浙江省三校(新昌中学、浦江中学、富阳中学)2021届高三上学期第一次联考数学

合集下载

2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理

2021年高三数学上学期第一次三校联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

2．做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则A． B． C． D．2．命题“”的否定是A． B．C． D．3．函数的定义域为A．B． C． D．4．定积分A． B． C． D．5．函数的零点所在的区间为A． B． C． D．6．已知，则的大小关系为A． B． C． D．7．已知命题不等式的解集为，则实数；命题“”是“”的必要不充分条件，则下列命题正确的是A． B． C． D．8．已知，，则下列结论正确的是A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数9．函数的一段大致图象是A B C D10．已知函数对任意都有，的图像关于点对称，且，则A． B． C． D．11．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数为A． B． C． D．12．定义区间的长度为（），函数（，）的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13．= ．14．设函数，则．15．设函数的最大值为，最小值为，则．16．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．二、解答题（解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）设：实数满足，：实数满足．（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；（Ⅱ）若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数，为常数，且函数的图象过点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求满足条件的的值．19．（本小题满分12分）已知三次函数过点，且函数在点处的切线恰好是直线．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数满足（其中,）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）对于函数，当时，,求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，的值为负数，求的取值范围.21．（本小题满分12分），曲线在点处的切线与直线垂直.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对于任意的，恒成立，求的范围；（Ⅲ）求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．选修4－1：几何证明选讲（本题满分10分）如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点.（Ⅰ）求证：是圆的切线；（Ⅱ）若的半径为，，求的值.23．选修4—4：坐标系与参数方程（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线过点且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点；（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若，求直线的倾斜角的值．24．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．高三理数第一次联考测试题（参考答案）13． -4 14. 3 15. 2 16.17．（1）由得当时，，即为真时实数的取值范围是. …………2分由，得，即为真时实数的取值范围是.…………4分因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是. …………6分(2)由得，所以，为真时实数的取值范围是. …………8分因为是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件所以且…………10分所以实数的取值范围为：. …………12分18．解：（1）由已知得，解得．…………3分（2）由（1）知，又，则，即，即，…………6分令，则，即，…………8分又，故，…………10分即，解得．…………12分19．解：（1）因为函数在点处的切线恰好是直线，所以有即…………3分∴∴…………4分（2）依题意得：原命题等价于方程在区间[-2,1]上有两个不同的解。

浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题(含解析)

浙江省2021届高三数学9月第一次联考试题（含解析）注意事项：1．本试题卷共8页，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项目符合题目要求的。

1.记全集U =R ，集合{}240A x x =-≥，集合{}22xB x =≥，则()UA B =（）A. [)2+∞，B. ØC. [)12， D. ()12，【答案】C 【解析】【分析】先解一元二次不等式和指数不等式，再求补集与交集. 【详解】由240x -≥得2x -≤或2x ≥，由22x ≥得1x ≥，则()[)221UA B =-=+∞，，，，所以()[)12UA B =，，故选C .【点睛】本题考查集合的运算、解一元二次不等式和指数不等式，其一容易把交集看作并集，概念符号易混淆；其二求补集时要注意细节.2.已知复数2-iz 1i=+（i 为虚数单位），则复数z 的模长等于（）A.2 B.2【答案】A【解析】【分析】先化简复数z,利用模长公式即可求解. 【详解】化简易得13i z 2-=，所以10z 2=，故选A . 【点睛】本题考查复数的基本运算和概念，了解复数的基本概念、运算和共轭复数的概念、模长是解答本题的关键.3.若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（）A. -2B. 12C. -4D. 8【答案】B 【解析】【分析】作出可行域,平移目标函数即可求解.【详解】如图中阴影部分所示（含边界），显然当目标函数2z x y =+经过点()44，时有最大值12，故选B .【点睛】本题考查线性规划，准确作出可行域是解答本题的关键.4.在同一直角坐标系中，函数2y ax bx =+，x by a-=（0a >且1a ≠）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数的图象,以指数函数的底数a 与1的大小分情况讨论，由指数函数图象与y 轴的交点即可得出b 的大小，从而能判断出二次函数图象的正误.【详解】对1a >和01a <<分类讨论，当1a >时，对应A,D:由A 选项中指数函数图象可知，002bb a>∴-<，A 选项中二次函数图象不符，D 选项符合；当01a <<时，对应B,C:由指数函数图象可知，00,02bb a a<∴->>，则B ，C 选项二次函数图象不符，均不正确，故选D . 【点睛】本题易错在于函数图象的分类，从指数函数分类易正确得到函数图象.5.已知直线ml ，，平面αβ，满足l α⊥，m β⊂，则“l m ”是“αβ⊥”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理进行判断.【详解】当l m 时，m α⊥，则可知αβ⊥；反之当αβ⊥时，l 与β中的m 不一定平行，故选A .【点睛】本题考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理.若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．6.已知随机变量ξ满足下列分布列，当()01p ∈，且不断增大时，（）A. ()E ξ增大，()D ξ增大B. ()E ξ减小，()D ξ减小C. ()E ξ增大，()D ξ先增大后减小D. ()E ξ增大，()D ξ先减小后增大【答案】C 【解析】【分析】由分布列可知，随机变量ξ服从二项分布，根据二项分布的期望、方差公式即可判断. 【详解】由题意可知，随机变量ξ满足二项分布，即~(2,)B p ξ，易得()()()221E p D p p ==-，ξξ，所以当01p <<且不断增大时，()E ξ增大，()D ξ先增大后减小.故选C .【点睛】本题考查二项分布的期望、方差.理解二项分布的期望、方差，会判定和计算二项分布的期望和方差是解答本题的关键.7.已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =，则双曲线的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 4 3y x =±D. 34yx 【答案】D 【解析】【分析】根据题意依次求出,A B 点的坐标，求出直线AB 的方程，联立渐近线求出点M 的横坐标，利用向量关系即可得出关系式，进而可求出渐近线方程.【详解】易知()2B c b ，，()10A -，，得直线211b AB y xc =++：（），联立渐近线y bx =，得1M b x c b =+-，又2AM MB =，所以1211b b c c b c b ⎛⎫+=- ⎪+-+-⎝⎭，得12c b -=，又221c b -=，所以34b =，所以双曲线的渐近线方程为34y x ，故选D . 【点睛】本题考查双曲线的渐近线.当双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>时，渐近线方程为by x a=±；当双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>时，渐近线方程为a y x b =±.8.已知函数()()()()ln 1212if x x x m i =---=，，e 是自然对数的底数，存在m R ∈（） A. 当1i =时，()f x 零点个数可能有3个 B. 当1i =时，()f x 零点个数可能有4个 C. 当2i =时，()f x 零点个数可能有3个 D. 当2i =时，()f x 零点个数可能有4个【答案】C 【解析】【分析】首先将()f x 的零点转化为两个图象的交点，利用以直代曲的思想可以将(ln 1)x -等价为()x e -，根据穿针引线画出草图，即可判断.【详解】将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数(),yg x y m ==的交点，利用以直代曲，可以将()g x 等价看成()()()20iy x e x x =-⋅->，利用“穿针引线”易知12i =，时图象如图，所以当1i =时最多有两个交点，当2i =时最多有三个交点.故选C .【点睛】本题考查函数的零点,函数零点个数的3种判断方法(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.9.三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，动点M 在线段1CA 上滑动（包含端点），记BM与11B A 所成角为α，BM 与平面ABC 所成线面角为β，二面角M BC A --为γ，则（）A. ≥≤，βαβγB. ≤≤，βαβγC. ≤≥，βαβγD. ≥≥，βαβγ【答案】B 【解析】【分析】根据题意找出这三个角，分别在直角三角形中表示出这三个角对应的三角函数值，将角的大小比较转化为线段长度的大小比较即可.【详解】过点M 作MN AC ⊥于N ，则MN ABC ⊥平面，过点M 作MH BC ⊥于H ，连接NH ，则NH BC ⊥,过点M 作MG AB ⊥于G ，连接NG ，则NG AB ⊥．所以MBA =∠α，MBN =∠β，MHN =∠γ，sin ,sin ,MG MNBM BMαβ== tan ,tan ,MN MNBN HNβγ== 由MG MN ≥可知≤βα（M 位于1A 处等号成立），由BN NH ≥可知≤βγ（当B 为直角时，等号成立），故选B . 【点睛】本题主要考查线线角、线面角、二面角，本题也可以直接用线线角最小角定理（线面角是最小的线线角）和线面角最大角定理（二面角是最大的线面角）判断.10.已知函数()()1121222x x f x f x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩，，，，若函数()()g x x f x a =⋅-(1)a ≥- 的零点个数为2，则（）A. 2837a <<或1a =- B.2837a << C. 7382a <<或1a =-D. 7382a <<【答案】D 【解析】【分析】由1()(2)(2)2f x f x x =-->，可知当()2,22()x k k k Z ∈+∈时，()f x 的图象可由()22,2()x k k k Z ∈-∈的图象沿x 轴翻折，并向右平移2个单位长度，纵坐标变为原来的一半，即可作出函数()f x 的图象，将()g x 的零点问题转化为两个函数图象的焦点问题即可. 【详解】如图，可得()f x 的图象.令()0g x =，当0x =时，不符合题意；当0x ≠时，得()a f x x =，若0a >，则满足132178a a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，，可得7382a <<；若10a -≤<，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当10a -<<时，因为(1)11af =-<，所以在()0,2上有两个交点，不合题意舍去，当1a =-时，则需154a <-，解得a Ø∈，故选D .【点睛】本题考查分段函数的图象和零点问题.对函数图象的正确绘制是解答本题的关键.二、选择题：本大题共7小題，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

高三数学上学期第一次联考试题理 2

卜人入州八九几市潮王学校HY 、HY2021届高三数学上学期第一次联考试题理一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.集合2{10},{0}x Mx x N xx-=-≤=≤，那么()R C M N ⋂=〔〕 A.(0,1) B.(0,2]C.(1,2]D.[1,2]2.“sin cos αα=〞是“cos20α=〞的〔〕3.以下说法错误的选项是〔〕A.“0x >〞是“0x ≥〞的充分不必要条件B.2320x x -+=，那么1x =1x ≠，那么2320x x -+≠〞C.假设p q ∧,p qD.:p x R ∀∈，使得210x x ++<，那么:p x R ⌝∃∈，使得210x x ++≥4.1cos()3πθ+=-，那么sin(2)2πθ+=〔〕 A.79B.79-C.429D.429-3()2xy x x =-⋅的图象大致是()6.4(,),tan()243ππθπθ∈-=-，那么sin()4πθ+=〔〕A.35B.45C.45- D.35-7.113212,3,sin 4ab c xdx π--===⎰,那么实数,,a b c 的大小关系是()A.a c b >>B.a b c >>C.b a c >>D.c b a >>a 升水缓慢注入空桶乙中,分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,假设再过m 分钟甲桶中的水只有4a升,那么的值是()(A)5 (B)8 (C)9 (D)10 9.1sin()63πα+=，那么2cos(2)3πα-的值是〔〕 A.59 B.79- C.13- D.89-)(x f 满足：当0<x 时,0)()(2<'+x f x x f 那么〔〕A.)3(9)()2(42f e f e f >>B.)()3(9)2(42e f e f f ->->-C.)()2(4)3(92e f e f f->> D.)3(9)2(4)(2->->f f e f e()y f x =是定义在R 上奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=,当[]2,0x ∈-时x x x f 2)(2--=那么当[]2018,2020x ∈时)(x f y =的最大值为〔〕A.8-B.1-C.1D.021()(2)x f x x x e -=-当1x >时()10f x mx m -++≤有解，那么m 的取值范围为〔〕A.1m ≤B.1m <-C.1m ≥-D.1m >-二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．将答案填在答题卡的相应位置．121(1)x x dx --+=⎰______________.14.函数log (4)2(01)a y x a a =++>≠且的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，那么sin 2α=15.如图,正方形ABCD 的边长为2,BC平行于x轴,顶点,,A B C分别在函数1233log ,2log ,log (1)a a a y x y x y x a ===>的图象上,那么实数a 的值是.23()cos sin 1(0,)22xf x x x R ωωω=+->∈，假设()f x 在区间(,2)ππ上没有零点，那么ω的取值范围是.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共60分．17.〔12分〕在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=.〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设3,23b a c =+=，求ABC ∆的面积．18.〔12分〕二次函数2()f x ax bx =+满足(1)(1)f x f x -=--，且在R 上的最小值为〔1〕求函数()f x 在0x =处的切线方程；〔2〕当[]2,1x ∈-时，求函数()()x g x xf x e =⋅的极值..19.〔12分〕函数2()123cos 2sin ,.f x x x x x R =+-∈〔1〕假设[0,]x π∈，求函数()f x 的单调递减区间；〔2〕假设把()f x 向右平移6π个单位得到函数()g x ，求()g x 在区间[,0]2π-上的最值．20.〔12分〕函数()ln()f x x ax =⋅其中0a >.〔1〕假设()t f x x ≤在定义域内恒成立，务实数a 的取值范围；〔2〕设()()sin f x g x a x x=+且()g x 在(]0,π上为单调函数，务实数a 的取值范围. 21.〔12分〕函数3()(1)ln ,()ln f x x x g x x x e=-=--. 〔1〕求证：函数()y f x =的图像恒在函数()y g x =图像的上方；〔2〕当0m >时，令()()()h x mf x g x =+的两个零点1,212()x x x x <.求证：211x x e e-<-. 〔二〕选考题：一共10分．请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分． 22．［选修4—4：坐标系与参数方程］〔10分〕在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=l 与C 交于,A B 两点．〔Ⅰ〕求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点(0,2)P -，求PA PB +的值．23．［选修4—5：不等式选讲］〔10分〕函数()15f x x x =-+-．〔1〕解关于x 的不等式()6f x >；〔2〕记()f x 的最小值为m ，实数,,a b c 都是正实数，且111234ma b c ++=，求证：239a b c ++≥．一中二零二零—二零二壹第一学期第一次月考高三数学〔理科〕答案一、选择题1—5，CACBB ，6—10，ABABA ，11—12，CD 二、填空题12π1213- 6.12(0,][,1]33⋃ 三、解答题17.解：〔1〕∵A +B +C =π，即C +B =π-A ，∴sin〔C +B 〕=sin 〔π-A 〕=sin A ，………………………………………………1分将〔2a -c 〕cos B =b cos C 利用正弦定理化简得：〔2sin A -sin C 〕cos B =sin B cos C ..........................................3分 ∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin 〔C +B 〕=sin A ，………………………..4分在△ABC 中，0＜A ＜π，sin A ＞0，∴cos B =，又0＜B ＜π，那么B =...................................................6分〔2〕∵b =，cos B =cos=，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得：a 2+c 2-ac =〔a +c 〕2-3ac =3 ∵a +c =2.∴ac =3……………………………………………………………...9分又sin B =sin=， ∴S =ac sin B =ac =，即△ABC 的面积为，……………………………….12分18.解〔1〕依题意得：二次函数且，.................3分解得..............................................4分故切点〔0,0〕，................5分所求切线方程为：....................................6分〔2〕.................7分.................8分令得〔舍去〕......................9分在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10分.......................12分19.解：〔1〕=1+2sin x cosx-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin 〔2x +〕，……2分令2k π+≤2x +≤2k π+，k ∈Z ，得k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ，…………………………………………………….4分又0x π≤≤，∴263x ππ≤≤可得函数的单调减区间为[，]．……………………………………..6分〔2〕假设把函数f〔x〕的图像向右平移个单位，得到函数=的图像，…………..8分∵x∈[-，0]，∴2x-∈[-，-]，…………………………………………………………..9分∴∈[-2，1]．………………………………………..11分故g〔x〕在区间上的最小值为-2，最大值为1．………………….12分20.解：〔1〕依题意在定义域上恒成立，构造在定义域上恒成立，..............1分只需.....................................2分而令得...................................3分所以在为增函数，在为减函数，.............4分............................5分得..........................................6分（2）由在上为单调函数，而其中..............7分在为减函数，............8分在恒成立......................9分得........................11分故.......................................12分21.〔1〕证明：构造函数.................1分那么令得............................2分时时在〔0,1〕为减函数，在〔1，〕为增函数，...................3分所以，即..................4分故函数的图像恒在函数图像的上方....................5分（2）证明：由有两个零点，当时....................6分那么在为增函数，且，..................7分那么当时为减函数，当时，为增函数，................................8分又......9分...............................10分在和上各有一个零点，.........11分故..........................................12分22.〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=，即ρcosθ-ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程：y=x-2．…………………………………………….5分〔Ⅱ〕点P〔0，-2〕在l上，l的参数方程为〔t为参数〕，代入x2+y2=1整理得，3t2-10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=………………………………………….10分23.解：〔1〕∵f〔x〕=|x-1|+|x-5|＞6，∴或者或者，解得x＜0或者x＞6．综上所述，不等式f〔x〕＞6的解集为〔-∞，0〕∪〔6，+∞〕．……………5分〔2〕由f〔x〕=|x-1|+|x-5|≥|x-1-〔x-5〕|=4〔当且仅当〔x-1〕〔x-5〕≤0即1≤x≤5时取等号〕．∴f〔x〕的最小值为4，即m=4，∴=1，∴a+2b+3c=〔a+2b+3c〕〔〕=3+〔+〕+〔+〕+〔+〕≥9．当且仅当=，=，=即a=2b=3c即a=3，b=，c=1时取等号．………..10分。

