2022年高考数学总复习：导数与函数的综合问题

第 1 页 共 15 页 2022年高考数学总复习：导数与函数的综合问题 命题点1 证明不等式

典例 已知函数f (x )＝1－x －1e x ，g (x )＝x －ln x . (1)证明：g (x )≥1；

(2)证明：(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 证明 (1)由题意得g ′(x )＝

x －1x

(x >0)， 当0

当x >1时，g ′(x )>0，

即g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

所以g (x )≥g (1)＝1，得证．

(2)由f (x )＝1－x －1e x ，得f ′(x )＝x －2e x ， 所以当02时，f ′(x )>0，

即f (x )在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，

所以f (x )≥f (2)＝1－1e 2(当且仅当x ＝2时取等号)．① 又由(1)知x －ln x ≥1(当且仅当x ＝1时取等号)，②

且①②等号不同时取得，

所以(x －ln x )f (x )>1－1e 2. 命题点2 不等式恒成立或有解问题

典例 已知函数f (x )＝1＋ln x x

. (1)若函数f (x )在区间⎝

⎛⎭⎫a ，a ＋12上存在极值，求正实数a 的取值范围； (2)如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝1－1－ln x x 2＝－ln x x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.

当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；

当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．