相似三角形几何题
相似三角形练习题
相似三角形练习题
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个三角形。
在几何学中，相似三角形具有许多有趣的性质和应用。
下面是一些关于相似三角形的练习题，希望能对你的学习有所帮助。
练习题1：
1. 已知两个三角形ABD和CDE相似，已知BD=10cm，
DE=4cm，AC=8cm，求AD的长度。
2. 如果两个三角形的相似比例为2:3，且一个三角形的面积
为16平方厘米，求另一个三角形的面积。
3. 在两个相似三角形中，一个三角形的底边为3cm，高为5cm，面积为6平方厘米，求另一个三角形的底边和高。
4. 如果两个三角形的相似比例为4:5，且已知一个三角形的
周长为36cm，求另一个三角形的周长。
5. 已知一个三角形的三边分别为3cm、4cm和5cm，求与这个
三角形相似的三角形的三边长度。
练习题2：
1. 在两个相似三角形中，一个三角形的周长为12cm，面积为9平方厘米，求另一个三角形的周长和面积。
2. 如果两个三角形的相似比例为3:4，且已知一个三角形的
面积为48平方厘米，求另一个三角形的面积。
3. 已知两个相似三角形的面积比为9:16，且一个三角形的底
边为6cm，高为4cm，求另一个三角形的底边和高。
4. 在两个相似三角形中，一个三角形的底边为2cm，高为8cm，求另一个三角形的底边和高。
5. 如果一个三角形的三边分别为2cm、4cm和6cm，求与这个三角形相似的三角形的三边长度。
以上是关于相似三角形的练习题，希望能对你的学习有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
相似三角形综合题
相似三角形综合题题型一：相似三角形中的相关证明：例1：如图，已知在△ABC 中，点D 是BC 的中点，EF ∥BC ，交AD 与点G ，求证：FG ＝EG 。
练习1：如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB 。
例2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
求证：①2MA MD ME =⋅；②22AE MEAD MD=。
练习2：如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F 。
求证：2CF GF EF =⋅。
例3：已知：如图，在∆ABC 中，EF ∥CD ，DE ∥BC 。
①求证：2AD AF AB =⋅；②若FD ＝2，DB ＝4 ，求AF 的长。
练习3：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于E ，若AB ＝6，AC ＝4，求DE 的长。
题型二：相似三角形中的相关比例计算例4：（2017天津，8）如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF:FC 等于（ ） A ．3:2 B ．3:1 C ．1:1 D ．1:2练习4.1：如图，在平行四边形ABCD 中，1O 、2O 、3O 是对角线BD 上的四等分点，连接1AO 并延长交BC 于点E ，连接3EO 并延长交AD 于点F ，则AF:DF 等于（ ） A ．3:1 B ．9:1 C ．8:1 D ．6:1练习4.2：如图，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，G 是BD 的中点。
若AD ＝3，BC ＝9，则GO:BG ＝（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．2:3 D ．11:20练习4.3：如图，□ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在AD 上，且AF ＝12FD ，EF 交AC 于G ，则AG:AC 的值为（ ） A ．1:3 B ．1:4 C ．1:5 D ．不确定 题型三：相似三角形中常用辅助线的作法例5：已知：如图，△ABC 中，在BC 上取一点P ，CA 上取一点Q ，使得BP:PC ＝2:5，CQ:QA ＝3:4，AP ，BQ 交于点R ，求AR:RP 的值。
相似三角形典型例题
相似三角形典型例题在几何学中，相似三角形是一个重要的概念。
相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，包括测量、设计和建模等领域。
本文将介绍一些相似三角形的典型例题，帮助读者更好地理解和应用相似三角形的原理。
一、例题一已知两个三角形ABC和DEF，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，那么可以得出什么结论？解析：根据已知条件，可以得出两个三角形的对应角度相等。
根据相似三角形的定义，两个三角形ABC和DEF是相似的。
相似三角形的性质包括对应角度相等和对应边长成比例。
二、例题二已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，BC = 6cm，DE = 10cm，那么可以推导出EF的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
设EF = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = BC/EF4/10 = 6/x通过交叉相乘得到：4x = 60x = 15因此，EF的长度是15cm。
三、例题三已知两个相似三角形ABC和DEF，且AB = 9cm，BC = 12cm，EF = 15cm，那么可以推导出AC的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
设AC = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = AC/EF9/x = 12/15通过交叉相乘得到：9*15 = 12*x135 = 12xx = 11.25因此，AC的长度是11.25cm。
四、例题四已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 5cm，BC = 8cm，DE = 10cm，那么可以推导出DF的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
设DF = xcm，根据比例可以得出：AB/DE = BC/DF5/10 = 8/x通过交叉相乘得到：5x = 80x = 16因此，DF的长度是16cm。
五、例题五已知两个相似三角形ABC和DEF，且AB = 6cm，BC = 9cm，EF = 12cm，那么可以推导出DE的长度是多少？解析：根据相似三角形的性质，对应边长成比例。
专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数
专题27.35 相似三角形几何模型-一线三等角（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB 上取点P ，使得△PAD 与△PBC 相似，则这样的P 点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一动点（与B ，C 不重合）连接AP ，作PE ∠AP 交∠BCD 的外角平分线于E ，设BP =x ，∠PCE 的面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（ ）A ．24y x x =-+B ．2122y x x =- C ．2122y x x =-+D ．24y x x =-3．如图，在平面直角坐标系中，直线12y x m =+不经过第四象限，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 为OA 的中点，点C 在线段OB 上，其坐标为(0,2)，连结BP ，CP ，若BPC BAO =∠∠，那么m 的值为（ ）A ．B ．4C ．5D ．64．将矩形OABC 如图放置，O 为坐标原点，若点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72，则点C 的坐标是（ ）A．（4，2）B．（3，32）C．（3，94）D．（2，32）二、填空题5．如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则CECF＝_______________．6．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把∠ADE沿AE折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：∠D′B的最小值为3；∠当DE＝52时，∠ABD′是等腰三角形；∠当DE＝2是，∠ABD′是直角三角形；∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）7．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列结论：∠DE平分∠AEC；∠CE平分∠DEB；∠DE平分∠ADC；∠EC平分∠BCD．其中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）三、解答题8．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上动点(不与,B C 重合)．连接,AE 过点E 作,EF AE ⊥交DC 于点F ．()1求证：ABE ECF ；()2连接AF ，试探究当点E 在BC 什么位置时，BAE EAF ∠=∠，请证明你的结论．9．如图，在ABC 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，连接AD DE 、，且B ADEC ∠=∠=∠．（1）证明：BDA CED △∽△；（2）若45,2B BC ∠=︒=，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合），且ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．10．如图，已知∠ABC 是边长为12的正三角形，AD 是边BC 上的高线，CF 是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．（1）求证：∠ABP∠∠PCN；（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．11．如图，已知直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），与x轴交于点A，将△AOB沿y轴折叠，使点A落在x轴上的点C．（1）求点C的坐标；（2）设点P为线段CA上的一个动点，点P与点A、C不重合．联结PB．以点P为端点作射线PM交AB于点M，使∠BPM=∠BAC．∠求证：△PBC∽△MPA．∠是否存在点P，使△PBM为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图∠,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”.【试题再现】如图∠,在∠ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B作AD∠DE于点D,BE∠DE于点E.求证:∠ADC∠∠CEB．【问题探究】在图∠中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB 上的相似点,并说明理由.【深入探究】如图∠,AD∠BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作AB∠AD于点A,交BC于点B．(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.13．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连接PB ，过点P 作PE PB ⊥，交射线DC 于点E ，已知3AD =，4AB =.(1)求PEPB的值； (2)当PCE ∆是以PC 为底的等腰三角形时.请求出AP 的值;14．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（,90AB BC ABC =∠=︒）放入一个“U ”形槽中，使三角形的三个顶点A 、B 、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知90D E ∠=∠=︒，在滑动过程中，你发现线段AD 与BE 有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若B FDE C ∠=∠=∠，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在ABC ∆中，BA BC =，45B ∠=︒，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的动点，且2AF BD =．以DF 为腰向右作等腰DEF ∆，使得DE DF =，45EDF ∠=︒，连接CE ．∠试判断线段DC 、BD 、BF 之间的数量关系，并说明理由；∠如图4，已知2AC =，点G 是AC 的中点，连接EA 、EG ，直接写出EA EG +的最小值．15．感知∠（1）数学课上，老师给出了一个模型∠如图1，∠BAD =∠ACB =∠AED =90°，由∠1+∠+2+∠BAD =180°，∠2+∠D +∠AED =180°，可得∠1=∠D ；又因为∠ACB =∠AED =90°，可得∠ABC ∠∠DAE ，进而得到BCAC= ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用∠（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在∠ABC 中，点D 在边BC 上，并且DA=DE ，∠B =∠ADE =∠C ．若BC =a ，AB=b ，求CE 的长度（用含a ，b 的代数式表示）．拓展∠（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若∠DEF =∠B ．求证∠AB ·FE =BE ·DE ．16．[模型建立](一线三等角)（1）如图1，等腰Rt ABC 中，90,,ACB CB CA ∠=︒=直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点,D 过点B 作BE ED ⊥于点,E 求证：BEC CDA ≌；[模型应用]（2）如图2，直线14:43l y x =+与坐标轴交于点,A B 、直线2l 经过点A 与直线1l 垂直，求直线2l 的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点()6,8,B -过点B 作BA x ⊥轴于点A BC y ⊥、轴于点,C 点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线22y x =-+上的动点且在第四象限内．若CPD △成为等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．参考答案1．C解：设AP=x ，则BP=7-x ，然后根据对应关系，分情况为：∠当∠ADP∠∠BCP 时，可得AD APBC BP =，即237x x =-，解得x=145，这时有一个P点；∠当∠ADP∠∠BPC 时，可得AD APBP BC =，即273x x =-，解得x=1或x=6，因此这样的点有两个；因此符合条件的P 点共有3个. 故选C【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和相似三角形的对应关系，列出相应的比例式，求解即可.2．C解：过点E 作EH ∠BC 的延长线于点H ,因为∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,所以∠BAP=∠EPH ,因为∠B=∠H,所以∠ABP ∠∠PHE ,设EH =a ,因为∠ECH=45°,∠H=90°,所以CH =EH =a ,因为BP =x ,所以CP =4-x ,根据相似三角形的性质,可知AB PHBP EH=,即 44x ax a-+=,整理得:()()40x a x --=,解得()124,x x a ==不符合题意,所以y 与x 的函数关系式为:()211142222y PC EH x x x x =⨯⨯=⨯-⨯=-+,故选C.3．D 【分析】典型的“一线三等角”，构造相似三角形△AOB∠∠DPC,即可证明△PCD∠∠BPA ，由相似比求得边的相应关系，从而求解．解：在x 轴上找点D （4,0），连接CD.由12y x m =+可得A(-2m ，0 )，B(0，m )，直线12y x m =+不经过第四象限，所以m>0,所以OA=2m ，OB=m ；因为C 坐标为()0,2，点D （4,0）所以OC=2，OD=4, 因为12OB OC OA OD ==,∠AOB=∠DOC=90° ,所以△AOB∠∠DPC,所以∠CDO=∠BAO. 又因为BPC BAO ∠=∠，所以根据三角形内角和和平角定义可得：∠APB+∠1=∠APB+∠CPD所以∠1=∠CPD ，又因为∠CDO=∠BAO ，所以△PCD∠∠BPA ，所以AB APDP DC= , 因为点P 为OA 的中点，所以AP=OP=m ，PD=m+4，Rt △AOB 中，由勾股定理得m ，同理得AB APDP DC ==，解得m=6. 故选D.【点拨】本题考查一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，4．B 【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM ＝32=，MO ＝3，进而得出答案． 解：如图，过点A 作AE ∠x 轴于点E ，过点B 作BF ∠x 轴于点F ，过点A 作AN ∠BF 于点N ，过点C 作CM ∠x 轴于点M ．∠∠EAO +∠AOE =90°，∠AOE +∠MOC =90°， ∠∠EAO =∠COM ， 又∠∠AEO =∠CMO =90°，∠∠AEO ∠∠OMC ， ∠OE AE CM OM=， ∠∠BAN +∠OAN =90°，∠EAO +∠OAN =90°，∠∠BAN =∠EAO =∠COM ，在△ABN 和△OCM 中，BNA CMO BAN COM AB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABN ∠∠OCM （AAS ），∠BN =CM ．∠点A （﹣1，2），点B 的纵坐标是72， ∠BN 32=， ∠CM 32=， ∠1232OM =，∠MO =3，∠点C 的坐标是：（3，32）． 故选：B ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM 的长是解题的关键.5．75解：∠∠ABC 是等边三角形，∠∠A =∠B =∠C =60°，AB =AC =BC =8，∠AD =2，∠DB =6，由折叠的性质可知，∠EDF =∠C =60°，EC =ED ，FC =FD ，∠∠AED +∠EDA =120°，∠EDA +∠BDF =120°，∠∠AED =∠BDF ，∠∠AED ∠∠BDF ，∠DF DE =BD DF BF AE AD DE ++++=BD BC AD AC ++=1410=75，∠CF CE =DF DE =75，故答案为75． 点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．6．∠∠∠【分析】当D′落在线段AB 上时，D′B 的值最小，此时D′B ＝AB ﹣AD ＝3，得出∠正确； 过D′作MN∠AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，证出∠ED′M ＝∠D′AN ，因此△EMD′∠∠D′NA ，得出对应边成比例ED EM AD D N ='''，求出x ＝4，得出AN ＝BN ，因此AD′＝D′B ，得出∠正确；当DE ＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E 、D′、B 在一条直线上，作EF∠AB 于点F ，由勾股定理求出D′B 、EB ，得出∠不正确；当AD′＝D′B 时，由勾股定理的逆定理得出△ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，由勾股定理求出D′B ，得出AD′≠D′B ，因此△ABD′不可能是等腰直角三角形，得出∠正确．解：当D′落在线段AB 上时，D′B 的值最小，如图1所示：此时D′B ＝AB ﹣AD ＝8﹣5＝3，∠∠正确；过D′作MN∠AB 交AB 于点N ，交CD 于点M ，如图2所示：设AN ＝x ，则EM ＝x ﹣2.5，∠∠AD′N ＝∠DAD′，∠ED′M ＝180°﹣∠AD′E ﹣∠AD′N ＝180°﹣90°﹣∠AD′N ＝90°﹣∠AD′N ，∠∠ED′M ＝90°﹣∠DAD′，∠∠D′AN ＝90°﹣∠DAD′，∠∠ED′M ＝∠D′AN ，∠MN∠AB ，∠∠EMD′＝∠AND′，∠∠EMD′∠∠D′NA ， ∠ED EM AD D N='''， 即，2.55=解得：x ＝4，∠AN ＝BN ，∠AD′＝D′B ，即△ABD′是等腰三角形，∠∠正确；当DE＝2时，假设△ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF∠AB于点F，如图3所示：D′B==∠2∠∠不正确；当AD′＝D′B时，52+52≠82，∠∠ABD′不是直角三角形，当△ABD′是直角三角形时，D′B=∠AD′≠D′B，∠∠ABD′不可能是等腰直角三角形，∠∠正确；故答案为∠∠∠．【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．7．∠∠解：试题分析：在∠ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，又∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，可得∠ADE+∠AED+∠A =∠AED+∠DEC+∠BEC，由∠A=∠DEC，可得∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，根据两角对应相等的两三角形相似，可得∠ADE∠∠BEC，可得DE AEEC BC=，又AE=BE，得到DE BEEC BC=，又∠DEC=∠B，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可知∠CDE∠∠CEB，然后根据相似三角形的对应角相等，可得∠DCE=∠BCE，因此EC平分∠BCD，即∠成立；同理∠ADE∠∠EDC，因此DE平分∠ADC；即∠成立；而∠DE平分∠AEC 不一定成立；∠CE平分∠DEB不一定成立．故答案为：∠∠.8．（1）证明见分析；（2）点E在BC中点位置时，BAE EAF∠=∠，证明见分析．【分析】（1）先根据正方形的性质可得90B C∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质、角的和差可得BAE CEF∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得,B ECH BAE H∠=∠∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE HE=，然后根据等腰三角形的判定与性质可得EAF H∠=∠，最后根据等量代换即可得．解：（1）四边形ABCD是正方形，90B C∴∠=∠=︒，90BAE BEA∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90BEA CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，在ABE △和ECF △中，B C BAE CEF ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABE ECF ∴；（2）点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠，证明如下：如图，连接AF ，延长AE 于DC 的延长线相交于点H ， E 为BC 中点，BE CE ∴=，四边形ABCD 是正方形，//AB DH ∴，,B ECH BAE H ∴∠=∠∠=∠，在ABE △和HCE 中，BAE H B ECH BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE HCE AAS ∴≅，AE HE ∴=，EF AH ⊥，AFH ∴是等腰三角形，EAF H ∴∠=∠，BAE EAF ∴∠=∠，故当点E 在BC 中点位置时，BAE EAF ∠=∠．