信号与系统

H1(j) f (t) H2(j) C

A
B
1

-100 -80 80 100

D
1
E
y(t)

-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解：
1 FD ( j) [ FC ( 100) FC ( - 100)] 2
FD(j) 1/2 -200 -190 -10 0 10
1 d -1 2 A [ F ( z )(1 - 2 z ) ] -1 (-2) dz
z 2
-2
f [k ] [-2 2k - (k 1)2k 4 4k ]u[k ]
例：F ( z ) 解：
1 求不同收敛域对应的 f [k ] -1 -1 (1 - 2 z )(1 - 3z )
-< t <
2) 当c < 1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即 y(t)=0， -< t < Y ( j ) 0
例2 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-< t <，通过 线性相位理想低通滤波器 H ( j) p2c ()e - jtd 的响应。 解： Y ( j) H ( j)F ( j) p2 ()e
F(j)
- j td
Y(j)
c
π [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2 |H(j)|

/2
-3
-c
-1
1
c
3

-c

c

3) 当1 <c <3时， 只有c范围内的频率分量能通过系统，故 c 1 c 1 - jtd π Y ( j) [ pc -1 ( ) pc -1 ( )]e
解：
y[k ] 5(0.5)k u[k ] - (k 1)(0.5)k u[k ] - (-0.5)k u[k ]
5 1 1 Y ( z) -1 -1 2 1 - 0.5 z (1 - 0.5 z ) 1 0.5 z -1
3 0.5z -1 - 1.5z -2 -1 2 -1 (1 - 0.5z ) (1 0.5z )
2 2 2
由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得 c - 1 c - 1 c 1
y (t ) 2 Sa 2 (t - t d ) cos 2 (t - t d )
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
-10
10

190 200

例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
H1(j) f (t) H2(j) C

A
B
1

-100 -80 80 100

D
1
E
y(t)
Байду номын сангаас
-15 15
cos(100 t)
c
- j td
F(j)
π [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2 |H(j)|

/2
-3
-1
1
3

-c

c

1) 当c >3时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即
Y ( j) e
- j td
π [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2
y(t)= f(t-td) = Sa(t-td)cos[2( t-td)] ，
-1 -2
H(z)
2.5 - 1.25z -1 - 0.5 z -2 H ( z) 1 - 0.25z -2
A B C 解： F ( z ) -1 -1 2 1 - 2z (1 - 2 z ) 1 - 4 z -1
C (1 - 4z -1 )F ( z) z 4 4
-1 2
B (1 - 2z -1 ) 2 F ( z) z2 -1
-1 -1 2
(1 - 2 z ) F ( z )(1 - 2 z ) A(1 - 2 z ) B C 1 - 4 z -1
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[-1]=8，y[-2]=2,
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k]- 0.5k(0.5)k-1 u[k-1]-(-0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
解：对于初始状态为y[-1]=8, y[-2]=2的一般二阶系统
F(j) |H(j)| /2
-3
-1
1
3

-c

c

例2 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-< t <，通过 线性相位理想低通滤波器 H ( j) p2c ()e - jtd 的响应。 解： Y ( j) H ( j)F ( j) p2 ()e
H1(j) f (t) H2(j) C

A
B
1

-100 -80 80 100

D
1
E
y(t)

-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解： F ( j ) F[cos(100t )] A
π[ ( - 100) ( 100)]
() FA(j) ()
(3) |z|<2 ，F1(z)和 F2(z)均对应左边序列
f [k ] 2 k 1 u[-k - 1] - 3k 1 u[-k - 1]
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[-1]=8，y[-2]=2,
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k]- 0.5k(0.5)k-1 u[k-1]-(-0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
例2 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-< t <，通过 线性相位理想低通滤波器 H ( j) p2c ()e - jtd 的响应。 解： 因为
Sa(t ) π p2 ()
F
利用Fourier变换的频移特性，可得
π F ( j) [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2 - j td π Y ( j) H ( j) F ( j) p2c ()e [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2
H1(j) f (t) H2(j) C

A
B
1

-100 -80 80 100

D
1
E
y(t)

-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解：
FC ( j) FB ( j) H1 ( j)
1 -100 -90 0 FC(j)
-10 10

90 100

例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
F1(z)
F ( z) -2 3 1 - 2 z -1 1 - 3 z -1
F2(z)
(1) |z|>3 ，F1(z)和 F2(z)均对应右边序列
f [k ] (-2 k 1 3k 1 )u[k ]
(2) 2<|z|<3，F1(z)对应右边序列， F2(z) 对应左边序列
f [k ] -2 k 1 u[k ] - 3k 1 u[-k - 1]
cos(100 t)
F(j) 2
解： FE ( j) Y ( j) FD ( j) H 2 ( j)
FE(j) 1/2 -10 0 10
1 Y ( j ) F ( j ) 4

-10
10

1 y (t ) f (t ) 4
1 例 : F ( z) z > 4, 求f [k ] -1 2 -1 (1 - 2 z ) (1 - 4 z )
b0 b1 z -1 b2 z -2 - 8a1 - 2a2 - 8a2 z -1 Y ( z) X ( z) -1 -2 -1 -2 1 a1 z a2 z 1 a1 z a2 z
3 0.5z - 1.5z (1 - 0.5z -1 ) 2 (1 0.5z -1 )
-10
10

-100
0
100

例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
H1(j) f (t) H2(j) C 1 1

A
B

-100 -80 80 100

D
E
y(t)

-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解： FB ( j) 1 F ( j) * FA ( j) 2π 1 [ F ( - 100) F ( 100)] 2
1 -110 -100 -90 0 FB(j)
-10
10

90 100 110

例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。