.2数量积、向量积一、两向量的数量积1．常力沿直线所作的功：θcos ||||S F W ⋅= 2. 两向量的数量积(1). 定义：称向量与的模及其夹角余弦的乘积),cos(||||∧⋅⋅b a b a 为与的数量积，也称为内积或点积，记作b a ⋅.注：1°. a j b b j a b a Pr ||Pr ||==⋅.2°. 2||=⋅. 3°. 0=⋅⇔⊥b a b a . (2). 运算规律①．交换律：a b b a ⋅=⋅.(由定义可知) ②．分配律：c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(c b c a b j c a j c b a j c c b a ⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅+Pr ||Pr ||)(Pr ||)(③．结合律：)()(⋅=⋅λλ；)()()(⋅=⋅λμμλ.3. 两向量数量积的坐标表示式：若),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b =，则z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅.4. 两非零向量夹角余弦的坐标公式：222222||||),cos(||||zy x zyxz z y y x x bb b aa ab a b a b a b a ba b a b a ++++++=⋅=⋅⋅∧.例1. 试用向量证明三角形的余弦定理： θcos 2222ab b a c -+=. 解：在ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，a CB =，b CA =，c AB =，有b a c -=，从而⋅+⋅-⋅=-⋅-=⋅=2)()(||22||cos ||||2||+⋅-=θ，即θcos 2222ab b a c -+=.例2. 已知三点)1,1,1(M 、)1,2,2(A 和)2,1,2(B ，求AMB ∠.解：由题可得)0,1,1()11,12,12(=---=MA ，)1,0,1()12,11,12(=---=MB ，于是21221||||cos =⋅=⋅=∠MB MA AMB ，故3π=∠AMB .例3. 设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为(常向量)v . 设为垂直于S 的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向所指一侧的液体的质量m (液体的密度为ρ).解：单位时间内经过该区域的液体的体积为n v A v A V ⋅==θcos ||，所求质量为n v A V m ⋅==ρρ. 二、两向量的向量积1. 力对支点的力矩：M .模：||||||OQ =θsin ||||=；方向：与及的方向成右手规则. 2. 两向量的向量积(1).定义：设有向量a 与b ，夹角为θ，称c 为a 与b 的向量积(叉积、外积)，其中c 的模θsin ||||||b a c =，方向与a 和b 的方向符合右手规则，记作b a c ⨯=. 注：1°. 0=⨯a a .2°. 0//=⨯⇔b a b a .3°. ||⨯的几何意义：以a 与b 为邻边的平行四边形的面积. (2).运算规律①．反交换律：⨯-=⨯. ②．分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(. ③．结合律：)()()(b a b a b a ⨯=⨯=⨯λλλ.(3). 两向量的向量积的坐标表示式：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则b b a a b b a a b b a a b a xx xzz zyy ++=⨯zyxz y x b b b a a a =⨯.例4. 试用两向量的向量积证明三角形正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==. 证明：在三角形ABC ∆中，记a BC =||，b CA =||，c AB =||，由于||21||21||21CB CA BA BC AC AB S ABC ⨯=⨯=⨯=∆，即c b a B c a A c b sin sin sin ⋅=⋅=⋅，整理得 C cB b A a sin sin sin ==. 例5. 设)1,1,2(-=，)2,1,1(-=，计算b a ⨯.解：k j i kj b a 352111--=--=⨯. 例6. 已知三角形ABC 的顶点分别是)3,2,1(A 、)5,4,3(B 和)7,4,2(C ，求三角形ABC 的面积.解：由于)2,2,2(=AB ，)4,2,1(=AC ，有26422+-==⨯，于是142)6(421|264|21||21222=+-+=+-=⨯=S ABC ∆. 例7. 设刚体一角速度ω绕l 轴旋转，计算刚体上一点M 的线速度v . 解：在轴l 上引进一个角速度向量ω，使ωω=||，其方向与旋转方向符合右手法则，在l 上任取一点O ，作向径=，它与ω的夹角为θ，则点M 离开转轴的距离θsin ||a =，由物理学中线速度和角速度的关系可知，θωωsin ||||||||r a v ==，且ω、r 、v 符合右手规则，于是r v ⨯=ω.§8.3曲面及其方程一、曲面方程的相关概念1.曲面方程：若曲面S 上任一点的坐标都满足方程(*)0),,(=z y x F ，且不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程(*)，则称方程(*)为曲面S 的方程，而称曲面S 为称方程(*)的图形.2.关于曲面的两个基本问题(1). 已知一曲面作为空间点的几何轨迹，建立该曲面的方程.(2). 已知关于点),,(z y x M 的坐标x 、y 、z 之间的一个方程0),,(=z y x F ，研究该方程所表示曲面的形状.例1. 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程.解：设),,(z y x M 为所求球面上任一点，有R M M =||0，即R z z y y x x =-+-+-202020)()()(，整理得 2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-.例2. 设有点)3,2,1(A 和)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 为所求平面上任一点，由题意，有||||BM AM =，即222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x ，整理得 07262=-+-z y x .例3. 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？解：原方程变形为5)2()1(222=+++-z y x ，表示以)0,2,1(0-M 为球心，以5为半径的球面. 二、旋转曲面1. 定义：称由一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所成的曲面为旋转曲面，称旋转曲线为旋转曲面的母线，定直线为旋转曲面的轴.2. 旋转曲面的方程：曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f .(绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .)(巧记：绕谁谁不动，缺谁补上谁.)推导：在曲线C 上任取一点),,0(111z y M ，有0),(11=z y f ，且点1M 到z 轴的距离||1y d =.当曲线C 绕z 轴旋转时，点1M 绕z 轴旋转到点),,(z y x M ，其中1z z =，点M 到z 轴的距离221y x d +=，由于1d d =，有221||y x y +=，即221y x y +±=，代入曲线方程有0),(22=+±z y x f .注：1°. 曲线C ：0),(=y x f 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±z y x f ；绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f .2°. 曲线C ：0),(=x z f 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±y x z f ；绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22=+±x z y f .3. 常见旋转曲面及其方程(1). 圆锥面及其方程①．圆锥面：称由直线L 绕与其相交的直线旋转一周所成的曲面为圆锥面，称两直线的交点为圆锥面的顶点，称两直线的夹角)2/,0(πα∈为圆锥面的半顶角.②．圆锥面的方程：以坐标原点o 为顶点，以α为半顶角，以z 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222y x a z +=，其中αcot =a .推导：在yoz 坐标面上，过原点且与z 轴夹角为α的直线方程为y z ⋅=αcot ，于是，直线L 绕z 轴旋转而成的圆锥面的方程为)(cot 22y x z +±⋅=α，整理得)()(cot 2222222y x a y x z +⋅=+⋅=α.注：1°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以x 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222z y a x +=，其中αcot =a .2°. 以坐标原点O 为顶点，以α为半顶角，以y 轴为旋转轴的圆锥面的方程为：)(2222x z a y +=，其中αcot =a .(2). 旋转双曲面及其方程①．旋转双曲面：称由双曲线绕其对称轴旋转一周所成的曲面为旋转双曲面，分为单叶和双叶双曲面.②．旋转双曲面的方程：(双曲线：12222=-cz a x ) 旋转单叶双曲面的方程：(绕z 轴旋转) 122222=-+cz a y x . 旋转双叶双曲面的方程：(绕x 轴旋转) 122222=+-cz y a x .三、柱面1. 柱面的定义：称由直线L 沿定曲线C 平行于定直线l 移动所成的轨迹为柱面，称定曲线C 为柱面的准线，动直线L 为柱面的母线.2. 几种常见柱面及其方程(缺谁母线平行谁)(1). 圆柱面：222R y x =+. (准线为xoy 坐标面上的圆：222R y x =+，母线平行z 轴.)222R z y =+. (准线为yoz 坐标面上的圆：222R z y =+，母线平行x 轴.)222R x z =+. (准线为zox 坐标面上的圆：222R x z =+，母线平行y 轴.)(2). 