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键．9．(1)理由见详解；（2）2BD =1，理由见详解．【分析】（1）根据题目已知条件易得：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，问题得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∠AD=AE ，∠AD=DE ，∠AE=DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）如图可知：180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，∴ 180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒ 又B ADE C ∠=∠=∠∴EDC DAB ∠=∠∴BDA CED △∽△．（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC=2，∴AB=AC=2∠当AD=AE 时，∴ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．∠当AD=DE 时，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）结论可知：BDA CED ≌∴∴2BD =∠当AE=DE 时，45ADE DAE ∠=∠=︒∴AED 是等腰直角三角形45B ∠=︒，∴==45B C DAE ∠∠∠=︒∴90ADC ∠=︒，即AD BC ⊥ ∴1=12BD BC =．综上所诉：2BD =1．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．10．（1）详见分析；（2）△ABD ∠∠ACD ；△APN ∠∠ACP ；△APN ∠∠QCN ；△ACP ∠∠QCN ；（3）1.5．【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABP ＝∠PCN ＝60°，利用角的和差证明∠BAP ＝∠CPN ，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC 是正三角形，AD 是边BC 上的高线，由三线合一可证△ABD ∠∠ACD ；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN ∠∠ACP ；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∠∠QCN ；因为△APN ∠∠ACP ，△APN∠∠QCN ，所以△ACP ∠∠QCN ；（3）当点P 在BD 的中点运动到DC 的中点时，利用相似三角形性质，设PB ＝x ，CN ＝y ，则3≤x ≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：1212y x x -=，解得2112y x x =-+，又利用函数图象可知：当x ＝3或9时，y ＝94，当x ＝6时，y 最大＝3，所以点N 运动的路径长为：（3－94）×2＝1.5． 解：（1）在正三角形ABC 中，∠ABP ＝∠PCN ＝60°，∠∠BAP +∠BP A ＝120°，又∠∠APQ ＝60°，∠∠CPN +∠BP A ＝120°， ∠∠BAP ＝∠CPN ，∠∠ABP ∠∠PCN ；（2）△ABD ∠∠ACD ；△APN ∠∠ACP ；△APN ∠∠QCN ；△ACP ∠∠QCN ；理由：∠△ABC 是正三角形，AD ∠BC ，由三线合一可证△ABD ∠∠ACD ；∠∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP ，∠△APN ∠∠ACP ；∠∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∠△APN∠∠QCN ；∠△APN ∠∠ACP ，△APN∠∠QCN ，∠△ACP ∠∠QCN ；（3）能，设PB ＝x ，CN ＝y ，由第（1）题可得：1212y x x -=， ∠2112y x x =-+，又3≤x ≤9，利用函数图象可知： 当x ＝3或9时，y ＝94，当x ＝6时，y 最大＝3； ∠点N 运动的路径长为：（3－94）×2＝1.5． 【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．11．（1）C （-4，0）；（2）∠证明见分析，∠存在．使△PBM 为直角三角形的点P 有两个P1（-94，0），P2（0，0）． 【分析】（1）根据B 点坐标求得直线解析式，再求得A 点坐标，然后根据A 与C 关于y 轴对称，据此即可确定C 的坐标；（2）∠根据点C 与点A 关于y 轴对称，即可得到BC=BA ，则∠BCP=∠MAP ，再根据三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC ，从而证得两个三角形相似；∠首先求得B 的坐标，当∠PBM=90°时，则有∠BPO∠∠ABO ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得PO 的长，求得P 的坐标；当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP∠AC ，则此时点P 与点O 重合．则P 的坐标可以求得．（1）解：∠直线y=-34x+b与y轴相交于点B（0，3），∠b=3，∠直线的解析式为y=-34x+3，令y=0，得到x=4，∠A（4，0），∠点C与点A关于y轴对称，∠C（-4，0）；（2）∠证明：∠∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，∠∠PMA=∠BPC，又∠点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，∠∠BCP=∠MAP，∠∠PBC∠∠MPA；∠解：存在．由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）当∠PBM=90°时，则有∠BPO∠∠ABO，∠POBO=BOAO，即PO3=34，∠PO=94，即：P1（-94，0）．当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，∠∠PAM+∠MPA=90°，∠∠BPM=∠BAC，∠∠BPM+∠APM=90°，∠BP∠AC．∠过点B只有一条直线与AC垂直，∠此时点P与点O重合，即：符合条件的点P2的坐标为：P2（0，0）．∠使∠PBM为直角三角形的点P有两个P1（-94，0），P2（0，0）．【点拨】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12．【试题再现】见分析；【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点. 理由见分析；【深入探究】(1) 点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，见分析；(2)解：试题分析：【试题再现】易证∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得∠ADC∠∠CEB.【问题探究】要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明∠ADE∠∠BEC，所以问题得解．【深入探究】（1）分别证明∠ADP∠∠PDC,∠BPC∠∠PDC,从而∠ADP∠∠PDC∠∠BPC,故点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.（2）过点P作PE∠DC于点E,过点D作DF∠BC于点F,则四边形ABFD是矩形,通过证明∠ADP∠∠EDP和∠CBP∠∠CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt∠CDF中,由勾股定理,得解：【试题再现】∠∠ACB=90°,∠∠ACD+∠BCE=90°,∠AD∠DE,∠∠ACD+∠CAD=90°,∠∠BCE=∠CAD,∠∠ADC=∠CEB=90°,∠∠ADC∠∠CEB.【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由如下:∠∠DEC=40°,∠∠DEA+∠CEB=140°.∠∠A=40°,∠∠ADE+∠AED=140°,∠∠ADE=∠CEB,又∠∠A=∠B,∠∠ADE∠∠BEC,∠点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.【深入探究】(1)∠AD∠BC,∠∠ADC+∠BCD=180°,∠DP 平分∠ADC,CP 平分∠BCD, ∠∠CDP+∠DCP=12(∠ADC+∠BCD)=90°, ∠DA∠AB,DA∠BC,∠CB∠AB,∠∠DPC=∠A=∠B=90°,∠∠ADP=∠CDP,∠∠ADP∠∠PDC,同理∠BPC∠∠PDC,∠∠ADP∠∠PDC∠∠BPC,即点P 是四边形ABCD 的边AB 上的一个强相似点.(2)过点P 作PE∠DC 于点E,过点D 作DF∠BC 于点F,则四边形ABFD 是矩形,∠DF=AB,在∠ADP 与∠EDP 中,ADP EDP,DAP DEP 90,DP DP,∠∠∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩∠∠ADP∠∠EDP,∠AD=DE,同理∠CBP∠∠CEP,∠BC=EC,∠DC=AD+BC=8.在Rt∠CDF 中,CF=BC -BF=BC -AD=5-3=2,由勾股定理,得13．(1)34;(2)75. 分析：（1）如图，过点P 作CD 的垂线，分别交AB 、CD 于M 、N ，易证△PNE∠∠BMP,从而证得PE 3tan PB 4PN PN ACD BM CN ===∠= （2）首先证明BP=BC,再过点B 作BF 垂直AC 得PF=CF,由cos ,BC FC FCB AC BC ∠==得9,5FC PF == 根据AP=AC -PC 即可求解.解：（1）P CD AB CD M N 过点作的垂线，分别交、于点、，90PNE ∴∠︒＝．ABCD 四边形是矩形，//90,AB CD ABC BCD ，∴∠=∠=︒BCMN 四边形是矩形，∴90,BMP BM CN ∴∠=︒=90,90,PNE BPE ∠=︒∠=︒90,90,NPE PCN MPB MPE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒,90PEN MPB PNE BMP ∴∠=∠∠=∠=︒又~,PNE BMP ∴∆∆PE 3tan .PB 4PN PN ACD BM CN ∴===∠= 34PE PB ∴的值为 （2）.PE CE EPC ECP =∠=∠当，则 ABCD 四边形是矩形，90,BCD ∴∠=︒,PE PB ⊥90.BPE ∴∠=︒BPC BCP ∴∠=∠.BP BC ∴=B BF AC F PF CF.⊥=过点作于点，则cos ,BC FC FCB AC BC∠== 3,53FC ∴= 9,5FC ∴= 9.5PF ∴= 187555AP AC PC ∴=-=-= 【点拨】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．14．【小问1】AD BE =，说明见分析【小问2】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；说理见分析【小问3】∠BD BF CD +=，理由见分析；∠AE EG +【分析】（1）【问题情境】证明()ABD BCE AAS ∆≅∆，即可求解．（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．（3）【拓展应用】∠等量代换即可求解；∠在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，先证明()BDF MED SAS ∆≅∆，得到EM ＝CM ，在求出22.5ECM MEC ∠=∠=︒，即可确定E 点在射线CE 上运动，当A 、E 、N 三点共线时，EA ＋EG 的值最小，最小值为AN ，在Rt ANC 中求出AN 即可．解：（1）【问题情境】AD BE =，理由如下：90ABC ∠=︒，90ABD CBE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，BAD CBE ∴∠=∠，AB BC =，()ABD BCE AAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）【变式探究】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；理由如下：B FDEC ∠=∠=∠，180EDB BED EDB FDC FDC DFC EDF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，BED FDC ∴∠=∠，EDB DFC ∠=∠；（3）【拓展应用】∠AB BC =，AF BF BD CD ∴+=+，2AF BD =，2BD BF BD CD ∴+=+，BD BF CD ∴+=；∠在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ， 45B ∠=︒，45EDF ∠=︒，BFD EDM ∴∠=∠，DF DE =，()BDF MED SAS ∴∆≅∆，BD EM ∴=，EM BD =，45B DME ∠=∠=︒，CD BD BF =+，CM BD ∴=，EM CM ∴=，MCE MEC ∴∠=∠，45EMD ∠=︒，22.5ECM MEC ∴∠=∠=︒，E ∴点在射线CE 上运动， G 点与N 的关于CE 对称，EG EN∴=，EA EG EA EN AN∴+=+，∴当A、E、N三点共线时，EA EG+的值最小，最小值为AN，45B∠=︒，AB BC=，67.5ACB∴∠=︒，45ACE∴∠=︒，由对称性可知，ACE ECN∠=∠，90ACN∴∠=︒，点G是AC的中点，2AC=，1CG∴=，1CN∴=，在Rt ANC中，ANAE EG∴+【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．15．（1）AEDE；（2）CE=a-b；（3）见分析【分析】（1）根据相似三角形的性质即可求得结果；（2）由已知易证∠ADB∠∠DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度；（3）作CG//FE交DE于点G，易证得∠FBE∠∠EGC，从而可得BEFE=CGEC；可证得∠DGC∠∠DCE，可得DCDE=CGEC，即有BEFE=DCDE，再由AB=CD即可得要证的结论．解：（1）∠∠ABC∠∠DAE∠BC AE AC DE故答案为：AE DE；（2）∠∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠∠EDC=∠BAD又∠DA=DE∠∠ADB∠∠DEC∠EC=BD，AB=DC=b∠BD=BC-DC=a-b．即：CE=a-b．（3）∠∠DEF=∠B∠∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC∠∠BFE=∠DEC．作CG//FE交DE于点G，如图3．∠∠DEF=∠EGC∠∠B=∠EGC∠∠FBE∠∠EGC∠BEFE=CGEC∠四边形ABCD是平行四边形∠∠B+∠BCD=180°∠∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC ∠∠DGC=∠BCD又∠∠EDC=∠CDG ∠∠DGC∠∠DCE∠DCDE=CGEC∠BEFE=DCDE∠DC·FE=BE·DE又∠四边形ABCD是平行四边形∠AB=DC∠AB·FE=BE·DE【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点．16．（1）答案见分析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝3944x--；（3）点D的坐标为2238,33⎛⎫-⎪⎝⎭或(8，﹣14)或1626,33⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：∠BEC∠∠CDA；（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明∠BOA∠∠AED，求出点D的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；（3）分三种情况：∠如图3，∠CPD=90°时，∠如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，∠如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D 的坐标．解：（1）如图1所示：∠AD∠ED，BE∠ED，∠∠ADC=∠CEB=90°，又∠∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BEC=90°，又∠∠ACD+∠DAC=90°，∠∠DAC=∠ECB ，在∠CDA 和∠BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠CDA∠∠BEC （AAS ）；（2）如图2，在l 2上取D 点，使AD=AB ，过D 点作DE∠OA ，垂足为E ，∠直线y=43x+4与坐标轴交于点A 、B ， ∠A （-3，0），B （0，4），∠OA=3，OB=4，由（1）得∠BOA∠∠AED ，∠DE=OA=3，AE=OB=4，∠OE=7，∠D （-7，3）设l 2的解析式为y=kx+b ，∠3703k b k b-+⎧⎨-+⎩＝＝ 解得3494k b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∠直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --； （3）点D 的坐标为223833⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫- ⎪⎝⎭，分三种情况：∠如图3，∠CPD=90°时，过P作MH∠x轴，过D作DH∠y轴，MH和DH交于H，∠∠CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，∠CP=PD，同理得∠CMP∠∠PHD（AAS），∠DH=PM=6，PH=CM，设PH=a，则D（6+a，a-8-6），∠点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．∠a-8-6=-2（6+a）+2，解得：a=43，∠D（2238,33）；∠如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE∠y轴于E，∠∠CPD是等腰直角三角形，同理得∠AOC∠∠CED，∠OA=CE=6，OC=DE=8，∠D（8，-14）；∠如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∠x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°，∠∠CDP是等腰直角三角形，同理得∠PQD∠∠DMC，∠PQ=DM，DQ=CM，设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，∠D（6-b，-8-b），∠点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，∠-8-b=-2（6-b）+2，解得：b=23，∠D（1626,33-）；综上，点D的坐标为223833⎛⎫-⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫-⎪⎝⎭，【点拨】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题．。
几何中的相似三角形模拟试题
几何中的相似三角形模拟试题1.题目描述在平面几何中，相似三角形是常见的几何形状。
相似三角形具有相等的形状，但是尺寸不同。
本文将模拟几个相似三角形相关的试题，帮助读者加深对相似三角形的理解。
2.试题一已知△ABC中，∠A=58°，∠B=72°，且BC=12cm。
设△DEF与△ABC相似，且∠D=72°，求EF的长度。
解析：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应角度相等。
可知∠D与∠B相等，且∠D=72°，∠B=72°，所以∠D=∠B。
根据对应角相等，可得∠F=∠C，且∠F=∠C=58°。
根据相似三角形的性质，对应角相等，边长成比例。
设EF为x，BC为12cm，则根据比例有：EF/BC = DF/AC = AF/AB代入已知条件和计算结果，得到：x/12 = DF/AC = AF/AB由于已知AC=BC=12cm，且DF为未知数，可以通过等式的形式计算DF：x/12 = DF/12化简等式，得到：x = DF所以EF的长度为DF的长度，即EF = DF。
由于无法通过已知条件直接计算出DF的值，因此无法得到EF的具体数值。
3.试题二已知△ABC中，AC = 16cm，BC = 20cm，且BC // DE，AD = 5cm，求DE的长度。
解析：由已知条件可知，△ABC与△ADE相似，因为AD为BC的一条平行线，所以AD与BC平行，所以AD与BC的对应角相等。
即∠B =∠D。
根据相似三角形的性质可得，边长成比例，即：DE/BC = AD/AC代入已知条件和计算结果，得到：DE/20 = 5/16化简等式，得到：DE = 5 * 20 / 16计算得到：DE = 6.25cm所以DE的长度为6.25cm。
4.试题三已知△ABC与△DEF相似，且AB/DE = 2/5，AC/DF = 3/7，求BC/EF的值。
解析：根据相似三角形的性质，边长成比例。
几何推理练习题相似三角形
几何推理练习题相似三角形几何推理练习题：相似三角形几何推理是数学中的一种重要思维方式，通过观察、分析和推理几何图形的属性来解决问题。
相似三角形是几何推理中常见的一种情况，它们具有相等的夹角，并且对应边的比例相等。
本文将介绍一些相似三角形的练习题，帮助读者巩固几何推理的能力。
1. 练习题一已知△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=5 cm。
连接点A和点D，使得∠BCD=90°。
如果AD=4 cm，求BC的长度。
解析：根据题目可以得知，△ABC和△BCD为相似三角形，因为∠A=∠BCD。
根据相似三角形的性质，可以列出比例关系式：AB/BC = BC/BD代入已知数值，可得：5/BC = BC/4通过交叉相乘求解，得到：BC^2 = 20因此，BC = √20 = 2√5 cm。
2. 练习题二已知△ABC和△ADE相似，且BC=8 cm，AC=10 cm，DE=12 cm。
如果BD=9 cm，求AE的长度。
解析：根据题目可以得知，△ABC和△ADE为相似三角形，因此可以列出比例关系式：AB/AE = BC/DE代入已知数值，可得：AB/AE = 8/12 = 2/3通过交叉相乘求解，得到：AB * 3 = AE * 2已知BD=9 cm，根据△ABD的相似比例关系，可以得到：AB/BD = AE/DE代入已知数值，可得：AB/9 = AE/12将AB的值代入上述等式，可得：(2/3) * 9 = AE/12通过简单的计算，可以得到：AE = 2 * 9 / 3 = 6 cm因此，AE的长度为6 cm。
3. 练习题三已知两个相似三角形，它们的周长比为7:4，面积比为49:16。
求这两个三角形的边长比和面积比。
解析：设两个相似三角形的边长比为a:b，面积比为c:d。
根据题目可得以下比例关系：(a+b)/(c+d) = 7/4 --（1）(a^2+b^2)/(c^2+d^2) = 49/16 --（2）将（1）式两边同乘4(c+d)，可得：4(a+b) = 7(c+d)化简后得：4a + 4b = 7c + 7d --（3）将（2）式两边同乘16(c^2+d^2)，可得：16(a^2+b^2) = 49(c^2+d^2)化简后得：16a^2 + 16b^2 = 49c^2 + 49d^2 --（4）由（3）式可得：4(a+b) - 7(c+d) = 0化简后得：4a + 4b - 7c - 7d = 0 --（5）由（4）式可得：16(a^2 + b^2) - 49(c^2 + d^2) = 0化简后得：16a^2 + 16b^2 - 49c^2 - 49d^2 = 0 --（6）通过求解方程组（5）和（6），可以得到a:b的值为7:4，c:d的值为49:16。
三角形相似练习题
