二叉树模型
二叉树模型介绍
5）偏离均衡价格时的套利： 如果期权的价值超过了$0.633，构造该 组合的成本就有可能低于$4.367，并将 获得超过无风险利率的额外收益； 如果期权的价值低于$0.633，那么卖空 该证券组合将获得低于无风险利率的资 金。
2、一般结论
1）条件： 考虑一个无红利支付的股票，股 票价格为S。 基于该股票的某个衍生证券的当 前价格为f。 假设当前时间为零时刻，衍生证 券给出了在T时刻的盈亏状况 。
看跌期权的价值是$4.1923。 利用每个单步二步二叉树向回倒推算， 也可以得到这个结果。
四、美式期权
1、方法： 从树图的最后末端向开始的起点倒推计 算。 在每个节点检验提前执行是否最佳。 在最后节点的期权价值与欧式期权在最 后节点的期权价值相同。
在较早的一些节点，期杈的价值是取如 下两者之中较大者： 1）．由公式f=e-rT[pfu+(1-p)fd] 求出的值。 2）．提前执行所得的收益。
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
3、风险中性估值(risk-neutralvaluation)： 把金融资产放在风险中性的世界去估值 即为期权和其它衍生证券估值时，世界 是风险中性的。 在风险中性世界中得到的价格，在现实 世界中也是正确的。
金融工程学(期货)第八单元：二叉树模型
股票价格=$22 期权价格=$1 股票价格 =$20 现时刻 T时刻 股票价格=$18 期权价格=$0
无风险利率为12%(年率)，期权期限是三个月
一个无风险证券组合为 多头:0.25股股票 空头:一个期权 如果股票价格上升到$22，或股票价格下降到 $18，该组合的价值都为$4.5 无套利机会存在，则无风险证券组合的收益率 也是无风险利率。 该组合的现值为:4.5e-0.12*0.25=4.367 即:20*0.25-f=4.367，f是期权的价格 f=0.633
复制组合（Synthetic Portfolio）： 持有N股股票的多头，并出售一个看涨期权， 在一个时期后，将得到确定的收益。也可以通 过投资于无风险债券而获得确定的收益。 N股股票的多头+1个看涨期权的空头=无风险借款 稍加变形我们得到：股票+债券可以复制期权Βιβλιοθήκη ② 一般结论 S 现时刻 f
Su fu
f=e-2rΔt[p2fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2fdd] 结论:衍生工具的价格等于它在风险中性世界的 预期收益按无风险利率贴现值.
多步二叉树
• 股票价格树图
SU3 SU2 SU2 SU SU S SD S
SU5
SU4
SU3
SU
S
SD SD2 SD3
SD2
SD
SD2
SD4 SD5
• • •
节点B,提前执行期权的损益为-$8,按公式计算 值为$1.4147.选择$1.4147. 节点C,提前执行期权的损益为$12.0,按公式计 算值为$9.4636.选择$12.0. 节点A,提前执行期权的损益为$2.0,按公式计算 值为$5.0894.选择$5.0894. 72
二叉树模型介绍
②期权定价: 在三个月末尾:看涨期权价值为$1的概率 为0.6523，价值为零的概率为0.3477。 看涨期权的期望值为： 0.6523×1+0.3477×0=$0.6523 期权现在的价值： f=0.6523e-0.12×0.25 =0.633
三、两步二叉树图
1、两步二叉树图的例子 1）条件： 开始的股票价格为$20，并在两步二叉树 图的每个单步二叉树图中，股票价格可 以上升10％或者下降10％。 我们假设在每个单步二叉树的步长是三 个月，无风险利率是年率12％。 期权的执行价格为$21
该组合的现值 ( S u f u )e S f
rT
该组合的成本
则有: S f (Su f u )e
rT
rT
得到: f e [ pfu (1 p) f d ]
d 其中 : p ud e
rT
3、股票预期收益的无关性
衍生证券定价公式没有用到股票上升和 下降的概率。 人们感觉：假设如果股票价格上升的概 率增加，基于该股票的看涨期权价值也 增加，看跌期权的价值则减少。
如果选取某个Δ值，以使得该组合的终值 对两个股票价格都是相等的，则该组合 就是无风险的。
22Δ—1=18Δ
Δ=0.25
一个无风险的组合是： 多头：0.25股股票 空头：一个期权
4）定价： 如果股票价格上升到$22，该组合的价值 为：22×0.25＝4.5 如果股票价格下跌到$18，该组合的价值 为：18×0.25＝4.5 无论股票价格是上升还是下降，在期权 有效期的末尾，该组合的价值总是$4.5。
第五讲期权定价理论I二叉树模型
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为：
f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步
到期时各个节点的期权价值：
fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd]
f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得：
f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行
贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