过坐标轴的平面：0=-y x ，过z 轴，准线为xoy 坐标面上的直线0=-y x .0=-z y ，过x 轴，准线为yoz 坐标面上的直线0=-z y .0=-x z ，过y 轴，准线为zox 坐标面上的直线0=-x z .四、二次曲面1. 椭球面：1222222=++c z b y a x .2. 椭圆锥面：22222z by a x =+. 3. 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x . 4. 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x . 5. 椭圆抛物面：z b y a x =+2222. 6. 双曲抛物面：z by a x =-2222. 7. 椭圆柱面：12222=+b y a x . 8. 双曲柱面：12222=-by a x 9. 抛物柱面：ay x =2.§8.4空间曲线及其方程一、空间曲线：称空间两曲面的交线为空间曲线，记为C .二、空间曲线的方程1. 一般式(面交式)方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F . 例如：⎩⎨⎧=+=+632122y x y x 表示圆柱面122=+y x 与平面632=+y x 的交线. 又如：⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22222222a y a x y x a z 表示上半球面222y x a z --=与圆柱面22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x 的交线.2. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，其中点),,(z y x M 随着参数t 的变化遍历曲线C .例1. 称由点),,(z y x M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转，又同时以线速度v 沿平行z 轴的正向上升所成的图形为螺旋线，求其参数方程.解：取时间t 为参数，0=t 对应点)0,0,(a A ，t 对应点),,(z y x M ，作M 在xoy 面上的投影'M ，有)0,,('y x M ，且t AOM ω=∠'，于是t a AOM OM x ωcos 'cos |'|=∠=，t a AOM OM y ωsin 'sin |'|=∠=，又vt MM z =='，于是，螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vt z t a y t a x ωωsin cos ，令ωωθv b t ==,，则螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos . 三、空间曲线在坐标面上的投影1．投影柱面：称以空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面为曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面.2. 空间曲线的投影：称空间曲线C 关于xoy 坐标面的投影柱面与xoy 坐标面的交线为空间曲线C 在xoy 坐标面上的投影曲线，也称为投影.3. 空间曲线的投影方程：空间曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(z y x H ，其中0),(=y x H 为方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去z 所得的投影柱面方程. 注：1°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在yoz 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(x z y R . 2°. 空间曲线曲线C ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 在zox 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==00),(y x z T .例2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 在xoy 坐标面上的投影方程. 解：现求曲线C 在关于xoy 坐标面上的投影方程，将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 消去z 得投影柱面方程：02222=-+y y x ，于是所求投影方程为⎩⎨⎧==-+002222z y y x .例3. 求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成的立体在xoy 坐标面上的投影. 解：先求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 关于xoy 坐标面的投影方程，消去z 得投影柱面方程：122=+y x ，故曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z y x z 在xoy 坐标面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0122z y x ，从而所求投影为圆域：122≤+y x .§8.5平间及其方程一、平面的点法式方程1.平面的法向量：称垂直于一平面的非零向量为该平面的法线向量.2.平面的点法式方程：过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A =为一法向量的平面∏的方程为：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .推导：在平面∏上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于M M n 0⊥，有00=⋅M M n ，即有0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A (1)，即平面∏上的点的坐标都满足方程(1).反之，若点),,(z y x M 不在平面∏上，则向量M M 0不垂直法向量n ，从而00≠⋅M M n ，即不在平面∏上的点的坐标都不满足方程(1).于是得到平面∏的点法式方程0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A .例1. 求过点)0,3,2(-且以)3,2,1(-=为法向量的平面的方程.解：由平面的点法式方程得 0)0(3)3(2)2(=-++--z y x ，整理得 0832=-+-z y x . 例2. 求过三点)4,1,2(1-M 、)2,3,1(2--M 和)3,2,0(3M 的平面的方程. 解：先求所求平面的一个法向量n ，由题可得向量)6,4,3(21--=M M ，)1,3,2(31--=M M ，可取 k j i kj i M M M M n -+=----=⨯=9141326433121，于是所求平面的方程为0)4()1(9)2(14=--++-z y x ，整理得015914=--+z y x .二、平面的一般方程1. 平面的一般方程：0=+++D Cz By Ax (*)推导：若点),,(0000z y x M 满足方程(*)，则有0000=+++D Cz By Ax ， (**)两方程相减得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ， (***)方程(***)为过点),,(0000z y x M ，以向量),,(C B A n =为一法向量的平面的点法式方程.由于方程(*)与(***)同解，可知任何一个三元一次方程(*)的图形总是一个平面，称0=+++D Cz By Ax 为平面的一般方程，其一法线向量为),,(C B A n =.2. 几种特殊平面的一般方程：(缺谁平行谁)(1). 过原点的平面方程：0=++Cz By Ax ，法向量为),,(C B A =.(2). 平行x 轴的平面方程：0=++D Cz By ，法向量为),,0(C B n =.(3). 垂直于x 轴 (平行yoz 坐标面) 的平面方程：0=+D Ax ，法向量为)0,0,(A n =. 例3．求通过x 轴和点)1,3,4(--的平面的方程.解：由题意，可设所求平面的方程为：0=+Cz By ，(*)又点)1,3,4(--在该平面上，有03=--C B ，得B C 3-=，代入方程(*)得03=-z y . 例4. 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为)0,0,(a P 、)0,,0(b Q ，),0,0(c R ，求该平面的方程.解：设所求平面的方程为0=+++D Cz By Ax ，(*) 将P 、Q 、R 三点坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000D cC D bB D aA ，得a D A -=，b D B -=，cD C -=，代入方程(*)，从而有所求平面方程为1=++cz b y a x ，称之为平面的截距式方程. 三、两平面的夹角及点到平面的距离 1. 两平面的夹角：称两平面的法线向量的夹角(锐角)为两平面的夹角.2. 两平面夹角的余弦：设平面1∏的法线向量为),,(1111C B A n =，平面2∏的法线向量为),,(2222C B A n =，两平面的夹角为θ，则22222221212121212121|||),cos(|cos C B A C B A C C B B A A n n ++⋅++++==∧θ.注：1°. 212121212121////D D C C B B A A n n ≠==⇔⇔∏∏. 2°. 021********=++⇔⊥⇔⊥C C B B A A n n ∏∏.3. 点到平面的距离：平面0:=+++D Cz By Ax ∏外一点),,(0000z y x P 到平面∏的距离为222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.推导：在平面∏上任取一点),,(1111z y x P ，过点0P 作平面∏的一法向量n ，有|||Pr |001NP P P j d ==，由于01010101010101||||||||cos ||Pr P P e P P n P P n P P n P P P P P P j n ⋅=⋅=⋅== θ，由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=222222222,,C B A C C B A B CB A A e n ，),,(01010101z z y y x x P P ---=，于是))()()((Pr 10101022201z zC y y B x x A C B A AP P j n -+-+-++=，又点),,(1111z y x P 在平面∏上，故有0111=+++D Cz By Ax ，从而222000||C B A D Cz By Ax d +++++=.