三角形相似练习题三角形相似练习题在数学中，三角形相似是一个重要的概念。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形之间存在着特殊的比例关系，这对于解决各种几何问题非常有用。
在本文中，我将给出一些三角形相似的练习题，帮助读者熟练掌握这一概念。
练习题一：已知两个三角形ABC和DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，AB/DE=2/3。
问是否可以得出这两个三角形相似？解答：根据相似三角形的定义，我们需要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例。
在这个问题中，已经给出∠A=∠D和∠B=∠E，所以只需要验证对应边是否成比例。
已知AB/DE=2/3，我们可以通过交叉相乘的方式得到AB/DE=BC/EF。
由此可得AB/BC=DE/EF=2/3。
因此，根据对应边成比例的条件，我们可以得出三角形ABC和DEF相似。
练习题二：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，AC/DF=4/7。
若BC=8，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF。
已知AB/DE=3/5，BC=8，所以可以得到3/5=8/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到3EF=40，因此EF=40/3。
练习题三：已知三角形ABC和DEF相似，且AC/DF=5/9，AB/DE=3/5，BC=12。
求EF的长度。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AC/DF=BC/EF。
已知AC/DF=5/9，BC=12，所以可以得到5/9=12/EF。
通过交叉相乘的方式可以得到5EF=108，因此EF=108/5。
练习题四：已知三角形ABC和DEF相似，且AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
求三角形ABC和DEF的周长比。
解答：根据相似三角形的定义，我们可以得知AB/DE=BC/EF=AC/DF。
已知AB/DE=3/5，BC/EF=4/7，AC/DF=6/11。
我们可以通过求这些比例的平均值来得到周长比。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何形状的比较和计算中起着重要的作用。
通过相似三角形的练习题，我们可以加深对这一概念的理解，并提高解决几何问题的能力。
下面，我将给大家提供一些相似三角形的练习题，并附上详细的解答。
1. 题目：已知两个三角形ABC和DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE = BC/EF = AC/DF。
证明三角形ABC与三角形DEF相似。
解答：根据已知条件，我们可以得到三个比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
根据相似三角形的定义，我们知道如果三个角分别相等，并且对应的边的比例相等，那么这两个三角形是相似的。
首先，由于∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以三个角分别相等。
其次，根据比例关系AB/DE = BC/EF = AC/DF，我们可以得到AB/DE = BC/EF，即AB/BC = DE/EF。
同理，AB/AC = DE/DF。
综上所述，根据相似三角形的定义，我们可以得出结论：三角形ABC与三角形DEF相似。
2. 题目：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，求EF的长度。
解答：根据相似三角形的性质，我们知道相似三角形的对应边的比例相等。
即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
已知AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，代入比例关系得：6/9 = 8/EF = 10/DF。
解方程可得EF = 8/6 × 9 = 12cm。
所以，EF的长度为12cm。
通过以上两个练习题，我们可以看到相似三角形的概念在解决几何问题时起到了重要的作用。
相似三角形的性质和定理可以帮助我们推导出一些几何关系，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，相似三角形的概念也经常被用于测量高度、距离等问题。
例如，通过测量一棵树的阴影和一个人的阴影的长度，可以利用相似三角形的原理计算出树的高度。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
相似三角形几何题(含答案)
相似三角形几何题(WORD 版，有答案）1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。
求证：AC AF AB AE ⋅=⋅；F O E DBA2为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、 丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分)（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立 在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视 力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分)（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．HH（图1）（图2） （图3）3.5㎝ACF3mB5mDA B CD EF P ·4已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．5．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．6．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．7．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC 与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．8．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC 交AB 于E 点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．9．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．10．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．11．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?14．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．(1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?15、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC△是直角三角形，90ACB∠=，点A C，的坐标分别为(30)A-，，(10)C，，43=ACBC．(13分)（1）求过点A B，的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB△与ABC△相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP DQ m==，问是否存在这样的m使得APQ△与ADB△相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．16．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．17．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．18．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD?A COBxy19．(本题10分)正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．20．(本题10分)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2ACAB=时，如图2，求OF OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，ACn AB=时，请直接写出OF OE 的值．21（6分）一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm ×3.5cm ，放映的银幕规格为2m ×2m ，若影机的光源距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图像刚好布满整个银幕？DMA BCNBBA A C OE D DE C O F图1 图2 F22．（6分）如图13，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. （1）⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. （2）求∠1+∠2的度数.23．（6分）如图13，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点． （1）试问：△ADE 与△BCF 全等吗？请说明理由;（2）若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长．24（6分）已知：如图14，在△ABC 中，AB=AC=a ，M 为底边BC 上任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ，交AB 于Q. （1）求四边形AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；BACPQ MBCDOFF E O CBAAA A BBBCCCD DDOE FGPMN⑴⑵⑶25（6分）如图15，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB=3，BC=1.连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R.（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长； （2）观察图形，请你提出一个与点．．P ．相关．．的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）．26（6分）（1）如图16（1），在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，易知AC ⊥BD ，AC CO =21； （2）如图16（2），若点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，即21=DC DE ，过D 作DG ⊥AE ，分别交AC 、BC 于点F 、G.求证：31=AC CF ； （3）如图16（3），若点P 是正方形ABCD 的边CD 上的点，且nDC DP 1=（n 为正整数），过点D 作DN ⊥AP ，分别交AC 、BC 于点M 、N ，请你先猜想CM 与AC 的比值是多少？然后再证明你猜想的结论.27（8分）如图17，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．28．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .（1）求证：△CEB ∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.29．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置， (1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离．30．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：（1n1 2 3 n x（2）第n 个正方形的边长n = ；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p ，，，的关系．AB C DMF E /CB/A/DB BC A2x3x1x答案1．方法１：连接ＥＤ，ＤＦ，证⊿ＡＤＥ∽⊿ＡＢＤ，得AB AE AD •=2同理可证⊿ＡＤＦ∽⊿ＡＣＤ，得AC AF AF •=2故，ＡＥ·ＡＢ＝ＡＦ·ＡＣ方法２：连接ＥＦ，ED证⊿ＡＥＦ∽⊿ＡＣＢ2．⑴在Ｒt ⊿ＡＢＣ中，ＡＣ＝22CD AD +＝223.42.3+＞5故，可行；⑵ 1.8；⑶利用⊿ＡＥＤ∽⊿ＡＣＢ可求得ＦＤ＝2.1m3．(1)证⊿DA Ｆ∽⊿ＡBC(2) )0(273〉+=x x y(3)当点P 运动到点E 的位置,即x ＝12.5时,△PBC 的周长最小，此时y 的值为64.54．(1)4943+=x y（2）过点Ｂ作AB 的垂线交x 轴于点D ， D 点的坐标为（3.25,0） (3)存在,m ＝925或36125 5．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5．6．.cm 133提示：连结AC ．7．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 8．C (4，4)或C (5，2)．9．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．A C OBxyD10．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－ .12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时，△ABD ≌△DCE ．可得.12-=x当∠ADE 为底角时：⋅=21AE 11．(1)S ＇∶S ＝1∶4； (2)).40(41162<<+-=x x x y 12．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P13．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)； (2))49,43(-D 或D (1，－2)．14．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350 (3)t ＝2或3．15．(1)略； (2));30(8311832≤<+-=x x x S 16.梯子长为cm 440 17.cm DO cm CO 65.55,35.103==（提示：设xcm DO =，则()cm x CO -=159，因为AB BD AB AC ⊥⊥,，︒=∠=∠90B A ，BOD AOC ∠=∠，所以△AOC ∽△BDO ，所以DO CO BO AO =即x x -=1594278，所以65.55=x ） 18.b a BD 2=（提示：由△ACB ∽△CBD ，得BC a a b BD CB CD AC ==,，所以b a BD 2=） (3)当x ＝3时，S 最大值33=．19．解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°，在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM x MC CN x CN∴=∴=-，，244x x CN -+∴=， ()222141144282102422ABCN x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·，当2x =时，y 取最大值，最大值为10．（3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM AB MN BM=，由（1）知AM AB MN MC=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．20．解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°，．90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥，°，90BOA ABF ∠+∠=°，ABF COE ∴∠=∠．ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB =，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==．由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△，BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=°，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，，又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OG OE BF AB ===． 解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==°，，⊥于D ， Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD AC BD AB ∴==． 设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴=== 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°，△∽△，BD BO DF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==， BA D E C O FGB ADE C O F5DF x=，x ∴=．在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==． （3）OF n OE=． 21807cm 22．相似，450 23．（1）全等，略；（2）CF ==cm 24．（1） 2a ；（2）△ABC ∽△QBM ∽△PMC ； 25．（1）BF=BG=3；（2）略 26．（1）略；（2）猜想11+=n AC CM ，证明略 27．（1）经过1秒或2秒后；（2）经过32秒或125秒时 28．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD= ∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 29．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等 又对应边成比例 ∴此两个菱形相似∴B D BD '=,∴12B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´1 30．（1）2483927，， （2）23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x = 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2233m n p q ++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n p q ∴+=+。
相似三角形经典题75题
相似三角形：填空：1. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为，面积为．2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC= ．3. 五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，∠A=120°，∠B′=130°，∠C=105°，∠D′=85°，则∠E=．4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C，AB=6，AD=4，AC=5，则AE= ．5. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．6. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到0.01cm）．7. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），AC=6，则CD= ．8．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1S2．（填“＞”“=”或“＜”）9．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）10．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（）对11．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．12．如图，C是AB的黄金分割点，BG=AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的矩形的面积为S2，则S1S2（填“＞”“＜”“=”）．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC 于点N，则MN等于（）14．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．15．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G，则的值是．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= ．17．如图，在△ABC中，BC=a．若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1=；若D2，E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2=…若D n E n分别是D n﹣1B，E n﹣1C的中点，则D n E n的长是多少（n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示）？18．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（）19．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．20．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）21．如图，▱ABCD中，E、F分别为AD、BC上的点，且DE=2AE，BF=2FC，连接BE、AF交于点H，连接DF、CE交于点G，则= ．22．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB交AC 于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记做S1，取BE边中点E1，作E1D1∥FB交EF于点D1，E1F1∥EF交AB于点F1，得到四边形E1D1FF1，它的面积记做S2．照此规律作下去，则S2013= ．解答：1．已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD，BC于点F，G，∠1=∠2．则证明BF2=FG•EF．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE 相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．5．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM 交AC于F，ME交BC于G．写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC 以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB上一点，PE∥BC交CD于点E．