《精编》浙江省三校高三数学联考试题文新人教A版.doc

2021届浙江省三校高三数学联考卷数学〔文〕试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. (1) 计算21ii- 得 ( ▲ ) A ．3i -+ B. 1i -+ C. 1i - D. 22i -+(2) 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，那么直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ▲ ) A ．29 B. 13 C. 49D. 59 (3) 某程序的框图如以下列图，那么运行该程序后输出的B 的值是( ▲ ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 (4) 假设直线l 不平行于平面a ，且l a ⊄，那么A. a 内的所有直线与l 异面B. a 内不存在与l 平行的直线C. a 内存在唯一的直线与l 平行D. a 内的直线与l 都相交(5) 在圆06222=--+y x y x 内，过点E 〔0，1〕的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积为 ( ▲ )A ．25B ．202C ．215D ．102〔6〕在以下区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为〔 ▲ 〕 A.〔14，12〕 B.〔-14，0〕 C.〔0，14 〕 D.〔12，34〕〔7〕设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,那么( ▲ )A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称〔8〕函数22, 1,(), 1,x ax x f x ax x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩ 那么“2a ≤-〞是“()f x 在R 上单调递减〞的( ▲ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(9) 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．假设△1MNF 为正三角形，那么该双曲线的离心率为(▲)A ．6B ．3C ．2D ．33(10) 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =. 假设对任意的[,2]x t t ∈+，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，那么实数t 的取值范围是 ( ▲ ) A.[2)+∞， B.[2)+∞， C.(0,2] D.[2,1][2,3]--二．填空题：本大题共7小题，每题4分，总分值28分.(11) 右图是CCTV 青年歌手电视大奖赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为_______▲ _。

高三数学上学期第一次联考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校浙南名校联盟2021届高三数学上学期第一次联考试题〔含解析〕{}21A x x =≤，{}lg 1B x x =≤，那么A B =〔〕A.[]0,1B.(]0,1C.()0,1D.[]1,10-【答案】B 【解析】【分析】先分别计算集合A 和B ，再计算A B【详解】{}{}21=-11A x x x x =≤≤≤故答案选B【点睛】此题考察了集合的运算，属于简单题型.C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，其右焦点为()2F ，那么双曲线C 的方程为〔〕A.22139x y -=B.22193x y -=C.221412x y -=D.221124x y -= 【答案】A 【解析】【分析】直接利用离心率和焦点公式计算得到答案.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，其右焦点为()2F那么2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到3a b ==双曲线方程为：22139x y -=故答案选A【点睛】此题考察了双曲线方程，属于根底题型.3.一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积是〔〕A.4B.3C.83D.43【答案】D 【解析】【分析】根据三视图复原立体图形，再计算体积. 【详解】如下列图：底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高2DE = 故114222323V=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】此题考察了三视图和体积的计算，通过三视图复原立体图是解题的关键.,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩那么y x 的最小值为〔〕A.3-B.3C.13-D.13【答案】C 【解析】【分析】画出可行域，将y x看作点到原点的斜率，计算得到答案.【详解】如下列图：画出可行域00y y k x x -==-，看作点到原点的斜率根据图像知，当31,22x y ==-时，有最小值为13-【点睛】此题考察了线性规划，将yx看作点到原点的斜率是解题的关键.,x y R ∈，那么“01xy <<〞是“1x y<〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案.【详解】当01xy <<时，得到01(0,0)x y x y <<≠≠两边同时除以y得到1x y<，充分性当1x y<时，取11,2x y ==-，那么12xy =-，不满足01xy <<，不必要 “01xy <<〞是“1x y<〞的充分不必要条件故答案选A【点睛】此题考察了充分必要条件，通过举反例判断不必要可以简化运算，是解题的关键.()3ln xf x x =的局部图象是〔〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0xf x x=>，排除CD ，得到答案. 【详解】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--，()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD故答案选A【点睛】此题考察了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.102x <<，随机变量ξ的分布列如下： ξ1 2P0.5 0.5x -x那么当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时〔〕 A.()E ξ减小，()D ξ减小 B.()E ξ增大，()D ξ增大 C.()Eξ增大，()D ξ减小D.()Eξ减小，()D ξ增大【答案】B 【解析】【分析】分别计算()Eξ和()D ξ的表达式，再判断单调性.【详解】()00.51(0.5)20.5Ex x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时,()E ξ增大()25(1)4D x ξ=--+，当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时,()D ξ增大故答案选B【点睛】此题考察了()Eξ和()D ξ的计算，函数的单调性，属于综合题型.M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，假设平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，那么P 点的轨迹为〔〕A.椭圆的一局部B.抛物线的一局部C.一条线段D.一段圆弧【答案】C 【解析】【分析】根据公式'cos S Sθ=得到11MDP CPM S S ∆∆=，计算得到P 到直线11C M 的间隔为定值，得到答案. 【详解】设P 在平面ABCD 的投影为1P ，平面1D PM与平面ABCD 所成的锐二面角为α那么11cos MDP D PMS S α∆∆=M 在平面11BCC B 的投影为BC 中点1M ，平面1D PM与面11BCC B 所成的锐二面角为β那么11cos CPM D PM S S β∆∆=故1111MDP CPM D PMD PMS S S S ∆∆∆∆=即11MDP CPM S S ∆∆=得到111125,22C M h h ⨯⨯=⨯⨯=即P 到直线11C M 的间隔为定值，故P 在与11C M 平行的直线上又点P 在面11BCC B 上，故轨迹为一条线段. 故答案选C【点睛】此题考察了立体几何二面角，轨迹方程，通过'cos S Sθ=可以简化运算，是解题的关键. ABC 的边长为2，D 是边BC 的中点，动点P 满足1PD ≤，且AP xAB y AC =+，其中1x y +≥，那么2x y +的最大值为〔〕A.1B.23C.2D.52【答案】D 【解析】【分析】可建立如下列图的平面直角坐标系，根据题设条件可得动点P 在图中的圆上〔实线局部〕运动，设点()[]()cos ,sin 2P θθθππ∈,，那么可用θ的三角函数表示2x y +，从而可求其最大值.也可以把AP xAB y AC=+表示为1222AP x AB y AC xAB y AC⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，故2222AP x yAB AC AS x y x y x y '=+=+++〔如图〕，利用向量一共线的几何意义可得AP AS的最大值就是2x y +的最大值，利用三角形相似得当PN 与半圆相切时AP AS最大.【详解】如下列图，由于动点P 满足1PD ≤，且AP xAB y AC =+，因为1x y +≥，所以点P 在以点D 为圆心，1为半径的半圆〔图中实线〕上运动，(3A ，()1,0B -，()1,0C ，()[]()cos ,sin 2P θθθππ∈,，(cos sin 3AP θθ=,，(1,3AB =--，(1,3AC =-，所以11cos cos 23sin 33311cos 23x x y x y θθθθθθ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪=-+⎧⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨=-⎛⎫⎪⎩⎪=++ ⎪⎪⎝⎭⎩，33132cos sin 2226x y πθθθ⎛⎫+=-=-+ ⎪⎝⎭，因为[],2x ππ∈，所以713,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin 1,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 所以521,2x y ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，应选D ．方法二：等和线法由于动点P 满足1PD ≤，且AP xAB y AC =+，其中1x y +≥，所以点P 在以点D 为圆心，1为半径的半圆〔图中实线〕上运动且0,0x y ≥≥.设AB 的中点为B '，AP 与CB '交于点S ，1222AP xAB y AC x AB y AC xAB y AC ⎛⎫'=+=⋅+=+ ⎪⎝⎭，所以2222AP x yAB AC AS x y x y x y '=+=+++，所以2AP x y AS=+，过点D P ，分别作直线平行CB '交AB 于M N ，，那么2=APA ANx y N AB S A +=='，当PN 与半圆相切时，AN最大且为35122AM MN +=+=. 应选D.【点睛】在平面向量根本定理的应用中，我们常常需要考虑基底向量的系数和的最值，此类问题的处理，首先考虑能否建立平面直角坐标系，条件是题设中的图形是较为规那么的图形，其次考虑改换基底向量，把系数和转化为线段长的比值，再利用几何意义求最值.{}n a 满足()*11112n n n na a n a a +++=+∈N ，那么〔〕 A.当()*01na n <<∈N 时，那么1n n a a +>B.当()*1na n >∈N 时，那么1n na a +<C.当112a =时，那么111n n aa +++> D.当12a =时，那么111n n a a +++>【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】111111112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++=+∴-+-=即111()(1)n n n n na a a a a ++--= 当01n a <<时，1110n na a +-<，故1n n a a +<，A 错误当1na >时，1110n na a +->，故1n n a a +>，B 错误对于D 选项，当1n =时，12a =，212111922a a a a +=+=<，D 错误用数学归纳法证明选项C 易知0na >恒成立当1n =时，21211123a a a a +=+=> 假设当n k =时成立，111k k a a +++>2121122k k a k a +++>+ 当1n k =+时：即221k k a a +++>故111n n a a +++> 故答案选C【点睛】此题考察了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考察学生对于数学知识，方法，性质的灵敏运用.11.瑞士数学家欧拉于1777年在微分公式一书中，第一次用i 来表示-1的平方根，首创了用符号i 作为虚数的单位．假设复数51izi -=+〔i 为虚数单位〕，那么复数z 的虚部为________；z =_____．【答案】(1).3-【解析】【分析】利用复数的除法可计算z ，从而可求其虚部和模.【详解】()()()()51546231112i i i iz i i i i ----====-++-，故z 的虚部为3-13=，故分别填-.【点睛】此题考察复数的概念、复数的除法，属于根底题. 12.()()321x a x ++展开式中所有项的系数之和为-4，那么a=________；2x 项的系数为_________．【答案】(1).2-(2).10 【解析】【分析】令1x =后可求得2a =-，利用二项展开式可求2x 的系数. 【详解】令1x =，()()()3231114142a a a ++=+=-⇒=-，()()()()3232221612821x x x x x x x -+=-+-++，故展开式2x 项的系数为624810-+-=．【点睛】此题考察二项展开式中系数和的计算以及指定项系数的计算，属于根底题.ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，1b =，2c =且()2cos cos cos A b C c B a +=，那么A =__________；假设M 为边BC 的中点，那么AM =__________．【答案】(1).3π(2).2【解析】【分析】利用正弦定理得到1cos ,23A A π==，再利用1()2AM AB AC =+，平方得到答案. 【详解】()2cos cos cos A b C c B a +=利用正弦定理得到：即1cos ,23A A π== M 为边BC 的中点，1()2AM AB AC =+那么222211117(2)(14212)44424AM AB AC AB AC AB AC =+=++⋅=++⨯⨯⨯=故答案为3π，【点睛】此题考察了正弦定理，向量的运算，其中表示1()2AM AB AC =+是解题的关键，可以简化运算. 14.3名男同学、3名女学生和2位教师站成一排拍照合影，要求2位教师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，那么总一共有__________种排法．【答案】576【解析】【分析】将队伍两端分为都是男生和都是女生两种情况，相加得到答案.【详解】当两端都是男生时：242342288A A A ⨯⨯= 当两端都是女生时：242342288A A A ⨯⨯= 一共有576种排法故答案为576【点睛】此题考察了排列，将情况分为两种情况可以简化运算，是解题的关键. P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a +=>上，且PQ 的最大值等于5，那么椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，那么PQ QF+的最大值等于__________．【答案】(1).2(2).5+【解析】【分析】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，PQ的最大值为5等价于AQ 的最大值为4，根据对称轴得到关系式2311xa =≤--解得答案. 利用椭圆性质得到14PQ QF PQ QF +=+-，再根据三角形边的关系得到答案. 【详解】22680x y y +-+=化简为22(3)1x y +-=，圆心(0,3)A .PQ 的最大值为5等价于AQ的最大值为4 设(,)Q x y ，即22(3)16x y +-≤，又()22211x y a a+=> 化简得到222(1)670(11)ay y a y --+-≤-≤≤ 当1y =-时，验证等号成立对称轴为231x a =-满足231,21x a a=≤-≤-故12a <≤当2a =时，离心率有最大值，此时椭圆方程为2214x y +=，设左焦点为1F 当1,,,A F P Q 一共线时取等号.5+【点睛】此题考察了椭圆的离心率，线段和的最值问题，利用椭圆性质转化14PQ QF PQ QF +=+-是解题的关键，意在考察学生的计算才能和综合应用才能. ,,a b c ，满足，3a bb ⋅=，2322c a c =⋅-，那么对任意实数t ，c tb -的最小值为__________．【答案】14【解析】【分析】根据向量夹角公式计算,a b 夹角为6π，以a 坐在直线为x 轴，建立直角坐标，计算得到c 对应的点在2231()24x y -+=上，c tb -表示的是圆上一点到直线上一点的间隔，计算得到答案. 【详解】，3cos 2cos 3,cos 6a b a b b b πθθθθ⋅=⋅==== 如下列图：以a 所在直线为x 轴，建立直角坐标系那么(2,0)a =，设(,)c x y =2322c a c =⋅-得到2232x y x +=-即2231()24x y -+= c tb -表示的是圆上一点到直线上一点的间隔此间隔的最小值为：311sin 2624dπ=-= 故答案为14【点睛】此题考察了向量的运算，直线到圆间隔的最值，意在考察学生的转化才能和计算才能.()326f x x x ax b =-++，假设对任意的实数a 和b ，总存在[]00,3x ∈，使得()0f x m ≥，那么实数m 的最大值为__________．【答案】2【解析】【分析】将函数变形为()[]3269(9)f x x x x a x b =-+---，设32()69g x x x x =-+，()(9)h x a x b =--，画出函数图像，当9,2a b ==-时取最值，得到答案.【详解】()[]3232669(9)f x x x ax b x x x a x b =-++=-+--- 设322()69,'()31293(1)(3)g x x x x g x x x x x =-+=-+=--()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，(0)(3)0g g ==设()(9)h x a x b =--画出函数图像：对任意的实数a 和b ，总存在[]00,3x ∈，使得()0f x m ≥ 等价于求()f x 最大值里的最小值.根据图像知：当9,2ab ==-时，最大值的最小值为2 故实数m 的最大值为2答案为2【点睛】此题考察了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考察学生的综合应用才能.()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的图象过点12⎛ ⎝，且相邻的最高点与最低点的间隔.〔Ⅰ〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅱ〕求()f x 在[]0,2上的单调递增区间.【答案】〔Ⅰ〕()2sin()4f x x ππ=+；〔Ⅱ〕1[0,]4和5[,2]4. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用勾股定理得到2T =，ωπ=，将点12⎛ ⎝代入图像得到4πϕ=，得到答案. 〔Ⅱ〕()2sin()4f x x ππ=+，函数的单调区间为3122,44k x k k Z -≤≤+∈，代入k 得到[]0,2上单调区间.【详解】解：〔Ⅰ〕函数()f x 的周期T ，=ωπ∴把坐标1(2代入得2sin()2πϕ+=，cos 2ϕ∴= 又02πϕ<<，4πϕ∴=，〔Ⅱ〕令22,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈解得3122,44k x k k Z -≤≤+∈ ()f x ∴在[]0,2上的单调递增区间是1[0,]4和5[,2]4【点睛】此题考察了三角函数的解析式，三角函数的单调区间，属于常考题型，需要纯熟掌握.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，AD BC ∥，2DAB π∠=，12AP AB BC AD ===，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O . 〔Ⅰ〕求证：PO ⊥平面ABCD ；〔Ⅱ〕求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】【解析】【分析】〔Ⅰ〕先证明BE ⊥面APC 得到BE PO ⊥，再证明PO AC ⊥得到PO ⊥平面ABCD .〔Ⅱ〕以O 为原点，分别以,,OB OC OP 为x 轴，y 轴，z PBD 的法向量为(1,3,1)n =，再利用向量夹角公式得到答案.【详解】解：〔Ⅰ〕由AP ⊥平面PCD ，可得AP PC ⊥，AP CD ⊥，由题意得，ABCD 为直角梯形，如下列图，BC DE ，所以BCDE 为平行四边形，所以BE CD ∥，所以AP BE ⊥. 又因为BEAC ⊥，且AC AP A =，所以BE ⊥面APC ，故BE PO ⊥.在直角梯形中，AC ==，因为AP ⊥面PCD ，所以AP PC ⊥，所以PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，所以PO AC ⊥.且ACBE O =，所以PO ⊥平面ABCD 〔Ⅱ〕法一：以O 为原点，分别以,,OB OC OP 为x 轴，y 轴，z 轴的建立直角坐标系.不妨设1BO = 0(0)1A -，，，()100B ，，，()001P ，，，0()21D -，，，设(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量.满足00n PB n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以030x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，那么令1x =，解得(1,3,1)n = 法二：〔等体积法求A 到平面PBD 的间隔〕设AB=1，计算可得1PF =，PD =BD =，PBD S =△ 1133PBD ABD S h S PO ⨯⨯=⨯⨯△△，解得h =【点睛】此题考察了线面垂直，线面夹角，意在考察学生的空间想象才能和计算才能.{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是15,a a 的等差中项，数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕证明：12n b b b +++<，*n N ∈.【答案】〔Ⅰ〕2n na =；〔Ⅱ〕详见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕直接用等差数列，等比数列的公式计算得到2n n a =.〔Ⅱ〕nn b ==1n S =，得证.【详解】〔Ⅰ〕由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q+=，解得24q =或者214q =，因为1q >，所以2q. 所以，2n na =.〔Ⅱ〕法1：由〔Ⅰ〕可得nn b =，*nN ∈.122121n n n+==--+22n n=- 1=<法2：由〔Ⅰ〕可得nn b =，*n N ∈.我们用数学归纳法证明.〔1〕当1n =时，11b ==< 〔2〕假设n k =〔*k N ∈〕时不等式成立，即12k b b b +++<.那么，当1n k =+时，1122k k ++=-=，即当1n k =+时不等式也成立.根据〔1〕和〔2〕，不等式12n b b b +++<，对任意*n N ∈成立.【点睛】此题考察了等差数列，等比数列的公式，裂项求和，意在考察学生对于数列公式方法的灵敏掌握. ()00,A x y 在抛物线24y x =上，,P Q 是直线2y x =+上的两个不同的点，且线段,AP AQ 的中点都在抛物线上. 〔Ⅰ〕求0y 的取值范围；〔Ⅱ〕假设APQ 的面积等于0y 的值.【答案】〔Ⅰ〕04y >或者00y <；〔Ⅱ〕02y =±.【解析】【分析】〔Ⅰ〕设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，200(,)4y A y ，AP 的中点20042(,)82y a y a M +++代入抛物线得到二次方程22000(42)440x y x y y ---++=，>0∆解得答案.〔Ⅱ〕先计算A 到PQ 的间隔2d =，再计算PQ =，代入面积公式得到答案.【详解】〔Ⅰ〕设(,2)P a a +，(,2)Q b b +，200(,)4y A y ，那么AP 的中点20042(,)82y a y a M +++，代入24y x = 得：22000(42)440a y a y y ---++=同理可得：22000(42)440b y b y y ---++=所以，,a b 是方程22000(42)440xy x y y ---++=的两个根解得：04y >或者00y <〔Ⅱ〕点A 到PQ 的间隔200|2|y yd -+=2= 由韦达定理可知：042a by +=-，20044ab y y=-++ 那么|||PQ a b =-==t =，那么有：38240t t +-=，即：2(2)(212)0t tt -++=，解得2t =，即200440y y --=，解得：02y =±【点睛】此题考察了抛物线，面积问题，将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键，简化了运算. ()ln x a f x b x e=-，其中,a b ∈R ，函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1211y x e e ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭.其中 2.7182e ≈ 〔Ⅰ〕求证：函数()f x 有且仅有一个零点；〔Ⅱ〕当()0,x ∈+∞时，()k f x ex <恒成立，求最小的整数k 的值. 【答案】〔Ⅰ〕详见解析；〔Ⅱ〕2.【解析】【分析】〔Ⅰ〕求导，根据'1(1)(1)a f b e e =--=-+，1(1)a f e e==解得1a b ==，再判断函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减，1(1)0f e =>1()10e f e e=-<得证. 〔Ⅱ〕先断定2k ≥，不等式等价于2ln x x x x e e-<，设()x x g x e =，()ln h x x x =分别计算函数的单调性和最值得到2k =时，2()f x ex<恒成立，得到答案. 【详解】〔Ⅰ〕'()x a b f x e x=--，所以'1(1)(1)a f b e e=--=-+ 当1x =时，1y e =，即1(1)a f e e==，解得1a b == '11()0x f x e x=--<，函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调减由于1(1)0f e =>1()10e f e e =-< 那么函数()f x 有且仅有一个零点．〔Ⅱ〕一方面，当1x =时，1(1)k f e e =<，由此2k ≥；当2k =时，下证：2()f x ex<，在(0,)x ∈+∞时恒成立，记函数()x x g x e =，'1()xx g x e -=，()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减 1()(1)g x g e≤=；记函数()ln h x x x =，'()1ln h x x =+，()h x 在1(0,)e 上单调减，在1(,+)e ∞上单调减 11()()h x h e e ≥=-，即1()h x e-≤-； ln ()x x x x g x e -=112(())h x e e e +-≤+=，成立又因为()g x 和()h x 不能同时在同一处取到最大值，所以当(0,)x ∈+∞时，2()f x ex <恒成立所以最小整数2k =．【点睛】此题考察了函数切线，零点问题，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考察学生对于导数函数知识技巧的灵敏运用及计算才能.。

