导热的理论基础及计算
导热基础必学知识点
导热基础必学知识点
1. 热传导：热量从高温区传导到低温区的过程。
热传导可以通过导热
机制（分子传导、电子传导和辐射传导）进行。
2. 热导率：物质传导热量的能力。
热导率越高，传热能力越高。
3. 热阻：物质对热传导的阻碍能力。
热阻越高，传热能力越低。
4. 热传导方程：描述热传导过程中温度分布的偏微分方程。
在稳态条
件下，热传导方程为焦耳定律，即热流密度等于热导率乘以温度梯度。
5. 导热系数：描述固体材料导热性能的物理量。
导热系数等于热导率
除以材料的厚度。
6. 热容量：物质吸收或释放的热量与温度变化之间的关系。
热容量越大，物质对热量的吸收或释放能力越强。
7. 热扩散：物质在受热时的体积膨胀现象。
热扩散系数描述了物质在
温度变化下的膨胀程度。
8. 热辐射：由热源发出的电磁辐射。
热辐射可以通过辐射传导方式进
行热传导。
9. 对流传热：通过流体介质（如气体或液体）的运动来实现热传输的
过程。
对流传热具有较高的传热效率。
10. 导热材料：具有较高热导率的材料，常用于热导设备或导热结构中，以实现高效的热传导。
常见的导热材料包括金属、陶瓷和导热塑
料等。
以上是导热基础必学的知识点，掌握了这些知识可以帮助理解热传导的基本原理和特性，对导热材料的选择和应用有一定的指导意义。
传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
高等传热学知识点总结
多维、线性齐次，乘积解： t ( x, y, z, ) ψ( x, y, z )( ) 令 ψ( x, y, z) X ( x)Y ( y) Z ( z) ，分别求解，然后相乘
t ( x, y, z, ) Cmnp e a ( m
m 1 n 1 p 1
2
m2 m2 )
X( m , x)Y( m , y)Z(m , z)
多维稳态非齐次：边界非齐 fi (r ) 0 or 方程非齐 0 边界非齐次（方程齐次） ：分离变量法
t ( x, y) X ( x)Y ( y) ,参照时间与空间的分离变量法
当多个边界非齐次时，等于各单非齐问题的叠加 方程非齐次：等于相应齐次解+非齐次特解 线性、非齐次、非稳态： 热源函数法：在无限大区域，初始时刻 x=x0 处，作用了 一个 t=t0 的热源，当 0 时，
13
0.14
2 Num 0 . 6 6 4 1 R l e
1 3
Pr
大空间自然对流换热: Nu C (GrPr) C ( Ra)
x z yz z
， 利用
1 H
u H
i 1 i
3
H t 2 i ui
t cp
第二章 分离变量法 分离变量法： 将温度分成只与空间有 t (r , ) ψ(r )( ) ， 关的 ψ(r ) 和只与时间有关的 ( ) 的乘积。 对于线性齐次非稳态无内热源问题， t
ห้องสมุดไป่ตู้对流
t y
y w, x
对流换热基本计算式：傅里叶定律 qw
牛顿冷却公式 qc h(tw, x t ) ，t 在内流时取管道截面 平均流体温度，外流时取远离壁面的流体温度。
第2章-导热理论基础以及稳态导热
第二章 导热基本定律及稳态导热1、重点内容：① 傅立叶定律及其应用；② 导热系数及其影响因素； ③ 导热问题的数学模型。
2、掌握内容：一维稳态导热问题的分析解法3、了解内容：多维导热问题第一章介绍传热学中热量传递的三种基本方式：导热、对流、热辐射。
根据这三个基本方式，以后各章节深入讨论其热量传递的规律，理解研究其物理过程机理，从而达到以下工程应用上目的：基本概念、基本定律:傅立叶定律,牛顿冷却定律,斯忒藩—玻耳兹曼定律。
① 能准确的计算研究传热问题中传递的热流量 ② 能准确的预测研究系统中的温度分布导热是一种比较简单的热量传递方式,对传热学的深入学习必须从导热开始，着重讨论稳态导热。
首先，引出导热的基本定律，导热问题的数学模型，导热微分方程；其次，介绍工程中常见的三种典型（所有导热物体温度变化均满足）几何形状物体的热流量及物体内温度分布的计算方法。
最后，对多维导热及有内热源的导热进行讨论。
§2—1 导热基本定律一 、温度场1、概念温度场是指在各个时刻物体内各点温度分布的总称。
由傅立叶定律知：物体导热热流量与温度变化率有关，所以研究物体导热必涉及到物体的温度分布。
一般地，物体的温度分布是坐标和时间的函数。
即：),,,(τz y x f t =其中z y x ,,为空间坐标，τ为时间坐标。
2、温度场分类1）稳态温度场（定常温度场）：是指在稳态条件下物体各点的温度分布不随时间的改变而变化的温度场称稳态温度场，其表达式),,,(z y x f t =。
2）稳态温度场（非定常温度场）：是指在变动工作条件下，物体中各点的温度分布随时间而变化的温度场称非稳态温度场，其表达式),,,(τz y x f t =。
若物体温度仅一个方向有变化，这种情况下的温度场称一维温度场。
3、等温面及等温线1）等温面：对于三维温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。
