2018-2019学年江苏省南通市通州区育才中学九年级(上)月考数学试卷(10月份)
通州区2018-2019学年度第一次模拟考试九年级数学
2019届初三年级中考适应性调研测试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相．．．．应位置．．．上） 1．－2的倒数是A ．2B ．21C ．21-D ．42．下列计算正确的是A ．()22x x -=-B ．532523x x x =+C ．()034≠=÷a a a aD ．()222y x y x +=+3．下列学生剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是4．计算32()a -的结果是66556．如图是两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是7．如图，已知∠C =∠E ，则不一定能使△ABC ∽△ADE 的条件是 A ．∠BAD =∠CAE B ．∠B =∠D C ．AE AC DE BC = D ．AEACAD AB =8．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，则下列结论中正确的是A ． 0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ． 0<cD ．3=x 是方程02=++c bx ax 的一个根 9．已知关于x 的函数y =k (x -1)和)0(≠-=k xky ,它们在同一坐标系内大致图象是图中的10．如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，将正方形ABCD 绕 点A 顺时针旋转45°，则阴影部分的面积为A ．222a B ．2)22(a - C ．223a D ．2)13(a -A ．B ．C ．D ．ABCED（第7题）′（第10题）A BC D（第6题）二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．已知a 是113+的整数部分，则a = ▲ ． 12．如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ， 若∠BOD =35°，则∠A 等于 ▲ °．13．我国“神舟八号”飞船在太空上飞行约11000000千米，用科学计数法表示11000000为 ▲ ．14．体育课上训练毽球，小明记录了自己6次练习的成绩，数据如下：13、11、13、10、13、12，则这组数据的众数是 ▲ ． 15．当12+=a ，12-=b 时，11a b-= ▲ ．16．已知21,x x 是关于x 的一元二次方程0122=--x x的两个实数根，则212221x x x x -+= ▲ ． 17．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，点C是劣弧AB 上的一个动点（点C 不与点A 、点B 重合），若∠P ＝30°，则∠ACB 的度数是 ▲ °． 18．如图，在反比例函数xy 6=上有两点A （3，2）， B （6，1），在直线x y -=上有一动点P ， 当P 点的坐标为 ▲ 时，P A +PB 有最小值．三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分8分）计算（1） ()20132221316)1(-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+- （2）（第17题）13160tan 123-⎪⎭⎫ ⎝⎛++--（第18题）20．（本小题满分10分）解方程（1）12123=----xxx （2）)1(412-=-x x21．（本小题满分9分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． （1）平移△AOB ，使得点A 移动到点D ，画出平移后的三角形（不写画法，保留画图痕迹）；（2）在第（1）题画好的图形中，除了菱形ABCD 外，还有哪种特殊的平行四边形？请给予证明．22．（本小题满分8分）自古以来，钓鱼岛及其附属岛屿都是我国固有领土。
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷
通州区2018— 2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷2019年1月、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项 ）1.如图，点 D 、E 分别在△ ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①/么硬币正面朝上的概率为1 C.—44.如图，数轴上有 A 、B 、C 三点，点A 、C 关于点B 对称，以原点 O 为圆心作圆,A 、B 、C 分别在O O 夕卜、O O 内、O O 上，那么原点那么/ ACB 的大小是 ② AE.DEAB BC③空AEAC.使厶ADE 与厶ACB 一定相似的是ABC .①③D .①②③2.如图，A 、B 、C 是半径为3•小王抛一枚质地均匀的硬币, 如果/ ACB=45 ° 那么AB 的长为连续抛 4次，硬币均正面朝上落地 •如果他再抛第 5次，那 ADE = / C ;如果点O 的位置应该在 A .点A 与点B 之间靠近A 点 B .点 A 与点B 之间靠近 C .点B 与点C 之间靠近B 点D .点 B 与点C 之间靠近5.如图，PA 和PB 是O O 的切线，点 A 和点B 为切点,AC 是O O 的直径.已知/ P=50 °A . 65 °C . 55°D . 50 °②③B . 60 °列关系式中正确的是8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线, 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间 x （单位：s ）近似满足函数关系 y 二ax 2 • bx • c a = 0 .如图记录了 3个时刻的数据，根据 函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻y(m)A . 4B . 4.514 ----二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段 BD 、CE 相交于点 A , DE // BC .如果AB=4, AD=2 , DE=1.5 , 那么BC 的长6.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点 B 、C ,测得/ a =30° / 3=45° 量得BC 长为80米. 如果设河的宽度为 x 米，那么下x 802xB .x 80x 807.体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛, 要求每班选派10名队员参加•下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断:①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同; ③两班学生成绩的众数相同.上述说法中，正确的序号是 A .①②B .①③C .②③D .①②③20 — 18 ----- O 3 57 x(S)-t二班一班2 3456789 10队员编号10 98 7 6 52成绩份为210.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 y = - x-1 4的图象如图，将二次函数2 2y = _(x —1 )十4的图象平移，使二次函数 y = —(x -1) +4的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法:11•如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,在直线与半圆相交于点 D 、E ，量出半径0C=5cm ，弦DE=8cm，则直尺的宽度为 12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战 •”某校倡导 学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课 外书籍情况统计表•请你根据统计表中提供的信息， 求出表中 a 、b 的值：a= _____ , b= ___ .13•中国一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民16.下面是 经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.(2)分别以点A 和点P 为圆心，大于 1 AP 的长为半径使其一边经过圆心 0,另一边所图书种类 频数 频率 科普常识 210b 名人传记 204 0.34 中外名著 a 0.25 其他360.06已知: 直线a 和直线外一点P • 求作: 直线a 的垂线，使它经过 P . 作法: 如图2.(1) 在直线a 上取一点A ,连接PA ;cm.2017 年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到 y 美元.设2017年到2019年该地件的a , b 的值：2作弧，两弧相交于 B , C 两点，连接BC 交PA 于点D ; (3)以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线 a 于点E (异于点A ),作直线PE .所以直线PE 就是所求作的垂线.请回答：该尺规作图的依据是 ___________________________________________________ . 三、解答题(本题共68分，第17 — 25题，每小题6分，第26— 27题，每小题7分)17•计算：4cos30n 一 3 °- -1 .19 .如图，在口 ABCD 中，连接DB , F 是边BC 上一点，连接 DF 并延长，交 AB 的延长线于 E ,且/ EDB = / A .(1) 求证：△ BDF BCD ;(2) 如果 BD =3-.5 , BC = 9，求 AB 的值. BEA B E20.如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 0,点E 是菱形外一点，DE // AC , CE / BD . (1) 求证：四边形 DEC0是矩形；18.已知:如图，AB 为O O 的直径, OD // AC.求证：点D 平分BC .B(2) 连接AE 交BD 于点F ，当/ ADB=30° DE= 2时，求AF 的长度.y 轴交于点B. (1) 求m 、k 的值;(2) 连接OA ，将△ AOB 沿射线BA 方向平移，平移后kB'，当点O'恰好落在反比例函数y k 0的图象上时，求点0'的坐标；x(3) 设点P 的坐标为(0, n )且0 ：：： n ：：： 4 ,过点P 作平行于x 轴的直线与直线 y = x • 2和k反比例函数y k 0的图象分别交于点x直接写出n 的取值范围.22 .如图，AB 为O O 的直径，C 、D 为O O 上不同于 A 、B 的两点，/ ABD=2 / BAC ，连接 CD ，过点C 作CE 丄DB ,垂足为E ,直径AB 与CE 的延长线相交于 F 点. (1) 求证：CF 是O O 的切线；18 3(2) 当 BD= , sinF 二—时，求 OF 的长.5 523. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课:21.如图，直线y = x 2与反比例函数k y k 0,xA 、0、B 的对应点分别为 A'、O'、A •书法；B •绘画；C .乐器;XA 0 )的图象交于点 A (2，m )，与FDD .舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门) •将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：(1) _________________________ 本次调查的学生共有 _________________ 人，扇形统计图中a 的度数是_______________________ ；(2) 请把条形统计图补充完整；(3) 学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A .书法；B .绘画；C .乐器；D .舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率.24. 如图，AB是O O的直径，点C是O O上一点，• CAB=30 , D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与O O的其中一个交点记为点 E (点E位于直线CD 上方或左侧)，连接EC .已知AB=6 cm，设A、D两点间的距离为x cm, C、D两点间的距离为y1cm, E、C两点间的距离为y2cm.小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1, y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小雪的探究过程：(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1, y2与x的几组对应y 2/cm 5.20 4.56 4.22 4.24 4.77 5.60 6.00 (2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点( x, ) , (x,(3)结合函数图象，解决问题：当_______________ NECD =60°时，AD的长度约为cm .225.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax -4ax m a = 0与x轴的交点为A、B，(点A在点B的左侧)，且AB=2.点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.26. 如图1 ,在正方形ABCD中，点F在边BC 上,过点F作EF丄BC,且FE=FC (CE<CB), 连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG.(1)______________________________________________________ 用等式表示线段BF与FG的数量关系是_________________________________________________ ;(2)将图1中的△ CEF绕点C按逆时针旋转，使△ CEF的顶点F恰好在正方形ABCD 的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF.①在图2中，依据题意补全图形;y2),并画出函数％的图象;(1) 求抛物线的对称轴及m的值(用含字母(2) 若抛物线y二ax2 -4ax • m a = 0与432y轴的交点在(0, -1)和(£a的代数式表示)；,0)之间，求a的取值范围; -4 -3 -2 -1 o-1(3) 横、纵坐标都是整数的点叫做整点. -2-3若抛物线在点A, B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整----------- ----------- J----------- 1----------- 1---------- 1 ---------- L ---------- 1 . Ji_ 0 123456xcm②求证：DF「2FG .A BA B27. 在平面直角坐标系xOy中，O C的半径为r，点P与圆心C不重合，给出如下定义：若在O C上存在一点M，使.MPC = 30，则称点P为O C的特征点.(1)当O O的半径为1时，如图1.①在点P l (-1, 0), P2 (1, J3), P3 (3, 0)中，0 O 的特征点是______________________ .②点P在直线y - - ,3x b上，若点P为O O的特征点，求b的取值范围.(2)如图2, O C的圆心在x轴上，半径为2，点A (-2, 0), B (0, 2罷).若线段AB。
江苏省南通市通州实验中学2019届九年级(上)月考数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省南通市通州实验中学九年级（上）月考数学试卷(时间:120分钟满分:120分)注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．正五边形2．下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（）A．（﹣1，4）B．（2，2） C．（﹣1，﹣4） D．（4，1）3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．44．抛物线y=x2+4x﹣5的对称轴为（）A．x=﹣4 B．x=4 C．x=﹣2 D．x=25．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°6．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．12π cm2B．15π cm2C．20π cm2D．25π cm27．如图，下列条件不能判定△ABD∽△CBA的是（）A．∠BAD=∠C B．∠ADB=∠BAC C．AB2=BD•BC D． =8．如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（）A．13π平方厘米B．π平方厘米 C．25π平方厘米D．无法计算9．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5 B．6 C．8 D．1010．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：（1）以A圆心，AB长为半径画弧；（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．①四边形ABCD是中心对称图形；②△ABC≌△ADC；③AC⊥BD且BE=DE；④BD平分∠ABC．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为．12．质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是奇数的概率为．13．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=54°，则∠BAC= °．14．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，则这栋楼的高度为m．15．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是．16．如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为y=x2+px+q，我们将p，q称为这个函数的特征数．例如二次函数y=x2﹣4x+2的特征数是﹣4，2．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2，3，将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图象所对应的函数的特征数为．17．如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为．18．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为．三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．20．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．21．已知反比例函数y=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y=﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．23．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．24．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．现在随机取出一把钥匙去开任意一把锁．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；（2）求一次打开锁的概率．25．如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分∠BAD．过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO．延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AE=DE=3，求AF的长．26．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点P、Q分别在AB、BC边上，且∠AQP=∠B．（1）求证：△BQP∽△CAQ；（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度数；（3）若在BC边上存在两个点Q，满足∠AQP=∠B，求BP长的取值范围．27．已知抛物线y=ax2+x+2．（1）当a=﹣1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）若代数式﹣x2+x+2的值为正整数，求x的值；（3）当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）．若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小．28．在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B，C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”．（1）若点A（﹣1，2），四边形ABCD为直线x=﹣1的“位置矩形”，则点D的坐标为；（2）若点A（1，2），求直线y=kx+1（k≠0）的“位置矩形”的面积；（3）若点A（1，﹣3），直线l的“位置矩形”面积的最大值为，此时点D的坐标为．2016-2017学年江苏省南通市通州实验中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．下列图形，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．正五边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（）A．（﹣1，4）B．（2，2） C．（﹣1，﹣4） D．（4，1）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可．【解答】解：A、∵当x=﹣1时，y=﹣=4，∴此点在函数图象上，故本选项正确；B、∵当x=﹣1时，y=﹣=﹣2≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；C、∵当x=﹣1时，y=﹣=4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；D、∵当x=4时，y=﹣=﹣1≠1，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，故选：B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．4．抛物线y=x2+4x﹣5的对称轴为（）A．x=﹣4 B．x=4 C．x=﹣2 D．x=2【考点】二次函数的性质．【分析】先根据抛物线的解析式得出a、b的值，再根据其对称轴方程即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为y=x2+4x﹣5，∴a=，b=4，∴其对称轴直线x=﹣=﹣=﹣4．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线线x=﹣是解答此题的关键．5．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．65°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】先根据旋转的性质得∠ACA′=35°，∠A=∠A′，然后利用互余计算出∠A′的度数，从而得到∠A的度数．【解答】解：∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°得到△A′B′C，∴∠ACA′=35°，∠A=∠A′，∵∠A′DC=90°，∴∠A′=90°﹣35°=55°，∴∠A=55°．故选C．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则这个圆锥的侧面积为（）A．12π cm2B．15π cm2C．20π cm2D．25π cm2【考点】圆锥的计算．【分析】首先根据勾股定理求得底面半径，则可以得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：底面半径是： =3，则底面周长是6π，则圆锥的侧面积是：×6π×5=15π．故选B．【点评】考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．7．如图，下列条件不能判定△ABD∽△CBA的是（）A．∠BAD=∠C B．∠ADB=∠BAC C．AB2=BD•BC D． =【考点】相似三角形的判定．【分析】由∠B是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵∠B是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠BAC时，△ABD∽△CBA（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当时，即AB2=BD•BC，则△ABD∽△CBA（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故C正确；当时，∠B不是夹角，故不能判定△ABD与△CBA相似，故D错误．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．