若AD=2，BC=，则点P在何处时，PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形？9．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．10．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，设S△ABC=S，S△ABC=S1，S△ECF=S2，请验证．11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB 两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点（点P与点B不重合）？分别求出对应AP的长度．13．如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A，C不重合），点Q在BC上．（1）△CPQ的边PQ上的高为时，求△CPQ的周长；（2）当△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．14．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则==（）2又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则==（）3（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积比等于．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）15．△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC 的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？16．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S N．①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映S n﹣1，S n，S n+1之间关系的等式．（不必证明）17．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．18．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．（1）甲生的方案：如图①，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？（2）乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MM′的上下边沿反射后射人人眼C处．如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．19．在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长．20．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．21．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．22．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．23．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．24．在左图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C=90°（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A′B′C′，其中A、B的对应点分别是A′、B′（不必写画法）；（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）．25．如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E，CD=DE，AC+CD=9．求BC的长．26．如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．27．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．28．如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF 与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．29．如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1．（1）求证：点F为BC的中点；（2）求四边形BEOF的面积．30．E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC 于P，连PF并延长交AB于Q，如图①（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）；（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）31．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．（1）求证：△CBA∽△EDC；（2）请写出点A，点C的坐标（解答过程可不写）；（3）求出线段EF的长．32．Ⅰ．如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：；Ⅱ．如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF，分别交DE于M，N两点．（1）如图②，若AB=AC=1，直接写出MN的长；（2）如图③，探究DM，MN，EN之间的关系，并说明理由．33．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．34．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C 作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．35．已知抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；（3）在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC 相似，求m的值．36．如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A．（1）试问：AB•FG=CF•CA成立吗？说明理由；（2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形．37．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．38．如图①、②在▱ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD 两侧的延长线（或线段CD）相交于点F、G，AF与BG相交于点E．（1）在图①中，求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）在图②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长．39．已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2﹣mn+m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=，DN=，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2﹣16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．40．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）41．（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ•PR=PS•PT；（Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；（Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．42．取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．试问：（1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．43．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．（1）求证：△ADE∽△BEC；（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE 分别平分∠ADC，∠BCD；（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．44．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．45．等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．46．如图：在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点．求证：．47．（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．48．如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．求证：（1）△ACM≌△BCM；（2）AD•BE=DE•BC；（3）BM2=MN•MF．49．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．50．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB 的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．51．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．52．如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，（1）若AB=6，求线段BP的长；（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．53．已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是．对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．解析：填空：1．解：设较大三角形的其他两边长为a，b．∵由相似三角形的对应边比相等∴解得：a=15，b=36，则较大三角形的周长为90，面积为270．故较大三角形的周长为90，面积为270．∴，∵AD=2，AE=3，BD=4，∴，∴CE=6，∴AC=AE+EC=3+6=9．故答案为：9．∴∠B=∠B′=130°，∠D=∠D′=85°，又∵五边形的内角和为540°，∴∠E=540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D=100°，故答案为：100°．∵∠A=∠A，∠AED=∠C，∴△AED∽△ACB．∴，∴，∴AE=．故答案为：．5．解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（﹣2，﹣）或（2，）．xcm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果．根据题意，得=≈0.618，解得x≈7.00故答案为：7.00．∴AD=AC═×6=3﹣3，∴CD=AC﹣AD=6﹣（3﹣3）=9﹣3．故答案为9﹣3．8．解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故答案为：=．9．解：∵∠A=∠A∴①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB时都相似；∵AC2=AP•AB∴AC：AB=AP：AC∴③相似；④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似．所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③．10．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=BC，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．11. 解：设CM的长为x．在Rt△MNC中∵MN=1，∴NC= ，①Rt△AED∽Rt△CMN时，则，即，解得x=或x=（不合题意，舍去），②Rt△AED∽Rt△CNM时，则，即，解得x=或（不合题意，舍去），综上所述，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：或．12．解：由题意得：===1．即：S1=S2．13．解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN•AC=AM•MC，∴MN==．14．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC•BC=AB•CD，即∴AC•BC=AB•CD，故①正确；∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴BC2=BD•BA，故③正确；∴△ACD∽△CBD，∴，∴AC2=AD•AB，CD2=AD•DB，故②错误，④正确．故答案为：①③④．15．解答：解：连接BD，与AC相交于O，∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF=DB，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，∴，∴AG=GO，又OA=OC，∴AG：GC=1：3．故答案为：．16．解答：解：根据题意，AD∥BC∴△AOD∽△COB ∵S△AOD：S△COB=1：9∴=则S△AOD：S△DOC=1：3所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．17．解答：解：在△ABC中、BC=a，若D1、E1分别是AB、AC的中点，根据中位线定理得D1E1==a，∵D2、E2分别是D1B、E1C的中点，∴D2E2=（+a）=a=a，∵D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3=（a+a）=a，…根据以上可得：若Dn、En分别是D n﹣1B、E n﹣1C的中点，则DnEn=a，即D n E n的长是a．18．解答：解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，∴△ACC′为等边三角形，∴BC′=CC′=AC，∴∠B=∠C′AB=30°，∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，即B′C′⊥AB，∴BC′=2C′D，∴BC=B′C′=4C′D，∴C′D：DB′=1：3．19．解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC==6，∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC时，，即：，解得：AE=2，若△ADE∽△ACB时，，即：，解得：AE=，∴当AE=2或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．故答案为：2或．20．解答：解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．21解答：解：∵DE=2AE，BF=2FC，∴BF=2AE，ED=2CF，即有△AHE∽△FHB，△CFG∽△EGD，则=，同理=∴S△BFH=S△ABF=×××S▱ABCD，S△CFG=S△CFD=×S▱ABCD，故S四边形EHFG=S△BCE﹣S△BFH﹣S△CFG=S▱ABCD﹣S▱ABCD S▱ABCD=S▱ABCD．故答案为：22．解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴△ABC的高=AB•sinA=1×=，∵DE、EF是△ABC的中位线，∴AF=，∴S1=××=；同理可得，S2=×；…∴S n=×（）n﹣1；∴S2013=×（）2012=．故答案为：．解答：1．解答：答：BF是FG，EF的比例中项．证明：∵BE∥AC，∴∠1=∠E，∵∠1=∠2，∴∠2=∠E，∴△BFG∽△EFB，∴=，即BF2=FG•EF，2解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又∵F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．4．解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．5．解答：解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM （3分）以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），∠DME=∠A=∠B（已知），∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．（7分）6．解答：解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，=，即=，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，=，即=，解得t=．综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．7．解答：解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．8．解答：解：∵PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形，∴梯形ADEP∽梯形PECB，∴，∵AD=2，BC=，∴PE=3，∴相似比为：，∴AP=AB．9．解答：证明：设AB=2，∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），∴AP1=×2=﹣1，∴P1B=2﹣（﹣1）=3﹣，∵点O是AB的中点，∴OB=1，∴OP1=1﹣（3﹣）=﹣2，∵P2是P1关于点O的对称点，∴P1P2=2（﹣2）=2﹣4，∴P2B=2﹣4+3﹣=﹣1，∵P1B2=（3﹣）2=14﹣6，P2B•P1P2=（﹣1）（2﹣4）=14﹣6，∴P1B2=P2B•P1P2，∴P1B是P2B和P1P2的比例中项．10．解答：证明：∵DE∥BC，EF∥AB∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD=EF，∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，∴，即=1∴．11．解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=，得AC==，∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E∴BC=CD，AE=AD，∴AE=AC﹣CD=；（2）∠EAG=36°，理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=，∴=，∴△FAE是黄金三角形，∴∠F=36°，∠AEF=72°，∵AE=AG，∴∠EAG=∠F=36°．12．解答：解：∵当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣2，∴OA=2，OB=1，∵∠AOB=∠AOP=90°，∴当OA：OB=OP：OA时，△AOP与△AOB相似，∴2：1=OP：2，解得OP=4，故有2个这样的P点为：（0，﹣4）或（0，4），AP==2．若△AOP≌△AOB，则AP=．解答：解：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4，∴BC2+AC2=AB2，∴∠C=90°，设AB边上的高为h，则×3×4=×5h，∴h=，∵PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴====，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴CQ=，CP=1，PQ=，∴△CPQ的周长CQ+CP+PQ=+1+=3；（2）∵△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等，∴CP+CQ+PQ=BQ+PQ+PA+AB=（AB+BC+AC）=6，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴CP+CQ=3﹣CQ+4﹣CP+5，2CQ+2CP=12，CQ+CP=6，∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．∴=，即=，解得：CP=．解答：解：（1）A；（2分）（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）（3）由题意知他的体积比为；又因为体重之比等于体积比，若设初三时的体重为xkg，则有=解得x==60.75．答：初三时的体重为60.75kg．（2分）15．解答：解：（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°=t．∴y=t•t=t2（0≤t≤1）．当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=（4﹣t）．y=t•（4﹣t）=﹣t2+t（1≤t≤3）．（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．∴QN=BN•tan30°=（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即t=（3﹣t），∴t=．∴当t=s时，四边形MNQP为矩形．（3）由（2）知，当t=s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时=tan30°=．∵=cos60°=，∴AP=2AM=2t．∴CP=2﹣2t．∵=cos30°=，∴BQ=（3﹣t）．又∵BC=2，∴CQ=2．∴，．∴当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△BCD∽△ACB．（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为，∴S n=．当n=5时，S5=≈9.77，当n=6时，S6=≈2.44，当n=7时，S7=≈0.61，∴当n=6时，2＜S6＜3．②S n2=S n﹣1×S n+1．17．解答：解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1，即S1=S2+S3．（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．解答：解：（1）∵FD∥BC∴△ADF∽△ABC．∴=．∴=．∴FD=2.1（cm）．答：小视力表中相应“E”的长是2.1cm；（2）解：作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，∵AB∥MM′∥A′B′，∴CE⊥A′B′，∴△CMM′∽△CA′B′，∴=，又∵CD=CE﹣DE=5﹣3=2，CE=5，A′B′=AB=0.8，∴=，∴MM′=0.32（米），∴镜长至少为0.32米．19．