高等数学第11章 无穷级数

=
4⋅1 8
=
1 2
v4
=
1 9
+
L
+
1
1264
>1 16
+
L
+
1 16
=
1, 2
…
23 = 8 项
vn
=
1+
1 2n−1
+L
+
1 2n
>
1 2n
+
L
+
1 2n
=1 2
2n−1项
Sn
=
v1
+L
+
vn
>
1 2
+L
+
1 2
=
n 2
→
∞,
(n → ∞)
∑ ∴ ∞nl→imv∞nS=n(=1 n=1
∞+
1) 2
5．会利用e x ,sin x,cos x,ln(1 + x) 与(1 + x)α
的麦克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的函 数展开成幂级数。
6．了解利用将函数展开成幂级数进行近似计 算的思想。
7．了解用三角函数逼近周期函数的思想，了 解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷
（Dirichlet）条件，会将定义在 (−π ,π ) 和 (−l, l )
第十一章 无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了 解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错 级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概 念及二者的关系。
−
(1 +
1 2
+L+
1) n
S2n − Sn
=
(1 +
1 2
+L+
1 n
+
1 n+
1
+L+
1) 2n
−
(1 +
1 2
+L+
1) n
=
n
1 +
1
+
n
1 +
2
+
L
+
1 2n
≥
1 2n
+
1 2n
+
L
+
1 2n
=1 2
n项
故
lim (
n→∞
S2n
−
Sn
)
≠
0，矛盾！
∑ ∴ ∞ 1 n=1n
发散 .
(方法4) 加括号级数
xn
∫ ∴
un
=
1 n
≥
n+1 1 dx
nx
=
ln
x
n+1 n
=
ln(n
+
1)
−
ln
n
y
y= 1 x
un
o 1 2 n n+1 x
Sn
=
1
+
1 2
+
1 3
+
L
+
1 n
≥ (ln 2 − ln1) − +(ln 3 − ln 2) + L+ [ln(n + 1) − ln n]
= ln(n + 1) → +∞ (n → ∞)
例如， (1 − 1) + (1 − 1) + L = 0 , 收敛
但 1−1+1−1+L
发散
性质5（级数收敛的必要条件）
∞
设
S
=
∑ un
n=1
收敛，则
lim
n→∞
un
=
0.
注
lim
n→∞
un
=
0
非级数收敛的充分条件.
例如,
调和级数
∞
∑
n=1
1 n
=
1
+
1 2
+
1 3
+
L+
1 n
+
L
发散，
但
lim
∑ 从而加括号级+数(
+ (1 ∞3 1
1 +n =21
+
v
n
n−
发114 )+散+L，( 15+故+21Lnn∑∞=)1++n118L发) +散L.
例3 判断级数的敛散性
1
+
1
+
1 2
+
1 2
+
1 22
n→∞
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解 部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函 数展开为傅里叶正弦或余弦级数。
第一节
第十一章
常数项级数的
基本概念和性质
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 常数项级数的概念
1. 定义 给定数列 u1 , u2 , u3 , L , un , L
∞
无穷级数: ∑ un =u1 + u2 + u3 + L+ un + L, 一般项：un
+
L
+
ln
Hale Waihona Puke Baidu
n
+ n
1
拆项相消
= (ln 2 − ln1) + (ln 3 − ln 2) + L+ (ln(n + 1) − ln n)
= ln(n + 1) → ∞ ( n → ∞） 所以级数发散.
∫ (方法2)
un
=
1 n
=
n+1 1 dx
nn
Q 当 n ≤ x ≤ n + 1 时，有 1 ≤ 1
lim
n→∞
rn
=
0
2. 结论
∞
等比级数 ∑ a qn
n=0
q < 1 时收敛, q ≥ 1 时发散 .
(二) 收敛级数的性质
∑∞
∞
性质1 若 S = un 收敛，则∑ c un收敛 ,
n=1
n=1
其和为 c S.
∞
∞
推论1 若c ≠ 0, 则 ∑ un与 ∑ cun 敛散性相同 .
n=1
n=1
性质2
n=1
n
部分和：Sn = ∑ uk = u1 + u2 + u3 + L + un
k =1
∞
无穷级数收敛：若
lim
n→∞
Sn
=
S
存在,
记作 S = ∑ un
n=1
无穷级数发散
：
若 lim
n→∞
Sn
不存在 ,
级数的和
级数的余项： rn = S − Sn = un+1 + un+2 + L
级数收敛时，
∑∞ vn=
n=1
(1
+
1)+ 2
(1 3
+
1 )+ 4
(1 5
+
L
+
1) 8
+
(1 9
+
L
+
1 16
)
+
L
+
( 1
+
1 2n−1
+
2
+
1 2n−1
+
L
+
2n−1
1 +
2n−1
)
+
L
v1
=
1
+
1 2
>
1 2
,
v2
=
1 3
+
1 4
>1 4
+
1 4
=
1 2
,L
v3
=
1 5
+
L
+
1 8
>
1 8
+L
+
1 8
∞
∑ un与
∞
∑
vn均发散，但
∞
∑
(
un
±
vn
)收敛
.
n=1
n=1
n=1
性质3 级数前面加上（去掉、或修改）有限项,
不影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于 原级数的和. 推论2 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.
注 加括号后的级数收敛
⇒ 去掉括号后的级数收敛
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
∑ Q
lim
n→∞
Sn
=
+∞
∴
∞1 n=1n
发散 .
(方法3) 用反证法
∑ 假设： ∞ 1 收敛，其部分和为 n=1n
Sn .
则
lim
n→∞
Sn
=
S，lim
n→∞
S2n
=
S
于是
lim (
n→∞
S2n
−
Sn )
=
S
−
S
=
0
但另一方面，
S2n − Sn
=
(1 +
1 2
+L+
1 n
+
1 n+1
+L+
1) 2n