8．如图所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，则阴影部分面积为（）A．13π平方厘米B．π平方厘米 C．25π平方厘米D．无法计算【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【专题】数形结合．【分析】阴影部分的面积=梯形ABCG的面积+扇形GCE的面积﹣三角形ABE的面积，据此解答即可．【解答】解：解：S阴影=S梯形ABCG+S扇形GCE﹣S△ABE=×（7+10）×7+π×102﹣×7×（7+10），=25π平方厘米．故选C．【点评】此题考查了扇形的面积计算，解决此题的关键是把阴影部分分成常见的平面图形的和与差，进一步求得面积．9．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5 B．6 C．8 D．10【考点】正多边形和圆．【分析】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．【解答】解：根据题意得：正六边形的面积=6×2=12，故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积=12﹣2=10；故选：D．【点评】本题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键．10．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：（1）以A圆心，AB长为半径画弧；（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．①四边形ABCD是中心对称图形；②△ABC≌△ADC；③AC⊥BD且BE=DE；④BD平分∠ABC．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；中心对称图形．【专题】作图题．【分析】利用作法可判断ACAC垂直平分BD，则可对①③进行判断；利用“SSS”可对③进行判断；通过说明∠ABD≠∠CBD可对④进行判断．【解答】解：由作法得AB=AD，CB=CD，则AC垂直平分BD，点B与点D关于点E对称，而点A与点C不关于E对称，所以①错误，③正确；利用AB=AC，CD=CB，AC为公共边，所以△ABC≌△ADC，所以②正确；由于AD与BC不平行，则∠ADB≠∠CBD，而∠ADB=∠ABD，则∠ABD≠∠CBD，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为﹣1 ．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的两个根为a、b，由根与系数的关系找出a+b=﹣3，代入a=﹣2即可得出b值．【解答】解：设方程的两个根为a、b，∴a+b=﹣3，∵方程的一根a=﹣2，∴b=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了跟与系数的关系，根据方程的系数找出a+b=﹣3时解题的关键．12．质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字是奇数的概率为．【考点】概率公式．【分析】根据概率公式知，骰子共有六个面，其中有一个面上有数字6，故掷该骰子一次，则可得向上一面的数字是奇数的概率．【解答】解：骰子的六个面上分别刻有数字1，2，3，4，5，6六个数字，所以掷该骰子一次，向上一面的数字是奇数的概率是．故答案为：．【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=54°，则∠BAC= 36 °．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得到∠B=∠ADC=54°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠B=∠ADC=54°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=36°，故答案为：36．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半和半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．14．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，则这栋楼的高度为36 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【解答】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴=，解得h=36（m）．故答案为：36．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．15．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是12 ．【考点】位似变换．【分析】根据位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比是1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比是1：4，又△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12，故答案为：12．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为y=x2+px+q，我们将p，q称为这个函数的特征数．例如二次函数y=x2﹣4x+2的特征数是﹣4，2．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2，3，将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图象所对应的函数的特征数为6，8 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】新定义．【分析】首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案．【解答】解：特征数是2，3的函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，其顶点坐标是（﹣1，2），将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后的顶点坐标是（﹣3，﹣1），所以平移后的函数解析式为：y=（x+3）2﹣1=x2+6x+8，那么此时得到的图象所对应的函数的特征数为 6，8．故答案是：6，8．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．17．如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=1：3，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，那么的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】由BD：DC=1：3，可设BD=a，则CD=3a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，再通过证明△BMD∽△CDN即可证明AM：AN的值．【解答】解：∵BD：DC=1：3，∴设BD=a，则CD=3a，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=4a，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AM=DM，AN=DN，∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，∴∠NDC=∠BMD，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△BMD∽△CDN，∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）=AM：AN，即AM：AN=5：7，故答案为．【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为．【考点】切线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】计算题．【分析】过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，易得四边形AOGO′为矩形，得到O′G=AO=5，根据折叠的性质得与为等弧，则它们所在圆的半径相等，再利用经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心得到点O′为所在圆的圆心，则可判断点O与点O′关于EF对称，所以OO′⊥EF，OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，接着证明Rt△OEH∽Rt△OO′A，然后利用相似比可计算出x．【解答】解：过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结O O′交EF于H，则四边形AOGO′为矩形，∴O′G=AO=6，∵沿EF折叠后所得得圆弧恰好与半径OB相切于点G，∴与所在圆的半径相等，∴点O′为所在圆的圆心，∴点O与点O′关于EF对称，∴OO′⊥EF，OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，∵∠EOH=∠O′OA，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴=，即=，解得x=，即O到折痕EF的距离为．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了折叠的性质．三、解答题（本大题共10小题，共96分．）19．已知二次函数y=x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将解析式化为y=（x﹣h）2+k的形式；（2）求这个函数图象与x轴的交点坐标．【考点】二次函数的三种形式．【分析】（1）利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可；（2）令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）y=（x2﹣2x+1）﹣4=（x﹣1）2﹣4；（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，∴这条抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式以及求抛物线与x轴的交点坐标，正确利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．20．如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角得到∠DAE=∠DCB，由圆周角定理得到∠DAC=∠DBC，等量代换得到∠DCB=∠DBC，根据等腰三角形的性质得到答案．【解答】证明：∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，∴∠DAE=∠DCB，又∠DAE=∠DAC，∴∠DCB=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．21．已知反比例函数y=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y=﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由反比例函数y=的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；（2）先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y=中，即可求出m的值．【解答】解：（1）∵在反比例函数y=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m﹣5＜0，解得：m＜5；（2）将y=3代入y=﹣x+1中，得：x=﹣2，∴反比例函数y=图象与一次函数y=﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．将（﹣2，3）代入y=得：3=解得：m=﹣1．【点评】本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．22．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；（2）易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，则∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF 的度数．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．【点评】此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．23．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．【考点】旋转的性质．【分析】（1）先利用直角三角形的性质，求出∠BAD，再由平行得到∠ADF′即可；（2）先求出∠ADF′，再判断△ADF′≌△BDE′即可．【解答】解：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°，（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．【点评】此题是旋转性质题，主要考查了旋转角，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是旋转角的计算．24．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．现在随机取出一把钥匙去开任意一把锁．（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；（2）求一次打开锁的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图，可求得一次打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）设两把不同的锁为A 、B ，能把两锁打开的钥匙分别为a 、b ，第三把钥匙为c ，根据题意，可以画出如下树形图：由上图可知，上述试验所有可能结果分别为Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ．（2）由（1）可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有6种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果的可能性相等．∴P （一次打开锁）==．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比25．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分∠BAD ．过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO ．延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AE=DE=3，求AF 的长．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠CDO=∠CBO=90°，由△COB ≌△COD 即可解决问题．（2）先证明∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30，在RT △AEF 中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，连接OD ．∵BC为圆O的切线，∴∠CBD=90°．∵AO平分∠BAD，∴∠OAB=∠OBA．∵OA=OB=OD，∴∠OAB=∠ABO=∠OAF=∠ODA，∴∠BOC=∠DOC，在△COB和△COD中，，∴BOC≌△DOC，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵AE=DE，∴=，∴∠DAE=∠ABO，∴∠BAO=∠OAD=∠ABO∴∠BAO=∠OAD=∠DAE，∵BE是直径，∴∠BAE=90°，∴∠BAO=∠OAD=∠DAE=∠ABO=30°，∴∠AFE=90°，在RT△AFE中，∵AE=3，∠DAE=30°，∴EF=AE=，∴AF==．【点评】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，发现特殊角30°，属于中考常考题型．26．如图，△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点P、Q分别在AB、BC边上，且∠AQP=∠B．（1）求证：△BQP∽△CAQ；（2）若BP=4.5，求∠BPQ的度数；（3）若在BC边上存在两个点Q，满足∠AQP=∠B，求BP长的取值范围．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角的性质得到∠PQB=∠CAQ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据相似三角形的性质求出BQ=6，根据等腰三角形的三线合一得到∠CQA=90°，根据相似三角形的性质得到答案；（3）设BQ=x，BP=m，根据相似三角形的性质得到一元二次方程，根据题意和根的判别式计算即可．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AQP=∠B．∴∠AQP=∠C．又∵∠AQB=∠AQP+∠PQB，∠AQB=∠CAQ+∠C，∴∠PQB=∠CAQ．∴△BQP∽△CAQ．（2）∵△BQP∽△CAQ，∴=．∴=，解得BQ=6．∵BC=12，∴BQ=CQ=6．又∵AB=AC，∴AQ⊥BC，∴∠CQA=90°．∵△BQP∽△CAQ，∴∠BPQ=∠CQA=90°．（3）∵△BQP∽△CAQ，∴=．设BQ=x，BP=m，则=，整理得 x2﹣12x+8m=0．∵在BC边上存在两个点Q，∴方程有两个不相等的正实数根，∴△=122﹣32m＞0，解得 m＜，∴BP长的取值范围为0＜BP＜．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及一元二次方程根的判别式的应用，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．27．已知抛物线y=ax2+x+2．（1）当a=﹣1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）若代数式﹣x2+x+2的值为正整数，求x的值；（3）当a=a1时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a2时，抛物线y=ax2+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）．若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）将a的值代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式，用配方法或公式法可求出抛物线的顶点坐标和对称轴解析式．（2）可先得出y的值，然后解方程求解即可．。
江苏省南通市 九年级(上)月考数学试卷(9月份)
九年级（上）月考数学试卷（9月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=-35（x+12）2-3的顶点坐标是（ ）A. (12,−3)B. (−12,−3)C. (12,3)D. (−12,3)2.若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（ ）A. 3B. 2.5C. 2D. 14.若m，n是方程x2-x-2015=0的两根，则mn的值为（ ）A. 2014B. −2015C. 2015D. −20145.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（ ）A. −8B. 8C. ±8D. 66.设A（-3，y1），B（-2，y2），C（12，y3）是抛物线y=（x+1）2-m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y27.已知二次函数y=-（x-b）2+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）A. b≥−1B. b≤−1C. b≥1D. b≤18.如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（）A. 20∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘9.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 1010.已知直线y=-3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=-13（x-3）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.二次函数y=（x+1）2-3最小值为______．12.在半径为3cm的⊙O中，弦AB=32cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为______°．13.将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．14.半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为______cm．15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象经过______象限．16.求二次函数y=x2-2x-3（-2≤x≤2）的y的取值范围______．17.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③4a-2b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的是______．18.如图，已知AB=4，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过29元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）求y与x的函数关系式．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？（3）该天水果的售价为多少元时获利最大？最大利润为多少？四、解答题（本大题共9小题，共86.0分）20.解方程：（1）（3x-1）2=（x+1）2（2）2x2+1=3x21.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(-4，-2)，请直接写出直线l的函数表达式．22.抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．（1）求出m的值；（2）求抛物线与x轴的交点；（3）当x取什么值时，y＜0？23.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？24.如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，AE=BF，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．25.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．26.已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x…012345…y…410149…（1）当x=-1时，y的值为______；（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系是______；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式：______；（4）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函数y=ax2+bx+c 的图象上，问：当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？27.已知，抛物线y=ax2-bx+c（m≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）（1）若h=-1，k=1，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=mx2（m≠0）也经过点A，求ma的值；（3）若点A在抛物线y=x2-x上，用a的代数式表示h．28.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：y=-（x+）2-3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-，-3）．故选：B．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】C【解析】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选：C．由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．3.【答案】C【解析】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5-x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5-x）2∴x=2，∴CD=2，故选：C．