解答：解：∵AC=12，BC=5，∴AB=13，如图1所示：设DE=x，∵四边形ADEF是菱形，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴=，即=，解得x=cm；如图2所示，同上可知△CEF∽△CAB，设EF=x，∴=，解得x=cm；如图3所示，同理△AEF∽△ABC，∴=，即=，解得x=cm．故所作菱形的边长为：cm、cm、cm．。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典题(含答案)相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEFS，求CDFS∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D点是ABC∆的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC∆的一个顶点组成∆的边上，并且点D、点E和ABC的小三角形与ABC∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCAB⊥，然后再选点E，使BCBD米，=EC⊥，确定BC与AE的交点为D，测得120 EC米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？=60DC米，50=例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F 处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC的边AB＝32，AC＝2，BC边上的高AD＝3．（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似 例2． 解 ABCD Θ是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDFAEF S SS，∴)cm (542=∆CDFS．例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证． 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠． 又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ， 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b aa '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆． 答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长． 解ECDF EC AE //,⊥Θ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆． 所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度． 解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36Θ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD Θ平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CDAB BC⋅=2，∴CDAC AD⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bca=2，一般都是证明比例式，b d c a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB +=Θ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ． 例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F 作ABFG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求． 解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB Θ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB，162=BC ，∴222BC AC AB=+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴ACFCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1，∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵xxx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
专题4.38+相似三角形几何模型-一线三等角(基础篇)(专项练习)
专题4.38 相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题1. 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上一点（点P 不与点B ，C 重合），连接AP ．作PE ⊥AP ，PE 交CD 于点E ．若AB ＝6，点P 为BC 的中点，则DE ＝（ ）A. 32 B. 92 C. 12 D. 532. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，ABE DEF △△∽，AB ＝6，DE ＝2，DF ＝3，则BE 的长是（ ）A. 12B. 15C.D. 3. 如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝4，P 是边AB 上一点，BP ＝32，D 是边BC 上一点（点D 不与端点重合），作∠PDQ ＝60°，DQ 交边AC 于点Q ．若CQ ＝a ，满足条件的点D 有且只有一个，则a 的值为（ ）A. 52 B. 83 C. 2 D. 34. 如图，在 ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝3，AE ＝2，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（ ）A. 35 B. 32 C. 43 D. 345. 如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上一点，且ADE B ∠=∠，下列说法错误的是（ ）A. AD CE BD DE⋅=⋅ B. ADE ACD C. ABD DCE △△ D. AD DE=6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 边上，E 是BC 边上一点，若AB ＝6，AE ＝，∠AED ＝∠B ，则AD 的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 5.57. 如图，在等边三角形ABC 中，P 为边BC 上一点，D 为边AC 上一点，且∠APD =60°，BP =1，CD =23，则ΔABC 的边长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 68. 如图，D 是等边三角形ΔABC 边上的点，AD ＝3，BD ＝5，现将ΔABC 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 点F 分别在边AC 和BC 上，则CE CF的值为( )A. 1113 B. 35 C. 45 D. 899. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，DE ⊥EF ，EF ⊥FG ，BE ＝3，BF ＝2，FC ＝6，则DG 的长是（ ）A. 4B. 133 C. 143 D. 510. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面 1.5AB =米，同时量得2BC =米，10CD =米，则旗杆高度DE 为（ ）A. 7.5米B. 403米C. 7米D. 9.5米二、填空题11. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，点F 在CD 上，要使ABE ∆与CEF ∆相似，需添加的一个条件是_______(填一个即可)．12. 如图，在边长为a 的正方形中，E 、F 分别为边BC 和CD 上的动点，当点E 和点F 运动时， AE 和EF 保持垂直．则①△ABE ∽△FCE ；②当12BE a =时、梯形ABCF 的面积最大；③当点E 运动到BC 中点时Rt ABE ∽Rt △AEF ；④当Rt ABE ∽Rt △AEF 时cos ∠AFE =12其中正确结论的序号是 ．13. 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且:1:4CF CD =，给出下列结论：①ABE ECF ∽；②ABE AEF ∽；③AE EF ⊥；④ADF ECF ∽．其中正确结论的序号为________．14. 如图，四边形ABCD 是正方形，6AB =，E 是BC 中点，连接DE ，DE 的垂直平分线分别交AB DE CD 、、于M 、O 、N ，连接EN ，过E 作EF EN ⊥交AB 于F ，则AF =______．15. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，4AB =，8AD =，3CF =，若ABE △与以E ，C ，F 为顶点的三角形相似，则BE 的长为______．16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 、点E 分别在BC ，AC 上，且∠ADE ＝60°，（1）写出和∠CDE 相等的角：______；（2）若AB ＝3，BD ＝1，则CE 长为______．17. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB =3，AE =4，DE =1.2，则EF =_____．18. 如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，且AD：1DB=：2，现将折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，且ABCCE：CF的值为______．⊥交19. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF AEDC于点F．若4BC=，则DF的长为______．AB=，620. 如图，将长方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上点A′处，点D的对应点为D′，连接A'D′交边CD于点E，连接CD′，若AB＝9，AD＝6，A'点为BC 的中点，则线段ED'的长为_____．三、解答题21. 如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．22. 如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD=60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC=2，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足ADE B∠=∠．（1）证明：ADB AED ∆∆ ；（2）若3AE =，5AD =，求AB 的长．24. 如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且30ADE ∠=︒，求证：ABD DCE ∽△△．25. 在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ．（1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求AP DE的值；（2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；（2）如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．专题4.38相似三角形几何模型－一线三等角（基础篇）（专项练习）一、单选题【1题答案】【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，∵P为BC中点，∴BP=PC=12AB=3，∵AP⊥PE，∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，∵∠B=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠BAP=∠EPC，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴AB PCBP CE=，即633CE=，∴32 CE=，∴DE=CD-CE=39622 -=，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，证得△ABP∽△PCE是解答本题的关键．【2题答案】【答案】C【解析】【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵ABE DEF ∽，∴AB AE DE DF=，∴623AE =，∴9AE =，∵矩形ABCD 中，∠A =90°，∴BE ===故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出AE 的长后利用勾股定理求解．【3题答案】【答案】B【解析】【分析】先证明△BPD ∽△CDQ ，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立关于BD 的一元二次方程，再判别式为0，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60°，∴∠BPD +∠BDP =180°-∠B =120°，∵∠PDQ =60°，∴∠BDP +∠CDQ =120°，∴∠BPD =∠CDQ ，∵∠B =∠C =60°，∴△BPD ∽△CDQ ，∴BP BD CD CQ=，∴324BD BD a=-，∴2BP 2-8BP +3a =0，∵满足条件的点P 有且只有一个，∴方程2BP 2-8BP +3a =0有两个相等的实数根，∴△=82-4×2×3a =0，∴a =83．故选：B ．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等式的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由等边对等角可得∠B =∠C ，即得出∠C =∠AED ．再结合题意易证△EAD ∼△CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知AB =AC =3，∴∠B =∠C ，∵∠B =∠AED ，∴∠C =∠AED ，又∵∠EAD =∠CAE ，∴△EAD ∼△CAE ，∴AD AE AE AC =，即223AD =，解得：43AD =,故选C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【5题答案】【答案】D【解析】【分析】根据AB AC =和ADE B ∠=∠，可证得△ABD ∽△DCE ，△ADE ∽△ACD ，再逐项判断即可求解．【详解】解：∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠ADC =∠ADE +∠CDE ，ADE B ∠=∠，∴∠BAD =∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，故C 正确，不符合题意；∴AD BD DE CE=，∴AD CE BD DE ⋅=⋅，故A 正确，不符合题意；∵AB AC =，∴∠B =∠C ，∵ADE B ∠=∠，∴∠ADE =∠C ，∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ，故B 正确，不符合题意；∴AD DE AC CD=，∠AED =∠ADC ，∵点D 是边BC 上一点，∴AC 不一定等于CD ，∴∠ADC 不一定等于∠DAC ，∴∠AED 不一定等于∠DAC ，∴AD 不一定等于DE ，故D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．【6题答案】【答案】A【解析】【分析】由等边对等角可得B C ∠=∠，即得出C AED ∠=∠．再结合题意易证EAD CAE ，即得出AD AE AE AC=，代入数据即可求出AD 的长．【详解】根据题意可知6AB AC ==，∴B C ∠=∠．∵B AED ∠=∠，∴C AED ∠=∠．又∵EAD CAE∠=∠，∴EAD CAE，∴AD AEAE AC==解得：3AD=．故选A【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质．掌握三角形相似的判定方法是解题关键．【7题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，证△BAP∽△CPD，得出AB BPCP CD=，代入求出即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，∴∠BAP=∠DPC，即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，∴△BAP∽△CPD，∴AB BP CP CD=∵23CD=，CP=BC-BP=x-1，BP=1，∴1213 xx= -解得：AB=3．故选A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．【8题答案】【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴1113 DE AE AD DEDF BD DF BF++==++，∴1113 CE DECF DF==，故选A．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH 是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3∴EF==如图：过G作GH⊥DE垂足为H，∵DE⊥EF，EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形∴HG=EF∵矩形ABCD∴∠A =∠B =90°∴∠AED +∠ADE =90°∵DE ⊥EF∴∠AED +∠BEF =90°∴∠BEF =∠ADE又∵∠A =∠B =90°∴△EBF ∽△DAE同理：△DAE ∽△GHD∴△EBF ∽△GHD∴DG HG EF BE =,=,解得DG =133. 故选B .【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.【10题答案】【答案】A【解析】【分析】由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠ 再证明,ABC EDC ∽再利用相似三角形的性质可得答案.【详解】解：由平面镜反射可得：,ACB DCE ∠=∠90,ABC EDC ∠=∠=︒,ABC EDC ∴ ∽,AB BC DE CD∴= 1.5AB =米，2BC =米，10CD =米，1.52,10DE ∴= 解得：7.5DE =，经检验：符合题意，∴ 旗杆高度DE 为7.5米.故选A【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握“利用相似三角形的性质列方程求解”是解本题的关键.二、填空题【11题答案】【答案】AE EF ⊥或∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC （任填一个即可）【解析】【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【详解】∵矩形ABCD ，∴∠ABE ＝∠ECF ＝90︒，∴添加∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ，∴△ABE ∽△ECF ，故答案为：∠BAE ＝∠CEF ，或∠AEB ＝∠EFC ，或AE ⊥EF ．【点睛】此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．【12题答案】【答案】①②③【解析】【分析】如图，证明∠B ＝∠C ，∠BAE ＝∠CEF ，得到①正确；证明S 梯形ABCF22111222,a a λλ=-++由12-＜0，得到当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大，得到②正确；证明AB AE BE EF=，由∠B ＝∠AEF ＝90°，得到Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；证明cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为正方形，且AE ⊥EF ，∴∠B ＝∠AEF ＝∠C ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝∠AEB +∠CEF ，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△ABE ∽△FCE ，故①正确；设BE ＝λ，则EC ＝a ﹣λ；∵△ABE ∽△ECF ，∴AB BE CE CF =，故2,CF aλλ=-+∴S 梯形ABCF ＝21()2a a aλλ-++22111222,a a λλ=-++∵12-＜0，∴当λ＝﹣1212()2a ⨯-＝12a 时，梯形ABCF 的面积最大．故②正确．∵△ABE ∽△ECF ，∴AB AE CE EF=；若点E 为BC 的中点，则BE ＝CE ，∴AB AE BE EF =，而∠B ＝∠AEF ＝90°，∴Rt △ABE ∽Rt △AEF ，故③正确；∴∠AFE ＝∠AEB ，∴cos ∠AFE ＝cos ∠AEB ＝12BE AE ≠，故④不正确．故答案为①②③．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，灵活运用勾股定理是解本题的关键【13题答案】【答案】①②③【解析】【分析】容易证明①△ABE ∽△ECF ；利用①可得90AEB FEC ∠+∠= ，，可得③AE ⊥EF ；且可得2AE AB EF EC ==，可证得②△ABE ∽△AEF ，而AD DF CE CF ≠，所以④不正确．【详解】∵E 为BC 中点，CF :CD =1:4，∴2AB BE CE CF==， 且∠B =∠C ，∴△ABE ∽△ECF ，∴①正确；∴∠BAE =∠FEC ,且90BAE AEB ∠+∠= ，∴90AEB FEC ∠+∠= ，∴90AEF ∠= ，∴AE ⊥EF ，∴③正确；由①可得2AE AB EF EC ==， ∴AB EC BE AE EF EF==,且90ABE AEF ∠=∠= ， ∴△ABE ∽△AEF ，∴②正确；∵2,3DA DF CE CF==， ∴AD DF CE CF ≠， ∴△ADF 和△ECF 不相似，∴④不正确，综上可知正确的为：①②③，故答案为①②③.【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.【14题答案】【答案】2【解析】【分析】MN 垂直平分DE ，得出NE ND =，利用6DN NC +=，在ΔRt NCE 中利用勾股定理求得CN 的长，再证明FBE ECN ∆∆ ，利用相似比求得BF 的长度，进而求得AF 的长度．【详解】设CN x =，则6DN x=- MN 垂直平分DE∴6NE ND x==-在ΔRt NCE 中，222CN CE NE +=又∵E 是BC 中点∴3CE =2223(6)x x ∴+=-解得94x =又∵EF EN⊥90NEC FNB ∴∠+∠=,NEC EFB CNE FEB∴∠=∠∠=∠Δ~ΔFBE ECN∴FB CE BE CN∴=3934FB ∴=4FB ∴=642AF AB FB ∴=-=-=故答案为：2．【点睛】本题考查线段垂直平分线的应用，勾股定理及相似三角形的应用，解决本题的关键是各知识点的综合应用．【15题答案】【答案】26，或327【解析】【分析】设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x=-，解方程即可．【详解】解：设BE =x ，当ABE △∽△ECF 时，AB BE EC CF =即483x x =-整理得28120x x -+=，解得1226x x ==，，经检验都符合题意，当ABE △∽△FCE 时，AB BE FC EC =即438x x =-，解得327x =．