高等量子力学 简谐振子
量子力学中的平均能量与谐振子
量子力学中的平均能量与谐振子在量子力学中，平均能量是一个重要的概念，特别是在描述谐振子系统时。
谐振子是物理学中一个经典的例子，可以用于解释许多其他物理现象。
首先，让我们来了解一下什么是谐振子。
谐振子是一个能以固定频率振动的系统。
它可以是机械系统中的弹簧、电路中的电感等等。
在量子力学中，我们可以通过谐振子模型来描述原子、分子等微观粒子的振动行为。
量子力学中，谐振子的能量是离散的，即只能取特定的能级。
这与经典物理学中连续的能量值是不同的。
谐振子的能级之间存在一个固定的能量差，称为能级间隔。
这个能级间隔与谐振子的振动频率有关，具体表达式为E = (n + 1/2) * h * v，其中E表示能量，n为能级数，h为普朗克常数，v为振动频率。
在谐振子系统中，每个能级的概率是与其对应的能量成正比的。
我们可以通过计算谐振子系统的配分函数来得出平均能量。
配分函数是描述系统状态的一个重要参数，与系统的能量、温度等物理量相关。
确定谐振子系统的配分函数需要考虑所有可能的能级。
每个能级的配分函数等于e^(-E/kT)，其中E为能量、k为玻尔兹曼常数、T为温度。
然后，我们将每个能级的配分函数乘以其对应的能量，再将所有能级的乘积相加，就得到了系统的配分函数。
平均能量可以通过对配分函数求偏导数得到。
需要注意的是，谐振子系统在低温下具有量子效应，而在高温下则更接近经典物理学的描述。
在低温下，能级间隔很大，只有较低能级的贡献才会显著。
而在高温下，能级间隔变小，更多的能级参与到平均能量的计算中。
此外，谐振子系统的平均能量还与温度有关。
随着温度的升高，系统的平均能量也会相应增加。
这是因为温度的增加会导致更多的能级参与到系统的热激发中，从而增加系统的平均能量。
另一个与平均能量相关的概念是零点能。
在量子力学中，由于量子涨落的存在，所有的谐振子系统在其基态下的能量不为零。
这个非零的能量被称为零点能，也是系统的一部分平均能量。
总结起来，量子力学中的谐振子系统具有离散的能量级和能级间隔。
量子力学_第二章_线性谐振子
其中 2
2E
此式是变系数 二阶常微分方程
（2）求解
d 2 [ 2 ] ( x ) 0 2 d
1. 渐近解
为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当 ξ→±∞ 时波函数 ψ的行为。在此情况下，λ<< ξ2， 于是方程变为：
d 2 0 2 d
为此考察相邻 两项之比：
2
bk 2 k 2 2k 1 2 (k 1)(k 2) bk k
k
2 2 k
exp[ 2 ] 1
1 !
4
2!
k 2
k
( )!
k 2
k 2
( 1)!
考察幂级数exp[ξ 2}的 展开式的收敛性
§2.7 线性谐振子
（一）引言
l
（1）何谓谐振子 （2）为什么研究线性谐振子
l
l
l
（二）线性谐振子
（1）方程的建立 （2）求解 （3）应用标准条件 （4）厄密多项式
l
l
l
（一）引言
（1）何谓谐振子
d2x 2 kx dt
其解为 x = 简谐振动，
在经典力学中，当质量为 的粒 子，受弹性力F = - kx作用，由牛 顿第二定律可以写出运动方程为：
2
欲验证解的正确性， 可将其代回方程，
2 d d 2 / 2 e / 2 e d d
其解为：ψ∞ =exp[±ξ2/2]
ξ2 >> ± 1
d d 2 d [ 2 1] 2 [ ] 2 d d d
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用
量子力学中的谐振子模型及其在材料科学研究中的应用量子力学是物理学中一门重要的分支，研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，谐振子是一种经典的模型，广泛应用于各个领域，特别是在材料科学中。
一、量子力学中的谐振子模型谐振子是一个物理学中常见的模型，描述了一种能量随位置变化而呈正弦形式变化的系统。
在量子力学中，谐振子模型可以通过哈密顿算符来描述，形式如下：H = ħω (a†a + 1/2)其中H是系统的哈密顿算符，ħ是普朗克常数的约化常数，ω是谐振子的固有频率，a†和a是创建算符和湮灭算符，满足如下关系：[a, a†] = 1谐振子的能级结构由哈密顿算符的本征值和本征态确定，能级之间的能量差为ħω。
二、谐振子模型在材料科学中的应用谐振子模型在材料科学的研究中有着重要的应用价值，以下将从光学性质和电子结构两个方面探讨其具体应用。
1. 光学性质在材料科学中，研究材料的光学性质对于开发新型光电器件和解释材料行为具有重要意义。
谐振子模型在描述原子或分子的光学性质时非常有效。
例如，对于分子中的振动模式，可以使用谐振子模型来解释在不同频率下的吸收光谱。