2）等温线（1）定义：在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
第一章—导热理论基础
第一章 导热理论基础本章重点：准确理解温度场、温度梯度、导热系数等基本概念，准确掌握导热基本定律与导热问题的基本分析方法。
物质部导热机理的物理模型：（1）分子热运动；（2）晶格（分子在无限大空间里排列成周期性点阵）振动形成的声子运动；（3）自由电子运动。
物质部的导热过程依赖于上述三种机理中的部分项，这几种机理在不同形态的物质中所起的作用是不同的。
导热理论从宏观研究问题，采用连续介质模型。
第一节基本概念与傅里叶定律1-1 导热基本概念一、温度场(temperature field)（一）定义：在某一时刻，物体各点温度分布的总称，称为即为温度场（标量场）。
它是空间坐标和时间坐标的函数。
在直角坐标系下，温度场可表示为：),,,(τz y x f t = （1-1）（二）分类：1．从时间坐标分：①稳态温度场：不随时间变化的温度场，温度分布与时间无关，0=∂∂τt ，此时，),,(z y x f t =。
（如设备正常运行工况）稳态导热：发生于稳态温度场中的导热。
②非稳态温度场：随时间而变化的温度场，温度分布与时间有关，),,,(τz y x f t =。
（设备启动和停车过程）非稳态导热：在非稳态温度场中发生的导热。
2．从空间坐标分： ①三维温度场：温度与三个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),,(),,,(z y x f t z y x f t τ ②二维温度场：温度与二个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态),(),,(y x f t y x f t τg ra d t③一维温度场：温度只与一个坐标有关的温度场，⎩⎨⎧==稳态非稳态，)()(x f t x f t τ 二、等温面与等温线1．等温面(isothermal surface)：在同一时刻，物体温度相同的点连成的面即为等温面。
2．等温线(isotherms)：用一个平面与等温面相截，所得的交线称为等温线。
为了直观地表示出物体部的温度分布，可采用图示法，标绘出物体中的等温面（线）。
传热流体数值计算
1 傅立叶定律傅立叶定律是导热理论的基础。
其向量表达式为:q gradT λ=-⋅ (2-1)式中:q —热流密度，是向量，2/()Kcal m h ；gradT —温度梯度，是向量，℃/m ；λ—导热系数，又称热导率，/()Kcal mh C o ； 式中的负号表示q 的方向始终与gradT 相反。
2 导热系数（thermal conductivity ）及其影响因素导热系数λ（/()Kcal mh C o）是一个比例常数，在数值上等于每小时每平方米面积上，当物体内温度梯度为1℃/m 时的导热量。
导热系数是指在稳定传热条件下，1m 厚的材料，两侧表面的温差为1度（K ，°C ）,在1秒内，通过1平方米面积传递的热量，用λ表示，单位为瓦/米·度，w/m·k （W/m·K,此处的K 可用℃代替）。
导热系数为温度梯度1℃/m ，单位时间通过每平方米等温面的热传导热流量。
单位是：W/(m·K)。
3．热传导微分方程推导 ♥ 在t 时刻w 界面的温度梯度为xT∂∂在t 时刻e 界面的温度梯度为dx x T x T dx x x Tx T 22∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂ 单位时间内六面体在x 方向流入的热流量为：dydz xT∂∂-λ； 单位时间内六面体在x 方向流出的热流量为：dydz dx x T x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-22λ；单位时间内六面体在x 方向流入的净热量为：dxdydz xT22∂∂λ 图3-1 微分单元体各面上进出流量示意图同理，单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz yT22∂∂λ； 单位时间内六面体在y 方向流入的净热量为：dxdydz z T 22∂∂λ； 单位时间内流入六面体的总热量为：dxdydz z T y T xT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂222222λ (3-1) 六面体内介质的质量为:dxdydz ρ。
传热学--导热理论基础--ppt课件精选全文
第二章 导热理论基础
第三节 热导率
3、隔热层必须采取防潮措施
（1） 湿材料 干材料或水
因多孔材料很容易吸收水分，吸水后，由于热导率较大的水
代替了热导率较小的介质，加之在温度梯度的推动下引起水分
迁移，使多孔材料的表观热导率增加很多。
0.35
0.599