经检验符合题意，故答案为26，或327．【点睛】本题考查三角形相似性质，列分式方程，正确三角形相似性质，列分式方程是解题关键．【16题答案】【答案】 ①. ∠BAD ②. 23【解析】【分析】(1) 根据△ABC 是等边三角形,得到∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又因为∠ADC =∠B +∠BAD ，∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD 就得到∠EDC =∠BAD(2) 因为∠EDC =∠BAD ，∠C =∠B 得到△ABD ~△DCE ，得到AB BD CD EC= ，即可求出EC ；【详解】(1) 证明: ∵△ABC 是等边三角形,∠B =∠C = 60°， AB = BC ；又∵∠ADC =∠B +∠BAD∠EDC +∠ADE = ∠B +∠BAD又∵∠ADE =∠B =60°∴∠EDC =∠BAD所以和∠CDE 相等的角为：∠BAD故答案为：∠BAD(2) ∵∠EDC =∠BAD∴∠C =∠B△ABD ~△DCE ，AB BD CD EC ∴= 3,1BC AB BD ===又312CD BC BD =-=-=312EC∴= 解得：EC =23故答案为：23；【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD ~△DCE 是解答此题的关键．【17题答案】【答案】2【解析】【分析】由勾股定理，求出BE=5，由△ABE∽△DEF，得ABDE=BEEF，进而求出EF的长．【详解】解：在矩形ABCD中∠A=90°∵AB=3，AE=4∴BE=5∵△ABE∽△DEF∴ABDE=BEEF∴31.2=5EF解得EF=2故答案为：2．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，借助于矩形的性质和勾股定理求边长，熟练掌握以上性质是解题的关键．【18题答案】【答案】4 5【解析】【分析】设AD＝k，则DB＝2k，得到AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF ＝60°，进而证明△AED∽△BDF，得到△AED与△BDF的相似比为4：5，即可求出CE：CF＝DE：DF＝4：5，问题得解．【详解】解：设AD＝k，则DB＝2k，∵△ABC为等边三角形，△CEF折叠得到△DEF，∴AB＝AC＝BC=3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA+∠FDB＝120°，∠EDA+∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由△CEF折叠得到△DEF，得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，∴△AED 与△BDF 的相似比为4：5，∴CE ：CF ＝DE ：DF ＝4：5．故答案为：45．【点睛】本题主要考查了相似的性质与判定、等边三角形的性质、翻折变换的性质及其应用等知识，熟知等边三角形、翻折变换的性质，借助相似三角形的判定与性质（用含有k 的代数式表示）将两条线段的比转化为相似比是解题的关键．【19题答案】【答案】74【解析】【分析】结合矩形的性质证明BAE CEF ∆∆ 可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE ⊥ ，90AEF ∴∠=︒，90AEB CEF ∴∠+∠=︒，BAE CEF ∴∠=∠，BAE CEF ∴∆∆ ，::AB CE BE CF ∴=，E 是BC 的中点，6BC =，3BE CE ∴==，4AB = ，4:33:CF ∴=，解得94CF =，97444DF CD DF ∴=-=-=．故选：74．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF ∆∆ 是解题的关键．【20题答案】【答案】94【解析】【分析】根据折叠的性质可得'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，由线段中点可得''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，利用勾股定理可得'5A M =，4MB =，利用相似三角形的判定定理及性质可得''A BM ECA ，'''A E AC A M BM =，代入求解，同时根据线段间的数量关系即可得出结果．【详解】解：将长方形纸片ABCD 沿着MN 折叠，使点A 落在BC 边上点'A 处，∴'AM A M =，''90MA D A ∠=∠=︒，设'AM A M x ==，则9BM x =-，∵'A 是BC 的中点，∴''11322A B AC BC AD ====，在'Rt A BM 中，'22'2A B BM A M +=，即()22239+-=x x ，解得：5x =，∴'5A M =，4MB =，∵''90MA B EAC ∠+∠=︒，''90A EC EAC ∠+∠=︒，∴''MA B A EC ∠=∠，∵'90B ACE ∠=∠=︒，∴''A BM ECA ，∴'''A E ACA M BM=，即'354A E=，∴'15 4A E=，∴'''''159 644ED A D A E AD A E=-=-=-=，故答案为：9 4【点睛】题目主要考查长方形中的折叠问题，包括勾股定理，相似三角形的判定及性质等，结合图形，熟练掌握运用折叠的性质及相似三角形的性质是解题关键．三、解答题【21题答案】【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理．【22题答案】【答案】（1）见解析（2）CD的长为2 3【解析】【分析】（1）由等边三角形和∠APD=60°得，∠B=∠C=∠APD=60°，∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，由此可得∠BAP=∠CPD．因此△ABP∽△PCD；（2）由（1）的结论△ABP∽△PCD可得BP ABCD PC=，从而可以求出线段CD的长．【小问1详解】证明：∵等边三角形ABC，∴∠B=∠C=60°，∵∠APD=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，在△APB中，∠APB+∠BAP=120°，∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD；【小问2详解】解：等边三角形边长为3，PC=2，由（1）得△ABP∽△PCD，BP ABCD PC=，∴132 CD=，∴CD=23．答：CD的长为23．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD．【23题答案】【答案】（1）见解析（2）25 3【解析】【分析】（1）证出∠BAD=∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD=，则可得出答案．【小问1详解】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠EAD．∵∠ADE=∠B，∴△ADB∽△AED．【小问2详解】∵△ADB∽△AED，∴AD AB AE AD=，∵AE=3，AD=5，∴535AB =，∴253 AB=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【24题答案】【答案】见解析【解析】【分析】利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB，即可证明△ABD∽△DCE．【详解】证明：∵AB=AC，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∵∠ADE=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，利用三角形的外角性质证明∠EDC=∠DAB是解题的关键．【25题答案】【答案】（1）2 3（2）3 2【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠BAD =∠ABC =90°，再由折叠的性质可得APB AED ∠=∠．可证得ABP △∽DAE △．即可求解；（2）过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，由折叠的性质可得HED HDE ∠=∠，从而得到EH DH =．然后设EH DH x ==，则6AH x =-，由勾股定理可得103DH =，从而得到83AH =．再证得AEH △∽BFE △，即可求解．【小问1详解】解：在矩形ABCD 中，∠BAD =∠ABC =90°，∴90BAP APB ∠+∠=︒，由折叠性质得：AP DE ⊥，∴90BAP AED ∠+∠=︒，∴APB AED ∠=∠．∵90EAD ABP ∠=∠=︒，∴ABP △∽DAE △．∴4263AP AB DE AD ===．【小问2详解】解：过点E 作EH DP ∥交AD 于H ，∵EH DF ∥，∴HED EDP ∠=∠．∵由折叠性质得HDE EDP ∠=∠，∠DPE =∠A =90°，∴HED HDE ∠=∠，∴EH DH =．设EH DH x ==，则6AH x =-，∵E 是AB 的中点，∴2AE =，∵AE 2+AH 2=EH 2，∴()22226x x +-=，解得：103x =，即103DH =，∴83AH =．∵EH DF ∥，∴∠HEP =90°，∴∠AEH +∠BEF =90°，∵∠A =∠B =90°，∴∠AEH +∠AHE =90°，∴∠AHE =∠BEF ，∴AEH △∽BFE △，∴AE AH BF BE =，即8232BF =，解得32BF =，∴BF 的长为32．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握矩形与折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．【26题答案】【答案】（1）DE ，AE ；（2）AC ．证明见详解．【解析】【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证△MCA ≌△AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证△NGP ≌△DEP （AAS ）即可．【小问1详解】解：∵(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；【小问2详解】证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ，∵90MAN ∠=︒，∴∠CAM +∠NAG =90°，∵BM ⊥l ，∴∠MCA =90°，∴∠M +∠CAM =90°，∴∠M =∠NAG ，∵NG l ⊥，∴∠AGN =90°，在△MCA 和△AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MCA ≌△AGN （AAS ），∴AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，∴NG =DE ，在△NGP 和△DEP 中，90NGP DEP GPN EPDNG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NGP ≌△DEP （AAS ）∴NP =DP ，故答案为AC ．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．BC==22、，可得BC=∵BC=EC=；∴，∴8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．面积的面积的则有：（×3×6，即面积的因此有①，或t=（t=t=都符合题意，同时出发后，经过秒或9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．P=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．CE=．AE=∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=∴．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．∴QM=PM=AB=12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=∴t=t=时，△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=，，，＞∴t=t=14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？时，有：；时，有：∴经过15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．=，即=，解得对应时，有=，即=，解得16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解：∵AC=∴CD==时，有=，∴AB=时，有=，∴AB==3317．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．a①若△CDM∽△MAN，则=．∴AN=②若△CDM∽△NAM，则AN=18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？或时，两三角形相似．）当时，，∴x=；）当时，，∴x=．所以，经过秒或秒后，两三角形相似．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．∴=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴AP=．AP=时，由BP=，∴=，、20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．∴．∴，中有21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．，所以，所以；=，即，；=，即，t=时，以点22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？∴，，23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．∴，∴，∴．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）∴，即，与①类似得：，即∴（∴，与①类似得：，∴，，∴MN=r（25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有∴．∴，26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．∵，∴，∴解得：∴，，即．∴．同理可得：，∴=是定值．）可知，即，∴同理可得：∴，由等比性质得：∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）。
利用相似三角形求解问题的练习题
利用相似三角形求解问题的练习题相似三角形是几何学中重要的概念之一，应用相似三角形的性质可以帮助我们解决许多问题。
以下是一些利用相似三角形求解问题的练习题，希望能帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
练习题一：已知直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB=5cm，AC=12cm。
在AB边上选一点D，连接CD并延长至与BC边交于点E。
若BD=DE，求CE的长度。
解答：由于∠C为直角，则∠CAB和∠CBA分别为对角ABC和ACB的对应角，即∠CAB∽∠ACB。
又因为BD=DE，所以可以得到∠BDC=∠CDE，同理有∠CBD=∠CED。
根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/AC = BD/CE代入已知数值，可得：5/12 = BD/CE解方程，可得：CE = (12/5) * BD由题目可知BD=DE，所以BD=5cm，代入可得：CE = (12/5) * 5 = 12cm所以CE的长度为12cm。
练习题二：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC，其中A(-2,4)、B(1,2)、C(4,-2)，直线DE与x轴和y轴分别交于点D(5,0)和E(0,-4)，求证：△ABC∽△ADE，并计算其相似比。
解答：首先，计算△ABC和△ADE的边长：△ABC的边长：AB = √[(1-(-2))^2 + (2-4)^2] = √[3^2 + (-2)^2] = √13BC = √[(4-1)^2 + (-2-2)^2] = √[3^2 + 4^2] = 5AC = √[(4-(-2))^2 + (-2-4)^2] = √[6^2 + (-6)^2] = 6√2△ADE的边长：AD = √[(-2-5)^2 + (4-0)^2] = √[(-7)^2 + 4^2] = √65DE = √[(-2-0)^2 + (4-(-4))^2] = √[(-2)^2 + 8^2] = 2√4 = 4AE = √[(-2-0)^2 + (4-0)^2] = √[(-2)^2 + 4^2] = 2√5可以发现，AB/AD = 1/√5，BC/DE = 5/4，AC/AE = √2/√5。
专题27.34 相似三角形几何模型-一线三等角(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数
专题27.34 相似三角形几何模型-一线三等角（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝5，在边CD 上取一点P ，使得△P AD 与△PBC 相似，则这样的点P 共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，已知矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的任一点，连接BE ，过E 作BE 的垂线交BC 延长线于点F ，交边CD 于点P ，则图中共有相似三角形（ ）A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对3．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，3DF FC ． 联结AE AF EF 、、．那么下列结果错误的是( )A ．ABE △与ECF 相似B ．ABE △与AEF 相似C ．ABE △与ADF 相似D ．AEF 与ECF 相似4．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F ，图中相似的三角形有（ ）对．A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,BC CD 边上，,EF AE BH AC ⊥⊥于点H ，EF 与AC 交于点M ，BH 与AE 交于点N ，则下列结论错误的是A ．EFC AEB ∆∆ B ．ECM ABN ∆∆C ．CFMBEN ∆∆D ．ANHEFC ∆∆6．如图，已知矩形ABCD 中，点E 是边AD 上的任一点，连接BE ，过E 作BE 的垂线交BC 延长线于点F ，交边CD 于点P ，则图中共有相似三角形（ ）A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对7．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，下列条件中：△BAE CEF ∠∠=；△AEB EFC ∠∠=；△AE EF ⊥；△AB BE EC CF =；△AE ABEF EC=．其中能使ABE ECF ∽的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△△D ．△△△△△8．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，且AB ＝8，AE ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，连接PC 、PE ，若△P AE 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，已知矩形AOBC 的顶点O 在坐标原点，点A 的坐标是（－2，1），点B 的纵坐标是3，则点C 的坐标是（ ）A ．1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝D ．2,3⎛- ⎝10．如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（ ）A ．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．65,52⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．312,25⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，AB =10，AD =4，P 是CD 边上的一个动点，则当△ADP 与△BCP 相似时，DP =__________．12．如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在点Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则EBG 的周长是________cm ．13．如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，再沿EG 折叠，使点C 落在矩形内的点H 处，且E 、F 、H 在同一直线上，若6AB =，8BC =，则CF =______，CG = ______．14．如图，AB ＝4，射线BM 和AB 互相垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，BE ＝12DB ，作EF ⊥DE ，并截取EF ＝DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ，设BE ＝x ，BC ＝y ，则y 关于x 的函数解析式为_____．15．如图，在边长为7的正方形ABCD 中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E ，F 分别在边BC ，AD 上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P 的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．17．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，△CPD＝△A＝△B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．18．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落在BC边上的F点处．已知折痕AE=，且34ECFC=，那么该矩形的周长为______cm．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点M是BC边上的一个动点（点M不与点B、C重合），BM＝x，将△ABM沿着AM折叠，使点B落在射线MP上的点B′处，点E是CD边上一点，CE＝y，将△CME沿ME折叠，使点C也落在射线MP上的点C′处，当y取最大值时，△C′ME的面积为_____．20．如图，在ABC ∆中，已知4AB AC ==，6BC =，P 是BC 边上的一动点（P 不与点B 、C 重合）.连接AP ，B APE ∠=∠，边PE 与AC 交于点D ，当APD ∆为等腰三角形时，则PB 之长为_________.三、解答题21．如图，,,6,4,14AB BD CD BD AB CD BD ⊥⊥===，点P 在BD 上移动，当以P ，C ，D 为顶点的三角形与ABP △相似时，求BP 的长．22．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且△B ＝△ADE ＝△C ．（1）证明：△BDA △△CED ；（2）若△B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且△ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．