例5. 求两平面062=-+-z y x 和052=-++z y x 的夹角. 解：由两平面夹角余弦公式211122)1(1|121)1(21|cos 222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=θ，故所求夹角为3πθ=. 例6. 一平面通过两点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面0=++z y x ，求它的方程. 解：设所求平面∏的一个法线向量为),,(C B A n =，由题可知向量)2,0,1(21--=M M 在平面∏上，已知平面0:1=++z y x ∏的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，由题意有21M M ⊥，有02=--C A ；1n n ⊥，有0=++C B A ；由以上两方程可得C A 2-=，C B =，故所求平面∏的法线向量为),,2(C C C n -=，于是所求平面∏的方程为0)1()1()1(2=-+-+--z C y C x C ，整理得02=--z y x . 另解：由题可知所求平面上一向量)2,0,1(21--=M M ，又已知平面0=++z y x 的一个法线向量为)1,1,1(1=n ，易知1n 不平行于21M M ，故可取所求平面的一个法线向量为M M ++-=--=⨯=2201111211，于是所求平面方程为：0)1()1()1(2=-+-+--z y x ，整理得02=--z y x .第六节空间直线及其方程一、空间直线：称空间两平面1∏、2∏的交线为空间直线.二、空间直线的方程1. 一般(面交式) 方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A . 2. 对称式(点向式)方程(1). 直线的方向向量：称平行于已知直线的非零向量为该直线的方向向量.(2). 直线的点向式方程：过点),,(0000z y x M 以向量),,(p n m S =为方向向量的直线L 的方程为：pz z n y y m x x 000-=-=-. 推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量),,(0000z z y y x x M M ---=，由于S M M //0，故有 pz z n y y m x x 000-=-=-， (*) 即直线L 上点的坐标都满足方程(*).反之，若点),,(z y x M 不在直线L 上，则由于M M 0不平行S ，所以这两向量的对应坐标就不成比例，因此方程(*)就是直线L 的方程，称为直线的对称式或点向式方程. 注：1°. m 、n 、p 不同时为零.2°. 若0,,0≠=p n m ，则直线L 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z n y y x x 0000，即平面00=-x x 上的直线.3°. 若0,0≠==p n m ，则直线L 的方程为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x ，即平面00=-x x 与00=-y y 上的交线，过点),,(000z y x 且平行z 轴.3. 参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nt y y m t x x 000.注：一般式⇒对称式⇔参数式.例1. 用对称式方程以及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x .解：先找出该直线上一点),,(000z y x ：不妨取10=x ，代入原方程组得⎩⎨⎧=--=+632z y y x ，解得00=y ，20-=z ，即)2,0,1(-为该直线上一点. 再找该直线的方向向量：由题可知交成该直线的两平面的法线向量分别为)1,1,1(1=n ，)3,1,2(1-=n，故可取k j i kj n n S 341121--=-=⨯=，故所给直线的对称式方程为：32141-+=-=-z y x . 令t z y x =-+=-=-32141，得到所给直线的参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241. 三、两直线的夹角1. 两直线的夹角：称两直线的方向向量的夹角(锐角)为两直线的夹角.2. 两直线夹角的余弦：直线1L 的方向向量为),,(1111p n m S =，直线2L 的方向向量为),,(2222p n m S =,两直线的夹角为ϕ，则22222221212121212121|||),cos(|cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++==∧ϕ. 注：1°. 021********=++⇔⊥⇔⊥p p n n m m S S L L .2°. 2121212121////p p n n m m S S L L ==⇔⇔. 例2. 求直线13411:1+=-=-z y x L 和1222:2-=-+=z y x L 的夹角. 解：由题可知直线1L 的方向向量为)1,4,1(1-=S ，直线2L 的方向向量为)1,2,2(2--=S ，设1L 与2L 的夹角为ϕ，则由两直线夹角余弦公式得21)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222=-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ, 故4πϕ=. 四、直线与平面的夹角 1. 直线与平面的夹角：称直线与不垂直该直线的平面上的投影直线的夹角)2/0(πϕϕ<≤为直线与平面的夹角. 规定：直线与平面垂直时夹角为2π. 2. 直线与平面夹角的正弦：若直线L 的方向向量为),,(p n m S =，平面∏的而一个法线向量为),,(C B A n =.L 与∏的夹角为ϕ，则222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ. 注：1°. p C n B m A n S L ==⇔⇔⊥//∏. 2°. 0//2121=++⇔⊥⇔Cp Bn Am L L .例3. 求过点)4,2,1(-且与平面0432=-+-z y x 垂直的直线的方程. 解：由题意，可取)1,3,2(-=S 为所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为143221-=-+=-z y x . 五、平面束及其方程1. 平面束：称通过定直线的所有平面的全体为平面束.2. 平面束的方程：设有直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L ，其中111,,C B A 与222,,C B A 不成比例,则通过直线L 的平面束的方程为：0)(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ. 注：该平面束不包含平面02222=+++D z C y B x A .例4. 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程. 解：过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为0)1(1=++-+--+z y x z y x λ，即 01)1()1()1(=-+-+-++λλλλz y x ，其中λ为待定常数.由题可知，该平面与已知平面0=++z y x 垂直，故有01)1(1)1(1)1(=⋅-+⋅-+⋅+λλλ，即01=+λ，解得1-=λ.由此可得所给直线关于所给平面的投影平面的方程为0222=--z y ，整理得01=--z y ,故所求投影直线的方程为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y . 六、点到直线的距离：直线pz z n y y m x x L 111:-=-=-外一点),,(0000z y x M 到直线L 的距离为： ||0S S MM d =),,(z y x M 为直线L 上的一点.推导：在直线L 上任取一点),,(z y x M ，有向量0，设点0M 到直线L 的距离为d ，由于||||0S MM S d ⨯=⋅，故||0S S MM d =. 例5. 求点)3,2,1(到直线412111-=-=-z y x 的距离. 解：由题可知，所给直线的方向向量为)4,2,1(=S ，点)1,1,1(是该直线上一点，从而有向量)2,1,0(--=a ，由平面外一点到直线的距离公式得：2154214221222=++--==d . 七、杂例：例6. 求与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行且过点)5,2,3(-的直线的方程. 解法一 (点向式) 由题可知两已知平面的法向量分别为)4,0,1(1-=和)5,1,2(2--=，故可取21n n ⨯为所求直线的一个方向向量，即)34(514021++-=---=⨯=，于是所求直线方程为153243-=-=+z y x . 解法二 (一般式)过点)5,2,3(-且与平面34=-z x 平行的平面方程为234-=-z x ，过点)5,2,3(-且与平面152=--z y x 平行的平面方程为3352-=--z y x ，易知所求直线为上述两个平面的交线，所以所求直线方程为⎩⎨⎧-=---=-3352234z y x z x .例7.求直线241312-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点. 解：易知所给直线的参数方程为t x +=2，t y +=3，t z 24+=，代入平面方程中，得06)24()3()2(2=-+++++t t t ，解得1-=t ，代入直线的参数方程得所求交点的坐标2,2,1===z y x .例8.求过点)3,1,2(且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程.解：先求过点)3,1,2(且垂直于已知直线12131-=-=+z y x 的平面：由题可知该平面的方程为 0)3()1(2)2(3=---+-z y x .再求该平面与已知直线的交点：已知直线的参数方程为t x 31+-=，t y 21+=，t z -=，代入上述平面方程解得73=t ，于是得到交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72. 以点)3,1,2(为起点，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-73,713,72为终点的向量为)4,1,2(76373,1713,272--=⎪⎭⎫ ⎝⎛----，于是所求直线方程为431122-=--=-z y x .。