根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：∵m，n是方程x2-x-2015=0的两根，∴mn=-2015，故选：B．由韦达定理可直接得出答案．本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，则x1+x2=-，x1•x2=．解题时要注意这两个关系的合理应用．5.【答案】B【解析】解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，△=m2-4×2×8=0，解得m=±8，∵对称轴为直线x=-＜0，∴m＞0，∴m的值为8．故选：B．根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出m的值，再根据对称轴在y 轴的左边求出m的取值范围，从而得解．本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数．6.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=（x+1）2-m，∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，当x＜-1时，y随x的增大而较小，∵A（-3，y1），B（-2，y2），C（，y3）是抛物线y=（x+1）2-m上的三点，-1-（-3）=2，-1-（-2）=1，-（-1）=，∴y1＞y3＞y2，故选：B．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=-（x-b）2+c，∴当x＞b时，y的值随x值的增大而减小，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1，故选：D．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到b的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【解析】解：连结OD，如图，则∠DOC=70°-45°=25°，∠AOD=160°-70°=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=45°，∵∠ADO=∠B+∠DOB，∴∠B=45°-25°=20°．故选：A．连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，所以∠B=45°-25°=20°．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．9.【答案】C【解析】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE===3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选：C．过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E 的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．10.【答案】A【解析】解：以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y=-x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y=-x+3中y=0，则-x+3=0，∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令y=-（x-）2+4中y=0，则-（x-）2+4=0，解得：x=-，或x=3．∴点E的坐标为（-，0），点F的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N 三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选：A．以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=-x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P点坐标，但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．11.【答案】-3【解析】解：根据二次函数的性质可知，二次函数y=（x+1）2-3最小值为-3，故答案为：-3．根据二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．12.【答案】90【解析】解：∵OA=OB=3，AB=3，∵OA2+OB2=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°，故答案为：90．已知一个三角形三边，先看三边是否符合勾股定理的逆定理，如果符合，则该三角形为直角三角形．此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据已知三角形求边长，一般是利用勾股定理的逆定理解答．13.【答案】y=-x2+2【解析】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴将二次函数y=-x2+2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图象表达式为y=-（x-1+1）2+4-2，即y=-x2+2．故答案为y=-x2+2．先运用配方法将y=-x2+2x+3写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．14.【答案】3【解析】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．15.【答案】一、二、四【解析】解：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=-，∴b＜0，∴一次函数y=bx+a的图象经过二、一、四象限，故答案为一、二、四．根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＜0，从而确定出一次函数图象经过的象限．本题考查了二次函数图象，一次函数图象，此类题目通常根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键．16.【答案】-4≤y≤5【解析】解：∵二次函数y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵-2≤x≤2，1-（-2）=3，2-1=1，∴当x=-2时，函数取得最大值，当x=1时，函数取得最小值，当x=-2时，y=5，当x=1时，y=-4，∴二次函数y=x2-2x-3（-2≤x≤2）的y的取值范围是-4≤y≤5，故答案为：-4≤y≤5．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得x的取值范围．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】①②③④【解析】解：函数图象与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，所以①正确，由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，所以②正确，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③正确，∵该函数的对称轴为x=1，当x=-1时，y＜0，∴当x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确，故答案为：①②③④．根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18.【答案】3【解析】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=（2-a），∴MN===，∴a=时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，故答案为．连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=（2-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．19.【答案】解：（1）把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y=kx+b，解得：函数表达式为y=-2x+80，（20≤x≤29）；（2）设：利润为W=（x-20）y=-2（x-20）（x-40）=150，解得：x=25或x=35（舍去），答：某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元；（3）w=-2（x-20）（x-40），函数的对称轴为x=30，而20≤x≤29，故x=29时，函数取得最大值，此时，W=198，故：水果的售价为29元时获利最大，最大利润198元．【解析】（1）把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y=kx+b，即可求解；（2）利润W=（x-20）y=-2（x-20）（x-40）=150，即可求解；（3）w=-2（x-20）（x-40），求最大值即可．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．20.【答案】解：（1）（3x-1）2=（x+1）2则[（3x-1）+（x+1）][（3x-1）-（x+1）]=0，故4x（2x-2）=0，解得：x1=0，x2=1；（2）2x2+1=3x2x2-3x+1=0，（2x-1）（x-1）=0，解得：x1=1，x2=12．【解析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；（2）利用十字相乘法分解因式解方程即可．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．21.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（-1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（-3，-2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（-4，-2），所以直线l的函数解析式为y=-x，【解析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；（3）根据对称的特点解答即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．22.【答案】解：（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m得m=3，即m的值为3；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+3，当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；（3）当x＜-1或x＞3时，y＜0．【解析】（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m可求出m的值；（2）由（1）得抛物线解析式为y=-x2+2x+3，然后解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．23.【答案】解：（1）∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．【解析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF-OE=13-5=8m，然后利用，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．24.【答案】证明：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵AE=BF，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∠A=∠BOA=OB∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．【解析】连接OA、OB，根据半径相等得到∠A=∠B，根据等弧所对的圆周角相等得到∠AOC=∠BOD，根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质证明结论．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵方程x2+3x+m-1=0的两个实数根，∴△=32-4（m-1）=13-4m≥0，解得：m≤134．（2）∵方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=-3，x1x2=m-1．∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，即-6+（m-1）+10=0，∴m=-3．【解析】（1）由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=m-1，结合2（x1+x2）+x1x2+10=0可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2（x1+x2）+x1x2+10=0，找出关于m的一元一次方程．26.【答案】9 y1＜y2y=（x-5）2或y=x2-10x+25【解析】解：（1）根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∴x=-1与x=5时的函数值相等，∵x=5时，y=9，∴x=-1时，y=9；（2）∵当1＜x1＜2时，函数值y1小于1；当3＜x2＜4时，函数值y2大于1，∴y1＜y2；（3）∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，0），∴可设此二次函数的顶点式为y=a（x-2）2，将点（0，4）代入，得a（0-2）2=4，解得a=1，∴y=（x-2）2，∴将y=（x-2）2的图象沿x轴向右平移3个单位，所对应的函数关系式为y=（x-2-3）2，即y=（x-5）2或y=x2-10x+25；（4）当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．理由如下：∵y=（x-2）2，∴y1=（m-2）2，y2=（m-1）2，y3=m2，∵m＜-3，∴y1＞y2＞y3＞0，m+3＜0，m-1＜-4＜0，∵y2+y3-y1=（m-1）2+m2-（m-2）2=m2+2m-3=（m+3）（m-1），∴y2+y3-y1＞0，∴y2+y3＞y1，∴当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．故答案为9；y1＜y2；y=（x-5）2或y=x2-10x+25．（1）先根据图表，当x=1和x=3时，所对应的y值相等，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再由二次函数的对称性可知，x=-1与x=5时的函数值相等，即为9；（2）由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1；当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小；（3）先求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再根据图象平移“左加右减、上加下减”的规律即可写出沿x轴向右平移3个单位的函数解析式；（4）先将点P1、P2、P3的坐标代入y=（x-2）2，得到y1=（m-2）2，y2=（m-1）2，y3=m2，再根据不等式的性质及m＜-3得出y1＞y2＞y3＞0，m+3＜0，m-1＜0，然后判断y2+y3-y1＞0，即y2+y3＞y1，根据三角形三边关系定理即可得出当m ＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象的平移规律，不等式的性质，三角形三边关系定理等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）还可以将表格中任意三点的坐标代入求出二次函数的解析式，（4）中先判断出y1＞y2＞y3＞0是利用三角形三边关系定理的前提条件，一般地，在检验三条线段能否组成一个三角形时，其简便做法就是看两条较短边的和是否大于第三边．27.【答案】解：（1）∵顶点为A（-1，1），设抛物线为y=a（x+1）2+1，∵抛物线经过原点，∴0=a（0+1）2+1，∴a=-1，∴抛物线解析式为y=-x2-2x．（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=-b2a，∴b=-2ah，∴y=ax2-2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=0−4a2h24a=-ah2，抛物线y=mx2（m≠0）也经过点A，∴-ah2=mh2，∴-a=m，∴ma=-1；（3）由（2）可知抛物线的顶点为（h，-ah2），点A在抛物线y=x2-x上，∴-ah2=h2-h，∴h=1a+1．【解析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x-1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=-，b=-2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h 表示），又抛物线y=mx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据（2）求得的顶点，代入y=x2-x，整理即可解决问题．本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解方程等知识，本题属于中档题．28.【答案】解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．∴a+b=39a+3b=1，解得a=−43b=133，∴抛物线的表达式为：y=-43x2+133x．（2）存在．设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=13，∴直线OD解析式为y=13x．设点M的横坐标为x，则M（x，13x），N（x，-43x2+133x），∴MN=|y M-y N|=|13x-（-43x2+133x）|=|43x2-4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|43x2-4x|=3．若43x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0，解得：x=3+322或x=3−322；若43x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0，解得：x=32．∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：32或3+322或3−322．（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=13x．如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，13+13t），C′（1+t，3-t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．∴E（43t，0）．联立y=3x-4t与y=13x，解得x=32t，∴P（32t，12t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=12t．∴S=S△OFQ-S△OEP=12OF•FQ-12OE•PG=12（1+t）（13+13t）-12•43t•12t=-16（t-1）2+13当t=1时，S有最大值为13．∴S的最大值为13．【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=-（t-1）2+；当t=1时，s有最大值为．本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．。
育才中学数学第一月考试卷(含答案)
育才中学数学第一月考试卷（含答案）第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．钟表在1点30分时，它的时针和分针所成的角度是（ ）A ．135°B ．125°C ．145°D ．115°2．若一个棱柱有10个顶点，则下列说法正确的是( )A ．这个棱柱有4个侧面B ．这个棱柱有5个侧面C ．这个棱柱的底面是十边形D ．这个棱柱是一个十棱柱3、在有理数-3， 0， 23， -85， 3.7中，属于非负数的个数有（ ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．下列说法正确的是( )A ．一个数的绝对值一定比0大B ．一个数的相反数一定比它本身小C ．绝对值等于它本身的数一定是正数D ．最小的正整数是15．在下列代数式中，次数为3的单项式是………………………………………………………（ ）A ．xy 2B ．x 3＋y 3C ．23D ．3xy6．|a|=a,则a （ ）A ． a ＜0B ． a ＞0C ． a =0D ． a 07．如图，数轴上每相邻两点之间相距1个单位长度，点A 对应的数为a ，B 对应的数为b ，且b －2a ＝7，那么数轴上原点的位置在…………………………………………（ ）A.点A B .点B C.点C D.点D……… 70°8．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是……………………………………………………………( )A．85°B．160°C．125°D．105°9．已知x=1是关于x的方程2-ax=x+a的解，则a的值是（）A．B．C．D．110、火车票上的车次号有两个意义：一是数字越小表示车速越快，1～98次为特快列车，101～198次为直快列车，301～398次为普快列车，401～598次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，其中单数表示从北京开出，双数表示开往北京。
江苏省南通市通州区2018-2019学年上九年级期中数学试卷
江苏省南通市通州区2018-2019学年上九年级期中数学试卷一、选择题1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是( )A. B. C. D.2.下列图案是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.抛物线y=x2-2的顶点坐标是( )A. B. C. D.4.下列事件中，是随机事件的是( )A. 任意画一个三角形，其内角和是B. 通常加热到时，水沸腾C. 太阳从东方升起D. 购买一张彩票，中奖5.下列各点中，抛物线y=x2-4x-4经过点是( )A. B. C. D.6.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为( )A. B. C. D.7.已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为( )A. B. C. D.8.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的()A. MB. PC. QD. R9.距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )A. B. 3 C. D.10.已知二次函数y=a(x-h)2+k图象经过点(x1，y1)和点(x2，y2)，若|x1-h|＜|x2-h|，则下列结论正确的是( )A. B.C D.二、填空题11.点(-1，-2)关于原点O对称的点的坐标是______．12.若⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为4，则点A在⊙O______(填“内”、“上”或“外”)．13.若x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根，则x1+x2=______．14.10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是______．15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，∠ACB=______度．16.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-3，0)、(1，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______．17.飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t﹣1.5t2．飞机着陆后滑行_____秒才能停下来．18.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，设∠A=α，则∠E+∠F=______(用含α的式子表示)．三、解答题19.解方程：(1)x2-2x=1；(2)x(2x-3)=4x-6．20.已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．21.如图，点C在⊙O上，弦AB⊥OC，垂足为D，AB=8，CD=2．求⊙O半径．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过两个确定点A、B，其中A为顶点，B为抛物线与y轴的交点．(1)由抛物线的性质可知，该抛物线还经过一个确定点C，请写出找点C的方法(不要求画图)；(2)若A(1，4)、B(0，3)，求抛物线的解析式．23.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1，2，3，随机摸取一个小球，然后放回，再随机摸出一个小球，用列表或画树状图的方法，求两次取出的小球的标号的和等于4的概率．24.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．(1)求∠P的度数；(2)若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．25.某商品的进价为每件20元，市场调查反映，若按每件30元销售，每天可销售100件；若销售单价每上涨1元，每天的销售就减少5件．(1)设每天该商品的销售利润为y元，销售单价为x元(x≥30)，求y与x的函数解析式；(2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？26.对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值，在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．(1)判断函数y=有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度．(2)函数y=3x2-bx．①若其不变长度为零，求b值；②若2≤b≤5，求其不变长度q的取值范围．27.已知，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，点A在半径为5的⊙O上，点O在直线l 上．(1)如图①，若⊙O经过点C，交BC于点D，求CD的长．(2)在(1)的条件下，若BC边交l于点E，OE=2，求BE的长．(3)如图②，若直线l还经过点C，BC是⊙O 的切线，F为切点，则CF的长为____．28.在平面直角坐标系xOy中，点P(2，-2)在二次函数y=x2+mx+n(m＞0)的图象上．(1)若m-n=3，求m、n的值．(2)若该二次函数的图象与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，则OA=OB成立吗？请说明理由．(3)若该二次函数图象向左平移k个单位，再向上平移4m个单位，所得函数图象仍经过点P，当k≥-2时，求所得函数图象的顶点纵坐标的取值范围．江苏省常州市天宁区正衡中学2018-2019年度九年级下学期中考模拟试卷数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）2.下列运算正确的是（）b3.如图所示的几何题是由4个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（）【A】【B】【C】【D】4.为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随机调查了该小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（）【A】极差是6【B】众数是7【C】中位数是8【D】平均数是105.下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1>x2时，满足y1＜y2的是（）【A】y＝−3x＋2【B】y＝2x＋1【答案】A【分析】本题一次函数和反比例函数的性质。
