二叉树模型

从期权到期向前倒推一步，可以求得期权在 这些节点上的理论价值，即：
Cu

pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd

pCdu

(1

p)C d
2
1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C p2Cu2 2p(1 p)Cud (1 p)2Cd2 (1 r)2
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h

Cu Su
Cd Sd
,
hu

Cu2 Su 2
Cud Sud
,
hd
Cud Sud

C d
2
Sd2
例 S＝100， u＝.25， d＝.20， 则
Su2 = 100(1.25)2 = 156.25 Sud = 100(1.25)(.80) = 100 Sd2 = 100(.80)2 = 64 到期时，期权价值为：
Cu

pCu2
(1 1 r
p)Cud
=
(.6)56.25+(.4)0.0 1.07

31.54
Cd

pCdu
(1 p)Cd2 1 r

(.6)0.0 (.4)0.0 1.07
0.0
因而，期权现在的价值为：
C pCu (1 p)Cd 1 r
(.6)31.54 (.4)0.0 17.69 1.07
应用于看跌期权
步骤相同，但用看跌期权的损益公式代替看 涨期权的损益公式。在上述例子中，到期时， 看跌期权价值为：
Cu = Max(0,100(1.25) - 100) = Max(0,125 - 100) = 25
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
4.46%，低于无风险利率。
两步二叉树模型
n 现在我们让二叉树再伸展一步，则股票价格在两步之 后变成 Su2 ，Sud 或 Sd2。
n 期权在两步之后的可能价值为：
C u 2 Max[0, Su 2 X] C ud Max[0, Sud X] Cd 2 Max[0, Sd 2 X]
p*Su + (1 – p) * Sd = S * exp( r*T)

p = ( exp(r*T) – d ) / ( u – d )
例-2 现实世界和风险中性世界
假设贵班和隔壁班比赛，贵班赢的概率为3/4， 若你做庄开赌，则赌你们班赢的赔率应该是多 少？ 1： 4/3 合适吗？
源自文库
例
S = 100, X = 100, u = 1.25, d = 0.80, r = .07 先求得 Cu, Cd, h, 和 p:
注意：公式中并没有出现股票价格上升和下降 的概率；即期权的价值和 它们无关。
事实上，p是股票价格上升的“风险中 性”(Risk Neutral)概率。
风险中性概率
风险中性世界（投资者只所有投资的预期收益 都等于无风险收益率）
风险中性概率即风险中性世界隐含的概率
例
股票价格为 S， T时间后股票价格或者上涨为 Su （设概率为p）或者下跌为 Sd， 则应有：
代入公式:
C (.6)25 (.4)0.0 14.02 1.07
则无风险组合为
1000 个期权的空头和1000×h = 1000(.556) = 556 股股票的多头。
开始的价值（投资）: V = 556($100) 1,000($14.02) = $41,580.
若股票上涨至$125
Cu2 Max[0, Su 2 X] Max[0,156. 25 100] 56.25 Cud Max[0, Sud X] Max[0,100 100] 0.0 Cd2 Max[0, Sd 2 X] Max[0,64 100] 0.0
一步之后，期权的价值为：
组合价值= 556($125) - 1,000($25) = $44,500
若股票下跌至$80
组合价值= 556($80) - 1,000($0) = $44,480
收益为7％，等于无风险利率。
如果期权被高估：
假定看涨期权的价格为 $15.00 则最初的投资为 556($100) - 1,000($15.00) =
因为无风险，该组合收益为无风险利率。因 此
V exp(r*t) = Vu (or Vd)
代入 V 和 Vu
(hS - C) exp(r*T) = hSu – Cu
因此期权的理论价值为：
C ( p * Cu (1 p) * Cd ) * er*T 其中 p=( er*T -d)/(u-d)
二叉树模型
Binomial Trees
单步二叉树模型
条件和假设
一个时期， 二种结果（状态） S = 当前股票价格 u = 1 + 股票上涨的收益率 d = 1 +股票下跌的收益率 r = 无风险利率
一个时期后到期的看涨期权的价格
Cu = Max(0,Su - X) 或 Cd = Max(0,Sd – X)
$40,600 到期时你仍将得到 $44,500，收益为 9.6%，高
于无风险利率。
则所有的市场参与者都将仿效（做空期权做多 股票），使期权价格回落。
反之如果期权被低估：
假定看涨期权的价格为$13 你可以以$100 的价格做空556股股票，以$13 的价
格买入1000个期权，收入$42,600。 到期时你将付出$44,500。 这等于你借入$42,600，偿还$44,500，隐含利率为
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
h Cu Cd Su Sd