高等数学第六版下册课后习题答案_同济大学

同学们，淘00宝00搜00店00铺春少爷33，美00鞋惊喜不断哦第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ; 注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++ (2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒=2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(,)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的?(1) yx z -=1解：x y =(2)xy xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， y y x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：x y zy x z yz x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x ∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x xz ++=解：(1z x∂==∂z y ∂=∂ (4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y xz cos sin =解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim 1y y y e z y∆∆→-==-∆3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y ∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22xz ∂∂，y x z∂∂∂2 解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆， 00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

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本答案由大学生必备网免费提供下载第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-解二：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)1limlim lim 4x y x y x y →→→===-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂==∂z y ∂==∂(4))ln(222z y x u ++= 解：222222222222,,u x u y u zx x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++(5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z uu u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)zx y x y x y x ∂=-++=-+∂ 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂(3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z ∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂ 由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

同济大学高等数学第六版作者答案详解1-8

（２）对 x ＝０，因为 f （０）无定义， lim x→ ０
30
x x ＝ lim ＝１，所以 x ＝０为第一类间 tan x x → ０ x
断点（可去间断点），重新定义函数： f １（ x）＝ x ， tan x x ≠ kπ ，kπ ＋ x＝０ π ，２（ k ∈ Z），
３１ f （ x０）＜ f （ x）＜ f （ x０）＜０．２２因此，不论 f （ x０）＞０或 f （ x０）＜０，总存在 x０的某一邻域 U （ x０），当 x ∈ U （ x０）时， f （ x） ≠ ０．
倡
７畅设 f （ x）＝ x ，x ∈ Q ，０，x ∈ Q ，
２
０≤ x≤１，１＜ x≤２；－１≤ x≤１， x＜－１或 x＞１．
２
图１－８
２－ x， x，１，
解（１） f （ x）在［０，１）及（１，２］内连续，在 x＝１处，
x→ １－ x→ １ x→ １ x→ １
故 f （ x）在 x ＝１处连续，因此 f （ x）在［０，２］上连续，函数的图形如图１－９所示．
C
32
证明：（１） f （ x）在 x ＝０连续；（２） f （ x）在非零的 x 处都不连续．证（１）橙 ε ＞０，取 δ ＝ ε，则当｜ x －０｜＝｜ x｜＜ δ 时，故 lim f （ x）＝ f （０），即 f （ x）在 x ＝０连续． x→ ０ | f （ x）－ f （０） | ＝ | f （ x） | ≤ | x | ＜ ε ，

（完整版）高数同济第六版下高等数学2第八章解答

（完整版）⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼋章解答习题8-1向量及其线性运算1.在yOz 平⾯上，求与三点(3,1,2)A 、(4,2,2)B --和(0,5,1)C 等距离的点。

2.设已知两点1(4,2,1)M 和2(3,0,2)M ，计算向量12M M u u u u u u r的模、⽅向余弦和⽅向⾓。

3. 设向量r r的模是4，它与u 轴的夹⾓是3π，求r r在u 轴上的投影。

4. 设358m i j k =++r r r r ，247n i j k =--r r r r 和54p i j k =+-r r r r ，求向量43a m n p =+-r r r r在 x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量。

5. 从点()2,1,7A -沿向量8912a i j k =+-rr r r⽅向取长为34的线段AB ，求点B 的坐标。

解设点B 的坐标为(),,x y z ，则()2,1,7AB x y z =-+-u u u r，且AB a λ=u u u r ，即28,19,712x y z λλλ-=+=-=-， ()()()()()()222222342178912AB x y z λλλ==-+++-=++-u u u r从⽽2λ=，所以点B 的坐标为()18,17,17-习题8-2数量积向量积1. 设32a i j k =--r r r r，2b i j k =+-r r r r ，求（1）a b r r g 及a b ?r r ；（2）(2)3a b -r r g 及2a b ?r r ；（3）a r 、b r的夹⾓的余弦。

2．已知1(1,1,2)M -、2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求与12M M u u u u u u r 、23M M u u u u u u r 同时垂直的单位向量。

3.求向量(4,3,4)a =-r在向量(2,2,1)b =r 上的投影。

4. 已知3OA i k =+u u u r r r 、3OB j k =+u u u r rr ，求OAB ?的⾯积。

同济大学第六版高等数学课后答案1-8

同济大学第六版高等数学课后答案1-8习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)?≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ; 解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)?>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f . 解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性.在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x , 所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2; 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点; 因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ? ? ?); 解函数在点x =k π(k ∈Z)和2 ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点; 因为1tan lim 0=→x x x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x(k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3)xy 1cos 2=, x =0; 解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数x y 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)?>-≤-=1 31 1x x x x y , x =1. 解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f n n 211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 <=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n n n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U 时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ? ? ?, ±n , n1±, ? ? ?是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ? ? ?, ±n , n1±, ? ? ?处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数∈-=Q Q x x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续. (3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数?-∈=Q Q x x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.。