高三数学上学期第一次联考试题文试题

卜人入州八九几市潮王学校广深珠三校2021届高三数学上学期第一次联考试题文时间是：120分钟总分值是：150分一．选择题：此题一共12小题，每一小题5分． 1．集合{|(1)(2)0}A x x x =-+<，集合{|lg 0}B x x =≤，那么AB =A ．()21,-B ．(]01,C ．()01,D ．(]21,-2．以下函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是 A ．2sin x y x =- B ．122xxy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-3．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式cos sin ixe x i x =+，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞，根据此公式可知，2ie 表示的复数所对应的点在复平面中位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．过点(0,1)的直线l 被圆22(1)4x y -+=所截得的弦长最短时，直线l 的斜率为 A ．1B ．1-C ．2 D ．2-5．以下说法中，错误的选项是 A :p x R ∀∈，20x 200:,0p x R x ⌝∃∈<B ．“1sin 2x =〞是“56x π=〞的必要不充分条件C ．“假设4a b +，那么a ，b 中至少有一个不小于2D ．函数2sin(2)3y x π=+的图象关于3x π=对称6．各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为2-，那么A ．14n n a a b b --=B ．14nn a a b b --=-C ．14n n a a b b -=D ．14n n a a b b -=-7．函数2()()xf x x x e =-+的图象大致是A．B ．C ．D ．8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=+，那么9a 的值是 A.768B.384C.192D.969．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设公差0d >，8595()()0S S S S --<，那么 A.70a =.B ．78a a = C ．78a a > D ．78a a <10．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，假设3AF =，那么△AOB 的面积为A.222C.322D ．211．函数()ln f x x x =A ．值域为RB ．在(1，+∞)是增函数C ．f (x )有两个不同的零点D ．过点(1,0)的切线有两条12．如图，在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3PA =,2PB =，1PC =．设M 是底面ABC 内一点，定义()(f M m =，n ，)p ，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA - 的体积．假设1()(2f M =，x ，)y ，且18a x y +恒成立，那么正实数a 的最小值为A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分．13．函数1235,(1)()1,(1)x x f x log x x +<⎧⎪=⎨-⎪⎩，那么((22))f f =__________14．双曲线C ：2218y x -=的左右焦点分别是1,2F F ，过2F 的直线l 与C的左右两支分别交于,A B 两点，且11AF BF =，那么AB=_____________15．曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，那么222sin cos 2sin cos cos -+ααααα的值是__________16．函数()(ln )xe f x k x x x=--，假设()f x 只有一个极值点，那么实数k 的取值范围是__________三．解答题：解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．17．〔12分〕ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5b =，()sin 2sin()a b A b A C +=+．〔1〕证明：ABC ∆为等腰三角形；〔2〕点D 在边AB 上，2AD BD =，17CD =，求AB ．18．(12分〕某班的50名学生进展不记名问卷调查，内容为本周使用的时间是长，如表：时间是长〔小时〕 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20)[]20,25女生人数 4 11 3 2 0 男生人数317631〔1〕求这50名学生本周使用的平均时间是长；〔2〕时间是长为[0,5)的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；〔3〕假设时间是长为[0,10)被认定“不依赖〞，[]10,25被认定“依赖〞，根据以上数据完成22⨯列联表：能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖有关系？20()P K k ≥0k〔参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++〕19．(12分〕在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，112AD AB DC BC ====，E 是PC 的中点，面PAC ⊥面ABCD .〔1〕证明：//ED PAB 面；〔2〕假设2PB PC==，求点P 到面ABCD 的间隔.20．(12分〕设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．〔1〕假设P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；不依赖依赖总计女生男生总计〔2〕设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角〔其中O 为坐标原点〕，求直线l 的斜率k 的取值范围．21．(12分〕()ln xe f x a x ax x=+-．〔1〕假设0a <，讨论函数()f x 的单调性；〔2〕当1a =-时，假设不等式1()()0x f x bx b e x x+---≥在[1，)+∞上恒成立，求b 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，假设多做和，那么按所做的第一题记分。