谐振子模型可以定量地计算分子的吸收峰位、强度和形状，为实验结果提供了重要的理论依据。
2. 电子结构在材料科学中，了解材料的电子结构对于理解材料的导电性和光电性质具有关键意义。
谐振子模型在描述电子结构中的载流子行为时也有广泛应用。
例如，在固体中，电子在晶体势场中的行为可以用谐振子模型来描述，其中电子的能量就是谐振子的能级。
通过计算谐振子的能级分布，可以得到材料的能带结构和载流子的行为，为解释电导率、磁光性等材料性质提供了重要的理论基础。
三、结论量子力学中的谐振子模型是一个重要的模型，广泛应用于各种领域，特别是在材料科学研究中。
这个模型通过描述系统的能量随位置的变化规律，揭示了物质微观行为的奥秘。
在材料科学的研究中，谐振子模型被成功应用于解释材料的光学性质和电子结构，为实验结果提供了重要的理论支持。
量子力学中的振动子和谐振子的量子化
量子力学中的振动子和谐振子的量子化量子力学是现代物理学的重要分支之一，它研究微观粒子的行为和性质。
在量子力学中，振动子和谐振子是两个重要的概念，它们在描述粒子的振动和能量分布上起着关键作用。
振动子是指具有振动能力的粒子，它可以在空间中来回振动。
在经典物理学中，振动子的运动可以用简谐振动来描述，即粒子在平衡位置附近做周期性的振动。
而在量子力学中，振动子的行为则需要用波函数来描述。
谐振子是一种特殊的振动子，它的振动满足谐振条件。
谐振子的行为可以用量子力学中的谐振子算符来描述。
谐振子算符包括位置算符和动量算符，它们满足一组特定的对易关系，即位置算符和动量算符的对易子等于虚数单位乘以普朗克常数除以2π。
在量子力学中，振动子和谐振子的量子化可以通过求解谐振子的定态波函数得到。
定态波函数是谐振子的能量本征态，它们对应着不同能量的振动状态。
根据量子力学的原理，谐振子的能量是离散的，即只能取特定的能量值，而不能连续变化。
谐振子的能量本征态可以用一组正交归一的波函数来表示，这些波函数是谐振子的定态波函数。
每个定态波函数对应着一个能量本征值，能量本征值越高，波函数的振动频率越高。
谐振子的波函数具有特定的空间分布，它们描述了粒子在不同位置的概率分布。
除了定态波函数，谐振子还存在着非定态波函数，它们描述了谐振子的时间演化。
非定态波函数可以通过定态波函数的线性组合来表示，它们对应着谐振子的叠加态。
谐振子的非定态波函数随时间的演化是由薛定谔方程决定的，薛定谔方程描述了量子系统的时间演化规律。
谐振子的量子化在量子力学中具有广泛的应用。
例如，在固体物理中，谐振子模型被用来描述晶格振动和声子的行为。
谐振子模型可以用来计算固体的热容、热导率等热学性质，从而揭示固体的热力学行为。
此外，谐振子的量子化还在量子光学和量子信息领域有重要应用。
在量子光学中，谐振子模型被用来描述光场的量子特性，如光子数分布、相干态等。
在量子信息领域，谐振子可以作为量子比特来实现量子计算和量子通信。
第4：量子力学应用谐振子,势垒贯穿
d2 ∞ ψ −ξ 2 ∞ = 0 ψ 2 dξ
其解为： exp[± /2]， 其解为：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，
dψ∞ d ±ξ 2 / 2 验证： e 验证： = dξ dξ
= ±ξe
±ξ 2 / 2
= ±ξψ∞
dψ∞ = ±ξψ∞ dξ
d2 ∞ d ψ [±ξψ∞ ] = 2 dξ dξ
dψ∞ = ± ∞ ±ξ ψ dξ
ξ2 >> ± 1
= [ξ 2 ± 1] ∞ ≈ ξ 2ψ∞ ψ
所以： exp[± /2]， 所以：ψ∞ = exp[±ξ2/2]， 波函数有限性条件当ξ→± 波函数有限性条件当ξ→±∞ 时，ψ＝0 ξ→
ψ∞ = e
−ξ 2 / 2
d 2ψ ψ ψ 为了使方程 2 +[λ −ξ 2 ] ( x) = 0 的波函数 dξ 在无穷远处有 ∞ = e ψ
则 Schrödinger Schr dinger 方程可写为 ：
h2 d 2 1 2 2 + [E − mω x ] ( x) = 0 ψ 2 2 2m dx
d2 2m 1 2 2 ψ 或： 2 + 2 [E − mω x ] ( x) = 0 h 2 dx
ψ(ξ ) = u(ξ )e
−ξ 2 / 2
式中 u = ∑ akξ k
k=0
为此考察相邻两项之比： 为此考察相邻两项之比：
2k + 1− λ 2 ak+2ξ k+2 ξ = k akξ (k + 1)(k + 2)
k→∞
→
2 2 ξ k
考察幂级数exp[ξ2}的展开式的收敛性 考察幂级数exp[ξ
量子力学中的量子振荡与谐振子
量子力学中的量子振荡与谐振子量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它与经典力学有着根本的区别。
在量子力学中，粒子的行为不再是连续的，而是离散的。
