第4讲 信号的频域分析(4)

10
4A 1 1 (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ) 3 5
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
利用欧拉公式
e jn0 t cos n0 t j sin n0 t
1 jn0 t jn0 t e ) 或 cos n0 t (e 2
0.6
0.8
1
x(t).*cos(2ft) = -2.2e-14
Amplitude
4 Hz
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
5 Hz
0.2
0.4 time
0.6
0.8
1
18
机械动态信号分析与处理
傅里叶级数的本质 5 Hz
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.2 0.4 time 0.6
三角函数展开式 傅里叶级数展开 复指数展开式
4
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
三角函数展开式
x(t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t )
n 1
记
参数含义如下：
1 常值分量 a 0 T0
余弦分量幅值
an 2 T0

T0 / 2
a0，an，bn为傅里叶系 数；
T0 / 2
T0 / 2

x(t ) A0 An sin( n 0 t n )
x(t ) a0 (an cos n 0t bn sin n 0t )
n 1
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
1 1 x(t ) (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ) 3 5
T0 / 2
x(t )dt
T0 为信号的周期，也是
信号基波成分的周期；
ω0=2π/T0为信号的基频, nω0为n次谐频； 当x(t)为奇、偶函数时， 可利用函数的正交特性 求系数an，bn的值，可 简化计算。

T0 / 2
T0 / 2
x(t ) cos n 0 tdt
正弦分量幅值
2 bn T0
第4章信号的频域分析
5 Hz
原始信号
滤波镜片的信号
x(t).*cos(2ft) = -8.8e-15
Amplitude
1 Hz
0.2
0.4 time
0.6
0.8
1
x(t).*cos(2ft) = -5.7e-15
Amplitude
2 Hz
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
当“滤波镜片”的频率与原始信号频率完全吻合时， 计算结果达到最大 19
机械动态信号分析与处理
傅里叶级数的本质 5 Hz
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.2 0.4 time 0.6
第4章信号的频域分析
5.2 Hz x(t).*cos(2ft) = 77.5

T0 / 2
T0 / 2
x(t ) cos n 0 tdt
x(t ) C0 (Cn e jn0t Cn e jn0t )
n 1

机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
周期函数的复指数展开
x(t )
n
c e
n

j n0 t
(n 0, 1, 2,)

T0 / 2
T0 / 2
x(t ) sin n 0 tdt
5
1.2 周期信号 机械动态信号分析与处理 x(t ) a0 (an cos n 0t bn sin n 0t )
n 1

第4章信号的频域分析
参数含义
x(t ) A0 An sin( n 0 t n )
5 Hz
0.2
0.4 time
0.6
0.8
1
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机械动态信号分析与处理
傅里叶级数的本质
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
第4章信号的频域分析
5 Hz
3 Hz x(t).*cos(2ft) = -4.6e-14
Amplitude
0.2
0.4 time
cn
1
如何求？
1 Cn T0

T0 / 2
T0 / 2
xt e jn 0t dt
2
1 Cn (an jbn ) 2
13
2 an T0
2 bn T0

T0 / 2
T0 / 2
T0 / 2
x(t ) cos n 0 tdt
x(t ) sin n 0 tdt

T0 / 2
第4章信号的频域分析
4.8 Hz x(t).*cos(2ft) = 74.5
Amplitude
0.8
1
5 Hz
Amplitude
5 Hz x(t).*cos(2ft) = 100
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.2 0.4 time 0.6 0.8 1
F () x(t ), eit
信号频率 “滤波镜片频 匹配值 率” 时域图
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
5Hz 5Hz 5Hz 5Hz 5Hz 5Hz 5Hz 5Hz
1Hz 2Hz 3Hz 4Hz 4.8Hz 5Hz 5.2Hz 6Hz
-8.8e-15 -5.7e-15 -4.6e-14 -2.2e-14 74.5 100 77.5 1.0e-14
21
频域图
5Hz
Hz
机械动态信号分析与处理
三角函数展开与复指数展开的比较：
x(t ) A0 An sin(n0t n )
n 1
x(t )
n
c

n
e
j n 0 t
(n 0, 1, 2,)
复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到 +），三角函数形式的频谱为单边谱（从 0 到 + ）
An 4A/π 4A/3π
4A
4A/5π
4A/7π
……
ω
φn
ω0
3ω0 5ω0 7ω0
ω0
ω 3ω0 5ω0 7ω0
9
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
周期方波的时、频域表述及其关系
0 t T0 / 2 A x(t ) A T0 / 2 t 0
x(t )
e jt cos t j sin t cos t (e jt e jt ) / 2 sin t (e jt e jt ) / 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5Hz
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机械动态信号分析与处理
傅里叶级数的本质
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
1 1 Cn (an jbn ) (an jbn ) Cn* 2 2
则
12
2 T /2 an x ( t ) cos n tdt ...... 偶函数 a 0 n T0 T / 2
0 0
2 an T0
1 Cn (an jbn ) 2
1 C n (an jbn ) 2
j jn0 t jn0 t sin n0 t (e e ) 2
代入
x( t ) a0 (an cos n0t bn sin n0t ) 三角函数展开
n 1