第二章 导热理论基础
※导热是在温度差作用下依靠物质微粒（分子、原子和 自由电子等）的运动（移动、振动和转动）进行的能 量传递。因此，导热与物体内的温度分布密切相关。 ※本章将从温度场、温度梯度等基本概念出发 阐述导热过程的基本规律 讨论描述物体导热的导热微分方程和定解条件
第二章 导热理论基础
第一节 温度场和温度梯度 一、温度场（P13）
第二章 导热理论基础
第三节 热导率
4、几点说明
（1）保温材料的λ值界定值随时间和行业的不同有所变化。 保温材料热导率的界定值大小反映了一个国家保温材料的生
产及节能的水平。
20世纪50年代我国沿用前苏联标准为0.23W/(m·K)； 20世纪80年代，GB4272-84规定为0.14W/(m·K)， GB4272-92《设备及管道保温技术通则》中则降低到 （0.122）W对/(于m各·K向) 异性材料，其热导率还与方向有关。
1、等温面：同一瞬间，温度场中温度相同的点所连成的面。 2、等温线：等温面与其他任一平面的交线。
3、立体的等温面常用等温线的平面图来表示。
为了在平面内清晰地表示一组等温面，常用这些等温面与一 平面垂直相交所得的一簇等温线来表示。 图2-1是用等温线表示的内燃机活塞和水冷燃气轮机叶片的温度场
第二章 导热理论基础
三、温度梯度（P13-14）
传热学-第2章-导热的理论基础
4
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.1 温度场
从不同的角度对温度场进行分类： 按温度场是否随时间变化，可分为:
稳定(Steady-state)温度场：物体内各点温度不随时间 变化——稳态导热
t f (x, y, z)
稳态温度场、定常温度场
5
2.1 基本概念和导热基本定律
提出的， 傅里叶是导热理论的奠基人，他通过实验， 分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立叶导热 定律。
19
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
Fourier定律的表述： 在任意时刻，各向同性连续介质内任意位置处的热
流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，但方向相反
q gradt t n
❖ 实验表明，除了甘油和0～120℃范围内的水以外，其他 液体的导热系数值随温度升高而减小
❖ 压力变化对液体导热系数的影响很小，通常可以忽略
43
2.2 物质的导热特性
液体中液态金属和电解液是一类特殊的液体 ——依靠原子的运动和自由电子的迁移来传递热量，导热
系数要比一般非金属液体大10～1000倍
44
q gradt t n
n
❖ 热流密度是一个矢量 与温度梯度位于等温线同一的法线上 方向相反，永远指向温度降低的方向
❖ 在直角坐标系下，热流密度矢量可表示为
q qxi qyj qzk 22
2.1 基本概念和导热基本定律
2.1.3 导热的基本定律
温度梯度和热流密度矢量、等温线和热流线间的关系
湿量等 ❖ 有些材料，如木材、结构体、胶合板等还与方向有关
（各向异性材料）有关
30
2.2 物质的导热特性
-导热理论基础-3
①肋片导热的特点： ➢在肋片伸展的方向上有表面的对流换热及辐射换热， 因而热流量沿传递方向不断变化。 ➢肋片表面的所传递的热量都来自（或进入）肋片根部， 即肋片与基础表面的相交面。 ➢分析目的：得出温度场、热流量。
2-4-1 等截面直肋的导热
假定：
➢宽度 l >> 且沿
肋片长度方向温度均匀
1
Qs
➢ 大、 << H，认为 δ 0
x
温度沿厚度方向均匀。
Qx
Qx+dx
dx H
因此， / << 1/h，温度仅沿x变化，于是可以把通
过肋片的导热问题视为沿肋片方向上的一维导热问题 。
由能量守恒： Qx Qxdx Qs
Qx
得微分方程为：
d 2
dx 2
m 2
1
s
这里一个二阶线性齐次常微分方
程，通解为
δ 0 x
x+dx
x
c1emx c2emx
dx H
肋根 x=0 处边界条件为： x 0, 0 t0 t；
另一边界条件取决于肋片端部 x = H 处的条件，一般可
认为肋片端部绝热：
Ac
l
H
l P 2l
1
记 AL=H 为肋片纵剖面积。
Qs
1
mH
2h H 3 2
2
h
2
H
3 2
H
AL
δ 0 Qx
Qx+dx
x
可见，mH与参量
1
h
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
高等传热学-2
已知圆柱坐标系与直角坐标系之间的函数关系
x = r cos j , y = r sin j , z = z
令 x1 = r , x2 = j , x3 = z 求出拉梅系数
H1 = Hr = 1 H2 = Hj = r H3 = Hz =1
圆柱坐标系的导热方程
H = H1H 2H3 = r
rc ¶T ¶t
高等传热学
张靖周