量子振荡和谐振子是量子力学中的两个重要概念，它们在研究微观粒子的行为和性质时起着关键作用。
首先，让我们来了解一下量子振荡。
在经典力学中，振荡是指物体在平衡位置附近的周期性运动。
而在量子力学中，由于粒子的行为是离散的，振荡的性质也有所不同。
量子振荡是指粒子在量子态之间的跃迁过程，它是量子系统中的一种基本行为。
量子振荡可以通过量子力学中的哈密顿量来描述。
哈密顿量是描述量子系统能量的算符，它包含了粒子的动能和势能。
在哈密顿量的作用下，量子系统的态会发生变化，从一个量子态跃迁到另一个量子态。
这种跃迁过程就是量子振荡。
一个典型的量子振荡系统是谐振子。
谐振子是量子力学中的一种理想化模型，它具有简单而规律的振动行为。
谐振子的哈密顿量包含了粒子的动能和势能项，其中势能项是一个二次函数，对应于弹簧的势能。
谐振子的量子态可以用波函数来描述，波函数的形式是一个高斯函数，它表征了粒子在谐振子势场中的分布。
谐振子的量子态可以通过量子数来描述。
量子数是量子系统的一种特征，它决定了系统的能量和其他性质。
谐振子的量子数包括主量子数、角量子数和磁量子数。
主量子数决定了谐振子的能量级，角量子数决定了谐振子的角动量，磁量子数决定了谐振子在磁场中的行为。
谐振子的量子态之间的跃迁可以通过产生湮灭算符来描述。
产生湮灭算符是量子力学中的一种数学工具，它用来描述粒子的产生和湮灭过程。
在谐振子系统中，产生湮灭算符可以将一个谐振子的量子态变换为另一个谐振子的量子态，从而描述了谐振子的量子振荡。
谐振子的量子振荡还可以通过能谱来研究。
能谱是描述量子系统能量分布的一种方式，它可以用来表示谐振子的不同能级。
谐振子的能谱是离散的，能级之间的间隔是固定的，这与经典力学中连续的能谱有着明显的区别。
谐振子的能谱可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，薛定谔方程是量子力学中描述粒子行为的基本方程。
量子理论中的粒子共振和谐振子
量子理论中的粒子共振和谐振子量子理论是描述微观世界的基本理论，它描述了粒子的行为和相互作用。
在量子理论中，粒子的共振和谐振子是重要的概念，它们在研究粒子的性质和相互作用中起着关键作用。
本文将详细介绍量子理论中的粒子共振和谐振子的概念、性质和应用。
首先，我们来了解一下粒子共振的概念。
粒子共振是指当外界作用力频率与系统的固有频率相等或接近时，系统会发生共振现象。
在量子理论中，粒子共振是指粒子在外界作用下发生能级跃迁的现象。
当外界作用力频率与粒子的能级差相等或接近时，粒子会吸收或发射能量，从而发生共振现象。
粒子共振不仅在粒子物理学中起着重要作用，还在其他领域如光学、声学和电子学中有广泛应用。
接下来，我们来介绍一下谐振子的概念。
谐振子是指一个系统在受到外界作用力时，会以一定频率振动的系统。
在量子理论中，谐振子是指具有谐振动能级结构的系统。
谐振子的能级是离散的，且能级之间的能量差是固定的。
谐振子的振动频率与其能级之间的能量差成正比。
谐振子在量子力学中有广泛的应用，例如描述原子、分子和固体中的振动模式。
粒子共振和谐振子在量子理论中有着密切的联系。
粒子共振可以看作是谐振子的一种特殊情况，即当外界作用力频率与谐振子的固有频率相等时，谐振子会发生共振现象。
在量子力学中，谐振子的能级结构可以用来描述粒子的能级跃迁。
当外界作用力频率与粒子能级差相等或接近时，粒子会发生共振吸收或共振辐射，从而发生能级跃迁。
粒子共振和谐振子在实际应用中有着广泛的应用。
在粒子物理学中，粒子共振被用来研究粒子的质量、寿命和相互作用。
例如，通过测量粒子共振的能量和宽度，可以确定粒子的质量和寿命。
在光学中，谐振子的能级结构被用来解释和描述光的吸收和发射现象。
在电子学中，谐振子的能级结构被用来描述电子在固体中的能带结构和导电性质。
总之，粒子共振和谐振子是量子理论中重要的概念。
粒子共振描述了粒子在外界作用下发生能级跃迁的现象，而谐振子描述了具有谐振动能级结构的系统。
量子力学中的谐振子
量子力学中的谐振子量子力学中的谐振子是一种基础的量子力学系统，它在研究原子、分子和固体物质等领域有着重要的应用。
本文将介绍谐振子的基本概念、数学描述以及其在量子力学中的应用。
1. 谐振子的基本概念谐振子是指一个物理系统在平衡位置附近发生振动时，满足线性回复定律的系统。
它的运动可以用势能函数的二次项来描述。
在量子力学中，谐振子的势能函数可以写为：V(x) = 1/2 kx^2其中V(x)表示势能，k为弹性常数，x为谐振子的位移。
谐振子的基态能量为零，且能级是等间隔的。
谐振子的能量具有量子化特性，其能级公式为：E_n = (n + 1/2)ħω其中E_n表示第n级能量，ħ为约化普朗克常数，ω为谐振子的频率。
2. 谐振子的数学描述谐振子的数学描述可以通过谐振子算符实现。