江苏省南通市 九年级(上)月考数学试卷(9月份)
九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=-35（x+12）2-3的顶点坐标是（）A. (12,−3)B. (−12,−3)C. (12,3)D. (−12,3)2.若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A. 3B. 2.5C. 2D. 14.若m，n是方程x2-x-2015=0的两根，则mn的值为（）A. 2014B. −2015C. 2015D. −20145.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A. −8B. 8C. ±8D. 66.设A（-3，y1），B（-2，y2），C（12，y3）是抛物线y=（x+1）2-m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y27.已知二次函数y=-（x-b）2+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A. b≥−1B. b≤−1C. b≥1D. b≤18.如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（）A. 20∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘9.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A. 4B. 6C. 8D. 1010.已知直线y=-3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=-13（x-3）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.二次函数y=（x+1）2-3最小值为______．12.在半径为3cm的⊙O中，弦AB=32cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为______°．13.将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．14.半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为______cm．15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象经过______象限．16.求二次函数y=x2-2x-3（-2≤x≤2）的y的取值范围______．17.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③4a-2b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的是______．18.如图，已知AB=4，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过29元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？（3）该天水果的售价为多少元时获利最大？最大利润为多少？四、解答题（本大题共9小题，共86.0分）20.解方程：（1）（3x-1）2=（x+1）2（2）2x2+1=3x21.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(-4，-2)，请直接写出直线l的函数表达式．22.抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．（1）求出m的值；（2）求抛物线与x轴的交点；（3）当x取什么值时，y＜0？23.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？24.如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，AE=BF，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．25.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．26.2（1）当x=-1时，y的值为______；（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系是______；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式：______；（4）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函数y=ax2+bx+c 的图象上，问：当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？27.已知，抛物线y=ax2-bx+c（m≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）（1）若h=-1，k=1，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=mx2（m≠0）也经过点A，求ma的值；（3）若点A在抛物线y=x2-x上，用a的代数式表示h．28.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：y=-（x+）2-3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-，-3）．故选：B．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】C【解析】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选：C．由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．3.【答案】C【解析】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5-x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5-x）2∴x=2，∴CD=2，故选：C．根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：∵m，n是方程x2-x-2015=0的两根，∴mn=-2015，故选：B．由韦达定理可直接得出答案．本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，则x1+x2=-，x1•x2=．解题时要注意这两个关系的合理应用．5.【答案】B【解析】解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，△=m2-4×2×8=0，解得m=±8，∵对称轴为直线x=-＜0，∴m＞0，∴m的值为8．故选：B．根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出m的值，再根据对称轴在y 轴的左边求出m的取值范围，从而得解．本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数．6.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=（x+1）2-m，∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，当x＜-1时，y随x的增大而较小，∵A（-3，y1），B（-2，y2），C（，y3）是抛物线y=（x+1）2-m上的三点，-1-（-3）=2，-1-（-2）=1，-（-1）=，∴y1＞y3＞y2，故选：B．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=-（x-b）2+c，∴当x＞b时，y的值随x值的增大而减小，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1，故选：D．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到b的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】A【解析】解：连结OD，如图，则∠DOC=70°-45°=25°，∠AOD=160°-70°=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=45°，∵∠ADO=∠B+∠DOB，∴∠B=45°-25°=20°．故选：A．连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，所以∠B=45°-25°=20°．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．9.【答案】C【解析】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE===3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选：C．过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E 的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．10.【答案】A【解析】解：以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y=-x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y=-x+3中y=0，则-x+3=0，解得：x=，∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令y=-（x-）2+4中y=0，则-（x-）2+4=0，解得：x=-，或x=3．∴点E的坐标为（-，0），点F的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选：A．以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=-x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P点坐标，但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．11.【答案】-3【解析】解：根据二次函数的性质可知，二次函数y=（x+1）2-3最小值为-3，故答案为：-3．根据二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．12.【答案】90【解析】解：∵OA=OB=3，AB=3，∵OA2+OB2=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°，故答案为：90．已知一个三角形三边，先看三边是否符合勾股定理的逆定理，如果符合，则该三角形为直角三角形．此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据已知三角形求边长，一般是利用勾股定理的逆定理解答．13.【答案】y=-x2+2【解析】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴将二次函数y=-x2+2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图象表达式为y=-（x-1+1）2+4-2，即y=-x2+2．故答案为y=-x2+2．先运用配方法将y=-x2+2x+3写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．14.【答案】3【解析】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．15.【答案】一、二、四【解析】解：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=-，∴b＜0，∴一次函数y=bx+a的图象经过二、一、四象限，故答案为一、二、四．根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＜0，从而确定出一次函数图象经过的象限．本题考查了二次函数图象，一次函数图象，此类题目通常根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键．16.【答案】-4≤y≤5【解析】解：∵二次函数y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∵-2≤x≤2，1-（-2）=3，2-1=1，∴当x=-2时，函数取得最大值，当x=1时，函数取得最小值，当x=-2时，y=5，当x=1时，y=-4，∴二次函数y=x2-2x-3（-2≤x≤2）的y的取值范围是-4≤y≤5，故答案为：-4≤y≤5．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得x的取值范围．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】①②③④【解析】解：函数图象与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，所以①正确，由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，所以②正确，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③正确，∵该函数的对称轴为x=1，当x=-1时，y＜0，∴当x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确，故答案为：①②③④．根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18.【答案】3【解析】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=（2-a），∴MN===，∴a=时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，故答案为．连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=（2-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．19.【答案】解：（1）把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y=kx+b，解得：函数表达式为y=-2x+80，（20≤x≤29）；（2）设：利润为W=（x-20）y=-2（x-20）（x-40）=150，解得：x=25或x=35（舍去），答：某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元；（3）w=-2（x-20）（x-40），函数的对称轴为x=30，而20≤x≤29，故x=29时，函数取得最大值，此时，W=198，故：水果的售价为29元时获利最大，最大利润198元．【解析】（1）把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y=kx+b，即可求解；（2）利润W=（x-20）y=-2（x-20）（x-40）=150，即可求解；（3）w=-2（x-20）（x-40），求最大值即可．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．20.【答案】解：（1）（3x-1）2=（x+1）2则[（3x-1）+（x+1）][（3x-1）-（x+1）]=0，故4x（2x-2）=0，解得：x1=0，x2=1；（2）2x2+1=3x2x2-3x+1=0，（2x-1）（x-1）=0，解得：x1=1，x2=12．【解析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；（2）利用十字相乘法分解因式解方程即可．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．21.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（-1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（-3，-2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（-4，-2），所以直线l的函数解析式为y=-x，【解析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描（3）根据对称的特点解答即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．22.【答案】解：（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m得m=3，即m的值为3；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+3，当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；（3）当x＜-1或x＞3时，y＜0．【解析】（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m可求出m的值；（2）由（1）得抛物线解析式为y=-x2+2x+3，然后解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．23.【答案】解：（1）∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF-OE=13-5=8m，然后利用，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．24.【答案】证明：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵AE=BF，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∠A=∠BOA=OB∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．【解析】连接OA、OB，根据半径相等得到∠A=∠B，根据等弧所对的圆周角相等得到∠AOC=∠BOD，根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质证明结论．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵方程x2+3x+m-1=0的两个实数根，∴△=32-4（m-1）=13-4m≥0，解得：m≤134．（2）∵方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=-3，x1x2=m-1．∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，即-6+（m-1）+10=0，∴m=-3．【解析】（1）由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=m-1，结合2（x1+x2）本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2（x1+x2）+x1x2+10=0，找出关于m的一元一次方程．26.【答案】9 y1＜y2y=（x-5）2或y=x2-10x+25【解析】解：（1）根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∴x=-1与x=5时的函数值相等，∵x=5时，y=9，∴x=-1时，y=9；（2）∵当1＜x1＜2时，函数值y1小于1；当3＜x2＜4时，函数值y2大于1，∴y1＜y2；（3）∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，0），∴可设此二次函数的顶点式为y=a（x-2）2，将点（0，4）代入，得a（0-2）2=4，解得a=1，∴y=（x-2）2，∴将y=（x-2）2的图象沿x轴向右平移3个单位，所对应的函数关系式为y=（x-2-3）2，即y=（x-5）2或y=x2-10x+25；（4）当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．理由如下：∵y=（x-2）2，∴y1=（m-2）2，y2=（m-1）2，y3=m2，∵m＜-3，∵y2+y3-y1=（m-1）2+m2-（m-2）2=m2+2m-3=（m+3）（m-1），∴y2+y3-y1＞0，∴y2+y3＞y1，∴当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．故答案为9；y1＜y2；y=（x-5）2或y=x2-10x+25．（1）先根据图表，当x=1和x=3时，所对应的y值相等，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再由二次函数的对称性可知，x=-1与x=5时的函数值相等，即为9；（2）由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1；当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小；（3）先求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再根据图象平移“左加右减、上加下减”的规律即可写出沿x轴向右平移3个单位的函数解析式；（4）先将点P1、P2、P3的坐标代入y=（x-2）2，得到y1=（m-2）2，y2=（m-1）2，y3=m2，再根据不等式的性质及m＜-3得出y1＞y2＞y3＞0，m+3＜0，m-1＜0，然后判断y2+y3-y1＞0，即y2+y3＞y1，根据三角形三边关系定理即可得出当m ＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象的平移规律，不等式的性质，三角形三边关系定理等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）还可以将表格中任意三点的坐标代入求出二次函数的解析式，（4）中先判断出y1＞y2＞y3＞0是利用三角形三边关系定理的前提条件，一般地，在检验三条线段能否组成一个三角形时，其简便做法就是看两条较短边的和是否大于第三边．27.【答案】解：（1）∵顶点为A（-1，1），设抛物线为y=a（x+1）2+1，∵抛物线经过原点，∴0=a（0+1）2+1，∴a=-1，（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=-b2a，∴b=-2ah，∴y=ax2-2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=0−4a2h24a=-ah2，抛物线y=mx2（m≠0）也经过点A，∴-ah2=mh2，∴-a=m，∴ma=-1；（3）由（2）可知抛物线的顶点为（h，-ah2），点A在抛物线y=x2-x上，∴-ah2=h2-h，∴h=1a+1．【解析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x-1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=-，b=-2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=mx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据（2）求得的顶点，代入y=x2-x，整理即可解决问题．本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解方程等知识，本题属于中档题．28.【答案】解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．∴a+b=39a+3b=1，解得a=−43b=133，∴抛物线的表达式为：y=-43x2+133x．（2）存在．设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=13，∴直线OD解析式为y=13x．设点M的横坐标为x，则M（x，13x），N（x，-43x2+133x），∴MN=|y M-y N|=|13x-（-43x2+133x）|=|43x2-4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|43x2-4x|=3．若43x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0，解得：x=3+322或x=3−322；若43x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0，解得：x=32．∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：32或3+322或3−322．（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=13x．如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，13+13t），C′（1+t，3-t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．∴E（43t，0）．联立y=3x-4t与y=13x，解得x=32t，∴P（32t，12t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=12t．∴S=S△OFQ-S△OEP=12OF•FQ-12OE•PG=12（1+t）（13+13t）-12•43t•12t=-16（t-1）2+13当t=1时，S有最大值为13．∴S的最大值为13．【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=-（t-1）2+；当t=1时，s有最大值为．本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．。
