初中教育二次函数地解题方法

11.1班沈阳14号

初中二次函数的解题方法

首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点

坐标为(-b/2a,4ac-b²/4a) ;

顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐

标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口

方向与函数y=ax²的图像相同，有时题目会指出让你用

配方法把一般式化成顶点式。

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即

y=0有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac

≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a

x1·x2=c/a ∴y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax+c/a)=a[﹙x ²;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：。

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二

次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图

像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y

轴左b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当

h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大

小。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。

常见问题

1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。

解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。

2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

解决定点问题有两个解决办法：（1）特殊值法，即令参数

取两个符合条件的特殊值，通过解方程组求解，解即为顶点

坐标。（2）转化为参数为主元的方程问题，即方程有无穷

多解，得到系数为零的条件再讨论解决。

3、求抛物线的顶点、两坐标轴的交点以及抛物线与其它图象的交点等点所构成的面积，关键是用含系数a、b、c的代数式表示出点的坐标或线段长，使面积问题与系数a、b、c 建立联系．

4、二次函数与整数问题

二次函数与整数问题的联姻主要表现在系数a、b、c为整数、整点以及某范围内的参数的整数值等．解题时往往要用到一些整数的分析方法．

5、二次函数的最值问题

定义域是闭区间时，二次函数存在两个最值(最大值和最小值)．如果顶点横坐标在区间内，则在顶点处与距顶点较远的端点处各取一个最值；如果顶点横坐标不在区间内，则在区间两端点处各取一个最值．定义域是开区间时，二次函数只有其顶点横坐标在区间内的才在顶点处取得一个最值，否则不存在最值．在初中数学竞赛中，二次函数是解决一些实际问题的有

效工具，二次函数本身也蕴含着丰富的内涵，因此，在近几

年的全国数学竞赛中，有关二次函数试题频频出现，并有不断拓展和加深的趋势。

例1 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为(4，－11)，且与x 轴的两个交点的横坐标为一正一负．则a 、b 、c 中为正数的（ ）

A 、只有a

B 、只有b

C 、只有c

D 、有a 和b 解：由顶点为(4，－11)，抛物线交x 轴于两点，知a >0．设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，即x 1、x 2为方程ax 2+bx +c =0的两个根，由题设x 1x 2<0知a c <0，所以c <0，又对称轴为x =4知－a b 2>0，故b <0．故选(A)．

例2 已知二次函数f (x )=ax 2+bx+c 的系数a 、b 、c 都是整数，并且f (19)=f (99)=1999，|c |<1000，则c = ．

解：由已知f (x )=ax 2+bx+c ，且f (19)=f (99)=1999，因此可设f (x )=a (x －19)(x －99)+1999，

所以ax 2+bx+c =a (x －19)(x －99)+1999

=ax 2－(19+99)x +19×99a +1999，故c =1999+1881a ． 因为|c |<1000，a 是整数，a ≠0，经检验，只有a =－1满足，此时c =1999－1881=118．

例3 已知a ，b ，c 是正整数，且抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A 、B 到原点的距离都小于1，求a+b+c 的最小值．

解：设A 、B 的坐标分别为A(x 1，0)，B(x 2，0)，且x 1

则x 1，x 2是方程ax 2+bx+c =0的两个根． ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>=<-=+,0,02121a c x x a b x x ∴x 1<0，x 2<0 又由题设可知△=b 2－4ac >0，∴b >2ac ①

∵|OA|=|x 1|<1，|OB|=|x 2|<1，即－1

c =x 1x 2<1，∴c 0，

∴a (－1)2+b (－1)+c >0，即a+c>b ．

∵b ，a +c 都是整数，∴a+c ≥b +1 ③

由①，③得a+c >2

ac +1，∴(c a -)2>1，又由②知， c a ->1，c a >+1，即a >(c +1)2≥(1+1)2=4

∴a ≥5，又b >2ac ≥215⨯>4，∴b ≥5

取a =5，b =5，c =1时，抛物线y =5x 2+5x +1满足题意． 故a+b+c 的最小值为5+5+1=11．

例4 如果y =x 2－(k －1)x －k －1与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

解：由于△=(k －1)2+4(k +1)=(k +1)2+4>0，所以对于任意实数k ，抛物线与x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x 1，x 2，则： |AB|=524)()(221221221++=-+=-k k x x x x x x