正、余弦定理解题易错点剖析

正、余弦定理解题易错点剖析

正、余弦定理及其应用问题综合性强、解题有一定的技巧，学生在解题时，经常因为审题不仔细，忽视一些条件而导致错误．本文分类剖析了解题中常出现的错误，旨在为同学们提个醒，以达防微杜渐的目的．

一、隐含条件被忽视致错

例1 在ABC △中，若3C B =，求

c b 的取值范围． 错解：由正弦定理可知 sin3sin cos2cos sin 2sin sin c B B B B B b B B

+==22cos 22cos 4cos 1B B B =+=-． 由20cos 1B ≤≤，得214cos 13B --≤≤，故13c b

-≤≤． 剖析：上述解法中，忽视了B 的取值范围及a b c ，，均为正的条件而致错．

正解：

24cos 1c B b

=-．（过程同错解） 又∵180A B C ++=°，2C B =， ∴045B <<°，2cos 12

B <<， ∴214cos 13B <-<∴，故13c b

<

<． 在解决解三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．同学们在解题时一定要“擦亮慧眼”，否则极容易产生错解． 觅错：某同学遇到这样一道问题：在ABC △中，已知222

15a b C ===，，°，则A =_________．

分析：已知两边及其夹角，先用余弦定理，算出c ，再用正弦定理算出1sin 2

A =

，便大笔一挥，写上了“30°或150°”，轻轻松松搞定，不料老师却给他判了零分．下面是这位同学的详细解题过程，同学们帮他找找错因吧！ 错解：由余弦定理，得2222cos15843c a b ab =+-=-°．

又sin 1sin 2

a C A c =

=，而0180A <<°°， ∴ 30A =°或150A =°．

所以空格上填“30°或150°”．

二、制约条件被忽视致错 例2 在ABC △ 中，62c =+，30C =°，求a b +的最大值．

错解：∵30C =°，∴150A B +=°，150B A =-°．

由正弦定理，得62sin sin(150)sin 30a b A A +==-°°

， 2(6

2)s i n

a A =+∴，

2(62)s i n (150)

B A =+-°． 又∵sin 1A ≤，sin(150)1A -°≤，

∴2(62)2(62)4(62)a b ++++=+∴≤．

故a b +的最大值为4(62)+．

剖析：错因是未弄清A 与150A -°之间的关系．这里A 与150A -°是相互制约的，不是相互独立的两个量，sin A 与sin(150)A -°不能同时取最大值1，因此所得的结果是错误的． 正解：∵30C =°，

∴ 150A B +=°，150B A =-°．

由正弦定理，得62sin sin(150)sin 30a b A A +==-°°

． 因此2(62)[sin sin(150)]a b A A +=++-·°(843)cos(75)843A =+-+·°≤． ∴a b +的最大值为843+．

三、约分时忽视为零的条件致错

例3 若ABC △中满足tan

2A B a b a b

--=+，试确定三角形的形状． 错解：由正弦定理，得

2c o s s i n s i n s i n 22tan cot tan 2sin sin 22

2sin cos 22A B A B A B a b A B A B A B A B A B a b A B +----+-====++++， 即tan cot tan 222

A B A B A B -+-=， 两边约去tan

2A B -，得cot 12A B +=Ｃ． ∴π24A B +=，即π2

A B +=， 故ABC △是直角三角形．

剖析：上述解法中约去tan

2A B -时，忽视其可为零，从而导致漏解． 正解：∵tan cot tan 222

A B A B A B -+-=，（过程同错解） ∴tan cot 1022A B A B -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭

． 由tan

02A B -=且A B ，为三角形的内角，得A B =； 由cot 12

A B +=且A B ，为三角形的内角，

得

π

24

A B

+

=，则

π

2

A B

+=．

故ABC

△是等腰三角形或直角三角形．