南京航空航天大学 能源与动力学院
第二章 导热的理论基础
2-1 导热基本定律
一、 经典傅里叶(Fourier)定律 qv = - l Ñ T = - l gradT = - l ¶ T nv ¶n
Fourier定律作为导热的本构方程，描述了热流量和 温度分布之间的关系。 思考： Fourier定律的适定条件？
r n
方向
温度升高，即
( ¶T ¶n
)w
>
0
，故
-
l(
¶T ¶n
)w
<
0
(2)假设 Tf < Tw ，表面温度比内部温度低，则沿 nr方向
温度降低，即
( ¶T ¶n
)w
<
0
，故
-
l(
¶T ¶n
)w
>0
第二类和第三类边界条件的具体应用
热流密度 导热
q0
=
-l
¶T (0,t ¶x
)
导热 热流密度
-
l
¶T
C 是热传播速度 a 是导温系数
t0
=
a C2
t 0 是弛豫时间：温度场的重新建立滞后于热扰动改
变的时间，反映了系统趋于新的平衡状态的快慢程度
(1) 对于稳态导热过程，热流密度矢量场不随时间变化，传播项 的影响消失
第二章-导热理论基础-1
λ固 > λ 液 > λ 气 λ 金属 > λ 非金属
一定温度范围内， ∝ f (t ) ，可写成：λ = λ0 ⋅ (1 + bt ) λ 即，导热系数是温度的线性函数。 由于热能的传输在固体中体现为自由电子的迁移和晶格振动 波，于是 λ固 = λe + λl
晶格分量 电子分量 对于金属： e λ
∂t qx = −λ ⋅ ∂x ∂t q y = −λ ⋅ 或 ∂y ∂t q z = − λ ⋅ ∂z
2-1-6 导热系数
q qx =− 定义： λ = − gradt ∂t ∂x
物理意义： 物体中单位时间、单位温降通过单位面积的导
W 热量；为表征物质导热能力的系数。 m ⋅ ℃
如果初始时刻物体各部分的温度相同，可以把初始条件改 写为： t τ =0 = t0 = const
（4）边界条件 ）
①第一类边界条件 已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件—已知任何时刻物体边界的温度值 第一类边界条件
tw = const t s = tw = tw = f (τ )
dτ 时间内，微元体内部产生的能量为：
& E g = qv ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
dτ 时间内，微元体贮存能的变化量为：
∂t dE = ρc p ⋅ dxdydzdτ ∂τ
根据能量守恒： 可得
Ein + E g − Eout = dE
∂t ∂q x ∂q y ∂q z = ρc p ∂x + ∂y + ∂z + qv & ∂τ
∂t −λ ∂x
= h t f − t (0 , τ )
导热基本定律及稳态导热-讲义
a
热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
4-5 一维稳态导热
一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板和圆柱内的导热。
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
多维导热问题：首先获得温度场的分布函数 ，然后根据傅立叶定律求得空间各点的热流 密度矢量。
15
导热微分方程
定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中 的温度场应满足的数学表达式，称为导热微分方程。 导热微分方程的数学表达式 ： 导热微分方程的推导，假定导热物体是各向同性的。
理论基础：能量守恒定律与傅立叶定律
2
t t1 x t2 o
34
dt 直接积分，得： c1 t c1 x c2 dx
带入边界条件
t2 t1 c1 c2 t1
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t2 t1 dx
t ~ A x
数学表达式：
t A x
8
负号表示热量传递的方向指向温度降低的方向
傅里叶定律用热流密度表示：
t q x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
其中
q
——热流密度(单位时间内通过单位
面积的热流量) t ——物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
9
2.温度梯度（Temperature gradient）
16
▲ 导热微分方程式
通过空间任一点任一 方向的热流量也可分 解为 x 、 y 、 z 坐 标方向的分热流量。
第二章导热基本原理
• 导热问题的完整描述
– 初始条件+边界条件+导热微分方程 – 对于稳态导热，定解条件只需要边界条件
• 边界条件分类
– 第一类边界条件，规定边界上的温度值。 稳态导热： tw=常数 非稳态导热：tw = f1(τ)