16
（四）看跌期权的情形
例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期 权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元， 假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步 股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风 险利率为5%。
23
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，
目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险
对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。
26
4. 期货期权的定价 在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货
的为期F0，初因价此格，为F0，时间长度为Δt的期货的期望价格也 E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0 p=(1-d)/(u-d) 例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风
二叉树模型u和d公式
二叉树模型u和d公式
二叉树模型是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
在二叉树模型中，我们可以使用一些公式来描述和操作这些节点，其中包括u和d公式。
第一个公式是u公式，它用来计算二叉树中节点的数量。
对于一个二叉树来说，u公式可以表示为：
u = n + 1
其中，u表示节点的数量，n表示叶子节点的数量。
这个公式的原理是，一个二叉树中的节点数量等于叶子节点数量加一。
这是因为在一个二叉树中，每个节点都有两个子节点，除了叶子节点，它们没有子节点。
所以，节点数量等于叶子节点数量加上根节点。
第二个公式是d公式，它用来计算二叉树中的边的数量。
对于一个二叉树来说，d公式可以表示为：
d = n
其中，d表示边的数量，n表示叶子节点的数量。
这个公式的原理
是，一个二叉树中的边的数量等于叶子节点的数量。
这是因为每个节点都有一条边与其父节点相连，除了根节点没有父节点外，其余节点都有一条边与其父节点相连。
所以，边的数量等于叶子节点的数量。
通过u和d公式，我们可以方便地计算二叉树中节点和边的数量。
这对于分析和设计二叉树算法非常有用。
另外，还可以通过这些公式来验证二叉树的正确性，例如检查节点和边的数量是否满足这些公式。
除了u和d公式外，还有其他一些常用的公式可以用来描述和操作二叉树模型，例如高度公式、深度公式等。
这些公式可以帮助我们更好地理解和使用二叉树这一重要的数据结构。
《二叉树模型》课件
二叉树的分类
01 满二叉树
如果一个二叉树的每个节点都有两个子节点，则 该二叉树称为满二叉树。
02 完全二叉树
如果一个二叉树的最后一层是满的，且除了最后 一层外，其他各层的节点数达到最大，则该二叉 树称为完全二叉树。
03 平衡二叉树
平衡二叉树是一种特殊的完全二叉树，它的左右 子树的高度差不超过1。
二叉树的应用场景
详细描述
在n叉树模型中，每个节点可以拥有任意数 量的子节点，而不仅仅是两个。这种模型在 处理具有多个分支的数据结构时非常有用， 例如决策树和知识图谱。n叉树模型在搜索 、排序和数据压缩等领域有广泛应用。
B树模型
要点一
总结词
B树模型是一种自平衡的多路搜索树，用于数据库和文件系 统的索引。
要点二
详细描述
详细描述
二叉树的插入操作包括节点的添加和位置调整两个步骤。在添加节点时，需要找到合适 的位置将其插入到二叉树中，并保持二叉树的平衡性。位置调整是为了维护二叉树的性
质，确保每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。
插入操作的时间复杂度
总结词
插入操作的时间复杂度取决于具体的实现方式和数据结构。
详细描述
在平衡二叉树中，插入操作的时间复杂度为O(log n)，其中n为二叉树中节点的数量。而在一般的二 叉树中，插入操作的时间复杂度可能达到O(n)，因为可能需要遍历整棵树才能找到合适的位置插入新 节点。因此，选择合适的二叉树数据结构和算法对于提高插入操作的效率至关重要。
05
二叉树算法的应用
堆排序算法
平衡二叉树的性质：平衡二叉树具有以下性质：1）它的左右子树的高度差不超过1；2）它的左 子树和右子树都是平衡二叉树；3）它的左子树和右子树的节点数相差不超过1。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
二叉树定价模型知识讲解
二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
金融工程二叉树模型概念
金融工程二叉树模型概念一、引言金融工程是指将数学、统计学、计算机科学等方面的知识应用于金融领域，以解决金融市场中的问题。
而二叉树模型则是其中的一个重要工具，在金融工程领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍金融工程中二叉树模型的概念及其应用。