高三数学上学期第一次大联考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校三湘名校教育联盟2021届高三数学上学期第一次大联考试题理〔含解析〕本套试卷一共4页.全卷总分值是150分，考试时间是是120分钟. 本卷须知：2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效.3.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.U =R ，集合{|(2)0}A x x x =-，{1,0,1,2,3}B =-，那么()U A B 的子集个数为〔〕A.2B.4C.8D.16【答案】B 【解析】【分析】先求出U C A ,再求出()U C A B ⋂,然后利用公式2n 进展计算可得. 【详解】(,0)(2,)U C A =-∞+∞，∴(){1,3}U C A B =-，∴子集个数为4．应选B.【点睛】此题考察了集合的运算,集合子集的个数问题，属根底题.z 满足()112i z i -=+，那么z 在复平面内对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】先由复数的除法得1322zi =-+，再求其一共轭复数即可得解.【详解】由()112i z i -=+，可得12(12)(1)1321312222i i i i z i i ++++-====-+-.1322z i =--在复平面内对应的点为13(,)22--位于第三象限.应选：C.【点睛】此题主要考察了复数的除法运算及一共轭复数的概念，属于根底题.3.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.〞其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得一样，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？〞〔“钱〞是古代的一种重量单位〕.这个问题中，丙所得为〔〕 A.23钱 B.1钱 C.43钱 D.53钱【答案】B 【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，由题意求得a ＝﹣6d ，结合a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5即可得解．【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a +d ，a +2d ，那么由题意可知，a ﹣2d +a ﹣d ＝a +a +d +a +2d ，即a ＝﹣6d ，又a ﹣2d +a ﹣d +a +a +d +a +2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，应选：B.【点睛】此题主要考察了等差数列的应用，属于根底题.2()2cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数，那么函数()y f x '=的图像大致为〔〕A. B. C.D.【解析】【分析】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，求导易得()f x '在R 上单调递增.【详解】因为()22sin 2(sin )f x x x x x '=-=-，显然()f x '是奇函数，又()22cos 0f x x ''=-≥,所以()f x '在RC 符合,应选C ．【点睛】此题考察了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题. 5.a ，b 均为单位向量，3a b +=，那么()()2(a b a b +⋅-=)A.12-B.12C.32-D.32【答案】B 【解析】【分析】由结合向量数量积的性质可求a b ⋅，代入即可求解．【详解】解：a ，b 均为单位向量，且a b 3+=，223a 2a b b ∴=+⋅+，1a b 2∴⋅=，那么()()2212a b a b 2a a b b 2+⋅-=-⋅-=，应选：B ．【点睛】此题主要考察了平面向量数量积的性质的简单应用，属于根底试题． 6.ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么“ABC ∆为锐角三角形〞是“222a b c +>〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由余弦定理可知222a b c +>时C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解.【详解】当△ABC 为锐角三角形时，C 一定为锐角，此时222a b c +>成立，当222a b c +>成立时，由余弦定理可得cos C ＞0，即C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定，故ABC ∆为锐角三角形〞是“222a b c +>〞的充分不必要条件，应选：A.【点睛】此题主要考察了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于根底题.ABC ∆中，1AB =，3AC =，1AB BC ⋅=，那么ABC ∆的面积为〔〕A.12B.1 【答案】C 【解析】【分析】由()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-可得2cos 3A =，进而得sin A =，再利用面积公式即可得解.【详解】因为2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC ABA ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=，解得2cos 3A =.所以sinA ==.所以ABC ∆的面积为11sin 1322AB AC A ⋅⋅=⨯⨯=应选：C.【点睛】此题主要考察了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于根底题.()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象()A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D.向右平移6π个单位【答案】D【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()gx cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象，应选：D ．【点睛】此题主要考察三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于根底题．4log 3a =，8log 6b =，0.10.5c -=，那么〔〕A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.c b a >>【答案】D 【解析】【分析】通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数2log y x =的单调性可得1a b <<,通过指数函数的性质可得1c >.【详解】log a=2log b =660-<，∴1a b <<，0.121c =>，应选D ．【点睛】此题考察了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属根底题.R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，()(32)f x x x =-，那么29()2f =〔〕A.1-B.12-C.12D.1【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性和(1)(1)f x f x -=+可推出函数的周期为4,再根据周期性可求得.【详解】∵()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)(3)f x f x f x +=--=-，4T =，29293111()(16)()()(32)1222222f f f f =-=-=-=--⨯=-．应选A.【点睛】此题考察了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.2e 1,0(),0x x f x x ax x ⎧-=⎨->⎩，假设关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根，那么a 的取值范围是〔〕 A.(,2]-∞- B.[2,)+∞ C.[2,2]-D.(,2][2,)-∞-+∞【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为当0x>时，2x ax m -=-恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.【详解】因为关于x 的方程()0f x m +=对任意的(0,1)m ∈有三个不相等的实数根所以当0x时，(0,1)m ∀∈，1x e m -=-有一根，当0x >时，2x ax m -=-恒有两个正根，由二次函数的图象可知20240aa m ⎧>⎪⎨⎪=->⎩对任意的(0,1)m ∈恒成立，所以24a ≥解得2a ．应选B ．【点睛】此题考察了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.(0,)x ∀∈+∞，1ln(1)1x kx x ++>+恒成立，那么整数k 的最大值为〔〕 A.1 B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立,即h(x)的最小值大于k,再通过,二次求导可求得.【详解】1ln(x 1)kx x 1++>+恒成立，即(1)[1ln(1)]()x x h x k x +++=>恒成立，即h(x)的最小值大于k ，2x 1ln(x 1)h (x)x --+'=，令g(x)x 1ln(x 1)(x 0)=--+>，那么()01xg x x '=>+，∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，又(2)1ln30g =-<，(3)22ln20g =->，∴g(x)0=存在唯一实根a ，且满足(2,3)a ∈，1ln(1)aa =++．当x a >时，g(x)0>，h (x)0'>；当0x a<<时，g(x)0<，()0h x '<，∴(1)[1ln(1)]()()1(3,4)min a a h x h a a a+++===+∈，故整数k的最大值为3．应选C ．【点睛】此题考察了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题. 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.22y x x =-+与直线y x =围成的封闭图形的面积为___________．【答案】16【解析】【分析】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，结合图像可知围成的封闭图形的面积. 【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为(0,0)，(1,1)，如图:结合图像可知围成的封闭图形的面积为1123200111(2)()326x x x dx x x -+-=-+=⎰．【点睛】此题考察了定积分的几何意义,属根底题.()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，那么()sin cos 2παπα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.【答案】45【解析】【分析】由向量平行可得2cos sin αα=，结合221sin cos αα=+可得24sin5α=，结合诱导公式化简得()2sin cos sin 2παπαα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，所以2cos sin αα=.()2sin cos (sin )(sin )sin 2παπαααα⎛⎫-+=--= ⎪⎝⎭.由22222sin 5sin 1sin cos sin 44ααααα=+=+=，所以24sin5α=. 故答案为：45. 【点睛】此题主要考察了向量一共线的向量表示及同角三角函数关系，属于根底题. 15.()ln(e 1)(0)ax f x bx b =+-≠是偶函数，那么ab=__________．【答案】2 【解析】【分析】根据偶函数的定义,由()()f x f x -=恒成立可得.【详解】由()()f x f x =-得1ln(1)ln(1)ln ln(1)ax ax axax ax e e bx ebx bx e ax bxe-++-=++=+=+-+，∴2ax bx=，2ab=．【点睛】此题考察了偶函数的性质,属根底题.{}n a 的前n 项和为n S ，132020a =，()*12,n n n a S S n n N -=≥∈，那么当n S 取最大值时，n 的值是______. 【答案】674 【解析】【分析】化简条件可得()*11112,n n n n N S S --=-≥∈，进而得120233n S n=-，利用反比例函数的性质分析数列的单调性即可得解. 【详解】由()*12,nn n a S S n n N -=≥∈，可得()*112,n n n n S S S S n n N ---=≥∈.所以()*11112,n n n n N S S --=-≥∈. 从而有：1{}n S 是以1120203S =为首项，-1为公差的等差数列. 所以120202023(1)(1)33n n n S =+-⋅-=-，所以120233n S n=-. 当1674n ≤≤时，n S 递增，且0n S >；当675n ≤时，n S 递增，且0nS <.所以当674n =时，n S 取最大值. 故答案为：674.【点睛】此题主要考察了n a 和n S 的递推关系，考察了数列的单调性，属于中档题. 三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.{}n a 的前n 项和为n S ，519a =，555S =.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】〔1〕41na n =-〔2〕()343nn +【解析】【分析】〔1〕由等差数列的根本量表示项与和，列方程组求解即可；〔2〕先求得1111144143n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再利用裂项求和即可得解. 【详解】解析：〔1〕设公差为d ，那么1141951055a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得134a d =⎧⎨=⎩，∴()34141n a n n =+-=-.〔2〕()()111111414344143n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴11111114377114143nT n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭()343n n =+.【点睛】此题主要考察了等差数列的根本量运算及裂项求和，属于根底题.ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222()2cos a b ac B bc -=+．〔1〕求A ；〔2〕D 为边BC 上一点，3BD DC =，2DABπ∠=，求tan C ．【答案】〔1〕23π；〔2【解析】【详解】分析：〔1〕由余弦定理可得222a b c bc --=，从而可得cos A ，进而得解；〔2〕在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BCC =,①，在RtABC 中，()sin 30cC BD+=,②，联立①和②可得解.详解：〔1〕由条件和余弦定理得：即：222a b c bc --=那么2221cos 22b c a A bc +-==-又0A π<<，23A π∴=. 〔2〕在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin120c BC C =,①在Rt ABD △中，()sin 30cC BD+=,②由①②可得：()sin 30sin CC+=1cos 22sin C CC +=,化简可得：tan C =点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或者全部化为边的关系．题中假设出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．()()cos sin f x x x α=+-，0απ<<，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为12y x b =+. 〔1〕求α与b 的值；〔2〕求()f x 的最大值及单调递增区间.【答案】〔1〕3πα=,b =〔2〕最大值12，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】【分析】〔1〕求函数的导数得()'cos(2)f x x α=+，由()1'02f =得3πα=，从而得解；〔2〕由1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合三角函数性质利用整体代换可求最值和单调区间. 【详解】〔1〕()()()'sin sin cos cos f x x x x x αα=-+++()cos 2x α=+，()1'02f =，3πα=，()0f =，b=. 〔2〕()21sin cos 224f x x x x =+-11sin 22sin 24423x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当2232x k πππ+=+，k Z ∈时，()f x 获得最大值12. 由222232k x k πππππ-≤+≤+得5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，∴()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】此题主要考察了三角函数的化简和性质及利用导数求函数切线，属于中档题.{}n a 满足1n a >且()()()22221222log log log n a a a ++⋅⋅⋅+()()11216n n n =++. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设2log nn n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】〔1〕2n n a =〔2〕()1122n n T n +=-⋅+【解析】【分析】〔1〕先令1n =得12a =，再由()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，与条件作差得2n n a =；〔2〕由2n nb n =⋅，利用错位相减法求和即可.【详解】解析：〔1〕当1n =时，()221log 1a =，由1n a >得12a =.当2n ≥时，()()()222212221log log log n a a a -++⋅⋅⋅+()()11216n n n =--，∴()()()()()2211log 12112166n a n n n n n n =++---2n =，∴2nn a =，∵1n =也适宜，∴2n n a =.〔2〕2n n b n =⋅，∴1212222n nT n =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，231212222n n T n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，两式相减得1212222n n n T n +-=++⋅⋅⋅+-⋅()1122n n +=-⋅-，∴()1122n nT n +=-⋅+.【点睛】此题主要考察了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.()2x f x e ax a =+++.〔1〕讨论()f x 的单调性；〔2〕当0x ≤时，()2f x ≥，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕见解析〔2〕[]1,0-【解析】【分析】〔1〕求函数导数得()'x f x e a =+，分别讨论0a ≥和0a <时导数的正负从而得函数的单调性；〔2〕令()x hx e ax a =++，那么()00h ≥，1a ≥-，讨论0a =，0a >和10a -≤<时，利用导数研究函数的单调性进而得解. 【详解】〔1〕()'x f x e a =+，假设0a ≥，那么()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；假设0a <时，由()'0f x >得()ln x a >-，由()'0f x <得()ln x a <-，∴()f x 在()(),ln a -∞-上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增.〔2〕当0x ≤时，22xe ax a +++≥，即0x e ax a ++≥，令()xh x e ax a =++，那么()00h ≥，1a ≥-，当0a =时，()0xh x e =>，满足题意；当0a >时，()'0xh x e a =+>，∴()h x 在(],0-∞上递增，由x y e =与()1y a x =-+的图像可得()0hx ≥在(],0-∞上不恒成立；当10a -≤<时，由()'0x h x e a =+=解得()ln x a =-，当()ln x a <-时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()ln 0a x -<≤时，()'0h x >，()h x 单调递增.∴()hx 在(],0-∞上的最小值为()()ln h a -，∴()()()ln ln 0h a a a -=-≥，解得10a -≤<.综上可得实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题主要考察了函数导数的应用及分类讨论的思想，利用导数研究函数最值解决恒成立问题，属于难题.()ln 1,f x x ax a =-+∈R ．〔1〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围；〔2〕设11(,())A x f x ，22(,())B x f x ，直线AB 的斜率为k ，假设120x x k ++>恒成立，求a 的取值范围．【答案】〔1〕(0,1)〔2〕(-∞【解析】【分析】(1)求导得1()f x a x'=-,当0a ≤时,可得()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点,当0a >时,利用导数可以求得函数()f x 在定义域内的最大值为1()f a ,由11()ln 0f a a=>，解得01a <<.然后根据1()0f a >,1()0f e <得到()f x 在11(,)e a 上有1个零点；根据1()0f a >,22f ()0ea<,得到()f x 在221(,)e a a上有1个零点,可得a 的取值范围. (2)利用斜率公式将120x x k ++>恒成立,转化为2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-,即2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数,再求导后,别离变量变成min 1(2)a x x+,最后用根本不等式求得最小值,代入即得.【详解】〔1〕1()f x a x'=-，0x >， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不可能有两个零点；②当0a>时，在区间1(0,)a 上，()0f x '>；在区间1(,)a+∞上，()0f x '<．∴()f x 在1(0,)a 是增函数，在1(,)a+∞是减函数，11()ln 0f a a =>，解得01a <<，此时2211e e a a<<，且1()110a a f e e e =--+=-<，∴()f x 在11(,)e a上有1个零点； 2222()22ln 132ln (01)e e e f a a a a a a=--+=--<<，令2()32ln e F a a a=--，那么222222()0e e aF x a a a-'=-+=>，∴()F a 在(0,1)上单调递增， ∴2()()130F a F e <=-<，即22f ()0e a <，∴()f x 在221(,)ea a上有1个零点． ∴a 的取值范围是(0,1)．〔2〕由题意得22111221ln ln 0x ax x ax x x x x --+++>-，∴2222211121ln ln 0x x ax x x ax x x +---+>-， ∴2()ln m x x x ax =+-在(0,)+∞上是增函数，∴1()20m x x a x'=+-在(0,)+∞上恒成立，∴min 1(2)a x x +，∵0x >，∴11222x x x x +⋅=12x x =时，即2x =取等号，∴22a．∴a 的取值范围是(-∞．【点睛】此题考察了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用根本不等式求最值,属难题.。

2021年高三三校第一次联考(数学文)

2021年高三三校第一次联考（数学文）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A={x | y=ln （1－x ）}，集合B={y | y=x 2}，则A ∩B = （）A ．[0，1]B ．C ．D ．2．复平面内，复数对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若平面向量的夹角是180°，且等于（） A ．（－3，6） B ．（3，－6） C ．（6，－3）D ．（－6，3） 4．设2)(,2),1(log ,2,2)(231>⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-x f x x x e x f x 则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．（1，2）5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（） A ．1 B ．C ．D ．6．已知x 、y 满足约束条件的取值范围为（） A ．[－2，－1] B ．[－2，1] C ．[－1，2] D ．[1，2]7．已知是周期为2的奇函数，当),25(),52(,lg )(,10f b f a x x f x ===<<设时（） A ． B ． C ． D ．8．动点在圆上移动时，它与定点B （3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A ．B ．C ．D ．正视图侧视图俯视图第4题图9．函数的图象如图所示，则y 的表达式为（） A ． B ． C ． D ．10．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列{a n }：1，3，3，4，6，5，10， …，则a 21的值为（） A ．66 B ．220 C ．78 D ．286 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2021届浙江省三校(新昌中学浦江中学富阳中学)高三上学期第一次联考数学答案