– 第二类边界条件，规定边界上热流密度值 稳态导热： qw=常数
非稳态导热：qw n t w f2()
所以温度场不相同
t2未知， λ铜≠ λ铁，h相同
λ铜> λ铁 ρ铜> ρ铁 c铜< c铁
•2
边界条件 ●R
r 0, dt 0 第二类边界条件 dr
r R, qw h(tw tf )
tw
第三类边界条件
●
壁面温度tw
周围流体温度tf 表面传热系数h
作业总结
• 1写出导热微分方程和边界条件，如果边界条 件和微分方程不包含任何物性常数如λ 、ρ、 c 等，则温度场相同，否则温度场不同。
后续导热问题的讨论中，将贯穿从导热微分方程 出发的处理方法
圆柱坐标系 （r, φ, z）
•
t a r2t21 r rtr122t2 z2t2 c
稳态、无内热源
2t r2
1t 1 2t
rr r2 2
2t z2
0
球坐标系（r,φ ,θ ）
t a 1 r 2 r r 2 t r2s 1 in sin t r2si1 n 2
λ银> λ铜> λ金> λ铝
随着温度升高，金属晶格振动的加强干扰了自 由电子运动，导致导热系数降低。
10K:Cu 12000W(m) 15K:Cu 7000W(m)
(2)合金的导热：金属中掺入任何杂质将破坏晶 格的完整性，干扰自由电子的运动，导致导热 系数降低。依靠自由电子的迁移和晶格的振动， 主要依靠后者，因此温度升高，晶格振动加强， 导热增强。
第二章-导热理论基础-3
程，通解为
δ 0 x
x+dx
x
c1emx c2emx
dx H
肋根 x=0 处边界条件为： x 0, 0 t0 t；
另一边界条件取决于肋片端部 x = H 处的条件，一般可
认为肋片端部绝热：
x 0: xH:
0 d 0
dx
c1emx c2emx
1
s
应用边界条件可得：
c1
0
1 e2mH
0.05 时，误差小于1%。对于短而厚的肋片，二维 温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面
传热系数h不是均匀一致的 ——数值计算
2-4-2 通过环肋及三角形截面直肋的导热
为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不 变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是 其中的两种。
y
r 0
0 x
1
s
Qxdx
Qx
dQ dx
dx
Ac
dt dx
Ac
d 2t dx2
dx
δ 0 x
x+dx
dx H
x
Φs hPdx(t t ) P为肋片截面周长
将以上三式代入守恒方程得：
Ac
d 2t dx2
hP(t
t )
令 m hP
Ac
t t 为过余温度
得微分方程为：
d 2
dx 2
m 2
1
s
这里一个二阶线性齐次常微分方
2-4 通过肋壁的导热
• 由传热过程计算式
Φ
tf1 tf2
1
1
W
h1A A h2 A
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
➢增加温差，但受工艺条件限制
导热基本方程和稳态导热理论
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向； •温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义： 温度场
t f ( x, y, z ) 中点( x, y, z ) 处的温度梯度：
t t t grad t i j k x y z
t 0 非稳态温度场： 三维非稳态温度场： t f ( x, y, z, ) 三维稳态温度场： t f ( x, y, z )
二维稳态温度场： t f ( x, y) 一维稳态温度场： t f ( x)
t 0 稳态温度场：
（2） 等温面和等温线
将温度场中某一时刻温度 相同 的点连接起来所形成的面 或线 称为等温面或等温线。 等温面和等温线的特点：
2 2 2
球坐标下的拉普拉斯方程：
1 2 1 t 1 2t (rt ) 2 (sin ) 2 0 2 2 r r r sin r sin
常物性、无内热源、一维稳态导热微分方程：
d 2t 0 2 dx
3 定解条件（单值性条件）
导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界 ⑴几何条件：说明导热体的几何形状和大小，它确定了研究问 题的空间区域，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等；
根据上面的条件可得：
t t t ( ) ( ) ( ) qv (c p t ) x x y y z z
d 2t 2 0 dx
第一类边界条件：
x 0, t t1 x , t t2
dy
dx
dz
Q xdx
y
Qy
导热理论(as)
第一章导热理论基础第一节基本概念及傅里叶定律 1-1导热基本概念一、温度场1、定义：在某一时间，物体内部各处的温度分布即为温度场。