二、二叉树模型概述1. 什么是二叉树？二叉树是一种数据结构，由节点和连接它们的边组成。
每个节点最多有两个子节点，一个称为左子节点，一个称为右子节点。
如果一个节点没有子节点，则称该节点为叶子节点。
2. 什么是二叉树模型？在金融工程中，我们可以利用二叉树来建立模型，以便对金融市场进行分析和预测。
这种利用二叉树建立模型的方法就被称为“二叉树模型”。
三、基本原理1. 二叉树模型的构建在构建二叉树模型时，我们需要确定以下几个参数：（1）时间步数：即我们需要将时间划分成多少个步骤；（2）上涨幅度：即在每个时间步骤中，股票价格上涨的幅度；（3）下跌幅度：即在每个时间步骤中，股票价格下跌的幅度；（4）无风险利率：即在每个时间步骤中，我们所假设的无风险利率。
2. 二叉树模型的计算在确定了以上参数后，我们可以利用二叉树模型来计算股票价格在未来某个时刻的可能取值。
具体方法如下：（1）将当前时刻的股票价格作为二叉树模型的根节点；（2）对于每个节点，分别计算其左子节点和右子节点所对应的股票价格；（3）不断重复上述步骤，直到达到所设定的时间步数为止。
四、应用案例1. 期权定价期权是一种金融衍生品，其价值取决于标的资产价格变化。
利用二叉树模型可以对期权进行定价，并且可以通过调整各种参数来预测未来期权价格。
2. 风险管理利用二叉树模型可以对投资组合进行风险管理。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下投资组合可能出现的收益和风险，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的风险收益比。
3. 股票价格预测利用二叉树模型可以对股票价格进行预测。
我们可以通过建立多个二叉树模型来分析不同情况下股票价格可能出现的变化，并且可以根据分析结果进行调整，以达到最优的投资策略。
CRR二叉树模型及例题
CRR 二叉树模型CRR 二叉树模型(Cox-Ross-Rubinstein 模型)，简称CRR 模型。
第1步：确定p,u,d 参数。
tt t r e d e u d u d e p ∆-∆∆==--=σσ其中, t ∆为把时间分成的许多小的时间段; 上升的比率为u,它的概率为p; 下降的比率为d,它的概率为1-p; r 为利率;σ为标准差;第2步：二叉树结构。
当时间为0时，证券价格为S ，时间为t ∆时，证券价格要么上涨到Su ，要么下跌到Sd;时间为2t ∆时，证券价格就有3种可能，分别为22,,Sd Sud Su ，以此类推，在时间i t ∆，证券价格有i+1种可能，用公式表示为j i j d Su -其中，j=0,1,2,3,…,i=1,2,3,…。
第3步：根据二叉树进行倒推定价。
在二叉树模型中，期权定价从树形图末端开始，采用倒推定价法进行。
由于在T 时刻欧式看跌期权现金流为max(K-S T ,0)，求解T-t ∆时刻每一节点上的期权价格时都可以通过将T 时刻齐全现金流预期值以无风险收益率进行贴现求出。
假设将欧式看跌期权的存续期分成N 个长度为t ∆的小区间，设)0,0(i j N i f j i ≤≤≤≤-表示在时刻i t ∆第j 个节点处的欧式看跌期权价格，也称j i f -为节点（i,j ）的期权价值，同时j i j d Su -表示节点（i,j ）处的标的价格，欧式看跌期权到期价值是max(K-S T ,0),所以有)0,max(,j N j j N d Su K f --=其中，j=0,1,2,3,…,N 。
当时间从i t ∆变到（i+1）t ∆时，从节点（i,j ）移动到（i+1,j+1）的概率为p,移动到（i+1,j ）的概率为（1-p ）,则在风险中性情况下i j N i f p pf e f j i j i t r j i ≤≤-≤≤-+=+++∆-0,10],)1([,11,1,当我们选择的时间间隔足够小时，就可以求出欧式看跌期权的精确值。
第三节 二叉树模型
f e
其中：
rT
[ Pfu (1 P) f d ]
e d P ud
rT
一、单期二叉树
风险中性定价的思路
假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由 于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必 须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过 下式求得：
S e
rT
[SuP Sd(1 P)]
每个步长为 3 个月，u=1.1， d=0.9，r=12%
二、两期二叉树模型与delta动态保值
欧式看涨期权定价
X = 21
22 20 1.2823
A B
E
D
24.2 3.2
19.8 0.0 16.2 0.0
2.0257
18 0.0
C
F
B结点处的价值
= e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257
4.39元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25 单位 股票多头，而目前股票市场为20元，因此：
20 0.25 f 4.39 f 0.61元
一、单期二叉树
2. 风险中性定价思想
