第六讲.贝利相位.ppt

例如周期变化的磁场的矢势 r
At
可作为
Rt
Rt 的周期变化在参量空间定义了一条闭合曲线 C
若假定周期 T足够大，以致哈密顿算符随时间的
变化很缓慢(此称为绝热变化过程) ，致使系统在每
一瞬间都是准静止的，于是对于某一瞬时t ，瞬时定
态薛定谔方程成立
Hˆ
r R
t
nRt
En Rt
nRt
（1）
2020瞬/4/10时本征函数满足的正交归一化条件
3
mRt nRt mn
瞬时本征态 n Rt ei nt nRt
其中
n
t
1 h
t
0 En
r
Rt
dt
称为动力学相位
（2） （3） （4）
绝热条件下，瞬时本征波函数的含时薛定谔方程
ih t
nRt
En Rt
nRt
（5）
用 mRt 左乘上式，并利用（2）式，则有
2020/4/10
ih
mRt
t
r Bm
r R
算r
r R
Am
r R
i r R
m
r
Rt
r R
m
r
Rt
为实数
m
r R
t
r R
m
r R
t
为纯虚数
r
r
r
Bm
Im r R
mR r
r m R Rr
Im rm R rm R
2020/4/10
R
R
r
r
Im r m R r m R
R
R
9
r
（14）
6
可见（12）式指数中被积函数为纯虚数，若记
m t i
t 0
mRt
t
mRt
dt
则（12）式可写成 am t eimt
（15） （16）
于是，绝热近似下，方程（7）的解（8）可写为
t eimteimt m R t
（17）
由（15）式所给出的m t 称为贝利相位，是实的。
1984年贝利从理论上指出了一种新的相位，即 贝利相位，随后得到了实验的证实。
2020/4/10 2
一、贝利相位的引入
设量子体系的哈密顿算符Hˆ 是一组参量
r
RR1, R2,L
, RD
的函数
而
r R
Hˆ Hˆ R1 t, R2 t
随时间作周期性变化
,L , RD t
Rirt T
Ri
rt
在绝热近似条n 件下，利用（6）式，上式可简化为
a&m t am t mRt m&Rt （11）
积分得到
a
m
t
a
m
0
exp
t
0
mRt
t
mRt
d t
（12）
其中初始条件 am0 1
式（2）对时间求导
m&Rt mRt mRt m&Rt 0 （13）
即 Re mRt m&Rt 0
2020/4/10
二、贝利相位的意义
式﹙15）初看之下，eimt是绝对相因子， 不是可 观测量，可观测量 中消去了 eimt 。但是，1984 年贝利指出，当（15）式积分路径是Rt 参数空间的 2闭020/4合/10回路时，可观察到 m t 的效果 ，具有物理意义。
7
当（15）式中积分路径是 Rt参数空间的闭合回路
rr
S
R
r d S Bm R m
（20）
S
8
其中
rr
rr
Bm
R
r R
Am
R
（21）
称为参数空间“磁场强度”
式（20）表明，贝利相位m t 是参数空间“磁
场强度”的磁通量的负值。与演化路径的几何结构
有关
因此，贝利相位又称为几何相位。
三.参数空间“磁场强度”的计
Q
Bm
Im nm
r
rm R
r R r
Rrm R m R
r
r
nR nR
r m R Rr m
rm R
r R
r R
两反平行矢 量叉积为零
Im
nm
r rm R
R
r nR
r nR
r rm R
R
（22）
由瞬时定态薛定谔方程Hˆ mR Em R mR 取梯度
Rr Hˆ
r nR
r Hˆ R
mR
Em R En R
m n （23）
由（2）式取梯度有
r R
mRr
nRr
r
m R r R
nRr
r mR
r Hˆ R
nR
Em R En R
m n
（24）
将（23）和（24）代入（22）得
r
r
mR
Bm Im
mR
Hˆ Rr
mR
r R
Em
R
mR
Em RRr
mR
用 n
n
s R
左乘上式 n m
r R
r R
Hˆ
r
mR n R
rr
Hˆ
r R
En
r R
mR
r
r
nR
r R
mRr
r R
Em
R
nR
mR
Em R n R
r R
mR
2020/4/10
0
10
n
r R
r R
mR
2020/4/10
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
第四讲
贝利相位 Berry Phase
物理专业2008级
2011-4-25
1
引言
Dirac说： “如果有人问，量子力学的主要特 征是什么？现在我倾向于说，量子力学的主要特征 并不是不对易代数，而是概率幅的存在。后者是全 部原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的，但 这只是问题的一部分。概率幅的模方是我们能观测 的某种量，即实验者所观测到的概率。但除此以外， 还有相位，它是模为1的数，它的变化不影响模方。 但这个相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象 的根源，其物理意义是极其隐晦难解的。”
C 时，RT R0
r
m
C
i T 0
iÑC
mR
t
r R
m
R
t
r R
mRt m R t
d Rt
rd t
d Rt
dt
（18）
引入 Rt 空间的“矢势”
Am
r R
i
r
m
Rt
r R
m
r R
t
（19）
于是，贝利相位可写成
2020/4/10
rr r
r rr
m C ÑC Am r
R d R t r d S Am
n
n
ih an t eint
n
由（4）式
t
&n
n
t
Rt
1 h
En
n
an t eintEn
Rt
Rt
n
Rt
a& t e n R t 2020/4/10 n
in t
an t eint n&R t
0 （9）
n
n
5
mRt 左乘上式，可得
a&m t an t eintmt m Rt n&Rt （10）
nRt
r
En 程
ih t Hˆ Rt t
t
t 可用 n Rt 展开，即
（7）
t an t n R t an t eint n R t （8）
n
n
（8）式代入（7）式得
ih a&n t eint nRt h an t &n t eint nR t