直角坐标系：t =f （x ,y ,z ,T ）（2-l ）热流是由高温向低温传递，具有方向性。
而温度则属于标量，无方向性。
2、分类： 从时间坐标看，稳态导热：温度分布与时间无关，t =f （x ,y ,Z ）； 非稳态导热：温度分布与时间有关，t =f （x ,y ,z ,T ）从空间坐标可将导热分为一维、二维、三维导热。
其中最简单的是一维稳态导热，可表示为：：=f （x ）。
3、等温面（线）在同一瞬间，物体内温度相同的点连成的面即为等温面。
不同的等温面与同一平面相交，在平面上得到的一组线为等温线。
不同的等温面（线）之间是不可能相交的。
图2-1所示的即为一维大平壁和一维圆筒壁内的等温面（线）的示意图。
温度梯度是一个矢量，具有方向性。
它的方向是沿等温面法线由低温指向高温方向。
在直角坐标系：二、温度梯度定义沿法线方向的温度变化率为温度梯度，以gradt 表示。
图2-1等温线a ：平壁b ：圆筒壁—>grad t =limAnT 0 A tAnd t d n(2-3)gradt图2-2.温度梯度与热流密度矢量a厂.dt：dt-（24）gradt=i+j+k（2-4丿a x a y a z。
热流密度是一个矢量，具有方向性，其大小等于沿着这方向单位时间单位面积流过的热量，方向即为沿等温面之法线方向，且由高温指向低温方向，见图。
在直角坐标系中，同样可以分解成由沿坐标轴三个方向的分量表示：2-)内热源？内热源为多大。
其中，岂、色、 QxQ y 三、热流密度热流密度， 色分别为沿x 、y 、z 方向的温度梯度。
式中 q ,q ,qxyz为沿坐标轴三个方向的分热流。
而通过该等温面传递的热量为—>—>Q=q -A =qA +qA +qAxxyyzz2-)1-2．傅立叶定律傅立叶(J.Fourier )热流密度与温度梯度的关系可以用下式表示Q t 「q=_入gradt=_入nQn①=一九Agradt =一九AnQn2-5) 2-6)式中的比例系数九即为材料的导热系数(或称热导率)，单位W/(m -°C )。
高等传热学
如果
0
常数
Dvi p 1 div(V ) fi 2vi D xi 3 xi
§1-2 基本守恒方程式
不可压缩流体，二维稳定流动，直角坐标系下
常数
u 2u 2u u p u v f x 2 2 y x y x x 2v 2v v v p u x v y f y y x 2 y 2
流体位移结果＋控制体内流体动量的时间变化率＝体积力＋表面力
§1-2 基本守恒方程式
v n vi dA
A
v i d f i d jj n j dA A
根据散度定理，
div v v v i i d f i d jj n j dA A
§1-1导热基本定律
Fourier定律 内容：热流密度在任一方向上的分量与该方向上 的温度变化率成正比。 dt 表达式： q n grad (t ) ▽t
dn
An
即
dt n dn t t q y q x y x
§1-3 正交坐标系中的基本方程式
第三节 正交坐标系中的基本方程式 一、正交坐标系
概念：三个坐标曲面相互正交，两个坐标曲面交线为坐标曲线或坐标轴。 推导：正交坐标的弧微分与正交坐标之间的关系 正交坐标系（u1，u2，u3），直角坐标系空间一点M（x，y，z）
dsi dx dy dz
( H H1 H 2 H3 )
dV ds1 ds2 ds3 H1 H 2 H3 du1du2du3 H du1du2du3
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qw t （ ） W n
稳态导热 对于非稳态导热 绝热边界面
qW const
qW f ( )
t qw （ ） W 0 n
（3）第三类边界条件：给定物体边界与周围流 体间的表面传热系数h和周围流体温度tf。由固 体壁导热量与表面传热量相等得
4.1.1 导热基本定律
1、温度场和温度梯度 1）温度场： 稳态温度场（三维）
非稳态温度场（三维）
t t ( x, y, z )
t t ( x, y, z, ) : 时间
2）等温面：物体内温度相同的点组成
3）温度梯度： t t gradt lim n n n 0 n n n : 等温面法线方向上的单位矢量
dQx qx dydz d
(J )
(a)
(J ) (b)
dτ时间内经x轴方向，经x+dx表面导出的热量为
dQxdx qxdx dydz d
qx dx
qx qx dx x
t q x x
dQx dQx dx
qx dxdydz d x
2)微元体内热源的发热量 d时间内微元体中热源的发热量=qv dxdydzd ( J ) (h)
dQ C 热容量：物质单位温度变化所需 dT 要吸收的热量。 1 dQ C 比热容：单位质量物质热容量。 M dT
(g)
3)微元体热力学能的增量 t d 时间内微元体中热力学能的增量= c dxdydzd ( J ) (i) 导热微分方程的一般形式
2
qv
.