22.解：（I）(i)利用的极值点个数即为的变号零点个数
设 ,
由已知,方程有两个不为0,-1的实根,
当时, 在上递增, 至多一个实根,故
在上递减,在上递增,
且 ………………………………5分
(ii)由（I）不妨设
要证 ,即证而 ,
由在上递减,在上递增,且
故只要证 ,又 ,故只要证
可知必有两解 , ,且 ,故对任意必存在 ,从而存在 .
由②可知 ,从而
当时, ,从而①式成立；
当时, , ,从而①式成立；
当时, , ,从而①式成立；
因此满足②的解也满足①式,从而对任意 ,都存在这样的点P,使得所在直线平行于轴. ………………………………………………………………………………………15分
19. 证明：（1）连接交于 ,连 ,, 为中点, 为中点 , , . ……………6分
（2）
,
,如图建立坐标系,
则
由得 ,
设面BCF法向量 ,由可取 ,因此设线面角为则有 . ………………………………………………15分
20．解答：（Ⅰ）易知 , .
由可知 ,即 ,令 ,易知在上递增, 上递减,且 ,
即证 ,又
即证
设
递增,
即
………………………………………10分
（II）显然和均不为该函数零点,令 ,则的三个交点的横坐标即为三个零点 ,由 ,可知在上增,在上减,在上增,即 ,所以 ,此时显然有在上增,且 , ,故为唯一负零点,且 .
令 ,则 ,即递增, ,而 ,所以 ,可得 .…………………15分
11.抛物线12. 1， .
13.63；-18014. ,

2021年浙江新昌中学、浦江中学、富阳中学三校第一次联考高三上学期数学试卷-学生用卷

2021年浙江新昌中学、浦江中学、富阳中学三校第一次联考高三上学期数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第1题4分已知集合A={x||2x−1|<6}，B={x|2x+13−x⩽0}，则A∩∁R B=（）．A. (−52,−12]∪(3,72)B. (−52,−12)∪[3,72)C. (−12,3]D. (−12,3)2、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第2题4分已知a∈R，若a1+i +1+i2（i为虚数单位）是实数，则实数a等于（）．A. 1B. 2C. 32D. 523、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第3题4分若{x⩾0 x−2y⩽0x+y−3⩾0，则z=x+3y的最小值是（）．A. 0B. 1C. 5D. 94、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第4题4分2020~2021学年10月山东青岛市南区青岛第三十九中学高三上学期月考第4题5分2017~2018学年10月河北邯郸临漳县临漳县第一中学高三上学期月考文科第6题5分设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）．A. 当n⊥α时，"n⊥β”是“α//β”成立的充要条件B. 当m⊂α时，“m⊥β”是“a⊥β”的充分不必要条件C. 当m⊂α时，”n//α”是“m//n”必要不充分条件D. 当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件5、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第5题4分2013年上海奉贤区高三一模已知函数y=sin⁡ax+b(a>0)的图象如图所示，则函数y=log a(x+b)的图象可能是（）．A.B.C.D.6、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第6题4分已知F1，F2是双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y=bax对称，则该双曲线C的离心率为（）．A. √52B. √5C. √2D. 27、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第7题4分2012年高考真题四川卷理科第12题设函数f(x)=2x −cos⁡x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f(a 1)+f(a 2)+⋅⋅⋅+f(a 5)=5π，则[f(a 3)]2−a 1a 5=（）．A. 0B. 116π2 C. 18π2D. 1316π28、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第8题4分已知平面向量a →，b →，c →满足：|a →|=2，a →，b →的夹角为60°，且c →=−12a →+tb →(t ∈R )．则|c →|+|c →−a →|的最小值为（）．A. √13B. 4C. 2√3D. 9√349、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第9题4分袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是 13，有3次摸到红球即停止．记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，则ξ 的数学期望Eξ=（）．A.13181 B.14381 C.433243 D. 59324310、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第10题4分定义全集U 的子集A 的特征函数f A (x)={1，x ∈A 0，x ∈∁U A．这里∁U A 表示集合A 在全集U 中的补集．已知A ⊆U ，B ⊆U ，以下结论不正确．．．的是（）． A. 若A ⊆B ，则对于任意x ∈U ，都有f A (x )⩽f B (x )B. 对于任意x ∈U ，都有f ∁U A (x )=1−f A (x )C. 对于任意x ∈U ，都有f A∩B (x )=f A (x )⋅f B (x )D. 对于任意x ∈U ，都有f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第11题4分在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45°的平面截这个圆锥，得到的曲线是．12、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第12题6分某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1，则正视图中的x的值是，该几何体的表面积是．13、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第13题6分已知多项式(x2+1)(x−1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+⋯+a7(x+1)7，则a1+a2+⋯+a7=，a4=．14、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第14题6分(0<θ<π)，则tan⁡θ=，sin⁡2(θ−已知sin⁡θ+cos⁡θ=−713π)=．415、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第15题4分2020~2021学年福建福州仓山区福建师范大学附属中学高二上学期期中B卷第14题5分过x−y−2=0上一点P(x0,y0)作直线与x2+y2=1相切于A，B两点．当x0=3时，切线长|PA|为；当|PO|⋅|AB|最小时，x0的值为．16、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第16题4分2004年全国高中数学联赛竞赛一试第12题9分在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(−1,2)和N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为．17、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第17题4分)ln⁡x恒成立，则实数a的最小值若对任意x>0，不等式a(e ax+1)⩾2(x+1x为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第18题15分在①A+C=2B②a+c=2b这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，，试求sin⁡A⋅sin⁡B⋅sin⁡C的范围．19、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第19题15分如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F为DE的中点．(1) 求证：BE//平面ACF．(2) 求BE与平面BCF所成角的正弦值．20、【来源】 2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第20题15分已知数列{a n}的首项a1，前n项之和S n，满足S n=n2+na12，数列{b n}的前n项之和T n，满足(q−1)T n=qb n−1(q>0)，n∈N∗．(1) 若对任意正整数n都有a n⩽b n+1成立，求正数q的取值范围．(2) 当q=2，数列{c n}满足：c n=a n+2S n⋅b n+1，求证：32⩽c1+c2+⋅⋅⋅+c n<2．21、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第21题15分已知椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)左顶点为A，离心率为√32，且过点(√3,12)．(1) 求Γ的方程．(2) 过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P的切线l交Γ于D，E两点，线段DE，PA的中点分别为M，N．求证：对任意p>0，都存在这样的点P，使得MN所在直线平行于y轴．22、【来源】 2021年浙江绍兴新昌县浙江省新昌中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分2021年浙江杭州富阳区富阳中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分2021年浙江金华浦江县浙江省浦江中学高三上学期高考模拟（三校第一次联考）第22题15分已知函数f (x )=e x +ax 2，其中e =2.71828⋯⋯是自然对数的底数．(1) 若g (x )=f (x )x+1(x ≠−1)有三个极值点x 1，x 2，x 3．① 求实数a 的范围．② 求证：x 1+x 2+x 3>−2．(2) 若y =f (x )有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，求证：−√−1a+1<x 1<0．1 、【答案】 C;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】抛物线;12 、【答案】 1;5+√52+√212; 13 、【答案】 63;−180;14 、【答案】 −512;−119169; 15 、【答案】 3;1;16 、【答案】 1;第11页，共11页 17 、【答案】 2e ;18 、【答案】当选①A +C =2B ，sin⁡A ⋅sin⁡B ⋅sin⁡C ∈(0,3√38]；当选②a +c =2b ，sin⁡A ⋅sin⁡B ⋅sin⁡C ∈(0,3√38]． ;19 、【答案】 (1) 证明见解析． ;(2) √10251．;20 、【答案】 (1) q ⩾√33． ;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x 24+y 2=1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1)① a <−1e 且a ≠−12．② 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。

浙江省2021届高三数学第一次联考试题(含解析)