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为 P，下跌的概率为1-P，则 e0.10.25 [22P 18(1 P)] 20 得： P=0.6266 这样，根据风险中性定价原理，我们就可以给出该 期权的价值：
第五讲 期权的价值决定
第一节：期权与期权产品简介
第二节：期权的定价原则
第三节： 二叉树模型 第四节：Black-Scholes定价公式
主要内容
第三节：二叉树模型 3.1 二叉树模型简介
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
二叉树模型
两步二叉树图
问题
假设一种股票开始的价格为$20，在下图 所示的两步二叉树图的每个单步二叉树图中， 股票价格可以上升10％或者下降10％。
上面的定价公式并没有用到股票上升和下 降的概率。只是根据标的股票的价格估计期权 的价值。
风险中性估值
式（8.2）的变量p可以解释为股票价格上升的 概率，变量（1-p）就是股票价格下降的概率。这
样，pfu (1 p) fd 就是衍生证券的预期收益。
关于衍生证券的定价公式（8.2）可以表述为： 衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴 现的值。 同理，可以推导出在T时刻预期的股票价格为：
有效期末该组合的价
值为:SdΔ-fd 当两个价值相等时
单步二叉树图中的股票价格 SuΔ-fu =SdΔ- பைடு நூலகம்d
和衍生证券价格
fu fd （8.1）
Su Sd
该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T
时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格
变化与股票价格变化之比。
用r表示无风险利率， 该组合的现值应为：
p2，2p(1-p)和(1-p)2是达到最后上、中、 下三个节点的概率。衍生证券的价格等于它在 风险中性世界的预期收益按无风险利率贴现的 值。
如果在树图中加入更多的步(step)以推广应 用二叉树图方法，风险中性估值的原理一直是 成立的。
看跌期权
考虑一个两年期欧式看跌期权，股票的执 行价格为$52，当前价格为$50。
Delta
二叉树模型
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
二叉树模型
Binomial Trees
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
对冲比率
看跌期权的对冲比率公式和看涨期权的一样， 负号表示我们需要同时买入股票和看跌期权：
h 0 13.46 0.299 125 80
因而，我们需要买入299股股票和1000个期权。 成本为 $29,900 (299 x $100) + $5,030 (1,000 x $5.03) ＝ $34,930
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C
p2Cu2
2p(1
p)Cud
(1
p)
C 2 d2
(1 r)2
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Байду номын сангаас
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
9.数学模型-二叉树模型
使得不管股票价格是否上涨 问：有无可能选取合适的对冲值 k ，使得不管股票价格是否上涨 或是下跌， 即投资组合是无风险的？ 或是下跌，这个 投资组合的价值不变 ，即投资组合是无风险的？ 只需求解下列代数方程即可： 问题的回答是 肯定 的，只需求解下列代数方程即可： 45 k = 35 k + 5 → k = 0.5
• 期权的购入方拥有在 规定期限 内以事先商定的价格向对方 购买 内以事先商定的价格 事先商定的价格向对方
•
套期保值之例 万英镑。 某公司 90 天后要支付英国供应商 100 万英镑。 若 当天的汇率是 12.5 元 / 英镑 。90 天后汇率可能有上扬的可能 性，也可能汇率会下跌 。 理财操作（ 天后去市场购买英镑进行支付； 理财操作（1）无金融措施，90天后去市场购买英镑进行支付； 无金融措施， 天后去市场购买英镑进行支付 购入外汇期货 外汇期货， 英镑； （2）购入外汇期货，汇率为 12.625 元/英镑； （3）购入可以1250万元在90天后购买100万英镑的 购入可以1250万元在90天后购买100万英镑的 1250万元在90天后购买100 外汇期权， 万元）； 外汇期权，期权金为 2 % （25 万元）；
为了获得期权定价 C t 关于时间 t 与股票价格 St 的二元连续函数 解析式， 等较为高深的基础知识， 解析式，需用到 随机微积分 等较为高深的基础知识，这里不再 介绍。 介绍。 我们将感兴趣的是如何用一种完全初等方法的、符合实用原则的 我们将感兴趣的是如何用一种完全初等方法的、符合实用原则的 初等方法的 实用 数值计算 近似方法 ，而这种方法的
即期汇率 12.5 元/镑 90天后汇率 90天后汇率 上扬至 13 下跌至 12 无金融措施 1300 万元 1200 万元 签订外汇远期 1262.5 万元 1262.5 万元 购入看涨期权 1275 万元 1225 万元