0
二、导热过程的定解条件 定解条件： (1) 时间条件（初始条件） (2) 边界条件：边界处的温度或表面传热情况
三类边界条件： （1）第一类边界条件：给定边界上温度值。
（2）第二类边界条件：给定边界上任何热流密度值。 已知物体边界上的热流密度的帆布及变化规律
q s qw fW ( x, y, z, )
t t t gradt i j k x y z i, j , k : x, y, z轴方向的单位矢量
4）热流密度矢量
热流线：代表热流方向的线，指向温度降低的方向。 热流上任意点的切线方向即为热流方向 热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热流量 热流密度矢量：在等温面上某点，以通过该点处最 大热流密度的方向为方向，数值上正好等于沿该方 向的热流密度。
t t t t c qv (4 10) x x y y y y
qv t t t t ( 2 2 2) c x y z c
2 2 2
.
(4 11) (4 12)
qv t 2 a t c
.
2 2 2 t t t 2 t 2 2 2 (拉普拉斯运算子） x y z
热扩散率a c
2 .
a c
t
q y
(J )
(c )
(J ) (d ) (e )
(J ) (f)
y qz dQz dQz dz dxdydz d (J ) z 导入与导出净热量= ( qx qy qz )dxdydzd
x y z
同理：dQy dQy dy
dxdydz d
第 4 章 导热的理论基础及计算
4.1 导热理论基础 4.1.1 导热基本定律 4.1.2 导热微分方程式 4.2 导热问题的计算（一维稳态导热）
4.1
导热理论基础
导热是依靠物质微粒的热振动而实现的。 产生导热的必要条件是物体的内部存在温度差， 因而热量由高温部分向低温部分传递。 发生导热时，沿热流方向上物体各点的温 度是不相同的，呈现出一种温度场，对于稳定 导热，温度场是稳定温度场，也就是各点的温 度不随时间的变化而变化。
根据傅里叶定律： t t q x q y x y
t q z z
导入与导出净热量= t t t dxdydzd ( J ) x x y y y y
t （ ） s W h(t w t f ) n
4.2 导热问题计算（一维稳态导热) 一、通过平壁的导热（无内热源，在均匀恒定的第 一类边界条件下的稳态导热）
t
tw1
o
φ
x dx δ φ
tw 2
根据导热微分公式及已知条 件（无内热源，稳态导热）
t 2t 2t 2t qv ( 2 2 2) c x y . z c qv t 0 0 x c
q qxi qy j qz k
2、导热基本定律 （傅立叶定律） t q q：热流密度 n
导热基本定律 （傅立叶定律）矢量表达式 t q gradt n 或 q qxi q y j qz z n
3、热导率
q （）表达式 1 gardt
（2）影响热导率的因素
•状态、成分和结构 •温度 •压力 •密度 •含水率（湿度）
4.1.2 导热微分方程式
1、导热微分方程 导热微分方程求解多维导热和一维及多维非稳态 导热问题 dQ
z dz
z o y x
dy
dx
dQy
dQx
dz
dQy dy
dQz
dQx dx
dτ时间内经x轴方向，经x表面导入的热量为
tw 2
.
tw1
Rd A
平壁导热的微分方程为
d 2t 0 2 dx
边界条件
积分得t c1x c2
x0
x
代入边界条件得
t t w2 c2 tw1
t tw1
c1