2019届江苏省九年级上学期第一次月考数学试卷【含答案及解析】(3)
6.如图，点P是OO直径AB的延长线上一点，PC切OO于点C,已知0B=3 PB=2则PC等 于（）
A. 2B.3C.4D.5
7.如图，若点O是厶AC内心，/ABC=80°,ZACB=60。则/度数为()
A. 140°造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知
16.若四边形ABCD是圆内接四边形，且/BAC=120°，则/BDC=
17.如下图所示，一圆弧过方格的格点AB C,试在方格中建立平面直角坐标系，使点
A的坐标为（-2，4）,则该圆弧所在圆的圆心 坐标是
三、解答题
fa;土6）
18•对于实数a,b,定义运算“*”：••例如4*2,因为4>2,所
L■和■沖■卜仃・靠朴
（1）通过计算（结果保留根号与n）•
（1）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为
（□）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为
（川）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬 纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并 求出此时圆形硬纸板的直径.
26.(10分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查 表明：这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个.
(1)没有涨价前每台利润是元，月销售利润是元.
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润。这种台灯的售价应定为多少？这时应进台 灯多少个？
27.（10分））阅读下面的材料，回答问题：
10.写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：
江苏省南通市通州区2018-2019学年(上)期末学业水平质量监测九年级数学试题
（2）该产品第一年的利润为24万元，那么该产品第一年的售价是多少？
（3）第二年，该公司将第一年的利润24万元（24万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为3元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过10万件．请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元．
18.在平面直角坐标系xoy中，若直线 （ 为常数， ）与抛物线 相交于A，B两点，且OA⊥OB，则 的值为______。
三．解答题
19.（1）计算： ；
（2）解方程：
20.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E。求证： .
21.第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，求下列事件的概率：
15.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是 。飞机着陆到停下来滑行了_______m。
16.已知底面半径为4cm，母线长为12cm的圆锥，则它的侧面展开图的圆心角为_____。
17.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E。若AB=12，BM=5，则DE的长为______。
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？（结果保留根号）
24.已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,−6),与x轴的一个交点坐标是A(−2,0).
(1)求抛物线的顶点D的坐标；
(2)将此图象沿x轴向左平移2个单位长度，直接写出y<0时x的取值范围.
2018~2019通州区九年级数学第一学期期末数学试题及参考答案
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项） 1．如图，点D 、E 分别在△ABC 的AB 、AC 边上，下列条件中：①∠ADE =∠C ； ②AE DE AB BC =；③AD AEAC AB=. 使△ADE 与△ACB 一定相似的是 A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③2. 如图，A 、B 、C 是半径为4的⊙O 上的三点. 如果∠ACB =45°，那么AB 的长为 A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3. 小王抛一枚质地均匀的硬币，连续抛4次，硬币均正面朝上落地. 如果他再抛第5次，那么硬币正面朝上的概率为 A ．1B ．12C ．14D ．154．如图，数轴上有A 、B 、C 三点，点A 、C 关于点B 对称，以原点O 为圆心作圆，如果点A 、B 、C 分别在⊙O 外、⊙O 内、⊙O 上，那么原点O 的位置应该在 A ．点A 与点B 之间靠近A 点B ．点A 与点B 之间靠近B 点C ．点B 与点C 之间靠近B 点D ．点B与点C 之间靠近C 点5. 如图，PA 和PB 是⊙O的切线，点A 和点B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 已知∠P =50°，那么∠ACB 的大小是 A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°6. 如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点B 、C ，测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC 长为80米．如果设河的宽度为x 米，那么下列关系式中正确的是 A ．1802x x =+ B ．180xx =+ C．802x x =+ D．80x x =+7. 体育节中，某学校组织九年级学生举行定点投篮比赛， 要求每班选派10名队员参加．下面是一班和二班 参赛队员定点投篮比赛成绩的折线统计图（每人投 篮10次，每投中1次记1分），请根据图中信息判断：①二班学生比一班学生的成绩稳定；②两班学生成绩的中位数相同；③两班学生成绩的众数相同. 上述说法中，正确的序号是 A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间x （单位：s ）近似满足函数关系()20y ax bx c a =++≠．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x 是A ．4B ．4.5C ．5D ．6二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB =4，AD =2，DE =1.5， 那么BC 的长为_________．s )10.在平面直角坐标系xOy)214-+的图象如图，将二次函数()214yx =--+的图象平移，使二次函数()214y x =--+的图象的最高点与坐标原点重合，请写出一种平移方法：__________________________________________. 11.如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O ，另一边所在直线与半圆相交于点D 、E ，量出半径OC =5cm ，弦DE =8cm ，则直尺的宽度为____cm. 12. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战.”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表. 请你根据统计表中提供的信息，求出表中a 、b 的值：a = ，b = ．13．中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到y 美元. 设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系式是________________________.14. 如图，直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，AC 边长为10 cm. 现从下往上依次裁剪宽为4 cm 的矩形纸条， 如果剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么BC 的长 度是____cm ．15. 已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a ，b 的值：a =______，b =________.16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程． 已知：直线a 和直线外一点P ． 求作：直线a 的垂线，使它经过P ．作法：如图2.（1）在直线a 上取一点A ，连接PA ；（2）分别以点A 和点P 为圆心，大于12AP 的长为半径作弧，两弧相交于B ，C 两点，连接BC 交PA 于点D ； （3）以点D 为圆心，DP 为半径作圆，交直线a 于点E （异于点A ），作直线PE ．所以直线PE 就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17．计算：(4cos30π1︒+-.18. 已知:如图，AB 为⊙O 的直径，OD ∥AC . 求证：点D 平分BC .19．如图，在□ABCD 中，连接DB ，F 是边BC 上一点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于E ，且∠EDB =∠A ．（1）求证：△BDF ∽△BCD ；（2）如果BD =9BC =，求ABBE的值．图1aaP20. 如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是菱形外一点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形DECO 是矩形；（2）连接AE 交BD 于点F ，当∠ADB =30°，DE=2时，求AF 的长度．21．如图，直线2y x =+与反比例函数()00ky k x x=>>，的图象交于点A （2，m ），与y 轴交于点B . （1）求m 、k 的值；（2）连接OA ，将△AOB 沿射线BA 方向平移，平移后A 、O 、B 的对应点分别为A'、O'、B'，当点O'恰好落在反比例函数()0ky k x=>的图象上时，求点O' 的坐标； （3）设点P 的坐标为（0，n ）且04n <<，过点P 作平行于x 轴的直线与直线2y x =+和反比例函数()0ky k x=>的图象分别交于点C ，D ，当C 、D 间距离小于或等于4时，直接写出n 的取值范围．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD =2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点． （1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）当185BD=，3sin 5F=时，求OF 的长．23. 为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_______人，扇形统计图中α的度数是_______； （2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2018年度校园文化艺术节，决定从A ．书法；B ．绘画；C ．乐器；D ．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与乐器组合在一起的概率．24．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，30CAB ∠=︒，D 是直径AB 上一动点，连接CD 并过点D 作CD 的垂线，与⊙O 的其中一个交点记为点E （点E 位于直线CD 上方或左侧），连接EC ．已知AB =6 cm ，设A 、D 两点间的距离为x cm ，C 、D 两点间的距离为1y cm ，E 、C 两点间的距离为2y cm ．小雪根据学习函数的经验，分别对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小雪的探究过程：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应学生选修课程条形统计图学生选修课程扇形统计图值，请将表格补充完整；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当60ECD ∠=︒时，AD 的长度约为________cm ． 25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax ax m a =-+≠与x 轴的交点为A 、B ，（点A 在点B 的左侧），且AB =2.（1）求抛物线的对称轴及m 的值(用含字母a（2）若抛物线()240y ax ax m a =-+≠与y a的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．26. 如图1，在正方形ABCD 中，点F 在边BC 上，过点F 作EF ⊥BC ，且FE =FC （CE <CB ），连接CE 、AE ，点G 是AE 的中点，连接FG .（1）用等式表示线段BF 与FG 的数量关系是___________________；（2）将图1中的△CEF 绕点C 按逆时针旋转，使△CEF 的顶点F 恰好在正方形ABCD 的y 2cm6543对角线AC 上，点G 仍是AE 的中点，连接FG 、DF .①在图2中，依据题意补全图形； ②求证:DF =.27. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，点P 与圆心C 不重合，给出如下定义：若在⊙C 上存在一点M ，使30MPC ∠=︒，则称点P 为⊙C 的特征点． （1）当⊙O 的半径为1时，如图1.①在点P 1（-1，0），P 2（1，P 3（3，0）中，⊙O 的特征点是______________．②点P 在直线y b =+上，若点P 为⊙O 的特征点，求b 的取值范围．（2）如图2，⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，点A （-2，0），B （0，．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的特征点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．图2图1通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 3 10. 向左平移1个单位，再向下平移4个单位（答案不唯一） 11. 312. 150，0.3513. ()23001y x =+ 14. 20 15. 1，2（答案不唯一） 16. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直径所对的圆周角是直角，两点确定一条直线 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=411+-， ………………… 4分 =11-，=0. ………………… 6分18． 证明：连接CB . ………………… 1分∵AB 为⊙O 的直径，∴90ACB ∠=︒. ………………… 3分 ∵OD ∥AC ，∴OD ⊥CB ，. ………………… 5分∴点D 平分BC . ………………… 6分 另证：可以连接OC 或AD .19. （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AE ，A C ∠=∠，AB =DC . (1)分∵EDB A ∠=∠，∴EDB C ∠=∠. …………………2分∵DBF CBD ∠=∠，∴△BDF ∽△BCD .…………………3分（2）解：∵△BDF ∽△BCD ，∴BF BDBD BC=. ………………… 4分=. ∴5BF =. …………………5分∵DC ∥AE ， ∴△DFC ∽△EFB . ∴CF DCBF BE=. ∴45AB BE =. ………………… 6分20. （1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD . ………………1分∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形DECO 是平行四边形.∴四边形DECO 是矩形. ………………2分（2）解： ∵四边形ABCD 是菱形，∴ AO OC =. ∵四边形DECO 是矩形， ∴DE OC =.∴2DE AO ==. (3)分∵DE ∥AC ， ∴OAF DEF ∠=∠. ∵AFO EFD ∠=∠，∴△AFO ≌△EFD .∴OF DF =. ……………… 4分 在Rt △ADO 中，tan OAADB DO∠=.∴2DO =.∴DO = (5)分∴FO .∴AF ===. ………………6分方法二：∴△AFO ≌△EFD .∴AF =FE.在Rt △ACE 中，AC =4，CE =OD =∴AE =∴AF =12AE 21. 解：（1）∵直线2y x =+过点A （2，m ），∴224m =+=. (1)分∴点A （2，4）. 把A （2，4）代入函数ky x=中， ∴42k =. ∴8k =. ……………… 2分 （2）∵△AOB 沿射线BA 方向平移，∴直线OO' 的表达式为y x =. ……………… 3分∴,8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩.解得x =. ……………… 4分 ∴点O'的坐标为（. ……………… 5分（3）24n <≤. ……………… 6分22． （1）证明：连接OC .∵CB CB =，∴2BOC BAC ∠=∠. ……………… 1分 ∵∠ABD =2∠BAC ， ∴BOC ABD ∠=∠.∴BD ∥OC . ……………… 2分 ∵CE ⊥DB ，∴CE ⊥OC . ……………… 3分 ∴CF 是⊙O 的切线.（2）解：连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD . ∵CE ⊥DB ， ∴AD ∥CF .∴F BAD∠=∠. ………………4分在Rt△ABD中，∴3 sin sin5BDF=BADAB∠==.∴183 55 AB=.∴6AB=. ………………5分∴3OC=.在Rt△COF中，∴3 sin5OCFOF==.∴335 OF=.∴5OF=. ………………6分另解：过点O作OG⊥DB于点G.23. 解：（1）40，108︒；………………2分（2）条形统计图补充正确；………………4分（3）列表法或画树状图正确：………………5分∴P （AC ）=126=. ……………… 6分24. 解：（1）3，3 ……………… 2分（2） ……………… 4分 （3）4.5 或6 ……………… 6分25.解：（1）对称轴为直线422ax a-=-=. ……………… 1分 ∵AB =2，点A 在点B 的左侧，∴A ()10,，B ()30,把A （1，0）代入()240y ax ax m a =-+≠中，∴3m a =. ……………… 2分（2）∵抛物线()2430y ax ax a a =-+≠与y 轴的交点在（0，-1）和（0，0）之间，∴0a <. ………………3分当抛物线()2430y ax ax a a =-+≠经过点（0，-1）时，可得13a =-. ∴a 的取值范围是103a -<<. ……………… 4分（3）32a -<-≤或2<3a ≤. ………………6分26. （1）BF =． ……………… 1分 （2）①依据题意补全图形； ……………… 3分②证明：如图，连接BF 、GB .∵四边形ABCD 是正方形，y 2cm65432∴AD =AB ，90ABC BAD ∠=∠=︒，AC 平分BAD ∠. ∴45BAC DAC ∠=∠=︒. 在△ADF 和△ABF 中，AD AB DAC BAC AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ADF ≌△ABF . ……………… 4分 ∴DF BF =.∵EF ⊥AC ，90ABC ∠=︒，点G 是AE 的中点，∴AG EG BG FG ===. ………………5分∴点A 、F 、E 、B 在以点G 为圆心，AG 长为半径的圆上. ∵BF BF =，45BAC ∠=︒，∴290BGF BAC ∠=∠=︒. ………………6分∴△BGF 是等腰直角三角形.∴BF .∴DF =. ………………7分27. 解：（1） P 1，P 2．……………… 2分②当0b >时，设直线y b =+与以2为半径的⊙O 相切于点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点F . ∴E （0，b ），F（3b ，0），OC ⊥EF .∴3tan 3OF FEO OE b ∠===. ∴30FEO ∠=︒. (3)∵1sin 2OC FEO OE ∠==， ∴212b =. ∴4b =. ……………… 4分 当0b <时，由对称性可知：4b =-. ……………… 5分 ∴b 的取值范围是44b -≤≤． ……………… 6分 （2）∴m 的取值范围为22m -<≤. ……………… 7分。
通州区2018—2019学年第一学期九年级期末学业水平质量检测