23．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在边BC 上，满足DEF B ∠=∠，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上． 求证：BDE ∽CEF △．24．如图，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥.（1）若9AB =，4CD =，10BD =，请问在BD 上是否存在点P ，使以P ，A ，B 三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若9AB =，4CD =，12BD =，请问在BD 上存在几个点使以三点为顶点的三角形与以P ，C ，D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长.25．如图1，两个全等的等边三角形如图放置，AC 与DE 交于点G ，点D 是AB 的中点，BC 与DF 交于点K ，连接GK.（1）写出两对相似（不含全等）三角形；（2）求证：GKD BKD ∠=∠；（3）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（DF EF AC BC ===），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然成立.26．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．(1)如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，AB =C 到AB 边的距离；(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EFDE 的值．参考答案1．C【分析】如图，以AB为直径作△O交CD于点P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2．则△ADP1△△△P1CB，，△ADP2△△△P2CB，取CD的中点P3，连接AP3，BP3，则△ADP3△△P3CB，由此可得结论．解：如图，以AB 为直径作△O 交CD 于点P 1，P 2，连接AP 1，BP 1，AP 2，BP 2．△AB 为△O 直径， △190∠=︒APB ， △1190APD BPC ∠+∠=︒ ， ABCD 为矩形，90ADC ∠=︒ ，△1190DAP APD ∠+∠=︒ ， △11DAP BPC ∠=∠ ， △△ADP 1△△P 1CB ， 同理△ADP 2△△P 2CB ，取CD 的中点P 3，连接AP 3，BP 3，则同理△ADP 3△△P 3CB ， 故选：C ．【点拨】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．A 【分析】根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即可． 解：△四边形ABCD 是矩形，△△EDP =△FCP =90°， △△EPD =△FPC ， △△EDP △△FCP ； △△FEP =△FCP =90°， △△F =△F ，△△FEB △△FCP ；△△FEB △△EDP ；△四边形ABCD 是矩形，△△A =△D =90°，△△BEF =90°，△△AEB +△DEP =90°，△AEB +△ABE =90°，△△DEP =△ABE ，△△EDP △△BAE ；△△FCP △△BAE ；△△FEB △△BAE ；共有6对，故选A ．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．3．C【分析】根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF 是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：54AE EF AF =====， △222552541616AE EF AF +=+==，△△AEF 是直角三角形， △在RT△ABE 、RT△ECF 、RT△ADF 、RT△AEF 中，△B=△C=△AEF=△D ，42,3AB EC AE AD BE CF EF DF ====， △RT△ABE 、RT△ECF 、RT△AEF 两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，△A 、B 、D 正确，C 错误，故选C ．【点拨】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形相似的判定是解题关键．4．C【分析】由等边三角形的性质得出△BAC ＝△B ＝△C ＝△DAE ＝△ADE ＝△E ＝60°，得出△ABC △△ADE ，再证出△BAD ＝△F AE ，得出△ABD △△AEF ；由△AFE ＝△DFC ，△E ＝△C ，证出△AEF △△DCF ，得出△ABD △△DCF ；由△DAF ＝△CAD ，△ADF ＝△C ，即可得出△ADF △△ACD ．解：图中的相似三角形有△ABC △△ADE ，△ABD △△AEF ，△AEF △△DCF ，△ABD △△DCF ，△ADF △△ACD ；理由如下：△△ABC 和△ADE 均为等边三角形，△△BAC ＝△B ＝△C ＝△DAE ＝△ADE ＝△E ＝60°，△△ABC △△ADE ；△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△F AE ，△△ABD △△AEF ；△△AFE ＝△DFC ，△E ＝△C ，△△AEF △△DCF ，△△ABD △△DCF ；△△DAF ＝△CAD ，△ADF ＝△C ，△△ADF △△ACD ，故选：C ．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．5．D【分析】根据矩形四个角都是直角，又,EF AE BH AC ⊥⊥，利用等角的余角相等，逐个判别可以得出结论.解：如图：A. 在EFC AEB ∆∆、中，△四边形ABCD 是矩形，且,EF AE BH AC ⊥⊥△1290∠+∠︒＝，4290∠+∠︒＝41∴∠=∠，且90ECF ABE ∠+∠︒＝EFC AEB ∆∆，A 正确；B. 在ECM ABN ∆∆、中，△四边形ABCD 是矩形，且,EF AE BH AC ⊥⊥△1290∠+∠︒＝，190BAN ∠+∠=︒，则2BAN ∠=∠△390BAH ∠+∠︒＝，90ABH ABH ∠+∠=︒，则3ABN ∠=∠ECM ABN ∆∆，B 正确；C. 在CFM BEN ∆∆、中由前面知：3ABN ∠=∠，又390MCF ∠+∠︒＝，90ABN NBE ∠+∠=︒, 则MCF NBE ∠=∠,又△14∠∠＝，CFM BEN ∆∆，C 正确；D.在ANH EFC ∆∆、中已经知道：2BAN ∠=∠，而AE 并不是BAC ∠的角平分线，△2NAH ∠≠∠,ANHEFC ∆∆,错误.故选D ． 【点拨】本题考查了矩形的性质，同角或等角的余角相等，相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题的关键.6．A【分析】根据的性质得到△A=△ABC=△D=△DCB=90°，根据邻补角的定义得到△PCF=90°，根据余角的性质得到△ABE=△DEP ，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．解：△四边形ABCD 是矩形，△90A ABC D DCB ∠=∠=∠=∠=︒，△90PCF ∠=︒，△BE EF ⊥，△90BEF ∠=︒，△90ABE AEB AEB DEP ∠+∠=∠+∠=︒，△ABE DEP ∠=∠，△AD BC ∕∕，△DEP F ∠=∠，△ABE DEP F ∠=∠=∠，△ABE DEP EFB CFP ∆∆∆∆∽∽∽，△图中共有相似三角形有6对，故选A.【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．D【分析】对于△△△，直接利用相似三角形的判定方法判断即可；对于△，先利用同角的余角相等转化为△，即可进行判断，对于△，利用比例的性质和勾股定理进行判断.解：△△B =△C =90°，△只要满足BAE CEF ∠=∠或AEB EFC ∠=∠，均可判定△ABE △△ECF ，所以△△都正确；△中，当AE EF ⊥时，△△AEB +△BAE =90°，△AEB +△CEF =90°，△△BAE =△CEF ，△△ABE △△ECF ，故△正确；△中对应边成比例，且夹角均为90°，△△ABE △△ECF ，故△正确；△中，当AE AB EF EC =时，则AE EF AB EC =，即2222AE EF AB EC =， △222222AE AB EF EC AB EC =--，△2222BE CF AB EC =，△BE CF AB EC =， 又△△B =△C =90°，△△ABE △△ECF ，△△正确；综上，故选D.【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和勾股定理等知识，熟知相似三角形的判定与性质是判断△△△△的关键，对于△，则需综合运用比例的性质和勾股定理进行判断.8．C【分析】设AP ＝x ，则BP ＝8﹣x ，分△P AE △△PBC 和△P AE △△CBP 两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．解：设AP ＝x ，则BP ＝8﹣x ，当△P AE △△PBC 时，AE PA BC PB=，即348x x =-， 解得，247x =， 当△P AE △△CBP 时，AE PA PB BC=，即384x x =-， 解得，x ＝2或6， 可得：满足条件的点P 的个数有3个．故选：C ．【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用． 9．A【分析】作BD x ⊥轴于点D ， 过点A 作FE x ⊥轴于点E ，过点C 作FG y ⊥轴于点G ，先通过角度等量代换证明EAO DOB ∆∆，求出32OD =，再证明DBO FAC ∆≅∆，求出FC ，AF ，则CG OE CF =-，EF AE FA =+，由此可解．解：如图，作BD x ⊥轴于点D ， 过点A 作FE x ⊥轴于点E ，过点C 作FG y ⊥轴于点G ，△点A 的坐标是（－2，1），点B 的纵坐标是3，△1AE =，2OE =，3BD =，△BD x ⊥轴，FE x ⊥轴，FG y ⊥轴，△90AFC OEA BDO ∠=∠=∠=︒，△ 四边形AOBC 是矩形，△90CAO AOB ∠=∠=︒，△=90EAO EOA DOB EOA ∠+∠=∠+∠︒，△EAO DOB ∠=∠，△EAO DOB ∆∆， △OD BD AE OE =，即312OD =， △32OD =． △ 四边形AOBC 是矩形，△AC OB =，△=90EAO EOA FAC EAO ∠+∠=∠+∠︒，△EOA FAC ∠=∠，又△EAO DOB ∆∆，△EOA DBO ∠=∠，△DBO FAC ∠=∠，在DBO ∆和FAC ∆中，DBO FAC ODB CFA AC OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△DBO FAC ∆≅∆， △32FC OD ==，3AF BD ==， △31222CG OE CF =-=-=，134EF AE FA =+=+=， △点C 在第二象限， △点C 的坐标是1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选A ．【点拨】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关键．10．A【分析】如图，过D 作DE x ⊥轴于点E ，延长BC 交DE 于F ，由题意知，四边形ABFE 是矩形，由翻折的性质可知90ADC ∠=︒，4AD AB ==，2CD BC ==，则2AE CF =+，4DF DE =-，证明ADE DCF △∽△，则AD DE AE DC CF DF ==，即4224DE CF CF DE+==-，计算求出CF 、DE 的长，进而可得D 点坐标．解：如图，过D 作DE x ⊥轴于点E ，延长BC 交DE 于F ，由题意知，四边形ABFE 是矩形，由翻折的性质可知90ADC ∠=︒，4AD AB ==，2CD BC ==，△2AE CF =+，4DF DE =-，△90DAE ADE ∠+∠=︒，90ADE CDF ∠+∠=︒，△DAE CDF ∠=∠，△ADE DCF △∽△， △AD DE AE DC CF DF ==，即4224DE CF CF DE+==-， 解得65CF =，125DE =， △612,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选A ．【点拨】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于构造ADE 、DCF ，利用相似的判定与性质求出线段CF 、DE 的长．11．2或8或5【分析】需要分类讨论：△APD △△PBC 和△P AD △△PBC ，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度即可．解：在矩形ABCD 中，AB =CD =10，AD =BC =4，△当△APD △△PBC 时， 可得AD PD PC BC=，即4104PD PD =-， 解得：PD ＝2或PD ＝8；△当△P AD △△PBC 时， 可得AD PD BC PC=，即4410PD PD =-， 解得：DP ＝5．综上所述，DP 的长度是2或8或5．故答案为：2或8或5．【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．12．12【分析】首先根据翻折的性质可得DF =EF ，设EF =x cm ，表示出AF ，然后利用勾股定理列方程求出x ，从而得到AF 、EF 的长，再证出△AEF 和△BGE 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG 、EG ，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．解：由翻折的性质得，DF =EF ，设EF =x cm ，则AF =(6−x )cm ，△点E 是AB 的中点， △()1632AE BE cm ==⨯=， 在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，即32+(6−x )2=x 2， 解得154x =， △154EF =，()159644AF cm =-=， △△FEG =△D =90°，△△AEF +△BEG =90°，△△AEF +△AFE =90°，△△BEG =△AFE ，又△△B =△A =90°，△△BGE △△AEF ， △BE BG EG AF AE FE==， 即3915344BG EG ==， △BG =4cm ，EG =5cm ，△△EBG 的周长=3+4+5=12(cm)．故答案为：12．【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF 的各边的长，利用相似三角形的性质求出△EBG 各边的长是解题的关键．13． 452##2.5 【分析】根据折叠的性质得到BE =EF ，AF AB =，利用勾股定理求出AC ，进而求出CF ，设BE x =，则EF x =，8CE x =-，在Rt CEF 中，由勾股定理得222EF CF EC +=，即()22248x x +=-，解方程求出BE ，进而求出CE ，再证ABE ECG ∽，即有BE AB CG EC =，则问题得解．解：根据折叠的性质有BE =EF ，AF AB =，△8BC =，6AB =，则设BE x =，则EF x =，8CE x =-，6AF AB ==，在Rt ABC中，由勾股定理得10AC =，△1064CF AC AF =-=-=，根据折叠的性质有△B =△AFE =90°,则有△EFC =90°，在Rt CEF 中，由勾股定理得222EF CF EC +=，即()22248x x +=-，解得3x =，△3BE =，5CE =，由折叠的性质得，12AEF BEF ∠=∠，12GEF CEF ∠=∠， △90AEG ∠=︒，△90CEG AEB ∠+∠=︒，又△90BAE AEB ∠+∠=︒，△BAE CEG ∠∠=，又△90B ECG ∠=∠=︒，△ABE ECG ∽， △BE AB CG EC=，即365CG =， △52CG =． 故答案为：4，52． 【点拨】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，证得ABE ECG ∽进而得到BE AB CG EC=是解答本题的关键． 14．y ＝124x x -（0＜x ≤2） 【分析】作FH ⊥BC 于H ．证明△DBE ≌△EHF ，则FH ＝BE ＝x ，EH ＝BD ＝2BE ＝2x ，由0BD AB <≤求得自变量的范围，根据FH ∥AB ，得FH AB ＝CH CB，即可求解． 解：作FH △BC 于H ．∵∠DBE ＝∠DEF ＝∠EMF ＝90°，∴∠DEB +∠BDE ＝90°，∠DEB +∠FEH ＝90°，∴∠BDE ＝∠FEH ．在△DBE 和△EHF 中，BDE FEH B EHF DE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EHF ，BE ＝12DB ，∴FH ＝BE ＝x ，EH ＝BD ＝2BE ＝2x ， 0BD AB <≤, AB ＝4，024x ∴<≤，即02x <≤∵FH ∥AB ，CFH CAB ∴∽ ∴FH AB ＝CH CB， ∴4x ＝3y x y -， ∴y ＝124x x-（0＜x ≤2）． 故答案为：y ＝124x x -（0＜x ≤2）． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，函数关系式，证明CFH CAB ∽是解题的关键．15．22【分析】作GH △BC ，证明△GHE △△EMN ，根据相似三角形的性质得到GH =2EM ，HE =2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN ，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.解：如图，作GH △BC ，则△HGE +△HEG =△HEG +△MEN =90°,△△HGE =△MEN ，△△GHE =△EMN =90°，△△GHE △△EMN ， △12HE HG EG MN EM EN ===， △2,2GH EM HE MN ==，设MN x =，则2HE x =，△74EM x =-，△()2274GH EM x ==-，△()274AB x x =+-，即：()7274x x =+-，解得：1x =，△743EM x =-=，△EN△2GE EN ==△四个小正方形的面积之和22122=⨯=.故答案为：22.【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.16．53【分析】通过证明△ABP △△PCQ ，可得AB BP CP CQ= ，即可求解． 解：如图，△BP＝5，BC＝4，△CP＝1，△PQ△AP，△△APQ＝90°＝△ABC，△△APB+△BAP＝90°＝△APB+△BPQ，△△BAP＝△BPQ，又△△ABP＝△PCQ＝90°，△△ABP△△PCQ，△AB BP CP CQ=，△35 1CQ =△CQ＝53，故答案为：53．【点拨】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相似比计算线段的长度是常用的方法．17．3【分析】先根据条件证明△PCF△△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD△△PGD，进而证明△APG△△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．解：△△CPD＝△B，△C＝△C，△△PCF△△BCP．△△CPD＝△A，△D＝△D，△△APD△△PGD．△△CPD＝△A＝△B，△APG＝△B+△C，△BFP＝△CPD+△C△△APG＝△BFP，△△APG△△BFP．则图中相似三角形有3对，故答案为：3．【点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．18．72【分析】根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，△B=△D=90°，再根据翻折变换的性质可得△AFE=△D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出△BAF=△EFC，然后根据34 ECFC=，设CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性质求出BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，△B=△D=90°，△△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，△△AFE=△D=90°，AD=AF，△△EFC+△AFB=180°-90°=90°，△BAF+△AFB=90°，△△BAF=△EFC，△34 ECFC=，△设CE=3k，CF=4k，△58 EF DE k AB CD k ====，，△△BAF=△EFC，且△B=△C=90°△△ABF△△FCE，△AB BFFC CE=，即843k BFk k=，△BF=6k，△BC=BF+CF=10k=AD，△AE2=AD2+DE2，△500=100k2+25k2，△k=2△AB=CD =16cm，BC=AD=20cm，△四边形ABCD的周长=72cm故答案为72.【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．19．2732． 【分析】由折叠的性质得：∠AMB '＝∠AMB ，∠EMC '＝∠EMC ，得出∠AME ＝90°，∠AMB +∠EMC ＝90°，得出∠BAM ＝∠EMC ，证出△ABM ∽△MCE ，得出2,3BM AB x CE CM y x ==-即，求出221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当x ＝32时，y 取最大值98，即CE ＝98，由三角形面积公式即可得出△C 'ME 的面积． 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，∴∠AMB +∠BAM ＝90°，由折叠的性质得：∠AMB '＝∠AMB ，∠EMC '＝∠EMC ，∵∠AMB '+∠AMB +∠EMC '+∠EMC ＝180°，∴∠AME ＝90°，∠AMB +∠EMC ＝90°，∴∠BAM ＝∠EMC ，∴△ABM ∽△MCE ， ∴2,3BM AB x CE CM y x==-即 ∴221313922228y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 当x ＝32时，即CE ＝98即BM ＝32，CM ＝BC ﹣BM ＝32时，y 取最大值98，即CE ＝98， 此时△C 'ME 的面积＝△CME 的面积1392722832=⨯⨯=， 故答案为2732． 【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．20．2或103【分析】分别讨论AP=PD、PD=AD、PA=AD三种情况，当AP=PD时，可证明△APB△△PDC，可得PC=AB，进而可求出PB的长；当PD=AD时，可证明△APC△△BAC，根据相似三角形的性质即可求出PC的长，进而可得PB的长；当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；综上即可得答案.解：△当AP=PD时，△△APC=△APD+△DPC=△B+△BAP，△B=△APD，△△DPC=△BAP，△AB=AC，△△B=△C，△△B=△C，△DPC=△BAP，AP=PD，△△APB△△PDC，△PC=AB=4，△PB=BC-PC=2，△当PD=AD时，△AD=PD，△APD=△B，△△APD=△PAD=△B，△△PAD=△B，△C=△C，△△APC△△BAC，△PC ACAC BC=，即446PC=，解得：PC=83，△PB=BC-PC=10 3.△当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；综上所述：PB的长为2或10 3.故答案为2或10 3【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理及性质并运用分类思想是解题关键.21．当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．