浙江省2021届高三数学第一次联考试题（含解析）一、选择题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，则()R C A B ⋂=（） A. [1,0)(2,3]-B. (2,3]C. (,0)(2,)-∞+∞D. (1,0)(2,3)-【答案】A 【解析】【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式，化简集合A ， B 利用集合的交、补运算求得结果.【详解】因为集合{|(3)(1)0}A x x x =-+>，{1|1}B xx =->‖，所以{|3A x x =>或1}x <-，{|2B x x =>或0}x <，所以{|13}R C A x x =-≤≤，所以()R C A B ⋂={|23x x <≤或10}x -≤<，故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查集合的交、补运算.2.已知双曲线22:193x y C -=，则C 的离心率为（）A.2C.3D. 2【答案】C 【解析】【分析】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据222c a b =+，可得,a c 的值再代入离心率公式.【详解】由双曲线的方程得229,3a b ==，又根据2229312c a b =+=+=，解得：3,a c ==3c e a ==，故选C.【点睛】本题考查离心率求法，考查基本运算能力.3.已知,a b 是不同的直线，αβ，是不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//a β，则下列命题中正确的是（） A. b α⊥ B. //b αC. αβ⊥D. //αβ【答案】C 【解析】【分析】构造长方体中的线、面与直线,,,a b αβ相对应，从而直观地发现αβ⊥成立，其它情况均不成立.【详解】如图在长方体1111ABCD A B C D -中，令平面α为底面ABCD ，平面β为平面11BCC B ，直线a 为1AA若直线AB 为直线b ，此时b α⊂，且αβ⊥，故排除A,B,D ；因为a α⊥，//a β，所以β内存在与a 平行的直线，且该直线也垂直α，由面面垂直的判定定理得：αβ⊥，故选C.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，求解时要排除某个答案必需能举出反例加以说明.4.已知实数,x y满足312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y=+的最大值为（）A. 11B. 10C. 6D. 4【答案】B【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y 轴上的截距达到最大时，z取得最大值，观察可行域，确定最优解的点坐标，代入目标函数求得最值.【详解】画出约束条件312(1)xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩所表示的可行域，如图所示，根据目标函数2z x y=+的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，当直线过点(3,4)A时，其截距最大，所以max23410z=⨯+=，故选B.【点睛】本题考查线性规划，利用目标函数的几何意义，当直线2y x z=-+在y轴上的截距达到最大时，z取得最大值，考查数形结合思想的应用.5.已知圆C的方程为22(3)1x y-+=，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是（）A. 1B. –3C. 5D. -7【答案】A 【解析】【分析】设0(0,)A y ，以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，可得圆心距大于半径差的绝对值，同时小于半径之和，从而得到0y <<【详解】设0(0,)A y，两圆的圆心距d =因为以A 为圆心、半径为3的圆与圆C 有公共点，所以313124d -<<+⇒<<，解得0y <<B 、C 、D 不合题意，故选A.【点睛】本题考查两圆相交的位置关系，利用代数法列出两圆相交的不等式，解不等式求得圆心纵坐标的范围，从而得到圆心纵坐标的可能值，考查用代数方法解决几何问题.6.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（） A. (4][2,)-∞-+∞ B. [1,2]-C. [4,0)(0,2]-D. [4,2]-【答案】D 【解析】【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a 的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.7.已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由2x π=时的函数值，排除C,D ；由2x π=的函数值和322x ππ<<函数值的正负可排除A. 【详解】当2x π=时，(2)ln 20f ππ=>排除C,D ，当2x π=时，()02f π=，当322x ππ<<时，ln 0,cos 0x x ><，所以()0f x <排除A, 故选B.【点睛】本题考查通过研究函数解析式，选择函数对应的解析式，注意利用特殊值进行检验，考查数形结合思想的运用.8.在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E 为边AD 上的一点，1DE =，现将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，使得点A '在平面BCDE 上的射影在四边形BCDE 内（不含边界），设二面角A BE C '--的大小为θ，直线A B '，'A C 与平面BCDE 所成的角分别为,αβ，则（）A. βαθ<<B. βθα<<C. αθβ<<D. αβθ<<【答案】D 【解析】【分析】由折叠前后图象的对比得点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，利用二面角、线面有的定义，求出tan ,tan ,tan αβθ的表达式，再进行大小比较.【详解】如图所示，在矩形ABCD 中，过A 作AF BE ⊥交于点O ，将ABE ∆沿直线BE 折成A BE ∆'，则点A '在面BCDE 内的射影'O 在线段OF 上，设A '到平面BCDE 上的距离为h ，则''h AO =，由二面角、线面角的定义得：'tan h O O θ=，'tan h O B α=，'tan hO Cβ=，显然'''',O O O B O O O C <<，所以tan θ最大，所以θ最大，当'O 与O 重合时，max (tan )h OB α=，min (tan )h OCβ=，因为h OB <hOC，所以max (tan )α<min (tan )β，则tan tan αβ<，所以αβ<，所以αβθ<<，故选D.【点睛】本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算求解能力.9.已知函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，则“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的一个（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，再从函数在[0]2，上的零点个数得出相应条件，从而解出+a b 的范围.【详解】函数2()(,R)f x x ax b a b =++∈有两个零点，所以判别式240a b ∆=->，函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，分为两种情况：（1）函数()f x 在区间[0]2，上只有一个零点0,(0)(2)0,f f ∆>⎧⇔⎨⋅≤⎩2222(0)(2)(42)2424f f b a b b ab b b ab a b a ⋅=++=++=+++- 22()40a b b a =++-≤，即22()4a b a b +≤-又因为240a b ->，所以，a b ≤+≤（2）函数()f x 在[0]2，上有2个零点0,(0)0,(2)420,02,2f b f a b a ∆>⎧⎪=≥⎪⎪⇔⎨=++≥⎪⎪<-<⎪⎩解得：20a b -≤+≤；综上所述“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”⇔20a b -≤+≤或a b ≤+≤所以20a b -≤+≤⇒20a b -≤+≤或a b ≤+≤ 而后面推不出前面（前面是后面的子集），所以“20a b -≤+≤”是“函数()f x 至少有一个零点属于区间[0]2，”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查二次函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.10.已知数列{}n a 满足：1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-．则下列说法正确的是（） A. 2019102a << B. 2019112a <<C. 2019312a <<D. 2019322a <<【答案】B 【解析】【分析】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，则'11()1022xf x x x-=-=>--先根据单调性可得1n a <，再利用单调性可得1231012n a a a a <<<<<<<<.【详解】考察函数()ln(2)(02)f x x x x =+-<<，由'11()1022xf x x x-=-=>--可得()f x ()0,1单调递增，由'()0f x <可得()f x 在()1,2单调递减且()()11f x f ≤=，可得1n a <，数列{}n a 为单调递增数列，如图所示：且1(0)ln 2ln 4ln 2f e ==>=，211()(0)2a f a f =>>，图象可得1231012n a a a a <<<<<<<<，所以2019112a <<，故选B. 【点睛】本题考查数列通项的取值范围，由于数列是离散的函数，所以从函数的角度来研究数列问题，能使解题思路更简洁，更容易看出问题的本质，考查数形结合思想和函数思想.二、填空题11.复数2(1)1i z i-=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____，||z =__________.【答案】 (1). -1 (2). 2 【解析】【分析】复数z 进行四则运算化简得1i z =--，利用复数虚部概念及模的定义得虚部为1-，模为2.【详解】因为2(1)2(1)11(1)(1)i i i z i i i i ---===--++-，所以z 的虚部为1-，22||(1)12z =-+=，故填：1-;2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部、模的概念，考查基本运算能力.12.某几何体的三视图为如图所示的三个正方形（单位：cm ），则该几何体的体积为_____3cm ，表面积为____2cm .【答案】 (1). 233(2). 23 【解析】【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面积. 【详解】由题意可知几何体为正方体去掉一个三棱锥的多面体，如图所示：正方体的棱长为2，去掉的三棱锥的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，棱锥的高为2，所以多面体的体积为：1123222112323⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=3cm ，表面积为：2212116222(5)()11212232222⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯⨯=2cm【点睛】本题考查几何体的三视图的应用，几何体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力.13.若7280128(2)(21)x x a a x a x a x +-=++++，则0a =______，2a =_____.【答案】 (1). –2 (2). –154 【解析】【分析】令0x =得：02a =-，求出两种情况下得到2x 项的系数，再相加得到答案. 【详解】令0x =得：02a =-，展开式中含2x 项为：（1）当(2)x +出x ，7(21)x -出含x 项，即1617(2)(1)T x C x =⋅⋅⋅-；（2）当(2)x +出2，7(21)x -出含2x 项，即225272(2)(1)T C x =⋅⋅⋅-；所以2a =1277224(1)154C C ⋅+⋅⋅⋅-=-，故填：2-；154-.【点睛】本题考查二项式定理展开式中特定项的系数，考查逻辑推理和运算求解，注意利用二项式定理展开式中，项的生成原理进行求解.14.在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点,D E 分别在线段,BC AB 上,36AC BC BD ===，60EDC ∠=︒，则BE =________，cos CED ∠=________.【答案】 (1). 326+ (2). 2 【解析】【分析】在BDE ∆中利用正弦定理直接求出BE ，然后在CEB ∆中用余弦定理求出CE ，再用余弦定理求出cos CEB ∠，进一步得到cos CED ∠的值.【详解】如图ABC ∆中，因为60EDC ∠=︒，所以120EDB ∠=︒，所以sin sin BE BD EDB BED =∠∠，即2sin120sin15BE =，解得：33326sin152321BE ===+⋅-⋅在CEB ∆中，由余弦定理，可得：2222cos CE BE CB BE CB B =+-⋅2242(422)=-=-，所以422CE =-2221cos 22CE BE CB CEB CE BE +-∠==⋅，CEB 60,︒∠=CED CEB BED 45∠=∠-∠=，所以2cos 2CED ∠=326；22.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在三角形中的运用，求解过程中注意把相关的量标在同一个三角形中，然后利用正、余弦定理列方程，考查方程思想的应用.15.某高三班级上午安排五节课（语文，数学，英语，物理，体育），要求语文与英语不能相邻、体育不能排在第一节，则不同的排法总数是_______（用数字作答）．【答案】60 【解析】【分析】先求出体育不能排在第一节的所有情况，从中减去体育不能排在第一节，且语文与英语相邻的情况，即为所求.【详解】体育不能排在第一节，则从其他4门课中选一门排在第一节，其余的课任意排，它的所有可能共有144496A A ⋅=种.其中，体育不能排在第一节，若语文与英语相邻，则把语文与英语当做一节，方法有22A 种，则上午相当于排4节课，它的情况有：13233236A A A ⋅⋅=种.故语文与英语不能相邻，体育不能排在第一节，则所有的方法有963660-=种.【点睛】本题考查用间接法解决分类计数原理问题，以及特殊元素特殊处理，属于中档题.16.已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 【答案】1 【解析】分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理得到12,k k 的关系，从而求得222111k k -的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的对称性知点22(,)x y -在直线AF 上，直线1:(1)AF y k x =-代入24y x =得：2222111(24)0k x k x k -++=，所以2112211224,1,k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，因为2221122221121121212y y k k k x x k x x x x x x -==⇒==-++++，所以212222211111111k k k k k +-=-=，故填：1. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，会用坐标法思想把所要求解的问题转化成坐标运算，使几何问题代数化求解.17.已知非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，记3144c a b =+，当,b c 的夹角取得最大值时，||a b -的值为______．【答案】4 【解析】【分析】先建系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量b ，进而通过运算求得||a b -的值.【详解】由非零平面向量,a b 不共线，且满足24a b a ⋅==，建立如图所示的平面直角坐标系：则(2,0),(2,),0A B b b >，则(2,0),(2,)a b b ==，由3144c a b =+，则(2,)4b C ，则直线,OB OC 的斜率分别为,28b b，由两直线的夹角公式可得：3328tan BOC 841282b b b b b b -∠==≤=+⨯+，当且仅当82bb =，即4b =时取等号，此时(2,4)B ，则(0,4)a b -=-，所以||4a b -=，故填：4.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式求最值的运用，考查转化与化归思想，在使用基本不等式时，注意等号成立的条件.三、解答题18.已知函数2()cos cos f x x x x =+．（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α的值. 【答案】(1)1；(2) 4cos 10α= 【解析】【分析】（1）利用倍角公式、辅助角公式化简1()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再把3x π=代入求值；（2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用角的配凑法得：66ππαα=+-，再利用两角差的余弦公式得cos α=. 【详解】解:（1）因为21cos21()cos cos sin 22226x f x x x x x x π+⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭，所以121511sin sin 132362622f ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由13,0,2103f απα⎛⎫⎛⎫=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得43sin ,cos 6565ππαα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 334cos cos cos cos sin sin 66666610ππππππαααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力.19.在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．【答案】(1) 证明见解析；10【解析】【分析】（1）证明直线1BB 垂直CM 所在的平面BCM ，从而证明1BB CM ⊥；（2）以A 为原点，BC 为x 轴正方向，AB 为y 轴正方向，垂直平面ABC 向上为z 轴正方向建立平面直角坐标系，设2AB =，线面角为θ，可得面1B MC 的一个法向量(23,3,5)n =-，330,,22BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入公式sin |cos ,|n BM θ=<>进行求值. 【详解】（1）证明：在Rt ABC ∆中，B 是直角，即BC AB ⊥，平面ABC ⊥平面11AA B B ，平面ABC平面11AA B B AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面11AA B B AB =，1BC B B ∴⊥.在菱形11AA B B 中，160A AB ︒∠=，连接BM ，1A B 则1A AB ∆是正三角形，∵点M 是1AA 中点，1AA BM ∴⊥. 又11//AA B B ，1BB BM ∴⊥.又BMBC B =，1BB ∴⊥平面BMC1BB MC ∴⊥.（2）作1BG MB ⊥于G ，连结CG ．由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，得到1BC MB ⊥，又1BG MB ⊥，且BCBG B =，所以1MB ⊥平面BCG .又因为1MB ⊂平面1CMB ，所以1CMB ⊥BCG ，又平面1CMB 平面BCG CG =,作BH CG ⊥于点H ，则BH ⊥平面1CMB ，则BMH ∠即为所求线面角．设 2AB BC ==，由已知得1221302,3,BB BM BG BH ====sinBHBMHBM∠===，则BM与平面1CB M所成角的正弦值为5．【点睛】本题考查空间中线面垂直判定定理、求线面所成的角，考查空间想象能力和运算求解能力.20.已知数列{}n a为等差数列，n S是数列{}n a的前n项和，且55a=，36S a=，数列{}n b满足1122(22)2n n na b a b a b n b+++=-+．（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）令*,nnnac n Nb=∈，证明：122nc c c++<．【答案】(1) n a n=.2nnb=. (2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用55a=，36S a=得到关于1,a d的方程，得到na n=；利用临差法得到12nnbb-=，得到{}n b是等比数列，从而有2nnb=；（2）利用借位相减法得到12111121222222n n nn n-+++++-=-，易证得不等式成立. 【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为d，11145335a da d a d+=⎧∴⎨+=+⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，∴数列{}n a的通项公式为n a n=.122(22)2n nb b nb n b∴++=-+，当2n≥时，12112(1)(24)2n nb b n b n b--++-=-+11(24)(2)2nn n n b n b n b b --⇒-=-⇒=，即{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，2n n b ∴=. （2）2n n n n a nc b ==，记121212222n nn S c c c =++=++⋯+，则1212321222n nS -=++++， 1211112212222222n n n n n S S S -+∴=-=++++-=-<．【点睛】本题考查数列通项公式、前n 项和公式等知识的运用，考查临差法、错位相减法的运用，考查运算求解能力.21.已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.（1）求椭圆的标准方程；（2）过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．【答案】(1)22143x y+=. (2) ()2,1【解析】【分析】（1）由题设可知26,13P⎛⎫⎪⎝⎭，又12e=，把,a b均用c表示，并把点26,13P⎛⎫⎪⎝⎭代入标圆方程，求得1c=；（2）根据导数的几可意义求得直线BC的方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得点E的坐标，求得中垂线方程，即可求得K点坐标，根据三角形面积公式，即可求得点A坐标. 【详解】（1）不妨设P在第一象限，由题可知26,1P⎛⎫⎪⎝⎭，228113a b∴+=，又12e=，22811123c c∴+=，可得1c=，椭圆的方程为22143x y+=.（2）设2,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭则切线l的方程为20024x xy x=-代入椭圆方程得：()422300031204xx x x x+-+-=，设()()()112233,,,,,B x yC x y E x y，则()31232223xx xxx+==+，()2200033232443x x xy xx=-=-+，KE 的方程为()()230022000324323x x y x x x x ⎡⎤+=--⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，即()20200243x y x x x =-++，令0y =得()32083K x x x =+，在直线l 方程中令0y =得02D x x =， 222004124x x FD +⎛⎫=+=⎪⎝⎭()()()23000022003428383x x x x DK x x +=-=++，002,2FD BC x k k x =-=， 1FD BC k k ∴⋅=-，FD BC ⊥，DEK FOD ∴∆∆∽，()()22200122220941849163x x S DK S FD x +∴===+. 化简得()()2200177240x x+-=，02x ∴=（02x =-舍去）A ∴的坐标为()2,1.()4223031204x x x x x +-+-=，()()462420000431234814404x x x x x ⎛⎫∆=-+-=---≥ ⎪⎝⎭，因为2008x ≤≤+【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、三角形的面积公式，考查逻辑推理和运算求解能力.22.设a 为实常数，函数2(),(),xf x axg x e x R ==∈．（1）当12a e=时，求()()()h x f x g x =+的单调区间；（2）设m N *∈，不等式(2)()f x g x m +≤的解集为A ，不等式()(2)f x g x m +≤的解集为B ，当(]01a ∈，时，是否存在正整数m ，使得A B ⊆或B A ⊆成立．若存在，试找出所有的m ；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．(2)存在，1m =【解析】【分析】（1）当12a e =时得21()2x h x x e e=+，求导后发现()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，从而得到原函数的单调区间；（2）令2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)x G x f x g x ax e =+=+，利用导数和零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，再对m 分1m =和1m 两种情况进行讨论.【详解】解:（1）21()2x h x x e e =+，1()x h x x e e'=+， ∵()h x '在R 上单调递增，且(1)0h '-=，∴()h x '在(),1-∞-上负,在()1,-+∞上正，故()h x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．（2）设2()(2)()4x F x f x g x ax e =+=+，22()()(2)xG x f x g x ax e =+=+ ()8x F x ax e '=+，()80x F x a e ''=+>，()F x '∴单调递增．又(0)0F '>，0F '⎛ < ⎪ ⎪⎝⎭（也可依据lim ()0x F x '→-∞<）， ∴存在00 x <使得()00F x '=，故()F x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．又∵对于任意*m N ∈存在ln x m >使得()F x m >，又lim ()x F x →-∞→+∞，且有()0(0)1F x F m <=≤，由零点存在定理知存在120x x <≤，使得()()12F x F x m ==，故[]34,B x x =.()()222()()4x x F x G x ax e ax e -=---，令2()xH x ax e =-，由0a >知()H x 在(,0)-∞上单调递减，∴当0x <时，()()(2 )()0F x G x H x H x -=->又∵m 1≥，3x 和1x 均在各自极值点左侧,结合()F x 单调性可知()()()133F x m G x F x ==<，310x x ∴<<当1m =时，240x x ==， A B ∴⊆成立，故1m =符合题意．当0x >时，2222()()33x x x x F x G x ax e e x e e -=+-≤+-，令1()2ln P t t t t =--，则22(1)()0t P t t '-=>， ∴当1t >时，()(1)0P t P >=．在上式中令2x t e =，可得当0x >时，有22x xe e x -->成立， 322x x x e e xe ∴-> 令()2t Q t e t =-，则()2tQ t e '=-， ()(ln2)22ln20Q t Q ∴≥=->，2x e ∴>恒成立. 故有32223x x x e e xe x ->>成立，知当0x >时，()()0F x G x -<又∵()F x ，()G x 在[)0,+∞上单调递增，∴当1m 时，()()()244F x m G x F x ==>，240x x ∴>>，而31 0x x <<，∴此时A B ⊆和B A ⊆均不成立.综上可得存在1m =符合题意.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，特别要注意使用零点存在定理判断零点的存在性，要注意说明端点值的正负.同时，对本题对构造法的考查比较深入，对逻辑推理、运算求解的能力要求较高，属于难题.。