谐振子算符包括产生算符a^+和湮灭算符a，它们满足以下关系：[a, a^+] = 1谐振子的波函数可以用谐振子算符的本征态表示，即：a|n⟩= √n|n-1⟩a^+|n⟩= √(n+1)|n+1⟩其中|n⟩表示第n级本征态。
谐振子算符的本征态是谐振子算符的共同本征态，同时也是能量算符的本征态。
谐振子算符和能量算符之间的关系可以通过谐振子算符的乘积表达：N = a^+ aH = (N + 1/2)ħω其中N为数算符，H为能量算符。
3. 谐振子的应用谐振子在量子力学中有着广泛的应用。
以下介绍谐振子在原子、分子以及固体物质领域的应用。
在原子物理学中，谐振子模型可以用来描述氢原子中电子围绕原子核的振动。
谐振子模型能够计算出氢原子的能级和波函数，从而揭示电子在氢原子中的行为。
在分子物理学中，谐振子模型可以用来描述化学键的振动。
例如，当分子中的原子围绕键的平衡位置发生微小的振动时，可以使用谐振子模型来计算分子的振动能级和谱带。
在固体物理学中，谐振子模型被广泛应用于描述固体中的晶格振动。
固体中原子的排列形成了晶格结构，晶格振动对于固体的热性质、导电性等起着重要作用。
高等量子力学 简谐振子
与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一 样振荡
p (0) sin ωt , x(t ) = x(0) cos ωt + mω
p (t ) = − mω x (0) sin ω t + p (0) cos ω t
六、振子的时间演化（直接解法）
x(t ) = e 由算符的时间演化直接求出x(t),p(t)： 利用Baker-Hausdorff引理: 2 2 i λ eiλG Ae − iλG = A + iλ [G, A] + G , [ G , A] +…
dx d (a + + a − ) / 2mω ω + = = i(a − a) dt dt 2m
+ − d ( a − a ) 即 = −iω (a + + a), dt
d (a + + a − ) = iω (a + − a ) dt
六、振子的时间演化 （续）
或
da + = iω a + , dt
< α | χ (t ) | α >=
考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复 平面作解析延拓，记为λ，考虑幺正性，有
| λ >= e
λa + −λ*a
|0>
2.4 薛定谔波动方程
一、含时薛定谔方程
薛定谔图像，坐标表象的状态随时间演化为 ψ ( x′, t ) = x′ α , t0 ; t 2 p Η= + V ( x ) , V x 为厄米算符，且为局域的，即 2m 3 V ( x ') 为 x ′ 的实函数 x′′ V ( x ) x′ = V ( x′ ) δ ( x′ − x′′ ) , 以后我们会讨论含时的 V x, t , 非局域但可分离的势， ′ V x V x " , ′ V x , x " 1 ( ) 2 ( ) 与动量相关的势， p ⋅ A + A ⋅ p , 等等。
量子谐振子和谐振子的耦合PPT课件
作业
1.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.
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§13-3 量子谐振子和谐振子的耦合
1、何为（一维）谐振子
经典力学中：质量m的粒子在弹性力F=-kx的作用下做往复 运动，称为谐振子；
经典力学中谐振子运动的弹性势能为 U 1 m；2x2
2
量子力学中的线性谐振子是指在 U 1 m的2势x2 场中做一维运动
的粒子。
2
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2、一维谐振子的定态薛定谔方程
2
[ 2 U r ] (r ,t) E (r ,t)
2m
对一维谐振子，有：
则有：
U 1 m2x2
2
[ 2 d 2 1 m2x2 ] E
2m dx2 2
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3、定态薛定谔方程的解(本征值和本征函数)
En
(n
1) 2
, n 0,1, 2,
厄米多项式
本征函数： n
x
1 2x2
Nne 2 Hn ( x)
1
其中：Nn
2n
n！
2
，
m
Hn ( )
(1)n
exp[
2
]
dn
d n
exp[ 2 ],
x
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4、量子谐振子与经典谐振子的区别
(1)基态能量(最小能量)不同
经典谐振子:最小能量为0(经典粒子可停在原点)
量子谐振子:基态能量不为0,称为零点能.