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
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注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
h Cu Cd Su Sd
二叉树模型
Binomial Trees
单步二叉树模型
条件和假设
一个时期， 二种结果（状态） S = 当前股票价格 u = 1 + 股票上涨的收益率 d = 1 +股票下跌的收益率 r = 无风险利率
一个时期后到期的看涨期权的价格
Cu = Max(0,Su - X) 或 Cd = Max(0,Sd – X)
Cu
pCu2
(1 1 r
p)Cud
=
(.6)56.25+(.4)0.0 1.07
31.54
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
(.6)0.0 (.4)0.0 1.07
0.0
因而，期权现在的价值为：
C pCu (1 p)Cd 1 r
(.6)31.54 (.4)0.0 17.69 1.07
从期权到期向前倒推一步，可以求得期权在 这些节点上的理论价值，即：
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1
p)C d
2
1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C p2Cu2 2p(1 p)Cud (1 p)2Cd2 (1 r)2
p*Su + (1 – p) * Sd = S * exp( r*T)
p = ( exp(r*T) – d ) / ( u – d )
例-2 现实世界和风险中性世界
假设贵班和隔壁班比赛，贵班赢的概率为3/4， 若你做庄开赌，则赌你们班赢的赔率应该是多 少？ 1： 4/3 合适吗？
例
S = 100, X = 100, u = 1.25, d = 0.80, r = .07 先求得 Cu, Cd, h, 和 p:
4.46%，低于无风险利率。
两步二叉树模型
n 现在我们让二叉树再伸展一步，则股票价格在两步之 后变成 Su2 ，Sud 或 Sd2。
n 期权在两步之后的可能价值为：
C u 2 Max[0, Su 2 X] C ud Max[0, Sud X] Cd 2 Max[0, Sd 2 X]
Cu = Max(0,100(1.25) - 100) = Max(0,125 - 100) = 25
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
,
hd
Cud Sud
C d
2
Sd2
例 S＝100， u＝.25， d＝.20， 则
Su2 = 100(1.25)2 = 156.25 Sud = 100(1.25)(.80) = 100 Sd2 = 100(.80)2 = 64 到期时，期权价值为：
Cu2 Max[0, Su 2 X] Max[0,156. 25 100] 56.25 Cud Max[0, Sud X] Max[0,100 100] 0.0 Cd2 Max[0, Sd 2 X] Max[0,64 100] 0.0
一步之后，期权的价值为：
$40,600 到期时你仍将得到 $44,500，收益为 9.6%，高
于无风险利率。
则所有的市场参与者都将仿效（做空期权做多 股票），使期权价格回落。
反之如果期权被低估：
假定看涨期权的价格为$13 你可以以$100 的价格做空556股股票，以$13 的价
格买入1000个期权，收入$42,600。 到期时你将付出$44,500。 这等于你借入$42,600，偿还$44,500，隐含利率为
注意：公式中并没有出现股票价格上升和下降 的概率；即期权的价值和 它们无关。
事实上，p是股票价格上升的“风险中 性”(Risk Neutral)概率。
风险中性概率
风险中性世界（投资者只所有投资的预期收益 都等于无风险收益率）
风险中性概率即风险中性世界隐含的概率
例
股票价格为 S， T时间Fra bibliotek股票价格或者上涨为 Su （设概率为p）或者下跌为 Sd， 则应有：
应用于看跌期权
步骤相同，但用看跌期权的损益公式代替看 涨期权的损益公式。在上述例子中，到期时， 看跌期权价值为：
因为无风险，该组合收益为无风险利率。因 此
V exp(r*t) = Vu (or Vd)
代入 V 和 Vu
(hS - C) exp(r*T) = hSu – Cu
因此期权的理论价值为：
C ( p * Cu (1 p) * Cd ) * er*T 其中 p=( er*T -d)/(u-d)
组合价值= 556($125) - 1,000($25) = $44,500
若股票下跌至$80
组合价值= 556($80) - 1,000($0) = $44,480
收益为7％，等于无风险利率。
如果期权被高估：
假定看涨期权的价格为 $15.00 则最初的投资为 556($100) - 1,000($15.00) =
代入公式:
C (.6)25 (.4)0.0 14.02 1.07
则无风险组合为
1000 个期权的空头和1000×h = 1000(.556) = 556 股股票的多头。
开始的价值（投资）: V = 556($100) 1,000($14.02) = $41,580.
若股票上涨至$125