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高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1?11? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ?B ?[?10? ?5)?A \B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)?2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明因为x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ?3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明(1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )?所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1?证明因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射?又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射?对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射?5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ?(2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ?证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?(2)由(1)知f ?1(f (A ))?A ?另一方面? 对于任意的x ?f ?1(f (A ))?存在y ?f (A )? 使f ?1(y )?x ?f (x )?y ? 因为y ?f (A )且f 是单射? 所以x ?A ? 这就证明了f ?1(f (A ))?A ? 因此f ?1(f (A ))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)23+=x y ?解由3x ?2?0得32->x ? 函数的定义域为) ,32[∞+-?(2)211xy -=?解由1?x 2?0得x ??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)211x x y --=?解由x ?0且1?x 2?0得函数的定义域D ?[?1? 0)?(0? 1]? (4)241x y -=? 解由4?x 2?0得 |x |?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)x y sin =?解由x ?0得函数的定义D ?[0? ??)? (6) y ?tan(x ?1)?解由21π≠+x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?(7) y ?arcsin(x ?3)?解由|x ?3|?1得函数的定义域D ?[2? 4]?(8)xx y 1arctan 3+-=?解由3?x ?0且x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? 3)? (9) y ?ln(x ?1)?解由x ?1?0得函数的定义域D ?(?1? ??)? (10)x e y 1=?解由x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? ??)?7? 下列各题中? 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )?lg x 2? g (x )?2lg x ? (2) f (x )?x ? g (x )?2x ? (3)334)(x x x f -=?31)(-=x x x g ?(4)f (x )?1? g (x )?sec 2x ?tan 2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?(2)不同? 因为对应法则不同? x ?0时? g (x )??x ? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?8? 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x ? 求)6(πϕ? )4(πϕ? )4(πϕ-? ?(?2)? 并作出函数y ??(x )的图形? 解 21|6sin |)6(==ππϕ? 22|4sin |)4(==ππϕ? 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ? 0)2(=-ϕ? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)x x y -=1? (??? 1)?(2)y ?x ?ln x ? (0? ??)?证明 (1)对于任意的x 1? x 2?(??? 1)? 有1?x 1?0? 1?x 2?0? 因为当x 1?x 2时? 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ? 所以函数x x y -=1在区间(??? 1)内是单调增加的?(2)对于任意的x 1? x 2?(0? ??)? 当x 1?x 2时? 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ? 所以函数y ?x ?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的?10? 设 f (x )为定义在(?l ? l )内的奇函数? 若f (x )在(0? l )内单调增加? 证明f (x )在(?l ? 0)内也单调增加?证明对于?x 1? x 2?(?l ? 0)且x 1?x 2? 有?x 1? ?x 2?(0? l )且?x 1??x 2?因为f (x )在(0? l )内单调增加且为奇函数? 所以f (?x 2)?f (?x 1)? ?f (x 2)??f (x 1)? f (x 2)?f (x 1)?这就证明了对于?x 1? x 2?(?l ? 0)? 有f (x 1)? f (x 2)? 所以f (x )在(?l ? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l ? l )上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?证明 (1)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?(2)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?[?f (x )][?g (x )]?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f (x )是偶函数? 而g (x )是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )[?g (x )]??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y ?x 2(1?x 2)? (2)y ?3x 2?x 3?(3)2211x x y +-=? (4)y ?x (x ?1)(x ?1)? (5)y ?sin x ?cos x ?1?(6)2x x a a y -+=? 解 (1)因为f (?x )?(?x )2[1?(?x )2]?x 2(1?x 2)?f (x )? 所以f (x )是偶函数? (2)由f (?x )?3(?x )2?(?x )3?3x 2?x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-? 所以f (x )是偶函数? (4)因为f (?x )?(?x )(?x ?1)(?x ?1)??x (x ?1)(x ?1)??f (x )? 所以f (x )是奇函数? (5)由f (?x )?sin(?x )?cos(?x )?1??sin x ?cos x ?1可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----? 所以f (x )是偶函数?13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y ?cos(x ?2)?解是周期函数? 周期为l ?2?? (2)y ?cos 4x ?解是周期函数? 周期为2π=l ?(3)y ?1?sin ?x ?解是周期函数? 周期为l ?2? (4)y ?x cos x ?解不是周期函数? (5)y ?sin 2x ?解是周期函数? 周期为l ??? 14? 求下列函数的反函数? (1)31+=x y ?解由31+=x y 得x ?y 3?1? 所以31+=x y 的反函数为y ?x 3?1? (2)xx y +-=11?解由x x y +-=11得y yx +-=11? 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11?(3)dcx b ax y ++=(ad ?bc ?0)?解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=? 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=?(4) y ?2sin3x ?解由y ?2sin 3x 得2arcsin 31yx =? 所以y ?2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =?(5) y ?1?ln(x ?2)?解由y ?1?ln(x ?2)得x ?e y ?1?2? 所以y ?1?ln(x ?2)的反函数为y ?e x ?1?2?(6)122+=xxy ? 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2? 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2?15? 设函数f (x )在数集X 上有定义? 试证? 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界?证明先证必要性? 设函数f (x )在X 上有界? 则存在正数M ? 使|f (x )|?M ? 即?M ?f (x )?M ? 这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M ?再证充分性? 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2? 即K 1?f (x )? K 2 ? 取M ?max{|K 1|? |K 2|}? 则 ?M ? K 1?f (x )? K 2?M ? 即 |f (x )|?M ?这就证明了f (x )在X 上有界?16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值?(1) y ?u 2? u ?sin x ? 61π=x ? 32π=x ?解 y ?sin 2x ? 41)21(6sin 221===πy ?43)23(3sin 222===πy ?(2) y ?sin u ? u ?2x ? 81π=x ?42π=x ?解 y ?sin2x ? 224sin )82sin(1==⋅=ππy ?12sin )42sin(2==⋅=ππy ? (3)u y =? u ?1?x 2? x 1?1? x 2? 2?解 21x y +=? 21121=+=y ? 52122=+=y ? (4) y ?e u ? u ?x 2? x 1 ?0? x 2?1? 解 2x e y =? 1201==e y ? e e y ==212?(5) y ?u 2 ? u ?e x ? x 1?1? x 2??1?解 y ?e 2x ? y 1?e 2?1?e 2? y 2?e 2?(?1)?e ?2?17? 设f (x )的定义域D ?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f (x 2)?解由0?x 2?1得|x |?1? 所以函数f (x 2)的定义域为[?1? 1]? (2) f (sin x )?解由0?sin x ?1得2n ??x ?(2n ?1)? (n ?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n ?? (2n ?1)?] (n ?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f (x ?a )(a >0)?解由0?x ?a ?1得?a ?x ?1?a ? 所以函数f (x ?a )的定义域为[?a ? 1?a ]? (4) f (x ?a )?f (x ?a )(a ?0)?解由0?x ?a ?1且0?x ?a ?1得? 当210≤<a 时? a ?x ?1?a ? 当21>a 时? 无解? 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ? 1?a ]? 当21>a 时函数无意义?18? 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f ? g (x )?e x ? 求f [g (x )]和g [f (x )]? 并作出这两个函数的图形? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f ? ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g ?19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时? 求湿周L (L ?AB ?BC ?CD )与水深h 之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37解 ο40sin h DC AB ==? 又从)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅-=ο40cot 0? 所以h h S L οο40sin 40cos 20-+=? 自变量h 的取值范围应由不等式组h ?0?040cot 0>⋅-h hS ο确定? 定义域为ο40cot 00S h <<?20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元? (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数? (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？解 (1)当0?x ?100时? p ?90?令0?01(x 0?100)?90?75? 得x 0?1600? 因此当x ?1600时? p ?75? 当100?x ?1600时?p ?90?(x ?100)?0?01?91?0? 01x ? 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p ? (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P ?(3) P ?31?1000?0?01?10002?21000(元)?习题1?21? 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势? 写出它们的极限? (1)nn x 21=?解当n ??时? nn x 21=?0? 021lim =∞→n n ? (2)nx n n 1)1(-=?解当n ??时? n x n n 1)1(-=?0? 01)1(lim =-∞→nn n ?(3)212nx n +=?解当n ??时? 212n x n +=?2? 2)12(lim 2=+∞→n n ? (4)11+-=n n x n ?解当n ??时? 12111+-=+-=n n n x n ?0? 111lim =+-∞→n n n ?(5) x n ?n (?1)n ?解当n ??时? x n ?n (?1)n 没有极限?2? 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=? 问n n x ∞→lim ?? 求出N ? 使当n ?N 时? x n 与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N ? 解 0lim =∞→n n x ?n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π? ?? ?0? 要使|x n ?0|?? ? 只要ε<n 1? 也就是ε1>n ? 取]1[ε=N ? 则?n ?N ? 有|x n ?0|?? ?当? ?0?001时? ]1[ε=N ?1000?3? 根据数列极限的定义证明?(1)01lim 2=∞→n n ?分析要使ε<=-221|01|n n ? 只须ε12>n ? 即ε1>n ? 