1 E0 2
0
零点能是微观粒子波粒二相性的表现，是量子效应， .
即,经典谐振子被 局限在振幅范围内!
经典谐振子与量子谐振子
经典谐振子与量子谐振子摘要：本文分别介绍了经典谐振子与量子谐振子的运动，详细分析了简谐振子在经典力学中的运动特点及其运动方程，从运动方程中描述了力、位移、速度及加速度之间的关系并验证了简谐运动的能量守恒。
而在量子力学中通过对谐振子能量的推导及其分析，清晰地看到了谐振子在宏观世界与微观世界的不同。
关键字：经典谐振子；量子谐振子；运动方程；能量The Classical Harmonic Oscillator and Quantum Oscillator Abstract:In this paper the classical harmonic oscillator quantum harmonic oscillator with the movement is described, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship between verify the conservation of energy for simple harmonic motion. In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.Key words:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of motion；energy引言简谐振子是力学中一个十分重要的问题,在实际运用发面涉及到的机械运动的大多数问题都可简化为简谐振子的运动问题，而且在声学、光学等许多物理问题中都会出现类似谐振子运动方程的方程。
高等量子力学 受微扰的谐振子 受微扰的谐振子
(12.10)
U I t,0 的前三项为
U
I
t
,0
1
i
t 0
H
I 1
t1
dt1
i 2
t
0
H1I
t1
H t1 I
01
t2
dt2 dt1
(12.11)
这里我们宁愿用上限不同的(11.14)式型的式子, 因为此式便于计算.
Ut,t0
1
i
t t0
H t1 1
i
H t t1
§12-3 海森伯绘景
我们仍讨论同一问题:任务是已知初态 0 S n ,在哈密顿 H H 0 H1 [即(12.1)式]的作用下, 求末态 t S . 只是现在转到海
森伯绘景来讨论,可是在海森伯绘景中态矢量不随时间变化,初态和
末态是一样的, 都用 H n 表示. 为了能用海森伯运动方程
1
2m
要解决的问题是:系统在无微扰时原处于 H0 的一个本征态 n , 在
t 0 时突然加上微扰 H1 , 过一定时间后, 在时刻 t 撤去微扰, 求这时 系统的能量取各值的概率.
谐振子从 t 0 起满足薛定谔方程:
i t H t ，
t
H H0 H1
(12.4)
初始条件是 0 n (我们略去了表示绘景的标记“S”). 所求的概
t 0
H1I
t1
dt1
A
eit 1 A eit 1
i
t 0
H
I 1
t1
dt1
A
e it
1 A eit 1
i 2
t
0
H1I
t1
H t1 I
01
量子力学第二章2.7
H n (αx )
n = 0,1,2,...
H 0 ( ξ) = 1
n = 1,
n = 2,
H1 (ξ) = 2ξ,...
H 2 (ξ) = 4ξ 2 − 2
(4) ψ n 有 n + 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分 布不同），分布关于 x = 0 对称。
2
3. 与经典振子的比较 (1) 以上特点不同于经典振子的性质，是源于微观粒子 的波粒二象性。 因量子振子要在一定范围内形成驻波，故波长、 动量和能量必分立，ψ 有一系列的极大和零点，故有 波动性，不可能静止于原点，固有零点振动，有零点 能的存在。而对于经典振子，能量很大，对应于量子 振子的 n 很大的态，这时 ΔE n 和 E 0 都小到可以忽略， 能量趋于连续，零点能无显著作用。
n = 0,1,2,...