初三第一学期期末学业水平调研数学2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线()213y x =-+的顶点坐标为A ．()1,3B ． ()1,3-C ．()1,3--D ．()3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()43P ，，OPA ．35B ．45 C3．方程230x x -+=的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 当B ，C ，A ¢在一条直线上时，三角板ABC A ．150° B ．120°C ．60°D ．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数y 的面积为 A ．1 C ．3 6．如图，在△若:=2:3AD AB A ．2:3B 7．图1边缘的端点A 与B PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，图1 图2EDC BA．cmB．cm C ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy数一定小于1的是A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与y =取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点()24A ，△OAB 缩小得到△OA B ⅱ.若B '的坐标为()20，，则点A '的坐标为．14．已知1(1)y ，-，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y =上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：()cos452sin302-+-o o ．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ??，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长．19．已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y（1A ．1100y x =C ．13+2002y x =- （2）利用（121．① 作射线OP ；②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ； ③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ； ④作直线PC ； 则直线PC 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：OD C B A证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC =90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长．参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin 53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan 53° 1.33≈．23（1）求k （2）设点P ． ①若②若24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．25AB 交于点F ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844y x ax a =-+-，(1,0),(,0)A N n -． （1）当1a =时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB ②直接写出∠BDC 的度数（用含α（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD（3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 图1 图 2图328．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a =-，3b =时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．B图1 图2（1）图1（2 （3），若结论正②⊙T 的取值范围.初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分）ABCD第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。
2018—2019学年通州区初三数学第一学期期中学业水平质量检测卷 2018.11
通州区2018—2019学年第一学期九年级期中学业水平质量检测数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分.每小题只有一个正确选项） 1．如果14b a b =-，那么ab的值为 A ．5 B ．15C ．3D ．132. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y x x =-的图象与x 轴的交点坐标是 A ．（0，0）B ．（4，0）C ．（4，0）、（0，0）D ．（2，0）、（2-，0）3．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA =3OC ，OB =3OD ），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当CD =1.8 cm 时，那么AB 的长为 A ．7.2 cm B ．5.4 cmC ．3.6 cmD ．0.6 cm4. 如图，在Rt △DCB 中，∠C =90°，点A 在边DC 上，且不与点C ，D 重合，那么tan ABC ∠与tan DBC ∠ 的大小关系是A ．tan ABC ∠ > tan DBC ∠B ．tan ABC ∠< tan DBC ∠ C ．tan ABC ∠ = tan DBC ∠D ．无法确定5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()2110y a x a =--≠的顶点坐标是A ．（2，-1）B ．（-1，-1）C ．（1，1）D ．（1，-1）6. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC =3：1，连接AE 交BD 于点F ，那么△DEF 的周长与△BAF 的周长之比为A ．3：4B ．9：16C ．1：3D ．3：27．已知反比例函数3y x=-，下列结论：①图象必经过点（-3，1）；②图象在第二，四象限内；③y 随x 的增大而增大；④当x ＞-1时，y ＞3．其中错误的结论有 A ．①④ B ．②③C ．②④D ．③④8. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一段时间后，记录下这种植物高度的增长情况（如下表）：由这些数据，科学家推测出植物每天高度的增长量y 是温度x 的二次函数，那么下列三个结论：①该植物在0℃时，每天高度的增长量最大；②该植物在﹣6℃时，每天高度的增长量能保持在25mm 左右； ③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长. 上述结论中，所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．①③C ．①②D ．②③二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 经测试发现，近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例函数关系，其关系式为120y x=．如果某一近视眼镜镜片的焦距为0.3米，那么近视眼镜的度数为_______度． 10. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB = 3：1，BC =8，那么DE 的长等于__________.11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是AB 边上的高，AC =8，BC =6，那么∠ACD 的正切值是____________.12. 已知二次函数23y x mx =-+在0x =和2x =时的函数值相等，那么m 的值是______. 13. 如图，一运动员乘雪橇沿坡比1如果下滑的垂直高度为1000米．那么这名运动员滑到坡底的路程是__________米．14. 在同一直角坐标系xOy 中，二次函数y x =与反比例函数()10y x x=>的图象如图所示，如果两个函数图象上有三个不同的点A （1x ，m ），B （2x ，m ），C （3x ，m ），其中m 为常数，令123W x x x =++，那么W 的值为___________（用含m 的代数式表示）. 15．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）．16. 函数()220y ax ax m a =-+>的图象过点（2，0），那么使函数值0y <成立的x 的取值范围是______________.三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分）17. 已知034a b =≠，求代数式2291533a b a b a b---的值．18. 如图，矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行，顶点A 的坐标为（2，1），点B 与点D 都在反比例函数()60y x x=>的图象上，求矩形ABCD19. 如图，已知CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，过点D 作AC 的平行线，过点C 作CD的垂线，两线相交于点E ． 求证：△ABC ∽△DEC .20．对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数. 分段函数在自变量x 的不同的取值范围内，函数的表达式也不同．例如：()()2200≤，x x x y x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩是分段函数．当0x ≤时，它是二次函数2+2y x x =；当0x >时，它是正比例函数y x =-． （1）请在平面直角坐标系中画出函数()()2200≤，x x x y x x ⎧+⎪=⎨->⎪⎩的图象；（2）y 轴左侧图象的最低点的坐标是 ； （3）当1y =-时，求自变量x 的值．21. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，求线段AE的长度.22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线16y kx=+与函数25 (0)y xx=>的图象的两个交点分别为A（a，1）、B.（1）求k，a的值及点B的坐标；（2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线16y kx =+和函数25 (0)y xx=>的图象分别交于点M，N，当点M在点N上方时，写出n的取值范围.23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，60ABC ∠=︒，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E . （1）求证：四边形ABEC 为菱形； （2）如果AB =6，连接OE ，求OE 的长.24．从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．（1）如图，在△ABC 中，AD 为角平分线，∠B =50°，∠C =30°，求证：AD 为△ABC 的优美线；（2）在△ABC 中，∠B =46°，AD 是△ABC 的优美线，且△ABD 是以AB 为腰的等腰三角形，求∠BAC 的度数．25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y ax x c a =++≠经过点()34A -,和 ()01B ,．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿y 轴翻折，得到图象N ．如果过点()30C -,和()0D b ,的直线与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．26. 如图，在等边△ABC 中，作45ACD ABD ∠=∠=︒，边CD 、BD 交于点D ，连接AD . （1）请直接写出CDB ∠的度数； （2）求ADC ∠的度数；（3）用等式表示线段AC 、BD 、CD 三者之间的数量关系，并证明．27. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，如果将点P 绕点T （0，t ）（t ＞0）旋转180°得到点Q ，那么称线段QP 为“拓展带”，点Q 为点P 的“拓展点”． （1）当t =3时，点（0，0）的“拓展点”坐标为_______，点（-1，1）的“拓展点”坐标为_________； （2）如果t ＞1，当点M （2，1）的“拓展点”N 在函数4y x=-的图象上时，求t 的值； （3）当t =1时，点Q 为点P （2，0）的“拓展点”，如果抛物线()21y x m =--与“拓展带”PQ 有交点，求m 的取值范围．通州区2018—2019学年第一学期九年级期中学业水平质量检测数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9. 400 10. 6 11.43 12. 2 13. 2000 14. 1m15. 6.2 16. 02x << 三、解答题（本题共68分，第17—25题，每小题6分，第26—27题，每小题7分） 17. 解：原式=()()331533a b a b a ba b+--- ………………… 2分 =353a ba b+- . (3)分∵034a b=≠， ∴34b a =. ………………… 4分原式=454a aa a+- ………………… 5分=5a a=5. (6)分18. 解：当2x =时，∴6632y x === . ………………… 1分 ∴()23D ,， ………………… 2分312AD =-=.当1y =时，∴61x=. ∴6x =. ………………… 3分∴()61B ,. ………………… 4分 ∴624AB =-=.∴矩形ABCD 的周长是2+4+2+4=12. ………………… 6分19． 证明：∵CD 为Rt △ABC 斜边上的中线，∴CD AD =. …………………1分∴ACD A ∠=∠.∵DE ∥AC .∴ACD CDE ∠=∠. (2)分∴A CDE ∠=∠. (3)分∵90ACB ∠=︒，CE ⊥CD ， (4)分∴ ACB DCE ∠=∠. ………………… 5分∴△ABC ∽△DEC. (6)分 20．解：（1）正确画出函数的图象； ………………… 3分（2）（-1，-1）； ………………… 4分（3）当0x >，1y =-时，1x -=-，1x =； ………………… 5分当0≤x ，1y =-时，212x x -=+，1x =-.所以自变量x 的值为1或-1. (6)分21. 解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD DC ==，AB ∥DC ，AD ∥BC . ……………… 1分 ∵AB ∥DC ，∴ABF GDF ∠=∠,BAF DGF ∠=∠. ∴△ABF ∽△GDF . ∴AF ABFG DG =. ……………… 2分 ∵G 为CD 边中点，FG =2，∴122AF AB DC =. ∴4AF = ，6AG AF FG =+= . ……………… 3分∵AD ∥BC ， ∴E DAG ∠=∠. ∵G 为CD 边中点， ∴DG CG =. ∵AGD EGC ∠=∠,∴△ADG ≌△ECG . ……………… 4分 ∴AG GE =. ……………… 5分 ∴212AE AG GE AG =+==. ……………… 6分22. 解：（1）把A （a ，1）代入函数5(0)y x x=>中， ∴51a=. ∴5a =. ……………… 1分 把A （5，1）代入函数6y kx =+中， ∴156k =+.∴1k =-. ……………… 2分∴6,5.y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩解得1,5x y =⎧⎨=⎩，5,1x y =⎧⎨=⎩.∴点B 的坐标为（1，5）. ……………… 4分 （2）15n <<. ……………… 6分 23.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥DC ，AB =BC . ∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形. ……………… 1分 ∵AB =BC ，60ABC ∠=︒，∴△ABC 是等边三角形. ……………… 2分 ∴AB =AC .∴四边形ABEC 为菱形. ……………… 3分（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴BD ⊥AC ，30ABO CBO ∠=∠=︒. 在Rt △ABO 中， ∵cos BOABO AB∠=， ∴cos 30︒=6BO.∴BO = ……………… 4分 ∵四边形ABEC 为菱形，60ABC ∠=︒， ∴60EBC ∠=︒，BE =AB =6.∴90OBE OBC CBE ∠=∠+∠=︒. ……………… 5分∴OE ==. ……………… 6分24．（1）证明：∵50B ∠=︒，30C ∠=︒，∴180100BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒. ……………… 1分 ∵AD 为角平分线， ∴50BAD CAD ∠=∠=︒∴50B BAD ∠=∠=︒. ∴DA DB =.∴△ABD 是等腰三角形. ……………… 2分∵50B CAD ∠=∠=︒，C C ∠=∠，∴△CAD ∽△CBA. ……………… 3分 ∴AD 为△ABC 的优美线．（2）解： ∵AD 是△ABC 的优美线，且△ABD 是以AB 为腰的等腰三角形，∴△CAD ∽△CBA .∴46CAD B ∠=∠=︒. ……………… 4分 ∵△ABD 是以AB 为腰的等腰三角形， 分两种情况:当AB =AD 时， ∴46ADB B ∠=∠=︒. 又∵ADB C CAD ∠=∠+∠，∴0C ∠=︒，不符合题意，这种情况不存在. ……………… 5分 当AB =BD 时， ∴()118046672ADB BAD ∠=∠=︒-︒=︒. ∴6746113BAC BAD CAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒.……………… 6分 ∴∠BAC 的度数为113︒．25. 解：（1）∵抛物线()220y ax x c a =++≠经过点()34A -,和()01B ,． ∴964,1.a c c -+=⎧⎨=⎩解得1,1.a c =⎧⎨=⎩∴抛物线的表达式为()2221=1y x x x =+++. ……………… 1分∴顶点坐标为()10-,. ……………… 2分 （2）设点()34A -,关于 y 轴的对称点为’A ，则点()34A ',.若直线CD 经过点()34A ',，可得2b =. ……………… 3分若直线CD 经过点()01B ,，可得1b=. ……………… 4分若点D 与坐标原点重合，0b =. ……………… 5分 综上，120b b <=≤或. ……………… 6分26. 解：（1）60︒； ……………… 1分（2）设AB 与CD 的交点为O.∵45ACD ABD ∠=∠=︒，AOC BOD ∠=∠，∴△AOC ∽△DOB . ……………… 2分 ∴AO OCOD OB=.∵AOD BOC ∠=∠，∴△AOD ∽△COB . ……………… 3分 ∴60ADC ABC ∠=∠=︒. ……………… 4分 （3）答案一：线段AC 、BD 、CD三者之间的数量关系为CD BD +=. 证明：如图，延长CD 到点E ，使DE DB =，连接AE .∵60ADC ∠=︒， ∴120ADE ∠=︒. ∵60CDB ∠=︒， ∴120ADB ∠=︒. 在△ADE 和△ADB 中，，，，DE DB ADE ADB DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADB . ……………… 5分 ∴AE AB =，45E ABD ∠=∠=︒. ∵45ACD ∠=︒，∴90EAC ∠=︒，AE AC =. ……………… 6分∴EC =.∴CD BD +=. ……………… 7分 另一种证法：延长BD 到点E ，使DE DC =，连接AE . 答案二：线段AC 、BD 、CD)CD BD -=.证明：如图，在D C 上截取DE DB =，连接BE ，过点A 作AF ⊥CD 于点F . 可证△ADB ≌△CEB ，可得CE AD =，sin AF ADC AD ∠==，2AF =. sin 2AF ACF AC ∠==2AF =. =)CD BD =-.参考答案一的评分标准给分.27. 解：（1）点（0，0）的“拓展点”坐标为（0，6），点（-1，1）的“拓展点”坐标为（1，5）．……………… 2分（2）当t ＞1时，点M （2，1）的“拓展点”N 为（-2，2t -1）．……………… 3分∵点N 在函数4y x=-的图象上， ∴4212t -=--. ∴32t =. ……………… 4分 （3）当t =1时，点P （2，0）的“拓展点”Q 为（-2，2），当抛物线()21y x m =--经过点P （2，0）时，可得1m =或3m =.……………… 5分当抛物线()21y x m =--经过点Q （-2，2）时，可得2m =-+或2m =--……………… 6分∴m 的取值范围为23m -≤. ……………… 7分。
江苏省南通市通州区九年级(上)第一次月考数学试卷(含解析答案)
江苏省南通市通州区九年级（上）第一次月考试卷数学一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）（2020•襄阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（3分）（2020秋•乌海）已知Oe的直径为8cm，P为直线l上一点，4=，那么直OP cm 线l与Oe的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．1个或2个3．（3分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，点(3,2)-关于原点对称的点是() A．(3,2)--C．(3,2)-B．(3,2)-D．(3,2)e上，若4．（3分）（2019秋•东阳市期中）如图，点D在以AC为直径的O∠=︒，那么ACB∠的度数是()BDC35A．35︒B．55︒C．70︒D．110︒5．（3分）（2020秋•东丽区）下列判断中正确的是()A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦6．（3分）（2019•合肥校级模拟）如图，将ABC∆绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE∆，若65CAE∠=︒，70E∠=︒，且AD BC⊥，则BAC∠的度数为()A．60︒B．85︒C．75︒D．90︒7．（3分）（2020•日照）如图，AB是Oe的直径，PA切Oe于点A，连结PO并延长交Oe 于点C，连结AC，10AB=，30P∠=︒，则AC的长度是()A．53B．52C．5 D．5 28．（3分）（2018•青岛）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B''，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是()A．(1,3)-B．(4,0)C．(3,3)-D．(5,1)-9．（3分）（2019秋•崇川区校级月考）如图，在ABC∆中，90ACB∠=︒，点O在AC上，以O为圆心，OC为半径作Oe，过点A作AD BO⊥交BO的延长线于点D．则下列结论中：①点A 、B 、C 、D 在同一个圆上；②2ABC CAD ∠=∠；③若BOC BAD ∠=∠，则AB 与O e 相切，正确的结论是( )A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③10．（3分）（2019•武汉模拟）已知ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ADE ∠=∠=︒，22AC =，1AD =，F 是BE 的中点．若将ADE ∆绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是( )A ．424222AF -+剟 B ．23AF 剟 C ．4232AF -剟 D ．2222AF -+剟 二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）（2020秋•澧县）如图，已知圆周角130ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠= ．12．（3分）（2020秋•西城区）如图，在ABC ∆中，65BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ''，连接C C '．若//C C AB '，则BAB '∠= ︒．13．（3分）（2020秋•海安县校级期中）如图，已知O e 是ABC ∆的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果2AE =，1CD =，3BF =，则内切圆的半径r = ．14．（3分）（2020•张店区一模）如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分DBC ∠，交DC 与点E ，将BCE ∆绕点C 按顺时针旋转90︒得到DCF ∆，若3CE cm =，则FB = cm ．15．（3分）（2020秋•薛城区）如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF OC ⊥交圆O 于点F ，则BAF ∠= ．16．（3分）（2018•潍坊）如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D 在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒至正方形AB C D '''的位置，B C ''与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为 ．17．（3分）（2020•衢州）如图，在直角坐标系中，A e 的圆心A 的坐标为(1,0)-，半径为1，点P 为直线334y x =-+上的动点，过点P 作A e 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是 ．18．（3分）（2018•宁波）如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作P e ．当P e 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为 ．三、解答题19．（8分）（2020秋•宣化县）ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：①画出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形△111A B C ；②画出将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到△22AB C ，③△111A B C 中顶点1A 坐标为 ．（8分）（2020秋•平谷区）如图，AB是O20．AB=．求e的直径，弦CD AB∠=︒，4A⊥于E，15弦CD的长．21．（8分）（2020春•郓城县期中）如图所示，已知P为正方形ABCD外的一点．1PA=，PB=．将ABP∆绕点B顺时针旋转90︒，使点P旋转至点P'，且32∠'的AP'=，求BP C 度数．22．（12分）（2020•河南）如图，在ABCe交AC边于=，以AB为直径的O∆中，AB AC点D，过点C作//CF AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD BF=；（2）若10CD=，求BC的长．