证明因为???0? ?]1[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-|01|2n ? 所以01lim 2=∞→n n ?(2)231213lim =++∞→n n n ?分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|? 只须ε<n41? 即ε41>n ? 证明因为???0? ?]41[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-++|231213|n n ? 所以231213lim =++∞→n n n ?(3)1lim22=+∞→na n n ?分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|? 只须ε2a n >?证明因为???0? ?][2εa N =? 当?n ?N 时? 有ε<-+|1|22n a n ? 所以1lim 22=+∞→n a n n ?(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 分析要使|0?99 ? ? ? 9?1|ε<=-1101n ? 只须1101-n ?? ? 即ε1lg 1+>n ? 证明因为???0? ?]1lg 1[ε+=N ? 当?n ?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 4? a u n n =∞→lim ? 证明||||lim a u n n =∞→? 并举例说明? 如果数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限?证明因为a u n n =∞→lim ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有ε<-||a u n ? 从而||u n |?|a ||?|u n ?a |?? ?这就证明了||||lim a u n n =∞→?数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限? 例如1|)1(|lim =-∞→n n ? 但n n )1(lim -∞→不存在?5? 设数列{x n }有界? 又0lim =∞→n n y ? 证明? 0lim =∞→n n n y x ?证明因为数列{x n }有界? 所以存在M ? 使?n ?Z ? 有|x n |?M ?又0lim =∞→n n y ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有M y n ε<||? 从而当n ?N 时? 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|?所以0lim =∞→n n n y x ?6? 对于数列{x n }? 若x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 证明? x n ?a (n ??)?证明因为x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 所以???0? ?K 1? 当2k ?1?2K 1?1时? 有| x 2k ?1?a |?? ? ?K 2? 当2k ?2K 2时? 有|x 2k ?a |?? ?取N ?max{2K 1?1? 2K 2}? 只要n ?N ? 就有|x n ?a |?? ? 因此x n ?a (n ??)?习题1?31? 根据函数极限的定义证明? (1)8)13(lim 3=-→x x ?分析因为|(3x ?1)?8|?|3x ?9|?3|x ?3|? 所以要使|(3x ?1)?8|?? ? 只须ε31|3|<-x ?证明因为???0? ?εδ31=? 当0?|x ?3|??时? 有|(3x ?1)?8|?? ? 所以8)13(lim 3=-→x x ?(2)12)25(lim 2=+→x x ?分析因为|(5x ?2)?12|?|5x ?10|?5|x ?2|? 所以要使|(5x ?2)?12|?? ? 只须ε51|2|<-x ?证明因为?? ?0? ?εδ51=? 当0?|x ?2|??时? 有 |(5x ?2)?12|?? ? 所以12)25(lim 2=+→x x ?(3)424lim22-=+--→x x x ? 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ? 所以要使ε<--+-)4(242x x ? 只须ε<--|)2(|x ? 证明因为?? ?0? ?εδ=? 当0?|x ?(?2)|??时? 有ε<--+-)4(242x x ? 所以424lim22-=+--→x x x ? (4)21241lim 321=+--→x x x ? 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ? 所以要使ε<-+-212413x x ? 只须ε21|)21(|<--x ? 证明因为?? ?0? ?εδ21=? 当δ<--<|)21(|0x 时? 有ε<-+-212413x x ?所以21241lim 321=+--→x x x ?2? 根据函数极限的定义证明?(1)2121lim 33=+∞→x x x ? 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+? 所以要使ε<-+212133x x ? 只须ε<3||21x ? 即321||ε>x ? 证明因为?? ?0? ?321ε=X ? 当|x |?X 时? 有ε<-+212133x x ? 所以2121lim 33=+∞→x x x ? (2)0sin lim =+∞→xx x ?分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-?所以要使ε<-0sin x x ? 只须ε<x1? 即21ε>x ?证明因为???0? ?21ε=X ? 当x ?X 时? 有ε<-0sin xx ?所以0sin lim =+∞→xx x ?3? 当x ?2时? y ?x 2?4? 问?等于多少? 使当|x ?2|<?时? |y ?4|<0?001？解由于当x ?2时? |x ?2|?0? 故可设|x ?2|?1? 即1?x ?3? 要使|x 2?4|?|x ?2||x ?2|?5|x ?2|?0?001? 只要0002.05001.0|2|=<-x ?取??0?0002? 则当0?|x ?2|??时? 就有|x 2?4|?0? 001?4? 当x ??时? 13122→+-=x x y ? 问X 等于多少? 使当|x |?X 时? |y ?1|?0?01? 解要使01.034131222<+=-+-x x x ? 只要397301.04||=->x ? 故397=X ?5? 证明函数f (x )?|x |当x ?0时极限为零?证明因为|f (x )?0|?||x |?0|?|x |?|x ?0|? 所以要使|f (x )?0|??? 只须|x |???因为对???0? ????? 使当0?|x ?0|??? 时有 |f (x )?0|?||x |?0|??? 所以0||lim 0=→x x ?6? 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x ?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x ?0时的极限是否存在?证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ?11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ?)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-?所以极限)(lim 0x f x →存在?因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ?1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ?)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-?所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在?7? 证明? 若x ???及x ???时? 函数f (x )的极限都存在且都等于A ? 则A x f x =∞→)(lim ?证明因为A x f x =-∞→)(lim ? A x f x =+∞→)(lim ? 所以??>0??X 1?0? 使当x ??X 1时? 有|f (x )?A |?? ??X 2?0? 使当x ?X 2时? 有|f (x )?A |?? ?取X ?max{X 1? X 2}? 则当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ? 即A x f x =∞→)(lim ?8? 根据极限的定义证明? 函数f (x )当x ?x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?证明先证明必要性? 设f (x )?A (x ?x 0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x ?x 0|<? 时? 有 |f (x )?A |<? ?因此当x 0??<x <x 0和x 0<x <x 0?? 时都有 |f (x )?A |<? ?这说明f (x )当x ?x 0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f (x 0?0)?f (x 0?0)?A ? 则??>0? ??1>0? 使当x 0??1<x <x 0时? 有| f (x )?A <? ? ??2>0? 使当x 0<x <x 0+?2时? 有| f (x )?A |<? ?取??min{?1? ?2}? 则当0<|x ?x 0|<? 时? 有x 0??1<x <x 0及x 0<x <x 0+?2 ? 从而有 | f (x )?A |<? ? 即f (x )?A (x ?x 0)?9? 试给出x ??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?解 x ??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f (x )当x ??时的极限存在? 则存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ?证明设f (x )?A (x ??)? 则对于? ?1? ?X ?0? 当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ?1? 所以 |f (x )|?|f (x )?A ?A |?|f (x )?A |?|A |?1?|A |?这就是说存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ? 其中M ?1?|A |? 习题1?41? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解不一定?例如? 当x ?0时? ?(x )?2x ? ?(x )?3x 都是无穷小? 但32)()(lim0=→x x x βα? )()(x x βα不是无穷小?2? 根据定义证明?(1)392+-=x x y 当x ?3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x ?0时为无穷小?证明 (1)当x ?3时|3|39||2-=+-=x x x y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?3|??时? 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ?所以当x ?3时392+-=x x y 为无穷小? (2)当x ?0时|0||1sin |||||-≤=x xx y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?0|??时? 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ?所以当x ?0时xx y 1sin =为无穷小?3? 根据定义证明? 函数xx y 21+=为当x ?0时的无穷大? 问x 应满足什么条件? 能使|y |?104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ? 要使|y |?M ? 只须M x >-2||1? 即21||+<M x ?证明因为?M ?0? ?21+=M δ? 使当0?|x ?0|??时? 有M xx >+21?所以当x ?0时? 函数xx y 21+=是无穷大?取M ?104? 则21014+=δ? 当2101|0|04+<-<x 时? |y |?104? 4? 求下列极限并说明理由? (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20? 解 (1)因为xx x 1212+=+? 而当x ?? 时x 1是无穷小? 所以212lim =+∞→x x x ?(2)因为x xx +=--1112(x ?1)? 而当x ?0时x 为无穷小? 所以111lim 20=--→x x x ?解函数y ?x cos x 在(??? ??)内无界?这是因为?M ?0? 在(??? ??)内总能找到这样的x ? 使得|y (x )|?M ? 例如y (2k ?)?2k ? cos2k ??2k ? (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? 就有| y (2k ?)|?M ?当x ??? 时? 函数y ?x cos x 不是无穷大?这是因为?M ?0? 找不到这样一个时刻N ? 使对一切大于N 的x ? 都有|y (x )|?M ? 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?对任何大的N ? 当k 充分大时? 总有N k x >+=22ππ? 但|y (x )|?0?M ?7? 证明? 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当x ?0+时的无穷大?证明函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 这是因为?M ?0? 在(0? 1]中总可以找到点x k ? 使y (x k )?M ? 例如当221ππ+=k x k (k ?0? 1? 2? ? ? ?)时? 有22)(ππ+=k x y k ?当k 充分大时? y (x k )?M ?当x ?0+ 时? 函数xx y 1sin 1=不是无穷大? 这是因为?M ?0? 对所有的??0? 总可以找到这样的点x k ? 使0?x k ??? 但y (x k )?M ? 例如可取πk x k 21=(k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? x k ??? 但y (x k )?2k ?sin2k ??0?M ? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ?(3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?(6))112(lim 2xx x +-∞→? 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ? 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→?解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→? 解 2211)21(1lim )2141211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ?(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→?解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ? 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→? (6))112(lim 2x x x +-∞→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ?解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2xx x -+∞→? 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→?解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ?解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题 1?71? 当x ?0时? 2x ?x 2 与x 2?x 3相比? 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ?所以当x ?0时? x 2?x 3是高阶无穷小? 即x 2?x 3?o (2x ?x 2)?2? 当x ?1时? 