高三数学第一次联考试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校皖江名校联盟2021届高三数学第一次联考试题理〔含解析〕一、选择题:本大题一一共12小题，每一小题5分，一共6分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的{}{}32,ln 0A x x B x x =-≤≤=≥，那么A B =〔〕A.{}3,2,1,0,1---B.{}1,2C.{}31x x -≤≤ D.{}12x x ≤≤【答案】D 【解析】【分析】根据集合的根本运算进展求解即可. 【详解】由ln 0x ≥得1x ≥，所以{}|1B x x =≥，{|12}A B x x =≤≤，应选D.【点睛】该题考察的是有关集合的运算，属于简单题目.134z i=+，那么以下说法正确的选项是〔〕 A.复数z 的实部为3 B.复数z 的虚部为425i C.复数z 的一共轭复数为342525i + D.复数的模为1【答案】C 【解析】【分析】直接利用复数的根本概念得选项.【详解】1343434252525i zi i -===-+，所以z 的实部为325，虚部为425-，z 的一共轭复数为342525i +15=，应选C.【点睛】该题考察的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.221916x y +=的一个焦点坐标为〔〕A.(5,0)B.(0,5)C.)D.(【答案】D 【解析】【分析】根据题中所给的椭圆的方程，可得,a b 的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.【详解】因为4,3a b ==，所以c =22+1916x y =的上焦点的坐标是(，应选D.【点睛】该题考察的是有关椭圆的性质，属于简单题目. 4.0.44log m=，0.44n =，0.50.4p =，那么〔〕 A.m n p << B.m p n << C.p n m <<D.n p m <<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出结果.【详解】因为0.40.54log 0.40,41,00.41m n p ==<=<，所以m p n <<，应选B .【点睛】该题考察的是有关指数函数和对数函数的单调性，比较大小，属于根底题目.32()x y x x e =+在1x =处的切线方程为〔〕A.75x y e e =-B.79x y e e =+C.35x y e e =+ D.35x y e e =-【答案】A 【解析】【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，之后应用点斜式写出切线方程，化简得结果. 【详解】()()23232x x y x x e x x e +'=++，所以1|7x y e =='，又1x =时，2y e =，所以所求切线方程为()271y e e x -=-，即75y ex e =-，应选A.【点睛】该题考察的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，求导公式，属于简单题目{}n a 的前n 项和为n S ，假设41511,15a S ==，那么2a =〔〕A.18B.16C.14D.12【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质，可以求得81a =，结合411a =，求得公差111542d -==-，从而求得2a 的值. 【详解】因为()1151581515152a a S a +===，所以81a =，又411a =，所以公差111542d -==-，所以24211516a a d =-=+=．【点睛】该题考察的是数列的有关问题，涉及到的知识点有等差数列的求和公式，等差数列的性质，通项公式根本量的计算，属于简单题目.3y x =的图象，只需将函数sin 3cos3y x x =+的图象〔〕A.向右平移34π个单位长度 B.向右平移2π个单位长度 C.向左平移个4π单位长度 D.向左平移个2π单位长度【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论.【详解】因为sin3cos334y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以将其图象向左平移4π个单位长度，可得()3344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，应选C.【点睛】该题考察的是有关图象的平移变换问题，涉及到的知识点有辅助角公式，诱导公式，图象的平移变换的原那么，属于简单题目.8.假设5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为〔〕A.12B.14C.16D.18【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，其余3人都不在自己原来的位置，②分析剩余的3人都不在自己原来位置的站法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步分析： ①先从5个人里选2人，其位置不变，有2510C =种选法，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，故不同的调换方法有10220⨯=55120A =,所以所求概率为2011206=，应选C.【点睛】该题考察的是有关古典概型求概率的问题，涉及到的知识点有分步计数原理，排列组合的综合应用，古典概型概率求解公式，属于简单题目.的奇函数()f x 满足，当0x ≤时，()xxf x e e-=-，那么不等式()()2230f x x f --<的解集为〔〕 A.(-1,3) B.(-3,1) C.()(),13,-∞-+∞ D.()(),31,-∞-⋃+∞【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知当x ∈R 时，()1x xf x e e =-，从而利用导数的符号判断得出函数()f x 是R 上的单调递增函数，所以得到()()223f x x f -<，利用函数的单调性得到2230x x --<，解不等式求得结果.【详解】由题意可知，当x ∈R 时，()1x xf x e e =-，所以()10x x f x e e=+>'， ()f x 是R 上的单调递增函数，故由()()2230f x x f --<，得()()223f x x f -<，即2230x x --<，解得13x ，应选A.【点睛】该题考察的是有关函数的问题，涉及到的知识点有奇函数的解析式的求解，函数的单调性的判断与应用，属于简单题目.O 作直线()():2220l m n x m n y m n ++--+=的垂线，垂足为P ，那么P 到直线30x y -+=的间隔的最大值为〔〕12+ C.1 D.2【答案】A 【解析】【分析】将直线l ：()()2220m n x m n y m n ++--+=化为()()2220x y m x y n +-+--=，可得直线l 经过定点()0,2Q，从而可以判断得出P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，利用点到直线的间隔公式，可得点P 到直线30x y -+=1.【详解】()()2220m n x m n y m n ++--+=整理得()()2220x y m x y n +-+--=，由题意得22020x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()0,2Q.因为OP l ⊥，所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆，圆心为()0,1，半径为1，因为圆心()0,1到直线30x y -+=的间隔为d == 所以P 到直线30x y -+=1.【点睛】该题考察的是有关动点到直线的间隔的最值问题，涉及到的知识点有动直线过定点问题，动点的轨迹，圆上的点到直线的间隔的最值，点到直线的间隔公式，属于简单题目.l 为4，侧面积为S ，体积为V，那么V S获得最大值时圆锥的侧面积为〔〕A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】设底面半径为r ，高为h ，利用题的条件，可得22224=16r h l +==，之后应用公式表示出,V S ，利用根本不等式得出V S获得最大值时对应的条件，得出答案.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，那么22224=16r h l +==，所以2221111623121221223r h V rh r h S rl ππ+==≤⨯=⨯=，当且仅当r h ==1242π⨯⨯=.【点睛】该题考察的是有关圆锥的问题，涉及到的知识点有圆锥的性质，母线、高、底面圆的半径之间的关系，圆锥的体积与侧面积公式，根本不等式，属于简单题目.A 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点，假设存在过点()3,0N a 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得AMN ∆是以点M 为直角顶点的直角三角形，那么双曲线的离心率〔〕A. B.C.存在最小值4D.存在最小值3【答案】B 【解析】【分析】根据题意，写出其右顶点的坐标(),0A a ，写出双曲线的渐近线方程，取by x a=，设出点M 的坐标,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而得到,b AM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,b NM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据题意可得AM NM ⋅=，从而得到()()230b m a m a m a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，进一步整理得22221430b m am a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，根据方程有解，利用判别式大于等于零，求得223a b ≥，进一步求得其离心率的范围，得到结果.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点(),0A a ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，不妨取by x a=，设,b Mm m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么,b AM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,b NM m a m a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 假设存在过()3,0Na 的直线与双曲线的渐近线交于一点M ，使得AMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，那么0AM NM ⋅=，即()()230b m a m a m a ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，整理可得22221430b m am a a ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意可知此方程必有解，那么判别式2222161210b a a a ⎛⎫∆=-+≥ ⎪⎝⎭，得223a b ≥，即22233a c a ≥-，解得1c e a <=≤，所以离心率存在最大值3，应选B.【点睛】该题考察的是有关双曲线的性质的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，向量的坐标公式，向量垂直的条件，方程有解的条件，双曲线的离心率，属于简单题目.第二卷二、填空题:本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请把正确之答案填在横线上()()2,3,1,a b m ==-，且a 与a b +垂直，那么m =______.【答案】113- 【解析】【分析】根据题意，可求得()1,3a b m +=+，由于a与a b +垂直，结合向量数量积坐标公式可得()2330m ++=，从而求得m 的值，得到结果.【详解】向量()2,3a=，()1,b m =-，()1,3a b m ∴+=+，a 与ab +垂直，()2330m ∴++=，解得113m =-，故答案是：113-．【点睛】该题考察的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量加法坐标运算，向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，属于简单题目.{}n a 的前项和为n S ，假设11a =，4421S a =+，那么公比q =_________.【答案】4 【解析】【分析】根据题意可得321S =，设等比数列的公比为q ，利用等比数列的求和公式表示出3S ，得出关于q 的方程，求解即可得到q 的值. 【详解】由题意得4421S a -=，所以321S =，又11,a =，所以331211q S q-==-，解得4q =或者5q =-〔舍〕，所以4q=，故答案是：4.【点睛】该题考察的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，属于简单题目.7(x 的展开式中，4x 的系数为__________.【答案】283【解析】【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数等于4，求得r 的值，得到结果.【详解】7x ⎛⎝展开式的通项公式为1377221772233rrr r r rr T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令3742r -=，解得2r ，故所求系数为22722833C ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，故答案是：283. 【点睛】该题考察的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中指定项的系数的问题，二项展开式的通项，属于简单题目.3(,),(0,)22παππβ∈∈，且满足1sin tan cos βαβ+=，那么β=______.(用α表示)【答案】522απ- 【解析】【分析】化切为弦，整理后得到()sincos αβα-=，利用诱导公式可得()sin sin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合题中所给的角的范围，最后确定出522βαπ=-，从而得到结果.【详解】由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin cos cos αβαβ+=，所以()sin cos cos 1sin αβαβ=+，即()sin cos αβα-=.结合诱导公式得()sinsin 2παβα⎛⎫-=-⎪⎝⎭. 因为3,,0,22ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,,,222πππαβπαπ⎛⎫⎛⎫-∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得()sinsin 22παβπα⎡⎤⎛⎫-=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，易知32,22ππαππ⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以22παβπα⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即522βαπ=-.法二：由1sin tan cos βαβ+=得sincos tan1222tan tan 24cossin1tan 222ββββπαβββ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭--，所以tan tan 24βπα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3,,0,22ππαπβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以,2442βπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 由诱导公式可得()tantan απα-=，即()tan tan 24βπαπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭因为tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以24βπαπ-=+，即522βαπ=-.【点睛】该题考察的是有关三角函数恒等变换的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦差角公式，诱导公式，属于简单题目.三、解答题:本大题一一共6小题，一共70分解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤解容许写在答题卡上的指定区域内ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos sin sin sin .C B A A C -=-〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC △的面积为b =，求a c +的值.【答案】〔1〕3π；〔2〕7 【解析】【分析】〔1〕利用同角三角函数关系和正弦定理可将关系式化为222a c b ac +-=；利用余弦定理可求得cos B ，从而得到B ；〔2〕利用三角形面积公式可求得ac ；利用余弦定理可构造关于a c +的方程，解方程求得结果.【详解】〔1〕2222222c cos 1sin 1sin sin si os n sin sin sin C B C B B C A A C -=--+=-=-由正弦定理得：222b c a ac -=-，即222a c b ac +-=〔2〕11sin sin 223S ac B ac π====12ac = 由余弦定理可得：()()222222cos 22cos36133ba c ac B a c ac ac a c π=+-=+--=+-=即()249a c +=7a c ∴+=【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于常规题型.ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，1//,,,2ED FB DE BF AB FB FB ==⊥平面ABCD .(1)设BD 与AC 的交点为O ，求证:OE ⊥平面ACF ；(2)求二面角E AF C --的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；．【解析】【分析】〔1〕根据题意，推导出ED ⊥面ABCD ，DE AC ⊥，OE OF ⊥，结合线面垂直的断定定理证得OE ⊥面ACF ；〔2〕以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，利用面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值，之后应用平方关系求得正弦值，得到结果. 【详解】(1)证明：由题意可知：ED ⊥面ABCD ，从而Rt EDA Rt EDC ∆≅∆，EA EC ∴=，又O 为AC 中点，DE AC ∴⊥，在EOF ∆中，3OE OF EF ===，222OE OF EF ∴+=，OE OF ∴⊥又AC OF O ⋂=，OE ∴⊥面ACF ．〔2〕ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0E ，0，1)，(2A ，0，0)，(0C ，2，0)，(2F ，2，2)，(1O ，1，0)由〔1〕可知(1EO=，1，1)-是面AFC 的一个法向量，设(n x =，y ，)z 为面AEF 的一个法向量，由·220·20AF n y z AE n x z ⎧=+=⎨=-+=⎩，令1x =得(1n=，2-，2)，设θ为二面角E AF C --的平面角，那么·3cos cos ,3·EOn EO n EO nθ===，sin θ∴=．∴二面E AF C --．【点睛】该题考察的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的断定，利用空间向量求二面角的余弦值，同角三角函数关系式，属于简单题目.()2:20C y px p =>的焦点是F ，直线2y =与C 的交点到F 的间隔等于2.(1)求抛物线C 的方程; (2)一直线():1,0l x ky bb k =+≠≠交C 于A ，B 两点，其中点(),b k 在曲线()22348x y --=上，求证:FA 与FB 斜率之积为定值. 【答案】(1)24y x =；(2)证明见解析.【解析】【分析】〔1〕根据题意，结合抛物线的定义可得点P 的坐标为2,22p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程可得2p =，从而求得抛物线的方程；〔2〕联立方程组，消元可得2440y ky b --=，设出两点的坐标211,4y A y ，222,4y B y ，由韦达定理可得124y y k +=，124y y b =-，根据点(),b k 在曲线()22349x y --=上，可得22461b k b -=-，整理求得1FA FB k k ⋅=-，得到结果.【详解】〔1〕由2PF =知P 到准线的间隔也是2，P ∴点横坐标是22p -，将2,22p P ⎛⎫-⎪⎝⎭代入22y px =，得2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =.〔2〕证明：联立24y x x ky b ⎧=⎨=+⎩得2440y ky b --=，设211,4y A y ，222,4y B y ，那么124y y k +=，124y y b =-.因为点(),b k 在曲线()22349x y --=上，所以代入整理可得22461b k b -=-，那么()()12122222221212121241421111441642FA FB y y y y bk k b k b y y y y y y y y -⋅====---+⎛⎫⎛⎫+---++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】该题考察的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，点在曲线上的条件，两点斜率坐标公式，属于简单题目.()sin ,(0,),2f x ax x x a π=-∈为常数(1)假设函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求a 的取值范围；(2)当1a ≤时，证明31()6f x x ≤. 【答案】(1)][(,01,)-∞⋃+∞；(2)证明见解析.【解析】【分析】〔1〕对函数求导，单调分单调增和单调减，利用()cos 0f x a x '=-≥或者()cos 0f x a x '=-≤在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求得实数a 的取值范围；〔2〕利用导数研究函数的单调性，求得结果. 【详解】〔1〕由()sin f x ax x =-得导函数()cos f x a x =-'，其中0cos 1x <<.当1a ≥时，()0f x '>恒成立，故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，符合题意；当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()sin f x ax x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数，符合题意；当01a <<时，由()cos 0f x a x '=-=得cos x a =，那么存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos x a =. 当00x x <<时，()00f x '<，当02x x π<<时，()00f x '>，所以()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是不是单调函数，不符合题意.综上，a 的取值范围是][(),01,-∞⋃+∞.〔2〕由〔1〕知当1a =时，()()sin 00f x x x f =->=，即sin x x <，故22sin 22x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭.令()()3311sin ,0,662gx f x x ax x x x π⎛⎫=-=--∈ ⎪⎝⎭，那么()22222111cos 12sin 12122222x x g x a x x a x a x a ⎛⎫=--=-+-<-+-'=- ⎪⎝⎭，当1a ≤时，()10g x a -'=≤，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数，从而()()00gx g <=，即()316f x x ≤. 【点睛】该题考察的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目.21.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12C 中有超过一半的电子元件正常工作，那么G 可以正常工作，否那么就需要维修，且维修所需费用为500元.(1)求系统不需要维修的概率；(2)该电子产品一共由3个系统G 组成，设E 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望; (3)为进步G 系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，那么C 可以正常工作，问:p 满足什么条件时，可以进步整个G 系统的正常工作概率【答案】(1)12；(2)见解析；(3)当112p <<时，可以进步整个G 系统的正常工作概率.【解析】【分析】〔1〕由条件，利用HY 重复试验成功的次数对应的概率公式以及概率加法公式求得系统不需要维修的概率；〔2〕设X为维修维修的系统的个数，根据题意可得13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，从而得到500X ξ=，利用公式写出分布列，并求得期望；〔3〕根据题意，当系统G 有5个电子元件时，分析得出系统正常工作对应的情况，分类得出结果，求得相应的概率，根据题意列出式子，最后求得结果.【详解】〔1〕系统不需要维修的概率为23233311112222C C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.〔2〕设X为维修维修的系统的个数，那么13,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，且500X ξ=，所以()()3311500,0,1,2,322kkk P k P X k C k ξ-⎛⎫⎛⎫====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以ξ的分布列为所以ξ的期望为()50037502Eξ=⨯⨯=. 〔3〕当系统G 有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G 系统的才正常工作. 假设前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，那么概率为21223113228C p p ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭；假设前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，那么概率为()()2221222323111131222228C C p p C p p p ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；假设前3个电子元件中3个都正常工作，那么不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，那么概率为3331128C ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为()2233131288848p p p p +-+=+，于是由()3113214828p p +-=-知，当210p ->时，即112p <<时，可以进步整个G 系统的正常工作概率.【点睛】该题考察的是有关概率的问题，涉及到的知识点有HY 重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，属于中档题目.请考生从第22、23题中任选一题做答，并用2铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进展评分;多涂、多答，按所涂的首题进展评分;不涂，按本选考题的首题进展评分选修4-4:坐标系与参数方程22.平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos 1cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . (1)求曲线2C 的直角坐标方程； (2)求曲线1C 与曲线2C 交点的直角坐标. 【答案】(1)y =；(2)()0,0.【解析】【分析】〔1〕利用极坐标与平面直角坐标的转换关系求得结果；〔2〕将曲线的参数方程化为普通方程，与直线方程联立，求得方程组的解，结合对应的坐标的范围，求得对应的交点的坐标，得到结果.【详解】〔1〕依题意，曲线2C的直角坐标方程为y =.〔2〕因为曲线1C 的参数方程为2,12,x cos y cos ϕϕ=⎧⎨=+⎩〔ϕ为参数〕，所以曲线1C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立2,1,2y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解方程组得0,0,x y =⎧⎨=⎩或者6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 根据x的范围应舍去6,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故交点的直角坐标为()0,0.【点睛】该题考察的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程与普通方程的互化，平面直角坐标方程与极坐标方程的互化，曲线交点的坐标的求解，属于简单题目. 选修4-5:不等式选讲()124f x x x =-++.(1)求不等式()6f x >的解集；(2)假设()10f x m --≥恒成立，务实数m 的取值范围.【答案】(1)()(),31,-∞-⋃+∞；(2)[]2,4-.【解析】【分析】〔1〕通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；〔2〕通过求函数()f x 的最小值，将恒成立问题转化为最值问题，得到关于m 的不等关系，从而求得结果. 【详解】〔1〕依题意，1246x x -++>，当2x <-时，原式化为1246x x --->，解得3x <-，故3x <-；当21x -≤≤时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故无解；当1x >时，原式化为1246x x -++>，解得1x >，故1x >；综上所述，不等式()6f x >的解集为()(),31,-∞-⋃+∞；〔2〕因为()124122123f x x x x x x x x =-++=-++++≥-++≥，当且仅当2x =-时，等号成立. 故()10f x m --≥恒成立等价于13m -≤；即313m -≤-≤，解得24m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]2,4-.【点睛】该题考察的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有零点分段法解绝对值不等式，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.。