(8)
dH d2H + (λ − 1)H = 0 的解为厄密多项式，即： 其中 2 − 2ξ dξ dξ
d n −ξ 2 H n (ξ) = (−1) n e ξ e n dξ
2
(9)
其中n表示 H n (ξ) 的最高次幂，并且 H n (ξ)的最高次数 项的系数为 2n 。
该式对任意ξ都成立， 故ξ同次幂前的系数均应为 零，
只含偶次幂项
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令： 则通解可记为：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
其渐进解为：ψ(ξ) ∝ e
1 2 ± ξ 2
—渐近方程
(4)
。
量子力学中的光电子能谱与谐振子模型
量子力学中的光电子能谱与谐振子模型量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为。
光电子能谱和谐振子模型是量子力学中的两个重要概念，它们对于理解光子和电子的行为具有重要意义。
在量子力学中，光电子能谱是指光子与电子相互作用后，电子能量的分布情况。
光电子能谱的研究对于理解光的性质以及电子在材料中的行为具有重要意义。
光电子能谱的测量是通过将光束照射到样品上，然后测量样品上反射、散射或透射的光子能量来完成的。
根据测量结果，可以得到不同能量的光子与电子相互作用后，电子的能量分布情况。
通过分析光电子能谱，可以确定材料的能带结构、电子态密度等重要信息。
谐振子模型是量子力学中描述谐振子行为的模型。
谐振子是指具有周期性振动的物理系统，它的能量是量子化的。
在谐振子模型中，谐振子的能量由量子数来描述，能级之间存在固定的能量差。
谐振子模型的研究对于理解分子振动、原子核振动等现象具有重要意义。
谐振子模型可以应用于多种系统，如分子振动、光子振动等。
通过谐振子模型，可以计算出不同能级的能量以及谐振子的频率等重要参数。
光电子能谱与谐振子模型之间存在一定的联系。
在一些材料中，电子的能量可以被量子化，类似于谐振子的能量量子化。
这种现象被称为能带结构，它是材料中电子能量的分布情况。
在能带结构中，电子的能量被分为多个能带，每个能带中又包含多个能级。
光电子能谱的测量可以揭示材料的能带结构，从而得到电子能级的信息。
在一些材料中，电子的能级之间存在固定的能量差，类似于谐振子模型中能级之间的能量差。
这种现象被称为能级分裂，它是材料中电子能级的特征之一。
通过测量光电子能谱，可以观察到能级分裂的现象，从而揭示材料中电子能级的特征。
光电子能谱和谐振子模型在实际应用中具有广泛的应用。
在材料科学中，光电子能谱常用于表征材料的电子结构和能带结构。
通过测量光电子能谱，可以确定材料的导电性、光学性质等重要参数。
在化学领域，光电子能谱常用于研究分子的电子结构和化学键的性质。
量子物理2_Schroedinger方程及其应用(谐振子)
分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似 地看作处于以平衡位置为中心的弹性力场中。 例如：双原子分子中两原子 间的势能 U是其间距 r 的函数。 在稳定平衡点r = r0 处，势能有 r0 一极小值U0。在这点附近，U(r) 可以展成( r -r0 )的幂级数。
U ( r ) 0， 由于 r r r0
, m
2 2mx0 E 2E 记 2
d2 2 ( ) ( )( ) 0 2 d
求解此变系数二阶常微分方程，就可获得波函数。
d 2 2 ( ) 0 2 d 考察波函数( )在 时的渐近行为，发 2 2 2 2 现它在 时很接近 e 或 e 。注意到 波函数的标准条件（概率密度必须有限），只会是
Shrö dinger方程的应用（2）：一维谐振子
1.势能函数 在经典力学中，只要某一个实体在其稳定平衡 点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述 它，振子的振动频率为ω 。若振子离开平衡位置位 移了x0 后作简谐振，总能量 E 正比于 x02 。 若选取振动的平衡位置为坐标原点，并选取其 为势能的零点，则振动的势能函数为 2 2 2 1 1 m x U ( x ) kx 2 2 m — 振子质量 ω— 固有频率 x — 位移零点能Fra bibliotek普朗克量子化假设
E0 0 En n 1 1 En ( n ) E 0 量子力学结果 2 2 [电磁场量子化理论获得的结果是 En ( n 1 2) 不是Planck假设的 En n ]
旧量子论中没有零点能的概念，这是由量子力 学给出的新结果。但可以理解，零点能的存在是为 遵守不确定关系必须的最小能量。 如果最小能量为零，则意味着粒子完全静止， 即 r 0 ; p 0 ，不确定关系破坏。 光被晶体散射的实验证实了零点能的存在。
经典力学和量子力学中的谐振子
1.1简谐振子
简谐振子不受驱动力和摩擦力，其合力为： F kx 由牛顿第二定律，且加速度等于x对t的二次微分导数， 得： d 2x m 2 kx dt
k d 2x 2 2 若定义 0 ，则方程可以写为： 0 x 0 2 m dt
其一般解为：
x A cos(0t )
2 m0 A0 1 2 E Ee E p kA0 2 2 2
2 m dx 2 m 0 A0 Ee ( ) cos2 ( 0 t ) 2 dt 2 2 2 1 2 m0 A0 E P kx sin 2 (0 t ) 2 2 2
进一步，对于经典振子： x A0 sin(0t )
1.5完整数学描述
多数谐振子，基本上满足以下的微分方程： d 2 x b dx 2 0 x A0 cos(t ) dt 2 m dt
其中t是时间，b是阻尼常数，是本征角频率，而代表驱 动系统的某种事物，其振幅为A0 ，角频率为ω ，x是进行 振荡的被测量量，可以是位置、电流或其他任何可能的 物理量。角频率与频率f有关，关系式为：
做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系： 1 (x) 2 (p ) 2 2 4 对于线谐振子而言，在粒子数表象中，基态 0 下的不确定关系为：
(x) 2 (p ) 2
ˆ ˆ 而 0 是降算符 A _的本征态，相应的本征值为0，即 A _ 0 0
于是，可以推测降算符的本征态为最小不确定态，即相干态。 经计算，得到的降算符的本征态为：