无穷小1?x 和(1)1?x 3? (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和1?x 3是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和)1(212x -是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小?3? 证明? 当x ?0时? 有? (1) arctan x ~x ?(2)2~1sec 2x x -? 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示? 令y ?arctan x ? 则当x ?0时? y ?0)? 所以当x ?0时? arctan x ~x ?(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x ? 所以当x ?0时? 2~1sec 2x x -? 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1)xx x 23tan lim 0→?(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ? m 为正整数)?(3)x x x x 30sin sin tan lim -→? (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x ?解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x ?(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00? (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x ? (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x ?0)?23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x ?0)? x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x ?0)? 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x ?5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质? (1) ? ~? (自反性)?(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)? (3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)? 证明 (1)1lim =αα? 所以? ~? ?(2) 若? ~?? 则1lim =βα? 从而1lim=αβ? 因此?~? ? (3) 若? ~?? ?~?? 1lim limlim =⋅=βαγβγα? 因此?~?? 习题1?81? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ?解已知多项式函数是连续函数? 所以函数f (x )在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ? 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ?所以1)(lim 1=→x f x ? 从而函数f (x )在x ?1处是连续的?综上所述，函数f (x )在[0? 2]上是连续函数?(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f ?解只需考察函数在x ??1和x ?1处的连续性? 在x ??1处? 因为f (?1)??1? 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ?)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ?所以函数在x ??1处间断? 但右连续? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x ?f (1)? 11lim )(lim 11==++→→x x x f ?f (1)?所以函数在x ?1处连续?综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x ??1处间断? 但右连续?2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?(1)23122+--=x x x y ? x ?1? x ?2? 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y ? 因为函数在x ?2和x ?1处无定义? 所以x ?2和x ?1是函数的间断点?因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x ? 所以x ?2是函数的第二类间断点?因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x ? 所以x ?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? 在x ?1处?令y ??2? 则函数在x ?1处成为连续的?(2)x x y tan =? x ?k ? 2ππ+=k x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?解函数在点x ?k ?(k ?Z)和2ππ+=k x (k ?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间断点?因∞=→x x k x tan lim π(k ?0)? 故x ?k ?(k ?0)是第二类间断点?因为1tan lim0=→x x x ? 0tan lim2=+→xx k x ππ(k ?Z)? 所以x ?0和2 ππ+=k x (k ?Z) 是第一类间断点且是可去间断点?令y |x ?0?1? 则函数在x ?0处成为连续的?令2 ππ+=k x 时? y ?0? 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的?(3)xy 1cos 2=? x ?0?解因为函数x y 1cos 2=在x ?0处无定义? 所以x ?0是函数x y 1cos 2=的间断点? 又因为xx 1cos lim 20→不存在? 所以x ?0是函数的第二类间断点?(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y ? x ?1?解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ?2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1是函数的第一类不可去间断点?3? 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性? 若有间断点? 判别其类型? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n ? 在分段点x ??1处? 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ? 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ? 所以x ??1为函数的第一类不可去间断点?在分段点x ?1处? 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ? 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1为函数的第一类不可去间断点?4? 证明? 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)?0? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?证明不妨设f (x 0)>0? 因为f (x )在x 0连续? 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ? 由极限的局部保号性定理? 存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο? 使当x ?)(0x U ο时f (x )>0? 从而当x ?U (x 0)时? f (x )>0? 这就是说? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子?(1)x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?是f (x )的所有间断点? 且它们都是无穷间断点?解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?处是间断的?且这些点是函数的无穷间断点?(2)f (x )在R 上处处不连续? 但|f (x )|在R 上处处连续?解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续? 但|f (x )|?1在R 上处处连续?(3)f (x )在R 上处处有定义? 但仅在一点连续?解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义? 它只在x ?0处连续?习题1?91? 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间? 并求极限)(lim 0x f x →? )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →? 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ? 函数在(??? ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的? 所以函数f (x )的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?在函数的连续点x ?0处? 21)0()(lim 0==→f x f x ?在函数的间断点x ?2和x ??3处? ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ? 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x ?2? 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续? 证明函数?(x )?max{f (x )? g (x )}? ?(x )?min{f (x )? g (x )} 在点x 0也连续?证明已知)()(lim 00x f x f x x =→? )()(lim 00x g x g x x =→?可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ?因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ?因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=??(x 0)?所以?(x )在点x 0也连续?同理可证明?(x )在点x 0也连续? 3? 求下列极限? (1)52lim 20+-→x x x ?(2)34)2(sin lim x x π→?(3))2cos 2ln(lim 6x x π→?(4)xx x 11lim 0-+→?(5)145lim 1---→x x x x ?(6)a x a x a x --→sin sin lim ?(7))(lim 22x x x x x --++∞→?解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数? f (x )在点x ?0有定义? 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x ?(2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数? f (x )在点4π=x 有定义? 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x ?(3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数? f (x )在点6π=x 有定义? 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x ?(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x ?(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x ? (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=--⋅+=→→? (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x ?4? 求下列极限? (1)xx e 1lim∞→?(2)x x x sin ln lim 0→?(3)2)11(lim xx x +∞→? (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→?(5)21)63(lim -∞→++x x xx ? (6)xx x xx x -++-+→2sin 1sin 1tan 1lim?解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e ee xx x x ?(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x ?(3) []e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim ?(4) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim)tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→?(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x ? 因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ? 232163lim -=-⋅+-∞→x x x ?所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x ?(6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ 21)2(2lim 320=⋅=→xx x x ? 5? 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0)(x x a x e x f x ? 应当如何选择数a ? 使得f (x )成为在(??? ??)内的连续函数？解要使函数f (x )在(??? ??)内连续? 只须f (x )在x ?0处连续? 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0?因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f ? a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00? 所以只须取a ?1?习题1?101? 证明方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?证明设f (x )?x 5?3x ?1? 则f (x )是闭区间[1? 2]上的连续函数?因为f (1)??3? f (2)?25? f (1)f (2)?0? 所以由零点定理? 在(1? 2)内至少有一点? (1???2)? 使f (?)?0? 即x ?? 是方程x 5?3x ?1的介于1和2之间的根? 因此方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?2? 证明方程x ?a sin x ?b ? 其中a ?0? b ?0? 至少有一个正根? 并且它不超过a ?b ? 证明设f (x )?a sin x ?b ?x ? 则f (x )是[0? a ?b ]上的连续函数? f (0)?b ? f (a ?b )?a sin (a ?b )?b ?(a ?b )?a [sin(a ?b )?1]?0?若f (a ?b )?0? 则说明x ?a ?b 就是方程x ?a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?若f (a ?b )?0? 则f (0)f (a ?b )?0? 由零点定理? 至少存在一点??(0? a ?b )? 使f (?)?0? 这说明x ?? 也是方程x =a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?。