【分析】设DP =x ，则BP =BD -x =14-x ，根据垂直的定义得到△B =△D =90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当AB BP CD DP =时，△ABP △△CDP ，即6144x x -=；当AB BP DP DC =时，△ABP △△PDC ，即6144x x -=；然后分别解方程求出x 即可． 解：设DP =x ，则BP =BD -x =14-x ，△AB △BD 于B ，CD △BD 于D ，△△B =△D =90°，△当AB BP CD DP =时，△ABP △△CDP ，即6144x x-=， 解得2828148.455x BP ==-=，； 当AB BP DP DC =时，△ABP △△PDC ，即6144x x -=， 整理得x 2-14x +24=0，解得x 1=2，x 2=12，BP =14-2=12，BP =14-12=2，△当BP 为8.4或2或12时，以C 、D 、P 为顶点的三角形与以P 、B 、A 为顶点的三角形相似．【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．22．（）见分析；（2）6-3．【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：△AD =AE ，△AD =DE ，△AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC BC △当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒∴90DAE ∠=︒∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上∴此情况不符合题意．△当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ BDA CED ≌∴AB =DC =∴6BD =-△当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥ ∴1=32BD BC =．综上所述：BD =6-或3．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．23．见详解．【分析】由等边对等角得B C ∠=∠，由三角形的内角和定理，得到EDB FEC ∠=∠，即可得到结论成立．证明：△AB AC =，△B C ∠=∠，△180,180,B BED EDB BED DEF FEC DEF B ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒∠=∠，△EDB FEC ∠=∠，△B C ∠=∠，△BDE CEF △∽△．【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：两个角对应相等，则这两个三角形相似．24．（1）存在，9013BP =，见分析；（2）存在2个点P 点，6BP =或10813，见分析. 【分析】（1）存在1个P 点，设BP=x ，根据△B=△D=90°和相似三角形的判定得出当AB BP PD DC =或AB BP CD DP=时，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；（2）存在两个P 点，设BP=x ，根据△B=△D=90°和相似三角形的判定得出当AB BP PD DC =或AB BP CD DP=时，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似，代入求出即可.解：（1)存在1个P 点.设BP x =，则10PD x =-.△AB BD ⊥，CD BD ⊥，△B D ∠=∠.当ABP PDC ∆∆∽时，AB BP PD DC =，即9104x x =-. 整理，得210360x x -+=，△2(10)4136440∆=--⨯⨯=-<，△此方程没有实数解；△当ABP CDP ∆∆∽时，AB BP CD DP =， 即9410x x=-，解得9013x =. 综上所述，BP 的长为9013； (2)存在2个点P.设BP x =，则12PD x =-.△AB BD ⊥，CD BD ⊥，△B D ∠=∠.△当ABP PDC ∆∆∽时，AB BP PD DC =，即9124x x =-， 解得126x x ==；△当ABP CDP ∆∆∽时，即AB BP CD DP =，即9412x x=-， 解得10813x =. 综上所述，BP 的长为6或10813. 【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，根据题意进行分类讨论是解题关键．25．（1）DAG KBD ∽△△，DGK BDK ∽△△；（2）见分析；（3）成立.【分析】（1）由等边三角形的性质得出△A=△B=△EDF=60°，再由三角形的外角性质得出△AGD=△BDK，证出△DAG△△KBD，得出对应边成比例AD DGBK DK=，证出AD=BD=2，得出BD DGBK DK=，证出△KDG△△KBD即可；（2）由（1）知：△KDG△△KBD，根据相似三角形的对应角相等可得出结论；（3）解法同（1）（2）.解：（1）DAG KBD∽△△，DGK BDK∽△△.理由如下：△△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，△△A=△B=△EDF=60°，△△BDG=△A+△AGD，△BDG=△BDK+△EDF，△△AGD=△BDK，△△DAG△△KBD，△AD DGBK DK=，△点D是AB的中点，△AD=BD，△BD DGBK DK=，又△△B=△GDK=60°，△DGK BDK∽△△；（2）△DGK BDK∽△△，△GKD BKD∠=∠.（3）解：（1）（2）中的结论依然成立；理由如下：△△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，△△A=△B=△EDF，△△BDG=△A+△AGD，△BDG=△BDK+△EDF，△△AGD=△BDK，△△DAG△△KBD，△AD DGBK DK=，△点D 是AB 的中点，△AD=BD ， △BD DG BK DK=， △△KDG△△KBD ，△△GKD=△BKD.【点拨】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.26．(1)见分析35【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽，由相似三角形的性质可求．(1)证明：△90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒，△90BCE ACD ∠+∠=︒．△AD ED ⊥，BE ED ⊥，△90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒，△ACD EBC ∠=∠．又△CB CA =，△()BEC CDA AAS ≌．(2)解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．△DBA DAB ∠=∠，△AD BD =，△12AF BF AB === △90CAD ∠=︒，△90DAF CAE ∠+∠=︒．△90DAF ADF ∠∠=+︒，△CAE ADF ∠=∠．在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， △()CAE ADF AAS ≌，△CE AF ==C 到AB(3)解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，△DCM M ∠=∠．△四边形ABCD 是平行四边形，△10DM CD AB ===，AB CD ∥，△B DCM M ∠=∠=∠．△FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠，△DEC BFE ∠=∠，△BFE MED ∽， △63105EF BE DE DM ===． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧
相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是 ．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Т=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二 比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为 ．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三 相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四 相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五 相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（ ）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六 重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（ ）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是 ．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为 ；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七 平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝ ，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝ ；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是 ，与AD uuu r 相反的向量是 ；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八 相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（ ）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
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1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。
求证：AC AF AB AE ⋅=⋅；2为了加强视力保护意识，小明想在长为米，宽为米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、 丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分)（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立 在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视 力表．如果大视力表中“E ”的长是，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分)（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．4已知，如图，△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上一点，BD ＝1．(1)求证：△ABD ∽△CBA ；(2)作DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长．HH（图1）（图2） （图3）㎝ACF3mB5mDA B CD EF P ·5．已知：如图，AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于D 点，AD ＝4cm ，DB ＝9cm ，求CB 的长．6．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ，试在这个网格上画一个与△ABC 相似，且面积最大的△A 1B 1C 1(A 1，B 1，C 1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．7．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A (1，0)，B (0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC与△OAB 相似(相似比不为1)，并写出C 点的坐标．8．如图所示，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D 点，OC交AB 于E 点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．9．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．10．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值；(2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．11．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似?(3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?14．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．(1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?15、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=o，点A C ，的坐标分别为(30)A -，，(10)C ，，43=AC BC ．(13分) （1）求过点A B ，的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得ADB △与ABC △相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q ，分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP DQ m ==，问是否存在这样的m 使得APQ △与ADB △相似，如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．16．如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．17．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．18．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC ＝b ，CB ＝a ，当BD 与a 、b 之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD?19．(本题10分)正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．xDMA BCN20．(本题10分)如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值； （3）当为边中点，时，请直接写出的值．21（6分）一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为×，放映的银幕规格为2m ×2m ，若影机的光源距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图像刚好布满整个银幕？ 22．（6分）如图13，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. （1）⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. （2）求∠1+∠2的度数.BB A AC OE D DE CO F图1 图2 F23．（6分）如图13，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．（1）试问：△ADE与△BCF全等吗？请说明理由;（2）若AD = 4cm，AB = 8cm，求CF的长．24（6分）已知：如图14，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；25（6分）如图15，已知△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1.连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R.（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长；（2）观察图形，请你提出一个与点．．P．相关．．的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）．BACPQMBCD OFA A A BBBCCCD D DOE FG PMN⑴⑵⑶26（6分）（1）如图16（1），在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，易知AC⊥BD，=； （2）如图16（2），若点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，即，过D 作DG⊥AE，分别交AC 、BC 于点F 、G.求证：；（3）如图16（3），若点P 是正方形ABCD 的边CD 上的点，且（n 为正整数），过点D 作DN⊥AP，分别交AC 、BC 于点M 、N ，请你先猜想CM 与AC 的比值是多少？然后再证明你猜想的结论.27（8分）如图17，已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？（2）是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．28．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .（1）求证：△CEB ∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.29．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置，(1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离．30．如图，在Rt ABC △中，90C =o∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x L ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：（1n1 2 3 n x（2）第n 个正方形的边长n = ；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =g g ，试判断m n p q ，，，的关系．答案1．方法１：连接ＥＤ，ＤＦ，证⊿ＡＤＥ∽⊿ＡＢＤ，得AB AE AD •=2同理可证⊿ＡＤＦ∽⊿ＡＣＤ，得AC AF AF •=2故，ＡＥ·ＡＢ＝ＡＦ·ＡＣ方法２：连接ＥＦ，ED证⊿ＡＥＦ∽⊿ＡＣＢ2．⑴在Ｒt ⊿ＡＢＣ中，ＡＣ＝22CD AD +＝223.42.3+＞5故，可行；⑵ ；⑶利用⊿ＡＥＤ∽⊿ＡＣＢ可求得ＦＤ＝3．(1)证⊿DA Ｆ∽⊿ＡBC(2) )0(273〉+=x x y(3)当点P 运动到点E 的位置,即x ＝时,△PBC 的周长最小，此时y 的值为B CA2x3x1x4．(1)4943+=x y（2）过点Ｂ作AB 的垂线交x 轴于点D ， D 点的坐标为（,0） (3)存在,m ＝925或36125 5．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝．6．.cm 133提示：连结AC ．7．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 8．C (4，4)或C (5，2)．9．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．10．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－.12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时， △ABD ≌△DCE ．可得.12-=x 当∠ADE 为底角时：⋅=21AE 11．(1)S ＇∶S ＝1∶4；(2)).40(41162<<+-=x x x y 12．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P 13．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)；(2))49,43(-D 或D (1，－2)．x14．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350(3)t ＝2或3． 15．(1)略；(2));30(8311832≤<+-=x x x S 16.梯子长为 17.（提示：设，则，因为，，，所以△AOC∽△BDO，所以即，所以） 18.（提示：由△ACB∽△CBD，得，所以） (3)当x ＝3时，S 最大值33=．19．解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，AM MN Q ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°，在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△， （2）Rt Rt ABM MCN Q △∽△，44AB BM xMC CN x CN∴=∴=-，，244x x CN -+∴=， ()222141144282102422ABCNx x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·，当2x =时，y 取最大值，最大值为10．（3）90B AMN ∠=∠=Q °，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM ABMN BM=，由（1）知AM ABMN MC=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．20．解：（1），．． ，，． ；（2）解法一：作，交的延长线于．，是边的中点，．由（1）有，，． ，， 又，． ，． ，，， ，．BADE COF GBAD E CF解法二：于，．．设，则，．，．由（1）知，设，，．在中，．．．（3）．21 22．相似，450 23．（1）全等，略；（2）cm 24．（1） 2a ；（2）△ABC∽△QBM∽△PMC； 25．（1）BF=BG=3；（2）略 26．（1）略；（2）猜想，证明略 27．（1）经过1秒或2秒后；（2）经过秒或秒时28．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD= ∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 29．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等 又对应边成比例∴此两个菱形相似 ∴B D BD '=,∴12B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´1 30．（1）2483927，， （2）23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x =Q g g 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭g g 2233m n p q ++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n p q ∴+=+。