高三数学上学期第一次联考试题理试题2

卜人入州八九几市潮王学校、三中等五校2021届高三数学上学期第一次联考试题理本套试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部本卷须知：1.2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带或者刮纸刀。

第I卷一．选择题〔此题一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.集合，，那么〔〕....2.设复数满足〔是虚数单位〕，的一共轭复数为，那么〔〕....3.，，，那么〔〕.，，；.，，；.，，；.，，；4.公元年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率准确到小数点后面两位的近似值，这就是著名的徽率，右图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，那么输出的值是()〔参考数据：〕....5.一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的各个外表中，最大面的面积为〔〕....6.函数，〔为自然对数的底数〕的图象与直线，轴围成的区域为，直线与围成的区域为，在区域内任取一点，那么该点落在区域内的概率为〔〕....7.动点满足，且代数式的最小值为，那么实数的取值为〔〕....8.函数〔〕的局部图象如下列图，点，是其上两点，假设将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，那么函数图象的一条对称轴方程为〔〕....9.腰长为的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，假设，那么的最小值为〔〕....10.、分别是具有公一共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公一共点，是的中点，且，那么=〔〕....11.假设数列的前项和满足：对都有〔为常数〕成立，那么称数列为“和敛数列〞，那么数列，，，中是“和敛数列〞的有〔〕.个.个.个.个12.定义在上的偶函数满足，且当时，，假设函数有三个零点，那么正实数的取值范围为〔〕....第II卷二．填空题：〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.函数，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，那么________________14.设，假设，那么负实数______________15.抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点，假设，那么直线的斜率为__________ 16.在四面体中，，，，二面角的大小为，那么四面体外接球的半径为________________三．解答题：〔此题一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔12分〕在中，角，，的对边分别为，，，且⑴求角的大小；⑵假设，求周长的最大值.18.〔12分〕如下列图四边形与均为菱形，且⑴求证：平面；⑵求直线与平面所成角的正弦值.19.〔12分〕2021年初，某为了实现教育资源公平，办人民满意的教育，准备在今年8月份的小升初录取中在某重点实行分数和摇号相结合的录取方法。

2021 届高三三校第一次联考数学试卷

（Ⅰ）求的方程；
3,
1 2
.
（Ⅱ）过抛物线 C : y2 = 2 px ( p 0) 上一点 P 的切线 l 交于 D, E 两点，线段 DE , PA 的
中点分别为 M , N .求证：对任意 p 0 ，都存在这样的点 P，使得 MN 所在直线平行于 y 轴.
y
P
A N D
B
A
M
x
V= 1 Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.
Pn(k)= Cnk pk (1 − p)n−k (k = 0,1, 2, , n) 台体的体积公式
球的表面积公式 S=4πR2
1
V= (S1+
3
S1S2 +S2) h
球的体积公式
其中 S1、S2 表示台体的上、下底面积，h 表示棱台的高.
V= 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合 A = {x || 2x −1| 6}, B
= x
2x +1 3− x
0 ,
则
A
RB =
（）
A.
E
22. （本小题满分 15 分）
已知函数 f ( x) = ex + ax2 ，其中 e = 2.71828…… 是自然对数的底数.
（I）若 g ( x) =
f x
(x)
+1
(
x
−1)
有三个极值点
x1,
x2 ,
x3
，

浙江三校2021高三数学上第一次联考试题

()()()()()()浙江2021届高三三校第一次联考数学试题卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么柱体的体积公式P (A +B )= P (A )+ P (B )V =Sh如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 P (A •B )= P (A )•P (B )锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为p ，那么n V =13Sh次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.P n (k )=(1)(0,1,2,,)k k n kn C p p k n --= 球的表面积公式台体的体积公式 S =4πR 2 V =13(S 1S 2) h 球的体积公式其中S 1、S 2表示台体的上、下底面积，h 表示棱 V =43πR 3台的高.其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合21{||21|6},0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则RAB = （）A .517,3,222⎛⎤⎛⎫-- ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ B .517,3,222⎛⎫⎡⎫-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C .1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦D .1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知a R ∈，若112a ii +++（i 为虚数单位）是实数，则实数a 等于（） A ．1 B ．2 C ．23 D ．253．若02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y =+的最小值是（）A ．0B ．1C ． 5D ．9 4. 设m ，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是 ( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件5．已知函数y ＝sin ax ＋b (a >0)的图像如图所示，则函数y ＝log a (x ＋b )的图像可能是 ( )A B C D6.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a =对称，则该双曲线C 的离心率为（）5.A .5B .2C .2D 7. 设函数()2cos f x x x =-,设{}n a 是公差为8π的等差数列, f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π,则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （）.0A 21.16B π 21.8C π 213.16D π8. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a =，a ，b 夹角为60o ，且()12c a tb t R =-+∈.则c c a+- 的最小值为（） A ．13 B ．4 C ．23 D ．9349.袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球,从A 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是31,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,则ξ的数学期望E ξ= （）131.81A 143.81B 433.243C 593.243D 10．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩.这里U C A 表示集合A 在全集U 中的补集.已知A U ⊆，B U ⊆，以下结论不正确．．．的是（） A .若A B ⊆，则对于任意x ∈U ，都有()()A B f x f x ≤； B .对于任意x ∈U ，都有()()1U C A A f x f x =-； C .对于任意x ∈U ，都有()()()A BA B f x f x f x =⋅；D .对于任意x ∈U ，都有()()()AB A B f x f x f x =+．非选择题部分（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

浙江省三校(新昌中学、浦江中学、富阳中学)2021届高三上学期第一次联考数学试卷

∙()绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合21{||21|6},0,3xA x xB xx⎧+⎫=-<=≤⎨⎬-⎩⎭则RA B= （）A.517,3,222⎛⎤⎛⎫--⎪⎥⎝⎦⎝⎭B.517,3,222⎛⎫⎡⎫--⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭C.1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦D.1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知a R∈，若112a ii+++（为虚数单位）是实数，则实数等于（）A．1 B．2 C．23D．253．若2030xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩,则3z x y=+的最小值是（）A．0 B．1 C． 5 D．94. 设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是( )A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件5．已知函数y＝sin ax＋b(a>0)的图像如图所示，则函数y＝log a(x＋b)的图像可能()()()()()()是 ( )A B C D6.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线by x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（）A B C .2D7. 设函数()2cos f x x x =-,设{}n a 是公差为8π的等差数列, f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 5)＝5π,则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦（）.0A21.16B π21.8C π 213.16D π 8. 已知平面向量a ，b ，c 满足：2a =，a ，b 夹角为60o，且()12c a tb t R =-+∈.则c c a+-的最小值为A B ． C ．D ．49.袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是31,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ,则ξ的数学期望E ξ=（）131.81A 143.81B 433.243C 593.243D 10．定义全集U 的子集A 的特征函数()1,0,A U x Af x x C A ∈⎧=⎨∈⎩.这里U C A 表示集合A 在全集U中的补集.已知A U ⊆，B U ⊆，以下结论不正确．．．的是（）A.若A B ⊆，则对于任意x∈U，都有()()A B f x f x ≤；B.对于任意x∈U，都有()()1U C A A f x f x =-；C.对于任意x∈U，都有()()()A BA B f x f x f x =⋅；D.对于任意x∈U，都有()()()ABA B f x f x f x =+．非选择题部分（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

B.
5 2
,
1 2
3,
7 2
C.
1 2
,
3
D.
1 2
,
3
2. 已知 a R ，若 a 1 i （ i 为虚数单位）是实数，则实数 a 等于 1i 2
（）
A．1
B．2
C． 3 2
D． 5 2
x 0
3．若 x 2 y 0 ,则 z x 3y 的最小值是
x y 3 0
（）
A．0
B．1
C． 5
D．9
4. 设 m，n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不．正．确．的是
()
A．当 n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当 m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当 m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当 m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
A.131 81
B.143 81
C. 433 243
D. 593 243
10．定义全集
U
的子集
A
的特征函数
fA
x
1, x A 0, x CU
A
.这里 CU
A
表示集合
A
在全集
U
中的
补集.已知 A U ， B U ，以下结论不．正．确．的是
（）
A.若 A B ，则对于任意 x∈U，都有 fA x fB x ；
13
， sin 2( ) ▲ .. 4
15. 过 x y 2 0 上一点 P x0 , y0 作直线与 x2 y2 1 相切于 A , B 两点.当 x0 3 时，切线
长 PA 为________________；当 PO AB 最小时， x0 的值为__________. 16.在平面直角坐标系中，给定两点 M(1,2),N(3,4),点 P 在 x 轴的正半轴上移动，当 MPN 取
V= 4 πR3 3
其中 R 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
已知集合
A
{x
||
2x
1
|
6},
B
x
2x 1 3 x
0
,
则
A
ðR
B
=
（）
A.
5 2
,
1 2
3,
7 2
5．已知函数 y＝sin ax＋b(a>0)的图像如图所示，则函数 y＝loga(x＋b)的图像可能是 (
)
A
B
C
D
6.已知 F1, F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点
P
与点
F2
关于直线
y
Байду номын сангаас
b a
x
对称，则该双曲线
C
的离心率为
（）
A. 5
11.在 2000 多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和” 圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
已知一个圆锥的高和底面半径都为 2，则用与底面呈 45 的平面截这个圆锥，
最大值时，点 P 的横坐标为__________.
17.若对任意 x 0 ，不等式 a(eax 1) 2(x 1) ln x 恒成立，则实数 a 的最小值为_________. x
三．解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. （本小题满分 14 分）
所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式：
如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么
P(A•B)= P(A)•P(B)
柱体的体积公式
V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，那么 n
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)= Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2,,n) 台体的体积公式
V= 1 Sh 3
其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式
S=4πR2
1
V= (S1+
3
S1S2 +S2) h
球的体积公式
其中 S1、S2 表示台体的上、下底面积，h 表示棱台的高.
得到的曲线是 ▲ .
12. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是1，则正视图中的 x 的
值是 ▲ ，该几何体的表面积是 ▲ .
13. 已知多项式 x2 1 x 15 a0 a1 x 1 a2 x 12 a7 x 17 ，
则 a1 a2 a7 ▲ ， a4 ▲ . 14.已知 sin cos 7 (0 ) ,则 tan ▲
B. 5
2
C. 2
D.2
7. 设函数 f (x) 2x cos x ,设
an
是公差为
的等差数列,
f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝ 5
,则
8
f a3 2 a1a5
（）
A.0
B. 1 2
C.1 2
D.13 2
8.
16 已知平面向量 a ，b ，c 满足：a
8
2 ，a ，b 夹角为 60o ，且 c
在① A C 2B ② a c 2b 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解. 问题：已知 ABC 内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 b 2 ，_____，试求 sin A sin B sin C
浙江 2021 届高三三校第一次联考
数学试题卷
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟. 试卷总分为 150 分.请考生按规定用笔将
B.对于任意 x∈U，都有 fCU A x 1 f A x ； C.对于任意 x∈U，都有 fAB x fA x fB x ；
D.对于任意 x∈U，都有 fAB x fA x fB x ．
非选择题部分（共 110 分）二．填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分
1
a
t
b16t
R
.则
c
ca
2
的最小值为
（）
A． 13
B． 4
C． 2 3
93
D．
4
9.袋子 A 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的
概率是 1 ,有 3 次摸到红球即停止.记 5 次之内(含 5 次)摸到红球的次数为 ,则的数学期望
3
E
（）