其一般解为两个解的和，一个为暂态解,与初始条件相 F0 关；另一个为稳态解为： x(t ) sin(t ) Z m 总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率,但 振动与驱动力在相位上有偏移，且振幅大小与驱动频率 相关；当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时， 振幅达到最大。
量子力学中的谐振子谐振子系统的量子描述
量子力学中的谐振子谐振子系统的量子描述量子力学是研究微观世界的物理学理论，它对于描述和解释微观粒子的行为具有重要意义。
在量子力学的框架下，谐振子是一种经典力学中常见的模型，而谐振子系统的量子描述则是量子力学中的重要内容之一。
1. 谐振子系统谐振子系统是由一个或多个相互作用的粒子组成的，这些粒子的运动受到谐振子势能的限制。
谐振子势能通常由势能函数V(x)来描述，其中x是粒子的位置。
当势能函数为二次函数，即V(x) =(1/2)mω^2x^2时，我们可以将系统看作是一个谐振子系统。
2. 谐振子的经典描述在经典物理学中，谐振子的描述基于牛顿力学和能量守恒定律。
对于单个质点的谐振子系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导得出。
在谐振子势能的作用下，质点按照一定的频率在平衡位置附近振动。
3. 谐振子的量子描述在量子力学中，对于谐振子系统的量子描述则需要引入薛定谔方程。
薛定谔方程描述了谐振子的波函数随时间变化的规律，即iħ(dψ/dt) =Hψ，其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是谐振子波函数，H是系统的哈密顿算符。
4. 谐振子的波函数谐振子系统的波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
对于一维谐振子系统，其波函数解为ψ(x) = Nexp(-mωx^2/(2ħ))H_n(√(mω/ħ)x)，其中N是归一化常数，H_n是厄米多项式。
波函数的平方模的积分即表示谐振子在不同位置的概率分布。
5. 谐振子的能级谐振子系统的能级与量子态之间存在对应关系。
根据谐振子的波函数形式，可以得到能级公式E_n = (n + 1/2)ħω，其中n为非负整数，表示不同的能级。
这意味着谐振子的能量是量子化的，且存在基态和激发态之分。
6. 谐振子的观测与测量根据量子力学的测量理论，对于谐振子系统，我们可以通过观测和测量来获取其状态信息。
例如，通过观测谐振子的位置或动量，我们可以得到与位置和动量相关的物理量的期望值。
同时，根据不确定性原理，位置和动量无法同时被完全确定。
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( )
( )
得对能量本征态的定态薛定谔方程：
2 2 − 2m ∇′ + V x′ uE x′ = EuE x′
( )
( )
( )
二、不含时薛定谔方程（续）
束缚态：
lim V x′ 要解方程需加边界条件，假设要求的解，E < x ' →∞ 合适的边条件为当 x′ → ∞, uE ( x′ ) → 0
()
(
)
( )
2.4 薛定谔波动方程（续）
∂ ∂ −iΗt 由 i x′ α , t 0 ; t = i x′ e α , t0 ; t0 ∂t ∂t
= x′ Η α , t0 ; t
而
p 2 2 2 x′ + V x α , t0 ; t = − ∇′ x ′ α , t 0 ; t + V x ′ x ′ α , t 0 ; t 2m 2m
注意：算符随时间变化不意味着其期待值随时间变。 对谐振子 n x ( t ) n = n x ( 0 ) n cos ωt + n p ( 0 ) n sin ωt mω
= 0+0 = 0
要观测到类似于经典振子的振荡，需用能量本征态的叠加 对 α = c0 0 + c1 1 ，可验证 α x ( t ) α 随时间振荡。
| α >= C 0 | 0 > +C1 | 1 >,
* < α | χ (t ) | α >= [C0 C1 < 0 | χ |1 > +C1*C0 < 1| χ | 0 >]
ω m sin ωt * = 2 Re(C C1 ) cos ωt + [i (−C0 C1 + C1*Co )] 2mω mω 2
二、不含时薛定谔方程
对A和H的共同本征初态,
− iEa′t x′ α , t0 ; t = x′ a ' e
2 − iEa′t − iEa′t ∂ 2 = − ∇′ + V x′ x ′ a ′ e i ψ x′, t = Ea′ x′ a′ e ∂t 2m
( )
( )
∂t
i 其中 ψ ∗∇ψ − ( ∇ψ ∗ )ψ = I m (ψ ∗∇ψ ) j=− 2m m
该结果依赖于势能算符的厄米性即实势能。对复势能，结 果会变化，可解释粒子的消失，如入射粒子被核吸收。 几率流与动量有关：
p t d x j x, t = m
但将 j
解释成 ρ v 需要坐标与速度的同时精确测量而不
∂t
m
∂t
可能（测不准关系）。
五、经典极限
据薛定谔方程有：
2 2 1 2i ρ ρ − ∇ + ∇ . ∇ − S ( ) 2 2m
(
)
ρ ∇S +
2
i ρ ∇ 2 S + ρV
3
( )
三、波函数的解释（续）
连续性方程与无源无漏区的流体力学连续性方程相似，因 2 2 e ψ 此 ψ 曾被认为是物质密度， 是实际电荷密度。 奇特物理图像： 1）一原子的电子可看作连续分布的物质，占据核附近的 一定空间。测量使得电子处于某一特定点时，这一连续分 布的物质突然收缩为点状无空间延伸的粒子。 2）电子的“大小”可变，膨胀的电子没被测量到 Born提出了被广泛接受的解释，即 ψ 为几率密度的统计 解释。 重新思考：相位、完整性、电子云
与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一 样振荡
p (0) sin ωt , x(t ) = x(0) cos ωt + mω
p (t ) = − mω x (0) sin ω t + p (0) cos ω t
六、振子的时间演化（直接解法）
x(t ) = e 由算符的时间演化直接求出x(t),p(t)： 利用Baker-Hausdorff引理: 2 2 i λ eiλG Ae − iλG = A + iλ [G, A] + G , [ G , A] +…
+
=e
α a+
e
−α a −α 2 / 2
e
,
2
αa e 故
−αa
| 0 >= e −α
∞
2
/ 2 αa
e
+
| 0 >= e −α
/2
n =0
2
∞
αn
n!