1 1 jn0t jn0t 得 x(t ) a0 [ (an jbn )e (an jbn )e ] 2 n 1 2
2 2
n arctan
Im Cn b arctan( n ) Re Cn an
几个谱图

区别于三角函数展开中的n
幅频谱图： | cn | —— 实频谱图： Recn —— 虚频谱图： Imcn —— 相频谱图： Φn ——
14
An
n
an
bn
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
Cn与an、bn 、An的关系
Cn 为复数。可写成： 一般情况下， jn 1 Cn Re Cn j Im Cn 1 a jb C e n n 2 n 2
1 Cn (an jbn ) 2
1 2 An 2 Cn (Re Cn ) (ImCn ) an bn 2 2
2
第4讲 信号的频域分析
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 周期信号的幅值谱、相位谱 非周期信号的幅值谱密度 常用函数的频谱 随机信号的功率谱密度 相干分析 倒谱分析
机械动ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ信号分析与处理
第4章信号的频域分析
一.周期信号的频谱
周期信号可以利用傅里叶级数展开成不同频率的谐波信号的 线性叠加。
Amplitude
0.8
1
5 Hz
Amplitude
6 Hz x(t).*cos(2ft) = 1.0e-14
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0.2 0.4 time 0.6 0.8 1
20
机械动态信号分析与处理
傅里叶级数的本质
第4章信号的频域分析
两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：
cn An / 2, c0 A0
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机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
傅里叶级数的本质
“滤波镜片”
F (w) x(t ), e
it

待分析信号
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0
待处理的信号
x(t ) A0 An sin(n0t n )
n 1
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机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
例题
例1.1 求周期方波的频谱，并作出频谱图。
0 t T0 / 2 A x(t ) A T0 / 2 t 0
a0
三角函数展开 结果
x(t ) 4A
11

机械动态信号分析与处理 1 1 jn0t x(t ) a0 [ (an jbn )e (an jbn )e jn0t ] 2 n 1 2
第4章信号的频域分析
令
C0 a0
2 T0 / 2 bn x(t ) sin n 0 tdt T0 T0 / 2 2 T0 / 2 bn x(t ) sin （ n0t）dt bn ......奇函数 T0 T0 / 2
傅里叶系数
1 T0

T0 / 2
T0 / 2
x(t )dt
1 1 (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ) 2 3 5 bn T0
n 1
8
2 an T0


T0 / 2
T0 / 2
x(t ) cos n 0 tdt
x(t ) sin n 0 tdt
第4讲 信号的频域分析
4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 周期信号的幅值谱、相位谱 非周期信号的幅值谱密度 常用函数的频谱 随机信号的功率谱密度 相干分析 倒谱分析
信号分类？
机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
信号的时域描述反映了信号幅值随时间变化的 特征； 相关分析从时域为在噪声背景下提取有用信息 提供了手段； 信号的频域描述反映了信号的频率结构和各频 率成分的幅值大小； 功率谱密度函数、相干函数、倒谱分析则从频 域为研究平稳随机过程提供了重要方法。

T0 / 2
T0 / 2
x(t ) cos n 0 tdt
x(t ) sin n 0 tdt
n 各谐波分量的初相角 n arctan( b ) n
a
T0 / 2
T0 / 2
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机械动态信号分析与处理
第4章信号的频域分析
频谱（spectrum）图
频谱图以 An 和 n 为纵坐标,以ω为横坐标； An —ω图； 幅值谱图， n —ω图。 相位谱图， ω0——基频；nω0——n次谐频； An sin( n0t n ) ——n次谐波。 各频率成分都是ω0的整数倍，因此谱线是离散的。
n 1

由三角函数知（如图）：
常值分量
an An sin n
bn An cosn
An
n
bn
an
bn 代入式得： 可将 an 、
A0 a0
各谐波分量的幅值
1 a0 T0
2 2 an bn

T0 / 2
T0 / 2
x(t )dt
An
2 an T0
2 bn T0