同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集word资料104页

同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。

解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。

证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。

3. 设映射f : X Y, A X, B X。

证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。

4。

设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。

证明：f 是双射，且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明因为对于任意的yY ，有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。

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|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
同济六版高等数学课后答案全集第一章习题 11 1 设 A( 5)(5 ) B[10 3) 写出 AB AB A\B 及 A\(A\B)的表达式解 AB( 3)(5 ) AB[10 5) A\B( 10)(5 ) A\(A\B)[10 5) 2 设 A、B 是任意两个集合证明对偶律 (AB)CAC BC 证明因为 x(AB)CxAB xA 或 xB xAC 或 xBC xAC BC (AB)CAC BC 所以 3 设映射 f X Y AX BX 证明 (1)f(AB)f(A)f(B) (2)f(AB)f(A)f(B) 证明因为 yf(AB)xAB 使 f(x)y (因为 xA 或 xB) yf(A)或 yf(B) 所以 yf(A)f(B) f(AB)f(A)f(B) (2)因为 yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) y f(A)f(B) f(AB)f(A)f(B) 所以 4 设映射 f XY 若存在一个映射 g YX 使 g f I X f g IY 其中 IX、 IY 分别是 X、Y 上的恒等映射即对于每一个 xX 有 IX xx 对于每一个 yY 有 IY yy 证明 f 是双射且 g 是 f 的逆映射 gf 1 证明因为对于任意的 yY 有 xg(y)X 且 f(x)f[g(y)]Iy yy 即 Y 中任意元素都是 X 中某元素的像所以 f 为 X 到 Y 的满射又因为对于任意的 x1x2 必有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1)f(x2)g[ f(x1)]g[f(x2)] x1x2 因此 f 既是单射又是满射即 f 是双射

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