AB=，423．（12分）（2018•怀柔区二模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，E，F分别是AB，∆．∆绕点F旋转180︒得到FDMAD的中点，连接EF，EC，将FAE（1）补全图形并证明：EF AC⊥；（2）若60∆的面积．∠=︒，求EMCB24．（14分）（2019•深圳模拟）如图，AB是Oe的直径，M是OA的中点，弦CD AB⊥于点M，过点D作DE CA⊥交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则OAD∠=︒；（2）求证：DE与Oe相切；（3）点F在¶BC上，45DE=，求FN的长．CDF∠=︒，DF交AB于点N．若325．（16分）（2019秋•鲁山县校级）将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N点，（1）如果把图A中的BCN∆，连接FM，如图B，求证：∆绕点C逆时针旋转90︒得到ACF∆≅∆CMF CMN:（2）将CED∆绕点C旋转：①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图)C时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．26．（18分）（2020•河北）如图，(5,0)B-，点C在y轴的正半轴上，45A-，(3,0)∠=︒，CBOQ出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度∠=︒．点P从点(4,0)//CD AB．90CDA运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当15∠=︒时，求t的值；BCP（3）以点P为圆心，PC为半径的Pe与四边形ABCD的边（或e随点P的运动而变化，当P边所在的直线）相切时，求t的值．江苏省南通市通州区九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）（2020•襄阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【考点】3P ：轴对称图形；5R ：中心对称图形【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B 、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C 、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C ．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2020秋•乌海）已知O e 的直径为8cm ，P 为直线l 上一点，4OP cm =，那么直线l 与O e 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【考点】MB ：直线与圆的位置关系【分析】根据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于4cm ，再根据数量关系进行判断．若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线与圆相切；若d r >，则直线与圆相离；即可得出公共点的个数．【解答】解：根据题意可知，圆的半径4r cm =．4OP cm =Q ，当OP l ⊥时，直线和圆是相切的位置关系，公共点有1个；当OP 与直线l 不垂直时，则圆心到直线的距离小于4cm ，所以是相交的位置关系，公共点有2个．∴直线L 与O e 的公共点有1个或2个，故选：D ．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．特别注意OP 不一定是圆心到直线的距离．3．（3分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，点(3,2)-关于原点对称的点是( )A ．(3,2)-B ．(3,2)--C ．(3,2)-D ．(3,2)【考点】6R ：关于原点对称的点的坐标【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点(3,2)-关于原点对称的点的坐标是(3,2)-，故选：A ．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．4．（3分）（2019秋•东阳市期中）如图，点D 在以AC 为直径的O e 上，若35BDC ∠=︒，那么ACB ∠的度数是( )A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒【考点】5M ：圆周角定理【分析】由AC 为O e 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得ABC ∠的度数，然后由圆周角定理，求得A ∠的度数，继而求得答案．【解答】解：AC Q 为O e 的直径，∴∠=︒，ABAC90Q，∠=∠=︒A BDC35∴∠=︒-∠=︒．ACB A9055故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．（3分）（2020秋•东丽区）下列判断中正确的是()A．长度相等的弧是等弧B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【考点】1M：垂径定理M：圆的认识；2【分析】利用等弧的定义以及垂径定理和垂径定理的推论即可作出判断．【解答】解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了等弧的概念和垂径定理的推论，理解垂径定理的内容是关键．6．（3分）（2019•合肥校级模拟）如图，将ABC∆，∆绕点A逆时针旋转一定角度，得到ADE 若65⊥，则BAC∠=︒，且AD BC∠的度数为()CAEE∠=︒，70A．60︒B．85︒C．75︒D．90︒【考点】2R：旋转的性质【专题】11：计算题【分析】先根据旋转的性质得70∠=∠，再根据垂直的定义得∠=∠=︒，BAC DAEC E∠=︒-∠=︒，所以CAF CAFC90∠=︒，则利用互余计算出902085DAE CAF EAC ∠=∠+∠=︒，于是得到85BAC ∠=︒．【解答】解：ABC ∆Q 绕点A 逆时针旋转得到ADE ∆，70C E ∴∠=∠=︒，BAC DAE ∠=∠，AD BC ⊥Q ，90AFC ∴∠=︒，90907020CAF C ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，206585DAE CAF EAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，85BAC DAE ∴∠=∠=︒．故选：B ．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．7．（3分）（2020•日照）如图，AB 是O e 的直径，PA 切O e 于点A ，连结PO 并延长交O e 于点C ，连结AC ，10AB =，30P ∠=︒，则AC 的长度是( )A ．53B ．52C ．5D ．52【考点】MC ：切线的性质【分析】方法1、过点D 作OD AC ⊥于点D ，由已知条件和圆的性质易求OD 的长，再根据勾股定理即可求出AD 的长，进而可求出AC 的长．方法2、先求出60AOP ∠=︒，进而求出ACP P ∠=∠，即可得出AC AP =，求出AC 即可．【解答】解：方法1、过点D 作OD AC ⊥于点D ，AB Q 是O e 的直径，PA 切O e 于点A ，AB AP ∴⊥，90BAP ∴∠=︒，30P ∠=︒Q ，60AOP ∴∠=︒，120AOC ∴∠=︒，OA OC =Q ，30OAD ∴∠=︒，10AB =Q ，5OA ∴=，12.52OD AO ∴==，AD ∴=，2AC AD ∴==故选A ，方法2、如图，连接BC ，AP Q 是O e 的切线，90BAP ∴∠=︒，30P ∠=︒Q ，60AOP ∴∠=︒，60BOC ∴∠=︒，1302ACP BAC BOC P ∴∠=∠=∠=︒=∠，AP AC ∴=，AB Q 是O e 直径，90ACB ∴∠=︒，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，10AB =，AC ∴=故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．8．（3分）（2018•青岛）如图，将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90︒，得到线段A B''，其中点A、B的对应点分别是点A'、B'，则点A'的坐标是()A．(1,3)-B．(4,0)C．(3,3)--D．(5,1)【考点】7R：坐标与图形变化-旋转【专题】13：作图题【分析】画图可得结论．【解答】解：画图如下：则(5,1)A '-，故选：D ．【点评】本题考查了旋转的性质，熟练掌握顺时针或逆时针旋转是解决问题的关键．9．（3分）（2019秋•崇川区校级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AC 上，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，过点A 作AD BO ⊥交BO 的延长线于点D ．则下列结论中：①点A 、B 、C 、D 在同一个圆上；②2ABC CAD ∠=∠；③若BOC BAD ∠=∠，则AB 与O e 相切，正确的结论是( )A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③【考点】5M ：圆周角定理；MD ：切线的判定；8M ：点与圆的位置关系；9S ：相似三角形的判定与性质【专题】554：等腰三角形与直角三角形；55A ：与圆有关的位置关系【分析】由90D ACB ∠=︒=∠，得出点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，①正确；证出OBC CAD ∠=∠，当BD 是ABC ∠平分线时，2ABC CAD ∠=∠，②错误；若BOC BAD ∠=∠，则OBC ABD ∠=∠，作OE AB ⊥于E ，由角平分线性质得出OE OC =，得出AB 与O e 相切，③正确；即可得出结论．【解答】解：AD BO ⊥Q ，90D ACB ∴∠=︒=∠，∴点A 、B 、C 、D 在同一个圆上，①正确；90ACB D ∠=∠=︒Q ，BOC AOD ∠=∠，OBC CAD ∴∠=∠，当BD 是ABC ∠平分线时，2ABC CAD ∠=∠，②错误；若BOC BAD ∠=∠，90ACB D ∠=∠=︒Q ，OBC ABD ∴∠=∠，作OE AB ⊥于E ，如图所示：则OE OC =，AB ∴与O e 相切，③正确；故选：D ．【点评】本题考查了切线的判定、点与圆的位置关系、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识；掌握直角三角形的性质和切线的判定是解题的关键．10．（3分）（2019•武汉模拟）已知ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ADE ∠=∠=︒，22AC =，1AD =，F 是BE 的中点．若将ADE ∆绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是( )A ．4242AF -+剟 B ．23AF 剟 C ．423AF -剟 D ．2222AF -+剟 【考点】2R ：旋转的性质【分析】过点A 以AE 长为半径作圆，可知当AF 最大与最小时，E 点与AB 共线，由此可得出AF 的范围．【解答】解：根据旋转的特性，画出E 点旋转一圈的轨迹，如图．结合图形可知：①当E 落在E '位置时，AF 最大，ABC ∆Q 和ADE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ADE ∠=∠=︒，22AC =1AD =， 224AB AC BC ∴=+，222AE AD DE '=+，42BE AB AE '=-'= F Q 是BE '的中点，14222BF BE ∴='=，4242422AF AB BF =-=-=； ②当E 落在E ''位置时，AF 最小，42BE AB AE ''=+''=Q F 是BE ''的中点，14222BF BE +∴=''=， 4242422AF AB BF +-=-=-=． 综合①②可知：424222AF -+剟． 故选：A ． 【点评】本题考查了旋转的性质，解题的关键是：明白“过点A 以AE 长为半径作圆，当AF 最大与最小时，E 点与AB 共线”．二、填空题（每题3分，共24分）11．（3分）（2020秋•澧县）如图，已知圆周角130ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠= 100︒ ．【考点】5M ：圆周角定理【分析】根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：2260ACB ∠=︒Q ，360260100AOB ∴∠=︒-︒=︒．故答案为100︒．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．12．（3分）（2020秋•西城区）如图，在ABC ∆中，65BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ''，连接C C '．若//C C AB '，则BAB '∠= 50 ︒．【考点】JA ：平行线的性质；2R ：旋转的性质【分析】根据旋转的性质得AC AC '=，B AB C AC ∠'=∠'，再根据等腰三角形的性质得AC C ACC ∠'=∠'，然后根据平行线的性质由//CC AB '得65ACC CAB ∠'=∠=︒，则65AC C ACC ∠'=∠'=︒，再根据三角形内角和计算出50CAC ∠'=︒，所以50B AB ∠'=︒．【解答】解：ABC ∆Q 绕点A 逆时针旋转到△AB C ''的位置，AC AC ∴'=，B AB C AC ∠'=∠'，AC C ACC ∴∠'=∠'，//CC AB 'Q ，65ACC CAB ∴∠'=∠=︒，65AC C ACC ∴∠'=∠'=︒，18026550CAC ∴∠'=︒-⨯︒=︒，50B AB ∴∠'=︒，故答案为50．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．13．（3分）（2020秋•海安县校级期中）如图，已知O e 是ABC ∆的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果2AE =，1CD =，3BF =，则内切圆的半径r = 1 ．【考点】MG ：切线长定理；MI ：三角形的内切圆与内心【分析】根据切线长定理得出AF AE =，EC CD =，DB BF =，进而得出ABC ∆是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．【解答】解：O Q e 是ABC ∆的内切圆，切点为D 、E 、F ，AF AE ∴=，EC CD =，DB BF =，2AE =Q ，1CD =，3BF =，2AF ∴=，1EC =，3BD =，325AB BF AF ∴=+=+=，4BC BD DC =+=，3AC AE EC =+=， ABC ∴∆是直角三角形，∴内切圆的半径34512r +-==， 故答案为：1．【点评】此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出ABC ∆是直角三角形是解题关键．14．（3分）（2020•张店区一模）如图，BD 为正方形ABCD 的对角线，BE 平分DBC ∠，交DC 与点E ，将BCE ∆绕点C 按顺时针旋转90︒得到DCF ∆，若3CE cm =，则FB = (632)+ cm ．【考点】KF ：角平分线的性质；LE ：正方形的性质；2R ：旋转的性质【分析】过点E 作EM BD ⊥于点M ，则DEM ∆为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出DE 的长度，再根据正方形以及旋转的性质，即可得出线段BF 的长．【解答】解：如图所示，过点E 作EM BD ⊥于点M ．Q 四边形ABCD 为正方形，45BDC ∴∠=︒，90BCD ∠=︒，DEM ∴∆为等腰直角三角形．BE Q 平分DBC ∠，EM BD ⊥，EC BC ⊥，3EM EC ∴==，232DE EM ∴==，323BC CD ∴==+．由旋转的性质可知：3CF CE ==，3233632BF BC CF ∴=+=++=+．故答案为：632+．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是结合角平分线以及等腰直角三角形的性质，求出线段BC 以及CF 的长度．15．（3分）（2020秋•薛城区）如图，点A 、B 、C 是圆O 上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF OC ⊥交圆O 于点F ，则BAF ∠= 15︒ ．【考点】5L ：平行四边形的性质；2M ：垂径定理；5M ：圆周角定理【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到AOB ∆为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到30BOF AOF ∠=∠=︒，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB ，Q 四边形ABCO 是平行四边形，OC AB ∴=，又OA OB OC ==，OA OB AB ∴==，AOB ∴∆为等边三角形，OF OC ⊥Q ，//OC AB ，OF AB ∴⊥，30BOF AOF ∴∠=∠=︒，由圆周角定理得1152BAF BOF ∠=∠=︒， 故答案为：15︒．【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．16．（3分）（2018•潍坊）如图，正方形ABCD 的边长为1，点A 与原点重合，点B 在y 轴的正半轴上，点D 在x 轴的负半轴上，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒至正方形AB C D '''的位置，B C ''与CD 相交于点M ，则点M 的坐标为 3(1,)3- ．【考点】LE ：正方形的性质；7R ：坐标与图形变化-旋转【专题】1：常规题型；556：矩形 菱形 正方形；558：平移、旋转与对称【分析】连接AM ，由旋转性质知1AD AB ='=、30BAB ∠'=︒、60B AD ∠'=︒，证Rt ADM Rt ∆≅△AB M '得1302DAM B AD ∠=∠'=︒，由tan DM AD DAM =∠可得答案． 【解答】解：如图，连接AM ，Q 将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒得到正方形AB C D '''，1AD AB ∴='=，30BAB ∠'=︒，60B AD ∴∠'=︒，在Rt ADM ∆和Rt △AB M '中，Q AD AB AM AM ='⎧⎨=⎩， Rt ADM Rt ∴∆≅△()AB M HL '，1302DAM B AM B AD ∴∠=∠'=∠'=︒， 33tan 1DM AD DAM ∴=∠==， ∴点M 的坐标为3()-，故答案为：3 (1,)-．【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．17．（3分）（2020•衢州）如图，在直角坐标系中，Ae的圆心A的坐标为(1,0)-，半径为1，点P为直线334y x=-+上的动点，过点P作Ae的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是22．【考点】5F：一次函数的性质；MC：切线的性质【专题】14：证明题【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线334y x=-+时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到3AP=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，作AP⊥直线334y x=-+，垂足为P，作Ae的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，AQ的坐标为(1,0)-，设直线与x轴，y轴分别交于C，B，(0,3)B∴，(4,0)C，3OB∴=，5AC=，225BC OB OC∴=+，AC BC∴=，在APC∆与BOC∆中，90APC OBCACB BCOAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，APC BOC∴∆≅∆，∴==，AP OB322∴=-=．PQ3122221Q，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为22．=-PQ PA【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．18．（3分）（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作Pe与正方形ABCD的边相e．当P切时，BP的长为3或43．【考点】LE：正方形的性质；MC：切线的性质【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当Pe与直线CD相切时；如图2中当Pe与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK AD⊥，四边形PKDC是矩形；【解答】解：如图1中，当P==．e与直线CD相切时，设PC PM x在Rt PBM ∆中，222PM BM PB =+Q ，2224(8)x x ∴=+-，5x ∴=，5PC ∴=，853BP BC PC =-=-=．如图2中当P e 与直线AD 相切时．设切点为K ，连接PK ，则PK AD ⊥，四边形PKDC 是矩形．2PM PK CD BM ∴===，4BM ∴=，8PM =，在Rt PBM ∆中，228443PB =-综上所述，BP 的长为3或43．【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题19．（8分）（2020秋•宣化县）ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：①画出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形△111A B C ；②画出将ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到△22AB C ，③△111A B C 中顶点1A 坐标为 (1,2)- ．【考点】4R ：中心对称；8R ：作图-旋转变换【分析】①把ABC ∆绕着点O 旋转180︒，得到△111A B C ，那么这两个三角形关于这个点成中心对称；②按照旋转角度、旋转方向、旋转中心进行作图即可；③在直角坐标系中，点1A 在第四象限，距离x 轴2个单位，距离y 轴1个单位，据此求得其坐标．【解答】解：①如图，ABC ∆与△111A B C 关于原点O 的中心对称；②如图，△22AB C 是由ABC ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到的三角形；③由图可得，△111A B C 中顶点1A 坐标为(1,2)-．【点评】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，得到的图形与原图形全等．20．（8分）（2020秋•平谷区）如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ⊥于E ，15A ∠=︒，4AB =．求弦CD 的长．【考点】2M ：垂径定理；5M ：圆周角定理【专题】55：几何图形【分析】根据15A ∠=︒，求出COB ∠的度数，再求出CE 的长．根据垂径定理即可求出CD 的长．【解答】解：15A ∠=︒Q ，30COB ∴∠=︒．4AB =Q ，2OC ∴=．Q 弦CD AB ⊥于E ，12CE CD ∴=． 在Rt OCE ∆中，90CEO ∠=︒，30COB ∠=︒，2OC =，1CE ∴=．2CD ∴=．【点评】此题考查了垂径定理和圆周角定，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是本题的关键．21．（8分）（2020春•郓城县期中）如图所示，已知P为正方形ABCD外的一点．1PA=，∆绕点B顺时针旋转90︒，使点P旋转至点P'，且32PB=．将ABP∠'的AP'=，求BP C 度数．【考点】KS：勾股定理的逆定理；LE：正方形的性质；2R：旋转的性质【分析】首先连接PP'，由旋转的性质，可求得PP'的长，45∠'=︒，然后由勾股定理BPP的逆定理，证得90∠'=︒，继而求得答案．APP【解答】解：连接PP'，∆Q绕点B顺时针旋转90︒，使点P旋转至点P'，ABPP B PB∴'==，902∠'=︒，PBP2222∴'=+'=，45PP PB P BBPP∠'=︒，Q，31PA=AP'=，222PA PP AP∴+'='，∴∠'=︒，90APP∴∠=∠'+∠'=︒，APB APP BPP135∴∠'=∠=︒．BP C APB135【点评】此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．22．（12分）（2020•河南）如图，在ABCe交AC边于=，以AB为直径的O∆中，AB AC点D，过点C作//CF AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．（1）求证：BD BF=；（2）若10AB=，4CD=，求BC的长．【考点】KH：等腰三角形的性质；MC：切线的性质【分析】（1）根据圆周角定理求出BD AC⊥，∠=︒，根据切线的性质得出AB BFBDC⊥，90求出ACB FCB∠=∠，根据角平分线性质得出即可；（2）求出10AD=，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．