|n>
< χ ′ | T ( L) | 0 >= Cnψ n ( χ ′),
n =0
C n = e −α
2
/2
αn
n!
= e −L
2 / 4 χ0
(L / 由于[a,a+]=1，对由a及a+组成的函数，a与
a+
∂ 与− 等价，有 ∂a
αa + −αa
∂ + 等价， ∂a
ae
α a + −α a
| 0 >= α e
α a + −α a
|0>
故e
| 0 > 是a的本征值为 α的本征态
2 + iωt −iωt cos ωt < α | a 0 e + a(0)e | α >= α 2mω mω
即粒子被限于一定的空间内，或称束缚态。
( )
由偏微分方程理论知满足该边界条件的非平凡解，有分立 的一组E值。定态薛定谔方程能级的量子化。 可见由定态薛定谔方程寻求微观物理体系的能级与寻求弹 簧的特征频率相仿，都是数学物理的边界值解问题。
三、波函数的解释
波函数是态矢在坐标本征函数的展开系数，其模平方是几 2 2 率密度，ρ x′, t = ψ x′, t = x′ α , t ; t 0 3 3 ′ ′ ρ x , t d d x 在 x′ 附近 的体积内找到该粒子的几率为 ( ) x′ 由含时方程可推出连续性方程 ∂ρ + ∇ • j =0
dx d (a + + a − ) / 2mω ω + = = i(a − a) dt dt 2m
+ − d ( a − a ) 即 = −iω (a + + a), dt
d (a + + a − ) = iω (a + − a ) dt
六、振子的时间演化 （续）
或
da + = iω a + , dt
* 0
2 2 * * [Re(C0 C1 )]cos ωt + [ I m (C0 = C1 )]sin ωt mω mω
以 ω 为角频率振荡，与经典振子有些相象。
七、相干态
对应于非厄米算符 a 的本征态(相干态)是形状不扩展的振 荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。
a λ = λ λ , λ 一般为复数
λ xλ = λ
a + + a ) λ = λ a + ( 0 ) eiωt + a ( 0 ) e−iωt λ ( 2mω
2mω
− iωt = 2 ( λR cos ωt + λi sin ωt ) = 2 Re λ e 2mω 2mω
以ω为角频率振荡且形状不随时间变
2
四、波函数的相位
iS x, t ψ x, t = ρ x, t exp
( )
∗
( )
( )
S为实数，ρ是几率密度。
S的含义？
i 由 ψ ∇ψ = ρ ∇ ρ + ρ∇S , 得： j =
ρ∇ S
m 可见相位S具有重要的信息：波函数相位的空间变化表征 了几率流量。相位变化越激烈，则流量越强。流量的方向 与该点上等相位面垂直。对平面波 ∇S = p. p ∂ρ ∂ρ 虽然形式上我们有 + ∇. ρ = + ∇ ( ρv) = 0
六、半经典(WKB)近似：一维定态薛定谔方程的近似解
< α | χ (t ) | α >=
考虑到a并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复 平面作解析延拓，记为λ，考虑幺正性，有
| λ >= e
λa + −λ*a
|0>
2.4 薛定谔波动方程
一、含时薛定谔方程
薛定谔图像，坐标表象的状态随时间演化为 ψ ( x′, t ) = x′ α , t0 ; t 2 p Η= + V ( x ) , V x 为厄米算符，且为局域的，即 2m 3 V ( x ') 为 x ′ 的实函数 x′′ V ( x ) x′ = V ( x′ ) δ ( x′ − x′′ ) , 以后我们会讨论含时的 V x, t , 非局域但可分离的势， ′ V x V x " , ′ V x , x " 1 ( ) 2 ( ) 与动量相关的势， p ⋅ A + A ⋅ p , 等等。
1 t 3ω 2 p(0) p(0) 1 2 2 t − t ω x(0) − = x(0) + +… 3! m m 2!