AC=，6【解答】（1）证明：ABQ是Oe的直径，BDA∴∠=︒，90∠=︒，BDC∴⊥，90BD ACQ切OBFe于B，∴⊥，AB BFCF ABQ，//∠=∠，∴⊥，FCB ABCCF BFQ，AB AC=∴∠=∠，ACB ABC∴∠=∠，ACB FCB⊥，Q，BF CF⊥BD AC∴=；BD BF（2）解：10=，Q，AB ACAB=∴=，10ACCD=Q，4∴=-=，1046AD在Rt ADB ∆中，由勾股定理得：221068BD =-=，在Rt BDC ∆中，由勾股定理得：228445BC =+=．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23．（12分）（2018•怀柔区二模）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，连接EF ，EC ，将FAE ∆绕点F 旋转180︒得到FDM ∆．（1）补全图形并证明：EF AC ⊥；（2）若60B ∠=︒，求EMC ∆的面积．【考点】KX ：三角形中位线定理；8L ：菱形的性质；8R ：作图-旋转变换【专题】1：常规题型【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置进而得出答案，再利用菱形的性质得出EF AC ⊥；（2）首先得出ABC ∆是等边三角形，进而求出CE 的长，进而得出MD 以及MC 的长求出答案．【解答】（1）补全图形如图所示：证明：连接DB ，Q 四边形ABCD 是菱形，DB AC ∴⊥，E Q ，F 分别是AB ，AD 的中点，//EF BD ∴．EF AC ∴⊥；（2）解：Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=．60B ∠=︒Q ，ABC ∴∆是等边三角形，E Q 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，CE MC ⊥．即EMC ∆是直角三角形，且sin 603CE BC =⨯︒=．由（1）得112MD AE AB ===． 3MC MD DC ∴=+=．13322EMC S MC CE ∆∴=⨯=．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及旋转变换，正确应用菱形的性质得出EMC ∆是直角三角形是解题关键．24．（14分）（2019•深圳模拟）如图，AB 是O e 的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E ．（1）连接AD ，则OAD ∠= 60 ︒；（2）求证：DE 与O e 相切；（3）点F 在¶BC上，45CDF ∠=︒，DF 交AB 于点N ．若3DE =，求FN 的长．【考点】2M ：垂径定理；5M ：圆周角定理；ME ：切线的判定与性质【专题】15：综合题；31：数形结合；552：三角形；55C ：与圆有关的计算【分析】（1）由CD AB ⊥和M 是OA 的中点，利用三角函数可以得到60DOM ∠=︒，进而得到OAD ∆是等边三角形，60OAD ∠=︒．（2）只需证明DE OD ⊥．便可以得到DE 与O e 相切．（3）利用圆的综合知识，可以证明，90CND ∠=︒，60CFN ∠=︒，根据特殊角的三角函数值可以得到FN 的数值．【解答】解：（1）如图1，连接OD ，ADAB Q 是O e 的直径，CD AB ⊥AB ∴垂直平分CDM Q 是OA 的中点，1122OM OA OD ∴==1cos 2OMDOM OD ∴∠==60DOM ∴∠=︒又：OA OD =OAD ∴∆是等边三角形60OAD ∴∠=︒故答案为：60︒（2）CD AB ⊥Q ，AB 是O e 的直径，CM MD ∴=．M Q 是OA 的中点，AM MO ∴=．又AMC DMO ∠=∠Q ，AMC OMD ∴∆≅∆．ACM ODM ∴∠=∠．//CA OD ∴．DE CA ⊥Q ，90E ∴∠=︒．18090ODE E ∴∠=︒-∠=︒．DE OD ∴⊥．DE ∴与O e 相切．（3）如图2，连接CF ，CN ，OA CD ⊥Q 于M ，M ∴是CD 中点．NC ND ∴=．45CDF ∠=︒Q ，45NCD NDC ∴∠=∠=︒．90CND ∴∠=︒．90CNF ∴∠=︒．由（1）可知60AOD ∠=︒． ∴1302ACD AOD ∠=∠=︒． 在Rt CDE ∆中，90E ∠=︒，30ECD ∠=︒，3DE =， ∴6sin30DE CD ==︒． 在Rt CND ∆中，90CND ∠=︒，45CDN ∠=︒，6CD =， ∴sin 4532CN CD =︒=g ．由（1）知2120CAD OAD ∠=∠=︒，18060CFD CAD ∴∠=︒-∠=︒．在Rt CNF ∆中，90CNF ∠=︒，60CFN ∠=︒，32CN =∴6tan 60CN FN ==︒． 【点评】本题考查圆的综合运用，特别是垂径定理、切线的判定要求较高，同时对于特殊角的三角函数值的运用有所考察，需要学生能具有较强的推理和运算能力．25．（16分）（2019秋•鲁山县校级）将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A 摆放，斜边AB 分别交CD 、CE 于M 、N 点，（1）如果把图A 中的BCN ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到ACF ∆，连接FM ，如图B ，求证：:CMF CMN ∆≅∆（2）将CED ∆绕点C 旋转：①当点M 、N 在AB 上（不与A 、B 重合）时，线段AM 、MN 、NB 之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M 在AB 上，点N 在AB 的延长线上（如图)C 时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．【考点】KD ：全等三角形的判定与性质；KW ：等腰直角三角形；2R ：旋转的性质【分析】（1）根据旋转的性质可得CF CN =，ACF BCN ∠=∠，再求出45ACM BCN ∠+∠=︒，从而求出45MCF ∠=︒，然后利用“边角边”证明CMF ∆和CMN ∆全等即可；（2）①根据全等三角形对应边相等可得FM MN =，再根据旋转的性质可得AF BN =，45CAF B ∠=∠=︒，从而求出90BAF ∠=︒，再利用勾股定理列式即可得解；②把BCN ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到ACF ∆，根据旋转的性质可得AF BN =，CF CN =，BCN ACF ∠=∠，再求出MCF MCN ∠=∠，然后利用“边角边”证明CMF ∆和CMN ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得MF MN =，然后利用勾股定理列式即可得解．【解答】解：（1）BCN ∆Q 绕点C 逆时针旋转90︒得到ACF ∆，CF CN ∴=，ACF BCN ∠=∠，45DCE ∠=︒Q ，45ACM BCN ∴∠+∠=︒，45ACM ACF ∴∠+∠=︒，即45MCF ∠=︒，MCF MCN ∴∠=∠，在CMF ∆和CMN ∆中，CF CN MCF MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CMF CMN SAS ∴∆≅∆；（2）①CMF CMN ∆≅∆Q ，FM MN ∴=，又45CAF B ∠=∠=︒Q ，454590FAM CAF BAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，222AM AF FM ∴+=，222AM BN MN ∴+=；②如图，把BCN ∆绕点C 逆时针旋转90︒得到ACF ∆，则AF BN =，CF CN =，BCN ACF ∠=∠，90(45)4545MCF ACB MCB ACF BCN ACF BCN ACF ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠=︒Q ，MCF MCN ∴∠=∠，在CMF ∆和CMN ∆中，CF CN MCF MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CMF CMN SAS ∴∆≅∆，FM MN ∴=，45ABC ∠=︒Q ，135CAF CBN ∴∠=∠=︒，又45BAC ∠=︒Q ，1354590FAM CAF BAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，222AM AF FM ∴+=，222∴+=．AM BN MN【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．26．（18分）（2020•河北）如图，(5,0)A-，(3,0)B-，点C在y轴的正半轴上，45∠=︒，CBOQ出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度∠=︒．点P从点(4,0)CD AB．90//CDA运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当15∠=︒时，求t的值；BCP（3）以点P为圆心，PC为半径的Pe与四边形ABCD的边（或e随点P的运动而变化，当P边所在的直线）相切时，求t的值．【考点】5T：解直角三角形D：坐标与图形性质；KQ：勾股定理；MC：切线的性质；7【专题】152：几何综合题；16：压轴题【分析】（1）由45OB=，∆为等腰直角三角形，又3 CBO∠为直角，得到BOC∠=︒，BOC利用等腰直角三角形AOB的性质知3==，然后由点C在y轴的正半轴可以确定OC OB点C的坐标；（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由45∠=︒，BCO 用BCO BCP∆中，利用锐角三角函数定OC=，在Rt POC∠-∠求出PCO∠为30︒，又3义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ OQ OP=+求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∆中，利用锐角三角函数定义BCO BCPOC=，在Rt POC∠+∠求出PCO∠为60︒，又3及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ OQ OP=+求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；（3）当Pe与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：①当P∠=︒，由BCP e与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出90∠=︒，即此时COP=，OCP∆为等腰直角三角形，可得出OP OC ∠=︒，得到4545BCO由3-求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；OC=，得到3OP=，用OQ OP②当Pe与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；③当Pe与AD相切时，利用切线的性质得到90∠=︒，得到此时A为切点，由PC PA=，DAO且9∆中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的=-，在Rt OCPPA tPO t=-，4解得到此时的时间t．综上，得到所有满足题意的时间t的值．【解答】解：（1）45Q，∠=∠=︒BCO CBO∴==，3OC OB又Q点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为(0,3)；（2）分两种情况考虑：①当点P在点B右侧时，如图2，若15PCO∠=︒，BCP∠=︒，得30故tan30t=+g4PO CO=︒=②当点P在点B左侧时，如图3，由15∠=︒，PCOBCP∠=︒，得60故tan60OP CO=︒=此时，4t=+∴的值为4+或4+t。
江苏省南通市育才中学2024-2025学年九年级上学期第一次数学月考试卷
江苏省南通市育才中学2024-2025学年九年级上学期第一次数学月考试卷一、单选题1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．31y x =+B ．21y x=C ．()21y x =-D ．2y ax bx c =++2．将抛物线22y x =向右平移1个单位，得到抛物线表达式为（ ） A ．221y x =-B ．221y x =+C ．22(1)y x =-D ．22(1)y x =+3．已知二次函数223y x x =-+-，用配方法化为()2y a x h k =-+的形式，结果是（ ） A ．()212y x =--- B ．()212y x =--+ C ．()214y x =--+D ．()214y x =-+-4．若点()11,A y ，()22,B y 在抛物线()212y a x =++（0a <）上，则下列结论正确的是（ ）． A ．122y y >>B ．212y y >>C ．122y y >>D ．212y y >>5．小明在半径为4的圆中测量弦AB 的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．106．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则当0y >时，x 的取值范围是（ ）A ．11x -<<B ．31x -<<C ．3x <-或1x >D ．2x -<<7．2022年北京某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，每个降价x 元（04x <<）．设每天销售量为y 个，每天销售纪念品获得的利润w 元，则下列等式正确的是（ ） A ．20300y x =- B ．20300y x =-+C ．()()203004w x x =+-D ．()()20118040w x x =-+-8．如图，半径为5的A e 与y 轴交于点()0,2B 、()0,10C ，则点A 的横坐标为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．在“探索二次函数()20y ax bx c a =++≠的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：()()()()01211232A B C D ，，，，，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式2y ax bx c =++，则当a b c -+的值最小时，该二次函数图象经过（ ）．A ．B ，C ，D B ．A ，C ，D C ．A ，B ，D D ．A ，B ，C10．已知点()m n ，为二次函数223y x x =-+的图象上一点，则多项式2223m n m n +--的最小值为（ ）A ．4-B ．134-C ．3-D ．2二、填空题11．抛物线22y x =+与y 轴的交点坐标是．12．已知二次函数2y ax =，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是．13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s (米)关于滑行的时间t (秒)的函数解析式是21104s t t =-+，当着陆后滑行时间t 为秒时，无人机才能停下来．14．已知关于x 的二次函数()238y x a a =--+的图象与x 轴没有公共点，则实数a 的取值范围是．15．如图，O e 的弦AB 、半径OC 的延长线交于点D ，BD OA =．若126AOC ∠=︒，则D ∠的度数是．16．已知抛物线()21y x =-经过点()1A n y ，，()22B n y +，，若12y y <，则n 的值可以为．（写出一个符合条件的值即可）17．如图，用一段长为l 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长），若围成的菜园面积最大为18平方米，则l 的值为．18．函数22y x bx c =++的最小值为1-，不等式22x bx c k ++<的解集为6n x n <<+，则实数k 的值为．三、解答题19．已知平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过点()1,6-，和()2,6-．求抛物线的解析式．20．如图，点C 在O e 上，弦AB OC ⊥，垂足为D ，41AB CD ==，，求BOC V的面积．21．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x 2mx m 9=-+-． (1)求证：无论m 为何值，该抛物线与x 轴总有两个交点；(2)若该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，且ABC V 的面积为9，求m 的值．22．如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置OM ，装置上A 处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，落点B 距离喷水柱底端O 处3m ．(1)求喷头A 的高度；(2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A 的高度，使水流落在距水柱底端3.5m 处，问喷头A 应该向哪个方向调整多少高度？23．如图，CD 为O e 的直径，CD AB ⊥，垂足为F ，AO BC ⊥，垂足为E ，连接AC ．(1)求B ∠的度数；(2)若CE =O e 的半径．24．如图，在ABC V 中，9012cm 24cm B AB BC ∠=︒==，，，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动．如果P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，设运动时间为()s 06t t <<，四边形APQC 的面积为2cm S ．(1)求S 与t 满足的函数关系式；(2)四边形APQC 的面积能不能达到2104cm ？请说明理由．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线())2(0y mx x m m =-≠． (1)当1m =时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知()11M x y ，和()22N x y ，是抛物线上的两点． ①若对于11x =-，22x =，有12y y =，求m 的值；②若对于12x m =，234x ≤≤，都有12y y <，求m 的取值范围．26．已知抛物线243y mx mx n =++(,m n 为常数，0m >)与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，顶点为D ，线段BD 与y 轴交点C ，8AB =．(1)求点B 的坐标，并用含m 的式子表示n ；(2)如图，连接AC ，若AC BD ⊥，求该抛物线的解析式；(3)设M 是x 轴下方抛物线上的动点，过点M 作MN y ∥轴，交直线BD 于点N ，若使得线段6MN =的点M 恰有两个，求m 的值．。
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C（﹣4，y3），则 y1、y2、y3 的大小关系是
．
15．（3 分）若二次函数 y=x2+2x+c 的最小值是 7，则它的图象与 y 轴的交点坐标
是
．
16．（3 分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆
上，点 A、B 的读数分别为 100°、150°，则∠ACB 的大小为
长等于（ ）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．1cm
5．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BOD=130°，则∠BCD 的度数为
（）
A．50°
B．125°
C．115°
D．150°
6．（3 分）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴为直线 x=2，且经过点 P（3，0），
则 a+b+c 的值为（ ）
25．（10 分）某商店销售某种新商品，已知这种商品的成本为 2 元/件，在销售过 程中发现：每天的销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）的关系如图所示，AB 是一次函数图象的一部分，设销售这种商品每天的利润为 W（元）．
（1）求出 y（件）与 x（元件）之间的函数关系式； （2）求出商品每天的利润为 W（元）与 x（元件）之间的函数关系式，并计算
围是
．
三、解答题（本大题共 9 大题，共 96 分．请在对应空白区域内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8 分）已知：抛物线 y=﹣x2+4x+5． （1）求这条抛物线的顶点坐标； （2）求该抛物线在 x 轴上截得的线段长度； （3）直接写出当 x 取何值时，函数值 y＜0．
（1）求抛物线的表达式； （2）一辆货车高 4m，宽 2m，能否从该隧道内通过，为什么？
24．（9 分）已知，如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，G 是 上一点， AG 与 DC 的延长线交于点 F．
（1）如 CD=8，BE=2，求⊙O 的半径长； （2）求证：∠FGC=∠AGD．
有一个公共点，求 m 的值？ 22．（8 分）如图，已知⊙O 中，AB 为直径，AB=10cm，弦 AC=6cm，∠ACB 的
第4页（共8页）
平分线交⊙O 于 D，求四边形 ACBD 的面积．
23．（8 分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8m，宽为 2m， 隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6m，建立如图所示的坐标系．
且与 x 轴的正半轴交于点 B，P 点为该抛物线对称轴上一点，则 OP+ AP 的
最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．2
第2页（共8页）
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．）
11．（3 分）如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠ABC=110°，则∠
D=
°．
12．（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，若以点 A 为圆心，以 4 为
20．（8 分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，且 C 为 的 中点，若∠BAD=20°，求∠ACO 的度数．
21．（8 分）已知二次函数 y=x2﹣2mx+2m2+1（m 是常数）． （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点； （2）如果把该函数图象沿 y 轴向下平移 5 个单位后，得到的函数图象与 x 轴只
当商品销售价格定为多少元件时，每天的利润最大？最大利润是多少？
第5页（共8页）
26．（11 分）如图，抛物线 F：y=x2﹣2mx+m2﹣2 与直线 x=﹣2 交于点 P． （1）当抛物线 F 经过点 A（﹣1，﹣2）时，求它的表达式； （2）设点 P 的纵坐标为 yP，求 yP 的最小值； （3）已知点 B（0，2），C（2，2），当抛物线 F 与线段 BC 有公共点时，请直接
度．
第3页（共8页）
17．（3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x … ﹣1 0
1
4…
y … 10 5
2
5…
若 y≤2 时，则 x 的取值范围是
．
18．（3 分）二次函数 y=x2+bx 的图象如图，对称轴为直线 x=1．若关于 x 的一元
二次方程 x2+bx﹣t=0（t 为实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范
2018-2019 学年江苏省南通市通州区育才中学九年级（上）月考
数学试卷（10 月份）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．）
1．（3 分）抛物线 y=﹣2x2+4 的顶点坐标为（ ）
A．（4，0）
B．（0，4）
C．（4，2）
D．（4，﹣2）
2．（3 分）将二次函数 y=x2 的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．（3 分）一元二次方程 x2+bx+c=0 有一个根为 x=3，则二次函数 y=2x2﹣bx﹣c
的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0）
C．（﹣3，27） D．（3，27）
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=﹣x2+2 x 的顶点为 A 点，
半径作⊙A，则点 A，点 B，点 C，点 D 四点中在⊙A 外的是
．
13．（3 分）如图，OC 是⊙O 的半径，OC 交弦 AB 于点 D，且点 D 是 AB 的中
点，点 P 在⊙O 上，若∠APB=52°，则∠BOC=
度．
14．（3 分）已知二次函数 y=3（x﹣1）2+k 的图象上三点 A（2，y1），B（3，y2），
得图象的表达式是（ ）Fra bibliotekA．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2
﹣1
3．（3 分）抛物线 y=（x+2）（x﹣4）的对称轴是（ ）
A．直线 x=﹣1 B．y 轴
C．直线 x=1
D．直线 x=2
4．（3 分）如图所示，在⊙O 中，OD⊥AB 于 P，AB=8cm，OP=3cm，则 PD 的
A．﹣1
B．0
C．1
D．3
第1页（共8页）
7．（3 分）如图，将△ABC 放在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A、B、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小 圆面半径是（ ）
A．
B．
C．2
D．
8．（3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：① ab＞0；②a+3b+9c＞0；③4a+b=0；④当 y=﹣2 时，x 的值只能为 0；⑤3b﹣c ＜0，其中正确的个数是（ ）